Post on 25-Jan-2016
Propiedad Intelectual Cpech
PP
TC
AC
040
MT
21
-A15
V1
Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
ACOMPANtildeAMIENTO ANUALBLOQUE 21
Propiedad Intelectual Cpech
Aprendizajes esperados
bull Resolver ecuaciones de primer grado con una incoacutegnita
bull Determinar el nuacutemero de soluciones de una ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
bull Resolucioacuten de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones de primer grado con una incoacutegnita
bull Resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incoacutegnitas
bull Modelar situaciones mediante sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incoacutegnitas
Propiedad Intelectual Cpech
Contenidos
Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones y sistemas
Sistemas de ecuaciones de primer grado
Sistemas de ecuaciones de primer grado
Planteamiento de problemas con ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado
Planteamiento de problemas con ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
Una ecuacioacuten es una igualdad que contiene una o maacutes cantidades
desconocidas llamadas incoacutegnitas o variables
Resolver una ecuacioacuten significa encontrar el(los) valor(es) de la(s)
incoacutegnita(s) que satisface(n) la igualdad
Ecuaciones
1) 2x + 3 = x ndash 8 + 5x
Se llama ecuacioacuten de primer grado a todas aquellas en donde el
exponente de la incoacutegnita es 1
=5x ndash 4
2
2x
3
1 4
+2)
Ejemplos
Propiedad Intelectual Cpech
En la resolucioacuten de una ecuacioacuten se deben considerar las siguientes
propiedades
- Al sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de una igualdad eacutesta se mantiene
- Al multiplicar o dividir ambos lados por una misma cantidad (distinta de cero) la igualdad se mantiene
En general para resolver una ecuacioacuten se tiene que despejar la incoacutegnita Para ello deben efectuarse operaciones que permitan eliminar teacuterminos o coeficientes hasta lograr despejarla
Resolucioacuten de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Ejemplo
2(x ndash 2) + 4x = 11 + 3x
2x ndash 4 + 4x = 11 + 3x
2x + 4x ndash 3x = 11 + 4
x = 5
(Distribuyendo)
(Restando 3x y sumando 4)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
3x = 15 (Dividiendo por 3)
x = 3
15
Ecuaciones con coeficientes enteros
Propiedad Intelectual Cpech
Ecuaciones con coeficientes fraccionarios
Generalmente es conveniente dejar la ecuacioacuten con coeficientes enteros multiplicando cada teacutermino de la ecuacioacuten por el mcm de los denominadores
=5x ndash 4
2
2x
3
1 4
+
=(5x ndash 4)
2
2x
3
1 4
+12
12
12
6(5x ndash 4) = 4 2x + 3 130x ndash 24 = 8x + 3
30x ndash 8x = 3 + 24
22x = 27
(Multiplicando por el mcm (2 3 4) = 12)
(Simplificando)
(Distribuyendo y multiplicando)
(Restando 8x y sumando 24)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
(Dividiendo por 22)
x = 22
27
6 4 3
Ejemplo
Propiedad Intelectual Cpech
Ecuaciones con coeficientes literales
Ejemplo
px ndash p2 = qx ndash q2 (Restando qx y sumando p2)
(Factorizando por x)
(Dividiendo por (p ndash q) ya que es distinto de cero)(Factorizando la diferencia de cuadrados)
(Simplificando)
px ndash qx = p2 ndash q2
x(p ndash q) = p2 ndash q2
p2 ndash q2
(p ndash q) =x
(p + q) (p ndash q)
(p ndash q) =x
x = p + q
En la ecuacioacuten px ndash p2 = qx ndash q2 con p ne q encontrar x
Propiedad Intelectual Cpech
Equivale a transcribir una expresioacuten verbal a una expresioacuten algebraica
Para esto utilizamos el metalenguaje
Problemas de planteo
Ejemplo
Si x representa un nuacutemero entonces
- El doble de un nuacutemero 2x
5x
x ndash 1
x + 1
x
3 3x
4
- La tercera parte de x
- Los tres cuartos de x
- El quiacutentuplo de x
- El antecesor de x
- El consecutivo o sucesor de x
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
Sea x el nuacutemero buscado
ldquoEl triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad equivale al doble del
nuacutemero aumentado en 6 iquestCuaacutel es el nuacutemerordquo
Solucioacuten
Seguacuten el metalenguaje se tienen los siguientes conceptos
bull El doble del nuacutemero aumentado en 6 2x + 6
bull El triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad
2
3 xx
Se tiene entonces la siguiente ecuacioacuten
= 2x + 6
2
3 xx
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
(Resolviendo el pareacutentesis)
= 2x + 6 3 x2
(Multiplicando por 2)
3x = 4x + 12
ndash 12 = 4x ndash 3x
ndash 12 = x
(Restando 3x y restando 12)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
= 2x + 6
2
3 xx
2
3 x = 2x + 6
Finalmente el nuacutemero es ndash 12
Propiedad Intelectual Cpech
Sistemas de ecuaciones
Para determinar el valor numeacuterico de cada una de ellas debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incoacutegnitas
Es un conjunto de ecuaciones donde hay maacutes de una incoacutegnita
Ejemplo 2x + 3y = 7
x ndash 4y = 2
Graacuteficamente la solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales (o de primer grado) corresponde a la interseccioacuten de las rectas representadas por dichas ecuaciones
Por lo tanto al resolver este tipo de sistema puede ocurrir que tenga
bull una solucioacuten
bull infinitas soluciones
bull ninguna solucioacuten
las rectas se intersectan en un solo punto (x y)
las rectas son coincidentes
las rectas son paralelas
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Igualacioacuten
Consiste en despejar la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones del sistema Luego se igualan los resultados
El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones despejadas del sistema
Ejemplo
Despejando x en ambas ecuaciones
1) 2x + 3y = 7
2x = 7 ndash 3y
2) x ndash 4y = ndash 2x = ndash 2 + 4y
7 ndash 3y 2
x =
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Igualando ambas ecuaciones se obtiene
7 ndash 3y = ndash 4 + 8y
7 ndash 3y + 3y = ndash 4 + 8y + 3y
7 = ndash 4 + 11y
7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4
11 = 11y
1 = y
(Sumando 3y)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
= ndash 2 + 4y7 ndash 3y
2
Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de xReemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x
(Multiplicando por 2)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x = ndash 2 + 4y
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten despejada queda
x = ndash 2 + 4middot1
x = ndash 2 + 4
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacutenRecuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacuten
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Sustitucioacuten
Consiste en despejar una incoacutegnita de una de las ecuaciones del sistema Una vez despejada se reemplaza en la otra ecuacioacuten determinando el valor de la incoacutegnita
El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuacioacuten despejada
Ejemplo 1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Despejando x en la segunda ecuacioacuten
x = ndash 2 + 4y
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Reemplazando x = ndash 2 + 4y en la primera ecuacioacuten resulta
1) 2x + 3y = 7
2middot(ndash 2 + 4y) + 3y = 7
ndash 4 + 8y + 3y = 7
11y = 7 + 4
11y = 11
y = 1
(Distribuyendo)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
Como x = ndash 2 + 4y x = ndash 2 + 4middot1
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Para eliminar x multiplicaremos la segunda ecuacioacuten por ndash 2
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Reduccioacuten
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un nuacutemero tal que una de las incoacutegnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuacioacuten Luego se suman ambas ecuaciones de modo que se elimine la incoacutegnita con coeficientes opuestos
Ejemplo
middot (ndash 2)
1) 2x + 3y = 7
2) ndash 2x + 8y = 4(+)
11y = 11
y = 1
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x ndash 4y = ndash 2
x ndash 4middot1 = ndash 2
x = 2
x = ndash 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
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Prepara tu proacutexima clase
En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
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Propiedad Intelectual Cpech
Aprendizajes esperados
bull Resolver ecuaciones de primer grado con una incoacutegnita
bull Determinar el nuacutemero de soluciones de una ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
bull Resolucioacuten de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones de primer grado con una incoacutegnita
bull Resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incoacutegnitas
bull Modelar situaciones mediante sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incoacutegnitas
Propiedad Intelectual Cpech
Contenidos
Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones y sistemas
Sistemas de ecuaciones de primer grado
Sistemas de ecuaciones de primer grado
Planteamiento de problemas con ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado
Planteamiento de problemas con ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
Una ecuacioacuten es una igualdad que contiene una o maacutes cantidades
desconocidas llamadas incoacutegnitas o variables
Resolver una ecuacioacuten significa encontrar el(los) valor(es) de la(s)
incoacutegnita(s) que satisface(n) la igualdad
Ecuaciones
1) 2x + 3 = x ndash 8 + 5x
Se llama ecuacioacuten de primer grado a todas aquellas en donde el
exponente de la incoacutegnita es 1
=5x ndash 4
2
2x
3
1 4
+2)
Ejemplos
Propiedad Intelectual Cpech
En la resolucioacuten de una ecuacioacuten se deben considerar las siguientes
propiedades
- Al sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de una igualdad eacutesta se mantiene
- Al multiplicar o dividir ambos lados por una misma cantidad (distinta de cero) la igualdad se mantiene
En general para resolver una ecuacioacuten se tiene que despejar la incoacutegnita Para ello deben efectuarse operaciones que permitan eliminar teacuterminos o coeficientes hasta lograr despejarla
Resolucioacuten de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Ejemplo
2(x ndash 2) + 4x = 11 + 3x
2x ndash 4 + 4x = 11 + 3x
2x + 4x ndash 3x = 11 + 4
x = 5
(Distribuyendo)
(Restando 3x y sumando 4)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
3x = 15 (Dividiendo por 3)
x = 3
15
Ecuaciones con coeficientes enteros
Propiedad Intelectual Cpech
Ecuaciones con coeficientes fraccionarios
Generalmente es conveniente dejar la ecuacioacuten con coeficientes enteros multiplicando cada teacutermino de la ecuacioacuten por el mcm de los denominadores
=5x ndash 4
2
2x
3
1 4
+
=(5x ndash 4)
2
2x
3
1 4
+12
12
12
6(5x ndash 4) = 4 2x + 3 130x ndash 24 = 8x + 3
30x ndash 8x = 3 + 24
22x = 27
(Multiplicando por el mcm (2 3 4) = 12)
(Simplificando)
(Distribuyendo y multiplicando)
(Restando 8x y sumando 24)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
(Dividiendo por 22)
x = 22
27
6 4 3
Ejemplo
Propiedad Intelectual Cpech
Ecuaciones con coeficientes literales
Ejemplo
px ndash p2 = qx ndash q2 (Restando qx y sumando p2)
(Factorizando por x)
(Dividiendo por (p ndash q) ya que es distinto de cero)(Factorizando la diferencia de cuadrados)
(Simplificando)
px ndash qx = p2 ndash q2
x(p ndash q) = p2 ndash q2
p2 ndash q2
(p ndash q) =x
(p + q) (p ndash q)
(p ndash q) =x
x = p + q
En la ecuacioacuten px ndash p2 = qx ndash q2 con p ne q encontrar x
Propiedad Intelectual Cpech
Equivale a transcribir una expresioacuten verbal a una expresioacuten algebraica
Para esto utilizamos el metalenguaje
Problemas de planteo
Ejemplo
Si x representa un nuacutemero entonces
- El doble de un nuacutemero 2x
5x
x ndash 1
x + 1
x
3 3x
4
- La tercera parte de x
- Los tres cuartos de x
- El quiacutentuplo de x
- El antecesor de x
- El consecutivo o sucesor de x
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
Sea x el nuacutemero buscado
ldquoEl triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad equivale al doble del
