Rigidez Elástica

De

Elelementos de

Hormigón Armado

M.J.N.Priestley

Diseño basado en Fuerzas

Método estático

Superposición Modal

Rigidez ElásticaCálculo del periodo

Distribución de Fuerzas Laterales

DISEÑO BASADO EN DESPLAZAMIENTOS

La rigidez elástica no es muy importante pero se necesita el desplazamiento de fuencia (calculado a partir de la curvatura de fluencia o indirectamente desde la rigidez elástica) para estimar un amortiguamiento efectivo.

Se tratará en detalle más adelante.

0 0.02 0.04 0.06

C urvature (1/ m )

0

10000

20000

30000

40000

50000

Mom

ent

(kN

m)

' y y u

M y

M N

M u

y

NMEI

RELACIÓN MOMENTO-CURVATURA Y APROXIMACIÓN BILINEAL

My = momento de fluencia

MN = momento nominal (diseño)

Mu = momento último

MU

MN

MY

RIGIDEZ ELÁSTICA:

PRIMERA FLUENCIA (SECCIÓN AGRIETADA)

• MODELOS BILINEALES INELÁSTICOS

• RESPUESTA ELÁSTICA CÍCLICA

Nota: “Primera fluencia”:

εs= εy=fy/Es, o εc=0.002

La resistencia y la rigidez están relacionadas

Rigidez EI = M/f

M M

fy3 fy2 fy1 f fy f

M1

M2

M3

M1

M2

M3

(a)Suposición de diseño, rigidez constante

(b) Suposición más real,curvatura de fluencia constante

INFLUENCIA DE LA RESISTENCIA EN LA RELACIÓN

MOMENTO-CURVATURA

RIGIDEZ ELÁSTICA DE

COLUMNAS CIRCULARES

Relación Momento-Curvatura :

• Diámetro de la Columna: D = 2m

• Recubrimiento de la armadura a flexión: = 50mm

• Resistencia a compresión del hormigón: f’c= 35MPa

• Diámetro de la armadura a flexión: db =40mm

• Armadura Transversal – zunchos: 20mm @ 100mm espaciamiento

• Fluencia de la armadura: fy = 450MPa

• Carga axial Nu/f’cAg: 0 to 0.4 (9 pisos)

• Cuantía armadura a flexión rl/Ag: 0.005 to 0.04 (5 pisos)

0 0.002 0.004 0.006

C urvature (1/ m )

0

10000

20000

30000

40000M

omen

t (k

Nm

)

N u/ f 'cA g = 0

N u/ f 'cA g = 0.1

N u/ f 'cA g = 0.2

N u/ f 'cA g = 0.3

N u/ f 'cA g = 0.4

(a) R einf orcem ent R atio = 1%

0 0.002 0.004 0.006

C urvature (1/ m )

0

10000

20000

30000

40000

50000

Mom

ent

(kN

m)

N u/ f 'cA g = 0

N u/ f 'cA g = 0.1

N u/ f 'cA g = 0.2

N u/ f 'cA g = 0.3N u/ f 'cA g = 0.4

(b ) R einf orcem ent R atio = 3%

RELACIONES MOMENTO-CURVATURA PARA COLUMNAS CIRCULARES (D=2m,f’c= 35MPa, fy = 450MPa)

0 0.1 0.2 0.3 0.4

A x ial L oad R atio (N u/ f 'cA g)

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2D

imen

sion

less

Mom

ent

(MN

/f'c

D3 )

l= 0.04

l = 0.03

l = 0.02

l = 0.01

l = 0.005

0 0.1 0.2 0.3 0.4

A x ial L oad R atio (N u/ f ' cA g)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Dim

ensi

onle

ss C

urva

ture

( yD

/y)

A ve. + 10%

A ve. -10%

l = 0.04

l = 0.005

A verage yD / y= 2.25

(a) N om inal M om ent (b ) Y ield C urvature

MOMENTO NOMINAL ADIMENSIONAL Y CURVATURA DE FLUENCIA PARA COLUMNAS CIRCULARES

Average yD/y = 2.25

0 0.1 0.2 0.3 0.4

A x ial L oad R atio (N u/ f ' cA g)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1St

iffn

ess

Rat

io (

EI/

EI gr

oss)

l = 0.04

l = 0.03

l = 0.02

l = 0.01

l = 0.005

RIGIDEZ EFECTIVA PARA COLUMNAS CIRCULARES

EIeff = MN/fy

EIeff /EIgross

=MN/fyEIgross

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

C urvature (1/ m )

0

5000

10000

15000

20000

25000

Mom

ent

(kN

m)

N u/ f 'cA g = 0

N u/ f 'cA g = 0.1

N u/ f 'cA g = 0.2

N u/ f 'cA g = 0.3

N u/ f 'cA g = 0.4

0 0.002 0.004 0.006

C urvature (1/ m )

0

10000

20000

30000

40000

Mom

ent

(kN

m)

