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CAPITULO 2
DETERMINANTES
Inicialmente los determinantes se utilizaron en la solución de sistemas de ecuaciones
lineales mediante la conocida Regla de Cramer. En el desarrollo de nuestro curso los
determinantes serán usados en la Regla de Cramer y más adelante, para estudiar otros
temas del Álgebra Lineal, como el estudio de los valores y vectores propios.
El concepto de determinante puede definirse de diferentes formas, nosotros en nuestro
curso optaremos por las permutaciones.
2.1. Permutaciones: Definición y propiedades
Definición de permutación.- Sea },,2,1{ nS L= un conjunto de números enteros
positivos ordenados en forma ascendente. Se denomina permutación de S a cualquier
disposición de los elementos de S. Dicho de otra manera una permutación
de S es una aplicación biyectiva que queda determinada por la imagen de
cada uno de los elementos 1, 2, ..., n; la cual se puede denotar como
njjj L21
SSf →:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
)()2()1(21
nfffn
fL
L
Ejemplo 1.- Sea , la expresión 3412 es una permutación de S. Es
decir es una función que esta definida como
}4,3,2,1{=S
SSf →: 1)3(,4)2(,3)1( === fff y
lo que se puede denotar también como . ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
21434321
f2)4( =f
Si el conjunto S tiene n elementos, en la primera posición se puede elegir cualquiera de
los n elemento, en la segunda posición se puede elegir cualquiera de los 1−n
restantes, para la tercera posición cualquiera de los 2−n restantes y así sucesivamente
hasta llegar a la posición n, la cual solo puede ser ocupada por el elemento que queda.
Es decir el número total de permutaciones que se pueden obtener de un conjunto S de n
elementos es igual a . !)1)(2()2)(1( nnnn =−− L
Notación.- Dado el conjunto },,2,1{ nS L= , el conjunto formado por todas las
permutaciones de S se denota usualmente por . nS
92
Ejemplo 2.- Si , entonces el conjunto tiene un solo elemento . Si
, entonces el conjunto tiene dos elementos
1S 1!1 =}1{=S
2S 2!2 = que son: 12 y 21. Si
, entonces el conjunto tiene seis elementos
}2,1{=S
6!3 =3S}3,2,1{=S que son: 123, 231,
312, 132, 213 y 321. De manera similar si }4,3,2,1{=S , entonces el conjunto
tiene elementos.
4S
24!4 =
Dado un conjunto , se dice que una permutación de S tiene
una inversión si un entero mayor precede a un entero menor. Se denomina
permutación par si el número total de inversiones es par y se denomina permutación
impar si el número total de sus inversiones es impar.
njjj L21},,2,1{ nS L=
Ejemplo 3.- Dado el conjunto }2,1{=S , se vio en el ejemplo 2 que el número total
de permutaciones es dos:12 y 21. La permutación 12 es par, pues el número de
inversiones es cero que es un número par; mientras que la permutación 21 es impar,
solo hay una inversión 2 es menor que 1.
Ejemplo 4.- Dado el conjunto }3,2,1{=S , se vio en el ejemplo 2 que tiene seis
permutaciones: 123, 231, 312, 132, 213 y 321. Las permutaciones: 123, 231 y 312 son
pares, pues el número total de inversiones son 0 para la primera y 2 para las dos
restantes. Las permutaciones 132, 213 y 321 son impares, pues el número total de
inversiones es 1 para primera y segunda y 3 para la tercera.
Observación.- Dado un conjunto },,2,1{ nS L= . Si , el número de
permutaciones pares es igual al número de permutaciones impares. Por convención el
signo de una permutación par se considera positivo (+) y el signo de una permutación
impar negativo .
2≥n
)(−
Definición del determinante de una matriz.- Dada una matriz cuadrada de
orden n, el determinante de A denotado por o
][ ijaA =
A se define como )det( A
∑ ±==nnjjj aaaAA L
21 21)()det( (1)
el número de sumandos es igual al número de permutaciones del conjunto
El signo se considera positivo (+) si la permutación es par y negativo
si la permutación es impar.
njjj L21
},,2,1{ nS L=
)(−
En cada término del los subíndices correspondientes a las filas
aparecen en el orden natural , mientras que los subíndices de las columnas
están en el orden correspondiente a la permutación . Como la permutación
nnjjj aaa L21 21)(± )det( A
nL12
njjj L21
93
no es más que una disposición de los números del 1 al n no existe la posibilidad que se
repita alguno de ellos. De esta forma cada término del es un producto de n
elementos de A cada uno con el signo correspondiente de la permutación asociada a
cada término. Cada término del tiene un único elemento de cada fila y columna
de A. En consecuencia, como por definición de se suman sobre todas las
permutaciones del conjunto
)det( A
)det( A
)det( A
},,2,1{ nS L= , el número de sumandos de es
.
)det( A
!n
Determinante de una matriz de orden .- Sea una matriz de orden ][ ijaA =11× 11× ,
entonces y tiene una sola permutación que es la identidad y es par puesto
que el número de inversiones es cero. Luego
1S}1{=S
11)det( aA =
Ejemplo 5.- Si , entonces ; si ]1[=A 1)det( =A ]2[=B , entonces ; si
, entonces
2)( =Bet
. ]5[−=C 5)det( −=C
Determinante de una matriz de orden 22× .- Sea una matriz de
orden , entonces los elementos de son: 12 y 21. Por definición,
los términos de son de la forma
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
aaaa
A
2S}2,1{=S22×
)det( A
y _2_1 aa _2_1 aa
los espacios en blanco de los subíndices correspondientes a las columnas de A se
llenan con las permutaciones de S anteponiendo a cada término el signo de la
permutación, (+) si es una permutación par, y si es una permutación impar. )(−
a) Para 12, se tiene ; el signo es positivo por ser 12 una permutación par. 2211aa+
b) Para 21, se tiene ; el signo es negativo por ser 21 una permutación
impar.