nuacutemero aumentado en 6 iquestCuaacutel es el nuacutemerordquo
Solucioacuten
Seguacuten el metalenguaje se tienen los siguientes conceptos
bull El doble del nuacutemero aumentado en 6 2x + 6
bull El triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad
2
3 xx
Se tiene entonces la siguiente ecuacioacuten
= 2x + 6
2
3 xx
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
(Resolviendo el pareacutentesis)
= 2x + 6 3 x2
(Multiplicando por 2)
3x = 4x + 12
ndash 12 = 4x ndash 3x
ndash 12 = x
(Restando 3x y restando 12)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
= 2x + 6
2
3 xx
2
3 x = 2x + 6
Finalmente el nuacutemero es ndash 12
Propiedad Intelectual Cpech
Sistemas de ecuaciones
Para determinar el valor numeacuterico de cada una de ellas debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incoacutegnitas
Es un conjunto de ecuaciones donde hay maacutes de una incoacutegnita
Ejemplo 2x + 3y = 7
x ndash 4y = 2
Graacuteficamente la solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales (o de primer grado) corresponde a la interseccioacuten de las rectas representadas por dichas ecuaciones
Por lo tanto al resolver este tipo de sistema puede ocurrir que tenga
bull una solucioacuten
bull infinitas soluciones
bull ninguna solucioacuten
las rectas se intersectan en un solo punto (x y)
las rectas son coincidentes
las rectas son paralelas
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Igualacioacuten
Consiste en despejar la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones del sistema Luego se igualan los resultados
El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones despejadas del sistema
Ejemplo
Despejando x en ambas ecuaciones
1) 2x + 3y = 7
2x = 7 ndash 3y
2) x ndash 4y = ndash 2x = ndash 2 + 4y
7 ndash 3y 2
x =
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Igualando ambas ecuaciones se obtiene
7 ndash 3y = ndash 4 + 8y
7 ndash 3y + 3y = ndash 4 + 8y + 3y
7 = ndash 4 + 11y
7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4
11 = 11y
1 = y
(Sumando 3y)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
= ndash 2 + 4y7 ndash 3y
2
Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de xReemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x
(Multiplicando por 2)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x = ndash 2 + 4y
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten despejada queda
x = ndash 2 + 4middot1
x = ndash 2 + 4
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacutenRecuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacuten
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Sustitucioacuten
Consiste en despejar una incoacutegnita de una de las ecuaciones del sistema Una vez despejada se reemplaza en la otra ecuacioacuten determinando el valor de la incoacutegnita
El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuacioacuten despejada
Ejemplo 1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Despejando x en la segunda ecuacioacuten
x = ndash 2 + 4y
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Reemplazando x = ndash 2 + 4y en la primera ecuacioacuten resulta
1) 2x + 3y = 7
2middot(ndash 2 + 4y) + 3y = 7
ndash 4 + 8y + 3y = 7
11y = 7 + 4
11y = 11
y = 1
(Distribuyendo)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
Como x = ndash 2 + 4y x = ndash 2 + 4middot1
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Para eliminar x multiplicaremos la segunda ecuacioacuten por ndash 2
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Reduccioacuten
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un nuacutemero tal que una de las incoacutegnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuacioacuten Luego se suman ambas ecuaciones de modo que se elimine la incoacutegnita con coeficientes opuestos
Ejemplo
middot (ndash 2)
1) 2x + 3y = 7
2) ndash 2x + 8y = 4(+)
11y = 11
y = 1
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x ndash 4y = ndash 2
x ndash 4middot1 = ndash 2
x = 2
x = ndash 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
Propiedad Intelectual Cpech
Prepara tu proacutexima clase
En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
Propiedad Intelectual Cpech
ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL
REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL
Equipo Editorial Aacuterea Matemaacutetica
Propiedad Intelectual Cpech
Contenidos
Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones y sistemas
Sistemas de ecuaciones de primer grado
Sistemas de ecuaciones de primer grado
Planteamiento de problemas con ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado
Planteamiento de problemas con ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
Una ecuacioacuten es una igualdad que contiene una o maacutes cantidades
desconocidas llamadas incoacutegnitas o variables
Resolver una ecuacioacuten significa encontrar el(los) valor(es) de la(s)
incoacutegnita(s) que satisface(n) la igualdad
Ecuaciones
1) 2x + 3 = x ndash 8 + 5x
Se llama ecuacioacuten de primer grado a todas aquellas en donde el
exponente de la incoacutegnita es 1
=5x ndash 4
2
2x
3
1 4
+2)
Ejemplos
Propiedad Intelectual Cpech
En la resolucioacuten de una ecuacioacuten se deben considerar las siguientes
propiedades
- Al sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de una igualdad eacutesta se mantiene
- Al multiplicar o dividir ambos lados por una misma cantidad (distinta de cero) la igualdad se mantiene
En general para resolver una ecuacioacuten se tiene que despejar la incoacutegnita Para ello deben efectuarse operaciones que permitan eliminar teacuterminos o coeficientes hasta lograr despejarla
Resolucioacuten de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Ejemplo
2(x ndash 2) + 4x = 11 + 3x
2x ndash 4 + 4x = 11 + 3x
2x + 4x ndash 3x = 11 + 4
x = 5
(Distribuyendo)
(Restando 3x y sumando 4)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
3x = 15 (Dividiendo por 3)
x = 3
15
Ecuaciones con coeficientes enteros
Propiedad Intelectual Cpech
Ecuaciones con coeficientes fraccionarios
Generalmente es conveniente dejar la ecuacioacuten con coeficientes enteros multiplicando cada teacutermino de la ecuacioacuten por el mcm de los denominadores
=5x ndash 4
2
2x
3
1 4
+
=(5x ndash 4)
2
2x
3
1 4
+12
12
12
6(5x ndash 4) = 4 2x + 3 130x ndash 24 = 8x + 3
30x ndash 8x = 3 + 24
22x = 27
(Multiplicando por el mcm (2 3 4) = 12)
(Simplificando)
(Distribuyendo y multiplicando)
(Restando 8x y sumando 24)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
(Dividiendo por 22)
x = 22
27
6 4 3
Ejemplo
Propiedad Intelectual Cpech
Ecuaciones con coeficientes literales
Ejemplo
px ndash p2 = qx ndash q2 (Restando qx y sumando p2)
(Factorizando por x)
(Dividiendo por (p ndash q) ya que es distinto de cero)(Factorizando la diferencia de cuadrados)
(Simplificando)
px ndash qx = p2 ndash q2
x(p ndash q) = p2 ndash q2
p2 ndash q2
(p ndash q) =x
(p + q) (p ndash q)
(p ndash q) =x
x = p + q
En la ecuacioacuten px ndash p2 = qx ndash q2 con p ne q encontrar x
Propiedad Intelectual Cpech
Equivale a transcribir una expresioacuten verbal a una expresioacuten algebraica
Para esto utilizamos el metalenguaje
Problemas de planteo
Ejemplo
Si x representa un nuacutemero entonces
- El doble de un nuacutemero 2x
5x
x ndash 1
x + 1
x
3 3x
4
- La tercera parte de x
- Los tres cuartos de x
- El quiacutentuplo de x
- El antecesor de x
- El consecutivo o sucesor de x
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
Sea x el nuacutemero buscado
ldquoEl triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad equivale al doble del
nuacutemero aumentado en 6 iquestCuaacutel es el nuacutemerordquo
Solucioacuten
Seguacuten el metalenguaje se tienen los siguientes conceptos
bull El doble del nuacutemero aumentado en 6 2x + 6
bull El triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad
2
3 xx
Se tiene entonces la siguiente ecuacioacuten
= 2x + 6
2
3 xx
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
(Resolviendo el pareacutentesis)
= 2x + 6 3 x2
(Multiplicando por 2)
3x = 4x + 12
ndash 12 = 4x ndash 3x
ndash 12 = x
(Restando 3x y restando 12)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
= 2x + 6
2
3 xx
2
3 x = 2x + 6
Finalmente el nuacutemero es ndash 12
Propiedad Intelectual Cpech
Sistemas de ecuaciones
Para determinar el valor numeacuterico de cada una de ellas debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incoacutegnitas
Es un conjunto de ecuaciones donde hay maacutes de una incoacutegnita
Ejemplo 2x + 3y = 7
x ndash 4y = 2
Graacuteficamente la solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales (o de primer grado) corresponde a la interseccioacuten de las rectas representadas por dichas ecuaciones
Por lo tanto al resolver este tipo de sistema puede ocurrir que tenga
bull una solucioacuten
bull infinitas soluciones
bull ninguna solucioacuten
las rectas se intersectan en un solo punto (x y)
las rectas son coincidentes
las rectas son paralelas
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Igualacioacuten
Consiste en despejar la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones del sistema Luego se igualan los resultados
El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones despejadas del sistema
Ejemplo
Despejando x en ambas ecuaciones
1) 2x + 3y = 7
2x = 7 ndash 3y
2) x ndash 4y = ndash 2x = ndash 2 + 4y
7 ndash 3y 2
x =
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Igualando ambas ecuaciones se obtiene
7 ndash 3y = ndash 4 + 8y
7 ndash 3y + 3y = ndash 4 + 8y + 3y
7 = ndash 4 + 11y
7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4
11 = 11y
1 = y
(Sumando 3y)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
= ndash 2 + 4y7 ndash 3y
2
Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de xReemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x
(Multiplicando por 2)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x = ndash 2 + 4y
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten despejada queda
x = ndash 2 + 4middot1
x = ndash 2 + 4
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacutenRecuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacuten
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Sustitucioacuten
Consiste en despejar una incoacutegnita de una de las ecuaciones del sistema Una vez despejada se reemplaza en la otra ecuacioacuten determinando el valor de la incoacutegnita
El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuacioacuten despejada
Ejemplo 1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Despejando x en la segunda ecuacioacuten
x = ndash 2 + 4y
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Reemplazando x = ndash 2 + 4y en la primera ecuacioacuten resulta
1) 2x + 3y = 7
2middot(ndash 2 + 4y) + 3y = 7
ndash 4 + 8y + 3y = 7
11y = 7 + 4
11y = 11
y = 1
(Distribuyendo)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
Como x = ndash 2 + 4y x = ndash 2 + 4middot1
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Para eliminar x multiplicaremos la segunda ecuacioacuten por ndash 2
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Reduccioacuten
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un nuacutemero tal que una de las incoacutegnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuacioacuten Luego se suman ambas ecuaciones de modo que se elimine la incoacutegnita con coeficientes opuestos
Ejemplo
middot (ndash 2)
1) 2x + 3y = 7
2) ndash 2x + 8y = 4(+)
11y = 11
y = 1
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x ndash 4y = ndash 2
x ndash 4middot1 = ndash 2
x = 2
x = ndash 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
Propiedad Intelectual Cpech
Prepara tu proacutexima clase
En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
Propiedad Intelectual Cpech
ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL
REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL
