El Teorema de Pitágoras

G. Edgar Mata Ortiz

Pitágoras de SamosAproximadamente 570 a. C. – 500 a. C.

Filósofo y matemático griego que destacó, especialmente, por el desarrollo de la geometría.

La gran mayoría de las personas ha escuchado acerca del Teorema de Pitágoras, sin embargo, se dispone de poca información confiable acerca de su vida y, la mayoría de ella, escrita muchos años después de su muerte.

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Pitágoras de SamosImagen tomada de:

https://theempireoffilms.wordpress.com/2012/0

8/15/pythagoras/

El origen del Teorema de Pitágoras

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Contiene ternas de númerosque cumplen el Teorema dePitágoras, por lo que se lesconsidera evidencia de que losBabilonios conocían, hastacierto punto, dicho Teorema.

Tablilla Plimpton 322: 1800 a. C.

Es el documento más completode la matemática China ycontiene una de los registros másantiguos del teorema dePitágoras en este país

9 Capítulos de Arte Matemático

Entre 100 a. C. y 100 d. C Se tiene conocimiento que LosVedas, en la India, empleaban elteorema de Pitágoras 800 años a.C. para la construcción de susaltares.

Página del texto “Lilavati” 1100 d. C.

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El libro científico más editado de todos los tiempos: “Los Elementos” de Euclides, contiene, en el libro 1, proposición 47, la demostración de este famoso Teorema:

“En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado construido sobre el lado opuesto al ángulo recto, es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los lados del ángulo recto.”

4 of

Demostración del Teorema de Pitágoras en el libro de Los Elementos de Euclides tal como aparece en la copia que se encuentra en el Vaticano.

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El Teorema de Pitágoras

El libro científico más editado de todos los tiempos: “Los Elementos” de Euclides, contiene, en el libro 1, proposición 48, el Teorema “inverso” al de Pitágoras:

“Si el cuadrado construido en un lado de un triángulo, es igual a la suma de los cuadrados construidos en los otros dos lados, entonces, el ángulo formado por esos dos lados, es un ángulo recto .”

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El Teorema de Pitágoras

Demostración del Teorema de Pitágoras en el libro de Los Elementos de Euclides tal como aparece en la copia que se encuentra en el Vaticano.

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Significado del Teorema de Pitágoras

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Ternas Pitagóricas

Cuando tres números enteros son las medidas de los lados de un triángulo rectángulo, se

les llama: Ternas Pitagóricas.

8 of

1. Los lados de un triángulo rectángulo miden: 3, 4 y 5 cm respectivamente, vamos a verificar si cumplen con la expresión matemática del teorema:

32 + 42 = 52

9 + 16 = 25

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Ejemplos de Ternas Pitagóricas

9 of

1. Los lados de un triángulo rectángulo miden: 3, 4 y 5 cm

respectivamente, vamos a verificar si cumplen con la

expresión matemática del teorema:

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Ejemplos de Ternas Pitagóricas

Estos tres números: 3, 4 y 5

forman una Terna Pitagórica.

32 + 42 = 52

9 + 16 = 25 Sí cumplen,

por lo tanto:

10 of

2. Los lados de un triángulo rectángulo miden: 5, 12 y 13 cm respectivamente, vamos a verificar si cumplen con la expresión matemática del teorema:

52 + 122 = 132

25 + 144 = 169

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Ejemplos de Ternas Pitagóricas

11 of

2. Los lados de un triángulo rectángulo miden: 5, 12 y 13 cm respectivamente, vamos a verificar si cumplen con la expresión matemática del teorema:

52 + 122 = 132

25 + 144 = 169

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Ejemplos de Ternas Pitagóricas

Estos tres números: 5, 12 y 13

forman una Terna Pitagórica.

Sí cumplen,

por lo tanto:

12 of

Hemos mostrado dos ejemplos de Ternas Pitagóricas (TP):

3, 4, 5 y 5,12, 13

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Ejemplos de Ternas Pitagóricas

Verifica que estos números son Ternas Pitagóricas.

Los múltiplos de una TP constituyen también una TP:

6, 8, 10 y 10,24, 169

13 of

La siguiente figura es un triángulo rectángulo, sus lados reciben los nombres señalados en la figura.

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Información del Teorema de Pitágoras

14 of

La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa.

Ejemplo 138

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

15 of

La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa.

Ejemplo 138

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

16 of

La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa.

Ejemplo 138

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

17 of

La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa.

Ejemplo 138

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

18 of

La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa.

Ejemplo 238

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

19 of

La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa.

Ejemplo 238

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

20 of

La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa.

Ejemplo 238

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

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La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa.

Ejemplo 238

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

22 of

La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyo cateto menor e hipotenusa, tienen las medidas indicadas. Determina la medida del cateto mayor.

Ejemplo 338

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

23 of

La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyo cateto menor e hipotenusa, tienen las medidas indicadas. Determina la medida del cateto mayor.

Ejemplo 338

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

24 of

La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyo cateto menor e hipotenusa, tienen las medidas indicadas. Determina la medida del cateto mayor.

Ejemplo 338

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

25 of

La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyo cateto menor e hipotenusa, tienen las medidas indicadas. Determina la medida del cateto mayor.

