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Senales y Sistemas 1
Sesion 11
Andres Olarte Dussan
Universidad Nacional de Colombiasede Bogota
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 1 / 47
Agenda
1 La transformada de Laplace
2 La transformada inversa de Laplace
3 Propiedades de la transformada de Laplace
4 La transformada unilateral de Laplace
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 2 / 47
La transformada de Laplace
La transformada de Laplace se define como
X (s)△
∫ +∞
−∞x(t)e−stdt
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 3 / 47
La transformada de Laplace
La transformada de Laplace se define como
X (s)△
∫ +∞
−∞x(t)e−stdt
Denotaremos la relacion de transformacion entre x(t) y X (s) como
x(t)L↔ X (s)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 3 / 47
La transformada de Laplace
Cuando s = jω,
X (jω) =
∫ +∞
−∞x(t)e−jωtdt
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 4 / 47
La transformada de Laplace
Cuando s = jω,
X (jω) =
∫ +∞
−∞x(t)e−jωtdt
que corresponde a la transformada de Fourier de x(t); esto es,
X (s)|s=jω = F{x(t)}
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 4 / 47
La transformada de Laplace
Cuando s = jω,
X (jω) =
∫ +∞
−∞x(t)e−jωtdt
que corresponde a la transformada de Fourier de x(t); esto es,
X (s)|s=jω = F{x(t)}
La transformada de Laplace tambien conlleva una relacion directa conla transformada de Fourier cuando la variable compleja s no espuramente imaginaria. Consideremos s = σ + jω, de manera que
x(σ + jω) =
∫ +∞
−∞
x(t)e−(σ+jω)tdt
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 4 / 47
La transformada de Laplace
Cuando s = jω,
X (jω) =
∫ +∞
−∞x(t)e−jωtdt
que corresponde a la transformada de Fourier de x(t); esto es,
X (s)|s=jω = F{x(t)}
La transformada de Laplace tambien conlleva una relacion directa conla transformada de Fourier cuando la variable compleja s no espuramente imaginaria. Consideremos s = σ + jω, de manera que
x(σ + jω) =
∫ +∞
−∞
x(t)e−(σ+jω)tdt
expresada de otra forma,
X (σ + jω) =
∫ +∞
−∞
[
x(t)eσt]
e−jωtdt
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 4 / 47
Ejemplo 1
Considere la senal x(t) = e−atu(t). Sabemos que la transformada deFourier X (jω) converge para a > 0 y esta dada por
X (jω) =
∫ +∞
−∞e−atu(t)e−jωtdt =
∫ ∞
0e−ate−jωtdt =
1
jω + aa > 0
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 5 / 47
Ejemplo 1
Considere la senal x(t) = e−atu(t). Sabemos que la transformada deFourier X (jω) converge para a > 0 y esta dada por
X (jω) =
∫ +∞
−∞e−atu(t)e−jωtdt =
∫ ∞
0e−ate−jωtdt =
1
jω + aa > 0
La transformada de Laplace es
X (s) =
∫ ∞
−∞e−atu(t)e−stdt =
∫ ∞
0e−(s+a)tdt
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 5 / 47
Ejemplo 1
Considere la senal x(t) = e−atu(t). Sabemos que la transformada deFourier X (jω) converge para a > 0 y esta dada por
X (jω) =
∫ +∞
−∞e−atu(t)e−jωtdt =
∫ ∞
0e−ate−jωtdt =
1
jω + aa > 0
La transformada de Laplace es
X (s) =
∫ ∞
−∞e−atu(t)e−stdt =
∫ ∞
0e−(s+a)tdt
o, con s = σ + ω,
X (σ + jω) =
∫ ∞
0e−(σ+a)te−jωtdt
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 5 / 47
Ejemplo 1
por lo tanto
X (σ + jω) =1
(σ + a) + jωσ + a > 0
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 6 / 47
Ejemplo 1
por lo tanto
X (σ + jω) =1
(σ + a) + jωσ + a > 0
o, de manera equivalente puesto que s = σ + jω y σ = Re{s},
X (s) =1
s + a, Re{s} > −a
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 6 / 47
Ejemplo 1
por lo tanto
X (σ + jω) =1
(σ + a) + jωσ + a > 0
o, de manera equivalente puesto que s = σ + jω y σ = Re{s},
X (s) =1
s + a, Re{s} > −a
Esto es,
e−atu(t)L↔
1
s + a, Re{s} > −a
Por ejemplo, para a = 0, x(t) es el escaon unitario con transformadade Laplace X (s) = 1/s, Re{s} > 0
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 6 / 47
Ejemplo 2
Cosideremos como un segundo ejemplo la senal
x(t) = −e−atu(−t)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 7 / 47
Ejemplo 2
Cosideremos como un segundo ejemplo la senal
x(t) = −e−atu(−t)
Entonces
X (s) = −
∫ ∞
∞e−ate−stu(−t)dt
= −
∫ 0
−∞e−(s+a)tdt
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 7 / 47
Ejemplo 2
Cosideremos como un segundo ejemplo la senal
x(t) = −e−atu(−t)
Entonces
X (s) = −
∫ ∞
∞e−ate−stu(−t)dt
= −
∫ 0
−∞e−(s+a)tdt
o
X (s) =1
s + a
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 7 / 47
Ejemplo 2
Cosideremos como un segundo ejemplo la senal
x(t) = −e−atu(−t)
Entonces
X (s) = −
∫ ∞
∞e−ate−stu(−t)dt
= −
∫ 0
−∞e−(s+a)tdt
o
X (s) =1
s + a
Para convergencia en este ejemplo, necesitamos que Re{s + a} < 0,o Re{s} < −a; esto es,
−e−atu(−t)L↔
1
s + a, Re{s} < −a
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 7 / 47
EjemploRegion de convergencia
−a
Im
Re −a
Im
Re
Ejemplo 1
eatu(t)L↔
1
s + a, Re{s} > −a
Ejemplo 2
−e−atu(−t)L↔
1
s + a, Re{s} < −a
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 8 / 47
Ejercicio
x(t) = e−tu(t)− e−2tu(t)
−3 −2 −1 0 1 2 30
0.1
0.2
0.3
¿Cual de las siguientes es la transformada de Laplace de x(t)?
