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ANÁLISIS DE ESFUERZOS EN TANQUES CILÍNDRICOS
© 1,979, 1,991 OSCAR MUROY 1
PROGRAMA PARA MICROCOMPUTADORAS PARA EL ANÁLISIS DE
ESFUERZOS EN TANQUES CILÍNDRICOS
1. RESUMEN
Se ha desarrollado un programa para microcomputadoras para calcular el estado de
esfuerzos y desplazamientos en un tanque cilíndrico vertical de acero, constituido por
varios anillos de diferentes espesores, soldados entre sí y que soporta la presión
hidrostática impuesta por el líquido almacenado en el tanque.
El análisis se basa en las hipótesis planteadas para placas delgadas sometidas a flexión y
tensión de la Teoría de la Elasticidad (Ref N°1).
El programa admite como datos, diferentes condiciones de borde debido a las
restricciones impuestas por el fondo y el techo del tanque,
Los resultados son los desplazamientos radial y angular, los momentos flectores y las
fuerzas axiales y cortantes en un número dado de secciones de cada anillo del tanque.
Los esfuerzos resultantes permiten afinar los cálculos hechos con las fórmulas de diseño
API (Ref. N°2) y pueden sustentar algunas reducciones en el espesor de las planchas,
particularmente del primer anillo.
Asimismo los esfuerzos encontrados permiten determinar los factores de seguridad
reales con que trabajan las planchas de acero.
2. NOTACION
b, altura de cada anillo del tanque.
c1, c2, c3, c4, C1, C2, C3, C4, constantes de integración de la ecuación básica del cilindro.
D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9, D10, coeficientes de las condiciones de borde.
e, base de los logaritmos naturales.
e0, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, parámetros del tanque en función de e, coseno y seno.
E, Módulo de Elasticidad del acero.
f, g, parámetros del tanque.
{ ( )}⁄ , rigidez a la flexión del cilindro.
k, l, m, parámetros del tanque función de β y de t
M0, Mx, momentos flectores por unidad de longitud del cilindro.
N0, fuerza axial circunferencial por unidad de longitud del cilindro.
n, número de anillos del tanque.
Qx, fuerza cortante por unidad de longitud del cilindro.
r, radio del cilindro.
t, espesor del cilindro.
w, desplazamiento radial del cilindro.
x, distancia variable desde el fondo del tanque a la sección considerada.
√ ( )
, peso por unidad de volumen.
esfuerzo axial.
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coeficiente de Poisson.
FIGURA 1
3. ECUACIONES BASICAS
La ecuación básica para el análisis estructural de cilindros verticales sometidos a presión
hidrostática es (Ref. Nº1):
( ) ⁄⁄
La solución de esta ecuación es:
( ) ( )⁄
Esta ecuación es válida en cada anillo del tanque, midiéndose x y h del borde inferior del
anillo en consideración.
A fin de evitar valores muy altos en el factor , cuando x toma los valores para la parte
superior del anillo, se propone un conjunto más balanceado de coeficientes c como sigue:
( ) ( )
( ) ( )⁄
De este modo, no es necesario cancelar los términos en C1 y C2, para representar las
condiciones en la parte superior de un cilindro muy alto y el algoritmo puede,
normalmente, ejecutarse sin que se excedan los valores de desborde de números ó se
deteriore la precisión de los resultados obtenidos.
Derivando, obtenemos las ecuaciones para la rotación, momento flector y fuerza cortante:
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⁄ ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ⁄
( ) ⁄ ( ) ( )
( )⁄
( ) ⁄ ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )⁄
4. CONDICIONES EN LAS JUNTAS SOLDADAS
Examinemos las condiciones que deben cumplirse en la junta soldada (Fig. N°1).
Introduciendo las anotaciones:
e0 = e5 =
e1 = e6 =
e2 = e7 = ( )
e3 = + e8 = ( )
e4 = -
En el borde superior del anillo (i), obtenemos las siguientes expresiones:
( ) ( ) ( )⁄
( ) ⁄ ( )⁄
( ) ( )⁄
( ) ( )⁄
y en el borde inferior del anillo (i+1):
( ) ( ⁄ )
( ) ⁄
( )⁄
( ) (
)⁄
( ) (
)⁄
En las juntas soldadas se deben cumplir las siguientes condiciones: ( ) ( ) para igual desplazamiento
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( ) ( ) para igual rotación
( )
( ) para igual momento flector
( )
( ) para igual fuerza constante
Reemplazando los valores de w y sus derivadas y escribiendo en forma matricial, tenemos:
0 -1 0
0 0 x = 0
- - 0
(La ecuación de momento se ha colocado en la segunda fila) donde:
⁄
( ⁄ ) ( ⁄ )
( ⁄ ) ( ⁄ )
( )(
)
(
)
5. CONDICIONES DE BORDE
a) En el fondo del tanque, tenemos:
( ) ( )⁄
( )
( )⁄⁄
( ) (
)⁄ ( ) ( )⁄
( ) (
)⁄ ( ) ( )⁄
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En los casos ordinarios, las condiciones de borde en el fondo del tanque, se puede
establecer una relación directa entre el desplazamiento radial y la fuerza cortante y
entre la rotación y el momento flector.