2112aa−
Luego,
21122211)det( aaaaAA −==
En la práctica, para calcular el determinante de una matriz de orden , tener en
cuenta el siguiente esquema
22×
21122211
2221
1211
)det( aaaaaa
aaAA −===
94
Ejemplo 6.- Calcular el determinante de la matriz ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
5523
A
51015)5)(2()5)(3(5523
)det( =−=−−−=−
−=A
33×Determinante de una matriz de orden .
Dada la matriz de orden ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333131
232221
131211
aaaaaaaaa
A 33× . Consideramos ,
tiene elementos y son los siguientes:
3S}3,2,1{=S
6!3 =
123, 231 y 312 permutaciones pares
132, 213 y 321 permutaciones impares
Por lo tanto, los términos del serán: )det( A
y , correspondiente a las permutaciones pares y 312312332211 , aaaaaa 322113 aaa
332112322311 , aaaaaa −− 312213 aaa− y , correspondiente a las permutaciones
impares.
Luego,
)(
)det(
312213332112322311322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
A
++−++=
= (2)
Una regla práctica para calcular el determinante de una matriz de orden consiste
en repetir las dos primeras columnas y luego trazar flechas de izquierda a derecha y de
derecha a izquierda de tal modo que cada flecha relacione 3 elementos de A uno por
cada fila como se puede apreciar en siguiente esquema
33×
3231333231
2221232221
1211131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
(+) (+) (+) (-) (-) (-)
95
Luego se calculan los seis productos, anteponiendo el signo positivo a los productos
con flechas que van de izquierda a derecha y signo negativo a los productos con
flechas que van de derecha a izquierda. El resultado es el mismo que se obtiene
mediante la definición de determinante. El método práctico descrito anteriormente es
conocido como Regla de Sarrus
Observación.- La Regla de Sarrus descrita anteriormente es válida solamente para
calcular determinantes de matrices de orden 33× .
Ejemplo 7.- Calcular el determinante de ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
132211213
A
Solución
Usando la regla de Sarrus se tiene
32132
11211
13213
−−
−−
(+) (+) (+) (-) (-) (-)
30)1184()643(
)]1)(1)(1()3)(2)(3()2)(1)(2[()]3)(1)(2()2)(2)(1()1)(1)(3[(132211213
−=++−−−=
−−++−−+−+=
−−
=A
El cálculo de determinantes para matrices de orden mayor que 4 usando la definición
es muy engorrosa. Por ejemplo para las matrices de orden 4 se tiene que considerar
permutaciones es decir el determinante tendrá 24 sumandos; para las matrices
de orden 5 el número de sumandos es muy grande
24!4 =
120!5 = ; motivo por el cual se
utilizará otros métodos para hacer dichos cálculos. Antes de describir formas más
prácticas para el cálculo de determinantes enunciaremos y demostraremos a modo de
teoremas algunas propiedades básicas.
96
Propiedades de los determinantes
Teorema 1.- Dada una matriz A, cuadrada de orden n. El determinante de A es igual al
determinante de su transpuesta. Es decir, . )det()det( TAA =
Prueba
Sea y ; donde ][ ijT bA = . ][ ijaA = njiab jiij ≤≤= ,1;
Por definición de determinante (1) se tiene
(3) ∑ ±=nnjjj
T bbbA L21 21)()det(
∑ por definición de TA±= njjj naaa L21 21
)(
Ahora reordenando los factores en el término de modo que los índices
de las filas aparezcan en su forma natural. Así,
njjj naaa L21 21
nnn nkkknjjjnjjj aaaaaabbb LLL
212121 212121 ==
Se demuestra que la permutación que determina el signo del término
y la permutación que determina el signo del término
son ambas impares o ambas pares. Por ejemplo, para
nkkk L21
njjj L21nkkk naaa L21 21
3=nnjjj nbbb L21 21
,
considerando el término
322113133221312312 aaaaaabbb ==
el número de inversiones de la permutación 312 es 2 que es par y el número de
inversiones de la permutación 231 es 2 que también es par. Ahora considerando el
término.
312213132231312213 aaaaaabbb ==
el número de inversiones de la permutación 321 es 3 que es impar y el número de
inversiones de la permutación 321 es 3 que también es impar. En consecuencia como
los términos y los signos correspondientes en las relaciones (1) y (3) son iguales se
concluye que . )det()det( TAA =
Ejemplo 8.-Dada la matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
132211213
A
Solución
97
Se tiene que , calculando el determinante de mediante la Regla
de Sarrus, se obtiene
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
122311213
TA TA
30237)1184()463(
)]1)(1)(1()2)(3)(3()2)(1)(2[()]2)(1)(2()2)(3)(1()1)(1)(3[(122311213
)det(
−=−−=++−−−=
−−++−−+−+=
−−
=TA
, luego se verifica que . )det()det( TAA =En el ejemplo 8 se calculó que 30)det( −=A
Teorema 2.- Dada una matriz A. Si B es una matriz que se obtiene a partir de A
intercambiando dos filas (o columnas) de A, entonces . )det()det( AB −=
Prueba
Sea B la matriz la matriz que se obtiene a partir de A al intercambiar las filas r y s de
A. Supongamos que sr < , entonces se tiene que
y para todo y rjsjsjrj abab == ; ijij ab = ri ≠ si ≠
Luego,
nsr njsjrjjj bbbbbB LLL∑ ±=
21 21)()det(
; por definición de B nrs njrjsjjj aaaaa LLL∑ ±=
21 21)(
nsr njsjrjjj aaaaa LLL∑ ±=
21 21)(
La permutación se obtiene a partir de la permutación
intercambiando dos números; luego el número de inversiones de
la primera permutación difiere en un número impar del número de inversiones de la
segunda. Esto significa que el signo de cada término del es el opuesto del
signo correspondiente en el ; en consecuencia
nrs jjjjj LLL21
nsr jjjjj LLL21
)det(B
. )det( A )det()det( AB −=
Ahora, suponiendo que la matriz B se obtiene al intercambiar dos columnas de la
matriz A; entonces TB se obtiene a partir de intercambiando dos filas. De esta
forma se tiene que . Pero como ya demostró en el teorema 1 que
y se tiene que
TA
)det()det( TT AB −=
)det()det( TBB = )det()det( TAA = . )det()det( AB −=
98
Ejemplo 9.