1 X (s) =1
(s + 1)(s + 2); Re > −1
2 X (s) =1
(s + 1)(s + 2); Re > −2
3 X (s) =s
(s + 1)(s + 2); Re > −1
4 X (s) =s
(s + 1)(s + 2); Re > −2
5 ninguna de las anteriores.
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 9 / 47
Ejercicio
X (s) =
∫ ∞
0(e−t − e−2t)e−stdt
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 10 / 47
Ejercicio
X (s) =
∫ ∞
0(e−t − e−2t)e−stdt
∫ ∞
0e−te−stdt −
∫ ∞
0e−2te−stdt
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 10 / 47
Ejercicio
X (s) =
∫ ∞
0(e−t − e−2t)e−stdt
∫ ∞
0e−te−stdt −
∫ ∞
0e−2te−stdt
1
s + 1−
1
s + 2=
(s + 2)− (s + 1)
(s + 2)(s + 1)=
1
(s + 2)(s + 1)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 10 / 47
Ejercicio
X (s) =
∫ ∞
0(e−t − e−2t)e−stdt
∫ ∞
0e−te−stdt −
∫ ∞
0e−2te−stdt
1
s + 1−
1
s + 2=
(s + 2)− (s + 1)
(s + 2)(s + 1)=
1
(s + 2)(s + 1)
Esta ecuacion converge si Re(s + 1) > 0 y Re(s + 2) > 0
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 10 / 47
Ejercicio
X (s) =
∫ ∞
0(e−t − e−2t)e−stdt
∫ ∞
0e−te−stdt −
∫ ∞
0e−2te−stdt
1
s + 1−
1
s + 2=
(s + 2)− (s + 1)
(s + 2)(s + 1)=
1
(s + 2)(s + 1)
Esta ecuacion converge si Re(s + 1) > 0 y Re(s + 2) > 0
1
(s + 2)(s + 1); Re(s) > −1
−1
Im
Re−2
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 10 / 47
Ejercicio
x(t) = e−tu(t)− e−2tu(t)
−3 −2 −1 0 1 2 30
0.1
0.2
0.3
¿Cual de las siguientes es la transformada de Laplace de x(t)? 1
1 X (s) =1
(s + 1)(s + 2); Re > −1
2 X (s) =1
(s + 1)(s + 2); Re > −2
3 X (s) =s
(s + 1)(s + 2); Re > −1
4 X (s) =s
(s + 1)(s + 2); Re > −2
5 ninguna de las anteriores.
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 11 / 47
La transformada inversa de Laplace
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 12 / 47
La transformada inversa de Laplace
Cuando s se expresa como s = σ + jω, la transformada de Laplace deuna senal x(t) esta dada por
X (σ + jω) = F{x(t)eσt} =
∫ +∞
−∞x(t)e−σte−jωdω
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 13 / 47
La transformada inversa de Laplace
Cuando s se expresa como s = σ + jω, la transformada de Laplace deuna senal x(t) esta dada por
X (σ + jω) = F{x(t)eσt} =
∫ +∞
−∞x(t)e−σte−jωdω
Podemos invertir esta relacion usando la transformada inversa deFourier,
x(t)e−σt = F−1{X (σ + jω)} =1
2π
∫ +∞
−∞X (σ + jω)e−jωtdt
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 13 / 47
La transformada inversa de Laplace
Cuando s se expresa como s = σ + jω, la transformada de Laplace deuna senal x(t) esta dada por
X (σ + jω) = F{x(t)eσt} =
∫ +∞
−∞x(t)e−σte−jωdω
Podemos invertir esta relacion usando la transformada inversa deFourier,
x(t)e−σt = F−1{X (σ + jω)} =1
2π
∫ +∞
−∞X (σ + jω)e−jωtdt
0, multiplicando ambos lados por eσt , obtenemos
x(t) =1
2π
∫ +∞
−∞X (σ + jω)eσ+jωdω
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 13 / 47
La transformada inversa de Laplace
Podemos invertir esta relacion usando la transformada inversa deFourier,
x(t)e−σt = F−1{X (σ + jω)} =1
2π
∫ +∞
−∞X (σ + jω)e−jωtdt
0, multiplicando ambos lados por eat , obtenemos
x(t) =1
2π
∫ +∞
−∞X (σ + jω)eσ+jωdω
El resultado es la ecuacion basica de la transformada inversa deLaplace:
x(t) =1
2πj
∫ σ+jω
σ−jωX (s)estds
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 14 / 47
Ejemplo
−1
Im
Re−2
Sea
X (s) =1
(s + 1)(s + 2), Re{s} < −2
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 15 / 47
Ejemplo
−1
Im
Re−2
Sea
X (s) =1
(s + 1)(s + 2), Re{s} < −2
primero realizamos la transformacion en fracciones parciales
X (s) =1
(s + 1)(s + 2)=
A
s + 1+
B
s + 2
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 15 / 47
Ejemplo
−1
Im
Re−2
Sea
X (s) =1
(s + 1)(s + 2), Re{s} < −2
primero realizamos la transformacion en fracciones parciales
X (s) =1
(s + 1)(s + 2)=
A
s + 1+
B
s + 2
La expansion en fracciones parciales de X (s) es
X (s) =A
s + 1−
B
s + 2
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 15 / 47
Ejemplo
−1
Im
Re−2
Esto corresponde a s = −1 que es Re{s} < −1 y a s = −2 que esRe{s} < −2
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 16 / 47
Ejemplo
−1
Im
Re−2
Esto corresponde a s = −1 que es Re{s} < −1 y a s = −2 que esRe{s} < −2
Entonces,
−e−tu(−t)L↔
1
s + 1, Re{s} < −1
−e−2tu(−t)L↔
1
s + 2, Re{s} < −2
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 16 / 47
Ejemplo
Entonces,
−e−tu(−t)L↔
1
s + 1, Re{s} < −1
−e−2tu(−t)L↔
1
s + 2, Re{s} < −2
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 17 / 47
Ejemplo
Entonces,
−e−tu(−t)L↔
1
s + 1, Re{s} < −1
−e−2tu(−t)L↔
1
s + 2, Re{s} < −2
