Post on 15-Dec-2015
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CAPITULO I
Facilitar el acceso de líquido vital mediante la construcción de una cisterna para las
personas y familias que habitan en zonas de difícil acceso y requieren el debido
abastecimiento en ciertas poblaciones del ecuador.
Como se sabe no todas las poblaciones del ecuador son de fácil acceso, hay poblaciones
que quedan en montañas selvas o bosques donde no proceden un sistema el cual los provea
de agua potable y las familias que ahí habitan requieren abastecerse de líquido vital de
diversas maneras ya sea en tanques, baldes, tinas de agua, o simplemente de la mejor
manera la cual ellos posean, tomando en cuenta que no son métodos correctos para su
obtención y simplemente se podría desarrollar un sin nu7mero de enfermedades y virus los
cuales afectarían no solo a la personas si no a la población donde ellos habitan.
Las causas que generan el problema de obtención de agua en algunas poblaciones del
ecuador se viene suscitando de diversas maneras las cuales podrían ser, la ubicación
geográfica de estas poblaciones, la difícil construcción de un sistema adecuado de tuberías
o simplemente el escaso recurso monetario del gobierno el cual no soluciona estos
problemas para con la comunidad.
Es por eso que se presenta un estudio el de uno de varios métodos por el cual sería más
fácil la obtención y la adecuada utilización del líquido vital para esas personas sin embargo
aunque la solución es muy optima siempre se requerirá la inclusión del valor monetario el
cual mediante este proyecto será optimizado para observar y analizar las dimensiones de la
cisterna de agua para que el costo de la construcción sea el más adecuado.
Se realizara un análisis de acuerdo a la cantidad de agua que el ser humano necesita ingerir
en el día y se procederá a desarrollar en diferentes ámbitos como un problema a nivel
familiar, de esta manera se podara saber cuánto es la cantidad mínima de líquido vital que
la persona o la familia debe almacenar y con estos datos se procederá a desarrollar la
construcción de la cisterna de agua.
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OBJETIVOS
Objetivo General
Aplicar los temas de cálculo diferencial y optimización para realizar un estudio acerca de
la construcción de una cisterna de agua que ayudara a almacenar el líquido vital y facilitara
el acceso al mismo para las personas y familias que habitan en zonas de difícil acceso y
requieren el debido abastecimiento en ciertas poblaciones del ecuador.
Objetivos Específicos
Analizar diferentes métodos de construcción de la cisterna de agua.
Aplicar los conocimientos adquiridos sobre el tema en cuestión.
Ejecutar un método adecuado para la explicación del problema.
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JUSTIFICACIÓN
Durante los últimos meses se ha venido ejecutando la enseñanza de temas trascendentales y
de suma importancia en la matemática y a su vez adoptando el respectivo aprendizaje de
dichas teorías para la formación de los estudiantes de arquitectura.
Uno de estos temas el cual conlleva una amplia teoría la cual nos ayudara a resolver
problemas por medio de otros métodos es el Cálculo diferencial, el cual con un desenlace
en la Optimización, habrán de analizar cuestionar y solucionar el problema planteado
acerca de la creación o construcción de la cisterna de agua. Las prácticas y ejercicios,
como ninguna otra forma de enseñanza, permiten explotar mucho más las potencialidades
de los alumnos y del propio proceso de enseñanza-aprendizaje, para lograr una mayor
aproximación al modo de actuación profesional, de acuerdo a los objetivos previstos, se
procederá al desarrollo del proyecto con los conocimientos adquiridos para el análisis en
cuestión y se procederá a una extensa investigación, de manera que se obtengan los
resultados esperados y se pueda profundizar en los estudiantes conocimientos, dudas, y
actitudes.
La matemática es una ciencia formal la cual se define como un proceso que estudia las
propiedades y relaciones entre entidades abstractas como números, figuras geométricas o
símbolos, y como tal, los ejercicios matemáticos juegan un papel importante en el
desarrollo del estudiante. Las prácticas y talleres son uno de los ejes principales en su
estudio, en el proceso enseñanza – aprendizaje, también con la utilización de la tecnología.