N u/ f 'cA g = 0.4

N u/ f 'cA g = 0

0.1

0.2

0.3

(a) R einf orcem ent R atio = 1`% (b ) R einf orcem ent R atio = 3%

RELACIONES MOMENTO-CURVATURA PARA COLUMNAS RECTANGULARES (b=h=1.6m, f’c = 35 MPa, fy = 450 MPa)

0 0.1 0.2 0.3 0.4

A x ial L oad R atio (N u/ f ' cA g)

0

0.1

0.2

0.3

Dim

ensi

onle

ss M

omen

t (M

N/f

' cbh2 )

l = 0.005

l = 0.01

l = 0.02

l = 0.03

l = 0.04

0 0.1 0.2 0.3 0.4

A x ial L oad R atio (N u/ f ' cA g)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Dim

ensi

onle

ss C

urva

ture

( yh

/y) A ve. + 10%

A ve. - 10%

A verage

A verage yh/ y = 2.10

l = 0.005

l = 0.04

(a) N om inal M om ent (b ) Y ield C urvature

MOMENTO NOMINAL Y CURVATURA DE FLUENCIA PARA GRANDES COLUMNAS RECTANGULARES

Average fyh/ey = 2.10

0 0.1 0.2 0.3 0.4

A x ial L oad R atio (N u/ f ' cA g)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1St

iffn

ess

Rat

io (

EI/

EI gr

oss) l = 0.04

l = 0.03

l = 0.02

l = 0.01

l = 0.005

RIGIDEZ EFECTIVA PARA COLUMNAS RECTANGULARES

EIeff = MN/fy

EIeff /EIgross

=MN/fyEIgross

CURVATURA DE FLUENCIA PARA MUROS

SECCIÓN TRANSVERSAL ANALIZADA

RIGIDEZ EFECTIVA

RIGIDEZ ELÁSTICA DE VIGAS T

Rein- forcement

Bending Case

fy = 300MPa* y (m-1) hby/ y

fy = 400MPa* y (m-1) hby/ y

fy = 400MPa** y (m-1) hby/ y

0.00414 0.00388

1.66 1.55

0.00524 0.00495

1.57 1.49

0.00621 0.00568

1.86 1.70

0.82% top & bottom single layers

Negative Positive Average 0.00401 1.61 0.00510 1.53 0.00595 1.78

0.00444 0.00390

1.78 1.56

0.00571 0.00498

1.71 1.49

0.00674 0.00568

2.02 1.70

1.54% top & bottom single layers

Negative Positive Average 0.00417 1.67 0.00535 1.60 0.00621 1.86

0.00465 0.00388

1.86 1.55

0.00608 0.00513

1.83 1.54

0.00716 0.00587

2.15 1.76

2.2% top & bottom single layers

Negative Positive Average 0.00427 1.77 0.00561 1.69 0.00652 1.95

0.00495 0.00431

1.98 1.72

0.00654 0.00536

1.96 1.61

0.00765 0.00610

2.30 1.83

2.2% top & bottom

two layers

Negative Positive Average 0.00463 1.85 0.00595 1.78 0.00688 2.07

0.00525 0.00366

2.10 1.46

0.00703 0.00487

2.11 1.46

0.00801 0.00550

2.40 1.65

2.2% top,2 lrs 1.1% bottom, single layer

Negative Positive Average 0.00446 1.78 0.00595 1.78 0.00676 2.03

CURVATURA DE FLUENCIA PARA VIGAS para distinto detallamiento

* En el análisis no se consideró el endurecimiento del acero,

** En el análisis sí se consideró el endurecimiento del acero

Bending Case

fy = 300 MPa MN (kNm) I/ Igross

fy = 400MPa MN (kNm) I/ Igross

244 256

0.170 0.190

324 340

0.151 0.173

Negative Positive Average 0.180 0.162

447 469

0.291 0.347

591 622

0.299 0.361

Negative Positive Average 0.319 0.330

632 661

0.392 0.492

838 877

0.397 0.493

Negative Positive Average 0.442 0.445

590 646

0.342 0.433

795 851

0.350 0.458

Negative Positive Average 0.388 0.404

603 354

0.331 0.279

778 465

0.320 0.276

Negative Positive Average 0.305 0.298

RIGIDEZ EFECTIVA PARA VIGAS CON DIFERENTES CUANTÍAS DE ARMADURA

I/Igross a partir de Ec =30 GPa, Igoss = 0.01155m4

Reinforcement

0.82% t&b single layer

1.54% t&b single layers

2.2% t&b single layers

2.2% t&b two layers

2.2% top, 2 l 1.1% bottom, single layer

DESPLAZAMIENTO RELATIVO DE

FLUENCIA PARA MARCOS

CONTRIBUCIÓN DE LA DEFORMACIÓN ELASTICA AL DESPLAZAMIENTO LATERAL

EN UNA UNIÓN VIGA/COLUMNA

Deformación por flexión y corte en viga y columna.