con la expresion obtenida,
X (s) =A
s + 1−
B
s + 2
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 17 / 47
Ejemplo
Entonces,
−e−tu(−t)L↔
1
s + 1, Re{s} < −1
−e−2tu(−t)L↔
1
s + 2, Re{s} < −2
con la expresion obtenida,
X (s) =A
s + 1−
B
s + 2
de modo que
x(t) =[
−e−t + e−2t]
u(t)L↔
1
(s + 1)(s + 2), Re{s} < −2
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 17 / 47
Propiedades la la transformada de
Laplace
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 18 / 47
Linealidad de la transformada de Laplace
Six1(t)
L↔ X1(s)
con una region de convergencia que se senalara como R1
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 19 / 47
Linealidad de la transformada de Laplace
Six1(t)
L↔ X1(s)
con una region de convergencia que se senalara como R1
y
x2(t)L↔ X2(s)
con una region de convergencia que se senalara como R1
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 19 / 47
Linealidad de la transformada de Laplace
Six1(t)
L↔ X1(s)
con una region de convergencia que se senalara como R1
y
x2(t)L↔ X2(s)
con una region de convergencia que se senalara como R1
entoncesax1(t) + bx2(t)
L↔ aX1(s) + bX2(s)
con la ROC conteniendo R1 ∩ R2
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 19 / 47
Desplazamiento en el tiempo
Six(t)
L↔ X (s), con ROC = R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 20 / 47
Desplazamiento en el tiempo
Six(t)
L↔ X (s), con ROC = R
entoncesx(t − t0)
L↔ e−st0X (s) con ROC = R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 20 / 47
Desplazamiento en el dominio de s
Six(t)
L↔ X (s), con ROC = R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 21 / 47
Desplazamiento en el dominio de s
Six(t)
L↔ X (s), con ROC = R
entonces
es0tx(t)L↔ X (s − s0) con ROC = R +Re{s0}
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 21 / 47
Escalamiento en el tiempo
Six(t)
L↔ X (s), con ROC = R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 22 / 47
Escalamiento en el tiempo
Six(t)
L↔ X (s), con ROC = R
entonces
X (at)L↔
1
|a|X( s
a
)
, con ROC R1 =R
a
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 22 / 47
Conjugacion
Six(t)
L↔ X (s), con ROC = R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 23 / 47
Conjugacion
Six(t)
L↔ X (s), con ROC = R
entoncesx∗(t)
L↔ X ∗(s∗), con ROC = R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 23 / 47
Conjugacion
Six(t)
L↔ X (s), con ROC = R
entoncesx∗(t)
L↔ X ∗(s∗), con ROC = R
Por lo tanto,X (s) = X ∗(s∗)
cuando x(t) es real
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 23 / 47
Propiedad de convolucion
Six1(t)
L↔ X1(s)
con una region de convergencia que se senalara como R1
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 24 / 47
Propiedad de convolucion
Six1(t)
L↔ X1(s)
con una region de convergencia que se senalara como R1
y
x2(t)L↔ X2(s)
con una region de convergencia que se senalara como R1
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 24 / 47
Propiedad de convolucion
Six1(t)
L↔ X1(s)
con una region de convergencia que se senalara como R1
y
x2(t)L↔ X2(s)
con una region de convergencia que se senalara como R1
entoncesx1(t) ∗ x2(t)
L↔ X1(s)X2(s)
con la ROC conteniendo R1 ∩ R2
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 24 / 47
Diferenciacion en el dominio del tiempo
Six(t)
L↔ X (s), con ROC = R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 25 / 47
Diferenciacion en el dominio del tiempo
Six(t)
L↔ X (s), con ROC = R
entoncesdx(t)
dt
L↔ sX (s), con ROC = R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 25 / 47
Diferenciacion en el dominio del tiempo
Six(t)
L↔ X (s), con ROC = R
entoncesdx(t)
dt
L↔ sX (s), con ROC = R
De esta propiedad se puede deducir la transformada inversa deLaplace
x(t) =1
2πj
∫ σ+jω
σ−jωX (s)estds
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 25 / 47
Diferenciacion en el dominio del tiempo
Six(t)
L↔ X (s), con ROC = R
entoncesdx(t)
dt
L↔ sX (s), con ROC = R
De esta propiedad se puede deducir la transformada inversa deLaplace
x(t) =1
2πj
∫ σ+jω
σ−jωX (s)estds
Entoncesdx(t)
dt=
1
2πj
∫ σ+jω
σ−jωsX (s)estds
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 25 / 47
Diferenciacion en el dominio de s
Si diferenciamos ambos miembros de la transformada de Laplace
X (s) =
∫ +∞
−∞x(t)e−stdt
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 26 / 47
Diferenciacion en el dominio de s
Si diferenciamos ambos miembros de la transformada de Laplace
X (s) =
∫ +∞
−∞x(t)e−stdt
obtenemosdX (s)
ds=
∫ +∞