Sea la matriz y . Es decir, la
matriz B se ha obtenido a partir de A intercambiando las filas 2 y 3. Como
, del ejemplo 7, se tiene por el teorema 2 que
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=×=
211132213
)( 32 AFFB⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
132211213
A
30)det( −=A
30)30()det()det( =−−=−= AB
De manera análoga si C es una matriz que se obtiene a partir de A intercambiando la
columna 1 con la columna 2 )( 21 CC × , es decir
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
123211231
C , entonces 30)30()det()det( =−−=−= AC
Teorema 3.- Si dos filas (o columnas) de una matriz A son iguales, entonces el 0)det( =A
Prueba Sean r y s dos filas iguales de la matriz A. Al intercambiar las filas r y s se obtiene la matriz B. Usando el teorema 2 se tiene que
(4) )det()det( AB −=Pero al ser la fila r igual a la fila s, se tiene que
(5) AB =
Luego de (4) y de (5) resulta que
)det()det( AA −=
como el único número que es igual a su opuesto es el cero se concluye que . 0)det( =A
Ejemplo 10.
a) La matriz tiene iguales las filas 1 y 3, luego por el teorema 3 se
tiene que .
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
312750
312A
0)det( =A
b) La matriz tiene las columnas 1 y 3 iguales, luego por el
teorema 3 se tiene que
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
212353515
B
. 0)det( =B
99
c) La matriz , tiene las dos primeras filas iguales, entonces
.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
fedcbacba
C
0)det( =C
Teorema 4.- Si una fila (o columna) de una matriz A tiene todas sus componentes igual a cero, entonces 0)det( =APrueba. Suponiendo que la fila r de la matriz A tenga todas sus componentes igual a cero, por definición de determinante, cada término es de la forma
nr njrjjj aaaa .........
21 21
Es decir tiene un factor igual a cero correspondiente a la fila r; es decir . Luego cada término del det(A) es igual a cero y en consecuencia
0=rrja
. 0)det( =A Ejemplo 11. . Sea la matriz
a) Sea , la segunda fila tiene todos sus componentes igual a cero,
luego .
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
154000312
A
0)det( =A
b) , la tercera columna tiene todas sus componentes igual a cero,
luego .
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
012053015
B
0)det( =B
0000
000 ==fcebda
fed
cba c)
Teorema 5.- Dada una matriz A. Si B es una matriz que se obtiene a partir de A al multiplicar una fila (o columna) por un escalar 0≠k , entonces . )det()det( AkB =Prueba Sea la fila r de la matriz que se multiplica por el escalar k para obtener la matriz matriz
][ ijaA =
, entonces ][ ijbB =
⎩⎨⎧
=≠
=risikarisia
brj
ijij
y usando la definición de determinante para B se tiene
nr njrjjj bbbbB LL21 21)()det( ∑ ±=
nr njrjjj akaaaB ...........)()det(21 21∑ ±=
100
nr njrjjj aaaakB ...........)()det(21 21∑ ±=
)det()det( AkB =
Para ilustrar el teorema veamos el caso particular de matrices de orden 3.
Sea y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333231
232221
131211
aaakakakaaaa
B
][)det( 312213332112322311322113312312332211 akaaakaaakaaakaaakaaakaaB ++−++=
)]([)det( 312213332112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaakB ++−++=
Luego,
)det()det( AkB =
Ejemplo 12.
Sea la matriz donde ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
321231132
A . 6)det( =A
a) Si , entonces ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−=
321)2)(4()3)(4()1)(4(
132
3218124
132B
24)6)(4()det()4()det( −=−=−= AB
Nótese que la matriz B se ha obtenido a partir de A multiplicando la segunda fila
por . 4−
b) Si , entonces ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
32)1(323)1(313)2(3
323233136
C . 18)6(3)det(3)det( === AC
Nótese que la matriz C se ha obtenido a partir de A multiplicando la primera
columna por 3.
Corolario 5.1.- Sea A una matriz cuadrada de orden n y k un escalar diferente de cero,
entonces
)det()det( AkkA n=
101
Ejemplo 13.
Dada la matriz , como ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
321231132
A se tendrá: 6)det( =A
a) 48)6)(8()det()2()2det( 3 === AA
43
)6)(81
()det()21
()21
det( 3 === AAb)
Teorema 6.- Si es la matriz identidad de orden n, entonces . nI 1)det( =nIPrueba
Si , entonces, ⎩⎨⎧
≠=
=jisijisi
aij 01
nij IaA == ][
Por definición de determinante
nnjjj aaaA ....)()det(21 21∑ ±=
ji ≠Todos los factores serán iguales a cero pues , para 0=ija , excepto el factor que
corresponde a la permutación . Es decir, . El
signo del término es positivo, la permutación es par; pues el número de inversiones de
la permutación es igual a cero. En consecuencia
nL12 1)1()1)(1(2211 == LL nnaaa
nL12 1)det( =nI
0≠kCorolario 6.1.- Si es la matriz identidad de orden n y nI un escalar, entonces
nn kkI =)det(
Prueba Es consecuencia directa del teorema 6 y del corolario 5.1.
Ejemplo 13.-
4)2()2det( 22 ==I , , 16)2()2det( 4
4 ==I8)2()2det( 33 ==I
Teorema 7.- Si es una matriz que se obtiene a partir de , sumando a
una de sus filas (o columnas) el múltiplo escalar de otra, entonces .
][ ijbB = ][ ijaA=
)det()det( AB =
Prueba
Se demostrará el teorema para las filas; el caso de las columnas es similar.
sr ≠Sean r y s dos filas de la matriz A, y sea B la matriz obtenida a partir de A
sumando a la fila r de la fila s multiplicada por el escalar k diferente de cero.