Apoyándose en el método científico, el cual toma en cuenta los siguientes aspectos: la
observación y la inducción, enlistándose de acuerdo a los contenidos necesarios y
adoptados en la enseñanza del primer semestre que ayudará afianzar los contenidos
propuestos por el docente.
La experimentación se enfocara en el primer semestre, en matemáticas, con las siguientes
temáticas:
Calculo diferencial.
Optimización.
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CAPITULO II
MARCO REFERENCIAL
MARCO TEÓRICO
¿Cuantos litros de agua debe ingerir el ser humano al día?
El agua es esencial para el ser humano. Más de un 70% de nuestro cuerpo está formado por
H2O y debe ser repuesta continuamente, pues nuestra propia actividad vital consume gran
parte de esta reserva. Entonces, ¿cuántos litros de agua debemos ingerir cada día para estar
sanos?
La cantidad varía esencialmente en función de la edad y el sexo.
Por ejemplo, según los datos proporcionados durante el III congreso Nacional de
Hidratación, los niños de entre 9 y 13 años deben consumir unos 2,1 litros diarios, mientras
que las niñas deben tomar, al menos unos 1,9 litros. En el caso de los adultos la cantidad
también varía según el sexo. Mientras que las mujeres deben tomar alrededor de 2 litros
diarios, en el caso de los hombres esta cantidad aumenta hasta los 2,5 litros. Eso sí, en caso
de que la mujer esté embarazada o en periodo de lactancia deben consumir 0,3 litros y 0,7
litros más respectivamente.
Pero al hablar de ingesta de agua no se trata únicamente de agua propiamente dicha, sino de
cualquier líquido que contenga agua o incluso del H2O que tomamos a través de la comida.
De hecho se recomienda que un 75% - 80% de líquido provenga de las bebidas y un 20% -
25% sea a través de los alimentos.
Las consecuencias de la deshidratación, sobre todo en periodos de mucho calor, pueden ser
nefastas para nuestro cuerpo. Como apuntan desde la Fundación para la Investigación
Nutricional, la pérdida de más del 2% de agua en el cuerpo puede provocar disminución de
la memoria a corto plazo, descenso del rendimiento físico e incluso dolor de cabeza y
fatiga.
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¿Qué es un pie cubico y cuantos litros contienes?
El pie cúbico es una unidad de volumen, equivalente al volumen de un cubo de un pie de
lado.
1 pie cúbico equivale a:
1 728 pulgadas cúbicas
0,037037037037037 yardas cúbicas
0,00002295684113865932 acre-pies
0,000000000006793572780143 millas cúbicas
exactamente 28 316,846592 mililitros o centímetros cúbicos
exactamente 28,316846592 litros o decímetros cúbicos
exactamente 0,028316846592 kilolitros o metros cúbicos
Como diseñar una cisterna:
Se calcula el número de personas que habitaran la vivienda.
Se calcula tanto la demanda por día (d/d) como la reserva (r) para conocer la
capacidad mínima de la cisterna.
Con los valores obtenidos en los dos puntos anteriores y de acuerdo a las
características del terreno, se diseña la cisterna definiendo sus valores en cuanto a
profundidad, largo y ancho.
Con el valor calculado de la capacidad de la cisterna se diseña esta, indicando medidas
interiores y tomando en cuenta el piso y muros de concreto reforzado, sin olvidar que para
cisternas de poco volumen y como consecuencias de profundidades que no rebasen los 2.0
m ni sean menores de 1.60 m de altura interior; la altura del agua en su máximo llenado no
debe de rebasar las 3/4 partes.
Considerando que no se tiene problema con la dureza del terreno ni con los niveles
freáticos y tomando en cuenta el reducido volumen requerido, se dará para este caso un
valor a la altura total interior de la cisterna de H=1.60 m para la mayoría de los casos.