Así, tenemos:
( ) ( ) (
)⁄
( ) ⁄ ( ) (
)⁄
Reemplazando los valores correspondientes y escribiendo en forma matricial.
(D1+D2) -D2 D1 – D2 -D2 C1
D3 (D3–D4) -D3 D3 + D4 x C2 =
C3
C4
( )⁄
( )⁄
Dando valores apropiados a los coeficientes D1, D2, D3 y D4, podemos simular diferentes
condiciones de borde, incluyendo el caso de planchas de fondo soportados elásticamente.
Así tenemos:
Tabla Nº1
Condiciones en el
fondo del tanque
D1 D2 D3 D4
Libre 0 1 0 1
Articulado 1 0 0 1
Empotrado 1 0 1 0
Los coeficientes para fondos soportados elásticamente se deducen en el Apéndice A. b) El borde superior del tanque, generalmente, termina en un ángulo ó en una sección
compuesta, sobre éste descansa la estructura del techo, si es que existe. En el borde superior del último anillo, tenemos:
( ) ( )
( )⁄ ( ) ⁄
( )⁄
( ) (
)⁄
( ) (
)⁄
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Estableciendo la compatibilidad de desplazamientos y el equilibrio de fuerzas entre el borde superior del tanque y el ángulo ó la viga de rigidez (para un tanque sin techo ó con techo flotante), arribamos a las siguientes ecuaciones genéricas:
( )
( ) ( ) ⁄
( ) ⁄ ( ) (
) ⁄
Reemplazando valores y escribiendo en forma matricial tenemos:
x =
donde:
( )
( )⁄
( )⁄
En el Apéndice B se da la derivación de las constantes D, para el caso de un tanque rigidizado por un ángulo de borde
6. MATRIZ DE COEFICIENTES C
Las condiciones en las (n – 1) juntas intermedias, proporcionan 4(n – 1) ecuaciones. Las
dos ecuaciones para las condiciones de borde del fondo y las otras dos ecuaciones para el
borde superior completan las 4n ecuaciones para ensamblar la matriz con los valores de C
como incógnitas.
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Anillo (i) Anillo (i+1)
bo
r in
f
* * * * 0 0
C11
f0
* * * * 0 0 0
C21
go
1ª
jun
ta * * * * * * * *
C31
f1
* * * * * * * * 0
C41
0
* * * * * * * * 0 0
C12
g1
* * * * * * * * 0 0 0
C22
0
2a
jun
ta 0 0 0 * * * * * * * *
C32
f2
0 0 * * * * * * * * 0
C4i
0
0 * * * * * * * * 0 0
.
g2
* * * * * * * * 0 0 0
.
0
0 0 0 * * * * * * * *
.
.
0 0 * * * * * * * * 0
x . = .
0 * * * * * * * * 0 0
C1i
.
* * * * * * * * 0 0 0
C2i
.
Jun
ta i
0 0 0 * * * * * * * *
C3i
fi
0 0 * * * * * * * * 0
C4i
0
0 * * * * * * * * 0 0
.
gi
* * * * * * * * 0 0 0
.
0
0 0 0 * * * * * * * *
.
.
0 0 * * * * * * * *
.
.
0 * * * * * * * *
C1n
.
* * * * * * * *
C2n
.
bo
rsu
p
0 0 0 * * * *
C3n
fn
0 0 * * * *
C4n
gn
donde , denotan los valores no cero de la matriz. Observamos que estos elementos se agrupan alrededor de la diagonal principal con un ancho de banda de 11 elementos.