Deformación de corte en el nudo

Column height/ beam length aspect ratio (lc/ lb) : 0.4 – 0.86 Concrete compression strength (f’c) : 22.5MPa – 88MPa Beam Reinforcement yield strength (fy) : 276MPa – 611MPa Maximum beam reinforcement ratio (A’s/ bwd) : 0.53% – 3.9% Column axial load ratio (Nu/ f’cAg) : 0 – 0.483 Beam aspect ratio (lb/ hb) : 5.4 – 12.6

Desplazamiento lateral relativo en marcos

qy = 0.5ey(lb/hb)

Ecuación verificada con:

qy = 0.5ey(lb/hb)

COMPARACIÓN ENTRE DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS EXPERIMENTALES Y RESULTADOS

DE LA ECUACIÓN

qy = 0.5ey(lb/hb)

DATOS ORDENADOS PARA FLUENCIA DE LA ARMADURAS

qy = 0.5ey(lb/hb)

DATOS ORDENADOS SEGÚN CUANTÍA DE ARMADURA SUPERIOR DE LAS VIGAS

qy = 0.5ey(lb/hb)

DATOS ORDENADOS SEGÚN LA RAZÓN DE ASPECTO DE LA VIGA

qy = 0.5ey(lb/hb)

DATOS ORGANIZADOS SEGÚN LA RAZÓN DE ASPECTO DE LA UNIDAD ENSAYADA

Hipótesis usual:

Diseñar para una rigidez inicial alta es conservador (e.g. EIgross ), porque se subestima el periodo traduciéndose en mayores fuerzas de diseño.

Considérese el siguiente ejemplo:

Diseño basado en:

EIgross,

razón de ductilidad de desplazamientos

μ = 6.

El periodo elástico resulta T = 0.8 segundos, estimándose un desplazamiento lateral relativo de 0.00333.

Suponiendo iguales desplazamientos, el desplazamiento relativo de diseño es 6*0.00333 = 0.02 (límite del código de diseño).

Entonces, con EIgross y μ = 6 para T = 0.8 seg.,

Se obtiene drm = 0.00333

y un desplazamiento relativo de diseño de 6*0.00333 = 0.02 (límite del código de diseño).

Una segunda estimación, basada en 0.5Igross da T=1.13

Una tercera, basada en la ecuación del desplazamiento de fluencia da T=1.43 segundos

Drift

0.0358

0.0283

0.02

0.8 1.13 1.43 Period

diseño

0.5Igross

real

Espectro de desplazamientos de diseño en función del desplazamiento relativo

Stiffness Assumption

Period (seconds)

Maximum Drift

Yield Drift

Displacement Ductility

Igross

0.80 0.0200 0.00333 6.00

0.5Igross

1.13 0.0283 0.0667 4.26

0.313Igross 1.43 0.0358 0.0107 3.36

IMPORTANCIA DE LA RIGIDEZ EN LA ESTIMACIÓN DEL DESPLAZAMIENTO LATERLA RELATIVO (DRIFT)

Nota: Diseñar con Igross, μ = 6, Máximo drift = 0.02

Drift esperado, 0.0358

queda un 80% sobre el límite del código

DUCTILIDAD LÍMITE - MARCOS

NOTA: EL CÓDIGO LIMITA EL DRIFT A 0.02-0.025

b

byy h

l 5.0Desplazamiento relativo de fluencia:

Ejemplo: lb = 6m, hb =0.6m, fy = 500MPa

εy = 500/200,000 = 0.0025;

θy = 0.5*0.0025*6.0/0.6 = 0.0125

Entonces la ductilidad límite es 1.6 a 2.0

Nota: usar acero de alta resistencia no reduce la cantidad de acero!

Circular column: Dyy /25.2 (2.19a) Rectangular column: cyy h/10.2 (2.19b) Rectangular cantilever walls: wyy l/00.2 (2.19c) T-Section Beams: byy h/70.1 (2.19d)

b

byy h

l 5.0Marcos:

CURVATURAS DE FLUENCIA Y DESPLAZAMIENTOS LATERALES RELATIVOS

Con estas relaciones se puede estimar con una buena aproximación el desplazamiento de fluencia de diferentes estructuras, ANTES DE CONOCER LA RESISTENCIA DE LA ESTRUCTURA

(e.g. Muro en voladizo: Dy=fyHe2/3 = 2eyHe

2/3lw

RESISTENCIA Y RIGIDEZ ESTÁN INTERELACIONADAS

Rigidez EI = M/f

M M

fy3 fy2 fy1 f fy f

M1

M2

M3

M1

M2

M3

(a) HIPÓTESIS DE DISEÑO (rigidez constante)

(b) Respuesta real (curvatura de fluencia constante)

INFLUENCIA DE LA RESISTENCIA EN LA RELACIÓN MOMENTO-CURVATURA

DISEÑO: RESISTENCIA PROPORCIONAL A LA

RIGIDEZ

ANÁLISIS: RIGIDEZ PROPORCIONAL A LA RESISTENCIA

?DISEÑO: LA RESISTENCIA DEPENDE DEL

PERIODO

ANÁLISIS: EL PERIODO DEPENDE DE LA RESISTENCIA

?

CONCLUSIONES