Suponiendo que sr < , los elementos de son tales que ][ ijbB =
102
⎩⎨⎧
=+≠
=risikaajisia
bsjrj
ijij
Luego,
nr njrjjj bbbbB ...........)()det(21 21∑ ±=
nsrr njsjsjrjjj aakaaaa ............)(.....)(21 21 +±= ∑ Por definición de B
nrr
nsr
njsjrjjj
njsjrjjj
akaaaa
aaaaa
LLL
LLL
)()(
)(
21
21
21
21
∑∑
±+
±= (6)
La primera suma de (6) es
)det()(21 21 Aaaaaa
nsr njsjrjjj =±∑ LLL (7)
Mientras que el segundo sumando (6) se puede escribir como
])([)(2121 2121 nsrnsr njsjsjjjnjsjsjjj aaaaakaakaaa LLLLLL ∑∑ ±=±
nsr njsjsjjj aaaaa LLL21 21)(∑ ± se tiene Escribiendo explícitamente la expresión
filaésimas
filaésimar
aaa
aaa
aaa
aaaaaa
nnnn
snss
snss
n
n
−
−
←
←
KK
MMMMM
KK
MMMMM
KK
MMMMM
KK
KK
21
21
21
22221
11211
Lo que significa que
0)(21 21 =±∑ nsr njsjsjjj aaaaa LLL . (8)
Luego, de (7) y (8) se tiene en (6)
)det(0)det()det( AAB =+=
Concluyendo, que
)det()det( AB =
Ejemplo 15.- Dada la matriz donde se sabe que . Si la
matriz B se obtiene a partir de A sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
321231132
A 6)det( =A
21
− , es decir
103
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=−+=
3210
132])
21
([ 23
23
12 FFB
Entonces por el teorema 7 se tiene que . 6)det( =B
Teorema 8.- Si una matriz es triangular superior (o inferior) entonces ][ ijaA =
nnaaaA ......)det( 2211=
Es decir el determinante de una matriz triangular superior (o inferior) es el producto de
los elementos de la diagonal principal.
Prueba
ji >Sea una matriz triangular superior, es decir para ][ ijaA= 0=ija , entonces un
término de la expresión para solo puede ser distinta de cero si
. Ahora debe ser una permutación o un arreglo
de . Por consiguiente se debe tener
)det( Annjjj aaa .....
21 21
njnjj ≤≤≤ ,,2,1 21 L njjj L21
1,2,,1, 121 ==−== − jjnjnj nn L},,2,1{ nL .
De esta forma el único término del determinante que no puede ser cero es
que es el producto de los elementos de la diagonal principal. Como la
permutación no tiene inversiones el signo asociado a dicho término es
positivo, por tanto .
nnaaa L2211
nL12
nnaaaA L2211)det( =
Ejemplo 16.- Calcular el determinante de la matriz A.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
321231132
A
haciendo uso de los teoremas.
Solución
Haciendo uso reiterativamente del teorema 7 se tiene
2000
132
)(00
132
)(3210
132
)(321231132
23
23
231
325
21
23
23
121
3
23
23
121
2
=−+
=−+
=−+
=FFFFFF
A
luego
2000
132
321231132
23
23==A
y finalmente, usando el teorema 8
104
6)2)()(2(200
0132
321231132
23
23
23 ====A
Teorema 9.- El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus
determinantes. Es decir,
. )det()det()det( BAAB =
Ilustraremos el teorema mediante el siguiente ejemplo.
Ejemplo 17.- Sean las matrices
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
3112
A y ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2514
B
y ; haciendo uso del teorema 9 se tiene Se tiene 7)det( =A 3)det( =B
21)3)(7()det()det()det( === BAAB
Por otro lado calculando el producto se tiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
71903
2514
3112
AB
y se tiene que . 21)det( =AB
Luego, se verifica
)det()det()det( BAAB =
Corolario 9.1.- Si A es una matriz no singular, entonces
)det(1)det( 1
AA =− y 0)det( ≠A
Prueba.
Si A es no singular, entonces existe y se cumple que 1−A
nIAAAA == −− 11 (9)
Usando el teorema 9 y el teorema 6 en la relación (9) se tiene que
1)det()det()det()det( 11 === −−nIAAAA (10)
de (10) se deduce que , pues de lo contrario se tendría una contradicción con
el resultado obtenido en (10). Luego, se tiene que
0)det( ≠A
)det(1)det( 1
AA =−
105
EJERCICIOS
1. Dado el conjunto , determine el número de inversiones en cada
una de las siguientes permutaciones de S. Diga si es una permutación par o impar.
{ 5,4,3,2,1=S }
a) 32154 b) 45213
c) 13425 d) 35142
e) 35241 f) 41235
2. Determine el signo asociado a cada una de las siguientes permutaciones del
conjunto { }5,4,3,2,1=S
a) 43125 b) 12453
c) 25134 d) 34152
e) 35412 f) 53412
3. En cada una de las siguientes parejas de permutaciones de ,
verifique que en el numero de inversiones difiere en un numero impar.
{ }6,5,4,3,2,1=S
a) 436215 y 416235 b) 623415 y 523416
c) 321564 y 341562 d) 123564 y 423561
4. En los ejercicios, evalué el determinante haciendo uso de la definición de
determinante. (use la relación (1)).
2312 −
a) b) 3412
300520024
−c) d) 500
002030
−
0100100300020224
f)
3031201301320024−
e)
5. Sea una matriz de orden ][ ijaA = 44× . Escriba la expresión general para det(A)
haciendo uso de la definición (ecuación (1)).
6. Si
5
321
321
321
−==cccbbbaaa
A
106
Calcule los determinantes de las siguientes matrices:
123
123
123
cccbbbaaa
B =
321
321
321
222 cccbbbaaa
C =
321
332211
321
444ccc
cbcbcbaaa
D +++=, y .
7. Si
4
321
321
321
==cccbbbaaa
A
Calcule los determinantes de las siguientes matrices
321
321
333222111 323232
cccbbb
cbacbacbaB
−+−+−+=
321
321
321
333
cccbbbaaa
C =, y
321
321
321
bbbcccaaa
D =
8. Si
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
152143211
A
Verifique )det()det( TAA =
9. Evalúe
a) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−23
21det
λλ
b) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
300220211
detλ
λλ
c) )det( 2 AI −λ , donde ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=1124
A
d) )det( 3 AI −λ , donde ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−=
100102
101A
107
λ11. En el ejercicio 10, determine todos los valores de para los cuales el
determinante es igual a cero.