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Hay muchas cosas que se deben considerar, atención a las siguientes
recomendaciones:
Capacidad: Depende del gasto diario promedio y de cuanta reserva se desea tener
en el caso de que el suministro se suspendiera. Por ejemplo, para una casa
habitación de 5 habitantes podemos considerar un gasto diario de un metro cúbico y
necesitaríamos una cisterna de 30 m3 si queremos reservas para un mes.
Ubicación: Si es posible, no construirla totalmente bajo el nivel del suelo. Pero no
tan arriba que se afecte demasiado la presión con que llega de la calle para llenarla y
además se reduce la distancia a un tanque elevado al que haya que bombearla. Esto
también facilita su limpieza, ya que en el fondo se debe colocar una salida
(mediante una válvula) para que periódicamente se desagüe hacia el drenaje, pero
no tan directamente para evitar una contaminación, al piso habrá que darle una
inclinación hacia la salida de un 2% como mínimo.
Material: Preferiblemente que sea de concreto reforzado, así se denomina al
concreto cuando se le coloca acero de refuerzo. Si es posible cuando se esté
preparando agregar al concreto un aditivo impermeabilizante.
Acceso: Dejar en la parte superior un acceso por el que se pueda entrar a hacerle
limpieza. Esa entrada deberá tener una tapa muy segura (con candado) para evitar
que algún menor se meta y ocurra un accidente.
Cierre automático: Mediante una válvula con flotador se consigue que la entrada
del agua se cierre cuando ha llegado a una determinada altura en la cisterna.
La fabricación:
La deben hacer personas con conocimientos en el área.
Se requiere tener mucho cuidado a la hora de empezar a rellenar.
Una buena cisterna demanda tiempo, es preferible construirla de hormigón.
No se recomienda colocar cerámica en lo que servirá como piso, ya que este
material es más propenso a recibir hongos, y aunque se le dé una buena limpieza la
bacteria se reproduce rápidamente.
Construir la cisterna con cemento de calidad para evitar que se cuarteen las paredes.
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Nunca deje niños cerca de una cisterna abierta, para evitar alguna desgracia.
Debe cerrar la cisterna con una tapa hermética e instalar una bomba de agua.
Constantemente debe limpiar su fondo manualmente para evitar que se ensucie.
Procedimiento de construcción de la cisterna:
Colocar o bañar con una lechada dentro de las paredes de la cisterna.
Para el cálculo de bloques que se necesita puedes revisar este artículo: Cálculo de
bloques y mortero en paredes
Para aplicar el repello siempre se tirará la mezcla fuerte con la cuchara para
asegurar que se pegue bien.
Tenemos que asegurarnos que las paredes estén a plomo.
Aplicar siempre varias capas delgadas de repello hasta llegar a un espesor de
aproximadamente 2 cm; no es recomendable aplicar una capa gruesa ya que esta
capa se caerá debida a su peso en muy poco tiempo, causando grietas rápidamente.
El repello se aplicara comenzando de abajo hacia arriba.
Después de aplicar la última capa de repellado se pasa la regla de madera apoyada
en posición vertical para tener un mejor nivelado en las paredes de la cisterna.
La regla se pasara después de aplicar la última capa de repellado sin dejar pasar
tiempo para que la capa no se endurezca.
MARCO REFERENCIAL
CÁLCULO DIFERENCIAL
El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de
cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio
en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de
diferencial de una función.
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El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculo diferencial, en
concreto el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho
cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial
se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal
herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia
claramente del álgebra.
Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una
función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme
un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una
tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de en cada
punto . Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función
en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la
concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.
Noción de derivada
Recta secante entre los puntos f(x+h) y f(x).
Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme
se van aproximando a la recta tangente.
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Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo
conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello,
aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las
pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.
Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que
llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como
negativo. La pendiente de la recta entre los puntos y es
Esta expresión es un cociente diferencial de Newton. La derivada defenx es el límite del
valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:
Si la derivada de f existe en cada punto x, podemos definir la derivada def como la función
cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x.
Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero,
calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una técnica es simplificar el
numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy
sencillo con funciones polinómicas, pero para la mayoría de las funciones resulta
demasiado complicado. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan la
diferenciación de la mayoría de las funciones descritas.
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El cociente diferencial alternativo
La derivada de f(x) (tal como la definió Newton) se describió como el límite, conforme h se
aproxima a cero. Una explicación alternativa de la derivada puede ser interpretada a partir
del cociente de Newton. Si se utiliza la fórmula anterior, la derivada en c es igual al límite
conforme h se aproxima a cero de [f(c + h) - f(c)] / h. Si se deja que h = x - c (por ende c +
h = x), entonces x se aproxima a c (conforme h tiende a cero). Así, la derivada es igual al
límite conforme x se aproxima a c, de [f(x) - f(c)] / (x - c). Esta definición se utiliza para
una demostración parcial de la regla de la cadena.
Funciones de varias variables
Para funciones de varias variables las condiciones de diferenciabilidad
son más estrictas y requieren más condiciones a parte de la existencia de derivadas
parciales. En concreto se requiere la existencia de una aproximación lineal a la función en
el entorno de un punto. Dada una base vectorial esta aproximación lineal viene dada por la
matriz jacobiana:
Historia
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse
en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), con conceptos de tipo geométrico
como el problema de la tangente a una curva de Apolonio de Perge, pero no se encontraron
métodos sistemáticos de resolución hasta el siglo XVII por la obra de Isaac Newton y
Gottfried Leibniz.
Ellos sintetizaron dos conceptos y métodos usados por sus predecesores en lo que hoy
llamamos «diferenciación» e «integración». Desarrollaron reglas para manipular las
derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema
fundamental del cálculo).
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Desde el siglo XVII, muchos matemáticos han contribuido al cálculo diferencial. En el
siglo XIX, el cálculo tomó un estilo más riguroso, debido a matemáticos como Augustin
Louis Cauchy (1789–1857), BernhardRiemann (1826–1866), y Karl Weierstrass (1815–
1897). Fue también durante este periodo que el cálculo diferencial fue generalizado al
espacio euclídeo y el plano complejo.
Aplicaciones importantes del cálculo diferencial
Recta tangente a una función en un punto
La recta tangente a una función f(x) es como se ha visto el límite de las rectas secantes
cuando uno de los puntos de corte de la secante con la función se hace tender hacia el otro
punto de corte. También puede definirse a la recta tangente como la mejor aproximación
lineal a la función en su punto de tangencia, esto es, la recta tangente es la función
polinómica de primer grado que mejor aproxima a la función localmente en el punto de
tangencia que consideremos.
Si conocemos la ecuación de la recta tangente Ta(x) a la función f(x) en el punto a podemos
tomar Ta(x) como una aproximación razonablemente buena de f(x) en las proximidades del
punto a. Esto quiere decir que si tomamos un punto a + h y lo evaluamos tanto en la
función como en la recta tangente, la diferencia será despreciable
frente a h en valor absoluto si h tiende a cero. Cuanto más cerca estemos del punto a tanto
más precisa será nuestra aproximación de f(x).
Para una función f(x) derivable localmente en el punto a, la recta tangente a f(x) por el
punto a es:
Ta(x)= f(a) + f '(a)(x-a).
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Uso de las derivadas para realizar gráficos de funciones
Las derivadas son una útil herramienta para examinar las gráficas de funciones. En
particular, los puntos en el interior de un dominio de una función de valores reales que
llevan a dicha función a un extremo local tendrán una primera derivada de cero. Sin
embargo, no todos los puntos críticos son extremos locales. Por ejemplo, f(x)=x³ tiene un
punto crítico en x=0, pero en ese punto no hay un máximo ni un mínimo. El criterio de la
primera derivada y el criterio de la segunda derivada permiten determinar si los puntos
críticos son máximos, mínimos o ninguno.