7. DESPLAZAMIENTOS Y ESFUERZOS
Resolviendo la matriz de coeficientes, obtenemos las constantes C para cada anillo. Los
desplazamientos y los esfuerzos en una sección, a la distancia del borde inferior del
anillo son:
( ) ( ) ( )
( ) ( )⁄
Rotación
( ) [ ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ] ( )⁄
Fuerza axial circunferencial
( ) ( )
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Momento flector vertical:
( ) ( )
donde:
( ) [ ( )
( ) ]
Fuerza cortante vertical:
( ) ( )
( ) [ ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ]
Momento flector circunferencial:
( ) ( )
y el esfuerzo axial máximo en la sección, será:
( ) ( ) ( ) ⁄
8. PROGRAMACIÓN
El programa ha sido desarrollado en lenguaje TURBO- PASCAL (Versión 3.0). El seudo
código del programa principal es como sigue:
INICIO
IDS0701
(*LECTURA Y ESCRITURA DE TITULOS*)
IDS0702
(*LECTURA Y ESCRITURA DE DATOS*)
IDS0703
(*CALCULO DE COEFICIENTES*)
IDS0704
(*CONDICIONES EN LAS JUNTAS SOLDADAS*)
IDS0705
(*CONDICIONES DE BORDE*)
IDS0706
(*REDUCCION DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES*)
IDS0707
(*CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE CADA ANILLO*)
IDS0708
(*CALCULO Y ESCRITURA DE LOS RESULTADOS*)
FIN
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El programa compilado ocupa 23kb de memoria RAM
En el archivo de datos se dan las características generales del tanque, el líquido
almacenado, las alturas y espesores de cada anillo y los coeficientes de las condiciones de
borde.
El tiempo aproximado de ejecución es de 10 segundos en una microcomputadora PC y de
5 segundos en un AT.
En el archivo de resultados se repiten los datos y se imprimen los resultados de los
desplazamientos radiales y angulares, fuerzas axiales y cortantes, momentos flectores y
los máximos esfuerzos axiales en un número dado de secciones de cada anillo del tanque.
En el ejemplo siguiente se dan los archivos de datos y de resultados correspondientes.
9. EJEMPLO
Analicemos un tanque con techo flotante de 200 MBbls de capacidad, con las siguientes
características:
Diámetro: 48.768 m.
Altura: 17.145 m.
Número de anillos: 7
Módulo de Elasticidad: 2100.0 ⁄
Coeficiente de Poisson: 0.30
Peso específico del líquido almacenado: 1.00 T/m3.
Máxima altura del líquido: 16.154 m.
Número de secciones por analizar en cada anillo: 6
Altura y espesor de cada anillo:
1 2.438 m. 2.82 cm.
2 2.438 m. 2.46 cm.
3 2.438 m. 1.93 cm.
4 2.438 m. 1.57 cm.
5 2.438 m. 1.21 cm.
6 2.438 m. 0.95 cm.
7 2.438 m. 0.79 cm.
Coeficientes de las condiciones de borde del fondo:
Espesor de la plancha del fondo, S = 0.64 cm.
Módulo de resistencia de la subrasante: ⁄⁄
Coeficiente , para el primer anillo, ⁄
Aplicando las fórmulas dadas en el Apéndice A, para un fondo soportado
elásticamente:
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( ⁄ )
( )
√ ⁄⁄
( ) { ( )}⁄⁄
( ⁄ ) ( ⁄⁄⁄ )
Los coeficientes de la condiciones de borde del techo:
Para el techo flotante los valores de M y Q son iguales a 0.