Ejemplo 338

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

26 of Los Elementos38

El Teorema de Pitágoras

El libro “Los elementos” contiene dos proposiciones relacionadas con el Teorema de Pitágoras:

Proposición 47:

“En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado construido sobre el lado opuesto al ángulo recto, es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los lados del ángulo recto.”

Proposición 48:

“Si el cuadrado construido en un lado de un triángulo, es igual a la suma de los cuadrados construidos en los otros dos lados, entonces, el ángulo formado por esos dos lados, es un ángulo recto .”

27 of Los Elementos38

El Teorema de Pitágoras

El libro “Los elementos” contiene dos proposiciones relacionadas con el Teorema de Pitágoras:

La proposición 47:

“En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado construido sobre el lado opuesto al ángulo recto, es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los lados del ángulo recto.”

Es la que se emplea para determinar la medida de uno de los lados del triángulo cuando se conocen los otros dos, como en los ejemplos 1, 2 y 3, resueltos hasta ahora.

28 of Los Elementos38

El Teorema de Pitágoras

El libro “Los elementos” contiene dos proposiciones relacionadas con el Teorema de Pitágoras:

La proposición 48:

“Si el cuadrado construido en un lado de un triángulo, es igual a la suma de los cuadrados construidos en los otros dos lados, entonces, el ángulo formado por esos dos lados, es un ángulo recto .”

Es la que se emplea para determinar si, dados tres números, estos pueden ser las medidas de los lados de un triángulo rectángulo.Como en los siguientes ejemplos; 4 y 5.

29 of

La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas. Determina si forman un triángulo rectángulo.

Ejemplo 438

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

Para que sea un triángulo rectángulo, debe cumplir

con la fórmula del Teorema de Pitágoras:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

Sustituyendo debe obtenerse una

afirmación verdadera:

𝟕𝟒𝟒𝟐 = 𝟐𝟏𝟔𝟐 + 𝟕𝟏𝟑𝟐

30 of

La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas. Determina si forman un triángulo rectángulo.

Ejemplo 438

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

Efectuando operaciones:

𝟕𝟒𝟒𝟐 = 𝟐𝟏𝟔𝟐 + 𝟕𝟏𝟑𝟐

𝟓𝟓𝟑𝟓𝟑𝟔 = 𝟒𝟔𝟔𝟓𝟔 + 𝟓𝟎𝟖𝟑𝟔𝟗

𝟓𝟓𝟑𝟓𝟑𝟔 = 𝟓𝟓𝟓𝟎𝟐𝟓

31 of

La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas. Determina si forman un triángulo rectángulo.

Ejemplo 438

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

𝟕𝟒𝟒𝟐 = 𝟐𝟏𝟔𝟐 + 𝟕𝟏𝟑𝟐

𝟓𝟓𝟑𝟓𝟑𝟔 = 𝟒𝟔𝟔𝟓𝟔 + 𝟓𝟎𝟖𝟑𝟔𝟗

𝟓𝟓𝟑𝟓𝟑𝟔 = 𝟓𝟓𝟓𝟎𝟐𝟓

NONO

32 of

La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas. Determina si forman un triángulo rectángulo.

Ejemplo 438

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

𝟓𝟓𝟑𝟓𝟑𝟔 = 𝟓𝟓𝟓𝟎𝟐𝟓 NONONo cumple con la fórmula del

Teorema de Pitágoras, por lo

tanto, no es un triángulo

rectángulo.

33 of

La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas. Determina si forman un triángulo rectángulo.

Ejemplo 538

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

Para que sea un triángulo rectángulo, debe cumplir

con la fórmula del Teorema de Pitágoras:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

Sustituyendo debe obtenerse una

afirmación verdadera:

𝟖𝟐𝟏𝟐 = 𝟒𝟐𝟗𝟐 + 𝟕𝟎𝟎𝟐

34 of

La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas. Determina si forman un triángulo rectángulo.

Ejemplo 538

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

Efectuando operaciones:

𝟖𝟐𝟏𝟐 = 𝟒𝟐𝟗𝟐 + 𝟕𝟎𝟎𝟐

𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏 = 𝟏𝟖𝟒𝟎𝟒𝟏 + 𝟒𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏 = 𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏

35 of

La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas. Determina si forman un triángulo rectángulo.

Ejemplo 538

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

𝟖𝟐𝟏𝟐 = 𝟒𝟐𝟗𝟐 + 𝟕𝟎𝟎𝟐

𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏 = 𝟏𝟖𝟒𝟎𝟒𝟏 + 𝟒𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏 = 𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏

SISI

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La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas. Determina si forman un triángulo rectángulo.

Ejemplo 538

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏 = 𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏 SISISí cumple con la fórmula del

Teorema de Pitágoras, por lo

tanto, sí es un triángulo

rectángulo.

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Bibliografía

GRACIASPOR SU ATENCIÓN

Fuentes de información en línea:http://licmata-math.blogspot.mx/http://www.scoop.it/t/mathematics-learninghttps://www.facebook.com/licematahttps://www.linkedin.com/in/licmatahttp://www.slideshare.net/licmataTwitter @licemata