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Vol. I I No. 4
PRODUCTO INTERNO, CONEXION Y CURVATURA EN LOS HACES
TENSORIALES SOBRE VARIEDADES RI EMANN I ANAS
Por: Edith Garcia Berna1
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA-IZTAPALAPA
Av. Michoacán y Purísima, Col. Vicentina, Iztapalapa
MEXICO, D.F., C. P. 09340
APDO. POSTAL 55-534.
Noviembre, 1988
Deseo agradecer al Dr. Felipe Peredo R. la ayuda prestada para la
realizaci6n de este trabajo. Asimismo, agradezco a la Srita Martha
Patricia Sánchez y a la Srita Beatriz Arce la mecanografía del
mismo.
E. G. B.
r
I N T R O D UCC 1 ON
Consideremos una variedad riemanniana M de clase
C m . El objeto de este trabajo es definir, a partir de la
métrica y la conexión en M, una métrica y una conexión en
el haz de tensores de tipo (r,s) sobre M. Tambén, si m E M,
definimos un tensor de curvatura para el espacio de tensores
de tipo (r,s) en m a partir del tensor de curvatura de M . Asimismo, se prueban algunas propiedades de estos conceptos.
l. PRODUCTO INTERNO.
Definicidn. Consideremos una variedad M y m E M. El espacio
& tensores de tipo (r.s.1 en m es el espacio (TmMl: definido por
(T,MJ; = (T,M) . . . (T,M) Q (T~MP a . . . QD (T,MT - - r veces S veces
Si $ = (x1,. . . ,x 1 es una carta local de M en m, todos los n
tensores de la forma
a a x (m) X . . . X a (m) X dx' (m) X . . . X dx' (m)
i a xi 1 r
forman una base de (T MIs . r m
Si t E (TmM): , la expresi6n de t en tCrminos de esta base
es
donde
A estos números se les llama las cotmonentes del tensor t respecto
3 coor denadas (x1 , . . . , x 1. Notemos que la dimensih de n
(T,MI; es nr+s.
Las estructuras de variedad en M y en cada (TmMls , meM,
inducen de manera natural una estructura de variedad en (TM); de
la siguiente manera: Sea (U,#)) # = (x1,. . .,x 1 , una carta
en M. Entonces (U,$) induce una carta (V,l(r) en (TM); con
r
n
mEU (i. e. , si teV) entonces
yi(t) = xi(m) , i=l, . . . , n S Y
y (t) , . . . , y ( t 1 son las componentes de t respec to n+ i n+n’
a las coordenadas (x x 1. 1 ’ * * . ’ n
Definicion. Sea M una variedad. Un C ~ D O tensorial T de tipo 1
Ir,=.) sobre M es una funci6n
T:M ( T M ) ~
tal que
T(m) E (TmM)z m E M .
Si (U,$), $ = (x, , . . . ) x 1 es una carta en M y m E U, n
entonces
i . . . i donde las T, 1 son funciones realvaluadas sobre U. Si
J,. - J,
i . . . i J,. - - js
las funciones T ~
1 r son Cm respecto a toda carta de M,
decimos que T es un camDo tensorial C sobre M. 00
De aquí e n adelante, M representará una variedad riemanniana , Y
a l o s puntos de M l o s denotaremos con l a l e t r a m.
Enseguida veremos Cómo l a m é t r i c a de M puede extender- se a campos tensor ia les de t i p o ( r , s ) sobre M.
Sea $ = ( x , , ... x,) una c a r t a e n M . Definimos
( S , T ) I S y T son campos tensor ia les de t i p o ( r , s ) e n M
realvaluadas en e l dominio de 4
de tal manera que, S i S y T son dos campos t e n s a r i a l e s en M de t i p o ( r , s ) con expresiones locales en términos de $I
Y
11 ... IL‘ a T = C T - @ ... 8 - a Q dxJ1 8 . . . dxJS
J 1 . . . Js 8x13 8x1,
entonces
donde
Y
I J ~ ~ , & s clue la función < T ,S> no depende de la carta @
Consideremos otra carta Y = ( y l , ...,yn) de M tal que su dominio
se intersecte con el de 4 . Sean"
4) -
Y
las expresiones locales de T y S en términos de $, Entonces
kl.. .kr K1 .Kr 5 B e , . . . & 11 ... 1s '
donde
Por la regla de transformación de componentes, se tienen
Gk,j KJ Y
Entonces
ax j ay, ayKr a x . ... - - 3 1 ax j ayes axil axIr a n 1 aYL,
S - 1 ... - - S ... - 9 h 1 t 1
gP191 ... g P s 4 s i ~ . . .ir 1 1 . . .Ir
j 1 - - . js J l . . .Js 9 h r tr . . . S T
donde l a suma se efectfia sobre t odos l o s Indices. Agrupando
té rminos y a p l i c a n d o l a regla de l a czdena
As€ p u e s , l a f u n c i 6 n < no depende d e . l a c a r t a > P $ e l e g i d a . Podemos e n t o n c e s d e n o t a r a e s t a f u n c i ó n simple-
mente por < , > .