El ángulo de borde,
Área del ángulo,
Momento de inercia,
Coeficiente para el último anillo, ⁄
( ⁄ ) ( ) ( )
( )
( ⁄ ) ( ) ( )
( )
Entonces el archivo de datos será como sigue:
TANQUE DE 200 MBBLS REFINERIA XYZ ABC DEF 16 ENE 1991 48.768 17.145 7 2100.0 0.30 1.0 16.154 6 2.438 2.82 2.438 2.46 2.438 1.93 2.438 1.57 2.438 1.21 2.438 0.95
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2.438 0.79 1.0 -0.0408 0.0700 1.0 1.0 1.393 2.9287 122.93 0.0 0.0
El archivo de resultados obtenido es como sigue:
PROG. IDP007, O. MUROY
REV. 0, JUL. 79
REV. 1, SET. 87
ANALISIS DE TANQUES CILINDRICOS VERTICALES
PROYECTO: TANQUE DE 200 MBBLS
UBICACIÓN: REFINERIA XYZ
HECHO: ABC
REVISADO: DEF
FECHA: 16 ENE 19991
DATOS DEL TANQUE CILINDRICO VERTICAL
DIAMETRO, D=48.768 M
ALTURA TOTAL, H=17.145M
NUMERO DE ANILLOS, NA=7
MODULO DE ELASTICIDAD, E=2100.0 T/
COEFICIENTE DE POISSON, μ=0.30
DATOS DEL LÍQUIDO ALMACENADO
PESO ESPECIFICO, g =1.00 T/
ALTURA MAXIMA DEL LIQUIDO, HL=16.154 M
ALTURA Y ESPESORES DE CADA ANILLO
N HA (m)
T (cm)
1 2.438 2.82 2 2.438 2.46 3 2.438 1.93 4 2.438 1.57 5 2.438 1.21 6 2.438 0.95 7 2.438 0.79
CONDICIONES DE BORDE INFERIOR
D1= 1.0000 D2=-0.041 D3=0.0700 D4=1.0000
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CONDICIONES DE BORDE SUPERIOR
D5=1.0000 D6=1.3930 D7=2.9287 D8=122.93 D9=0.00 D10=0.00
COEFICIENTES β Y C DE CADA ANILLO
N β C1 C2 C3 C4 (/M) (M) (M) (M) (M)
1 1.5501 7.5536E-04 5.3649E-04 1.5528E-02 9.8301E-04 2 1.6597 9.0995E-04 1.3490E-03 7.6982E-04 2.5296E-04 3 1.8737 1.1873E-04 1.3654E-03 1.9278E-03 2.1893E-04 4 2.0775 -6.4570E-04 1.4081E-03 1.6069E-03 1.5728E-04 5 2.3664 -1.0160E-03 4.9448E-04 1.8995E-03 2.1980E-04 6 2.6707 -3.7790E-04 -7.8110E-05 1.4170E-03 1.1683E-04 7 2.9287 -4.1310E-05 -8.8320E-05 5.3747E-04 -1.4020E-05
DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS EN EL CILINDRO
ANILLO: 1
HX w θ N MX QX Mθ σ (M) (CM) (RAD) (T/M) (TM/M) (T/M) (TM/M) (KG/ )
0.000 -0.07 -0.02150 16.4 0.201 -5.30 0.060 103.5 0.488 -1.01 -0.01489 244.4 -0.966 -0.29 -0.290 1085.1 0.975 -1.48 -0.00495 358.5 -0.690 1.00 -0.207 1427.5 1.463 -1.57 0.00013 381.8 -0.227 0.78 -0.068 1405.2 1.950 -1.53 0.00099 372.3 0.032 0.27 0.010 1327.3 2.438 -1.50 0.00036 364.2 0.036 -0.27 0.011 1299.7
ANILLO: 2
HX w θ N MX QX Mθ σ (M) (CM) (RAD) (T/M) (TM/M) (T/M) (TM/M) (KG/ )
2.438 -1.50 0.00036 317.8 0.036 -0.27 0.011 1302.6 2.926 -1.48 0.00046 314.5 -0.029 -0.02 -0.009 1286.9 3.413 -1.45 0.00087 307.3 -0.011 0.08 -0.003 1252.5 3.901 -1.41 0.00064 298.7 0.041 0.12 0.012 1226.5 4.388 -1.40 -0.00050 297.3 0.087 0.04 0.026 1234.5 4.876 -1.46 -0.00171 309.6 0.020 -0.39 0.006 1264.6
ANILLO: 3
HX w θ N MX QX Mθ σ (M) (CM) (RAD) (T/M) (TM/M) (T/M) (TM/M) (KG/ )
4.876 -1.46 -0.00171 242.9 0.020 -0.39 0.006 1268.4 5.364 -1.53 -0.00050 253.6 -0.056 0.00 -0.017 1341.1 5.851 -1.51 0.00107 250.6 -0.027 0.08 -0.008 1311.4 6.339 -1.44 0.00129 240.0 0.014 0.08 0.004 1250.5 6.826 -1.40 0.00016 233.4 0.046 0.03 0.014 1231.4 7.314 -1.43 -0.00120 238.4 0.010 -0.24 0.003 1239.8
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ANILLO: 4
HX w θ N MX QX Mθ σ (M) (CM) (RAD) (T/M) (TM/M) (T/M) (TM/M) (KG/ )
7.314 -1.43 -0.00120 193.9 0.010 -0.24 0.003 1241.9 7.802 -1.47 0.00017 198.6 -0.031 0.01 -0.009 1288.0 8.289 -1.42 0.00169 191.8 -0.013 0.05 -0.004 1230.8 8.777 -1.33 0.00178 179.5 0.010 0.05 0.003 1150.9 9.264 -1.27 0.00031 171.8 0.033 0.03 0.010 1118.4 9.752 -1.31 -0.00164 177.0 0.008 -0.19 0.002 1133.2
ANILLO: 5
HX w θ N MX QX Mθ σ (M) (CM) (RAD) (T/M) (TM/M) (T/M) (TM/M) (KG/ )
