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142
UNIDAD 5ECUACIONES E INECUACIONES
LECTURA N° 20: USOS DE LAS ECUACIONESLINEALES
ECUACIONES LINEALES
Consideremos la siguiente situación (con los números que utilizamos para contar): se tratadel juego o acertijo “Piensa un número”
Para ver qué hay detrás de este acertijo, basta transformar las frases anteriores en suequivalente simbólico; es decir, construir las expresiones matemáticas que lasrepresentan.
Lo primero que haremos es simbolizar el número desconocido (el que piensa nuestroadversario) con una letra. Pongamos por caso n.
A continuación convertimos todas las instrucciones a expresiones matemáticas:
Tomado con fines instruccionales:
Fundación Polar. El Mundo de la Matemática. Fascículo 6.Ecuaciones, pp.5-6. Caracas: Últimas Noticias.
1- Piensa un número2- Multiplícalo por 23- Agrégale a lo obtenido 54- Multiplica el resultado anterior por 55- Súmale 10 a la cantidad obtenida6- Multiplica el nuevo resultado por 107- Dime el resultado y te daré el número que pensaste ¿Cómo funciona el truco?
1. Piensa un número n2. Multiplícalo por 2 2n3. Agrégale a lo obtenido 5 2n+54. Multiplica el resultado anterior por 5 (2n+5)55. Súmale 10 a la cantidad obtenida (2n+5)5+106. Multiplica el nuevo resultado por 10 [(2n+5)5+10]107. Dime el resultado y te daré el número que pensaste R=[(2n+5)5+10]10
R(n)=100n + 350Esta dependencia se indica por R(n) y es lo que en matemática se denomina una función.
143
¿Cuál es el conjunto de valores posibles que puede tomar n?
En principio, n puede tomar cualquier valor dentro del conjunto delos números naturales, denotado por .N׀
El jugador que pensó el número n calcula el número R(n) queproduce la fórmula: es decir, está evaluando la función en n. Así, sin=3, entonces le corresponde R(3)=650; si n=11, entoncesR(11)=1450, etc.
Pero, ¿qué ocurre si pensamos “al revés”?, si damos R ¿habrá algún valor de n queproduzca el R dado? Esta es la situación en la cual nos encontramos cuando nuestrooponente da el valor de R y queremos “adivinarle” el número que pensó. Esta nuevasituación produce una ecuación y el valor desconocido n pasa a llamarse incógnita.
Veamos otra situación. Si los triángulos se construyen con fósforos. ¿Será posibleencontrar una fórmula mediante la cual se establezca una relación entre el número detriángulos y el número de fósforos empleados?
¡Exploremos el asunto!
Para el primer triángulo requerimos tresfósforos. Para poder anexar el segundose necesita adicionar dos fósforos. Parael siguiente colocamos dos más.
REs el resultado que nos dan. Unavez escogido n el valor R quedadeterminado por las operacionesespecificadas mediante la fórmula;R se denomina variable depen-diente en razón de que su valordepende del valor n.
Ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la cual aparecen cantidades constantes yuna o varias cantidades variables desconocidas llamadas incógnitas. Ejm: x + 6 = 1; x3 – 8 = 0 …Los valores de la(s) incógnita(s) que satisfagan la igualdad se denominan raíces de la ecuación.
n Î N
La variable n es elnúmero pensado. Comola variable n es de libreescogencia, ella se llamavariable independiente.
144
Denotemos con la letra n el número de fósforos (variableindependiente) y con T(n) el número de triángulosconstruidos con n fósforos (variable dependiente).
Si observamos con un poco de cuidado podemos notar,que los números de la segunda columna son los númerosimpares ³ 3 y en la primera aparecen los númerosnaturales. La pregunta original se transforma en ¿cómodeterminar un número de la primera columna conocido sucorrespondiente en la segunda? En otras palabras, ¿cómosaber que al 7 le corresponde el 3, al 11 el 5…? Larespuesta es que dado un número de la segunda columna,le restamos 1 y luego lo dividimos por 2. Así, la fórmulabuscada es:
21
221)( -=
-=
nnnT
En las dos situaciones que acabamos de presentarles, la expresión del lado derecho de la
igualdad resultó ser la forma ban+ . En otras ocasiones, como el caso del problema
propuesto en el Papiro Rhind cuando las cantidades que intervienen son número reales,
se acostumbra emplear la letra x en lugar de n .
LECTURA N° 21: ECUACIONES
En lo cotidiano se usa de manera frecuente la palabra igual para indicar que, lo que
estamos comparando tiene las mismas características, como por ejemplo: “Luisa y Antonia
usan blusas idénticas”, debemos reconocer que su uso en matemática es importante. Esta
relación se representa con el símbolo ""= .
Cuando se escribe:
34327
41 3 -++ = 1
Material recopilado con fines instruccionales por:
Gómez T; González N; Lorenzo J. (2007). Artículo nopublicado. Caracas.
1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 … …
145
significa que la expresión de la izquierda del símbolo “=”, es igual a la expresión que está a
la derecha del mismo y representan al mismo número. Este es el significado fundamental
de cómo se utiliza la palabra igual en matemática
Definiciones Preliminares
Igualdad: es una relación donde dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo
valor.
Ejemplos: 5 = 3 + 2 ; a = b - c; 3x + 7 = 16.
Ecuación: es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verificada solamente
para valores particulares de las variables contenidas en ellas.
Ejemplos: a) 2598 =+x b) 3192 +=+- ttt c) 52 -=+ yyx .
Identidad: es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las variables. Así
tenemos por ejemplo que estas son identidades:
222 2)( yxyxyx ++=+ ;
122 =+ aa CosSen
( ) 36123 --=+- xx
Una de las grandes diferencias entre estas dos definiciones, es que las identidades se
demuestran, mientras que las ecuaciones se resuelven. Ambas son operaciones muy
importantes en matemática, sin embargo, parte de la segunda es la que se estudiará en
esta unidad.
Incógnitas: son las variables que aparecen en una ecuación algebraica, cuyo valor
desconocemos y generalmente se denotan por las últimas letras del alfabeto ,,,, wzyx etc.
Miembros de una ecuación: son las dos expresiones algebraicas que forman la ecuación.
El primer miembro está al lado izquierdo de la igualdad y el segundo miembro se
encuentra al lado derecho.
Así la ecuación: 2598 =+xLado derecho.
Lado izquierdo.
Producto notable
Identidad fundamental de trigonometría
Propiedad Distributiva
146
Para:
3192 +=+- xxx
Clases de Ecuaciones:
· Ecuación Numérica: es una ecuación donde las únicas letras son las variables o
incógnitas. Así tenemos que 2598 =+x , 132 =-- yy son ecuaciones numéricas.
· Ecuación literal: Es una ecuación que además de las incógnitas tiene otras letras,
llamadas parámetros, que representan cantidades conocidas. Así las ecuaciones:
02 =++ cbxax , bcdyax +=+ son ecuaciones literales donde los parámetros son
dcba ,,, y x es la variable.
Solución o Raíz de una Ecuación
Son los valores que atribuidos o sustituidos en las variables o incógnitas, producen una
igualdad entre los dos miembros de la ecuación.
Así para:
1. 2598 =+x , el valor de 2=x hace la ecuación verdadera, es decir, se cumple la
igualdad: 259169)2(8 =+=+ . En este caso se dice que x = 2 es la solución o raíz de
la ecuación. Si le damos a la variable x un valor diferente de 2, la igualdad no se cumple.
2. 4=x es solución de la ecuación 22
3=
+xx
, mientras que 1=x no es la solución de
esta ecuación.
Resolución de una Ecuación
Es hallar la o las soluciones o raíces que satisfacen la ecuación.
A continuación vamos a enunciar las reglas básicas para resolver una ecuación.
Regla 1: Si a los dos miembros de una ecuación se le suma o resta una misma cantidad
(positiva o negativa), la igualdad no se altera.
Lado izquierdo.
Lado derecho.
147
Regla 2: Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o se dividen por una misma
cantidad diferente de cero ( positiva o negativa), la igualdad no se altera.
Regla 3: Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia, la
igualdad no se altera.
Regla 4: Si los dos miembros de una ecuación se le extrae una misma raíz, la igualdad no
se altera.
Regla 5: Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro,
cambiándole el signo. Esta regla se llama transposición de términos y funciona
como sigue:
· Si tienes un término realizando dos de las operaciones fundamentales, suma o
resta, en uno de los miembros de la igualdad se pasa al otro lado, efectuando
la operación contraria (recuerda que la suma y la resta son operaciones
contrarias). Así tenemos que la ecuación: 2335 =+x , el término +3 puede
pasar al otro lado de la ecuación restándolo y quedaría: 3235 -=x ,
resolviendo el lado derecho nos queda: 205 =x
· Si tienes un factor diferente de cero realizando las operaciones fundamentales,
multiplicación o división, en uno de los miembros de la ecuación, se pasa al
otro lado efectuando la operación contraria (recuerda que la multiplicación y la
división son operaciones contrarias). En el ejemplo anterior 205 =x , para
despejar la incógnita x de la ecuación, como 5 está multiplicando a la variable
x, pasaría al otro lado de la ecuación dividiendo:520
=x y resolviéndolo nos
daría el valor de la incógnita: 4=x
Cambio de Signo en una Ecuación:
Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación
varíe, pues equivale a multiplicar los dos lados o miembros de la ecuación por (-1). Así
la ecuación: 835 =-x es equivalente a: ( ) 8)1(35)1( -=-- x , es decir , la ecuación
835 =-x es equivalente a la ecuación 835 -=+- x
Tipos de ecuaciones
Los tipos de ecuaciones de uso más frecuente son:
148
a) Polinomiales: las cuales pueden ser de una o varias variables. En esta unidad
trataremos estas ecuaciones pero de una variable.