12. En los siguientes ejercicios, calcule el determinante, haciendo uso de las
propiedades dadas mediante los teoremas.
402025534 −
b) 300
320214
− a)
231032314
d) 213012321
− c)
6481101322423
4102
−−
−−e) f)
5351032100210004
−−
5124042300350002
−g) h)
46283102
51234324
−−−
−−
13. Verifique que para las siguientes matrices )det()det()det( BAAB =
a) , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
010132321
A⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
312523201
B
b) , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
400230632
A⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
212054003
B
14. Muestre que si se intercambia dos números en la permutación , entonces
el número de inversiones aumenta o disminuye en un número impar. (sugerencia:
primero muestre que si se intercambian dos números adyacentes, el numero de
inversiones aumenta o disminuye en el 1. Luego muestre que un intercambio de
dos números cualesquiera se puede lograr mediante un número impar de
intercambios sucesivos de números adyacentes.)
njjj K21
15. Demuestre el teorema 8 para el caso de una matriz triangular inferior.
16. Muestre que si , entonces o . 0)det( =AB 0)det( =A 0)det( =B
108
2.2. Desarrollo de determinantes por cofactores
Cuando se desea calcular determinantes de matrices de orden mayor que 3, en muchos
casos es necesario definir o deducir dicho determinante en términos de determinantes
de matrices de orden . Con ese objetivo, definiremos previamente los conceptos
de menor complementario y cofactor.
)1( −n
nn×Definición.- Sea una matriz de orden ][ ijaA = . Denotamos por a la submatriz obtenida a partir de A al eliminar la i-ésima fila y j-ésima columna; al determinante de denotado por se le llama el menor complementario de
. El cofactor de denotado por se define como
ijM
ijM )det( ijM
ija ija ijA
)det()1( ijji
ij MA +−=
Ejemplo 1.- Dada la matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
321231132
A
Calcular los 9 menores complementarios de A así como sus respectivos cofactores.
Solución
53223
)det( 11 ==M⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
3223
11M , , 5)5)(1()det()1( 1111
11 ==−= + MA
13121
)det( 12 ==M⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
3121
12M , , 1)1)(1()det()1( 1221
12 −=−=−= + MA
12131
)det( 13 −==M⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2131
13M , , 1)1)(1()det()1( 1331
13 −=−=−= + MA
73213
)det( 21 ==M⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
3213
21M , , 7)7)(1()det()1( 2112
21 −=−=−= + MA
53112
)det( 22 ==M⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
3112
22M , , 5)5)(1()det()1( 2222
22 ==−= + MA
12132
)det( 23 ==M⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2132
23M , , 1)1)(1()det()1( 2332
23 −=−=−= + MA
32313
)det( 31 ==M⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2313
31M , , 3)3)(1()det()1( 3113
31 ==−= + MA
32112
)det( 32 ==M⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2112
32M , , 3)3)(1()det()1( 3223
32 −=−=−= + MA
33132
)det( 33 ==M⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
3132
33M , , 3)3)(1()det()1( 3333
33 ==−= + MA
109
Observación.- Nótese que el signo que acompaña a los menores corresponde a
la posición de la matriz cuadrada de orden
ji+− )1(
nn×),( ji ; de tal manera que los signos
son alternados semejante a un tablero de ajedrez con el signo + sobre la diagonal
principal. El siguiente esquema muestra la disposición de los signos
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−++−+−−+−+
OMMMM
L
L
L
Cálculo del determinante de una matriz por el método de cofactores
nn×Teorema 1.- Sea una matriz de orden . ][ ijaA =
a) Para cada se tiene ni ≤≤1
ininiiii AaAaAaA +++= L2211)det( (1)
c) Para cada se tiene nj ≤≤1
(2) njnjjjjj AaAaAaA +++= L2211)det(
La relación (1) es el desarrollo del con respecto a la i-ésima fila; mientras que
la relación (2) corresponde al desarrollo del respecto a la j-ésima columna.
)det( A
)det( A
Prueba
33×Demostraremos la parte a) para el caso de matrices de orden ; la demostración de
la parte b) es similar.
a) Sea
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
De la fórmula obtenida en (2) de la sección 2.1, se tiene
()det( 312213332112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA ++−++= )
Agrupando de manera adecuada
)()()()det( 312213322113332112312312322311332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −+−+−=
()()()det( 312232211333213123123223332211 aaaaaaaaaaaaaaaA −+−+−= )
Los factores que aparecen entre paréntesis son el desarrollo de los
cofactores , y respectivamente, los cuales se pueden escribir como: 11A 12A 13A
110
113332
23221132233322 )1( A
aaaa
aaaa =−=− + ,
123331
2321213123332133213123 )1())(1( A
aaaa
aaaaaaaa =−=−−=− +
133231
22213131223221 )1( A
aaaa
aaaa =−=− +
De lo cual se concluye
AaAaAaA 1312121111)det( ++=
que es el desarrollo del con respecto a la primera fila. )det( A
Ejemplo 2. Calcular el determinante de la matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
321231132
A
Por el método de cofactores:
a) A través de la primera fila.
b) A través de la segunda columna.
Solución
a) Desarrollando por la primera fila
131312121111 AaAaAaA ++=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−= +++
2131
)1(13121
)1(33223
)1(2 312111
)1)(1(1)1)(1(3)5)(1(2 −+−+=
6=A
a) Desarrollando por la segunda columna
323222221212 AaAaAaA ++=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−= +++
2112
)1(23112
)1(33121
)1(3 232221
)3)(1(2)5)(1(3)1)(1(3 −++−=
6=A
Observación.- Nótese que el valor de un determinante al calcular por el método de
cofactores es independiente de cualquier fila o columna que se elija para su desarrollo.
111
Luego, para calcular por el método de cofactores, es conveniente elegir aquella fila o
columna que contiene la mayor cantidad de ceros, pues de esta manera se evitara el
cálculo de algunos menores.