9.752 -1.31 -0.00164 136.3 0.008 -0.19 0.002 1137.1 10.240 -1.35 0.00041 141.0 -0.020 0.02 -0.006 1190.4 10.727 -1.28 0.00235 133.1 -0.006 0.03 -0.002 1108.2 11.215 -1.15 0.00251 120.2 0.003 0.02 0.001 997.7 11.702 -1.05 0.00131 109.9 0.013 0.02 0.004 924.7 12.190 -1.04 -0.00049 108.4 0.003 -0.10 0.001 898.9
ANILLO: 6
HX w θ N MX QX Mθ σ (M) (CM) (RAD) (T/M) (TM/M) (T/M) (TM/M) (KG/ )
12.190 -1.04 -0.00049 85.1 0.003 -0.10 0.001 901.0 12.678 -1.02 0.00166 83.7 -0.009 0.01 -0.003 898.1 13.615 -0.90 0.00308 73.5 -0.002 0.01 -0.000 777.1 13.653 -0.75 0.00311 61.0 0.001 0.00 0.000 643.4 14.140 -0.60 0.00264 49.3 0.003 0.00 0.001 524.2 14.628 -0.49 0.00197 40.3 -0.000 -0.02 -0.000 425.2
ANILLO: 7
HX w θ N MX QX Mθ σ (M) (CM) (RAD) (T/M) (TM/M) (T/M) (TM/M) (KG/ )
14.628 -0.49 0.00197 33.6 -0.000 -0.02 -0.000 425.4 15.116 -0.37 0.00316 25.2 -0.002 0.01 -0.001 325.3 15.603 -0.20 0.00365 13.6 -0.000 0.00 -0.000 173.0 16.091 -0.02 0.00363 1.5 0.000 0.00 0.000 19.6 16.578 0.00 0.00352 -0.0 0.000 0.00 0.000 0.7 17.066 -0.01 0.00323 0.6 0.000 -0.00 0.000 9.3
10. CONCLUSIONES
Los resultados obtenidos se han graficado en las Fig. N° 2 y N° 3. La Fig. N° 2 muestra
las curvas de desplazamientos radiales w y fuerzas axiales N contra la atura H.
La Figura N° 3 muestra las curvas de momentos flectores Mx y fuerzas cortantes Qx
contra la altura H.
De estos gráficos, se pueden extraer las siguientes conclusiones:
ANÁLISIS DE ESFUERZOS EN TANQUES CILÍNDRICOS
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a) La fuerza axial N tiene una curva típica en los anillos adyacentes con planchas de
diferentes espesores. En la parte inferior del anillos e observa una depresión en la
curva N debido a la restricción ofrecida por el anillo inferior con una rigidez mayor.
Así, el máximo esfuerzo axial ocurre a cierta distancia de borde inferior del anillo.
Este hecho se reconoce en el Código API (Ref. N° 2), donde se toma el valor de 1 pie
para esta distancia (en el apéndice K se calcula ese valor). (ver Fig. N°2, diag. N0)
En la parte superior del anillo, la curva N se abre aumentando su valor, debido a la
menor rigidez del anillo superior.
b) Se observan discontinuidades de la curva N en las juntas soldadas, debido a los
diferentes espesores de las planchas, siendo el esfuerzo
( ) ( ) ⁄⁄ en ambos lados de la junta.
La diferencia en N0 es ( )
Es posible que ocurra una redistribución de estas fuerzas a nivel de esfuerzos en la
zona de la junta soldada. No es materia de este artículo el análisis de esta
redistribución de esfuerzos.
c) La conexión del fondo del tanque puede asumirse para todo efecto práctico, como
una articulación. Esto se debe a la gran rigidez a la deformación radial de la plancha
de fondo. Se ha corrido el ejemplo para el caso de una articulación perfecta y los
resultados obtenidos muestran sólo muy pequeñas diferencias en el primer anillo.
d) Se puede esperar desplazamientos del mismo orden de magnitud a lo largo de la
altura del cilindro cuando los espesores de los anillo se calculan por las fórmulas
del API. (ver Fig. N°2, diag. w)
e) Se observa un momento flector grande próximo a la junta con el fondo, como
resultado de la fuerza cortante producida en la junta del cilindro con el fondo del
tanque. (ver Fig. N°3, diag. Mx)
f) Los momentos flectores y los desplazamientos referidos en los párrafos d) y e)
pueden ser significativos en el estimado de la capacidad crítica de pandeo del
cilindro, en tanques sometidos a fuerzas sísmicas (Ref N°5)
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11. REFERENCIAS
(1) Theory of Plates and Shells, S.P. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger, Mc Graw Hill, 1959, pág. 468-487.
