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Qumica Cuntica (2014)
1. Introduccin
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2. Aspectos matemticos fundamentales
Qumica Cuntica (2014)
2.1 Nmeros
Nmero es un concepto que expresa una cantidad
en relacin a una unidad (que defina la naturaleza
de la cantidad)
Ejemplo:
Nmeros enteros (Z)
Nmeros reales (R)
Nmeros imaginarios (i)
Nmeros complejos (C)
CiRZ
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2.2 Campo
Es una estructura algebraica en la que la suma y la
multiplicacin se pueden realizar.
Cumple con la propiedad asociativa, conmutativa y
distributiva de la multiplicacin respecto a la
adicin.
Ejemplo: Los nmeros reales, los nmeros
complejos, las matrices? Y los vectores?
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2.3 Espacio vectorial
Es una estructura algebraica en la que se definen
dos operaciones
Suma y producto escalar
Es un conjunto cuyos elementos no son nmeros,
sino vectores
),,(:
),(:
2
1
zyxv
yxv Espacio bidimensional
Espacio tridimensional
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NOTA: Las dimensiones no necesariamente deben
ser dimensiones espaciales
2.4 Espacio de Hilbert
Generalizacin del concepto de espacio vectorial,
aplicado para un nmero n de dimensiones.
Puede ser real o complejo.
Generalizacin de la norma
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22
1
2
1 ...|||| nvvvv
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Pueden existir espacios vectoriales denominados
base (B) que cumplan que:
Todos sus elementos pertenezcan al espacio V
Todos los elementos de B sean linealmente
independiente
Ej.
{(1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1)}
{(1,1,0), (3,1,2) y (4,2,2)}
Son linealmente
Independientes?
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Independencia lineal se logra cuando no es posible
escribir los elementos como combinacin lineal de
los otros
Combinacin lineal
nnnn fafafafaf ...2211
Se dice que f es combinacin lineal de los
elementos f1, f2, f3, fn
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Base ortogonal
Es una generalizacin del concepto de
perpendicularidad (significado geomtrico)
Base ortonormal
Debe se una base ortogonal
La norma de cada uno de los vectores es igual a 1
22
1
2
1 ...|||| nvvvv
BABABA 0cos||||
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2.5 Funciones
Una funcin es un ente matemtico que se utiliza
para expresar la dependencia entre dos
magnitudes.
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Las funciones son herramientas que permiten la
descripcin de sistemas fsicos mediante la
asociacin de variables
Ejemplo:
t
xv
V
nC 3
3
4rV
Funciones reales: Su dominio es real y su rango (o
codominio) es real
Funciones complejas: Su dominio es complejo y su
rango es complejo
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Funciones complejas de variable real: Su dominio
es real y su rango es complejo
Un conjunto de funciones pueden constituir un
espacio de Hilbert
),...,,,( 321 nffffv
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Funciones ortogonales
Si el producto escalar es nulo
Funciones ortonormales
cmo se define la norma de una funcin?
b
a
dxxfxfff 0)()(),( 2121
b
a
nn dxfxf2
||)(||
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La norma de una funcin es
La ortonormalidad de funciones esta dada, para
dos funciones f1 y f2, por
b
a
dxxfxfff 0)()(),( 2121
1||)(||22
b
a
nn dxfxf
b
a
nn dxxfxfxffff 0)()...()(),...,,( 2121
1||)(||22
b
a
nn dxfxf
De forma generalizada
Qumica Cuntica (2014)
Qumica Cuntica (2014)
2.6 Algebra de operadores
Un operador es un ente matemtico que transforma
una funcin en otra.
Si es un operador, su accin sobre una funcin f
se puede representar por
gfa
Donde g es la funcin que se obtiene por la accin
de sobre f
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Suma de operadores
fbfafba )(
Si c es un escalar, entonces
Producto por un escalar
faccfa )(
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Multiplicacin de operadores
)( fbafba
El producto de dos operadores se resuelve
mediante la aplicacin sucesiva de los operadores
empezando por la derecha
La propiedad conmutativa no se cumple
necesariamente
fabfba
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Conmutador
Se entiende por conmutador a un operador definido
para ser
abbaba ],[
Si el resultado de aplicar este conmutador sobre
una funcin es cero, se dice que los conmutadores
conmutan. Caso contrario, no conmutan.
0)(],[ fabfbafabbafba
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Operadores lineales
Son una clase especial de operadores que cumplen
con las siguientes propiedades
gafagfa )(
Ante una suma de funciones el operador se puede
distribuir entre cada uno de los sumandos, y
faccfa )(
Es decir, cumple el producto por un escalar
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2.6 Funciones propias y valores propios
Cuando se aplica un operador sobre una funcin f
y el resultado es la funcin multiplicada por un
escalar , se dice que f es funcin propia del
operador y es su valor propio
gfa
ffa
Funcin propia
No es funcin propia
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Degeneracin
Cuando se tiene dos funciones propias diferentes,
con un mismo valor propio, se dice que son
degeneradas
gagaga
fafafa
Son degeneradas
Operador lineal-funcin propia-degeneracin
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Para el caso de operadores lineales, si
multiplicamos una funcin propia por un escalar, el
resultado tambin ser funcin propia y tendr el
mismo valor propio
gga
gfksi
ffa
Para operadores lineales, la combinacin lineal de
dos funciones propias degeneradas es tambin
funcin propia con el mismo valor propio
Ejemplo:
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fgefdx
da x 4 2
f es funcin propia?
feedx
df
dx
dfa xx 22 22
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es un operador lineal?
gafagfa )(
fdx
dkkf
dx
d
gdx
df
dx
dgf
dx
d
)(
faccfa )(
Se tiene que
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Obtenga otra funcin propia del operador
xefg 255
g es funcin propia?
geeedx
dg
dx
dga xxx 2)5(2105 222
Sin multiplicar por una constante, obtenga otra
funcin propia de f
Qumica Cuntica (2014)
Como f y g son funciones propias del operador
que es un operador lineal, se tiene que la
combinacin lineal ser funcin propia del operador
xeg 25xef 2
x
xxxx
eba
beaeebae
bgafy
2
2222
)5(
5)5(
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Dos operadores son independientes cuando
actan sobre variables diferentes
Independencia de operadores
f
ffbafba
ffyxf
yx
yxyxyx
yx
)(
)()(
),(
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EJERCICIOS
Determinar si los siguientes operadores conmutan
b
fa
2
dx
db
dx
da
2
xb
dxa
1
_
Qumica Cuntica (2014)
EJERCICIOS
Determinar si los siguientes operadores conmutan
b
fa
2
dx
db
dx
da
2
xb
dxa
1
_
Qumica Cuntica (2014)
EJERCICIOS
Determinar si los siguientes operadores conmutan
b
fa
2
dx
db
dx
da
2
xb
dxa
1
_
Qumica Cuntica (2014)
EJERCICIOS
Determinar si los siguientes operadores son
lineales
b
fa
2
dx
db
dx
da
2
xb
dxa
1
_
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EJERCICIOS
Halle una funcin propia para cada operador (si es
posible), demustrelo y determine su valor propio
b
fa
2
dx
db
dx
da
2
xb
dxa
1
_
Escribir una combinacin lineal de
xx egef 32 24
dx
da
Determine si la combinacin lineal escrita
por usted es funcin propia del operador
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EJERCICIOS
Para las siguientes funciones
xx egef 32 24
dx
da
Determine el valor propio de cada una de
ellas para el operador
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EJERCICIOS