Equipo Editorial Aacuterea Matemaacutetica
Propiedad Intelectual Cpech
Una ecuacioacuten es una igualdad que contiene una o maacutes cantidades
desconocidas llamadas incoacutegnitas o variables
Resolver una ecuacioacuten significa encontrar el(los) valor(es) de la(s)
incoacutegnita(s) que satisface(n) la igualdad
Ecuaciones
1) 2x + 3 = x ndash 8 + 5x
Se llama ecuacioacuten de primer grado a todas aquellas en donde el
exponente de la incoacutegnita es 1
=5x ndash 4
2
2x
3
1 4
+2)
Ejemplos
Propiedad Intelectual Cpech
En la resolucioacuten de una ecuacioacuten se deben considerar las siguientes
propiedades
- Al sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de una igualdad eacutesta se mantiene
- Al multiplicar o dividir ambos lados por una misma cantidad (distinta de cero) la igualdad se mantiene
En general para resolver una ecuacioacuten se tiene que despejar la incoacutegnita Para ello deben efectuarse operaciones que permitan eliminar teacuterminos o coeficientes hasta lograr despejarla
Resolucioacuten de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Ejemplo
2(x ndash 2) + 4x = 11 + 3x
2x ndash 4 + 4x = 11 + 3x
2x + 4x ndash 3x = 11 + 4
x = 5
(Distribuyendo)
(Restando 3x y sumando 4)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
3x = 15 (Dividiendo por 3)
x = 3
15
Ecuaciones con coeficientes enteros
Propiedad Intelectual Cpech
Ecuaciones con coeficientes fraccionarios
Generalmente es conveniente dejar la ecuacioacuten con coeficientes enteros multiplicando cada teacutermino de la ecuacioacuten por el mcm de los denominadores
=5x ndash 4
2
2x
3
1 4
+
=(5x ndash 4)
2
2x
3
1 4
+12
12
12
6(5x ndash 4) = 4 2x + 3 130x ndash 24 = 8x + 3
30x ndash 8x = 3 + 24
22x = 27
(Multiplicando por el mcm (2 3 4) = 12)
(Simplificando)
(Distribuyendo y multiplicando)
(Restando 8x y sumando 24)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
(Dividiendo por 22)
x = 22
27
6 4 3
Ejemplo
Propiedad Intelectual Cpech
Ecuaciones con coeficientes literales
Ejemplo
px ndash p2 = qx ndash q2 (Restando qx y sumando p2)
(Factorizando por x)
(Dividiendo por (p ndash q) ya que es distinto de cero)(Factorizando la diferencia de cuadrados)
(Simplificando)
px ndash qx = p2 ndash q2
x(p ndash q) = p2 ndash q2
p2 ndash q2
(p ndash q) =x
(p + q) (p ndash q)
(p ndash q) =x
x = p + q
En la ecuacioacuten px ndash p2 = qx ndash q2 con p ne q encontrar x
Propiedad Intelectual Cpech
Equivale a transcribir una expresioacuten verbal a una expresioacuten algebraica
Para esto utilizamos el metalenguaje
Problemas de planteo
Ejemplo
Si x representa un nuacutemero entonces
- El doble de un nuacutemero 2x
5x
x ndash 1
x + 1
x
3 3x
4
- La tercera parte de x
- Los tres cuartos de x
- El quiacutentuplo de x
- El antecesor de x
- El consecutivo o sucesor de x
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
Sea x el nuacutemero buscado
ldquoEl triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad equivale al doble del
nuacutemero aumentado en 6 iquestCuaacutel es el nuacutemerordquo
Solucioacuten
Seguacuten el metalenguaje se tienen los siguientes conceptos
bull El doble del nuacutemero aumentado en 6 2x + 6
bull El triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad
2
3 xx
Se tiene entonces la siguiente ecuacioacuten
= 2x + 6
2
3 xx
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
(Resolviendo el pareacutentesis)
= 2x + 6 3 x2
(Multiplicando por 2)
3x = 4x + 12
ndash 12 = 4x ndash 3x
ndash 12 = x
(Restando 3x y restando 12)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
= 2x + 6
2
3 xx
2
3 x = 2x + 6
Finalmente el nuacutemero es ndash 12
Propiedad Intelectual Cpech
Sistemas de ecuaciones
Para determinar el valor numeacuterico de cada una de ellas debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incoacutegnitas
Es un conjunto de ecuaciones donde hay maacutes de una incoacutegnita
Ejemplo 2x + 3y = 7
x ndash 4y = 2
Graacuteficamente la solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales (o de primer grado) corresponde a la interseccioacuten de las rectas representadas por dichas ecuaciones
Por lo tanto al resolver este tipo de sistema puede ocurrir que tenga
bull una solucioacuten
bull infinitas soluciones
bull ninguna solucioacuten
las rectas se intersectan en un solo punto (x y)
las rectas son coincidentes
las rectas son paralelas
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Igualacioacuten
Consiste en despejar la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones del sistema Luego se igualan los resultados
El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones despejadas del sistema
Ejemplo
Despejando x en ambas ecuaciones
1) 2x + 3y = 7
2x = 7 ndash 3y
2) x ndash 4y = ndash 2x = ndash 2 + 4y
7 ndash 3y 2
x =
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Igualando ambas ecuaciones se obtiene
7 ndash 3y = ndash 4 + 8y
7 ndash 3y + 3y = ndash 4 + 8y + 3y
7 = ndash 4 + 11y
7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4
11 = 11y
1 = y
(Sumando 3y)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
= ndash 2 + 4y7 ndash 3y
2
Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de xReemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x
(Multiplicando por 2)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x = ndash 2 + 4y
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten despejada queda
x = ndash 2 + 4middot1
x = ndash 2 + 4
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacutenRecuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacuten
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Sustitucioacuten
Consiste en despejar una incoacutegnita de una de las ecuaciones del sistema Una vez despejada se reemplaza en la otra ecuacioacuten determinando el valor de la incoacutegnita
El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuacioacuten despejada
Ejemplo 1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Despejando x en la segunda ecuacioacuten
x = ndash 2 + 4y
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Reemplazando x = ndash 2 + 4y en la primera ecuacioacuten resulta
1) 2x + 3y = 7
2middot(ndash 2 + 4y) + 3y = 7
ndash 4 + 8y + 3y = 7
11y = 7 + 4
11y = 11
y = 1
(Distribuyendo)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
Como x = ndash 2 + 4y x = ndash 2 + 4middot1
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Para eliminar x multiplicaremos la segunda ecuacioacuten por ndash 2
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Reduccioacuten
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un nuacutemero tal que una de las incoacutegnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuacioacuten Luego se suman ambas ecuaciones de modo que se elimine la incoacutegnita con coeficientes opuestos
Ejemplo
middot (ndash 2)
1) 2x + 3y = 7
2) ndash 2x + 8y = 4(+)
11y = 11
y = 1
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x ndash 4y = ndash 2
x ndash 4middot1 = ndash 2
x = 2
x = ndash 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
Propiedad Intelectual Cpech
Prepara tu proacutexima clase
En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
Propiedad Intelectual Cpech
ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL
REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL
Equipo Editorial Aacuterea Matemaacutetica
Propiedad Intelectual Cpech
En la resolucioacuten de una ecuacioacuten se deben considerar las siguientes
propiedades
- Al sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de una igualdad eacutesta se mantiene
- Al multiplicar o dividir ambos lados por una misma cantidad (distinta de cero) la igualdad se mantiene
En general para resolver una ecuacioacuten se tiene que despejar la incoacutegnita Para ello deben efectuarse operaciones que permitan eliminar teacuterminos o coeficientes hasta lograr despejarla
Resolucioacuten de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Ejemplo
2(x ndash 2) + 4x = 11 + 3x
2x ndash 4 + 4x = 11 + 3x
2x + 4x ndash 3x = 11 + 4
x = 5
(Distribuyendo)
(Restando 3x y sumando 4)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
3x = 15 (Dividiendo por 3)
x = 3
15
Ecuaciones con coeficientes enteros
Propiedad Intelectual Cpech
Ecuaciones con coeficientes fraccionarios
Generalmente es conveniente dejar la ecuacioacuten con coeficientes enteros multiplicando cada teacutermino de la ecuacioacuten por el mcm de los denominadores
=5x ndash 4
2
2x
3
1 4
+
=(5x ndash 4)
2
2x
3
1 4
+12
12
12
6(5x ndash 4) = 4 2x + 3 130x ndash 24 = 8x + 3
30x ndash 8x = 3 + 24
22x = 27
(Multiplicando por el mcm (2 3 4) = 12)
(Simplificando)
(Distribuyendo y multiplicando)
(Restando 8x y sumando 24)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
(Dividiendo por 22)
x = 22
27
6 4 3
Ejemplo
Propiedad Intelectual Cpech
Ecuaciones con coeficientes literales
Ejemplo
px ndash p2 = qx ndash q2 (Restando qx y sumando p2)
(Factorizando por x)
(Dividiendo por (p ndash q) ya que es distinto de cero)(Factorizando la diferencia de cuadrados)
(Simplificando)
px ndash qx = p2 ndash q2
x(p ndash q) = p2 ndash q2
p2 ndash q2
(p ndash q) =x
(p + q) (p ndash q)
(p ndash q) =x
x = p + q
En la ecuacioacuten px ndash p2 = qx ndash q2 con p ne q encontrar x
Propiedad Intelectual Cpech
Equivale a transcribir una expresioacuten verbal a una expresioacuten algebraica
Para esto utilizamos el metalenguaje
Problemas de planteo
Ejemplo
Si x representa un nuacutemero entonces
- El doble de un nuacutemero 2x
5x
x ndash 1
x + 1
x
3 3x
4
- La tercera parte de x
- Los tres cuartos de x
- El quiacutentuplo de x
- El antecesor de x
- El consecutivo o sucesor de x
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
Sea x el nuacutemero buscado
ldquoEl triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad equivale al doble del
nuacutemero aumentado en 6 iquestCuaacutel es el nuacutemerordquo
Solucioacuten
Seguacuten el metalenguaje se tienen los siguientes conceptos
bull El doble del nuacutemero aumentado en 6 2x + 6
bull El triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad
2
3 xx
Se tiene entonces la siguiente ecuacioacuten
= 2x + 6
2
3 xx
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
(Resolviendo el pareacutentesis)
= 2x + 6 3 x2
(Multiplicando por 2)
3x = 4x + 12
ndash 12 = 4x ndash 3x
ndash 12 = x
(Restando 3x y restando 12)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
= 2x + 6
2
3 xx
2
3 x = 2x + 6
Finalmente el nuacutemero es ndash 12
Propiedad Intelectual Cpech
Sistemas de ecuaciones
Para determinar el valor numeacuterico de cada una de ellas debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incoacutegnitas
Es un conjunto de ecuaciones donde hay maacutes de una incoacutegnita
Ejemplo 2x + 3y = 7
x ndash 4y = 2
Graacuteficamente la solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales (o de primer grado) corresponde a la interseccioacuten de las rectas representadas por dichas ecuaciones
Por lo tanto al resolver este tipo de sistema puede ocurrir que tenga
bull una solucioacuten
bull infinitas soluciones
bull ninguna solucioacuten
las rectas se intersectan en un solo punto (x y)
las rectas son coincidentes
las rectas son paralelas
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Igualacioacuten
Consiste en despejar la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones del sistema Luego se igualan los resultados
El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones despejadas del sistema
Ejemplo
Despejando x en ambas ecuaciones
1) 2x + 3y = 7
2x = 7 ndash 3y
2) x ndash 4y = ndash 2x = ndash 2 + 4y
7 ndash 3y 2
x =
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Igualando ambas ecuaciones se obtiene
7 ndash 3y = ndash 4 + 8y
7 ndash 3y + 3y = ndash 4 + 8y + 3y
7 = ndash 4 + 11y
7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4
11 = 11y
1 = y
(Sumando 3y)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
= ndash 2 + 4y7 ndash 3y
2
Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de xReemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x
(Multiplicando por 2)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x = ndash 2 + 4y
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten despejada queda
x = ndash 2 + 4middot1
x = ndash 2 + 4
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacutenRecuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacuten
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Sustitucioacuten
Consiste en despejar una incoacutegnita de una de las ecuaciones del sistema Una vez despejada se reemplaza en la otra ecuacioacuten determinando el valor de la incoacutegnita
El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuacioacuten despejada
Ejemplo 1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Despejando x en la segunda ecuacioacuten
x = ndash 2 + 4y
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Reemplazando x = ndash 2 + 4y en la primera ecuacioacuten resulta
1) 2x + 3y = 7
2middot(ndash 2 + 4y) + 3y = 7
ndash 4 + 8y + 3y = 7
11y = 7 + 4
11y = 11
y = 1
(Distribuyendo)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
Como x = ndash 2 + 4y x = ndash 2 + 4middot1
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Para eliminar x multiplicaremos la segunda ecuacioacuten por ndash 2
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Reduccioacuten
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un nuacutemero tal que una de las incoacutegnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuacioacuten Luego se suman ambas ecuaciones de modo que se elimine la incoacutegnita con coeficientes opuestos
Ejemplo
middot (ndash 2)
1) 2x + 3y = 7
2) ndash 2x + 8y = 4(+)
11y = 11
y = 1
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x ndash 4y = ndash 2
x ndash 4middot1 = ndash 2
x = 2
x = ndash 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
Propiedad Intelectual Cpech
Prepara tu proacutexima clase
En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
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Ejemplo
2(x ndash 2) + 4x = 11 + 3x
2x ndash 4 + 4x = 11 + 3x
2x + 4x ndash 3x = 11 + 4
x = 5
(Distribuyendo)
(Restando 3x y sumando 4)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
3x = 15 (Dividiendo por 3)
x = 3
15
Ecuaciones con coeficientes enteros
Propiedad Intelectual Cpech
Ecuaciones con coeficientes fraccionarios
Generalmente es conveniente dejar la ecuacioacuten con coeficientes enteros multiplicando cada teacutermino de la ecuacioacuten por el mcm de los denominadores
=5x ndash 4
2
2x
3
1 4
+
=(5x ndash 4)
2
2x
3
1 4
+12
12
12
6(5x ndash 4) = 4 2x + 3 130x ndash 24 = 8x + 3
30x ndash 8x = 3 + 24
22x = 27
(Multiplicando por el mcm (2 3 4) = 12)
(Simplificando)
(Distribuyendo y multiplicando)
(Restando 8x y sumando 24)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
(Dividiendo por 22)
x = 22
27
6 4 3
Ejemplo
Propiedad Intelectual Cpech
Ecuaciones con coeficientes literales
Ejemplo
px ndash p2 = qx ndash q2 (Restando qx y sumando p2)
(Factorizando por x)
(Dividiendo por (p ndash q) ya que es distinto de cero)(Factorizando la diferencia de cuadrados)
(Simplificando)
px ndash qx = p2 ndash q2
x(p ndash q) = p2 ndash q2
p2 ndash q2
(p ndash q) =x
(p + q) (p ndash q)
(p ndash q) =x
x = p + q
En la ecuacioacuten px ndash p2 = qx ndash q2 con p ne q encontrar x
Propiedad Intelectual Cpech
Equivale a transcribir una expresioacuten verbal a una expresioacuten algebraica
Para esto utilizamos el metalenguaje
Problemas de planteo
Ejemplo
Si x representa un nuacutemero entonces
- El doble de un nuacutemero 2x
5x
x ndash 1
x + 1
x
3 3x
4
- La tercera parte de x
- Los tres cuartos de x
- El quiacutentuplo de x
- El antecesor de x
- El consecutivo o sucesor de x
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
Sea x el nuacutemero buscado
ldquoEl triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad equivale al doble del
nuacutemero aumentado en 6 iquestCuaacutel es el nuacutemerordquo
Solucioacuten
Seguacuten el metalenguaje se tienen los siguientes conceptos
bull El doble del nuacutemero aumentado en 6 2x + 6
bull El triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad
2
3 xx
Se tiene entonces la siguiente ecuacioacuten
= 2x + 6
2
3 xx
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
(Resolviendo el pareacutentesis)
= 2x + 6 3 x2
(Multiplicando por 2)
3x = 4x + 12
ndash 12 = 4x ndash 3x
ndash 12 = x
(Restando 3x y restando 12)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
= 2x + 6
2
3 xx
2
3 x = 2x + 6
Finalmente el nuacutemero es ndash 12
Propiedad Intelectual Cpech
Sistemas de ecuaciones
Para determinar el valor numeacuterico de cada una de ellas debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incoacutegnitas
Es un conjunto de ecuaciones donde hay maacutes de una incoacutegnita
Ejemplo 2x + 3y = 7
x ndash 4y = 2
Graacuteficamente la solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales (o de primer grado) corresponde a la interseccioacuten de las rectas representadas por dichas ecuaciones
Por lo tanto al resolver este tipo de sistema puede ocurrir que tenga
bull una solucioacuten
bull infinitas soluciones
bull ninguna solucioacuten
las rectas se intersectan en un solo punto (x y)
las rectas son coincidentes
las rectas son paralelas
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Igualacioacuten
Consiste en despejar la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones del sistema Luego se igualan los resultados
El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones despejadas del sistema
Ejemplo
Despejando x en ambas ecuaciones
1) 2x + 3y = 7
2x = 7 ndash 3y
2) x ndash 4y = ndash 2x = ndash 2 + 4y
7 ndash 3y 2
x =
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Igualando ambas ecuaciones se obtiene
7 ndash 3y = ndash 4 + 8y
7 ndash 3y + 3y = ndash 4 + 8y + 3y
7 = ndash 4 + 11y
7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4
11 = 11y
1 = y
(Sumando 3y)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
= ndash 2 + 4y7 ndash 3y
2
Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de xReemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x
(Multiplicando por 2)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x = ndash 2 + 4y
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten despejada queda
x = ndash 2 + 4middot1
x = ndash 2 + 4
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacutenRecuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacuten
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Sustitucioacuten
Consiste en despejar una incoacutegnita de una de las ecuaciones del sistema Una vez despejada se reemplaza en la otra ecuacioacuten determinando el valor de la incoacutegnita
El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuacioacuten despejada
Ejemplo 1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Despejando x en la segunda ecuacioacuten
x = ndash 2 + 4y
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Reemplazando x = ndash 2 + 4y en la primera ecuacioacuten resulta
1) 2x + 3y = 7
2middot(ndash 2 + 4y) + 3y = 7
ndash 4 + 8y + 3y = 7
11y = 7 + 4
11y = 11
y = 1
(Distribuyendo)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
Como x = ndash 2 + 4y x = ndash 2 + 4middot1
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Para eliminar x multiplicaremos la segunda ecuacioacuten por ndash 2
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Reduccioacuten
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un nuacutemero tal que una de las incoacutegnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuacioacuten Luego se suman ambas ecuaciones de modo que se elimine la incoacutegnita con coeficientes opuestos
Ejemplo
middot (ndash 2)
1) 2x + 3y = 7
2) ndash 2x + 8y = 4(+)
11y = 11
y = 1
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x ndash 4y = ndash 2
x ndash 4middot1 = ndash 2
x = 2
x = ndash 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
Propiedad Intelectual Cpech
Prepara tu proacutexima clase
En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
Propiedad Intelectual Cpech
ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL
REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL
Equipo Editorial Aacuterea Matemaacutetica
Propiedad Intelectual Cpech
Ecuaciones con coeficientes fraccionarios
Generalmente es conveniente dejar la ecuacioacuten con coeficientes enteros multiplicando cada teacutermino de la ecuacioacuten por el mcm de los denominadores
=5x ndash 4
2
2x
3
1 4
+
=(5x ndash 4)
2
2x
3
1 4
+12
12
12
6(5x ndash 4) = 4 2x + 3 130x ndash 24 = 8x + 3
30x ndash 8x = 3 + 24
22x = 27
(Multiplicando por el mcm (2 3 4) = 12)
(Simplificando)
(Distribuyendo y multiplicando)
(Restando 8x y sumando 24)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
(Dividiendo por 22)
x = 22
27
6 4 3
Ejemplo
Propiedad Intelectual Cpech
Ecuaciones con coeficientes literales
Ejemplo
px ndash p2 = qx ndash q2 (Restando qx y sumando p2)
(Factorizando por x)
(Dividiendo por (p ndash q) ya que es distinto de cero)(Factorizando la diferencia de cuadrados)
(Simplificando)
px ndash qx = p2 ndash q2
x(p ndash q) = p2 ndash q2
p2 ndash q2
(p ndash q) =x
(p + q) (p ndash q)
(p ndash q) =x
x = p + q
En la ecuacioacuten px ndash p2 = qx ndash q2 con p ne q encontrar x
Propiedad Intelectual Cpech
Equivale a transcribir una expresioacuten verbal a una expresioacuten algebraica
Para esto utilizamos el metalenguaje
Problemas de planteo
Ejemplo
Si x representa un nuacutemero entonces
- El doble de un nuacutemero 2x
5x
x ndash 1
x + 1
x
3 3x
4
- La tercera parte de x
- Los tres cuartos de x
- El quiacutentuplo de x
- El antecesor de x
- El consecutivo o sucesor de x
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
Sea x el nuacutemero buscado
ldquoEl triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad equivale al doble del
nuacutemero aumentado en 6 iquestCuaacutel es el nuacutemerordquo
Solucioacuten
Seguacuten el metalenguaje se tienen los siguientes conceptos
bull El doble del nuacutemero aumentado en 6 2x + 6
bull El triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad
2
3 xx
Se tiene entonces la siguiente ecuacioacuten
= 2x + 6
2
3 xx
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
(Resolviendo el pareacutentesis)
= 2x + 6 3 x2
(Multiplicando por 2)
3x = 4x + 12
ndash 12 = 4x ndash 3x
ndash 12 = x
(Restando 3x y restando 12)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
= 2x + 6
2
3 xx
2
3 x = 2x + 6
Finalmente el nuacutemero es ndash 12
Propiedad Intelectual Cpech
Sistemas de ecuaciones
Para determinar el valor numeacuterico de cada una de ellas debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incoacutegnitas
Es un conjunto de ecuaciones donde hay maacutes de una incoacutegnita
Ejemplo 2x + 3y = 7
x ndash 4y = 2
Graacuteficamente la solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales (o de primer grado) corresponde a la interseccioacuten de las rectas representadas por dichas ecuaciones
Por lo tanto al resolver este tipo de sistema puede ocurrir que tenga
bull una solucioacuten
bull infinitas soluciones
bull ninguna solucioacuten
las rectas se intersectan en un solo punto (x y)
las rectas son coincidentes
las rectas son paralelas
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Igualacioacuten
Consiste en despejar la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones del sistema Luego se igualan los resultados
El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones despejadas del sistema
Ejemplo
Despejando x en ambas ecuaciones
1) 2x + 3y = 7
2x = 7 ndash 3y
2) x ndash 4y = ndash 2x = ndash 2 + 4y
7 ndash 3y 2
x =
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Igualando ambas ecuaciones se obtiene
7 ndash 3y = ndash 4 + 8y
7 ndash 3y + 3y = ndash 4 + 8y + 3y
7 = ndash 4 + 11y
7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4
11 = 11y
1 = y
