Post on 04-Jul-2015
Profesora: L.E.S. Gemma Hernández Escobar
Escuela Secundaria General «Justo sierra Méndez»
Matemáticas
3° grado
«Álgebra»
«Productos
Notables»
Productos Notables
Son Ciertos productos que se efectúan
directamente, basándose en reglas notables
que al memorizarse su aplicación, nos
permiten llegar al resultado sin necesidad de
realizar la multiplicación.
Pro
du
cto
s
No
tab
les
:
Productos Notables
Productos
Notables
El Producto de la Suma y la Diferencia de
dos Números
El Cuadrado de un
Binomio
El Cuadrado de un
Polinomio
El Producto de dos
Binomios con Términos
Semejantes
El Cubo de un Binomio
a) Con Término
Común
b) Con Término
Semejante
Si tenemos la suma de dos términos multiplicados por su
diferencia, resulta:
Productos Notables
El Producto de la Suma y Diferencia de dos Números:
( m + n ) ( m – n )
=
m - m n + m n - n 2 2
= m 2 -
n
2
Regla:
«El producto de la suma y la diferencia de dos términos es igual al
cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo
término»Esta operación, también se denomina: «Producto de Binomios
Conjugados», porque dos términos de éstos son iguales y los otros
son simétricos.
( 2x + y ) ( 2x - y )
=
4x 2 - y
2
Términos Iguales
Términos
Semejantes
Elevar el cuadrado el binomio (m + n) ó (m – n), equivale a
multiplicarlo por sí mismo, resultando:
Productos Notables
El Cuadrado de un Binomio:
( m + n ) = m + 2mn +
n
2 2=
2
Regla:
«Al desarrollar el cuadrado de un binomio, se obtiene como
resultado un *Trinomio*», cuyos términos se determinan de
acuerdo a los siguientes pasos:
1. El cuadrado del primer término del binomio.
2. El doble producto del primer término por el segundo término.
3. El cuadrado del segundo término del binomio.
( m + n ) ( m + n
)( m - n ) = m - 2mn +
n
2 2=
2
( m - n ) ( m - n )
a)
b)
Ejemplos:
Productos Notables
El Cuadrado de un Binomio:
( 2a + 3b ) = 4a + 12ab + 9b 2 2
2
a)
Doble
( xy + 2z )
=
x
y
+ 4xyz + 4z 2 2
2
b)
Doble
2
( 4 + 3x ) = 16 + 24x + 9x 2
2
c)
Doble
(5ax + by )
=
25a x + 10abxy + b y 2 2
2
d)
Doble
2 2
A estos resultados se les
denomina «Trinomio
Cuadrado Perfecto»
Elevar el cuadrado de un polinomio, equivale a multiplicarlo por sí
mismo, resultando:
Productos Notables
El Cuadrado de un Polinomio:
( k + l + m )
=
K + 2kl2
=2
( k + l + m ) ( k + l + m
)a)
=
K2 2 2
2 2
+ kl + km+ kl + l + lm + km + lm + m
+ l + m + 2km + 2lm
( p - q + r - s )
=
p - 2pq2
=
2( p - q + r - s ) ( p - q + r -
s)a)
=
p2 2 2
2 2
- pq + pr - pq +
q
- qr + pr - qr + r
+ q + r + 2pr - 2ps
-
ps
+ qs - rs2
- ps + qs - rs + s
2+ s - 2qr + 2qs - 2rs
Productos Notables
El Cuadrado de un Polinomio:
Regla:
«Elevar al cuadrado un polinomio, tiene como resultado, la suma de
los cuadrados de cada término del polinomio, más el doble
producto de todos los términos tomados de dos en dos»
Ejemplos:
( a + 2b – 3c ) = 2a + 4ab2 2 2+ 4b + 9c - 6ac - 12bc
2
( 2x + 3y – 5z ) =4x - 12xy2 2 2+ 9y + 25z - 20xz +
30yz
2
( u – v + w + 1 ) =2
u - 2uv2 2 2+ v + w + 2uw + 2u+ 1 - 2vw - 2v + 2w
a) Producto de Binomios con Término Común:
Productos Notables
El Producto de dos Binomios con Términos
Semejantes:
Tienen la siguiente forma (a + x) (a + y) ó (2 + m) (5 + m), cuyo
producto es:
(a + x) (a + y) =a + ax+ ay + xy2
= a + (x + y) a + xy
(2 + m) (5 + m) =10+ 2m + 5m + m = m + 7m + 102
2
2
Término Común
Término No Común
Productos Notables
Regla:
«Al desarrollar el producto de dos binomios con término común, es
igual al cuadrado del término común, más el producto de la
suma algebraica de los términos no comunes por el término
común, más el producto de los términos no comunes»
Ejemplos:
a) Producto de Binomios con Término Común:
(x + 6) (x - 3) = x + 3x - 18 2
(a - 2) (a - 5) = a - 7a - 10 2
(3ax + 1) (3ax + 4) =9a x + 15ax + 4 22
(4 - x y) (6 – x y) = + x y- 10x y24 222 2 2
b) Producto de Binomios con Término Semejante:
Productos Notables
Tienen la siguiente forma (ax + by) (mx + ny) ó (2 + m) (5 +
m), cuyo producto es:
(ax + by) (mx + ny) =amx + anxy+ bmxy+ bny2
= amx + (an + bm) xy2
2
+ bny2
Productos Notables
Regla:
«Al desarrollar el producto de dos binomios con términos
semejantes, se obtiene como resultado un *Trinomio*, cuyos
términos se determinan de acuerdo a los siguientes pasos:»