Ejemplo 3.- Calcular el determinante de la matriz
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
1003403241213010
A
Solución
Desarrollando a través de la tercera columna
23)1( AA −= , los otros términos son iguales a cero.
103432310
)1)(1( 32
−−−= +
103432310
−=
Luego, desarrollando, el determinante de orden 3 a través de la primera fila se tiene
0332
)1(313
42)1(1
103432310
3121 ++ −+−
−=−
13)9(3)14)(1(
−=−+−−=
Finalmente se tiene que
13
1003403241213010
−=
−
−=A
Para calcular determinantes de matrices de orden mayor que 4 generalmente se usa el
método de cofactores en combinación con las propiedades estudiadas en la sección 2.1.
Esta situación se ilustrará mediante los siguientes ejemplos.
112
Ejemplo 4.- Calcular el determinante de la matriz
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=
2612371364244832
A
Solución
Aplicando el teorema 7 de la sección 2.1 se tiene
26123713
12180101329011
2261237136424
1329011
32612371364244832
3231 −
=
+−
−=
+−
−−
=
FFFF
A
513053713
12180101329011
26123713
12180101329011
34
=
+− FF
Desarrollando el último determinante por la segunda columna
5135121810132911
)1(
513053713
12180101329011
−=
Nuevamente aplicando el teorema 13 al determinante de orden 3
0135011122911
)1()(0135
2181022911
)1()(5135
121810132911
)1(
1213
−−−=−+
−=−+
−FFCC
Desarrollando por la tercera columna y calculando el determinante de orden 2, se tiene
84)42)(2)(1()5513)(2)(1(135111
)2)(1(0135011122911
)1( −=−=+−−=−−
−=−−−
Luego,
84
2612371364244832
−=
−
−−
=A
113
Ejemplo 5.- Calcular el determinante de la matriz
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
111138751013
2431
A
Solución
Aplicando el teorema 7 de la sección 2.1 se tiene
11117128071280
2431
)5(1111387571280
2431
)3(111138751013
2431
1312 −−−−−−−−
=
−+−−
−−−=
−+−−
−=
FFFF
A
Como en el último determinante la segunda y tercera filas son iguales, por el teorema
3, se tiene
0
111138751013
2431
=
−−
−=A
Ejemplo 6.- Calcular el determinante de la matriz
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
=
5110543173021213
A
Solución
Aplicando el teorema 7 se tiene
6303220873021213
5110220873021213
)3(5110543173021213
1413 −−−−−−
=
+−−−−−−−
=
−+−−−−−
=
FFFF
A
Desarrollando por la segunda columna
633228732
)1(
6303220873021213
−−−−−
−=
−−−−−−
114
Nuevamente aplicando el teorema 7, en el determinante de orden 3
692720071030
)1()(6327
2207330
)1()4(633
228732
)1(
3231 −−−
−=−+−
−−−
−=−+−
−−−−
−CCCC
Desarrollando por la segunda fila se tiene
0)270270)(2(927
1030)2)(1)(1(
692720071030
)1( =−−=−−−=−−−
−
Luego,
0
5110543173021213
=
−−−−−
=A
Inversa de una matriz por medio de la adjunta
Empezaremos preguntándonos ¿a que es igual la expresión
ik ≠kninkiki AaAaAa L++ 2211 , para ?
Nótese que la expresión es la suma de los elementos de la i-ésima fila de una matriz
multiplicada por los cofactores correspondientes a la k-ésima fila. La respuesta a la
pregunta, está dada en el siguiente teorema, lo cual permite un nuevo método para el
cálculo de la inversa de una matriz.
nn×Teorema 2.- Si es una matriz de orden , entonces ][ ijaA =
ik ≠a) 02211 =++ kninkiki AaAaAa L , para
, para b) jk ≠02211 =++ nkjnkjkj AaAaAa L
Prueba
Solo probaremos la parte a). Para ello, consideremos una matriz B que se obtiene a
partir de A al reemplazar la k-ésima fila de A por su i-ésima fila. Luego la matriz B
tiene dos filas iguales y en consecuencia 0)det( =B . Por otra parte desarrollando el
con respecto a su k-ésima fila donde sus elementos son: y los
cofactores correspondientes a la k-ésima fila son: se tiene
inii aaa ,,, 21 L)det(B
knkk AAA ,,, 21 L
)det( 2211 =+++= kninkiki AaAaAaB L 0
que es lo que se quería probar.
115
El teorema demostrado anteriormente, nos dice que si sumamos los productos de los
elementos de cualquier fila (o columna) con los cofactores correspondientes de
cualquier otra fila o columna, entonces el resultado es igual a cero.
Ejemplo 7.- Dada la matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
321231132
A
Considerando los cofactores correspondientes a la primera fila
13121
)1( 2112 −=−= +A 1
2131
)1( 3113 −=−= +A5
3223
)1( 1111 =−= +A , y
y calculando la suma del producto de los cofactores de la primera fila con los
elementos de la segunda fila se tiene
)1)(2()1)(3()5)(1(132312211121 =−+−+=++ AaAaAa 0
Análogamente, calculando la suma del producto de los cofactores de la primera fila
con los elementos de la tercera fila se tiene
)1)(3()1)(2()5)(1(133312311131 =−+−+=++ AaAaAa 0
Si , nótese que 1== ki
)det(131312121111 ==++ AAaAaAa 6
Observación.- Del teorema 2, se tiene que:
a) ⎩⎨⎧
=≠
=++kisiAkisi
AaAaAa kninkiki )det(0
2211 L
b) ⎩⎨⎧
=≠
=++kjsiAkjsi
AaAaAa nkjnkjkj )det(0
2211 L
Matriz cofactor y matriz adjunta
nn×Dada una matriz de orden ][ ijaA = , llamaremos cofactor de A a la matriz
denotada por que se define como )(ACof
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnnn
n
n
AAA
AAAAAA
ACof
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
)(
Donde denota al cofactor correspondiente al elemento de la
matriz A.