(Sumando 3y)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
= ndash 2 + 4y7 ndash 3y
2
Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de xReemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x
(Multiplicando por 2)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x = ndash 2 + 4y
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten despejada queda
x = ndash 2 + 4middot1
x = ndash 2 + 4
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacutenRecuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacuten
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Sustitucioacuten
Consiste en despejar una incoacutegnita de una de las ecuaciones del sistema Una vez despejada se reemplaza en la otra ecuacioacuten determinando el valor de la incoacutegnita
El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuacioacuten despejada
Ejemplo 1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Despejando x en la segunda ecuacioacuten
x = ndash 2 + 4y
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Reemplazando x = ndash 2 + 4y en la primera ecuacioacuten resulta
1) 2x + 3y = 7
2middot(ndash 2 + 4y) + 3y = 7
ndash 4 + 8y + 3y = 7
11y = 7 + 4
11y = 11
y = 1
(Distribuyendo)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
Como x = ndash 2 + 4y x = ndash 2 + 4middot1
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Para eliminar x multiplicaremos la segunda ecuacioacuten por ndash 2
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Reduccioacuten
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un nuacutemero tal que una de las incoacutegnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuacioacuten Luego se suman ambas ecuaciones de modo que se elimine la incoacutegnita con coeficientes opuestos
Ejemplo
middot (ndash 2)
1) 2x + 3y = 7
2) ndash 2x + 8y = 4(+)
11y = 11
y = 1
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x ndash 4y = ndash 2
x ndash 4middot1 = ndash 2
x = 2
x = ndash 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
Propiedad Intelectual Cpech
Prepara tu proacutexima clase
En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
Propiedad Intelectual Cpech
ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL
REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL
Equipo Editorial Aacuterea Matemaacutetica
Propiedad Intelectual Cpech
Ecuaciones con coeficientes literales
Ejemplo
px ndash p2 = qx ndash q2 (Restando qx y sumando p2)
(Factorizando por x)
(Dividiendo por (p ndash q) ya que es distinto de cero)(Factorizando la diferencia de cuadrados)
(Simplificando)
px ndash qx = p2 ndash q2
x(p ndash q) = p2 ndash q2
p2 ndash q2
(p ndash q) =x
(p + q) (p ndash q)
(p ndash q) =x
x = p + q
En la ecuacioacuten px ndash p2 = qx ndash q2 con p ne q encontrar x
Propiedad Intelectual Cpech
Equivale a transcribir una expresioacuten verbal a una expresioacuten algebraica
Para esto utilizamos el metalenguaje
Problemas de planteo
Ejemplo
Si x representa un nuacutemero entonces
- El doble de un nuacutemero 2x
5x
x ndash 1
x + 1
x
3 3x
4
- La tercera parte de x
- Los tres cuartos de x
- El quiacutentuplo de x
- El antecesor de x
- El consecutivo o sucesor de x
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
Sea x el nuacutemero buscado
ldquoEl triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad equivale al doble del
nuacutemero aumentado en 6 iquestCuaacutel es el nuacutemerordquo
Solucioacuten
Seguacuten el metalenguaje se tienen los siguientes conceptos
bull El doble del nuacutemero aumentado en 6 2x + 6
bull El triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad
2
3 xx
Se tiene entonces la siguiente ecuacioacuten
= 2x + 6
2
3 xx
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
(Resolviendo el pareacutentesis)
= 2x + 6 3 x2
(Multiplicando por 2)
3x = 4x + 12
ndash 12 = 4x ndash 3x
ndash 12 = x
(Restando 3x y restando 12)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
= 2x + 6
2
3 xx
2
3 x = 2x + 6
Finalmente el nuacutemero es ndash 12
Propiedad Intelectual Cpech
Sistemas de ecuaciones
Para determinar el valor numeacuterico de cada una de ellas debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incoacutegnitas
Es un conjunto de ecuaciones donde hay maacutes de una incoacutegnita
Ejemplo 2x + 3y = 7
x ndash 4y = 2
Graacuteficamente la solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales (o de primer grado) corresponde a la interseccioacuten de las rectas representadas por dichas ecuaciones
Por lo tanto al resolver este tipo de sistema puede ocurrir que tenga
bull una solucioacuten
bull infinitas soluciones
bull ninguna solucioacuten
las rectas se intersectan en un solo punto (x y)
las rectas son coincidentes
las rectas son paralelas
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Igualacioacuten
Consiste en despejar la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones del sistema Luego se igualan los resultados
El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones despejadas del sistema
Ejemplo
Despejando x en ambas ecuaciones
1) 2x + 3y = 7
2x = 7 ndash 3y
2) x ndash 4y = ndash 2x = ndash 2 + 4y
7 ndash 3y 2
x =
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Igualando ambas ecuaciones se obtiene
7 ndash 3y = ndash 4 + 8y
7 ndash 3y + 3y = ndash 4 + 8y + 3y
7 = ndash 4 + 11y
7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4
11 = 11y
1 = y
(Sumando 3y)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
= ndash 2 + 4y7 ndash 3y
2
Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de xReemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x
(Multiplicando por 2)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x = ndash 2 + 4y
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten despejada queda
x = ndash 2 + 4middot1
x = ndash 2 + 4
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacutenRecuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacuten
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Sustitucioacuten
Consiste en despejar una incoacutegnita de una de las ecuaciones del sistema Una vez despejada se reemplaza en la otra ecuacioacuten determinando el valor de la incoacutegnita
El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuacioacuten despejada
Ejemplo 1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Despejando x en la segunda ecuacioacuten
x = ndash 2 + 4y
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Reemplazando x = ndash 2 + 4y en la primera ecuacioacuten resulta
1) 2x + 3y = 7
2middot(ndash 2 + 4y) + 3y = 7
ndash 4 + 8y + 3y = 7
11y = 7 + 4
11y = 11
y = 1
(Distribuyendo)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
Como x = ndash 2 + 4y x = ndash 2 + 4middot1
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Para eliminar x multiplicaremos la segunda ecuacioacuten por ndash 2
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Reduccioacuten
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un nuacutemero tal que una de las incoacutegnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuacioacuten Luego se suman ambas ecuaciones de modo que se elimine la incoacutegnita con coeficientes opuestos
Ejemplo
middot (ndash 2)
1) 2x + 3y = 7
2) ndash 2x + 8y = 4(+)
11y = 11
y = 1
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x ndash 4y = ndash 2
x ndash 4middot1 = ndash 2
x = 2
x = ndash 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
Propiedad Intelectual Cpech
Prepara tu proacutexima clase
En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
Propiedad Intelectual Cpech
ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL
REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL
Equipo Editorial Aacuterea Matemaacutetica
Propiedad Intelectual Cpech
Equivale a transcribir una expresioacuten verbal a una expresioacuten algebraica
Para esto utilizamos el metalenguaje
Problemas de planteo
Ejemplo
Si x representa un nuacutemero entonces
- El doble de un nuacutemero 2x
5x
x ndash 1
x + 1
x
3 3x
4
- La tercera parte de x
- Los tres cuartos de x
- El quiacutentuplo de x
- El antecesor de x
- El consecutivo o sucesor de x
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
Sea x el nuacutemero buscado
ldquoEl triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad equivale al doble del
nuacutemero aumentado en 6 iquestCuaacutel es el nuacutemerordquo
Solucioacuten
Seguacuten el metalenguaje se tienen los siguientes conceptos
bull El doble del nuacutemero aumentado en 6 2x + 6
bull El triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad
2
3 xx
Se tiene entonces la siguiente ecuacioacuten
= 2x + 6
2
3 xx
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
(Resolviendo el pareacutentesis)
= 2x + 6 3 x2
(Multiplicando por 2)
3x = 4x + 12
ndash 12 = 4x ndash 3x
ndash 12 = x
(Restando 3x y restando 12)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
= 2x + 6
2
3 xx
2
3 x = 2x + 6
Finalmente el nuacutemero es ndash 12
Propiedad Intelectual Cpech
Sistemas de ecuaciones
Para determinar el valor numeacuterico de cada una de ellas debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incoacutegnitas
Es un conjunto de ecuaciones donde hay maacutes de una incoacutegnita
Ejemplo 2x + 3y = 7
x ndash 4y = 2
Graacuteficamente la solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales (o de primer grado) corresponde a la interseccioacuten de las rectas representadas por dichas ecuaciones
Por lo tanto al resolver este tipo de sistema puede ocurrir que tenga
bull una solucioacuten
bull infinitas soluciones
bull ninguna solucioacuten
las rectas se intersectan en un solo punto (x y)
las rectas son coincidentes
las rectas son paralelas
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Igualacioacuten
Consiste en despejar la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones del sistema Luego se igualan los resultados
El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones despejadas del sistema
Ejemplo
Despejando x en ambas ecuaciones
1) 2x + 3y = 7
2x = 7 ndash 3y
2) x ndash 4y = ndash 2x = ndash 2 + 4y
7 ndash 3y 2
x =
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Igualando ambas ecuaciones se obtiene
7 ndash 3y = ndash 4 + 8y
7 ndash 3y + 3y = ndash 4 + 8y + 3y
7 = ndash 4 + 11y
7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4
11 = 11y
1 = y
(Sumando 3y)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
= ndash 2 + 4y7 ndash 3y
2
Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de xReemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x
(Multiplicando por 2)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x = ndash 2 + 4y
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten despejada queda
x = ndash 2 + 4middot1
x = ndash 2 + 4
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacutenRecuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacuten
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Sustitucioacuten
Consiste en despejar una incoacutegnita de una de las ecuaciones del sistema Una vez despejada se reemplaza en la otra ecuacioacuten determinando el valor de la incoacutegnita
El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuacioacuten despejada
Ejemplo 1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Despejando x en la segunda ecuacioacuten
x = ndash 2 + 4y
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Reemplazando x = ndash 2 + 4y en la primera ecuacioacuten resulta
1) 2x + 3y = 7
2middot(ndash 2 + 4y) + 3y = 7
ndash 4 + 8y + 3y = 7
11y = 7 + 4
11y = 11
y = 1
(Distribuyendo)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
Como x = ndash 2 + 4y x = ndash 2 + 4middot1
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Para eliminar x multiplicaremos la segunda ecuacioacuten por ndash 2
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Reduccioacuten
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un nuacutemero tal que una de las incoacutegnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuacioacuten Luego se suman ambas ecuaciones de modo que se elimine la incoacutegnita con coeficientes opuestos
