Post on 12-Jul-2022
INEEBE Dr, CARLOS FEDERICO MORA
CIENCIAS NATURALES 3
FÍSICA
PROFESORA: Diana Ivonne Dardón Tejada
GUÍA DE ESTUDIO
SUMA DE DOS O MÁS VECTORES
MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR
DIAGRAMA: ELABORACIÓN PROPIA, DIANA IVONNE DARDÓN TEJADA (si utiliza esta
información debe darle crédito al autor, de acuerdo a la ley de Derecho de Autor)
SUMA DE DOS O
MAS VECTORES
MÉTODO
GRÁFICO
POLÍGONO
DESCOMPOSICION
RECTANGULAR
Descomponer el
vector en “x” y
“y”
UNIÓN DE
VECTORES
MAGNITUD DEL
VECTOR
RESULTANTE
DIRECCIÓN
φ
Cabeza del vector con cola
del siguiente vector.
Cola del primer
vector con cabeza
del último vector
En la unión de
las dos colas a
partir del eje “x”
SENTIDO
La cabeza del
vector
resultante hacia
donde se dirige
ax = a COS φ
ax = a Sen φ
Magnitud Vector
Resultante
R = √ Ʃax2
+ Ʃay2
DIRECCIÓN
Tang φ = Ʃay / Ʃax
SENTIDO
Lo indica el
signo de Ʃax y ay
Signo de ax y ax
dependen del eje
donde se localizan
Ʃax
Positivo: Este
Negativo: Oeste
Ʃay
Positivo: Norte
Negativo: Sur-
Este documento fue creado por Diana Ivonne
Dardón Tejada. Si toma información o reproduce el
mismo debe darle crédito a la autora. (Ley de
derecho de autor)
MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR
Es un método analítico, que se utiliza para sumar dos o más vectores, como su nombre
indica descompone el vector en sus componentes “x” (eje horizontal) y “y” (eje
vertical). Antes de entrar en detalle al proceso completo, iniciaremos por aprender a
como se descomponen los vectores. :
Componentes rectangulares de un vector:
ax
a
ay
Hallar las componentes rectangulares de los siguientes vectores;
Ejemplo 1: a = 5 cm a 30° al Noreste
1. Localizar el vector en un plano geográfico o cartesiano según sea el caso
2. Trace un triángulo rectángulo con los ejes “x” (horizontal) y “y” (vertical),
bx
b
by
cx
c
cy
ax
a
ay
a 5 cm
30°
a 5 cm
30°
3. Identifique el cateto opuesto y el cateto adyacente, LOS CATETOS SON LAS COMPONENTES
DEL VECTOR
4. Utilice las funciones trigonométricas de COSENO Y SENO para calcular los valores de las
componentes “x” y “y”. Que en este caso serían los catetos adyacente y opuesto
respectivamente. SIEMPRE QUE SE MIDA EL ÁNGULO A PARTIR DEL EJE “X”
Con estas ecuaciones se calculan las componentes del vector, ahora vamos a sustituir por datos
del problema:
a 5 cm
30° C. OP
ax
C. ADY
El cateto
opuesto es el
verde, y el
adyacente el
azul
CATETO OPUESTO = (HIPOTENUSA) (SEN φ)
ay = a SEN φ
ay
CATETO ADYACENTE = (HIPOTENUSA) (COS φ)
aX = a COS φ
ay = a SEN φ aX = a COS φ
ay = 5 cm SEN 30°
ax = 5 cm COS 30°
ay = (5 cm) (0.5)
ax = (5 cm) (0.866…)
ay = 2.5 cm
ax = 4.33 cm
En este caso el signo es
positivo (+) porque
está en el eje positivo
de las “y”
En este caso el signo es
positivo (+) porque
está en el eje positivo
de las “x”
En su calculadora
ingrese los números
como se muestra,
para evitar perdida de
decimales
Observa que las letras de las componentes no
llevan la flechita arriba.