El grado del polinomio representa el grado de la ecuación, este es el mayor exponente que
tiene la incógnita. Por ejemplo:
0182 =-x es de primer grado ( )x
0342 =+- xx es de segundo grado ( )2x
022 23 =--+ yyy es de tercer grado ( )3y
044 =-n es de cuarto grado ( )4n
b) Racionales: son aquellas que contienen expresiones algebraicas racionales, tales como:
b.1.-44
22
+-
=+-
xx
xx
; b.2.- xxx
x 2435
3 2
=+-
c) Radicales: son aquellas ecuaciones que tienen la variable o incógnita dentro de una o
mas expresiones radicales, también son llamadas ecuaciones radicales. Así, tenemos:
c.1.- 2217 +=-++ xxx c.2.- 3153 2 +=+ xx
d) Ecuaciones con Valor Absoluto: son aquellas ecuaciones donde las variables o
incógnitas están dentro de un valor absoluto, tales como:
d.1.- 4513 +=- xx d.2.- 03235 3 =--x
e) Ecuación de 1er. Grado con una incógnita
Forma General
Una ecuación de 1er grado con una incógnita es una expresión de la forma 0=+ bax ,
donde “ a ” y “ b ” son números reales llamados coeficientes de la ecuación, con 0¹a y
“ x ” es la incógnita de la misma.
0=+ bax Lado derecho dela ecuación.
Lado izquierdo dela ecuación
149
Resolver una ecuación, consiste en hallar el valor de la incógnita de tal manera que, al
sustituirla en la ecuación, se cumpla la igualdad. Para hacer esto, utilizamos el proceso
anteriormente descrito.
Veamos a continuación algunos ejemplos
Ej.1. Resuelva la ecuación 032 =+x , y simplifica el resultado si es posible.
Solución:
032 =+x , 2=a , y 3=b , la idea es despejar, hasta encontrar el valor de x
302 -=x
32 -=x
23-
=x
Respuesta: la solución de 032 =+x es23
-=x
El valor de “ x ” es23
- , esto significa que si se sustituye este valor en el lugar de “ x ” en
la ecuación original, se cumple la igualdad, comprobemos esto:
Comprobación:
032 =+x
00033
03232
=Þ=+-Þ
=+÷øö
çèæ -×Þ
Observa que la igualdad se cumple, por lo tanto23
-=x es la solución de la ecuación.
Veamos qué sucede al sustituir “ x ” por cualquier valor distinto de23
- en la ecuación
original, digamos por ejemplo 1=x :
Ecuación original
sustituyendo23
-=x
Pasamos el 3 para el otro lado de la ecuación restando yresolvemos el lado derecho
Pasamos el factor 2 que está multiplicando para el otro ladode la ecuación dividiendo.
150
032 =+x
( )05032
0312=Þ=+Þ
=+×Þ
En este caso, la igualdad no se cumple, por lo tanto 1=x no es solución de la ecuación
032 =+x .
En general para una ecuación de Primer Grado con una incógnita de la forma 0=+ bax ,
con 0¹a , la solución es de la formaabx -= y además es importante recalcar que ésta
solución es única.
Ej.2. Resuelva la ecuación 04
27=
-x, y simplifica el resultado si es posible.
Solución:
Llevamos la ecuación a la forma general. Como es una ecuación racional igualada a
cero, ésta se cumple sólo si el numerador es igual a cero, por lo tanto:
72207
027
=Þ+=Þ
=-Þ
xx
x
Observa que la solución es de la formaabx -= , donde 2-=a y 7=b .
Respuesta: La solución de 04
27=
-x es
72
=x .
Ej.3. Resuelva la ecuación353
238
-=- xx
, y simplifique el resultado si es posible.
Solución:
Observa que el denominador 2 en el lado izquierdo podría pasar a multiplicar al lado
derecho de la igualdad. Sin embargo, el denominador 3 en el lado derecho no puede
pasar a multiplicar al lado izquierdo porque no es denominador de todos los términos.
353
238
-=- xx
Ecuación original
Sustituyendo 1=x
Esta es la forma general.
151
Por eso te sugerimos sacar el m.c.m. de ambos lados de la ecuación y resolver. Se calcula
el m.c.m. entre 2, 3 y 1 que son los denominadores de ambos lados de la igualdad.
35
13
238
-=- xx
=( )
65236
638.3 ×-×=
- xx
Si los dos lados de una igualdad tienen el mismo denominador, entonces basta con
resolver la igualdad entre los numeradores, como sigue:
1018924 -=- xx
Se agrupan los términos que contengan incógnitas en un lado de la igualdad y los
independientes en otro. En este caso, 18x que está positivo en la derecha, pasa restando
a la izquierda y -9 pasa como +9 hacia la derecha:
61169101824 -=Þ-=Þ+-=-Þ xxxx
Respuesta: La solución de353
238
-=- xx
es61
-=x
En el siguiente ejercicio la ecuación original no es de primer grado, sin embargo, notará
que se transforma en ésta al resolverla.
Ej.4. Resuelve la ecuación12
712
5-
=+ xx
, y simplifica el resultado si es posible.
Solución:
Ambos lados de la igualdad tienen una fracción, por lo tanto, pasamos lo que esta
dividiendo en un lado a multiplicar en el otro lado:
127
125
-=
+ xx
)12(7)12(5 +=-Þ xx
Luego aplicamos la propiedad distributiva en ambos lados de la ecuación, pasando los
términos independientes hacia la derecha y los que contienen la variable x hacia la
izquierda:
571410714510 +=-Þ+=- xxxx Agrupando términos semejantes ydespejando la x
152
412124571410-
=Þ=-Þ+=- xxxx
Respuesta: La solución de12
712
5-
=+ xx
es 3-=x ..
Ejercicios Propuestos:
Resuelva las siguientes ecuaciones:
1. ( ) ( ) ( )613
3131
21
++=--- xxx 2. 012
353
=-
+x
3. ( ) xxxx 5531
4652 -=-+
-- 4.
143
142
+=
- xx
5. ( ) 110
5715 =-
---xxx 6.
51232
1092 x
xxx
=--
+-
7. 053
4=-
-x8.
( )( )( ) 01
1573725
=--+-
xxxx
9.325
338
2172 +
-=
-+
xxx 10.3
715 xx -=-
Ecuaciones Literales de Primer Grado
Como ya lo mencionamos anteriormente, en las ecauaciones literales, algunos o todos los
coeficientes de las incógnitas o las cantidades conocidas que figuran en la ecuación están
representadas por letras, que generalmente suelen ser .,,,,,, etcnmdcba
Ejemplos de este tipo de ecuaciones son: cbxa =+ , xmnmnxmx +=++ 5732 .
Para resolver este tipo de ecuaciones, aplicaremos las mismas reglas que usamos en las
ecuaciones numéricas anteriormente estudiadas. Veamos a continuación varios ejemplos:
Ej.5. Resuelve la ecuación323
2-= axax
, y simplifica el resultado si es posible.
Finalmente simplificamos 12/-4 = -3
153
Solución:
Observa que el denominador 2 en el lado izquierdo podría pasar a multiplicar al lado
derecho de la igualdad. Sin embargo, el denominador 3 en el lado derecho no puede
pasar a multiplicar al lado izquierdo, porque no es denominador de todos los términos
323
2-= axax
Por lo tanto te sugerimos sacar el m.c.m. de ambos lados de la ecuación y resolver:
Se calcula el m.c.m. entre 2, 3 y 1 (recuerde que1
33 axax = )
( )6
22366
.3 ×-×=Þ
axax
Si los dos lados de una igualdad tienen el mismo denominador, entonces basta con
resolver la igualdad entre los numeradores, como sigue:
Þ 4183 -= axax ; se agrupan los términos que contengan incógnitas en un lado de
la igualdad y los independientes en otro.
axax 3184 -=Þ
ax154 =Þ
Para despejar la variable x de la ecuación, debemos tomar en cuenta que el coeficiente del
mismo a15 , pasa para el otro lado de la ecuación dividiendo, por lo tanto, el literal a tiene
que ser diferente ( 0¹a ). Luego tenemos que
xa
ax =Þ=Þ15
4154 , es decira
x15
4= si 0¹a .
Respuesta: La solución de323
2-= axax
esa
x15
4= si 0¹a
Ej.6. Resuelve la ecuación( )
caxx
caxbax
--
+=-- 52
83
, y simplifica el resultado si es posible.
Solución:
Se calcula mínimo común entre los denominadores y se procede a efectuar la suma de
fracciones. El m.c.m.( cax - , 8)= )(8 cax -
Agrupamos términos semejantes
154
( )( )
( ) ( )( )cax
xcaxcaxbax
--+-
=--
Þ8
528388
( ) ( )caxxcax
caxbax
--+-
=--
Þ8
4016338
88
40316388 --+=-Þ cxaxbax
40381638 --=--Þ cbxaxax
4038165 --=-Þ cbxax
Como queremos despejar la variable x, tenemos que agrupar los términos que contengan
dicha variable:
4038165 --=-Þ cbxax
( ) 4038165 --=-Þ cbxa
Para despejar la variable x, el factor ( )165 -a pasa a dividir al otro lado de la igualdad, por
lo tanto, tenemos que asegurar que dicho factor sea diferente de cero ( )0165 ¹-a . Luego
( ) 4038165 --=-Þ cbxa165
4038---
=Þa
cbx
Respuesta: La solución de( )
caxx
caxbax
--
+=-- 52
83
es165
4038---
=a
cbx si 0165 ¹-a
Ej.7. Resuelve la ecuación 02332 2 =-
--
mx
mmx
mx
, con 0¹m , y simplifica el resultado
si es posible.
Solución:
Se calcula el mínimo común entre los denominadores y se procede a efectuar la resta de
fracciones.
El m.c.m.( mmm ,,2 2 ) = 22m , éste se divide entre cada denominador:
mmmmmmmm 222222 2222 =¸=¸=¸
y el cociente se multiplica por el numerador:
Propiedad de los racionales
Agrupa y suma de términossemejantes
Factor común x
Recuerda que en este tipo de procedimiento, elm.c.m. se escribe como denominador de cadafracción, y como numerador se escribe elresultado de: dividir el m.c.m. entre cadadenominador y multiplicarlo por el numerador.