Ejemplo
middot (ndash 2)
1) 2x + 3y = 7
2) ndash 2x + 8y = 4(+)
11y = 11
y = 1
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x ndash 4y = ndash 2
x ndash 4middot1 = ndash 2
x = 2
x = ndash 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
Propiedad Intelectual Cpech
Prepara tu proacutexima clase
En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
Propiedad Intelectual Cpech
ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL
REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL
Equipo Editorial Aacuterea Matemaacutetica
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
Sea x el nuacutemero buscado
ldquoEl triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad equivale al doble del
nuacutemero aumentado en 6 iquestCuaacutel es el nuacutemerordquo
Solucioacuten
Seguacuten el metalenguaje se tienen los siguientes conceptos
bull El doble del nuacutemero aumentado en 6 2x + 6
bull El triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad
2
3 xx
Se tiene entonces la siguiente ecuacioacuten
= 2x + 6
2
3 xx
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
(Resolviendo el pareacutentesis)
= 2x + 6 3 x2
(Multiplicando por 2)
3x = 4x + 12
ndash 12 = 4x ndash 3x
ndash 12 = x
(Restando 3x y restando 12)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
= 2x + 6
2
3 xx
2
3 x = 2x + 6
Finalmente el nuacutemero es ndash 12
Propiedad Intelectual Cpech
Sistemas de ecuaciones
Para determinar el valor numeacuterico de cada una de ellas debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incoacutegnitas
Es un conjunto de ecuaciones donde hay maacutes de una incoacutegnita
Ejemplo 2x + 3y = 7
x ndash 4y = 2
Graacuteficamente la solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales (o de primer grado) corresponde a la interseccioacuten de las rectas representadas por dichas ecuaciones
Por lo tanto al resolver este tipo de sistema puede ocurrir que tenga
bull una solucioacuten
bull infinitas soluciones
bull ninguna solucioacuten
las rectas se intersectan en un solo punto (x y)
las rectas son coincidentes
las rectas son paralelas
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Igualacioacuten
Consiste en despejar la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones del sistema Luego se igualan los resultados
El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones despejadas del sistema
Ejemplo
Despejando x en ambas ecuaciones
1) 2x + 3y = 7
2x = 7 ndash 3y
2) x ndash 4y = ndash 2x = ndash 2 + 4y
7 ndash 3y 2
x =
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Igualando ambas ecuaciones se obtiene
7 ndash 3y = ndash 4 + 8y
7 ndash 3y + 3y = ndash 4 + 8y + 3y
7 = ndash 4 + 11y
7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4
11 = 11y
1 = y
(Sumando 3y)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
= ndash 2 + 4y7 ndash 3y
2
Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de xReemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x
(Multiplicando por 2)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x = ndash 2 + 4y
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten despejada queda
x = ndash 2 + 4middot1
x = ndash 2 + 4
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacutenRecuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacuten
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Sustitucioacuten
Consiste en despejar una incoacutegnita de una de las ecuaciones del sistema Una vez despejada se reemplaza en la otra ecuacioacuten determinando el valor de la incoacutegnita
El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuacioacuten despejada
Ejemplo 1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Despejando x en la segunda ecuacioacuten
x = ndash 2 + 4y
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Reemplazando x = ndash 2 + 4y en la primera ecuacioacuten resulta
1) 2x + 3y = 7
2middot(ndash 2 + 4y) + 3y = 7
ndash 4 + 8y + 3y = 7
11y = 7 + 4
11y = 11
y = 1
(Distribuyendo)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
Como x = ndash 2 + 4y x = ndash 2 + 4middot1
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Para eliminar x multiplicaremos la segunda ecuacioacuten por ndash 2
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Reduccioacuten
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un nuacutemero tal que una de las incoacutegnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuacioacuten Luego se suman ambas ecuaciones de modo que se elimine la incoacutegnita con coeficientes opuestos
Ejemplo
middot (ndash 2)
1) 2x + 3y = 7
2) ndash 2x + 8y = 4(+)
11y = 11
y = 1
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x ndash 4y = ndash 2
x ndash 4middot1 = ndash 2
x = 2
x = ndash 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
Propiedad Intelectual Cpech
Prepara tu proacutexima clase
En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
Propiedad Intelectual Cpech
ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL
REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL
Equipo Editorial Aacuterea Matemaacutetica
Propiedad Intelectual Cpech
Problemas de planteo
(Resolviendo el pareacutentesis)
= 2x + 6 3 x2
(Multiplicando por 2)
3x = 4x + 12
ndash 12 = 4x ndash 3x
ndash 12 = x
(Restando 3x y restando 12)
(Reduciendo teacuterminos semejantes)
= 2x + 6
2
3 xx
2
3 x = 2x + 6
Finalmente el nuacutemero es ndash 12
Propiedad Intelectual Cpech
Sistemas de ecuaciones
Para determinar el valor numeacuterico de cada una de ellas debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incoacutegnitas
Es un conjunto de ecuaciones donde hay maacutes de una incoacutegnita
Ejemplo 2x + 3y = 7
x ndash 4y = 2
Graacuteficamente la solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales (o de primer grado) corresponde a la interseccioacuten de las rectas representadas por dichas ecuaciones
Por lo tanto al resolver este tipo de sistema puede ocurrir que tenga
bull una solucioacuten
bull infinitas soluciones
bull ninguna solucioacuten
las rectas se intersectan en un solo punto (x y)
las rectas son coincidentes
las rectas son paralelas
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Igualacioacuten
Consiste en despejar la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones del sistema Luego se igualan los resultados
El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones despejadas del sistema
Ejemplo
Despejando x en ambas ecuaciones
1) 2x + 3y = 7
2x = 7 ndash 3y
2) x ndash 4y = ndash 2x = ndash 2 + 4y
7 ndash 3y 2
x =
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Igualando ambas ecuaciones se obtiene
7 ndash 3y = ndash 4 + 8y
7 ndash 3y + 3y = ndash 4 + 8y + 3y
7 = ndash 4 + 11y
7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4
11 = 11y
1 = y
(Sumando 3y)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
= ndash 2 + 4y7 ndash 3y
2
Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de xReemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x
(Multiplicando por 2)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x = ndash 2 + 4y
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten despejada queda
x = ndash 2 + 4middot1
x = ndash 2 + 4
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacutenRecuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacuten
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Sustitucioacuten
Consiste en despejar una incoacutegnita de una de las ecuaciones del sistema Una vez despejada se reemplaza en la otra ecuacioacuten determinando el valor de la incoacutegnita
El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuacioacuten despejada
Ejemplo 1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Despejando x en la segunda ecuacioacuten
x = ndash 2 + 4y
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Reemplazando x = ndash 2 + 4y en la primera ecuacioacuten resulta
1) 2x + 3y = 7
2middot(ndash 2 + 4y) + 3y = 7
ndash 4 + 8y + 3y = 7
11y = 7 + 4
11y = 11
y = 1
(Distribuyendo)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
Como x = ndash 2 + 4y x = ndash 2 + 4middot1
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Para eliminar x multiplicaremos la segunda ecuacioacuten por ndash 2
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Reduccioacuten
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un nuacutemero tal que una de las incoacutegnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuacioacuten Luego se suman ambas ecuaciones de modo que se elimine la incoacutegnita con coeficientes opuestos
Ejemplo
middot (ndash 2)
1) 2x + 3y = 7
2) ndash 2x + 8y = 4(+)
11y = 11
y = 1
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x ndash 4y = ndash 2
x ndash 4middot1 = ndash 2
x = 2
x = ndash 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
Propiedad Intelectual Cpech
Prepara tu proacutexima clase
En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
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ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL
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Propiedad Intelectual Cpech
Sistemas de ecuaciones
Para determinar el valor numeacuterico de cada una de ellas debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incoacutegnitas
Es un conjunto de ecuaciones donde hay maacutes de una incoacutegnita
Ejemplo 2x + 3y = 7
x ndash 4y = 2
Graacuteficamente la solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales (o de primer grado) corresponde a la interseccioacuten de las rectas representadas por dichas ecuaciones
Por lo tanto al resolver este tipo de sistema puede ocurrir que tenga
bull una solucioacuten
bull infinitas soluciones
bull ninguna solucioacuten
las rectas se intersectan en un solo punto (x y)
las rectas son coincidentes
las rectas son paralelas
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Igualacioacuten
Consiste en despejar la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones del sistema Luego se igualan los resultados
El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones despejadas del sistema
Ejemplo
Despejando x en ambas ecuaciones
1) 2x + 3y = 7
2x = 7 ndash 3y
2) x ndash 4y = ndash 2x = ndash 2 + 4y
7 ndash 3y 2
x =
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Igualando ambas ecuaciones se obtiene
7 ndash 3y = ndash 4 + 8y
7 ndash 3y + 3y = ndash 4 + 8y + 3y
7 = ndash 4 + 11y
7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4
11 = 11y
1 = y
(Sumando 3y)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
= ndash 2 + 4y7 ndash 3y
2
Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de xReemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x
(Multiplicando por 2)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x = ndash 2 + 4y
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten despejada queda
x = ndash 2 + 4middot1
x = ndash 2 + 4
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacutenRecuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacuten
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Sustitucioacuten
Consiste en despejar una incoacutegnita de una de las ecuaciones del sistema Una vez despejada se reemplaza en la otra ecuacioacuten determinando el valor de la incoacutegnita
El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuacioacuten despejada
Ejemplo 1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Despejando x en la segunda ecuacioacuten
x = ndash 2 + 4y
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Reemplazando x = ndash 2 + 4y en la primera ecuacioacuten resulta
1) 2x + 3y = 7
2middot(ndash 2 + 4y) + 3y = 7
ndash 4 + 8y + 3y = 7
11y = 7 + 4
11y = 11
y = 1
(Distribuyendo)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
Como x = ndash 2 + 4y x = ndash 2 + 4middot1
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Para eliminar x multiplicaremos la segunda ecuacioacuten por ndash 2