Ejemplo 2: b = 15 cm a 25° al Noroeste
1) Localizar plano cartesiano
O geográfico
2) Trace un triángulo
rectángulo e identifique las
componentes, que son el
cateto opuesto (by) y el
cateto adyacente (bx
3) Calcule las componentes “x” y “y”:
b=15 cm
25°
by b=15 cm
25°
bx
by = b SEN φ bx = b COS φ
by = 15 cm SEN 25°
bx = 15 cm COS 25°
by = (15 cm)(0.422… )
bx = (15 cm)(0.906… )
by = 6.34 cm
bx = - 13.59 cm
En este caso el signo es
positivo (+) porque
está en el eje positivo
de las “y”. OBSERVE EL
TRIÁNGULO QUE SE
FORMA CON LAS
COMPONENTES
En este caso el signo es
NEGATIVO (-) porque
está en el eje negativo
de las “x”. OBSERVE EL
TRIÁNGULO QUE SE
FORMA CON LAS
COMPONENTES
NOTA: El signo NO SE
LA DA LA
CALCULADORA, usted
debe deducirlo, de
acuerdo en que eje y
cuadrante queda la
componente (cateto)
Ejemplo 3: C = 20 m/s a 60° al Suroeste
1) Localizar plano cartesiano
O geográfico
2) Trace un triángulo
rectángulo e identifique las
componentes, que son el
cateto opuesto (by) y el
cateto adyacente (bx
3) Calcule las componentes “x” y “y”:
60°
C = 20 m/s
cx
60°
cy c= 20 m/s
cy = a SEN φ cx = a COS φ
cy = 20 m/s SEN 60°
cx = 20 m/s COS 60°
cy = (20 m/s)(0.866…)
)
cx = (20 m/s) (0.5 )
cy = - 17.32 m/s
cx = - 10 m/s
En este caso el signo es
negativo (-) porque
está en el eje negativo
de las “y”. OBSERVE EL
TRIÁNGULO QUE SE
FORMA CON LAS
COMPONENTES
En este caso el signo es
NEGATIVO (-) porque
está en el eje negativo
de las “x”. OBSERVE EL
TRIÁNGULO QUE SE
FORMA CON LAS
COMPONENTES
NOTA: El signo NO SE
LA DA LA
CALCULADORA, usted
debe deducirlo, de
acuerdo en que eje y
cuadrante queda la
componente (cateto)
Ejemplo 4: d = 25 m a 27° al Sureste
1) Localizar plano cartesiano
O geográfico
2) Trace un triángulo
rectángulo e identifique las
componentes, que son el
cateto opuesto (by) y el
cateto adyacente (bx
3) Calcule las componentes “x” y “y”:
27°
d = 25 m
dx
27°
d= 25 m dy
dy = a SEN φ dx = a COS φ
dy = 25 m SEN 27°
dx = 25 m COS 27°
dy = (25 m)(0.4539… )
dx = (25 m) (0.891… )
dy = - 11.35 m
dx = 22.28 m
En este caso el signo es
negativo (-) porque
está en el eje negativo
de las “y”. OBSERVE EL
TRIÁNGULO QUE SE
FORMA CON LAS
COMPONENTES
En este caso el signo es
positivo (+) porque
está en el eje positivo
de las “x”. OBSERVE EL
TRIÁNGULO QUE SE
FORMA CON LAS
COMPONENTES
NOTA: El signo NO SE
L0 DA LA
CALCULADORA, usted
debe deducirlo, de
acuerdo en que eje y
cuadrante queda la
componente (cateto)
Ejemplo 5: e = 5 N al Este
1) Localizar plano cartesiano
O geográfico
2) En este caso, el vector
se coloca sobre el eje indicado
3) Calcule las componentes “x” y “y”:
Ejemplo 5: f = 8 Km al Sur
1) Localizar plano cartesiano
o geográfico
2) En este caso, el vector
se coloca sobre el eje indicado
e = 5 N
ex = 5 N
En este caso, no hay necesidad de hacer cálculos matemáticos, solamente se
escribe el valor del vector y colocar el signo correspondiente
ax = 5 N
En este caso el signo es
positivo (+) porque
está sobre el eje
positivo de las “x”.
RECORDAR QUE EL
ESTE ES POSITIVO
f = 8 Km
fy = 8 Km
3) Calcule las componentes “x” y “y”:
Para ayudarse con los signos se aconseja que utilice la siguiente tabla, dependiendo en que
cuadrante se encuentra el vector, así será el signo de las componentes “x” y “y"
EJERCICIO No, 1
Descomponga los siguientes vectores en sus componentes “x” y “y”, siguiendo los pasos
anteriores de acuerdo al caso. EN SU CUADERNO Y COMPARA CON LAS RESPUESTAS,
1) a = 150 N a 30° al N.E Respuesta: ax = 129.9 N bY = 75 N
2) b = 5 m al N.O Respuesta: bx = - 3.54 m bY = 3.54 m
3) c = 3 Km/h al Sur Respuesta: cx = 0 cy = - 3 Km/h
4) d = 10 m/s al Norte Respuesta: dx = 0 dx = 10 m/s
5) e = 8 cm al Oeste Respuesta: ex = - 8 cm ex = 0
6) f = 20 km a 60° al S.E Respuesta: fx = 10 Km fy = - 17.32 Km
MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR
Ahora que ya se sabe encontrar las componentes de los vectores, vamos a aprender a sumar dos
o más vectores con este método.