Probaremos a h o r a q u e <,> es un p r o d u c t o i n t e r n o :
La simetría de <,> es c o n s e c u e n c i a i n m e d i a t a de l a de-
f i n i c i ó n de < ,> y de q u e e l p r o d u c t o i n t e r n o de M es simétrico. También es e v i d e n t e a p a r t i r de l a d e f i n i c i ó n q u e <,> es p o s i t i -
vo d e f i n i d o . Para probar l a b i l i n e a l i d a d de <,> basta demostrar que
<,> es l i n e a l e n l a primera v a r i a b l e . L a l i n e a l i d a d e n l a segun- da var iab le se s i g u e de l a simetría de <,> . S e a n a€ R, y S , T , V
campos t e n s o r i a l e s de t i p o ( r , s ) c o n
k l . . . k r a a @ dxL1 @ ... @ dx e y u = C u - ... Q -
e,. . .es axk , a X k r
E n t o n c e s
i l . . . i r i l . . . i S+T = 1 ( S +T r)a @ ... 64 a (3 d x j ' ... & dxJS
j l . . - j s j l . . . j S 3x1 a x i r
Y
Por l o t a n t o , < , > es u n l s r o d - u c t o i n t e r n o d e f i n i d o e n e l espacio-
de campos t e n s o r i a l e s de c u a l q u i e r t i p o s o b r e M.
q . e . d .
de ,:> basta probar el teorema para los'cam~os tensoriales básicos
inducidos por C . Asi, sean
QD ... . . .
Entonces
= < S , T > < U , V >
q.e.d.
2. CONEXION RTEMANFIiIANA.
En e s t a s e c c i ó n , extenderemos l a conexión riemanniana
en TM, a una conexi6n en e 1 haz de tensores de cualquier t ipo
sobre M que preserva e l producto interno definido e n l a s e c c i ó n anter ior .
para def inir la conexión en un haz de tensores arbi tra- r ior será necesar io antes de f in i r l a der ivada covar iante de una 1-forma en M:
Sean $= ( x , . . . xn) una c a r t a en M , n
un campo v e c t o r i a l en M , y i
w = z w p
una 1-forma sobre M .
Definimos localmente l a derivada covariante de w con
respecto a X como
Enseguida probaremos que esta expresión no depende de l a c a r t a a :
Sea $ = ( y l , . . . , y n ) o t r a c a r t a en M cuyo dominio i n t e r s e c t e a l do- minio de @ I y sean
k a x= Cf - aYk Y w”z:
Entonces en l a intersección de l o s dominios tendremos
Agrupando términos,
por l a r e g l a d e l a c a d e n a , y cambiando l o s í n d i c e s I ' i ? " por
I l i " , y , I l t 11 por " V I ' e n e l p r imer sumando,
Asf, l a d e f i n i c i d n d e D w d a d a p o r l a e x p r e s i ó n ( 2 . 1 ) X no depende de l a car ta $.
