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MENTES
NOVIEMBRE 2015
Activas
PROCESO DE DIFUSION
EDICION N°1
PROCESO DE MARKOV
Markov en proceso continuo
Proceso Gaussianos
PROCESO ESTOCASTICO
Proceso Estocástico
Editores
Bracho Darvin
Caguado Rotciv
García Jorge
Gutiérrez Odimar
Rojas Dickson
PARA:
La clase de procesos estocásti-
cos del 6to semestre de Ing de
Sistemas, de la profesora Karelis
Molina.
Proceso de difusión?
Difusión es el proceso irrever-
sible por el cual un grupo de
partículas se distribuye de ma-
nera uniforme en un medio ya
sea vacío o formado por otro
grupo de partículas. Este pro-
ceso es estadísticamente pre-
decible en conjunto, aunque
el movimiento de cada partí-
cula aislada es totalmente
aleatorio. Se encuentra impul-
sado por el movimiento térmi-
co de las partículas que com-
ponen ese sistema y se produ-
ce siguiendo las líneas de ma-
yor diferencia de concentra-
ción entre regiones, esto es,
siguiendo los gradientes de
concentración.
DIFERENTES APLICACIONES
Proceso de difusión Se dice que grandes despla-
zamiento, de orden exce-
diendo un fijo, son muy poco
probables en intervalos de
tiempo cortos, esto significa
que la sendas muéstrales del
proceso son continuas. Tam-
bién se puede mencionar
que es un movimiento brow-
niano estándar, pero el com-
ponente tienden a la volatili-
dad, por ahora la funciones
de tiempo y valor actual del
proceso.
Un procesos de difusión uni-
dimensional es un procesos
estocástico {xt} t≥0 para el
que el cambio a lo largo de
un intervalo de tiempo infini-
tesimal, [t,t + dt], puede re-
presentase como t= µ.
Donde {wt} t≥0 es un movimiento
browniano estándar, pero el
componente tendencial µ y la
volatilidad Ơ son ahora funcio-
nes del tiempo y del valor actual
del proceso. Esta expresión ge-
neraliza (1), donde µ y Ơ se
asumían constante, y (2), donde
eran funciones del tiempo úni-
camente. Una ecuación como
(3), en la que el proceso estocás-
tico estar en ambos lados de la
igualdad, se denomina una
ecuación diferencial estocástica.
Por ende, un proceso de difu-
sión e una solución a una ecua-
ción diferencial estocástica.
En rigor, deben satisfacer las
condiciones de crecimiento y
de lipschitz.
Si tanto µ como Ơ son inde-
pendientes del tiempo, se dice
que la difusión es homogénea
respecto al tiempo. en este ca-
so, la distribución del valor fu-
turo del proceso dependerá
del valor actual de “cuán lejos
en el futuro estemos vivien-
do”, no del momento particu-
lar en el que estamos situados.
A modo de ejemplo X t + δ dado
X t = X dependerá únicamente
de X y δ. Pero no de, esto se
cumple en una difusión no
homogénea respecto al tiem-
po, en cuyo caso la distribu-
ción dependerá también de t.
En estadística, y específica-
mente en la teoría de la
probabilidad, un proceso
estocástico es un concepto
matemático que sirve para
caracterizar una sucesión
de variables aleato-
rias (estocásticas) que evo-
lucionan en función de
otra variable, generalmen-
te el tiempo. Cada una de
las variables aleatorias del
proceso tiene su propia
función de distribución de
probabilidad y, entre ellas,
pueden es-
tar correlacionadas o no.