En el caso de dominios multidimensionales, la función tendrá una derivada parcial de cero
con respecto a cada dimensión en un extremo local. En este caso, la prueba de la segunda
derivada se puede seguir utilizando para caracterizar a los puntos críticos, considerando el
eigenvalor de la matriz Hessiana de las segundas derivadas parciales de la función en el
punto crítico. Si todos los eigenvalores son positivos, entonces el punto es un mínimo local;
si todos son negativos es un máximo local. Si hay algunos eigenvalores positivos y algunos
negativos, entonces el punto crítico es un punto silla, y si no se cumple ninguno de estos
casos, la prueba es no concluyente
Aproximación local de Taylor
Hemos visto que podemos aproximar mediante su recta tangente a una función derivable
localmente en un punto. Si se cumple que la función es suficientemente suave en el punto o
dominio de estudio (esto es, la función es de clase ) se puede aproximar la función no por
polinomios de grado uno, sino por polinomios de grado dos, tres, cuatro y sucesivamente.
Donde P(x) es el polinomio de grado n que mejor aproxima a la función en el punto x=a.
Nótese que si evaluamos P(x) en x=a todos los términos salvo el f(a) se anulan, luego P(a)
= f(a). Nótese también que la ecuación de la recta tangente del apartado anterior
corresponde al caso en el que n=1.
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Cuando a=0 el desarrollo se denomina desarrollo de MacLaurin. En la práctica la mayoría
de las veces se emplean desarrollos de MacLaurin. Ejemplos de desarrollos importantes de
MacLaurin son:
Nótese el símbolo que denota aproximación que no igualdad. Si la función a aproximar
es infinitamente derivable ( ) y agregamos infinitos términos al desarrollo entonces el
se convierte en un y el desarrollo anterior se convierte en una serie de Taylor. Las
funciones que son igual a su serie de Taylor se denominan funciones analíticas
Generalización del cálculo diferencial
Cuando una función depende de más de una variable, se utiliza el concepto de derivada
parcial. Las derivadas parciales se pueden pensar informalmente como tomar la derivada de
una función con respecto a una de ellas, manteniendo las demás variables constantes. El
concepto de derivada puede ser extendido de forma más general. El hilo común es que la
derivada en un punto sirve como una aproximación lineal a la función en dicho punto.
Quizá la situación más natural es que las funciones sean diferenciables en las variedades.
La derivada en un cierto punto entonces se convierte en una transformación lineal entre los
correspondientes espacios tangentes y la derivada de la función se convierte en un mapeo
entre los grupos tangentes.
Para diferenciar todas las funciones continuas y mucho más, se puede definir el concepto de
distribución.
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Para las funciones complejas de una variable compleja, la diferenciabilidad es una
condición mucho más fuerte que la simple parte real e imaginaria de la función diferenciada
con respecto a la parte real e imaginaria del argumento. Por ejemplo, la función
satisface lo segundo, pero no lo primero.
OPTIMIZACIÓN
Gráfico de un paraboloide dado por f(x,y) = -(x²+y²)+4. El máximo global en (0, 0, 4) está
indicado por un punto rojo.
En matemáticas, estadísticas, ciencias empíricas, ciencia de la computación, o economía,
optimización matemática (o bien, optimización o programación matemática) es la selección
del mejor elemento (con respecto a algún criterio) de un conjunto de elementos disponibles.
En el caso más simple, un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar
una función real eligiendo sistemáticamente valores de entrada (tomados de un conjunto
permitido) y computando el valor de la función. La generalización de la teoría de la
optimización y técnicas para otras formulaciones comprende un área grande de las
matemáticas aplicadas. De forma general, la optimización incluye el descubrimiento de los
"mejores valores" de alguna función objetivo dado un dominio definido, incluyendo una
variedad de diferentes tipos de funciones objetivo y diferentes tipos de dominios.