Haciendo uso de l a de r ivada cova r i an te de 1 - fo rmas ,
def inimos ahora l a conexión e n un haz & -ores a r b i t r a r i o s
s o b r e M de l a s iguien te manera :
Sean @ = ( x 1 , . . .x 1 una car ta en M, n
un campo v e c t o r i a l en M , y
un campo t e n s o r i a l de t i p o ( r , s ) s o b r e M. D e f i n i m o s loca lmente D ~ T como
i l . . . i Q 1 D - @ ... - 1 1 . ..J, axi X ax i ax i dxJ’ ... d x j s + + T . r a a a
1 2 r
i l . . . i
1 1 . . . j s ax E) DX dxJS +...+ T r a 8 ..‘. @ - a 0 d x j ’ Qp ... dx j S-1 1 i r ... ..... . (2.2)
Obsérvese que D T coincide con la derivada CO-
variante usual e n M cua ndo T es un campo t e n s o r i a l de t i p o ( O , O ) X
6 ( 1 , O )
Para probar que es ta de f in ic idn no depende de las car -
tas elegidas, necesitamos los siguientes lemas:
3,ema 2 . 3 Sean X un campo vector ia l sobre M y T, S K f UK ( K = l , . . E) campos tensoriales sobre M t a l e s que
s i e s una c a r t a en M y (DXT) est5 def inida por la ecuaci6n (2,2),
entonces
Demostración
Hagamos $ = ( X I , . . . ,x expresando SK Y U en términos n K de l a b a s e i d , se deriva E S P U usando l a d e f i n i c i 6 n (2,2).
= 1 -K=l K K
r e s , y agrupando términos, se l lega a l resul tado deseado. Haciendo uso de l a s propiedades de DX en funciones y vecto-
q.e.d.
Lema 2 . 4 . S e a n $ u n a carta e n M, S y T campos t e n s o r i a l e s sobre M,
y x un campo vec tor ia l en M. Si (DXT) e s t 6 , d e f i n i d o por l a ~ C U Z C ~ B I I
( 2 , 2 ) e n t o n c e s S i ( D X T ) $ est5 d e f i n i d o por l a e c u a c i d n (2,2) , e n t o n c e s
D e m o s t r a c i B n
Hagamos
i l . . .i
j 1.. . j s a x i l s = c s - a ... c9 - a 0 d x j ’ CD .. . d x j S r a
axi r
Y
D e r i v a n d o S + T m e d i a n t e l a d e f i n i c i ó n a n t e r i o r , se o b t i e n e u n a
suma de sumatorias sobre i , j , u n a s c o n t e n i e n d o S . y o t ras
c o n t e n i e n d o T . . Agrupando los t e r m i n o s q u e c o n t i e n e n l a s
S
d e s e a d o .
il.. .ir
i l . . . i 1 1 . . . j s
i l . . .i 1 1 . . . I s i l . . .i r y l o s que c o n t i e n e n l a s T obtenemos e l r e s u l t a d o j l . . . j s j l . . . j s
q . e . d .
Probaremos a h o r a por i n d u c c i ó n sobre e l r a n g o q=r+s q u e l a d e f i n i c i d n ( 2 , 2 ) n o d e p e n d e de l a carta @:
s i q = O , l a d e f i n i c i 6 n ( 2 . 2 ) n o i n v o l u c r a a l a carta @. Para q=1, T es un campo v e c t o r i a l 6 T es una 1- forma. S i T
es un campo v e c t o r i a l , sabemos que ( 2 . 2 ) no depende de $. S i T es una 1-forma, ya se probó que DXT es i n d e p e n d i e n t e de @ =
Sea $ una car ta e n M t a l q u e s u d o m i n i o se i n t e r s e c t e c o n e l de 4 . Consideremos un campo tensorialT'de t i p o ( r , s ) . T pue- de expresarse como :
R T=C S @ Uk k k= 1
c o n SK , U t e n s o r e s de r a n g o m e n o r a l de T ( k = l , ... a ) . Por h ipóte -
s i s de i n d u c c i ó n , (DXSk) y ( D X U ) no dependen de l a carta elegida
para s u d e f i n i c i ó n . L u e g o , usando los lemas 2 . 3 y 2 . 4 ,
R R ( D T ) = (D ( C Sk P U 1) = C ( D , x 4 J x k = l $ k = l 'l k $ ( S k = u 1)
i ) D (aS+bT)=aDXS+bD T ( l i n e a l i d a d ''en TI')
ii) D x ( f S ) = ( X f ) S+fDXS ( R e g l a de L e i b n i z ) iii) S=aD S+bDyS ( l i n e a l i d a d " e n X " )
i v ) S i S es un Campo t e n s o r i a l C- sobre M, e l campo t e n s o r i a l
X X
DaX+bY X
D S d e f i n i d o por X
t a m b i e n es C" ( s u a v i d a d )
Demostración
i) Por el lema 2 . 4 ,
DX (as +bT)=Cx (a S ) + DX ibT)
Luego, por ser X lineal, se sigue de la definición de G el resultado deseado.