Proceso
Estocástico
Historia
Estudia en un instituto de la ciu-
dad donde mostró cierto talento
para las matemáticas. A los 22
años obtuvo la licenciatura en la
Universidad de San Petersburgo,
donde comenzó a trabajar como
profesor. En 1886 luego de reali-
zar sus tesis de maestría y doc-
torado, accedió como adjunto a
la Academia de Ciencias de San
Petersburgo. En 1883 Markov
sustituye a su maestro Pafnuty
Chebyshev, cuando éste deja la
Universidad, y comienza a im-
partir los cursos de teoría de la
probabilidad, dándole continui-
dad a los estudios sobre los
cálculos matemáticos de la lógi-
ca de la probalidad. Markov
también estuvo interesado en la
estudios de estilos poéticos. A
la edad de 49 años y con 25
años dedicados a la actividad
académica se retira definitiva-
mente de la universidad, aun-
que siguió impartiendo algunos
cursos sobre teoría de la proba-
bilidad. Se opuso a los privile-
gios de la nobleza zarista y llegó
a rechazar las condecoraciones
del propio zar en protesta por
algunas decisiones políticas re-
lacionadas con la Academia de
Ciencias. Markov tuvo un hijo
(con su mismo nombre) que se
convirtió en un renombrado
matemático y lógico.
Si un proceso estocástico verifica la propie-
dad de markov, o sea la condición, entonces
la distribución de probabilidad para todos
los valores futuros del proceso depende solo
de su valor actual, por lo tanto no esta afec-
tado por los valores pasados del proceso.
nótese que los procesos de poisson y wiener
verifican la propiedades de markov.
Markov
Al igual que el tiempo discreto, lo
que impacta en su proceso de
markov es determinar su compor-
tamiento futuro no es su pasado
sino su posición actual. este pro-
ceso es homogéneo ( con respec-
to al tiempo) si su probabilidad de
transición es independiente del
tiempo estacionario.
Cadena de marcokv en tiempo continuo
un concepto de debe ser definido es el de realiza-
ción: una realización de una experiencia aleatoria
es el resultado de una repetición de una experien-
cia. Así, es la experiencia aleatoria “lanzar una vez
el dado” una realización seria el cinco que nos ha
salido en ese único lanzamiento. En este caso la
realización se reduce a un único número (X), si re-
petimos la experiencia, obtendremos otra realizan
distinta. En una experiencia bidimensional, por
ejemplo la identificación de unos individuos a
través de su peso y estatura, una realización seria
el resultado obtenido al tomar un individuo al
azar y medir en él ambos parámetros.
Procesos Gaussianos
Un P.A.X (t) es un proceso
gaussianos, cada función
de x (t) es una variable
gaussiana. Podemos decir
que X(t) tiene una distri-
bución gaussiana si su
función de distribución
tiene la forma:
Si la variable X(t), está norma-
lizada, cumple con las si-
guientes propiedades:
Si X(t) es un proceso gaus-
siano aplicado a la entra-
da de un sistema LIT, la
salida también es un pro-
ceso aleatorio gaussiano
Y(t).
Si un P.A. X(t), es gaussia-
no, entonces las funcio-
nes muestras generadas
por X(t) son conjuntamen-
te, para cualquier n, sien-
do n el orden de P.A,
Si el proceso gaussiano es
estacionario, entonces el
proceso es estrictamente
estacionario.
Si las variables X(t1); X(t2)
…….. X(tn), son obtenias
del proceso gaussiano, X(t),
en los tiempos t1; t2….. tn
y son no correlacionadas
entonces las variables son
estadísticamente indepen-
dientes.
21-11-2015
Espacio continuo
De estados
Supongamos que el proce-
so que estudiamos tiene
por estado inicial x0 e E, en
el cual permanece durante
un tiempo T1, instante al
cual al procesa brinca a
algún estado x1 e E %(x0).
Supongamos que quere-
mos describir el proceso
de números de rebotes de
una pelota en el piso. Su-
pongamos que el proceso
describe el numero de re-
botes de la pelota y por ra-
zones físicas se puede su-
poner que el tiempo en se-
gundos entre el n y el n+1
saltos es 2-n. Entonces, xn
= n y Tn = 1 + 2-1 + 2-2 +
…. + 2-n = 2-1.
Ejemplo
AGRADECIMIENTO
Gracias al grupo de colaboradores, quienes prestaron apo-
yo a los editores en la realización de estas revista con sus
aportes. Así como también a nuestra profesora, la ingeniera
Karelis Molina.