CUADRANTE COMPONENTE “x” COMPONENTE “y”
I + +
II - +
III - -
IV + -
En este caso, no hay necesidad de hacer cálculos matemáticos, solamente se
escribe el valor del vector y colocar el signo correspondiente
Fy = - 8 Km
En este caso el signo es
negativo (-) porque
está sobre el eje
negativo de las “y”.
RECORDAR QUE EL
SUR ES NEGATIVO
PASOS:
1. Encontrar las componentes de cada vector. (Lo que estudiamos anteriormente)
2. Sumar por separado las componentes en “x” y en “y”, tomando en cuenta los signos.
3. Para calcular el vector resultante se utiliza el teorema de Pitágoras, con los componentes
resultantes en cada eje.
4, Para calcular la dirección se utiliza Tangente con las componentes resultantes.
5. Los signos de las componentes resultantes, indican el sentido del vector resultante
EJEMPLO: Calcule el Vector Resultante de los siguientes vectores ubicados en el siguiente sistema
de coordenadas.
1. Encontrar las componentes de cada vector:
Antes de iniciar a descomponer cada vector, haga una tabla como la siguiente, para que,
conforme se calculan las componentes se van colocando los datos obtenidos, con el fin de no
olvidar o confundirnos para el siguiente paso. La cantidad de filas dependerá de la cantidad de
vectores.
Separar cada vector del sistema y descomponerlo, utilizando las ecuaciones correspondientes
según el caso, y no olvidar los signos correspondientes
VECTOR COMPONENTE
“X”
COMPONENTE
“Y”
a - 4 cm 0
b 0 7 cm
c 8.66 cm - 5 cm
b = 7 cm
a = 4 cm 30°
c = 10 cm
a = 4 cm ax = - 4 cm
aY = 0
Es negativo porque está sobre
el eje “x” negativo, o el Oeste.
ay es 0, porque no
hay componente en
el eje “y”.
b = 7 cm
bx = 0
bY = 7 cm
Es positivo porque está sobre
el eje “y” positivo, o el Norte.
Bx es 0, porque no
hay componente en
el eje “x”.
cx
30° cy
c = 10 cm
cx = 10 cm Cos 30
cx = 8.66 cm
cy = 10 cm Sen 30
cy = - 5 cm Observa que todos los datos de las
componentes se pasaron a la tabla
2. Sumar por separado las componentes en “x” y en “y”, tomando en cuenta los signos:
VECTOR COMPONENTE
“X”
COMPONENTE
“Y”
a - 4 cm 0
b 0 7 cm
c 8.66 cm - 5 cm
Rx = 4.66 cm Ry = 2 cm
3. Para calcular la MAGNITUD del vector resultante se utiliza el TEOREMA DE PITÁGORAS, con los
componentes resultantes en cada eje
4, Para calcular la dirección se utiliza Tangente con las componentes resultantes.
Magnitud R = √ Rx 2 + Ry
2
Magnitud R = √ 4.66 cm2 + 2 cm2
Magnitud R = 5.07 cm
Dirección R : tang φ = Ry / Rx
tang φ = 2 cm / 4.66 cm
tang φ = 0. 429 ……
φ = 23.23 °
En su calculadora
ingrese todos los
números como se
muestra, para evitar
perdida de decimales
5. Los signos de las componentes resultantes, indican el sentido del vector resultante:
Si Rx es positiva, entonces el sentido es ESTE (también llamado
ORIENTE)
Si Rx es negativa, entonces el sentido es OESTE (también llamado
OCCIDENTE)
Si Ry es positiva, entonces el sentido es NORTE
Si Ry es negativa, entonces el sentido es SUR
En este caso las dos son positivas:
La respuesta es:
MÉTODO GRÁFICO POLÍGONO
Para sumar dos o más vectores con el método gráfico, se siguen las mismas reglas que se aprendieron en la suma dos vectores.