−∞(−t)x(t)e−stdt
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 26 / 47
Diferenciacion en el dominio de s
Si diferenciamos ambos miembros de la transformada de Laplace
X (s) =
∫ +∞
−∞x(t)e−stdt
obtenemosdX (s)
ds=
∫ +∞
−∞(−t)x(t)e−stdt
En consecuencia, si
x(t)L↔ X (s), con ROC = R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 26 / 47
Diferenciacion en el dominio de s
Si diferenciamos ambos miembros de la transformada de Laplace
X (s) =
∫ +∞
−∞x(t)e−stdt
obtenemosdX (s)
ds=
∫ +∞
−∞(−t)x(t)e−stdt
En consecuencia, si
x(t)L↔ X (s), con ROC = R
entonces
−tx(t)L↔
dX (s)
dtcon ROC = R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 26 / 47
Ejemplo
Obtengamos la transformada de Laplace de
x(t) = te−atu(t)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 27 / 47
Ejemplo
Obtengamos la transformada de Laplace de
x(t) = te−atu(t)
Ya que
e−atu(t)L↔
1
s + a, Re{s} > −a
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 27 / 47
Ejemplo
Obtengamos la transformada de Laplace de
x(t) = te−atu(t)
Ya que
e−atu(t)L↔
1
s + a, Re{s} > −a
De la propiedad de diferenciacion en el dominio de s se desprende que
te−atu(t)L↔ −
d
ds
[
1
s + a
]
=1
(s + a)2, Re{s} > −a
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 27 / 47
Ejemplo
Obtengamos la transformada de Laplace de
x(t) = te−atu(t)
Ya que
e−atu(t)L↔
1
s + a, Re{s} > −a
De la propiedad de diferenciacion en el dominio de s se desprende que
te−atu(t)L↔ −
d
ds
[
1
s + a
]
=1
(s + a)2, Re{s} > −a
De hecho mediante la aplicacion repetida
t2
2eatu(t)
L↔
1
(s + a)3, Re{s} > −a
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 27 / 47
Ejemplo
y de manera mas general
tn−1
(n − 1)!e−atu(t)
L↔
1
(s + a)n, Re{s} > −a
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 28 / 47
Integracion en el dominio del tiempo
Six(t)
R↔ X (s) con ROC = R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 29 / 47
Integracion en el dominio del tiempo
Six(t)
R↔ X (s) con ROC = R
entonces∫ t
−∞x(τ)dτ
R↔
1
s,
con la ROC contenido R ∩ {Re(s) > 0}
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 29 / 47
Integracion en el dominio del tiempo
Six(t)
R↔ X (s) con ROC = R
entonces∫ t
−∞x(τ)dτ
R↔
1
s,
con la ROC contenido R ∩ {Re(s) > 0}
Se puede deducir de la propiedad de convolucion,
∫ t
−∞x(τ)dτ = u(t) ∗ x(t)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 29 / 47
Integracion en el dominio del tiempo
Six(t)
R↔ X (s) con ROC = R
entonces∫ t
−∞x(τ)dτ
R↔
1
s,
con la ROC contenido R ∩ {Re(s) > 0}
Se puede deducir de la propiedad de convolucion,
∫ t
−∞x(τ)dτ = u(t) ∗ x(t)
Con x(t) = e−atu(t) y a = 0
u(t)R↔
1
s, Re{s} > 0
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 29 / 47
Teorema de valor inicial y de valor final
El teorema de valor inicial establece que
x(0+) = lıms→∞
sX (s)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 30 / 47
Teorema de valor inicial y de valor final
El teorema de valor inicial establece que
x(0+) = lıms→∞
sX (s)
mientras que el teorema de valor final nos dice que
lımt→∞
x(t) = lıms→0
sX (s)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 30 / 47
Tabla de propiedades
Propiedad Senal Transformada ROC
Linealidad ax1(t) + bx2(t) aX1(s) + bX2(s)Al menos R1 ∩ R2
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 31 / 47
Tabla de propiedades
Propiedad Senal Transformada ROC
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
ax1(t) + bx2(t)
x(t − t0)aX1(s) + bX2(s)
e−st0X (s)
Al menos R1 ∩ R2
R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 31 / 47
Tabla de propiedades
Propiedad Senal Transformada ROC
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
Desplazamiento en eldominio de s
ax1(t) + bx2(t)
x(t − t0)
es0tx(t)
aX1(s) + bX2(s)
e−st0X (s)
X (s − s0)
Al menos R1 ∩ R2
R
Vesion desplazada de R (es decir,s esta en la ROC si s − s0 esta enR)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 31 / 47
Tabla de propiedades
Propiedad Senal Transformada ROC
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
Desplazamiento en eldominio de s
Escalamiento en el tiempo
ax1(t) + bx2(t)
x(t − t0)
es0tx(t)
x(at)
aX1(s) + bX2(s)
e−st0X (s)
X (s − s0)
1
|a|X
(
sa
)
Al menos R1 ∩ R2
R
Vesion desplazada de R (es decir,s esta en la ROC si s − s0 esta enR)
ROC escalada (es decir, s esta enla ROC si s/a esta en R)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 31 / 47
Tabla de propiedades
Propiedad Senal Transformada ROC
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