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Reduccioacuten
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un nuacutemero tal que una de las incoacutegnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuacioacuten Luego se suman ambas ecuaciones de modo que se elimine la incoacutegnita con coeficientes opuestos
Ejemplo
middot (ndash 2)
1) 2x + 3y = 7
2) ndash 2x + 8y = 4(+)
11y = 11
y = 1
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x ndash 4y = ndash 2
x ndash 4middot1 = ndash 2
x = 2
x = ndash 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
Propiedad Intelectual Cpech
Prepara tu proacutexima clase
En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
Propiedad Intelectual Cpech
ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL
REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL
Equipo Editorial Aacuterea Matemaacutetica
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Igualacioacuten
Consiste en despejar la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones del sistema Luego se igualan los resultados
El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones despejadas del sistema
Ejemplo
Despejando x en ambas ecuaciones
1) 2x + 3y = 7
2x = 7 ndash 3y
2) x ndash 4y = ndash 2x = ndash 2 + 4y
7 ndash 3y 2
x =
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Igualando ambas ecuaciones se obtiene
7 ndash 3y = ndash 4 + 8y
7 ndash 3y + 3y = ndash 4 + 8y + 3y
7 = ndash 4 + 11y
7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4
11 = 11y
1 = y
(Sumando 3y)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
= ndash 2 + 4y7 ndash 3y
2
Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de xReemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x
(Multiplicando por 2)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x = ndash 2 + 4y
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten despejada queda
x = ndash 2 + 4middot1
x = ndash 2 + 4
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacutenRecuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacuten
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Sustitucioacuten
Consiste en despejar una incoacutegnita de una de las ecuaciones del sistema Una vez despejada se reemplaza en la otra ecuacioacuten determinando el valor de la incoacutegnita
El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuacioacuten despejada
Ejemplo 1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Despejando x en la segunda ecuacioacuten
x = ndash 2 + 4y
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Reemplazando x = ndash 2 + 4y en la primera ecuacioacuten resulta
1) 2x + 3y = 7
2middot(ndash 2 + 4y) + 3y = 7
ndash 4 + 8y + 3y = 7
11y = 7 + 4
11y = 11
y = 1
(Distribuyendo)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
Como x = ndash 2 + 4y x = ndash 2 + 4middot1
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Para eliminar x multiplicaremos la segunda ecuacioacuten por ndash 2
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Reduccioacuten
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un nuacutemero tal que una de las incoacutegnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuacioacuten Luego se suman ambas ecuaciones de modo que se elimine la incoacutegnita con coeficientes opuestos
Ejemplo
middot (ndash 2)
1) 2x + 3y = 7
2) ndash 2x + 8y = 4(+)
11y = 11
y = 1
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x ndash 4y = ndash 2
x ndash 4middot1 = ndash 2
x = 2
x = ndash 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
Propiedad Intelectual Cpech
Prepara tu proacutexima clase
En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
Propiedad Intelectual Cpech
ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL
REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL
Equipo Editorial Aacuterea Matemaacutetica
Propiedad Intelectual Cpech
Igualando ambas ecuaciones se obtiene
7 ndash 3y = ndash 4 + 8y
7 ndash 3y + 3y = ndash 4 + 8y + 3y
7 = ndash 4 + 11y
7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4
11 = 11y
1 = y
(Sumando 3y)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
= ndash 2 + 4y7 ndash 3y
2
Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de xReemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x
(Multiplicando por 2)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x = ndash 2 + 4y
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten despejada queda
x = ndash 2 + 4middot1
x = ndash 2 + 4
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacutenRecuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacuten
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Sustitucioacuten
Consiste en despejar una incoacutegnita de una de las ecuaciones del sistema Una vez despejada se reemplaza en la otra ecuacioacuten determinando el valor de la incoacutegnita
El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuacioacuten despejada
Ejemplo 1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Despejando x en la segunda ecuacioacuten
x = ndash 2 + 4y
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Reemplazando x = ndash 2 + 4y en la primera ecuacioacuten resulta
1) 2x + 3y = 7
2middot(ndash 2 + 4y) + 3y = 7
ndash 4 + 8y + 3y = 7
11y = 7 + 4
11y = 11
y = 1
(Distribuyendo)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
Como x = ndash 2 + 4y x = ndash 2 + 4middot1
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Para eliminar x multiplicaremos la segunda ecuacioacuten por ndash 2
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Reduccioacuten
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un nuacutemero tal que una de las incoacutegnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuacioacuten Luego se suman ambas ecuaciones de modo que se elimine la incoacutegnita con coeficientes opuestos
Ejemplo
middot (ndash 2)
1) 2x + 3y = 7
2) ndash 2x + 8y = 4(+)
11y = 11
y = 1
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x ndash 4y = ndash 2
x ndash 4middot1 = ndash 2
x = 2
x = ndash 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
Propiedad Intelectual Cpech
Prepara tu proacutexima clase
En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
Propiedad Intelectual Cpech
ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL
REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL
Equipo Editorial Aacuterea Matemaacutetica
Propiedad Intelectual Cpech
2) x = ndash 2 + 4y
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten despejada queda
x = ndash 2 + 4middot1
x = ndash 2 + 4
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacutenRecuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacuten
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Sustitucioacuten
Consiste en despejar una incoacutegnita de una de las ecuaciones del sistema Una vez despejada se reemplaza en la otra ecuacioacuten determinando el valor de la incoacutegnita
El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuacioacuten despejada
Ejemplo 1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Despejando x en la segunda ecuacioacuten
x = ndash 2 + 4y
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Reemplazando x = ndash 2 + 4y en la primera ecuacioacuten resulta
1) 2x + 3y = 7
2middot(ndash 2 + 4y) + 3y = 7
ndash 4 + 8y + 3y = 7
11y = 7 + 4
11y = 11
y = 1
(Distribuyendo)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
Como x = ndash 2 + 4y x = ndash 2 + 4middot1
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Para eliminar x multiplicaremos la segunda ecuacioacuten por ndash 2
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Reduccioacuten
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un nuacutemero tal que una de las incoacutegnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuacioacuten Luego se suman ambas ecuaciones de modo que se elimine la incoacutegnita con coeficientes opuestos
Ejemplo
middot (ndash 2)
1) 2x + 3y = 7
2) ndash 2x + 8y = 4(+)
11y = 11
y = 1
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x ndash 4y = ndash 2
x ndash 4middot1 = ndash 2
x = 2
x = ndash 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
Propiedad Intelectual Cpech
Prepara tu proacutexima clase
En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
Propiedad Intelectual Cpech
ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL
REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL
Equipo Editorial Aacuterea Matemaacutetica
Propiedad Intelectual Cpech
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Sustitucioacuten
Consiste en despejar una incoacutegnita de una de las ecuaciones del sistema Una vez despejada se reemplaza en la otra ecuacioacuten determinando el valor de la incoacutegnita
El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuacioacuten despejada
Ejemplo 1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Despejando x en la segunda ecuacioacuten
x = ndash 2 + 4y
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Reemplazando x = ndash 2 + 4y en la primera ecuacioacuten resulta
1) 2x + 3y = 7
2middot(ndash 2 + 4y) + 3y = 7
ndash 4 + 8y + 3y = 7
11y = 7 + 4
11y = 11
y = 1
(Distribuyendo)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
Como x = ndash 2 + 4y x = ndash 2 + 4middot1
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Para eliminar x multiplicaremos la segunda ecuacioacuten por ndash 2
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Reduccioacuten
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un nuacutemero tal que una de las incoacutegnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuacioacuten Luego se suman ambas ecuaciones de modo que se elimine la incoacutegnita con coeficientes opuestos
Ejemplo
middot (ndash 2)
1) 2x + 3y = 7
2) ndash 2x + 8y = 4(+)
11y = 11
y = 1
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x ndash 4y = ndash 2
x ndash 4middot1 = ndash 2
x = 2
x = ndash 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
Propiedad Intelectual Cpech
Prepara tu proacutexima clase
En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
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REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL
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Propiedad Intelectual Cpech
Reemplazando x = ndash 2 + 4y en la primera ecuacioacuten resulta
1) 2x + 3y = 7
2middot(ndash 2 + 4y) + 3y = 7
ndash 4 + 8y + 3y = 7
11y = 7 + 4
11y = 11
y = 1
(Distribuyendo)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
Como x = ndash 2 + 4y x = ndash 2 + 4middot1
x = 2
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
Para eliminar x multiplicaremos la segunda ecuacioacuten por ndash 2
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Reduccioacuten
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un nuacutemero tal que una de las incoacutegnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuacioacuten Luego se suman ambas ecuaciones de modo que se elimine la incoacutegnita con coeficientes opuestos
Ejemplo
middot (ndash 2)
1) 2x + 3y = 7
2) ndash 2x + 8y = 4(+)
11y = 11
y = 1
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x ndash 4y = ndash 2
x ndash 4middot1 = ndash 2
x = 2
x = ndash 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
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Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
Propiedad Intelectual Cpech
Prepara tu proacutexima clase
En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
Propiedad Intelectual Cpech
ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL
REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL
Equipo Editorial Aacuterea Matemaacutetica
Propiedad Intelectual Cpech
Para eliminar x multiplicaremos la segunda ecuacioacuten por ndash 2
Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas
bull Reduccioacuten