155
02332 2 =-
--
mx
mmx
mx 0
2)2(2)33(2)(
2 =---
Þm
xmmxxm
02
4662 =-+-
Þm
mxmxmx
Propiedad de los racionales: si una fracción es igual a cero, es equivalente a que el
numerador sea cero.
046602
4662 =-+-Þ=-+-
Þ mxmxmxm
mxmxmx
6)461( =-+Þ mx 63 =Þ mx
Para despejar la variable x , el factor 3m pasará dividiendo al otro lado de la igualdad y
como 0¹m nos quedamm
x2
36
==
Respuesta: La solución de 02332 2 =-
--
mx
mmx
mx
esm
x 2= con 0¹m .
Ejercicios Propuestos:
Resolver las siguientes ecuaciones:
1 1 . 1)1( =+xa 1 2 . 0)()()( 222 =+---+ baaxbx
1 3 . bxabax -=+ 22 1 4 . )2(2)()( xababxbxa -=-++
1 5 . aabaxbxbxax 3)2()2)(())(( +-=-+--+1 6 . )1()( abxbaaax +--=+-
1 7 .x
aa
a 23211 -=+
- 1 8 .aab
xaa
ax 1232 -=
--
-
19.xmnx
mn
111-=- 20.
aax
aaxx
ax+
=+
++ 2
21
Resolución de Problemas:
Como estudiante de nivel superior, sabemos que eres capaz de encontrar la solución a los
ejercicios o problemas planteados, utilizando los procedimientos adecuados. No obstante,
Agrupamos y sumamos lostérminos semejantes
156
te brindamos aquí, algunas sugerencias que pueden servirte de guía para que puedas
resolver este tipo de problemas o modelos.
1. Lee “cuidadosamente” el enunciado del problema.
2. Vuelve a leer el enunciado tantas veces sean necesarias, hasta comprender
perfectamente los datos que ofrece el problema y lo que te piden encontrar.
3. De ser necesario, acostúmbrate a realizar un bosquejo de la situación
planteada, en forma gráfica o en un planteamiento inicial.
4. Identifica con variables (letras) los datos e incógnitas del problema.
5. Ubica los datos del enunciado y relaciónalos matemáticamente mediante
ecuaciones o fórmulas (algunos datos o fórmulas no se dan en forma explícita
en los problemas, se supone que debes conocerlas. Ej.: área, volumen,
velocidad, aceleración gravitacional, etc.).
6. Resuelve las ecuaciones para obtener un resultado. Utiliza el método
correspondiente. en este caso, ecuación de primer grado.
7. Verifica que el resultado obtenido en el paso 6, corresponda a las premisas y
soluciones del problema.
8. Analiza si la respuesta es razonable.
9. Responde exactamente lo que te han solicitado.
Presta atención a los siguientes ejercicios. Analízalos y resuélvelos por ti mismo. No
olvides que la práctica es el arma que te dará la destreza necesaria para dominar
cualquier tema en matemáticas, incluyendo éste, ecuaciones de primer grado con una
Incógnita.
Ej.8. José Luís quiere salir a cenar con su novia Lisbeth, quien estudia en la UNEFA.
Para evitar sorpresas, ella le pregunta: "¿cuánto dinero tienes?", y José Luis en vez
de dar una respuesta directa, decide probar la habilidad de Lisbeth y responde: "Si
tuviera 5 Bs.F. más de lo que tengo y después duplicara esa cantidad, tendría 35
Bs.F. más de lo que tengo". Lisbeth, después de pensarlo, decide demostrarle que
sí puede calcular cuánto dinero tiene José Luis, con el siguiente procedimiento:
157
Solución:
Damos por sentado que el estudiante ha seguido los pasos 1 y 2. El paso 3 no es
necesario, pues no se requiere ningún esquema gráfico. Debemos traducir esta "mal
intencionada" descripción del problema en símbolos matemáticos.
Paso 4: Identificar el objetivo del problema.
Cantidad de dinero que tiene José Luis …………………….. x
Paso 5: Obtener datos y relacionarlos matemáticamente.
"Si tuviera 5 Bs.F. más de lo que tengo" …………… 5+x
"y después duplicara esa cantidad" ………………… ( )52 +x
“tendría 35 más de lo que tengo" ……………….. 35+x
Paso 6: Procesamos los datos matemáticamente y resolviendo:
Comprobamos lo que José Luis dice:
( )52 +x y 35+x son equivalentes.
Es importante no continuar el ejercicio, si no ha comprendido la relación de estos datos.
Luego, tenemos que:
( ) 3552 +=+ xx
Y resolvemos la ecuación
( )( ) 35522
3552+=×+×
+=+xx
xx
2510352
=-=-
xxx
Es decir, la cantidad de dinero que tiene José Luis es de 25 Bs.F.
Paso 7: Verificamos:
"Si tuviera 5 Bs.F. más de lo que tengo" …………….. 30
"y después duplicara esa cantidad" …………………….. 60
"tendría 35 más de lo que tengo" 35 + 25 = 60
158
Paso 8: Analizamos el resultado.
Este resultado es lógico y cumple con las condiciones del enunciado.
Paso 9: Aquí tenemos la respuesta.
Respuesta: José Luis tiene Bs.F. 25 (lo cual él cree que es suficiente para una cena con
Lisbeth).
Ej.9. Un hombre de 1,92 mts. de altura camina hacia un poste de luz que mide 6,4 m. de
altura. ¿Cuál es la longitud de la sombra del hombre en el piso, cuando él está a 3,5
m. de distancia del poste?
Solución:
Hacemos una representación gráfica de la situación:
Hemos llamado x a la longitud de la sombra del hombre.
Observamos que los triángulos DLOP y DAOB son triángulos semejantes, esto implica
que sus lados son proporcionales, es decir:
OPLP
OBAB
= , entonces5,3
4,692,1+
=xx
despejando tenemos:
( ) ( )
xxxxx
xx
48,472,692,14,672,6
4,672,692,14,65,392,1
=-==+=+
P
1,92 m
6,4 m
L
x 3,5 m.BO
A
159
5,148,472,6
72,648,4
=
=
=
x
x
x
Respuesta: La sombra mide 1,5 m. cuando el hombre está a 3,5 m. del poste.
Ej.10. Una pieza cuadrada de cartón, es utilizada para construir una caja sin tapa,
cortando de cada esquina un cuadrado de 5cm de lado; luego se doblan los bordes
para formar los lados de la caja. ¿De qué tamaño debe ser la pieza de cartón para
que el volumen de la caja sea de 12.500 cm3?
Solución:
Primero representamos gráficamente la pieza de cartón:
Llamamos “a” al lado de la pieza cuadrada de cartón. En la Figura Nº 2, cortamos las
esquinas, la parte sombreada representa el fondo de la caja y las pestañas de la pieza
cortada de 5cm. representa la altura de la caja.
El volumen V de la caja será:
V = largo ´ ancho ´ alto
5)10(
5)10()10(2 ×-=
×-×-=
aV
aaV
Sabemos, por el enunciado del problema, que el volumen de la caja es igual a 12.500 cm3,
es decir:
a
5 5
5 5
5
5
5
5
a
Figura Nº 1 Figura Nº 2
a-10
a-10
55
160
500.2)10(5500.12)10(
500.125)10(
5)10(500.12500.12
22
2
2
=-Þ=-
=×-
×-=Þ=
aa
a
aV
6010505010500.2)10(
=Þ+==-Þ=-
aaaa
Respuesta: El tamaño de la pieza de cartón debe ser 60cm x 60cm
Puedes verificar por ti mismo esta respuesta.
Ejercicios Propuestos:
21. Rubén tiene cierta cantidad de caramelos; María tiene el doble de Rubén disminuido
en 4 unidades. Si multiplicamos lo que tiene cada uno entre sí, y el resultado es 70.
¿Cuántos caramelos más tiene María?
22. Después de una fiesta, los hermanos Ricardo y Tomás se acostaron a dormir a las
4:00 a.m. Ricardo durmió el doble que Tomás, menos 3 horas. Si multiplicamos las
horas que durmieron el resultado es 104. ¿A qué hora se levantó cada uno?
23. La suma de tres números enteros impares positivos consecutivos es 683. Encuentra
los números.
24. Un padre tiene el triple de la edad de su hijo, pero dentro de 15 años, tendrá tan sólo el
doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora el hijo?
25. Tres números son tales que el segundo es 6 unidades menor que tres veces el primero
y el tercero es 2 unidades más que 2/3 del segundo. La suma de los tres números es
172. Encuentra el mayor de estos números.
26. Hace dos días, Ramón compró 5 diskettes. Hoy la tienda rebajó el precio en Bs.F.
0,50. Juana compró hoy 10 diskettes y pagó Bs.F. 9 más que Ramón. ¿Cuál era el
precio original de cada diskette?
27. La suma de tres números enteros consecutivos es 36. ¿Cuáles son los tres números?
28. La suma de tres números pares enteros consecutivos es dos veces el valor del menor.
¿Cuáles son los tres números?
29. La suma de la tercera y cuarta parte de un número, equivale al doble del número
disminuido en 17. Hallar el número.
161
30. Hallar el número que aumentado en sus 5/6 equivale a su triple disminuido en 14.
31. La edad de Bartolo es los 3/5 la edad de Ana, si ambas edades se suman, el resultado
excede en 4 años al doble de la de edad de Bartolo. ¿Cuál es la edad de Bartolo y
Ana?
32. Después de gastar 1/3 y 1/8 de lo que tenía, me quedan 39 Bs.F. ¿Cuántos bolívares
fuertes tenía?
33. El cuádruple de un número excede en 19 a la mitad del número aumentada en 30.
Hallar el número.
34. El largo de un buque es de 800 pies y excede en 744 pies a los 8/9 del ancho. ¿Cuál
será el ancho del buque?
35. Un grupo de 46 personas entre niños y adultos, se dirigen al cine. Si las entradas de
los adultos cuestan 9 Bs.F. y las de niños 7 Bs.F., en total pagaron 354 Bs.F.