Desplazamiento en eldominio de s
Escalamiento en el tiempo
Conjugacion
ax1(t) + bx2(t)
x(t − t0)
es0tx(t)
x(at)
x∗(t)
aX1(s) + bX2(s)
e−st0X (s)
X (s − s0)
1
|a|X
(
sa
)
X∗(s∗)
Al menos R1 ∩ R2
R
Vesion desplazada de R (es decir,s esta en la ROC si s − s0 esta enR)
ROC escalada (es decir, s esta enla ROC si s/a esta en R)
R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 31 / 47
Tabla de propiedades
Propiedad Senal Transformada ROC
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
Desplazamiento en eldominio de s
Escalamiento en el tiempo
Conjugacion
Convolucion
ax1(t) + bx2(t)
x(t − t0)
es0tx(t)
x(at)
x∗(t)
x1(t) ∗ x2(t)
aX1(s) + bX2(s)
e−st0X (s)
X (s − s0)
1
|a|X
(
sa
)
X∗(s∗)
X1(s)X2(s)
Al menos R1 ∩ R2
R
Vesion desplazada de R (es decir,s esta en la ROC si s − s0 esta enR)
ROC escalada (es decir, s esta enla ROC si s/a esta en R)
R
Al menos R1 ∩ R2
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 31 / 47
Tabla de propiedades
Propiedad Senal Transformada ROC
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
Desplazamiento en eldominio de s
Escalamiento en el tiempo
Conjugacion
Convolucion
Diferenciacion en el tiempo
ax1(t) + bx2(t)
x(t − t0)
es0tx(t)
x(at)
x∗(t)
x1(t) ∗ x2(t)
d
dtx(t)
aX1(s) + bX2(s)
e−st0X (s)
X (s − s0)
1
|a|X
(
sa
)
X∗(s∗)
X1(s)X2(s)
sX (s)
Al menos R1 ∩ R2
R
Vesion desplazada de R (es decir,s esta en la ROC si s − s0 esta enR)
ROC escalada (es decir, s esta enla ROC si s/a esta en R)
R
Al menos R1 ∩ R2
Al menos R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 31 / 47
Tabla de propiedades
Propiedad Senal Transformada ROC
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
Desplazamiento en eldominio de s
Escalamiento en el tiempo
Conjugacion
Convolucion
Diferenciacion en el tiempo
Diferenciacion en el dominiode s
ax1(t) + bx2(t)
x(t − t0)
es0tx(t)
x(at)
x∗(t)
x1(t) ∗ x2(t)
d
dtx(t)
−tx(t)
aX1(s) + bX2(s)
e−st0X (s)
X (s − s0)
1
|a|X
(
sa
)
X∗(s∗)
X1(s)X2(s)
sX (s)
d
dsX (s)
Al menos R1 ∩ R2
R
Vesion desplazada de R (es decir,s esta en la ROC si s − s0 esta enR)
ROC escalada (es decir, s esta enla ROC si s/a esta en R)
R
Al menos R1 ∩ R2
Al menos R
R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 31 / 47
Tabla de propiedades
Propiedad Senal Transformada ROC
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
Desplazamiento en eldominio de s
Escalamiento en el tiempo
Conjugacion
Convolucion
Diferenciacion en el tiempo
Diferenciacion en el dominiode s
Integracion en el tiempo
ax1(t) + bx2(t)
x(t − t0)
es0tx(t)
x(at)
x∗(t)
x1(t) ∗ x2(t)
d
dtx(t)
−tx(t)∫
t−∞
x(τ)d(τ)
aX1(s) + bX2(s)
e−st0X (s)
X (s − s0)
1
|a|X
(
sa
)
X∗(s∗)
X1(s)X2(s)
sX (s)
d
dsX (s)
1
sX (s)
Al menos R1 ∩ R2
R
Vesion desplazada de R (es decir,s esta en la ROC si s − s0 esta enR)
ROC escalada (es decir, s esta enla ROC si s/a esta en R)
R
Al menos R1 ∩ R2
Al menos R
R
Al menos R ∩ {Re{s} > 0}
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 31 / 47
Tabla de propiedades
Propiedad Senal Transformada ROC
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
Desplazamiento en eldominio de s
Escalamiento en el tiempo
Conjugacion
Convolucion
Diferenciacion en el tiempo
Diferenciacion en el dominiode s
Integracion en el tiempo
ax1(t) + bx2(t)
x(t − t0)
es0tx(t)
x(at)
x∗(t)
x1(t) ∗ x2(t)
d
dtx(t)
−tx(t)∫
t−∞
x(τ)d(τ)
aX1(s) + bX2(s)
e−st0X (s)
X (s − s0)
1
|a|X
(
sa
)
X∗(s∗)
X1(s)X2(s)
sX (s)
d
dsX (s)
1
sX (s)
Al menos R1 ∩ R2
R
Vesion desplazada de R (es decir,s esta en la ROC si s − s0 esta enR)
ROC escalada (es decir, s esta enla ROC si s/a esta en R)
R
Al menos R1 ∩ R2
Al menos R
R
Al menos R ∩ {Re{s} > 0}
Teoremas del valor inicial y final
Si x(t) = 0 para t < 0 y x(t) no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior en t = 0, entonces
x(0+) = lım
s→∞
sX (s)
lımt→∞
x(t) = lıms→0
X (s)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 32 / 47
Algunos pares de transformadas de Laplace
Senal Transformada ROC
δ(t) 1 Toda s
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 33 / 47
Algunos pares de transformadas de Laplace
Senal Transformada ROC
δ(t)
u(t)
11
s
Toda s
Re{s} > 0
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 33 / 47
Algunos pares de transformadas de Laplace
Senal Transformada ROC
δ(t)
u(t)
−u(−t)
11
s
1
s
Toda s
Re{s} > 0
Re{s} < 0
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 33 / 47
Algunos pares de transformadas de Laplace
Senal Transformada ROC
δ(t)
u(t)
−u(−t)
tn−1
(n − 1)!u(t)
11
