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Derivadas (J. Aroca) Página 1 de 5
TASA DE VARIACIÓN: Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento de x (Δx).
Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h.
y f a h f a
TASA DE VARIACIÓN MEDIA
Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa pory
h
ó
y
x
, al cociente entre la tasa de variación
y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:
,
f a h f ayTVM a a h
h h
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), que pasa por los puntos de abscisas a y a+h.
f a h f am
h
ya que en el triángulo PQR resulta que:
f a h f atg
h
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.
0 0
´ lim limh h
f a h f ayf a
h h
Ejemplo: Calcular la derivada de la función f(x) = x
2 + 4x − 5 en x = 1.
2 2 2
0 0 0 0
4 5 4 5´ lim lim lim lim
h h h h
x h x h x xf x h f xy xf x
h h h
22 4xh h x 4 5h 2x 4x 5
2
0 0
2 4lim lim 2 4 2 4 ´ 1 2 4 6h h
h
xh h hx h x f
h
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.
0
lim ´h
ytg f a
h
La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
= f ' atm tg
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INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA DERIVADA Velocidad media La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).
m
e t t e tev t
t t
VELOCIDAD INSTANTÁNEA La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.
0 0
lim limt t
e t t e tev t
t t
Ejemplo:
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es 2e t 6t . Calcular:
a) la velocidad media entre t = 1 y t = 4. La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].
2 2
/4 1 6 4 6 1 96 6
30 3 3 3
m sm
e eev
t
a) La velocidad instantánea en t = 1. La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.
2 2 2
0 0 0
6 6 6´ ´ lim lim lim
3h h h
e t h e t t h t tv e
h
2 212 6th h t
/0
/
lim 12 12
´ ´ 1 12
m sh
m s
t h th
v e
DERIVADAS LATERALES Derivada por la izquierda
0 0
´ lim limh h
f a h f ayf a
h h
Derivada por la derecha
0 0
´ lim limh h
f a h f ayf a
h h
Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden. Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a. El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables. DERIVADA DE LAS FUNCIONES A TROZOS En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.
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Derivadas polinómicas:
1
1
1
´ ´
´ ´
1 1 1´ ´
1
´
´
0
´
´
n n
m m m nn m n n n
n m n
mn
m nn
n n
y k u x y k u x
y u x y n u x u x
y x y x y x x yn n n x
y u x y
y k y
y x y n
xn u x
x
u
Derivadas logarítmicas y exponenciales:
1
1´ ´
1´
´´
´ ´
´´ ´
´ ´
´
´
y ya
a
u x u x
x x x
u
x
x u x
x
y Ln u x y u xu x
Ln xy Log x a x Ln a Ln x y Ln a Ln x y y
Ln a x Ln a
u xy Log u x y
u x Ln a
y e y e u x
yy a Ln y Ln a Ln y x Ln a Ln a y Ln a y y Ln a a
y
y a y L
y Ln x yx
y e
x
e
a
y
n a u
Suma, diferencia, producto y cociente de funciones
2
´ ´ ´
´ ´ ´
´ ´´
y u x v x y u x v x
y u x v x y u x v x u x v x
u x u x v x u x v xy y
v x v x
Derivadas trigonométricas directas:
2 2
2 2
2
2
2 22
2 2
´
1´ ´
´
´
´
´ 1
Cos x Cos x Sen x Sen xSen x C
y Sen x y Cos x
os x Sen xy tg x y y