1. Se multiplican los primeros términos de los binomios dados.
2. Se multiplican los términos extremos y los términos interiores
de los binomios dados: por reducción de términos semejantes,
obtenemos el resultado.
3. Se multiplican los segundos términos de los binomios dados.
b) Producto de Binomios con Término Semejante:
(3x - 4y) (2x - y) = 6x - 11 xy2
+ 4y2
Ejemplo: -8xy
-3xy
Productos Notables
b) Producto de Binomios con Término Semejante:
(2a + 5b) (a – 3b) = 2a - ab2
- 15b2
Ejemplos:
5ab
-6ab
(7m – 2n) (3m + 4n) = 21m + 22mn2
+ 8n2
- 6mn
28mn
(3 + 4xy) (2 + 3xy) =6 + 17 xy+ 12x y2
8xy
9xy
2
A estos resultados se
les denomina
«Trinomio» que no
son cuadrados
perfectos
Elevar al cubo el binomio (m + n) ó (m – n), equivale a multiplicarlo
por sí mismo tres veces, resultando:
Productos Notables
El Cubo de un Binomio:
( m + n ) =
m + 2mn3
=3
( m + n
)a)
=2 2
+ m n + 2m n + mn + n
m + 2mn + n2 2
( )( m + n
)
( m + n
)
( m + n
)
2 2 3
m= + 3m n+ 3mn + n3 32 2
Productos Notables
El Cubo de un Binomio:
( m - n ) =
m + 2mn3
=
3
( m - n )
a)
=2 2
- m n - 2m n + mn - n
m - 2mn + n2 2
( )( m - n ) ( m - n ) ( m - n )
2 2 3
m= - 3m n+ 3mn - n3 32 2
( m - n ) ( m - n )2
=
Productos Notables
Regla:
«Al desarrollar el cubo de un binomio, se obtiene como resultado un
«Polinomio de cuatro términos», cuyos términos se determinan
de acuerdo a los siguientes pasos:
1. El cubo del primer término del binomio.
2. El triple producto del cuadrado del primer término por e
segundo término.
3. El triple producto del primer término por el cuadrado del
segundo término.
4. El cubo del segundo término del binomio.
El Cubo de un Binomio:
( a - 1 ) =3
a - 3a + 3a - 13 2
Ejemplo:
Productos Notables
El Cubo de un Binomio:
( x - 5y )
=
3x - 15x y+ 75x
y- 125y
6 4
Ejemplo:
( 2a + 3 )
=
8a + 36a + 54a + 273 23
22 2 3
( -m - n )
=
3- m - 3m n - 3m n -
n
6 422 2 62
2
( a + b )
=
3a + 3a b + 3a b + b
9 633 6 93
3
a)
b)
c)
d)
Productos Notables
Ejercicio:
Contesta correctamente las siguientes preguntas:
1. ¿Qué es un binomio?
2. ¿A qué se le conoce como binomio conjugado?
3. ¿Qué es un trinomio cuadrado perfecto?
4. Escribe la regla para el producto de la suma y la diferencia de
dos términos.
5. Escribe la regla para el cuadrado de un binomio.
6. Escribe la regla para el cuadrado de un polinomio.
7. Escribe la regla para el producto de binomios con término
común.
8. Escribe la regla para el producto de binomios con términos
semejantes.
9. Escribe las reglas para el cubo de un binomio.
10. ¿Elevar al cubo un binomio, equivalente a?
Productos Notables
Tarea:
Contesta correctamente los siguientes ejercicios y escribe el
nombre del producto notable:
( 7x + 5yz )
=
2
( 3x + 2y ) ( 3x – 2y )
=
( 3m + 2q + z ) =
(a - x ) (7a + 2x ) =22
(11 + pq) (3 + pq) =
( 2mn - 4 ) =3
2
2 2
a)
b)
c)
d)
e)
f)