¿cuántos niños y cuántos adultos había en el grupo?
36. En una fiesta, el número de hombres duplica al de mujeres y la cuarta parte de éstas
no saben bailar. Si hay 42 mujeres que bailan ¿cuál es el total entre hombres y
mujeres presentes en la fiesta?
Ecuaciones con Valor Absoluto
Cuando trabajamos con cantidades, éstas se pueden tomar en dos sentidos, cantidades
positivas o cantidades negativas.
Así, en contabilidad el haber o crédito se denota con el signo + y el debe o deuda se
denota con signo -. Para expresar que una persona tiene 100 Bs.F. en su haber, diremos
que tiene + 100Bs.F. mientras que para expresar que tiene una deuda de 100 Bs.F.
diremos que tiene – 100 Bs.F.
Otro ejemplo donde se utilizan los sentidos de las cantidades es en los grados de un
termómetro, los grados sobre cero se denotan con signo + y los grados bajo cero se
denotan con signo –. Así, para indicar que el termómetro marca 10º sobre cero,
escribimos +10º y para indicar que marca 10º bajo cero, escribiremos –10º.
Entonces en una cantidad cualquiera, tenemos dos elementos intrínsecos, que son: el
valor absoluto o magnitud de la cantidad y el valor relativo o signo de la cantidad.
162
Definición: El Valor Absoluto de una cantidad es el número que representa la cantidad,
sin tomar en cuenta el signo de la cantidad.
Definición: El Valor Relativo de una cantidad es el signo de la misma, representado por
más (+) o menos (-).
Así, tenemos los siguientes ejemplos:
Ej.11. Hallar el valor absoluto y relativo de 8.
Solución:
Cantidad = +8; Valor Absoluto de la cantidad = 8, Valor Relativo de la cantidad = +
Ej.12. Hallar el valor absoluto y relativo de -10
Solución:
Cantidad = -10 ; Valor Absoluto = 10; Valor Relativo = –
Ej.13. Hallar el valor absoluto y relativo de +7º y -7º
Solución: Ambas cantidades tienen el mismo valor absoluto igual a 7, pero sus valores
relativos son opuestos, la primera tiene un valor relativo “ + “ y la otra un valor relativo “ – “
Notación:
El valor absoluto de una cantidad cualquiera, se representa colocando la cantidad entre
dos líneas verticales; así el valor absoluto de + 8 es 8+ = 8 y 88 =- .
Definición: El valor absoluto de f se define:
ïî
ïí
ì
<-
³=
0
0
fsifo
fsiff
Donde ”f” puede ser un número, una variable o una expresión algebraica.
Ej.14. Hallar el valor absoluto de las siguientes cantidades.
a) Para f = 8, tenemos que 88 =+
b) Para f = - 5, tenemos que ( ) 555 =--=-
Recuerde que si 0<fentonces 0>- f
163
c) Para f = x, tenemos que
ïî
ïí
ì
<-
³=
0
0
xsixo
xsixx
d) Para 22 -= xf , tenemos que
( )ïî
ïí
ì
<---
³--=-
022
0222
22
22
2
xsixo
xsixx
Nota: Observa que el valor absoluto de una expresión denotado por f , depende del
signo de la expresión que se encuentra entre las barras y no de la variable, a menos que
la expresión sea igual a la variable.
Propiedades del Valor Absoluto
Propiedad 1: 0³f , para cualquier f ÎÂ
Propiedad 2: ff -=
Propiedad 3: 2ff =
Propiedad 4: gfgf ×=×
Propiedad 5: Si g ¹ 0 entoncesgf
gf=
Propiedad 6: gfgf +£+ (Desigualdad triangular)
Propiedad 7: gfgf -³-
Observa que las propiedades del 1 al 5 se refieren a igualdades, mientras que las
propiedades 6 y 7 se refieren a desigualdades.
Ecuaciones con Valor Absoluto
En muchas ocasiones se nos presentan ecuaciones donde está involucrado el valor
absoluto de una expresión algebraica, como por ejemplo:
a) 992
18182 222 =Þ=Þ=Þ= xxxx
Recuerde que la disyunción “o”representa dos soluciones.
164
b) 51
986251
986251
98 44
44
=--
Þ=÷øö
çèæ
--
Þ=÷øö
çèæ
--
xx
xx
xx
En esta sección veremos cómo se resuelven este tipo de ecuaciones, utilizando las
propiedades del valor absoluto:
Propiedad 8: Sea 0>a , af = es equivalente a resolver las siguientes ecuaciones:
a) af = ó b) af -=
Es decir, af = si y sólo si, af = ó af -=
Propiedad 9: Sea 0>a , af £ es equivalente a:
a) af £ y b) af -³
Es decir, af £ si y sólo si afa ££-
Propiedad 10: af ³ es equivalente a:
a) af ³ ó b) af -£
Es decir, af ³ si y sólo si af ³ ó af -£
Ej.15. Resolver la siguiente ecuación: 53 =x
Solución:
Aplicando la propiedad “8” de valor absoluto, tenemos que para xf 3= nos queda:
434213212.1.
535353EcEc
xóxx -==Þ= . Resolvemos cada una de las ecuaciones:
Þ= 53:1. xEc35
=x y3553:2. -
=Þ-= xxEc
Entonces la solución de la ecuación3553 == xesx ó
35
-=x
Respuesta:þýü
îíì -=
35,
35S
165
Nota:
No confunda las llaves con los paréntesis. Las llaves se utilizan para representar los
conjuntos, cuyos elementos están separados por comas. Los paréntesis y corchetes se
utilizan generalmente para representar intervalos.
Ej.16. Resolver 151x4 =-
Solución:
Aplicando la propiedad “8”, tenemos que:
434214342121
151415141514.Ec.Ec
xóxx -=-=-Û=- .
Resolvamos cada una de las ecuaciones:
44
1616411541514:1. =Þ=Þ=Þ+=Þ=- xxxxxEc
27
41414411541514:2. -=Þ-=Þ-=Þ+-=Þ-=- xxxxxEc
Entonces la solución de la ecuación 151x4 =- es 4=x ó27
-=x
Respuesta: la solución de ecuación dada esþýü
îíì -=
27,4S
Ej.17. Resolver 91x
x8=
+
Solución: Aplicando la propiedad “8” tenemos que:
43421434212.1.
91
891
891
8
EcEc
xxó
xx
xx
-=+
=+
Þ=+
Resolvamos cada una de las ecuaciones:
( ) 99819891
8:1. +=Þ+=Þ=+
xxxxx
xEc
9998 =-Þ=- xxx
Multiplicamos por (-1), la ecuación nos queda
166
( ) ( ) 9911 -=Þ×-=-×- xx
( ) 99819891
8:2. --=Þ+-=Þ-=+
xxxxx
xEc
179917998 -=Þ-=Þ-=+ xxxx
Respuesta: la solución de la ecuación 91
8=
+xx
esþýü
îíì --=
179,9S
Ej.18. Resolver 814
-=+ xx
Solución:
Si observamos el lado derecho de la ecuación, notamos que el valor es negativo, y por la
propiedad 1 del valor absoluto, 0³f , es decir el valor absoluto de una expresión
algebraica o aritmética siempre es positivo o igual a cero. Por otro lado, tenemos que la
propiedad 8 de valor absoluto nos dice que el valor de a, tiene que ser estrictamente
mayor que cero. Por lo tanto, la ecuación 814
-=+ xx
no tiene solución en los números
reales, así la solución es vacía, es decir 0S /= .
Ej.19. Resolver 4223 -=- xx
Solución:
Para darle forma al ejemplo 19, pasamos el término 4-x a dividir; sin embargo, observa
que 2423=
--
xx
no admite el valor de x = 4, pues el denominador se anularía, por lo tanto
si en la ecuación original x = 4, tendremos que 10 = 0 (lo cual es falso), esto quiere decir
que x ¹ 4, entonces 4-x puede pasar a dividir y resolvemos: 2423=
--
xx
, utilizando
la propiedad 5 del valor absoluto
423
423
--
=--
xx
xx
, así la ecuación queda: 2423=
--
xx
167
Usando la propiedad “8” de valor absoluto tenemos entonces que
43421434212.1.
24232
423
EcEc
xxó
xx
-=--
=--
Resolvamos cada una de las ecuaciones
( )42232423:1. -=-Þ=
-- xx
xxEc
628238223 -=Þ+-=-Þ-=- xxxxx
( ) 822342232423:2. +-=+Þ--=-Þ-=
-- xxxx
xxEc ,
Agrupamos términos semejantes
25
101052823 =Þ=Þ=Þ+=+Þ xxxxx
Respuesta: entonces la solución de la ecuación 4223 -=- xx es { }2,6-=S
Ejercicios propuestos:
Resolver las siguientes ecuaciones:
3 7 . 427 +=- xx 3 8 . 1737 =+x
3 9 . 610 =-x 4 0 . 853 =+x
4 1 . 423 +=+ xx 4 2 . 7426 +=- xx
4 3 . 2318 +=- xx 4 4 . 34127 +=- xx
4 5 . 51=
+xx
4 6 . 31213=
+-
xx
Ecuación de segundo grado
Es una ecuación polinómica cuyo grado es dos (el mayor exponente de la variable es 2).
Por ejemplo
x241x
21c)2y3yb)03x2 xa) 222 =+=-=+-
168
En los ejemplos propuestos, (a) está ordenada e igualada a cero; (b) está ordenada pero
no está igualada a cero; y (c) no está ordenada ni igualada a cero.
Solución de una ecuación de segundo. grado
Para hallar la solución de una ecuación cuadrática (segundo grado) es recomendable
ordenarla en forma descendente e igualarla a cero, así tendremos:
041x2x
21c)02-y3yb)03x2 xa) 222 =+-=-=+-
Resolver una ecuación cuadrática implica encontrar los valores de la variable que al
reemplazarla satisfagan la ecuación. No todas las ecuaciones cuadráticas tienen solución
dentro del conjunto de los números reales; para algunas ecuaciones la solución pertenece
al conjunto de los números imaginarios (lo cual está fuera del objetivo de esta unidad).