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un nuacutemero tal que una de las incoacutegnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuacioacuten Luego se suman ambas ecuaciones de modo que se elimine la incoacutegnita con coeficientes opuestos
Ejemplo
middot (ndash 2)
1) 2x + 3y = 7
2) ndash 2x + 8y = 4(+)
11y = 11
y = 1
1) 2x + 3y = 7
2) x ndash 4y = ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
2) x ndash 4y = ndash 2
x ndash 4middot1 = ndash 2
x = 2
x = ndash 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
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En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
Propiedad Intelectual Cpech
Prepara tu proacutexima clase
En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
Propiedad Intelectual Cpech
Propiedad Intelectual Cpech
ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL
REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL
Equipo Editorial Aacuterea Matemaacutetica
Propiedad Intelectual Cpech
2) x ndash 4y = ndash 2
x ndash 4middot1 = ndash 2
x = 2
x = ndash 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene
Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
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En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay
Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces
Solucioacuten
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
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iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
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iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
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1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 ndash 30
a = 25
Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema
(+)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Reemplazando k = 30 en
primera ecuacioacuten
Amplificando por ndash 2
Sistemas de ecuaciones
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iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
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E
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2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
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7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
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A
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3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
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Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
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B
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4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
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C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
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5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
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Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
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A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
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iquestCuaacutel es la alternativa correcta
1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a
A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
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E
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iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
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7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
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3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
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Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
B
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
Propiedad Intelectual Cpech
Prepara tu proacutexima clase
En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
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REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL
Equipo Editorial Aacuterea Matemaacutetica
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3q = 156 (Despejando q)
q = 156
3
q = 52
(Simplificando)
Entonces
4 91 ndash p = q
4 91 ndash p = 52
364 ndash p = 52
ndash p = 52 ndash 364
ndash p = ndash 312
p = 312
(Reemplazando q)
(Multiplicando)
(Despejando (ndash p))
(Multiplicando por (ndash 1))
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
E
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
Habilidad Aplicacioacuten
A
Propiedad Intelectual Cpech
iquestCuaacutel es la alternativa correcta
3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
Apliquemos nuestros conocimientos
Propiedad Intelectual Cpech
Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
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B
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iquestCuaacutel es la alternativa correcta
4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
HabilidadAplicacioacuten
C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
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5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
Propiedad Intelectual Cpech
Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolucioacuten
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A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
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En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado
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2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores
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7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
Apliquemos nuestros conocimientos
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A
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3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
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Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
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B
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4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
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x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
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Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
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C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
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5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
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9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
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Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
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(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
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7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))
ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)
ndash 3m = 9
3m = ndash 9
m = ndash 3
m = ndash 9
3
Entonces
m ndash m2 =
(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =
ndash 3 ndash 9 =
ndash 12
(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)
(Despejando m)
(Simplificando)
(Reemplazando)
(Desarrollando)
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3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
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Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
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4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
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Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
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C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
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5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a
traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
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Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
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(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
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3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos
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Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es
(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
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B
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4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
Respectivamente
A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
Apliquemos nuestros conocimientos
x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
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Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
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C
2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema
(Sumando ambas ecuaciones)
(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
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traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
Apliquemos nuestros conocimientos
9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
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Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas
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A
Resolviendo el sistema se tiene
(Dividiendo por 3)
0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
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(Despejando x)
x = 22 3
x = 66
Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos
Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es
66 2 = 33
33 + 2 =
35 antildeos
1 3
x = 22
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4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son
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A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
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x + y = 5
2x ndash y = ndash 2
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Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente
3x = 3 x = 1
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2) x + y = 5
1) 2x ndash y = ndash 2
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(Dividiendo por 3)
Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
(Restando 1)
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traveacutes de
A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
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9x = 3y
3x ndash y = ndash 2
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0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
(Restando ambas ecuaciones)
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A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4
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3x = 3 x = 1
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Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)
2) x + y = 5
1 + y = 5 y = 4
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A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar
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3x ndash y = ndash 2
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0 = ndash 2
2) 9x = 3y
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1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
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2) x + y = 5
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0 = ndash 2
2) 9x = 3y
1) 3x ndash y = ndash 2
1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0
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