)det()1( ijji
ij MA +−= ija
116
Se le llama adjunta de A a la matriz denotada por y que se define como )(AAdj
TACofAAdj )]([)( =
Es decir la adjunta de A es la transpuesta de la matriz cofactor que en forma explícita
se escribe como
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnnn
n
n
AAA
AAAAAA
AAdj
L
MOMM
L
L
21
22212
12111
)(
Ejemplo 8.- Dada la matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
321231132
A
Halle el cofactor y la adjunta de A.
Solución
En el ejemplo 1 se calcularon los cofactores de la matriz A:
3,3,3,1,5,7,1,1,5 333231232221131211 =−==−==−=−=−== AAAAAAAAA
Luego,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333157115
)(
333231
232221
131211
AAAAAAAAA
ACof
y
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
311351
375)(
332313
322221
312111
AAAAAAAAA
AAdj
nn×Teorema 3.-Si es una matriz de orden , entonces ][ ijaA =
nIAAAAdjAAdjA )det()]([)]([ ==
Prueba
Escribiendo en forma explícita )]([ AAdjA
117
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnjnnn
nj
nj
nnnn
inii
n
n
AAAA
AAAAAAAA
aaa
aaa
aaaaaa
AAdjA
LL
MOMOMM
LL
LL
L
MOMM
L
MOMM
L
L
21
222212
112111
21
21
22221
11211
)]([
Al multiplicar la i-ésima fila de A por la j-ésima columna de se obtiene el
elemento correspondiente a la posición del producto y por la
observación que se desprende del teorema 2 se tiene
)(AAdj
),( ji )]([ AAdjA
⎩⎨⎧
=≠
=++jisiAjisi
AaAaAa jninjiji )det(0
2211 L
Luego,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
)det(000
0)det(000)det(
)]([
A
AA
AAdjA
L
MOM
L
L
nIA)det(=
De manera análoga se demuestra que
nIAAAAdj )det()]([ =
Ejemplo 9.- Para ilustrar el teorema, consideremos nuestra matriz del ejemplo 8.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
321231132
A
En el ejemplo 8 se calculó ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−=
311351
375)(AAdj
Luego
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
311351
375
321231132
)]([ AAdjA
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
600060006
118
36 I=
3)det( IA=
El teorema 3, nos da otra opción de calcular la inversa de una matriz en caso de que
exista.
Corolario 3.1.- Si A es una matriz de orden y , entonces )( nn× 0)det( ≠A
)()det(
11 AAdjA
A =−
Prueba
Del teorema 3 se tiene que
nIAAAAdjAAdjA )det()]([)]([ ==
Como se tiene que 0)det( ≠A
nIAAAdjA
AAdjA
A == )]()det(
1[)]()det(
1[
Del cual se concluye por la unicidad de la inversa de A que
)()det(
11 AAdjA
A =−
Ejemplo 10.- Dada la matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
321231132
A
Halle su inversa por el método de la adjunta.
Solución
Del ejemplo 15 sección 2.1 se tiene que 6)det( =A y en el ejemplo 8 se calculó
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−=
311351
375)(AAdj
Luego,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−==−
311351
375
61)(
)det(11 AAdj
AA
119
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−=−
21
61
61
21
65
61
21
67
65
1A
Teorema 4.- Una matriz cuadrada A es no singular si y solo si . 0)det( ≠A
Prueba
Asumiendo que ; por el corolario1 se tiene que existe la inversa de A y 1−A0)det( ≠A
)()det(
11 AAdjA
A =− . En consecuencia A es no singular.
Recíprocamente, asumiendo que A es no singular. Existe la inversa de A tal que 1−A
nIAAAA == −− 11
Luego, calculando el determinante de la expresión anterior se tiene
1)det()det()det( 11 === −−nIAAAA
Usando propiedades de determinante
1)det()det()det()det()det( 11 === −−nIAAAA
. del cual se concluye que 0)det( ≠A
Con lo cual el teorema queda demostrado.
nn×Corolario 4.1.- Si A es una matriz de orden , entonces el sistema homogéneo
, tiene una solución no trivial si y solo si 0=xA . 0)det( =A
Prueba
Probar si tiene solución no trivial, entonces 0=xA 0)det( =A Es equivalente a probar
si , entonces 0=xA0)det( ≠A tiene solo la solución trivial. En efecto, como
, A es no singular; es decir existe y se tiene que 1−A0)det( ≠A
0000 =⇒=⇒=⇒= −−− xxxx nIAAAAA )()()( 111
Recíprocamente, asumiendo que 0)det( =A hay que demostrar que el sistema
homogéneo tiene una solución no trivial. Como 0)det( =A , la matriz A es singular y es
equivalente por filas a una matriz B escalonada reducida por filas donde al menos la
última fila de B son todos iguales a cero.
0=xA 0=xB BFA ~ es equivalente por ser . El sistema
Luego como al menos la última fila de B son todos sus componentes iguales a cero se
tiene la ecuación.
120
[ ] 0000 2
1
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nx
xx
ML
Lo que muestra que pueden tomar valores diferentes de cero y en
consecuencia, el sistema una solución diferente de la trivial.
nxxx ,,, 21 L
0=xA
Resumiendo los resultados más importantes podemos decir. Las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
a) A es no singular.
b) solo tiene la solución trivial. 0=xA
c) A es equivalente por filas a la matriz identidad.
d) El sistema lineal tiene una única solución bx =A
e) 0)det( ≠A
Una de las aplicaciones de los determinantes es en la solución de sistemas de
ecuaciones lineales, siempre y cuando la matriz de coeficientes sea cuadrada y su
determinante diferente de cero. Esta regla muy conocida es llamada Regla de Cramer
en honor al matemático suizo Gabriel Cramer (1704-1752).