Rx = 4.66 cm (positiva) ESTE
Ry = 2 cm (positiva) NORTE
Primero se lee el eje “y” y luego el eje “x”, por lo
tanto el SENTIDO es: NORESTE o NORORIENTE
R = 5.07 cm a 23.23 ° al Noreste o Nororiente
UTILIZAR UNA ESCALA ADECUADA
UNIÓN DE VECTORES. CABEZA CON COLA DEL SIGUIENTE VECTOR, ASI SUCESIVAMENTE.
VECTOR RESULTANTE: COLA DEL PRIMER VECTOR CON CABEZA DEL ÚLTIMO VECTOR.
MAGNITUD: Medir con la regla el tamaño.
DIRECCIÓN: Medir con el transportador, donde se unen las dos colas, a partir del eje “x”
SENTIDO: Observar hacia donde se dirige la cabeza del vector resultante.
Utilizamos el ejemplo anterior, entonces el polígono nos quedaría de esta forma:
EJERCICIO No. 2
INSTRUCCIONES: TRABAJA EN TU CUADERNO a) Aplica el método de descomposición rectangular, para calcular la magnitud, dirección y sentido del vector resultante de los vectores que aparecen ligados en el siguiente sistema de coordenadas cartesianas. Escribe en la tabla los datos de las componentes de cada vector, no se te olviden los signos. DEJA CONSTANCIA TODO EL PROCEDIMIENTO. Sigue los pasos, como se muestra en el ejemplo. Compara tu respuesta con la dada en el ejercicio. b) Aplica el método gráfico del polígono, para calcular el vector resultante. Escribe la respuesta correspondiente y compárala con la respuesta que obtuviste en el inciso anterior. NO SE TE OLVIDE UTILIZAR UNA ESCALA ADECUADA AL APLICAR ESTE MÉTODO. Sugerencia use una escala de 1 cm: 50 m. Haga el proceso sin ver la respuesta, luego compárela y verifique si tiene correcta de lo contrario revise sus errores.
RECORDATORIO:
Los vectores deben llevar las
medidas exactas.
Utilizar una escala adecuada
Los ángulos se miden a partir
del eje “x”.
SUGERENCIA:
Dibuje un plano imaginario
donde se unen la cabeza con la
cola, para guiarse con la
medición de ángulos.
Dibuje un plano imaginario
donde se unen las dos colas,
para la medición del ángulo.
G a h 75° 30° f b 60° 45° e d c
Magnitudes de los vectores: a = 300 m b = 100 m c =200 m d = 500 m e = 150 m f =250 m g = 400 m h = 100 m
b) RESPUESTA MÉTODO GRÁFICO:
VECTOR COMPONENTE
“X”
COMPONENTE
“Y”
a
b
c
d
e
f
g
h
Rx = Ry =
R = 153.29 m a 61.69° al Sureste o Sur oriente
OBSERVE QUE LA MIDICIÓN DE LOS
ÁNGULOS SE HACEN A PARTIR DEL
EJE “x”.
ESTÁN LOCALIZADOS EN LA UNIÓN
DE LA CABEZA CON COLA. Y EL
VECTOR RESULTANTE DONDE SE
UNEN LAS DOS COLAS.
LA RESPUESTA DEL VECTOR
RESULTANTE, USTED LA DEBE DE
ESCRIBIR DE ACUERDO A SUS
MEDICIONES Y DEBEN COINCIDIR
CON UN MÍNIMO DE ERROR A LA
RESPUESTA DEL MÉTODO
ANALÍTICO. SI EN UN DADO CASO
EL MARGEN DE ERROR ES MUY
GRANDE, REVISE LOS DOS
PROCESOS, PARA VERIFICAR EN
CUAL PUDO HABER ERROR, SI EN
EL ANALÍTICO O GRÁFICO
APLICACIÓN A PROBLEMAS DEL MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR Y MÉTODO
GRÁFICO
Igual como se solucionaron los problemas de la suma de dos vectores:
a) Se debe sacar cada dato y darle un nombre al vector, el primer dato sería a, y así
sucesivamente.
b) Luego se aplica el método como en lo anterior.
Ejemplo:
Un golfista debe dar tres golpes a la pelota para que entre en el hoyo, En el primer golpe
la pelota viaja hacia el Norte una distancia de 18 pies, el segundo golpe manda a la pelota
8 pies a 30º hacia el Sureste. El tercer golpe que finalmente la envía al hoyo, la manda
3 pies hacia el Oeste
a) Dibuje la trayectoria de la pelota
b) Mida la magnitud, dirección y sentido del vector resultante con el método gráfico
c) Con el método analítico calcule la magnitud, dirección y sentido del desplazamiento de
la pelota (vector resultante).