La ecuación general de segundo grado con una incógnita, se expresa como:
02 =++ cbxax , donde:
“ a ” es el coeficiente de 2x , 0¹a
“ b ” es el coeficiente de x
“ c ” es el término independiente.
La solución (si existe) de una ecuación de segundo grado, se obtiene mediante la fórmula
cuadrática o resolvente:
abcbbx
242 -±-
=
La expresión “ acb 42 - ” se denomina el discriminante )( D de la ecuación cuadrática y
determina la naturaleza de las soluciones de la ecuación. Se nos pueden presentar tres
casos:
a) Si “ acb 42 - ” es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales.
b) Si “ acb 42 - ” es cero, la ecuación tiene sólo una solución real.
c) Si “ acb 42 - ” es negativo, la ecuación no tiene solución en los números reales.
Resolveremos ahora algunos ejemplos mediante la fórmula cuadrática:
Tenga presente que el denominador “2a ”pertenece a toda la expresión y no sólo a la raíz
cuadrada.
169
Ej.20. Hallar la solución de la ecuación 0232 2 =-+ xx
Solución: determinamos los valores de ba, y c .
a = 2 b = 3 c = -2
Luego calculamos el valor del discriminante:
( ) 25169)2)(2(434 22 =DÞ+=DÞ--=-=D acb
Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales.
Reemplazando en la “resolvente”, tenemos:
)(x
22253±-
= ;4
53±-=x
Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, obtenemos la primera solución:
21
42
453
1 ==+-
=x
Ahora, considerando el signo negativo de la raíz cuadrada, obtenemos la segunda
solución: 248
453
2 -=-
=--
=x
Las soluciones de la ecuación son21
y 2- , pues al reemplazar estos valores en la
ecuación original, ésta se cumple.
Comprobación:
Si21
=x Si 2=x
( ) ( ) 022132
122
=-+ ( ) ( ) 022322 2 =--+-
( ) 0223
412 =-+ ( ) 02642 =--
0223
21 =-+ 8 – 8 = 0
022 =- 0 = 0
00 =
170
En ambos casos, se cumple la ecuación
Respuesta: la solución de la ecuación 0232 2 =-+ xx es21
=x y 2=x
Ej.21. Resuelve 04129 2 =++ xx
Solución: determinamos los valores de a, b y c.
a = 9 b = 12 c = 4
Luego calculamos el valor del discriminante:
( ) 0144144)4)(9(4124 22 =DÞ-=D®-=-=D acb
Como el discriminante es igual a cero, la ecuación tiene una solución real.
abcbbx
242 -±-
= ; ( ) 1812
9212- -
==x ;32
-=x
La solución de la ecuación es32
- , pues al reemplazar este valor en la ecuación original,
ésta se cumple. Compruébalo.
Ej.22. Resuelve la ecuación 0532 2 =+- xx
Solución:
Determinamos los valores de ba, y c .
a = 2 b = -3 c = 5
Luego calculamos el valor del discriminante:
( ) 31409)5)(2(434 22 -=DÞ-=DÞ--=-=D acb
Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene solución real.
Respuesta: la ecuación 0532 2 =+- xx , no tiene solución en los números reales.
Ej.23. Resuelva 01652 =- -xx
Solución:
Determinamos los valores de ba, y c .
171
a = 165
-=b c = -1
Luego calculamos el valor del discriminante:
361694
3625)1)(1(4
654
22 =DÞ+=DÞ--÷
øö
çèæ-=-=D acb
Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales.
Reemplazando en la “resolvente”, tenemos
)(x
1236
16965
±÷øö
çèæ --
=2
613
65±
=Þ x
Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, obtenemos la primera solución:
23
1218
26
1365
1 ==+
=x
Ahora, considerando el signo negativo de la raíz cuadrada, obtenemos la segunda
solución:
32
128
268
26
1365
2 -=-=-
=-
=x
Respuesta: Las soluciones de 01652 =- x-x son
23
=x y32
-=x
Ej.24. Resuelva mm322
65 2 +=
Solución:
Primero escribimos la ecuación en su forma general, pasando todos los términos para la
izquierda e igualando a cero:
0232
65 2 =-- mm
Determinamos los valores de ba, y c .
172
65
=a32
-=b 2-=c
En este caso específico podemos convertir la ecuación en entera, para trabajar con mayor
facilidad. Si queremos llevar esta ecuación cuadrática a una equivalente, multiplicamos
por el mínimo común múltiplo de los denominadores de la ecuación, mcm(3,6) = 6.
( ) 026326
656 2 =-÷
øö
çèæ-÷
øö
çèæ mm
Luego simplificando, nos queda la siguiente ecuación cuadrática:
124501245 2 -=-==Þ=-- cbamm
Ahora calculamos el valor del discriminante:
( ) 25624016)12)(5(444 22 =DÞ+=DÞ---=-=D acb
Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales.
Reemplazando en la “resolvente”, tenemos
102564 ±
=m10
164 ±=Þ m
Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, obtenemos la primera solución:
21020
10164
==+
=m
Ahora, considerando el signo negativo de la raíz cuadrada, obtenemos la segunda
solución:56
1012
10164
-=-
=-
=m
Respuesta: Las soluciones de mm322
65 2 += son 2=m y
56
-=m
Aplicaciones directas de la ecuación de segundo grado
La solución de una ecuación de segundo grado es una de las herramientas más útiles en
matemática, pues con mucha frecuencia se presenta en ejercicios de diferente índole. En
este apartado estudiaremos algunas aplicaciones directas. Veamos algunos ejemplos.
Ej.25. Encuentra los valores de “ x ”, tal que 032 =-++ ddxx , tenga sólo una raíz.
173
Solución:
De la definición del discriminante, sabemos que cuando acb 42 - es igual a cero (0), la
ecuación tiene una sola raíz. Por lo tanto, el primer paso es determinar los valores de ba,
y c
1=a , db = y dc -= 3
Luego se sustituyen en el discriminante e iguala éste a cero.
( ) ( )( ) ( )01240412
034031404022
222
=-+Þ=+-
=--Þ=--Þ=-Þ=D
ddddddddacb
Resolvemos esta ecuación resultante, utilizando la fórmula cuadrática,
01242 =-+ dd , donde 1241 -=== cba
Ahora calculamos el valor del discriminante:
( ) 644816)12)(1(444 22 =DÞ+=DÞ--=-=D acb
Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones o raíces reales.
Reemplazando en la “resolvente”, tenemos
)1(264)4( ±-
=d2
84 ±-=Þ d
Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, obtenemos la primera solución:
224
284
1 ==+-
=d
Ahora, considerando el signo negativo de la raíz cuadrada, obtenemos la segunda
solución: 6212
284
2 -=-
=--
=d
Las soluciones de la ecuación son 6,2 -== dd , es decir, que los valores de “ d ” que
hacen que la ecuación en x , 032 =-++ ddxx tenga una sola solución, son
6,2 -== dd y las ecuaciones resultantes de sustituir los valores de d , son:
174
0122 =++ xx y 0962 =+- xx .
Ej.26. Resolver la ecuación 0365 24 =-- xx
Solución:
Esta es una ecuación de cuarto grado, sin embargo, puede resolverse utilizando la fórmula
cuadrática o factorizando. Para tal efecto debemos hacer un cambio de variable. Digamos
que 2xm = , sustituyendo en la ecuación nos queda: 03652 =-- mm
Aplicando la fórmula cuadrática para
1=a 5-=b 36-=c
Calculamos el valor del discriminante:
( ) 16914425)36)(1(454 22 =DÞ+=DÞ---=-=D acb
Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales.
Reemplazando en la “resolvente”, tenemos
)1(2169)5( ±--
=m2135 ±
=Þ m
Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, obtenemos la primera solución:
92
182135
1 ==+
=m
Ahora, considerando el signo negativo de la raíz cuadrada, obtenemos la segunda
solución: 428
2135
2 -=-
=-
=m
Una vez encontrados los valores de m , debemos devolver el cambio de variable:
si mxxm ±== entonces2
Si tomamos el valor de 9=m , entonces 9±=x , es decir, 3±=x
Si 4-=m , al sustituir en x , nos queda ÂÏ-±= 4x , por lo tanto, la solución de la
ecuación 0365 24 =-- xx , es 3=x y 3-=x
175
Con los dos últimos ejemplos, hemos querido indicar que podemos aplicar la resolverte en
ecuaciones, que en su forma original no son cuadráticas, pero pueden transformarse en
tales, mediante operaciones adecuadas.
Ej.27. Factorice la ecuación 03552 22 =-- yxyx
Solución:
En este tipo de ecuaciones (con dos o más variables) debemos elegir una de las variables
como básica y determinar su valor en función de las otras. Digamos que “ x ” es nuestra
variable base, entonces reescribimos la ecuación:
03)5(2 22 =-- yxyx , donde ,2-=a 5-=b y 23yc -=
Calculamos el valor del discriminante:
( ) 222222 492425)3)(2(454 yyyyyacb =DÞ+=DÞ---=-=D
Como el discriminante resultó positivo, para cualquier valor de y , la ecuación tiene dos
soluciones reales. Reemplazando en la “resolvente”, tenemos
)(yy
x22495 2±
=4
75 yyx ±=Þ
Donde yyyyx 34
124
751 ==
+= y yyyyx
21
42
475
2 -=-
=-
= . Luego las soluciones
son yx 3= y yx21
-= . Por lo tanto, la factorización queda de la siguiente forma:
( ) ÷øö
çèæ +-=-- yxyxyxyx
2132352 22
= ( )( )yxyx +- 23
Respuesta: ( ) )2(3352 22 yxyxyxyx +-=--
Ejercicios Propuestos
Encuentra las soluciones de cada ecuación planteada:
47. 01032 =-- xx 48. 0232 2 =-+ xx
49. 01462 =-+- xx 50. 042 2 =-- xx
176
51. 2213 xx =+ 52. 326 2 =+ xx
53. 02142 =-+ yy 54. 0144 2 =++ mm
55. 0169 2 =+- yy 56. 011236 2 =++ pp
57. 148 2 =- mm 58. 2422 =- tt
59. 0145 24 =-- xx 60. 24 712 yy =+
61.161
212 -= tt 62. 2
431 mm =+
63. 3212 =+
xx64. 2
611xx
=-
65. 43
125
31 2 =+ xx 66.