(2) Welded Steel Tanks for Oil Storage, API Standard 650, 6a. Edición 1979.
(3) Strength of Materials, Part II, S.P. Timoshenko, D. Van Nostrand Co., 1956, pág. 14.
(4) Numerical Methods in Engineering, M.Salvadori y M.Baron, Prentice Hall, 1961.
(5) Basis of Seismic Design Provisions for Welded Steel Oil Storage Tanks, R.S.Wosniak y W.W.Mitchell, API Refining Division, Proceedings 1978.
Capítulo del Curso de “Diseño Mecánico: Tanques de Almacenamiento”, dictado
en diferentes oportunidades, en el Centro de Capacitación de PETROPERU, desde
1,979
Publicado en la Revista “Boletín Técnico, de ARPEL, Junio 1,991
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FIGURA N° 2
0.0
2.5
5.0
7.5
10.0
12.5
15.0
17.5
-2.00-1.50-1.00-0.500.00
H(m
)
w (cm)
DESPLAZAMIENTO RADIAL w
w
0.0
2.5
5.0
7.5
10.0
12.5
15.0
17.5
0 100 200 300 400H
(m
)
N0 (T/m)
FUERZA AXIAL CIRCUNFERENCIAL N0
N
ghr
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FIGURA N° 3
0.0
2.5
5.0
7.5
10.0
12.5
15.0
17.5
-1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4
H(m
)
MX(Tm/m)
MOMENTOS FLECTORES VERTICALES MX
Mx
0.00
2.50
5.00
7.50
10.00
12.50
15.00
17.50
-6.00 -4.00 -2.00 0.00 2.00
H(m
)
QX(T/m)
FUERZA CORTANTE VERTICAL QX
Qx
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APENDICE A
Determinación de los coeficientes de las condiciones de borde para un fondo apoyado
elásticamente
FIGURA N°1-A
Para un cilindro restringido por las planchas de fondo, tenemos las siguientes ecuaciones.
a) Deformación radial de la plancha de fondo, debido a las fuerzas cortantes transmitidas
por el cilindro.
( ) ( )⁄
Fuerza cortante en el borde inferior del primer anillo:
{ ( )}⁄
Reemplazando Q en la primera ecuación y comparando con la ecuación genérica:
( )⁄
Haciendo D1 = 1.0, obtenemos:
( ) { ( )}⁄
b) Para el desplazamiento angular de la plancha de fondo, asumamos que el fondo está
elásticamente apoyado en el suelo y que el cilindro ejerce un momento flector M y una
fuerza vertical P en la junta soldada con la plancha del fondo.
De la Ref. N°3, tenemos:
( )⁄
donde es el módulo del subgrado del suelo y
√ ( )⁄
{ ( )}⁄
FIGURA N°2-A
En el cilindro, tenemos:
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{ ( )}⁄
Reemplazando los valores de la primera ecuación y comparando con la ecuación genérica.
Haciendo D4 = 1.0, obtenemos:
( ⁄ ) ( ⁄ )
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APENDICE B
Determinación de los coeficientes de las condiciones de borde superior, para un
tanque rigidizado por un ángulo
Sean Q y M las acciones ejercidas por la estructura del techo en el ángulo del borde superior
del tanque, y q y m, las fuerzas internas desarrolladas entre el ángulo y el cilindro como se
muestra en la Fig. N° 1-B
FIGURA N° 1-B
El desplazamiento radial y la rotación del ángulo se obtendrán por las siguientes fórmulas:
( ) ( )⁄
( ) ( )⁄
Los desplazamientos y las fuerzas en el borde superior del cilindro serán:
Reemplazando estos valores en las primeras dos ecuaciones, obtendremos:
( ) ( )⁄⁄
( ) ( )⁄⁄
donde A y J son el área y el momento de inercia del ángulo, respectivamente.
Luego, comparando con las ecuaciones genéricas para las condiciones de borde, para este
caso:
( )⁄
( )⁄
( )⁄
( )⁄