Problemas de Optimización
Un problema de optimización puede ser representado de la siguiente forma
Dada: una función f: A R donde A es un conjunto de números reales.
Buscar: un elemento x0 en A tal que f(x0) ≤ f(x) para todo x en A ("minimización") o tal
que f(x0) ≥ f(x) para todo x en A ("maximización").
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Tal formulación es llamada un problema de optimización o un problema de programación
matemática (un término no directamente relacionado a la programación de computadoras,
pero todavía en uso por ejemplo en la programación lineal - ver Historia debajo). Muchos
problemas teóricos y del mundo real pueden ser modelados en este esquema general.
Problemas formulados usando esta técnica en los campos de física y visión por
computadora se refieren a la técnica como minimización de la energía, hablando del valor
de la función f representando la energía del sistema que está siendo modelado.
Típicamente, A es algún subconjunto del espacio Euclidiano Rn, con frecuencia
especificado por un conjunto de restricciones, igualdades o desigualdades que los
elementos de A tienen que satisfacer. El dominio A de f es llamado el espacio de búsqueda
o el conjunto de elección, mientras que los elementos de A son llamados soluciones
candidatas o soluciones factibles.
La función f es llamada, diversamente, una función objetivo, función de costo
(minimización), función de utilidad indirecta (minimización), función de utilidad
(maximización), o, en ciertos campos, función de energía, o energía funcional.
Una solución factible que minimice (o maximice, si este es el propósito) la función
objetivo, es llamada una solución óptima.
Por convenio, el formato estándar de un problema de optimización está declarado en
términos de minimización. Generalmente, a menos que ambas, la función objetivo y la
región factible sean convexas en un problema de minimización, puede haber varios
mínimos locales, donde un mínimo local x* se define como un punto para el cual existe
algún δ > 0, donde para todo x tal que
La expresión
Es verdadera; es decir, en alguna región alrededor de x todos los valores de la función son
mayores que o iguales al valor en ese punto. El máximo local se define de modo similar.
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Un gran número de algoritmos propuestos para resolver problemas no-convexos
incluyendo a la mayoría de los solucionadores disponibles comercialmente no son capaces
de hacer una distinción entre soluciones óptimas locales y soluciones óptimas rigurosas, y
tratan a las primeras como soluciones actuales del problema original. La rama de las
matemáticas aplicadas y el análisis numérico que se responsabiliza con el desarrollo de
algoritmos deterministas que son capaces de garantizar convergencia en tiempo finito a la
solución óptima real de un problema no convexo se llama optimización global.
Historia
Pierre de Fermat y Joseph Louis Lagrange encontraron cálculos basados en fórmulas
identificadas como óptimas, mientras que Isaac Newton y Carl Friedrich Gauss propusieron
métodos iterativos para el movimiento hacia un óptimo. Históricamente, el primer término
para la optimización fue programación lineal, debido a George B. Dantzig, aunque mucho
de la teoría había sido introducido por Leonid Kantorovich en 1939. Dantzig publicó el
algoritmo Simplex (Simple) en 1947 y John von Neumann desarrolló la teoría de la
dualidad en el mismo año.
El término programación en este contexto no se refiere a la programación de computadoras.
Más bien, el término viene del uso de programa por el ejército de Estados Unidos al
referirse a la propuesta de entrenamiento y planificación logística, el cual fue el
Factibilidad del problema
La satisfabilidad del problema, también llamada la factibilidad del problema, es justo el
problema de encontrar alguna solución factible de todas sin hacer caso del valor objetivo.
Este puede ser considerado como el caso especial de la optimización matemática donde el
valor objetivo es el mismo para toda solución, y así cualquier solución es óptima.
Muchos algoritmos de optimización necesitan comenzar a partir de un punto factible. Una
vía para obtener tal punto es relajar las condiciones de factibilidad usando una variable de
holgura; con suficiente holgura, cualquier punto de partida es factible. Entonces, se
minimiza esa variable de holgura hasta que la holgura sea nula o negativa.
