Post on 29-Jun-2015
L6
L1
L2
L3 L4L5
Región Factible
LECTURA
MOTIVACIÓN
CONOCIMIENTOS PREVIOS
EJEMPLOS BÁSICOS
NOTAS SUGERIDAS
¿PRACTICAS UN POCO MAS?
AUTOEVALUACION
EVALUACION
ACTIVIDADES
CONCEPTO
FUNCIÓN OBJETIVO
RESTRICCIONES
SISTEMA DE RESTRICCIONES
SOLUCIÓN FACTIBLE
PROBLEMASEJEMPLOS
SISTEMA
INECUACIONES
INECUACIONES
ECUACIONES
SISTEMA
ECUACIONES
Ejemplo 1.- x+5=9
x=9-5
x=4
Representación gráfica:
4
Ejemplo 2.- x+y=3X Y
-2 5
0 3
2 1
Representación gráfica
X
Y
4 x=4
x+0y=4
Ejemplo 1.- -x-3<4
-x<4+3
-x<7
x>-7
Ejemplo 2.- x-y>2
Suponemos. x-y=2 X Y
0 -2
2 0
Representación gráfica
Comprobamos la veracidad del semiplano:
para (1;1) en la inecuación x-y>2
1-1>2
0>2 (F)
para (3;0) en la inecuación x-y>2
3-0>2
3>2 (V)
Representación gráfica:
-7
X
Y
-7
METODOS DE RESOLUCION
POR SUSTITUCION
POR IGUALACIONPOR REDUCCION
GRAFICANDOTABULACION
POR MATRICES
REGRESAR
4x-3y =152x+y =5
X Y
-3 -9
0 -5
3 -1
6 3
4x-3y =15
X Y
0 5
1 3
2 1
3 -1
2x+y =5
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
(x;y)=(3;-1)
(3;-1)
El conjunto solución es el punto de intersección de las rectas
4x-3
y =1
5
2x+y =5X
Y
METODO DE ELIMINACION POR IGUALACION
4x-3y =152x+y =5
4x-3y =15
4x=15+3y
2x+y = 5
2x = 5 - y
4315 y
x 2
5 yx
25
4315 yy
2(15+3y)=4(5-y)
30+6y=20-4y
6y+4y=20-30
10y=-10
y=-1
3262152)1(5
x
x
x
x25 y
x
(3;-1)
(x;y)=(3;-1)
X
Y
2x+y =5
4x-3
y =1
5
METODO DE ELIMINACION POR SUSTITUCION
4x-3y =15
2x+y =5
4x-3y =15
4x=15+3y
2x+y =5
4315 y
x
1
55
15105
102315
52315
54315
2
y
y
y
yy
yy
yy
4315 y
x
341243154
)1(315
x
x
x
x
(3;-1)
(x;y)=(3;-1)
X
Y
4x-3
y =1
5
2x+y =5
METODO DE ELIMINACION POR REDUCCION
4x-3y =15
2x+y =5
4x-3y =15
(3) 2x+y=5
4x-3y=15
6x+3y=15
10x / =30
x=30/10
x=3
Reemplazando: 2x+y =5
2(3)+y = 5
6+y =5
Y =5-6
y =-1 (3;-1)
(x;y)=(3;-1)
X
Y
2x+y =5
4x-3
y =1
5
MÉTODO DE GAUSS O MATRICIAL:
2x+y =54x-3y =15
4 -3
2 1
15
5 ?(1era)+(2da)
?(4)+2=0
?(4)=-2
?=-2/4
?=-1/2
-2 3/2 -15/2
2 1 5
0 5/2 -5/2
4 -3 15
0 5/2 -5/2
4x-3y=15
5/2y=-5/2
4x-3y=15
5/2y=-5/2 y=(-5/2).(2/5)
y=-1
4x-3(-1)=15 4x+3 = 15
4x = 15-3
4x = 12
x = 12/4
x = 3
(x;y)=(3;-1)
VIDEO: GAUSS
Sea el sistema de inecuaciones:
6x+3y-4<0
013 yx
Las analizaremos por separado para luego concluir en su conjunto solución.
Sea la inecuación: 6x+3y-4<0
6x+3y<4
3y<4-6x
y<4-6x
3
Condideramos: y = 4-6x
3
X Y
-2 16/3
0 4/3
2 -8/3
Si x=-2 y= 4-6(-2)
3
y=(4+12)/3
y= 16/3
Si x=0 y= 4-6(0)
3
y= 4/ 3
Si x=2 y= 4-6(2)
3
y=-8/3
Por lo tanto:
6x+3y<4 entonces comprobamos:
Para ( 3;0)
6(3)+3(0)<4
18+0<4
18<4 (F)
Para (-1;0)6(-1)+3(0)<4-6<4 (V)
013 yx
13 xy
13 xy
X Y
-2 7
0 -1
2 5
Suponemos la igualdad: y=3x-1
Comprobamos en la desigualdad
para (3;0)
para (-1;0)
013 yx
)(08
019
001)3(3
v
)(04
013
001)1(3
f
Sea la segunda inecuación del sistema
SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES
Sea el sistema de inecuaciones:
6x+3y-4<0
013 yx
6x+3y-4<
0
01
3
y
x
C.S.