X
ii) Es consecuencia del lema 2.3
iii) Desarrollando D S en términos de las componentes de S, el resultado se sigue inmediatamente aplicando primero el inciso i), y después la multilinealidad del producto tensorial.
aX+bY
iV) Sea 4 = (XI .... xn) una carta en M. Hagamos
.ir a ”_
J 1 . . . js axil H . . a I dxJ’ I. ..dxjs a Xir
Observando DXS quedan Christoffel
la definición ( 2 , 2 ) , es fácil ver que las componentes de en términos de: X S - 1 s. , símbolos de i1...iT il.. .ir
jl ... p i J (debido a términos JS que involucran ]1--.jS DX= a y DX dxj)
~ s t e teorema hace que D sea una conexión en (TM) r . S
Teorema 2 . 6 . Sean S y T campos tensoriales del mismo tipo sobre M,
y X un campo vectorial C?’ sobre M. Entonces
Demostración.
Denotemos
Ahora bien:
il.. .i I1.. .I
]1...jS S 3x1 2 axi + 1 s . r r a a a TJ1.. .J (DX a x i l ) m- 69 . * . @ - a- a @ dxj @ dxJ
r 3x1 il ... i Il...~r a r @ a ... . . . js TJ1.. .Js a x i l (DX ax ir )QF a C9 dxj C9 dxJ
il ... i 1 1 ... Ir a
J 1 - - - j s S r + 1 s. T ~ l . . . ~ axIl a - a a (DX z i y
r ... a ) CQ dxj €3 dxJ
il ... i 11 ... Ir a + 1 s. T ~ l . . . ~ ax, 11...j, S
r a- a CD (DX dxj’) ... @ dxJS @ dxJ + ...
il ... i I1 . . . Ir a ]1...js T ~ l . . . ~ S ax, + s . r a- a dxJ1 ... % (DX dxjs) Ix) dx J
il ... i 11 ... Ir a + c Sjl a- a @ dxj 49 (DX dxJ1) €9 ... @ dxJs + ... r
T ~ l . . . ~ axI ... js S
il ... i 1 1 ... Ir a + 1 s . r 0- a (ID dxJ CQ dxJ1 C3 ... (B (DX dx J
I I . . . ~ , T ~ l . . . ~ S axI
il.. .i il.. .I r - r a - 1 s - j l . . . j s ) TJl...J S a - axI a @ dxJ C3 dxJ ....... (1)
il.. .i I,.. .I + c sj, ... js ( D ~ T ~ l . . .J axi ax, (2)
r r, - B- a C4 dxj O dx ....... a J S
il.. .i r a + 1 Sj1 . . . j s ( D X ) Q1 ... a- ’ fB dxJ
aXi, +.... 1
il.. .i + r a f3 ... ( D X 1 (ID dxJ ] CQ T ..... ( 3 ) 1 Sjl ...js r a
11.. .I
+ * TJ1...J r a
(DX axI, 1 a) ... @ - a Qp dxJ + ... S aXIr
I1 ... Ir a + TJ1...J Kl * ” * C3 ( D X Kr a 1 0 dxJ] .....( 4 )
S
il.. .i 1 1 ...js axi X + [ s . r a -@(D dxj’) CS, ... C4 dxJs + ...
il.. .i r a +I Sjl...js dxJ’ C9 ... C3 (DX dxJs) ] C9 T . . . . . ( 5 )
I1 ... Ir a
I1 ... Ir a
8 (DX dxJ1) e3 ... 8 dx S + ... J + @ TJ,...Js ax,
+I T ~ ~ . . . ~ ~ €9 dxJ1 ... €4 ( D X dxJS) 1 . . . . . ( 6 )
= (DX S) O T + S 8 (DX T).
q.e.d.
Lema 2 . 7 . Sea @ = (xl, ..., xn) una carta en M . Entonces
Demostraci6n
Sabemos que
E .ntonces
De esta ecuación se s i g u e q u e
q . e . d .