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Existencia
El teorema del valor extremo de Karl Weierstrass afirma que una función real y continua en
un conjunto compacto alcanza su valor máximo y mínimo. De forma más general, una
función semi-continua inferior en un conjunto compacto alcanza su mínimo; una función
semi-continua superior en un conjunto compacto alcanza su máximo.
Condiciones necesarias de optimalidad
Uno de los teoremas de Fermat asegura que los óptimos de los problemas irrestrictos son
encontrados en los puntos estacionarios, donde la primera derivada o el gradiente de la
función objetivo es cero. De forma más general, ellos pueden ser encontrados en los puntos
críticos, donde la primera derivada o el gradiente de la función objetivo es cero o está
indefinido, o en la frontera del conjunto de elección. Una ecuación (o conjunto de
ecuaciones) indicando que la(s) primera(s) derivada(s) es (son) igual(es) a cero en un
óptimo interior se llama una condición de primer orden o un conjunto de condiciones de
primer orden.
Los óptimos de los problemas con restricciones de desigualdad son en cambio encontrados
mediante el método de los multiplicadores de Lagrange. Este método computa un sistema
de desigualdades llamado Condiciones de Karush–Kuhn–Tucker o condiciones de holguras
complementarias, las cuales se usan entonces para calcular el óptimo.
Condiciones suficientes de optimalidad
Mientras la prueba de la primera derivada identifica los puntos que pueden ser extremos,
esta prueba no distingue si un punto es mínimo, máximo, o ninguno de los dos. Cuando la
función objetivo es dos veces diferenciable, estos casos pueden ser distinguidos estudiando
la segunda derivada o la matriz de las segundas derivadas (llamada matriz Hessiana) en
problemas irrestrictos, o la matriz de las segundas derivadas de la función objetivo y las
restricciones llamada la frontera Hessiana en problemas restrictos.
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Las condiciones que distinguen a los máximos, o mínimos, de otros puntos estacionarios
son llamadas condiciones de segundo orden. Si un candidato a solución satisface las
condiciones de primer orden y las condiciones de segundo orden también, es suficiente para
establecer, al menos, optimalidad local.
Problemas de optimización
Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable.
En otras palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de
una función de una variable.
Se debe tener presente que la variable que se desea minimizar o maximizar debe ser
expresada como función de otra de las variables relacionadas en el problema. En ocasiones
es preciso considerar las restricciones que se tengan en el problema, ya que éstas generan
igualdades entre las variables que permiten la obtención de la función de una variable que
se quiere minimizar o maximizar.
En este tipo de problemas se debe contestar correctamente las siguientes preguntas:
¿Qué se solicita en el problema?
¿Qué restricciones aparecen en el problema?
La respuesta correcta a la primera pregunta nos lleva a definir la función que deberá ser
minimizada o maximizada.
La respuesta correcta a la segunda pregunta dará origen a (al menos) una ecuación que será
auxiliar para lograr expresar a la función deseada precisamente como una función de una
variable.
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CAPITULO III
PROPUESTA DEL PROYECTO
Aquí se dará a conocer como tal el proyecto como análisis de un estudio para la
construcción de una cisterna de agua para las casa de familias que habitan en zonas de
difícil acceso en las diferentes partes del Ecuador.
Tomando en cuenta el análisis de una familia promedio que está conformada por cinco
personas, padre madre hijo e hija. Se procede a analizar los datos los cuales indican que:
Adultos ingieren 2.5 litros de agua diariamente.
Niños ingieren 2 litros de agua diariamente.
La familia en total necesitaría de un total de 9 litros diarios de líquido vital solo para
ingerir.
A este dato sumamos otros factores como serian: cocinar, lavar (vajilla y ropa), factores
biológicos, otros, y obteniendo un promedio en suposición de 8 litros diarios. Llevando en
consecuencia la necesidad de más líquido vital para abastecerse durante un periodo
promedio de 15 días.
