Dada una ecuación f(x) = 0, podemos

transformarla, de alguna manera, en

otra equivalente del tipo x = g(x) para

alguna función g. En este caso se tiene

que: a es raíz de f(x) = 0 ↔ f(a) = 0 ↔ a

= g(a) ↔ a es raíz de x = g(x).

Un número a tal que a = g(a) se

dice un punto fijo de la función

g.

Cuándo una función g tiene un

punto fijo, y si lo tiene, cómo

encontrarlo?

Si g es una función continua en [a, b] y g(x) ε[a, b] para todo xε[a, b], entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [a, b]. Si además, g’(x) existe para todo x ε[a, b], y |g’(x)| ≤ K < 1 para todo x ε[a, b], Kconstante, entonces g tiene un único punto fijo x ε[a, b]. La sucesión {xn}, con n definida, se encuentra mediante la fórmula de iteración:

xn=g(xn-1), n=1,2,3…..

Un punto fijo de una función, g es un número p

tal que g(p)=p. El problema de encontrar las

soluciones de una ecuación f(x)=0 y el de

encontrar los puntos fijos de una función h(x) son

equivalentes en el siguiente sentido: dado el

problema de encontrar las soluciones de una

ecuación f(x)=0, podemos definir una función g

con un punto fijo p de muchas formas; por

ejemplo, f(x)=x-g(x). En forma inversa, si la

función g tiene un punto fijo en, p entonces la

función definida por f(x)=x-g(x) posee un cero en

p.

El método de punto fijo inicia con una

aproximación inicial X0 y Xi+1=g(Xi) genera una

sucesión de aproximaciones la cual converge a la

solución de la ecuación f(x)=0. A la función g se

le conoce como función iteradora. Se puede

demostrar que dicha sucesión <Xn> converge

siempre y cuando |g’(x) <1|.

EjemploUsando el método de punto fijo vamos a aproximar la soluciónde la ecuación

X3+4X2-10=0 dentro del intervalo [1,2].

Lo primero es buscar una función g(x) adecuada

x3+4X2-10=0

x2(x+4)=10

x=

Y claramente elegimos como función iteradora a

g(x)=

además observe que

Para toda x€ [1,2], lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente.

1. En la celda A5 escribimos nuestraaproximación inicial, en este caso 2.

2. En la celda A6 escribimos la fórmulaque calculará las aproximaciones:

=raiz(10/(A5+4))

3. Por último arrastramos la celda A6para generar las restantesaproximaciones.

Una desventaja potencial del método de punto fijo esque la elección de la función iteradora g(x) no siemprees fácil.

Algoritmo

Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de, f(x)=cos x-x f(x) comenzando con Xo=0 y hasta que |Ea|<1%.

Solución

Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz.

Aplicando la fórmula iterativa tenemos,

x1=g(x0 )=cos 0=1

Con un error aproximado de 100%

Aplicando nuevamente la fórmula iterativa

tenemos,

x1=g(x1 )=cos 1=0.540302305

Y un error aproximado de 85.08%.

Intuimos que el error

aproximado se irá reduciendo

muy lentamente. En efecto, se

necesitan hasta 13 iteraciones

para lograr reducir el error

aproximado menor al 1%. El

resultado final que se obtiene

es:

Con un error aproximado

igual al 0.78%.

x13=0,907447

cos 0 1,000000cos 1 0,540302cos 2 -0,416147cos 3 -0,989992cos 4 -0,653643cos 5 0,283662cos 6 0,960170cos 7 0,753902cos 8 -0,145500cos 9 -0,911130cos 10 -0,839071cos 11 0,004426cos 12 0,843853cos 13 0,907447cos 14 0,136737cos 15 -0,759687cos 16 -0,957659cos 17 -0,275163cos 18 0,660317cos 19 0,988704cos 20 0,408082