Teorema 2 . 8 . - Sean S y T dos campos te f i sor ia les t ipo ( r I S )
sobre M, y X un campo v e c t o r i a l en M. Entonces
(19)
Demostración
La demostración se hará por inducción sobre q=r+s. Sea @ = (xl,...,xn) una carta en M. Por la linealidad de D I basta probar el teorema en el caso en que X es alguno de los campos vec- toriales básicos axl . . Hagamos x =
a a a . I " . ,
a ax k
si g=o, S y T son funcionesCOO realvaluadas sobre M, y <SIT>= ST. Entonces,
Si q = 1 , S y T son campos vectoriaies, 6 , S y T son
l-formas. si S y T son campos vectoriales, hagamos
i a Y T = C T j a . axj
Entonces
Por otro lado,
.rl x al x
O E O u
'"m 1 2
I 1
A (I] . E X a
V
I 1
E A
a X . m V
a, =1 F CI) O E aJ
A
B m V
a' .n . E m * r l
V
+ u? +
w . '7
* r l
I I
S i S y T son 1-formas, hagamos
S = 1 s i dx i Y T = 1 ~j dx j
entonces
Por o t r o l a d o ,
Andlogamente,
. . . . . . (1')
Análogamente,
. . . . . . (2')
. . . . . . ( 3 ' )
luego,por el lema 2 . 4 y dado que gs te no depende de l a c a r t a
y como
A s i pues ,
quedando probada l a p r o p o s i c i ó n p a r a e l c a s o e n que = 1 .
Supongamos c ier ta l a propos ic ión para t ensores de rango n .
Sean S y T campos tensor ia les de l mismo tipo,de ranqo -
n+l>l , con
donde S i J i I Y v j son campos t e n s o r i a l e s de rango menor
a l de S y T. Entonces, aplicando l a proposici6n 1 , j
- - c D L ( < si I T.><U ] , T 7 . > )
i, j axk 7
Aplicando l a h i p ó t e s i s de inducción y e l lema 2 . 3 , obtenemos:
q.e.d.
(26)-
3 . TENSOR DE L A CURVATURA.
Def in i c ibn . E l t e n s o r de c u r v a t u r a " de una conexión 2 en -va r i edad&, es un t enso r que toma como va lo res t r ans fo rmac iones l i n e a l e s ta les que a cada m € M y a cada pa r de vec tores x ,yeTmM les asocia una t r ans fo rmac ión l i nea l R : TmM
XY >T M t a l Pue m
R Z= (D D Z - Dy DXZ -D Z XY X Y I;: , Y ] (m)
donde X y Y son campos vec tor ia les ex tendidos de x y y r e s p e c t i v a -
mente, y Z es un campo t e n s o r i a l e x t e n d i d o de z. E s t e t e n s o r de curva tura puede ser ex tendido na tura lmente a t e n s o
res e n ( T M I r de l a fo rma s igu ien te : -
m s
Sean m E M y x , y E TmM. Definimos e l t enso r de cu r -
v a t u r a R con respec to a l a conexión D de l a s e c c i d n a n t e r i o r co-
m 0 l a t r a n s f o r m a c i 6 n XY
R s = D D Z - D D - D ' S XY x Y y x @,Y 3 (m) . . . . . . . - . . . . . (3.1)
donde X y Y s o n campos v e c t o r i a l e s e x t e n d i d o s d e x y y r e s p e c t i v a -
mente, y S un campo t e n s o r i a l e x t e n d i d o de s .
Demostraremos, po r i nducc i6n sob re e l rango de S , q u e e s t a d e f i n i -
ción no depende de l a e l e c c i ó n de l o s campos ex tend idos X , Y , S.
Sean q= rangos S,@= (X1 , . . . , xn ) una ca r t a e n M, Y
S i q = O , en tonces S es una función C' r e a l v a l u a d a sobre M Luego
Por lo tanto, en este caso, R,~S no depende de las extensiones de
XfYfS.