103
51
21 2 =+ xx
Encuentra los valores reales de “ k ” para que la ecuación tenga sólo una solución.
67. 012 2 =-+ kxx 68. 1172 -=-- kxx
69. 02 2 =++ kkxx 70. ( ) 03 22 =+-+ kxkx
71. 022 =++ kkxkx
Determina las soluciones de las siguientes ecuaciones.
72.7256
1443
+-
=++
xx
xx 73.
135
1353
++
=-+
xx
xx
Aplicaciones Directas.
74. Para la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax
a) Demuestra que las sumas de sus raíces es igual a ab-
b) Demuestra que el producto de sus raíces es igual a ac
177
75. Si la ganancia mensual de una empresa puede expresarse como
G(x) = – 0,0025x2 +27x – 66.000, donde “x” es el número de unidades producidas.
Determina el número de unidades “x” que producirá una ganancia de BsF 6900.
76. Cierta deuda se pagará en n meses, donde
( )[ ]12222
416 -+= nn
¿En cuántos meses se pagará la deuda?
77. ¿Para qué valor o valores de x el costo iguala a la ganancia, si el costo es:
C(x) = 16152 ++- xx y la ganancia es G(x) = 47 -x ?
Ecuaciones Radicales
Una ecuación radical es aquella que tiene una o más incógnitas, bajo el signo radical.
Son ejemplos de ecuaciones radicales:
a) 3.22.244 =-+ x
b) xx -=+ 112
c) 0673 =+++ xx
Para resolver una ecuación radical se debe tener en cuenta lo siguiente: Si A y B son dos
expresiones algebraicas, entonces A = B es una ecuación algebraica, y su conjunto de
soluciones es subconjunto de soluciones de la ecuación A n = B n donde n es cualquier
entero positivo.
Ej.28. Resuelva 263 -=- xx
Solución:
Aunque la ecuación no es cuadrática, puede transformarse de la siguiente manera:
( ) ( )22263 -=- xx
Desarrollamos el producto notable ( ) 222 2 bababa +-=- del lado derecho
Para eliminar la raíz cuadrada, elevamos alcuadrado ambos miembros de la igualdad.
178
4463 2 +-=- xxx
63440 2 +-+-= xxx
01072 =+- xx , donde 1=a , 7-=b y 10=c
Ahora calculamos el valor del discriminante:
( ) 94049)10)(1(474 22 =DÞ-=DÞ--=-=D acb
Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales.
Reemplazando en la “resolvente”, tenemos
)()(x12
97 ±--=
237 ±
=Þ x
Donde 52
102
371 ==
+=x y 2
24
237
2 ==-
=x
Como se hicieron operaciones algebraicas para convertirla en una ecuación cuadrática,
debemos comprobar ambos valores de x en la ecuación original, por sustitución.
Para 5=x la igualdad se cumple
( ) (cierto)39361525653 =Þ=-Þ-=-
Para 2=x la igualdad también se cumple
( ) (cierto)0022623 =Þ-=-
Respuesta: La solución de la ecuación 263 -=- xx , es 5=x y 2=x .
Ej.29. Resuelva 13215 ++=+ xx
Solución:
Aunque la ecuación no es cuadrática, puede transformarse de la siguiente manera:
Primero elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad, para no alterar el valor de
la expresión.
( ) ( )2213215 ++=+ xx
Despejamos los valores de x , para igualar laecuación a cero. Entonces nos queda una
ecuación cuadrática.
179
En el lado izquierdo de la ecuación, tenemos una raíz cuadrada elevada al cuadrado, la
cual da como resultado la expresión sub-radical. En el lado derecho de la ecuación
tenemos un binomio al cuadrado (producto notable):
( ) 222 2 bababa ++=+ donde 32 += xa y 1=b .
Desarrollando, simultáneamente ambos lados de la ecuación, tenemos
( ) ( )( ) ( )22113223215 ++++=+ xxx 13223215 ++++=+Þ xxx
Despejamos la raíz cuadrada resultante
3223332213215 +=-Þ+=---+ xxxxx
Nuevamente, elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad
( ) ( )22 32233 +=- xx
Desarrollamos el producto notable del lado izquierdo y el cuadrado del lado derecho
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
03269012891891289189
324918932233323
2
22
22222
=--
=--+-Þ+=+-
+=+-Þ+=+-
xxxxxxxx
xxxxxx
Ahora la ecuación puede resolverse mediante la fórmula cuadrática, donde:
9=a , 26-=b y 3-=c
( ) ( ) ( )( )( ) 18
1086762692
39426262
4 22 +±=
---±--=
-±-=
aacbbx
1878426 ±
=
182826 ±
=
Como se hicieron operaciones algebraicas para convertirla en una ecuación cuadrática,
debes comprobar si ambos valores de x son la solución de la ecuación original
13215 ++=+ xx .
91
182
182826
2 -=-
=-
=x
31854
182826
1 ==+
=x
180
Ej.30. Resuelve 0673 =+++ xx
Solución:
El miembro de la izquierda presenta la suma de dos términos positivos que nunca va a dar
0, por consiguiente no existe valor de x que satisfaga la ecuación, en consecuencia la
solución es VACIO ( f )
Ej.31. Resolver 3.22.244 =-+ x
Solución:
( )444 3.22.24 =÷
øöç
èæ -+ x
§ Eleva a la cuatro ambos miembros
1442.24 =-+ x § Resuelve las potencias
1402.2 =-x § Agrupa términos semejantes
702 =-x § Divide entre 2 ambos miembros
( ) ( )22702 =-x § Eleva al cuadrado ambos miembros
49002 =-x § Resuelve las potencias
4902=x § Pasa el 2 sumando para el otro lado de la igualdad
Comprueba por ti mismo la solución a la ecuación, sustituyendo el valor de 4902=x
Ej.32. Resuelva 12=-
xx
Solución:
xxx
xx .1.2. =- § Multiplica por el m.c.m que es x
xx =- 2 § Resuelve los productos y simplifica
( ) ( )222 xx =- § Eleva al cuadrado ambos miembros y
181
xxx =+- 442 § Resuelve
0452 =+- xx § Factoriza
0)1)(4( =-- xx § Si 0ó00 ==Û=× baba
Por consiguiente 4=x y 1=x . Verifica si cada una de ellas son soluciones de la
ecuación.
Respuesta: La única solución de 12=-
xx es 4=x .
Ej.33. Resolver 216 =-+ xx
Solución:
22
216 =÷øöç
èæ -+ xx
§ Eleva al cuadrado ambos miembros
416 =-+ xx § Resuelve las potencias
xx +=+ 416 § Suma x a ambos lados
( ) ( )22x416x +=+
§ Eleva al cuadrado ambos miembros
xxx ++=+ 81616 § Resuelve las potencias
x80 = § Agrupa términos semejantes
Por consiguiente, 0=x
Respuesta: La única solución de 216 =-+ xx es 0=x .
Ejercicios Propuestos
Encuentra las soluciones de cada ecuación:
78. 3295 +=+ xx 79. 432 -=+ xx
80. 951123 +=-+ xx 81. xx 21154 2 =+-
182
82. 514 =-++ xx 83.x
xx 105 =++
84. xxx -=+- 2122 85. 022 3 2 =+- xx
86. 011276 =+-++- xxx 87. 6=+ tt
88. 01053 =++x 89. xx -=+ 112
90. Se ha determinado que el número de materias x , solicitadas por los estudiantes en
cierto semestre de una universidad, viene dado por 133 +-= xx . Determina la
menor y mayor cantidad de materias solicitadas.
LECTURA N° 22: INECUACIONES
Una inecuación se define como una desigualdad que contiene una o más variables y su
solución consta del conjunto de números que la satisface. Veamos los procedimientos de
solución relativos a la siguiente clasificación.
Inecuaciones Lineales
Cuando una inecuación contiene una expresión de grado uno (si hay fracciones la
variable aparece en el numerador), la inecuación es lineal.
Estudiemos ahora la diferencia entre ecuación e inecuación. Si nos piden la solución de la
siguiente ecuación:
714 =-x
24884174 =Þ=Þ=Þ+= xxxx
Para comprobar sustituimos 2=x en la ecuación original y notamos que la igualdad es
verdadera.
Material tomado con fines instruccionales de:
Gómez, T., González, N., Lorenzo, J. (2007) Inecuaciones.Artículo no publicado. Caracas.
183
Esto indica que sólo el número 2 cumple con la ecuación, si en lugar de x , colocamos,
por ejemplo 3 , es decir, 3=x , tendríamos:
( ) 71171127134 =Þ=-Þ=- , lo cual es falso
Así tenemos que la única solución es 2=x . Por otro lado, si ahora nos piden la solución
de 714 <-x . Entonces, despejamos x .
( )2,24
884174
¥-\<
<Þ<Þ+<
x
xxx
La solución a esta inecuación pueden ser cualquier valor que cumple la condición 2<x ,
es decir, ahora tenemos un conjunto de soluciones que incluyen todos los números
menores que 2 .
S i 71)1(4)2,(1 <--®-¥Î-=x
)(75714
cierto<-<--
S i 71)0(4)2,(0 <-®-¥Î=x
)(71710
cierto<-<-
Así podríamos conseguir muchos números, donde la inecuación se cumple, es decir, la
desigualdad resultante es verdadera o cierta.
Mientras que si tomamos valores fuera del intervalo )2,(-¥ , por ejemplo:
Si 71)3(4)2,(3 <-®-¥Ï=x
)(7117112 falso<Þ<-
la desigualdad no se cumple, es decir, el resultado obtenido al sustituir un valor que no
esté en el intervalo )2,(-¥ , es falso.