1) Sacar los datos:
a = 18 pies al Norte
b = 8 pies a 30° al S.E.
c = 3 pies al Oeste.
2) Dibujar los vectores en un plano:
a = 18 pies c = 3 pies
b = 8 pies 30°
3) Dibuje la trayectoria de la pelota, recuerde las medidas deben ser exactas, use una escala
adecuada. (UNE LOS VECTORES CON LAS REGLAS INDICADAS)
4) Mida la magnitud, dirección y
sentido del vector resultante
con el método gráfico.
Escriba los datos que a usted le
dio al medir la magnitud,
dirección y observa la cabeza del
vector resultante para el
sentido.
5) Con el método analítico calcule la magnitud, dirección y sentido del vector resultante.
Aquí se aplica el proceso del método de descomposición rectangular, ya estudiado.
a) Como ya se localizaron los vectores en sus respectivos planos, ahora hay que
descomponerlos en “x” y “y”.
a = 18 pies c = 3 pies
30°
b = 8 pies
aX = 0 bx = 6.93 pies cx = - 3 pies
aY = 18 pies by = - 4 pies cy = 0
b) Las respuestas se trasladan a la tabla
correspondiente
.
VECTOR COMPONENTE
“X”
COMPONENTE
“Y”
a 0 18 pies
b 6.93 pies - 4 pies
c - 3 pies 0
Rx = 3.93 pies Ry = 14 pies
Magnitud R = √ Rx 2 + Ry
2
Magnitud R = √ 3.93 pies 2 + 14 pies 2
Magnitud R = 14.55 pies Dirección R : tang φ = Ry / Rx
tang φ =14 pies / 3.93 pies
tang φ = 3.562….
φ = 74.32 °
Rx = 3.93 pies (positiva) ESTE (oriente)
Ry = 14 pies (positiva) NORTE
Primero se lee el eje “y” y luego el eje
“x”, por lo tanto el SENTIDO es: NORESTE
o NORORIENTE
RESPUESTA:
El desplazamiento de la pelota es de 14.55 pies a 74.32° al noreste
EJERCICIO No. 3
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno, aplicando el método de
descomposición rectangular y el método gráfico del polígono, siguiendo los pasos estudiados
para la resolución de los mismos. DEJA CONSTANCIA DE TODO EL PROCEDIMIENTO. RECUERDA
QUE LAS RESPUESTA SE ESCRIBEN DE ACUERDO A LA PREGUNTA DEL PROBLEMA.
1) Un barco recorre 100 km hacia el Norte durante el primer día de viaje, 60 km al
Noreste el segundo día y 120 km hacia el Este el tercer día. Encuentre el
desplazamiento resultante con el método del polígono y analíticamente.
2) Un alumno camina 50 m hacia el Este, a continuación 30 m hacia el sur, después 20
m hacia el oeste, y finalmente, 10 m hacia el norte. Determina el vector
desplazamiento desde el punto de partida hasta el punto de llegada. Con el método del
polígono y analíticamente.
3) Un barco viaja 100 millas hacia el N el primer día, 60 millas al NE y 120 millas al
Este el tercer día. Encuentre el desplazamiento resultante. Con el método del polígono
y analíticamente.
4) Un auto se desplaza 300 m del NorEste a 30°, luego 500 m a 60° Sureste y
finalmente 300 m al sur. Hallar la distancia y dirección a la que quedo del punto de
inicio. Con el método del polígono y analíticamente.
5) Un conductor de automóvil maneja 3 km en la dirección de 60° al noreste y luego 4
km en la dirección norte. ¿Dónde termina respecto de su punto de inicio? con el
método del polígono y analíticamente.
RESPUESTAS ANALÍTICAS: RECUERDA QUE LAS RESPUESTA SE ESCRIBEN DE ACUERDO A LA
PREGUNTA DEL PROBLEMA.
1) R = 216.03 Km a 41.25° al NorEste. 2) R = 36.06 m a 33.69° al SurEste. 3) R = 216.03 millas a 41.25° al NorEste o NorOriente 4) R = 774.46 m a 48.83° al Sur Este 5) R = 6.77 Km a 77.2° al NorEste.