Compruébalo utilizando PROLIN
Digita
6x+3y<=4
3x-y>=1
1. PROBLEMA DE REGIÓN FACTIBLE2. PROBLEMA MAXIMIZAR
3. OPTIMIZAR EL RENDIMIENTO
4. BENEFICIO MAXIMO
Dibuja la región factible asociada a las restricciones:x + y >= 4 y<= 4 y >= xLas rectas asociadas son : r : x + y = 4 ; s : y = 4 , t: y = x
Ejemplo Ejemplo 1:1:
COMPRUEBALO
Ejemplo Básico 2:Ejemplo Básico 2: Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere fabricar bicicletas de paseo y de montaña , que quiere vender, respectivamente, a 2000 y 1500 nuevos soles, para obtener el máximo beneficio. En la elaboración de la bicicleta de paseo empleará un Kg. de acero y 3 Kg. de aluminio, y en la de montaña 2 Kg. de cada metal. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá el herrero para obtener el máximo beneficio?
Solución:
Planteamos según los datos la
función objetivo:
X: número de bicicletas de paseo
Y: número de bicicletas de montaña
F(x;y)= 2000x + 1500y
0x
0y
802 yx
12023 yx
entonces x=0 (L1)
entonces y=0 (L2)
entonces x+2y=80 (L3)
entonces 3x+2y=120 (L4)
x y
0 40
80 0
x y
0 60
40 0Se grafican las rectas y se determina el semiplano del conjunto
solución de cada una de las restricciones
Según las condiciones del problema se plantean las restricciones:
COMPRUEBALO
L1
L2
L3
L4
Determinamos los vértices de la región factible, que son los puntos de intersección entre: L1 y L3; L4 y L3; L4 y L2; L1 y L2
)0;0(
)0;40(
)30;20(
)40;0(
21
24
34
31
DLL
CLL
BLL
ALL
Determinemos el beneficio obtenido en la función objetivo:
F(x;y)= 2000x + 1500y
F(A)=2000(0)+1500(40)
F(A)=60000 nuevos soles
F(B)=2000(20)+1500(30)
F(B)=85000 nuevos soles
F(C)=2000(40)+1500(0)
F(C)=80000 nuevos soles
Observando los beneficios
deducimos que:el herrero
debe vender 20 bicicletas de
paseo y 30 bicicletas de montaña
para obtener el máximo beneficio de 85000 nuevos soles.
AB
CD
COMPRUEBALO
Región Factible
Ejemplo básico 3.-Ejemplo básico 3.- Blanca dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión(A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones, y quiere destinar a esta opción, como mínimo tanta cantidad de dinero como a la B. sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9% en la opción A y del 12% en la B ¿Qué cantidad debe invertir en cada una de las dos opciones para optimizar el rendimiento global? ¿A cuánto ascenderá? Función objetivo:
F(x;y)= 0,09x + 0,12y
x: inversión en A
y: inversión en BRestricciones:
10
7
2
0
0
yx
yx
x
x
y
x x=0 y=0 2=x x=7 x=y x+y=10
L1: eje y
L2: eje x
L3
L4
L5
L6
X Y
2 0
2 3
X Y
0 7
3 7
X Y
0 0
10 10
X Y
0 10
10 0
L6
L1
L2
L3 L4L5
Región Factible
COMPRUEBALO
L6
L1
L2
L3 L4L5
Región Factible
Soluciones factiblesA(2;2) B(5;5) C(7;3) D(7;0) E(2;0)
F(A)=0,09(2)+0,12(2)
F(A)=0,18+0,24=0,42
F(B)=0,09(5)+0,12(5)
F(B)=0,45+0,60=1,05
F(C)=0,09(7)+0,12(3)
F(C)=0,63+0,36=0.99
F(D)=0,09(7)+0,12(0)
F(D)=0,63+0=0,63
F(E)=0,09(2)+0,12(0)=0,18
Respuesta: Se debe invertir 5 millones en A y 5 en B para obtener un beneficio máximo de 1,05 millones
COMPRUEBALO
A(2;2)
B(5;5)
C(7;3)
D(7;0)E(2;0)
4.4. Alfonso es un estudiante que dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 soles por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 soles por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea el máximo?Solución:X: nº de impresos diarios tipo A Y: nº de impresos diarios tipo B Función objetivo: F (x,y)= 5 x + 7 yRestricciones:
;0
;0
y
x
120
100
Vértices de la región factible:
A(0;100)
B(50;100)
C(120;30)
D(120;0)
Valores en la función objetivo:
f(A)=7(100)=700
F(B)=5(50)+7(100)=950
F(C)=5(120)+7(30)=810
F(D)=5(120)=600
Respuesta: Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B,
para una ganancia máxima diaria de 950 nuevos soles.
150
150
A B
C
Zona de soluciones factibles
COMPRUEBALO
X
Y
150
100
120
yx
y
x
Región
factible D
Taller 1: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.
Taller 2: Sistema de Ecuaciones e Inecuaciones.
Taller 3: Programación Lineal
http://descartes.cnice.mec.es/http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/materiales_didacticos/Programacion_lineal/index.htmProgramacion_lineal/index.htm
http://thales.cica.es/rd/Recursos/http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/29/matematicas-rd98/Matematicas/29/matematicas-29.html29.html
Es recomendable que visites estas direcciones, te van ayudar de
mucho.