Entonces durante este periodo promedio de 15 días una familia necesitaría 15 litros de agua
diarios los cuales si realizamos los cálculos necesarios nos darían un total de 225 litros de
agua en el periodo propuesto.
Para la resolución del proyecto se hará una conversión la cual nos dato como obtención
que:
225 litros de agua equivalen a 7.9458 pies cúbicos de agua.
Entonces una vez que se tienen los datos se procede a la propuesta del estudio que hace
referencia a lo siguiente:
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Se va a construir una cisterna rectangular con base y tapa cuadradas para almacenar 7.9458
pies3 de agua. Si el concreto para construir la base y los lados tiene un costo de $100 por
pie2 y el material para construir la tapa cuesta $ 200 por pie
2. ¿Cuáles son las dimensiones
de la cisterna que minimizan el costo de su construcción?
¿Qué se quiere en el problema?
Determinar las dimensiones de la cisterna que minimizan el costo de su construcción.
Suponiendo que las dimensiones de la cisterna son: x pies el lado de la base cuadrada y h
pies su altura. ¿Cuál es el costo de su construcción?
La siguiente figura representa a la cisterna:
h
h
x
x
Para encontrar las dimensiones (x & h) que minimizan el costo de su construcción se
necesita la expresión del costo de la cisterna.
Usamos la tabla siguiente:
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Costo Unitario ($) por pie2 Área (pie
2) Costo Total ($)
Base 100 X2
100x2
Tapa 200 X2
200x2
Caras Laterales 100 4xh 400xh
Costo de la Cisterna: 300x2 + 400xh
El costo total de la construcción de la cisterna es:
C = 300x2 + 400xh
En el problema aparece la siguiente restricción: el volumen de la cisterna debe ser igual a
7.9458 pies3, es decir, que x
2h es igual a 7.9458.
Tenemos pues:
Una función 300x2 + 400xh y una ecuación x
2h = 7.9458.
De la ecuación despejamos una de las variables (la que más con venga) para sustituirla en la
función.
Conviene despejar (h)
x2 *h = 7.9458 entonces h =
7.9458
𝑥2
Sustituyendo en la función se obtiene:
C = 300x2 + 400xh = 300x
2 + 400x (
7.9458
𝑥2)
C(x) = 300x2 +
3178.32
𝑥
Ésta es la función (de una sola variable: x) que se quiere minimizar.
C(x) = 300x2 + 3178.32𝑥−1 entonces C′(x) = 600x - 3178.32𝑥−2
Derivando y calculando sus puntos críticos:
24
C′(x) = 0 600x - 3178.32
𝑥2 = 0 x
3 =
3178.32
600 = 5.2972 ∛5.2972 = 1.7432
Es decir la función C(x) tiene un punto crítico en x = 1.7432. Entonces
C′(x) = 600x - 3178.32𝑥−2
C′′ (x) = 600 - 6356.64𝑥−3
Lo que implica que el punto crítico es un mínimo para C(x) por el criterio de la segunda
derivada)
El costo de la cisterna es mínimo cuando x= 1.7432 pies y por lo tanto.
h = 7.9458
𝑥2 =
7.9458
(1.7432)2 =
7.9458
3.0387 = 2.6148
Esto es, el costo mínimo es cuando x = 1.7432 pies y h = 2.6148 pies, con lo cual:
C = 300x2 + 400xh
Cmin = C (20)= 300(1.7432)2 + 400(1.7432) (2.6148) = 911.61 + 1823.2477 entonces;
Cmin = $ 2734.85 dólares.
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BIBLIOGRAFÍA
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http://www.metric-conversions.org/es/volumen/tabla-de-conversion-de-litros-a-pies-
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de-agua-se-deben-beber-al-d-a
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beber-al-dia-321406298436
http://ingenieriareal.com/diseno-y-construccion-de-una-cisterna/
http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Optimizacion/FTOptimizacion.pdf
http://es.slideshare.net/JulioLp00/calculo-diferencial-en-la-vida-de-un-ingeniero
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