s
1
s
1
sn
Toda s
Re{s} > 0
Re{s} < 0
Re{s} > 0
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 33 / 47
Algunos pares de transformadas de Laplace
Senal Transformada ROC
δ(t)
u(t)
−u(−t)
tn−1
(n − 1)!u(t)
−tn−1
(n − 1)!u(−t)
11
s
1
s
1
sn
1
sn
Toda s
Re{s} > 0
Re{s} < 0
Re{s} > 0
Re{s} < 0
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 33 / 47
Algunos pares de transformadas de Laplace
Senal Transformada ROC
δ(t)
u(t)
−u(−t)
tn−1
(n − 1)!u(t)
−tn−1
(n − 1)!u(−t)
e−atu(t)
11
s
1
s
1
sn
1
sn
1
s + a
Toda s
Re{s} > 0
Re{s} < 0
Re{s} > 0
Re{s} < 0
Re{s} > −a
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 33 / 47
Algunos pares de transformadas de Laplace
Senal Transformada ROC
δ(t)
u(t)
−u(−t)
tn−1
(n − 1)!u(t)
−tn−1
(n − 1)!u(−t)
e−atu(t)
−e−atu(−t)
11
s
1
s
1
sn
1
sn
1
s + a
1
s + a
Toda s
Re{s} > 0
Re{s} < 0
Re{s} > 0
Re{s} < 0
Re{s} > −a
Re{s} < −a
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 33 / 47
Algunos pares de transformadas de Laplace
Senal Transformada ROC
δ(t)
u(t)
−u(−t)
tn−1
(n − 1)!u(t)
−tn−1
(n − 1)!u(−t)
e−atu(t)
−e−atu(−t)
tn−1
(n − 1)!e−atu(t)
11
s
1
s
1
sn
1
sn
1
s + a
1
s + a
1
(s + a)n
Toda s
Re{s} > 0
Re{s} < 0
Re{s} > 0
Re{s} < 0
Re{s} > −a
Re{s} < −a
Re{s} > −a
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 33 / 47
Algunos pares de transformadas de Laplace
Senal Transformada ROC
δ(t)
u(t)
−u(−t)
tn−1
(n − 1)!u(t)
−tn−1
(n − 1)!u(−t)
e−atu(t)
−e−atu(−t)
tn−1
(n − 1)!e−atu(t)
−tn−1
(n − 1)!e−atu(−t)
11
s
1
s
1
sn
1
sn
1
s + a
1
s + a
1
(s + a)n
1
(s + a)n
Toda s
Re{s} > 0
Re{s} < 0
Re{s} > 0
Re{s} < 0
Re{s} > −a
Re{s} < −a
Re{s} > −a
Re{s} < −a
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 33 / 47
Algunos pares de transformadas de Laplace
Senal Transformada ROC
δ(t − T ) e−sT Toda s
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 34 / 47
Algunos pares de transformadas de Laplace
Senal Transformada ROC
δ(t − T )
[cosω0t]u(t)
e−sT
s
s2 + ω20
Toda s
Re{s} > 0
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 34 / 47
Algunos pares de transformadas de Laplace
Senal Transformada ROC
δ(t − T )
[cosω0t]u(t)
[sinω0t]u(t)
e−sT
s
s2 + ω20
ω0
s2 + ω20
Toda s
Re{s} > 0
Re{s} < 0
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 34 / 47
Algunos pares de transformadas de Laplace
Senal Transformada ROC
δ(t − T )
[cosω0t]u(t)
[sinω0t]u(t)
[e−at cosω0tu(t)]
e−sT
s
s2 + ω20
ω0
s2 + ω20
s + a
(s + a)2 + ω20
Toda s
Re{s} > 0
Re{s} < 0
Re{s} > −a
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 34 / 47
Algunos pares de transformadas de Laplace
Senal Transformada ROC
δ(t − T )
[cosω0t]u(t)
[sinω0t]u(t)
[e−at cosω0tu(t)]
[e−at senω0tu(t)]
e−sT
s
s2 + ω20
ω0
s2 + ω20
s + a
(s + a)2 + ω20
ω0
(s + a)2 + ω20
Toda s
Re{s} > 0
Re{s} < 0
Re{s} > −a
Re{s} > −a
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 34 / 47
Algunos pares de transformadas de Laplace
Senal Transformada ROC
δ(t − T )
[cosω0t]u(t)
[sinω0t]u(t)
[e−at cosω0tu(t)]
[e−at senω0tu(t)]
un(t) =dnδ(t)
dtn
e−sT
s
s2 + ω20
ω0
s2 + ω20
s + a
(s + a)2 + ω20
ω0
(s + a)2 + ω20
sn
Toda s
Re{s} > 0
Re{s} < 0
Re{s} > −a
Re{s} > −a
Toda s
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 34 / 47
Algunos pares de transformadas de Laplace
Senal Transformada ROC
δ(t − T )
[cosω0t]u(t)
[sinω0t]u(t)
[e−at cosω0tu(t)]
[e−at senω0tu(t)]
un(t) =dnδ(t)
dtn
u−n(t) = u(t) ∗ · · · ∗ u(y)︸ ︷︷ ︸
n veces
e−sT
s
s2 + ω20
ω0
s2 + ω20
s + a
(s + a)2 + ω20
ω0
(s + a)2 + ω20
sn
1
sn
Toda s
Re{s} > 0
Re{s} < 0
Re{s} > −a
Re{s} > −a
Toda s
Re{s} > 0
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 34 / 47
La transformada unilateral de
Laplace
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 35 / 47
La transformada unilateral de Laplace
La transformada unilateral de Laplace de una senal continua x(t) sedefine como
X (s)△
∫ ∞
0−x(t)e−stdt
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 36 / 47
La transformada unilateral de Laplace
La transformada unilateral de Laplace de una senal continua x(t) sedefine como
X (s)△
∫ ∞
0−x(t)e−stdt
donde el lımite de integracion inferior, 0−, significa que en el intervalode integracion incluimos cualquier impulso o funcion singular demayor orden concentrada en t = 0. La transformada unilateral deLaplace para una senal es:
x(t)UL↔ X (s) = UL{x(t)}
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 36 / 47
Ejemplo
Considere la senal
x(t) =tn−1
(n − 1)!e−atu(t)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 37 / 47
