CRITERIOS DE SIMETRÍA EN EL TRAZO CRITERIOS DE SIMETRÍA EN EL TRAZO DE GRÁFICAS DE FUNCIONESDE GRÁFICAS DE FUNCIONES

TutorTutor: Pablo E. Naranjo M.: Pablo E. Naranjo M.

UNIVERSIDAD DE BOYACÁUNIVERSIDAD DE BOYACÁFACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA

SemejanzasSemejanzas

¿Cuáles son las semejanzas del plano?

(1) Traslaciones

y

xyxf

10

01),(

22

¿Cuáles son las semejanzas del plano?

(2) Giros (rotaciones)

y

x

sen

senyxf

cos

cos),(

SemejanzasSemejanzas

33

¿Cuáles son las semejanzas del plano?

(3) Simetrías respecto a un eje

y

xyxf

10

01),(

SemejanzasSemejanzas

44

SIMETRÍASIMETRÍA

Respecto a una rectaRespecto a una rectaDe dos puntosDe dos puntos

De una gráficaDe una gráfica

Respecto a un puntoRespecto a un punto De dos puntosDe dos puntos

De una gráficaDe una gráfica

55

Simetría respecto a una rectaSimetría respecto a una recta

66

Simetría de dos puntos respecto a una rectaSimetría de dos puntos respecto a una recta

Dos puntos, Dos puntos, P P yy P´ P´ forman un forman un par simétricopar simétrico respecto a una respecto a una recta Lrecta L si: si:

L biseca al segmento de recta PP´ y L biseca al segmento de recta PP´ y

L es perpendicular a PP´L es perpendicular a PP´

•

•

LP

P´

“Se dice que P´ es la imagen simétrica de P o viceversa”

77

Simetría de una gráfica respecto a una rectaSimetría de una gráfica respecto a una recta

Una Una gráficagráfica es simétrica respecto a una es simétrica respecto a una recta Lrecta L si:si:

Para todo punto P de la gráfica, su imagen Para todo punto P de la gráfica, su imagen simétrica P´ respecto a la recta L también simétrica P´ respecto a la recta L también pertenece a la gráficapertenece a la gráfica

LP1

•

•

•

•P2

P2´

P1´

88

Simetría respecto a un puntoSimetría respecto a un punto

99

Simetría de dos puntos respecto a un puntoSimetría de dos puntos respecto a un punto

Dos puntos, Dos puntos, PP y y P´P´ forman un forman un par simétricopar simétrico respecto a un respecto a un punto Qpunto Q si: si:

Q es punto medio del segmento de recta PP´Q es punto medio del segmento de recta PP´

•

P

P´

•

•

Q

1010

Simetría de una gráfica respecto a un puntoSimetría de una gráfica respecto a un punto

Una Una gráficagráfica es simétrica respecto a un es simétrica respecto a un punto Qpunto Q si:si:

Para todo punto P de la gráfica, su imagen Para todo punto P de la gráfica, su imagen simétrica P´ respecto al punto Q también simétrica P´ respecto al punto Q también pertenece a la gráficapertenece a la gráfica

•Q

P1 •

P2•

P1´•

P2´•

1111

Clasificación de las FuncionesClasificación de las Funciones

(según la simetría de su gráfica cartesiana)

Las funciones pueden ser:Las funciones pueden ser:

ParPar

ImparImpar

Ninguna de las Ninguna de las anterioresanteriores

1313

Función Par

Es aquella cuya gráfica es simétrica respecto Es aquella cuya gráfica es simétrica respecto al al eje vertical (y)eje vertical (y) del plano cartesiano. del plano cartesiano.

y

x0

1414

Es decir, para una función par se cumple que si para todo número x en su dominio, el número –x también está en el dominio, de donde

f(-x) = f(x)

f(x)

x

1515

Función Impar

Es aquella cuya gráfica es simétrica Es aquella cuya gráfica es simétrica respecto al respecto al origenorigen (0)(0) del plano cartesiano. del plano cartesiano.

y

x0•

1616

Es decir, para una función impar se cumple que si para todo número x en su dominio el número –x también está en el dominio, de donde

f(t)

t

-f(-x) = -f(x)

1717

Función InversaFunción Inversa

Si Si ff es una función es una función uno a unouno a uno con Dominio con Dominio en en XX y Rango en y Rango en YY, y , y gg es una función con es una función con Dominio en Dominio en YY y Rango en y Rango en XX, entonces , entonces gg es la función inversa de es la función inversa de ff si y solo si: si y solo si:

(f o g)(x) = x(f o g)(x) = x, para toda x en el Dominio de g, para toda x en el Dominio de g

(g o f)(x) = x(g o f)(x) = x, para toda x en el Dominio de f, para toda x en el Dominio de f

La función inversa g también se puede denotar como f -1

1818

EjemplosEjemplos

y = x

f -1

y = x

f -1f

y

x0

y

x

f

0

1919

¿Por qué una función tiene que ser ¿Por qué una función tiene que ser uno a uno para que tenga inversa?uno a uno para que tenga inversa?

Por no ser uno a uno la función f, al trazar la

gráfica simétrica respecto de la recta

y=x, resulta que ya no es una función

y = xy

x

f

0

2020

¿Cómo saber si dos funciones son ¿Cómo saber si dos funciones son inversas observando sus gráficas inversas observando sus gráficas

cartesianas?cartesianas?

Las gráficas de dos Las gráficas de dos funciones funciones inversasinversas son son simétricassimétricas respecto respecto

de la recta y = x de la recta y = x

2121

EjemploEjemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(x)= x+1/x, g(x)=1/(x2+1), h(x)=i(x2) donde i es una función arbitraria.Solución:Como f(-x) = -x - 1/x = -f(x), f es función impar.Como g(-x)=1/((-x)2+1)=1/(x2+1)=g(x), g es función par.Como h(-x) = i((-x)2) = i(x), h es función par.

2222

Resolución de ProblemasResolución de Problemas: : ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(x)=x3-1/x, g(x)=x2/(x2+1), h(x)=i(x2+1)donde i es una función arbitraria. Verificar en cada caso con la gráfica de la función en el intervalo [-1,1], en el caso de la función i proponerla arbitrariamente para graficar...

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Gracias por su atenciónGracias por su atención

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