Cos x Cos x Cos x
y y Sec xCos x
Cos x Sen xy y tg x
Co
y Sen u x y Cos u x
s x Cos x
1 2
2 2
1 2
2 2
´ 1 ´ ´1
1´ ´
´ ´
´ 1 ´ ´1
´
Cos x Cos xy Cosec x y Sen x y Sen x Cos x y y
Sen x Cos x
Cos xy y Cosec x Cotg x
Sen x Sen x
y Cosec u x y Cosec u x Cotg u x u x
Sen x Sen xy Sec x y Cos x y Cos x Sen x y y
Cos x Sen x
y
1´
´ ´
Sen xy Sec x tg x
Cos x Cos x
y Sec u x y Sec u x tg u x u x
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2
2
2
2 22
2 2
2
´
1´ ´
´ ´ 1
´ 1 ´
Cos x Sen x Sen x Cos x Cos xy Cotg x y y
Sen x Sen x
y y Cosec xSen x
Sen x Cos xy y Cotg x
Sen x Sen x
y Cotg u x y Cotg u x u x
Derivadas trigonométricas inversas:
2 2 2
2
2 2 2
2
1 1 1 1´ 1 ´ ´
1 1 1
1´ ´
1
1 1 1 1´ 1 ´ ´
1 1 1
1´ ´
1
´ 1
y Arcsen x Sen y x y Cos y y yCos y Sen y x x
y Arcsen u x y u xu x
y Arcos x Cos y x y Sen y y ySen y Cos y x x
y Arcsen u x y u xu x
y Arctg x tg y x y t
2
2 2 2
2
1 1 11 ´ ´
1 1 1
1´ ´
1
g y y ytg y x x
y Arctg u x y u xu x
2
2 2
22 2
2 2 2 2
2 2
2
1´ 1 ´ 1 ´ 1
1 11 1
´ ´ ´11 1 1 11
1´ ´
1
Sen yCos yy Arcocosec x Cosec y x y Cosec y Cotg y y y
Sen y Sen y
Sen y x xy y ySen y x x x x x
x x
y Arcocosec u x y u xu x u x
y Arcos
2
2 2
22 2
2 2 2 2
2 2
2
2
1´ 1 ´ 1 ´ 1
1 11 1
´ ´ ´11 1 1 11
1´ ´
1
´ 1
Cos ySen yec x Cosec y x y Sec y tg y y y
Cos y Cos y
Cos y x xy y yCos y x x x x x
x x
y Arcosec u x y u xu x u x
y Arcocotg x Cotg y x y Cotg
2 2 2
2
1 1 11 ´ ´
1 1 1
1´ ´
1
y y yCotg y x x
y Arcocotg u x y u xu x
REGLA DE LA CADENA
´ ´ ´g f x g f x f x
Ejemplo:
2 2
2
1 1 2
1
´ ´ ´ ´ ´ 1 2Sen x Sen x
x
f x x
y e g x Sen x y h g f x y h g f x g f x f x y e Cos x x
h x e
DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA
Si f y g son funciones inversas, es decirg f f g i . Entonces: 1
´´
g xf x
Ejemplo: Derivar, usando la derivada de la función inversa: y arcsen x
1
´
2 2´
1 1 1´
1 1
f x
g xg x f x
y arcsen x x Sen y yCos y Sen y x
Derivadas (J. Aroca) Página 5 de 5
OPERACIONES CON FUNCIONES
;u u x v v x
´ ´y k u y k u ´ ´ ´y u v y u v
´ ´ ´y u v y u v u v 2
´ ´´
u u v u vy y
v v
FUNCIONES POLINOMICAS
u u x
y k ´ 0y ny x 1´ ny n x ny u 1´ ´ny n u u
y x 1
2y
x y u
1´
2y u
u
n my x n m n
my
n x
n my u ´
n m n
my u
n u
FUNCIONES LOGARITMICAS
y Ln x 1
yx
y Ln u 1
´y uu
ay Log x 1
yx Ln a
ay Log u 1
´y uu Ln a
FUNCIONES EXPONENCIALES xy e ´ xy e uy e ´uy e u xy a xy Ln a a uy a ´uy Ln a a u
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
y Sen x ´y Cos x y Sen u ´ ´y Cos u u
y Cos x y Sen x y Cos u ´y Sen u u
y tg x
2
2
1´
´ 1
yCos x
y tg x
y tg u
2
2
´´
´ 1 ´
uy
Cos u
y tg u u
1
y Cosec xCos x
´y Cosec x Cotg x y Cosec u ´ ´y Cosec u Cotg u u
1
y Sec xCos x
´y Sec x tg x y Sec u ´y Sec u tg u u
1
y Cotg xtg x
2
2
´
´ 1
y Cosec x
y Cotg x
y Cotg x
2
2
´ ´
´ 1 ´
y Cosec u u
y Cotg u u
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
y Arcsen x 2
1´
1y
x
y Arcsen u
2
1´ ´
1y u
u
y Arcos x 2
1´
1y
x
y Arcos u
2
1´ ´
1y u
u
y Arctg x 2
1´
1y
x
y Arctg u
2
1´ ´
1y u
u
y Arcocosec x 2
1´
1y
x x
y Arcocosec u
2
1´ ´
1y u
u u
y Arcosec x 2
1´
1y
x x
y Arcosec u
2
1´ ´
1y u
u u
y Arcocotg x 2
1´
1y
x
y Arcocotg u
2
1´ ´
1y u
u