s i q = 1, entonces S es un campo vectorial 6 S es una
1-forma. s i S es campo vectorial, sea S = 1 sk 2 Entonces
a x k
Aplicando la linealidad.de D y la bilinealidad del corchete. obte-
nemos
a o1 E \" tll
tll
4 O
r- l
CDm Ix" a a,
n
E v tll
O c .rl
h I ;cn CDm a
E v
LJ X a n
P E x V
CQ +
n
E v
c a,
I in CDm a
a, tll
a a h
E W
h
E
P
Y x m + CDm (c x
m + - í $ a
h
E v a , c
a a a
u m .rl
+ n
E v
m m F c a,
3 a, 7 c O c, tll a,
2 h
n
E W .rl
h
5. E v
N U U Y
n
E v
n
E w
a
E n
Y
cl 1 xn coco a
h
3 E h
w
n
E w
a
h
E w
a
n
E W
." h
-x h
E Y
4 a, :A-
a, w I x"
m m M a w O a O
C I ;en a h
E v
*+-A
n
E
w .n V
n
E V
Y
n
E w n
E 'n w
Wq,
I
h a, m E
Y E Y
'I" > * r l x I I
. O a I rl
cambiando e l i n d i c e X por X en l a Ciltima suma II 11 I1 II
En e s t a ú l t i m a e x p r e s i ó n p a r a R S só lo acmrecen las cornFonentes XY
d e x, v , s . Esto Drueba que,si S es un v e c t o r , la d e f i n i c i ó n ( 3 . 1 )
no deDende de las ex tens iones X, Y , S . .
S i S es una 1-forma, sea S = 1 % dx . m t o n c e s k
Desarrol lando cada término por separado, usando las propieda - des de de r ivac ión cova r i an te y l a f ó r m u l a
D a dx = - 1 k -(m) ax,
tendremos:
Restando los Cll t imos dos desarrol los a l primero, nos queda
l o cual demuestra que R S no depende de l a s ex tens iones de X Y
X I 5 , pues t odo e s t á evaluada@.Dm , 6 depende exclu -
sivamente de l a s b a s e s u s u a l e s p a r a %M y (T,+)*,
Observemos que desarrollando las derivadas e n l a Gltima f6rmula,
se obtiene la transformaci6n de curvatura aplicada a 1-formas:
donde w e s una 1-forma sobre M.
Supongamos que R S depende finicamente de m , s i S t i e n e XY
rango q .
S i S t i e n e rango q + l > l , y S = 1 S i (B Ti donde Si y i
Ti son campos t e n s o r i a l e s de rango menor a l de S , bastará demos -
R e s l i n e a l ( p o r ser D l i n e a l ) . E s decir , bastará probar
que s i S y T son campos t e n s o r i a l e s de rango - < q , XY X
Rxy ( S (m)@T ( m ) )Únicamente dependen de m . Entonces
Ahora bien, por e l Lema2'.J,tenemos que
DxDy(S @ T) = DX( (I3 S) @ T) + Dx(S B D T) Y Y
= DxDy S €9 T (m) + D S DxT + DxS @ D T + S (m) €9 DxDyT Y Y
D e forma análoga,
D D (SaT) = (D D S) OTTm) + DxS@D T + D S@DxT + S(m) C3D D T Y X Y X Y Y Y X
Por otro lado,
Asi pues,
R (S(m) @ T(m)) = DXD$ @ T(m) + D S @DxT + DxS Q D T XY Y Y
+ S(m) C9DxDyT - D D SBT(m) - DxS ODD T - D SBDxT Y X Y Y
PrOpOSiCiÓn 3.2. Sean m&M y x,y c Try. La transformación de curva-
tura R dada Dor la definición(3.1) es una transformación lineal
simétrica con respecto al producto interno para tensores. X Y
Demostración . es lineal por ser Dy y D {x,yj lineales.
RY X
Para probar la antisimetría
I
Rxy, S a n S I y s2 tensores del mismo tipo, x. Y Y campos vectoriales extendidos de x y y respectivamen
te, y S1 y S2 Campos tensoriales extendidos de s1 y sP
-
respectivamente.
tenemos:
Zplicando la definici6n de R XY
q.e.d.
B I B L I O G R A F I A
Bishop S.& Crittenden, R. ; Geometry of Manifolds, Academic Press,
1971.
Bishop, R.L. & Goldberg, S. ; Tensor Analysis on Manifolds; Dover,
New York, 1968.
Garcia Bernal, E. ; Conexiones Inducidas por una inmersi6n en los
Haces Tangente y Normal; U. A. M. -1ztapalapa. Vol. I, No. 28, 1980.
Lima, E.L. ; CBlculo Tensorial; IMPA, Río de Janeiro 58, G.B.,
Bras i l. 1965.