Teorema 5. [Regla de Cramer]
Sea
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++=+++
L
MMMMMM
L
L
2211
22222121
11212111
un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas y sea la matriz de
coeficientes asociada al sistema y el vector de término independientes. Si
, entonces el sistema tiene una única solución
][ ijaA =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
2
2
1
b
bb
Mb
0)det( ≠A
)det()det(
,,)det()det(
,)det()det( 2
21
1 AA
xAA
xAA
x nn === L
121
Donde es la matriz que se obtiene a partir de A, al reemplazar la columna i por el
vector b.
iA
Prueba
Se tiene que , luego por el teorema 4, A es no singular, en consecuencia
existe y se tiene que
0)det( ≠A1−A
bx 11 )( −− = AAA
bx 11 )( −− = AAA
bx )()det(
1AAdj
A=
Escribiendo explícitamente,
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
i
nnnn
niii
n
n
n
i
b
b
bb
AAA
AAA
AAAAAA
A
x
x
xx
M
M
L
MOMM
L
MOMM
L
L
M
M2
1
21
21
22212
12111
2
1
)det(1
Luego se obtiene ix
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
n
niiii
b
bb
AAAA
xM
L 2
1
21 ][)det(
1
)()det(
12211 nniii bAbAbA
A+++= L
)()det(
12211 ninii AbAbAb
A+++= L
)det()det(
AAi=
En consecuencia,
)det()det(
AA
x ii =
Donde denota la matriz obtenida a partir de A reemplazando la columna i-ésima
por el vector b.
iA
Ejemplo 11.- Usar la Regla de Cramer, para resolver el sistema
122
1263847
−=−=+
yxyx
Solución
5463
47)det( −=
−=ALa matriz de coeficientes es , ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=63
47A y el vector de
términos independientes es . Aplicando la Regla de Cramer se tiene: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=128
b
0540
54)48(48
54612
48
)det()det( 1 =
−=
−−−−
=−
−−==
AA
x
254
10854
248454
12387
)det()det( 2 =
−−
=−−−
=−
−==
AA
y
Luego, se tiene . 2;0 == yx
Ejemplo 12.- Usar la Regla de Cramer, para resolver el sistema
7553243
=++=−+=+−
zyxzyxzyx
Solución
La matriz de coeficientes es , el vector de incógnitas es ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
753
b⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
511324
111A
38)21(17)3202()4310(511324
111)det( =−−=−−−++=−
−=A
238
)20(5638
)92514()52130(38
517325
113
)det()det( 1 =
−−=
−−−++=
−−
==AA
x
038
444438
)21605()28925(38
571354
131
)det()det( 2 =
−=
−+−+−=
−
==AA
y
123
138
172138
)5286()12514(38
711524311
)det()det( 3 =
+=
+−−+−=
−
==AA
z
EJERCICIOS
1. Dada la matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
325413201
A
Calcule todos los cofactores
2. Dada la matriz
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
013004231412
0301
A
Calcule todos los cofactores de los elementos del segundo renglón y todos los
cofactores de los elementos de la tercera columna
3. En los ejercicios, evalúe los determinantes haciendo uso del teorema 1.
023251321
− b) 110
123013
− a)
311420024
−−−
− d)
322131210
−−
− c)
1230430230211244
−
−
e) g)
003214131210
1322
−−
−
5110543173021213
−−−−−
h) i)
0033252212103100
−
−
124
7. Verifique el teorema 2 para la matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
102314
032A
323122211211 AaAaAa ++Calculando
8. Dada la matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
123021312
A
a) Determine adjA
b) Calcule )det( A
c) Verifique el teorema 3; es decir, muestre que
3)det()()( IAAadjAadjAA ==
9. Sea
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
544143826
A
a) Determine )(Aadj
b) Calcule )det( A
c) Verifique el teorema 3; es decir muestre que
3)det()()( IAAadjAadjAA ==
10. En los siguientes ejercicios, calcule las inversas de las matrices dadas, si es que
existen, mediante el corolario 1.
a) b) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 43
23⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 21
32
c) d) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
301210224
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 210430204
125
e) f)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
2010251243123120
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−
711254321
11. Utilice el teorema 4 para determinar cuales de las siguientes matrices son no
singulares.
a) b) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 132210321
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡4321
c) d) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 271412231
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
264312534
e) f)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
2564315314622131
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
7210025271435021
12. Determine los valores de para los cuales λ
a) b) 033
22det =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−λ
−λ0
4041
det =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−λ−−λ
c) ( ) 0det 3 =−λ AI , donde ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
100102101
A
d) ( ) 0det 3 =−λ AI , donde ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−=
212030313
A
13. Haga usos del corolario 3 para determinar si los siguientes sistemas homogéneos
tienen soluciones no triviales.
a) b)
0202
03202
=−+=+
=++=++
wzywz
zyxwyx
023032
02
=++=++=+−
zyxzyx
zyx
126
c) d)
020323
02202
=−+=+++
=+−=+++
wzywzyx
zyxwzyx
03022
02
=+−=++=−+
zyxzyx
zyx
14. En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema lineal dado mediante la regla de
Cramer, en caso de ser posible
452243242
=+−=+−+=++
−=−++
wyxwzyxwzywzyx
532022642
−=−+=+=++
zyxzxzyx
b) a)
0420422732
=++=−−=++
zyxzxzyx
422223
62
=++−=−+
=++
zyxzyxzyx
d) c)
33×15. Si es una matriz de ][ ijaA = , obtenga la expresión general para
desarrollando
)det( A
a) con respecto a la segunda columna.
b) con respecto a la tercera fila.
16. Muestre que si A es simétrica, entonces también es simétrica. )(Aadj
17. Sea A de y suponga que 5=A . Calcule 44×
1)2( −A a) 1−A b) A2 c) 12 −A d)
18. Sea 3=A y 4=B . Calcule
a) AB b) TABA ABB 1− c)
19. Determine todos los valores de a para los cuales el sistema lineal
0202
=+=+
yaxayx
tiene:
a) Una única solución
b) Una infinidad de soluciones
20. Determine todos los valores de a para los cuales la matriz
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−22
22aa
a
es no singular.
127
18. Utilice la regla de Cramer para determinar todos los valores de a para los cuales el
sistema lineal
1032
922
−=−−=+=+−
zyxayx
zyx
. tiene la solución en la cual 1=y
128