Veamos a continuación algunos ejemplos para encontrar las soluciones a una inecuación
lineal:
Ej.34. Determina la solución para 3213 +>- xx
184
Solución:
Para agrupar los términos semejantes, aplicamos las propiedades de desigualdades.
41323
>+>-
xxx
Respuesta: ( )+¥,4:S
Todos los números mayores que 4 cumplen la inecuación original.
Ej.35. Determina la solución para 3432 +£- xx
Solución:
Aplicamos las propiedades de desigualdad
x
x
x
xx
£-
£-
£-
-£--
3
26
26
2433
Se acostumbra colocar la variable del lado izquierdo: 3-³x
Respuesta: [ )+¥- ,3:S
Solución Alterna: 3432 +£- xx
Algunos estudiantes prefieren (por costumbre) agrupar las variables en el lado izquierdo
desde el inicio, entonces:
32
6
62
3342
-³Þ-
³
£-
+£-
xx
x
xx
Agrupamos términos semejantes
Pasamos el factor 2 a dividir. Observa que elsentido de la desigualdad no cambia, porque elfactor 2 es positivo.
Aplicando la propiedad de orden de la multiplicación yrecordando que si divide por un número negativo, porejemplo 2- , cambia el sentido de la desigualdad.
Agrupamos términos semejantes
185
Respuesta: [ )+¥- ,3:S
Nota:
Cuando se divide (o multiplica) entre un número negativo cambia el sentido de la
desigualdad pero no el signo del resultado. Es decir, el resultado es 3-³x y no 3³x .
El signo del resultado se mantiene, cambia sólo el sentido de la desigualdad.
Ej.36. Determina la solución para2131
32
-³- xx
Solución:
Despejamos la variable aplicando las propiedades de las desigualdades (Unidad 1,
Lectura Nº 2).
216
332 -³
- xx
( ) ( ) 31864163322 -³-Þ-³- xxxx
143314
36184
-£Þ³-
-³-
xx
xx
Respuesta: úûù
çèæ -¥-
143,:S
Inecuaciones con Valor Absoluto
Ej.37. Resolver 5£x
Solución:
Aplicando la propiedad 9 del Valor Absoluto, de la Lectura Nº 21, tenemos:
555 ££-Þ£ xx , es decir, 321.1.
5E
x £ y 321.2.
5E
x -³
Entonces, determinar la solución de la desigualdad 5£x , es hallar la intersección de
cada una de las soluciones .2.y.1. EE
Como 2 y 3 son números positivos, pueden pasarmultiplicando al otro lado de la desigualdad, sincambiar su sentido.
Como 014 <- y pasa dividiendo, entoncescambia el sentido de la desigualdad
Agrupamos términos semejantes
186
Resolvamos la inecuación .1.E :
5£x , representa los valores que están en el intervalo ( ] 15, S=¥-
Resolvamos la inecuación .2.E
5-³x , representa los valores que están en el intervalo [ ) 2,5 S=¥-
Como se tienen que cumplir al mismo tiempo las dos inecuaciones, las soluciones 1S y
2S .se intersectan, es decir, se hallan los valores comunes a 1S y 2S .
( ] [ ) [ ]5,5,55,21 -=¥-Ç¥-=Ç= SSS
Por lo tanto, resolver la desigualdad 5£x , es hallar el conjunto de valores que cumplen
las condiciones: x sea mayor o igual a –5 y x sea menor o igual a 5 al mismo tiempo, es
decir, [ ]5,5-=S
Interpretación Gráfica de 5£x
Resolver esta desigualdad, es encontrar los valores reales cuya distancia d a cero es
menor o igual a 5.
- ¥ + + ¥ - 5 0 5
- ¥ + + + ¥0 5
Fig. 15£x
- ¥ + ¥-5 0
Fig. 2
5-³x
187
En general podremos asegurar que para 0>a si ax £ , entonces la solución de esta
inecuación es { } [ ]aaaxaxS ,: -=££=
Si d = distancia de x al valor cero.
Ej.38. Resolver 35 £-x
Solución:
Para hallar la solución de la inecuación 35 £-x , utilizaremos la propiedad 9 de valor
absoluto. Para 5-= xf , tenemos que
35335 £-£-Þ£- xx , es decir
ïï
î
ïï
í
ì
£-
-³-
43421
48476
.2.
.1.
35
35
E
E
x
x
Hallamos la solución de la inecuación .1.E , 1S y la solución .2.E , 2S ., para luego
interceptarlos y obtener la solución S de la inecuación 35 £-x .
Resolvemos la inecuación .1.E :
35 -³-x , para resolver esta inecuación, vamos a despejar x , utilizaremos las
propiedades de las desigualdades:
25355 ³Þ+-³+- xx
Luego, la solución de inecuación .1.E es [ )¥= ,21S
0-5 5
5£d unidades5£d unidades
0a-
ad £ ad £
a
- ¥ + + ¥ 0 2
188
Resolvemos ahora la inecuación .2.E : 35 £-x , despejar x
Þ+£+- 5355x 8£x
La solución de la inecuación .2.E es: ( ]8,2 ¥-=S
Luego la solución de la inecuación 35 £-x , es 21 SSS Ç= , es decir, los valores
comunes, tanto a S1 como a S2.
[ ) ( ] [ ]8,28,,2S =¥-Ç¥=
Respuesta: La solución de la inecuación 35 £-x , es el intervalo [ ]8,2 .
Nota:
Este tipo de inecuaciones pueden resolverse de manera directa, el procedimiento se
aclara con los siguientes ejemplos.
Ej.39. Resolver 595 £-x
Solución:
Aplicando la propiedad 9 de valor absoluto, tenemos
5955595 £-£-Þ£- xx
Vamos a trabajar con las dos desigualdades al mismo tiempo.
Como queremos despejar x de la inecuación, vamos a ir aplicando las propiedades de las
desigualdades:
5955 £-£- x
- ¥ + ¥0 2 8
- ¥ + + + ¥0 8
189
14549599595
££+£+-£+-
xx
úûù
êëéÎÞ££
Þ££
514,
54
514
54
514
55
54
xx
x
Entonces, la solución de la inecuación 595 £-x , es el intervalo úûù
êëé=
514,
54S
Ahora resolveremos algunas inecuaciones utilizando la propiedad 10 del Valor Absoluto,
de la Lectura Nº 21.
Ej.40. Resolver 6³x
Solución:
La solución de la inecuación 6³x es: 6o6 -£³ xx , es decir, los valores comunes
y no comunes a ambos intervalos.
[ ] ( ] [ ) ( ]6,,66,o,6 -¥-È¥ÎÞ-¥-ΥΠxxx
Observe que los intervalos no tienen valores comunes
Respuesta: La solución de la inecuación 6³x es ( ] [ )¥È-¥- ,66,
Ej.41. Resolver 83 ³-x
Solución:
Para hallar la solución de la inecuación 83 ³-x , aplicamos la propiedad 10 del Valor
Absoluto, de la Lectura Nº 21, donde 3-= xf .
83o8383 -£-³-Þ³- xxx
Vamos a trabajar conjuntamente con ambas inecuaciones. Para despejar la variable x en
cada inecuación.
Sumamos 9, en cada uno de loslados de las desigualdades
Utilizamos la definición de intervalo[ ] { }bxaxba ££= :,
6- 6-¥ + + +¥
190
83 ³-x ó 83 -£-x
3833 +³+-x ó 3833 +-£+-x
11³x ó 5-£x
[ )¥Î ,11x ó ( ]5,-¥-Îx
( ] [ )¥È-¥-= ,115,S
Observa que los intervalos no tienen valores comunes, por lo que la unión de los mismos
se representa como los dos intervalos conectados por el símbolo de la unión “È “
Ej.42. Resolver 1648 ³- x
Solución:
Aplicamos la propiedad 10 de valor absoluto, en este caso xf 48 -= .
1648o16481648 -£-³-Þ³- xxx
Trabajamos con las dos inecuaciones:
16481648 -£-³- xóx
816848816848 --£---³-- xóx
24484 -£-³- xóx
424
44
48
44
--
³--
-£
-- xóx
62 ³-£ xóx
( ] [ )¥Î-¥-Î ,62, xóx
Respuesta: ( ] [ )¥È-¥-= ,62,S
¥- ¥+115- 0
191
Muchas veces las desigualdades no incluyen la igualdad, como es el caso de la
desigualdad menor que, denotada por < y la desigualdad mayor que, denotada por > .
Las propiedades de valor absoluto con las desigualdades < (menor que) y > (mayor
que), son similares a las propiedades ya enunciadas para los símbolos £ (menor o igual
que) y ³ (mayor o igual que), pero en los intervalos de solución no se incluyen los
valores extremos.
Ej.43. Resolver 7<x
Solución:
777 <<-Þ< xx por definición del intervalo abierto, tenemos ( )7,7-Îx
Nota:
Observa que cuando se utiliza la desigualdad menor o igual que ( )£ se incluyen en los
extremos del intervalo, lo cual nos lleva a una solución con intervalos cerrados, mientras
que al utilizar la desigualdad menor que, los extremos del intervalo no se incluyen, por
eso se define como intervalo abierto.
Ej.44. Resolver 642 <+x
Solución:
642 <+x . Para despejar la variable x
462466426 -<<--Þ<+<- xx
22
22
2102210 <<
-Þ<<-
xx
( )1,515 -ÎÞ<<- xx
Respuesta: La solución de 642 <+x es ( )1,5-=S
Ej.45. Resolver 10>x
Solución:
10ó1010 -<>Û> xxx
192
( ) ( ) ( ) ( )10,,1010,ó,10 -¥-È¥ÎÞ-¥-ΥΠxxx
Respuesta: ( ) ( )¥È-¥-= ,1010,S
Ej.46. Resolver 19-5 >x
Solución:
Û>19-5x 195ó195 -<->- xx
Despejar x en cada inecuación
91995ó91995 +-<+-+>+- xx
85ó105 <> xx Þ58
55ó
510
55
<>xx
58ó2 <> xx
( ) ( ) ÷øö
çèæ ¥-È¥ÎÞ÷
øö
çèæ ¥-Î¥Î
58,,2
58,ó,2 xxx
Respuesta: La solución de 195 >-x es ( )¥È÷øö
çèæ ¥-= ,2
58,S
A continuación, resolveremos inecuaciones racionales con valor absoluto, utilizando las
propiedades vistas anteriormente.