Ejemplo
Considere la senal
x(t) =tn−1
(n − 1)!e−atu(t)
Ya que x(t) = 0 para t < 0, las transformadas unilateral y bilateralson identicas. Por lo tanto, de la tabla de pares de transformadas,
X (s) =1
(s + a)n, Re{s} > −a
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 37 / 47
Propiedades de la transformada unilateral de Laplace
Propiedad SenalTransformadaunilateral
Linealidad ax1(t) + bx2(t)aX1(s) + bX2(s)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 38 / 47
Propiedades de la transformada unilateral de Laplace
Propiedad SenalTransformadaunilateral
Linealidad
Desplazamiento en el dominio de s
ax1(t) + bx2(t)
es0tx(t)
aX1(s) + bX2(s)
X (s − s0)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 38 / 47
Propiedades de la transformada unilateral de Laplace
Propiedad SenalTransformadaunilateral
Linealidad
Desplazamiento en el dominio de s
Escalamiento en el tiempo
ax1(t) + bx2(t)
es0tx(t)
x(at), a > 0
aX1(s) + bX2(s)
X (s − s0)
1
|a|X
(
sa
)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 38 / 47
Propiedades de la transformada unilateral de Laplace
Propiedad SenalTransformadaunilateral
Linealidad
Desplazamiento en el dominio de s
Escalamiento en el tiempo
Conjugacion
ax1(t) + bx2(t)
es0tx(t)
x(at), a > 0
x∗(t)
aX1(s) + bX2(s)
X (s − s0)
1
|a|X
(
sa
)
X∗(s∗)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 38 / 47
Propiedades de la transformada unilateral de Laplace
Propiedad SenalTransformadaunilateral
Linealidad
Desplazamiento en el dominio de s
Escalamiento en el tiempo
Conjugacion
Convolucion (suponiendox1(t), x2(t) = 0 para t < 0)
ax1(t) + bx2(t)
es0tx(t)
x(at), a > 0
x∗(t)
x1(t) ∗ x2(t)
aX1(s) + bX2(s)
X (s − s0)
1
|a|X
(
sa
)
X∗(s∗)
X1(s)X2(s)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 38 / 47
Propiedades de la transformada unilateral de Laplace
Propiedad SenalTransformadaunilateral
Linealidad
Desplazamiento en el dominio de s
Escalamiento en el tiempo
Conjugacion
Convolucion (suponiendox1(t), x2(t) = 0 para t < 0)
Diferenciacion en el tiempo
ax1(t) + bx2(t)
es0tx(t)
x(at), a > 0
x∗(t)
x1(t) ∗ x2(t)
d
dtx(t)
aX1(s) + bX2(s)
X (s − s0)
1
|a|X
(
sa
)
X∗(s∗)
X1(s)X2(s)
sX (s) − x(0−)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 38 / 47
Propiedades de la transformada unilateral de Laplace
Propiedad SenalTransformadaunilateral
Linealidad
Desplazamiento en el dominio de s
Escalamiento en el tiempo
Conjugacion
Convolucion (suponiendox1(t), x2(t) = 0 para t < 0)
Diferenciacion en el tiempo
Diferenciacion en el dominio de s
ax1(t) + bx2(t)
es0tx(t)
x(at), a > 0
x∗(t)
x1(t) ∗ x2(t)
d
dtx(t)
−tx(t)
aX1(s) + bX2(s)
X (s − s0)
1
|a|X
(
sa
)
X∗(s∗)
X1(s)X2(s)
sX (s) − x(0−)
d
dsX (s)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 38 / 47
Propiedades de la transformada unilateral de Laplace
Propiedad SenalTransformadaunilateral
Linealidad
Desplazamiento en el dominio de s
Escalamiento en el tiempo
Conjugacion
Convolucion (suponiendox1(t), x2(t) = 0 para t < 0)
Diferenciacion en el tiempo
Diferenciacion en el dominio de s
Integracion en el tiempo
ax1(t) + bx2(t)
es0tx(t)
x(at), a > 0
x∗(t)
x1(t) ∗ x2(t)
d
dtx(t)
−tx(t)∫
t
0−x(τ)d(τ)
aX1(s) + bX2(s)
X (s − s0)
1
|a|X
(
sa
)
X∗(s∗)
X1(s)X2(s)
sX (s) − x(0−)
d
dsX (s)
1
sX (s)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 38 / 47
Propiedades de la transformada unilateral de Laplace
Propiedad SenalTransformadaunilateral
Linealidad
Desplazamiento en el dominio de s
Escalamiento en el tiempo
Conjugacion
Convolucion (suponiendox1(t), x2(t) = 0 para t < 0)
Diferenciacion en el tiempo
Diferenciacion en el dominio de s
Integracion en el tiempo
ax1(t) + bx2(t)
es0tx(t)
x(at), a > 0
x∗(t)
x1(t) ∗ x2(t)
d
dtx(t)
−tx(t)∫
t
0−x(τ)d(τ)
aX1(s) + bX2(s)
X (s − s0)
1
|a|X
(
sa
)
X∗(s∗)
X1(s)X2(s)
sX (s) − x(0−)
d
dsX (s)
1
sX (s)
Teoremas del valor inicial y final
Si x(t) = 0 para t < 0 y x(t) no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior en t = 0, entonces
x(0+) = lım
s→∞
sX (s)
lımt→∞
x(t) = lıms→0
X (s)
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Solucion de ecuaciones diferenciales usando la unilateral
transformada de Laplace
Ejemplo
Considere la ecuacion diferencial, con las siguientes condicionesiniciales:
d2y(t)
dt2+ 3
dy(t)
dt+ 2y(t) = x(t)
y(0−) = β, y ′(0−) = γ
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Solucion de ecuaciones diferenciales usando la unilateral
transformada de Laplace
Ejemplo
Considere la ecuacion diferencial, con las siguientes condicionesiniciales:
d2y(t)
dt2+ 3
dy(t)
dt+ 2y(t) = x(t)
y(0−) = β, y ′(0−) = γ
Sea x(t) = αu(t). Entonces, aplicando la transformada unilateral deLaplace a ambos lados de la ecuacion,
s2Y(s)− βs − γ + 3sY(s)− 3β + 2Y(s) =α
s
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Solucion de ecuaciones diferenciales usando la unilateral
transformada de Laplace
Ejemplo
Considere la ecuacion diferencial, con las siguientes condicionesiniciales:
d2y(t)
dt2+ 3
dy(t)
dt+ 2y(t) = x(t)
y(0−) = β, y ′(0−) = γ
Sea x(t) = αu(t). Entonces, aplicando la transformada unilateral deLaplace a ambos lados de la ecuacion,
s2Y(s)− βs − γ + 3sY(s)− 3β + 2Y(s) =α
s
o bien
Y(s) =β(s + 3)
(s + 1)(s + 2)+
γ
(s + 2)(s + 2)+
α
s(s + 2)(s + 2)
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Solucion de ecuaciones diferenciales usando la unilateral
transformada de Laplace
Ejemplo
o bien
Y(s) =β(s + 3)
(s + 1)(s + 2)+
γ
(s + 2)(s + 2)+
α
s(s + 2)(s + 2)
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Solucion de ecuaciones diferenciales usando la unilateral
transformada de Laplace
Ejemplo
o bien
Y(s) =β(s + 3)
(s + 1)(s + 2)+
γ
(s + 2)(s + 2)+
α
s(s + 2)(s + 2)
Por ejemplo si α = 2, β = 3 y γ = −5, al realizar la expansion enfracciones parciales, encontramos que
Y(s) =1
s−
1
s + 1+
3
s + 2
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Solucion de ecuaciones diferenciales usando la unilateral
transformada de Laplace
Ejemplo
o bien
Y(s) =β(s + 3)
(s + 1)(s + 2)+
γ
(s + 2)(s + 2)+
α
s(s + 2)(s + 2)
Por ejemplo si α = 2, β = 3 y γ = −5, al realizar la expansion enfracciones parciales, encontramos que
Y(s) =1
s−
1
s + 1+
3
s + 2
A cada uno de los terminos se obtiene
y(t) = [1− e−t + 3e−2t ]u(t) para t > 0
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Ejercicio
Considere un circuito RL con ecuacion:
Ldi(t)
dt+ Ri(t) = v(t), i(0) = α
v(t) = u(t)
Resuelva la ecuacion diferencial y determina cuales afirmaciones sonverdaderas:
1 si lımt→∞
i(t), i(t) = 1/R .
2 si α = 1/R la corriente no cambia con esta entrada de voltaje.
3 si L aumenta lımt→∞
i(t) cambia.
4 Si R disminuye se llega a una corriente constante en menor tiempo.
5 Todas las anteriores.
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Ejercicio
Ldi(t)
dt+ Ri(t) = u(t)
Aplicando la transformada unilateral de Laplace
L(sI (s) − α) + RI (s) =1
s
I (s) =1
s(Ls + R)+
Lα
(Ls + R)
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Ejercicio
Ldi(t)
dt+ Ri(t) = u(t)
Aplicando la transformada unilateral de Laplace
L(sI (s) − α) + RI (s) =1
s
I (s) =1
s(Ls + R)+
Lα
(Ls + R)
Utilizando fracciones parciales
I (s) =1
Rs−
1
R(s + R/L)+
α
s + R/L
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Ejercicio
Ldi(t)
dt+ Ri(t) = u(t)
Aplicando la transformada unilateral de Laplace
L(sI (s) − α) + RI (s) =1
s
I (s) =1
s(Ls + R)+
Lα
(Ls + R)
Utilizando fracciones parciales
I (s) =1
Rs−
1
R(s + R/L)+
α
s + R/L
Su transformada inversa
i(t) =1
R−
1
Re−R/L t + αe−R/L t
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Ejercicio
i(t) =1
R−
1
Re−R/L t + αe−R/L t
lımt → ∞i(t) =
1
R
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Ejercicio
i(t) =1
R−
1
Re−R/L t + αe−R/L t
lımt → ∞i(t) =
1
R
La velocidad de la llegada a corriente constante depende del terminoR/L
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Ejercicio
Considere un circuito RL con ecuacion:
Ldi(t)
dt+ Ri(t) = v(t), i(0) = α
v(t) = u(t)
Resuelva la ecuacion diferencial y determina cuales afirmaciones sonverdaderas:
1 si lımt→∞
i(t), i(t) = 1/R .
2 si α = 1/R la corriente no cambia con esta entrada de voltaje.
3 si L aumenta lımt→∞
i(t) cambia.
4 Si R disminuye se llega a una corriente constante en menor tiempo.
5 Todas las anteriores.
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Resumen de sesion
1 La transformada de Laplace
2 La transformada inversa de Laplace
3 Propiedades de la transformada de Laplace
4 La transformada unilateral de Laplace
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Siguiente sesion
Representacion de la magnitud-fase de la transformada de Fourier
La transformada z
La transformada z inversa
Propiedades de la transformada z
Algunos pares comunes de transformada z
La transformada z unilateral.Lecturas recomendadas
◮ Seccion 10.1◮ Seccion 10.3◮ seccion 10.5◮ seccion 10.6◮ seccion 10.9
del libro Senales y Sistemas, Alan V. Oppenheim, Segunda Edicion.
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