Ej.47. Hallar la solución de 4312£
--
xx
Solución:
4312£
--
xx
Û4342143421.2..1.
43124
3124
3124
EE
xxy
xx
xx
-³--
£--
Þ£--
£-
- ¥ + + + ¥ -10 0 10
- ¥ + + ¥
058
2
193
El objetivo es hallar la solución de la inecuación S , con valor absoluto a partir de la
solución 1S de la inecuación .1.E y de la solución 2S de .2.E y luego interceptarlas,
21 SSS Ç= , es decir, los valores comunes a 1S y a 2S
Solución de la inecuación .1.E
Þ£-- 4312
xx 04
312
£---
xx
03
12412£
-+--
xxx
03211
£--
xx
Luego evaluamos el signo de la expresión3211
--
xx
, para ello:
1. Hallamos las raíces del numerador y del denominador:
2112110211 =Þ=Þ=- xxx raíz del numerador
303 =Þ=- xx raíz del denominador.
2. Representamos en el cuadro las raíces en la recta real y la misma nos queda dividida
en intervalos: ( )3,¥- , ( ]211,3 y [ )+¥,2
11 .
Recuerda que las raíces del denominador no se incluyen nunca en los intervalos, mientras
que las raíces del numerador siempre se incluyen en los intervalos cuando las
desigualdades son “£ ” o “³ ”
3. Evaluamos el signo de cada una de las expresiones por separado, en cada uno de los
intervalos, tomando un valor dentro de cada intervalo. Luego evaluamos el signo de la
expresión completa.
-¥ 3 11/2 +¥
Numerador x211- + + -
Denominador 3-x - + +
Expresión3211
--
xx - + -
Resolvemos el lado izquierdo de lainecuación
194
4. Entonces, tomamos los intervalos donde la expresión es negativa, es decir
03211
£--
xx
en ( ) ÷øö
êëé ¥È¥- ,
2113,
La solución de la inecuación .1.E es ( ) ÷øö
êëé ¥È¥-= ,
2113,1S
Gráficamente tenemos:
Encontremos ahora la solución de la inecuación .2.E
Þ-³-- 4312
xx 04
312
³+--
xx
Þ( ) 03
3412³
--+-
xxx
Þ³-
-+- 03
12412x
xx 03136
³--
xx
Ahora evaluamos el signo de la expresión3136
--
xx
:
1. Busquemos las raíces del numerador y las raíces del denominador:
6131360136 =Þ=Þ=- xxx raíz del numerador
303 =Þ=- xx raíz del denominador
2. Representemos en el cuadro las raíces en la recta real y la misma nos queda dividida
en intervalos: ( ]613,¥- , [ )3,6
13 y ( )+¥,3 .
Recuerda que las raíces del denominador no se incluyen nunca en los
intervalos, mientras que las raíces del numerador siempre se incluyen en los
intervalos cuando las desigualdades son “£ ” o “³ ”
3. Evaluamos el signo de cada una de las expresiones por separado, en cada uno de los
intervalos, tomando un valor dentro de cada intervalo. Luego evaluamos el signo de la
expresión completa.
- ¥ + + + + ¥
3 211
195
-¥ 13/6 3 +¥
136 -x - + +
3-x - - +
3136
--
xx + - +
Entonces, la expresión3136
--
xx
es positiva en los intervalos ( )¥Èúûù
çèæ ¥- ,3
613, .
La solución de la inecuación .2.E es ( )¥Èúûù
çèæ ¥-= ,3
613,2S .
Gráficamente tenemos:
Por lo tanto, la solución S de la inecuación 4312£
--
xx
es 21 SS Ç , es decir:
=Ç 21 SS ( )þýü
îíì
¥È÷øö
çèæ ¥-Ç
þýü
îíì
÷øö
êëé ¥È-¥ ,3
613,,
211)3,(
Gráficamente la representación es:
Representaremos con diagonales de izquierda a derecha la solución 1S ( ) y con
diagonales de derecha a izquierda la solución 2S ( ), como buscamos la intersección
(comunes), entonces donde se crucen las líneas, determinaremos a la solución.
- ¥ + + + ¥
613 3
- ¥ + ¥
613 3
211
196
Respuesta: La solución es =S ÷øö
çèæ +¥Èúû
ùçèæ ¥- ,
211
613,
Ej.48. Resolver 64102
>+-
xx
Solución:
64102
>+-
xx
Þ443442143421
.2..1.
641026
4102
DD
xxó
xx
-<+-
>+-
Nuestro objetivo es hallar la solución 1S de la inecuación .1.D y la solución 2S de la
inecuación .2.D y así obtener la solución S , de la inecuación 64102
>+-
xx
, que será
21 SSS È= .
Resolvemos .1.D :
Þ>+- 6
4102
xx 06
4102
>-+-
xx
, resolvemos el lado izquierdo de la
inecuación:( ) 0
446102
>+
+--x
xxÞ 0
4246102
>+
---x
xx y nos queda:
04344
>+--
xx
Como los términos del numerador ambos tienen signo negativo, multiplicamos ambos lados
de la desigualdad por )1(- . Recuerde que cuando multiplicamos una desigualdad por un
número negativo, ésta cambia el sentido
( ) ( )104
)344(1-×<
+--×-
xx
Þ 04344
<++
xx
Ahora evaluamos el signo de la expresión.
1. Hallamos las raíces del numerador y del denominador
197
217
4343440344 -=Þ-=Þ-=Þ=+ xxxx raíz del numerador
404 -=Þ=+ xx raíz del denominador
2. Representamos en el cuadro las raíces en la recta real y la misma nos queda dividida
en intervalos: ( )217,-¥- , ( )4,2
17 -- y ( )+¥- ,4 . Aquí no se incluyen las raíces del
numerador y del denominador, por que la desigualdad es estricta ( > ).
3. Evaluamos el signo de cada una de las expresiones por separado, en cada uno de los
intervalos, tomando un valor dentro de cada intervalo. Luego evaluamos el signo de la
expresión completa.
-¥ -17/2 - 4 -¥
344 +x - + +
4+x - - +
4344
++
xx + - +
Entonces,4344
++
xx
es negativa en el intervalo ÷øö
çèæ -- 4,
217
La solución de la inecuación .1.D es =1S ÷øö
çèæ -- 4,
217
Gráficamente es: 1S
Resolvemos .2.D
64102
-<+-
xx
Comparamos con cero, sumando 6 a ambos lados
de la desigualdad.
-¥ +¥ -17/2 -4
198
Þ<++- 06
4102
xx ( ) 0
446102
<+
++-x
xxÞ 0
4148
<++
xx
Ahora evaluamos el signo de la expresión.
1. Encontramos las raíces del numerador y del denominador
47
8141480148 -=Þ-=Þ-=Þ=+ xxxx
raíz del numerador
404 -=Þ=+ xx raíz del denominador
2. Representamos en el cuadro las raíces en la recta real y la misma nos queda dividida
en intervalos: ( )4,-¥- , ( )47,4 -- y ( )+¥- ,4
7 . Aquí no se incluyen las raíces del
numerador y del denominador, porque la desigualdad es estricta (< ).
3. Evaluamos el signo de cada una de las expresiones por separado, en cada uno de los
intervalos, tomando un valor dentro de cada intervalo. Luego evaluamos el signo de la
expresión completa.
-¥ -4 -7/4 +¥
148 +x - - +
4+x - + +
4148
++
xx + - +
Entonces,4148
++
xx
es negativo en el intervalo ÷øö
çèæ --
47,4 .
La solución de la inecuación .2.D es =2S ÷øö
çèæ --
47,4 .
Gráficamente tenemos:
-¥ +¥ -4 -7/4
199
Luego, tenemos la solución 1S de .1.D y la solución 2S de .2.D , y la solución S de la
inecuación 64102
>+-
xx
, es 21 SSS È= .
Gráficamente tenemos:
Respuesta: La solución de la inecuación 64102
>+-
xx
es ÷øö
çèæ -- 4,
217
È ÷øö
çèæ --
47,4 .
Ejercicios Propuestos:
Resolver las siguientes inecuaciones:
91. 9£x 92. 15132 £+x
93. 553 £-x 94. 2562 £+-x
95. 153 ³x 96. 413 >+x
97. 024 >- x 98. 3381 ³+- x
99.8
435 <-
x
100.54
2³+
x
101. 2853 ³+-x
102.53
24
>--x
103.1
2>
- xx
104.1
294
£- x
x
105.4
322
<-+
xx
106.3
1213³
+-
xx
-¥ +¥ -17/2 -4 -7/4
200
Resolver los siguientes problemas:
107. La suma de tres números naturales consecutivos es menor e igual a 36.
Determinar el mayor de esos números.
108. Una pareja desea alquilar un carro durante un día de vacaciones. El carro tipo “A”
le cuesta 35 Bs.F. diarios y 0,140 Bs.F por cada kilómetro, mientras que el carro
tipo “B” le cuesta 34 Bs.F. por día y 0,160 Bs.F. por kilómetro. ¿ Después de
cuantos kilómetros el precio del alquiler del carro tipo “B” excede al carro tipo ”A”?
109. El índice de masa corporal (IMC) entre 19 y 20 se considera saludable. Utilice la
fórmula:
ICM=704. (peso en libras)/(estatura en pulgada
Para calcular el rango del peso, redondeado a la libra más cercana, que produzca un IMC
saludable para cada estatura.
· 72 pulgada
· La estatura del lector, en pulgadas
· La estatura del compañero o compañera que esté sentado más cerca de usted.
110. Manuel obtuvo 18 y 8 en sus dos primeros exámenes parciales de matemática.
¿Qué puntuación debe obtener en el tercero, para que su promedio sea al menos
de 15?