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Simulación del comportamiento del suelo en ensayos delaboratorio (element test) empleando Hipoplasticidad y
Viscohipoplasticidad
Realizado por
William Mario Fuentes Lacouture
Asesor
pr. Arcesio Lizcano Ph.D.
Universidad de los Andes
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental
2007
Tabla de Contenido
1. Modelo constitutivo hipoplástico 41.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Ecuación hipoplástica en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Ecuaciones constitutivas hipoplásticas básicas por Kolymbas y por Wu Wei . . . . . . . . . 7
1.4. Envolventes de respuesta de las ecuaciones hipoplásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. Ecuación constitutiva hipoplástica de Wolffersdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1. Estados asintóticos del suelo o atractores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2. Superficie de fluencia de Matsuoka-Nakai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3. Algunos aspectos de la deducción de la ecuación de Wolffersdorff . . . . . . . . . . 19
1.5.4. Ecuacion constitutiva final por Wolffersdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6. Invertibilidad de la ecuación hipoplástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7. Parámetros hipoplásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2. Element test con Hipoplasticidad 282.1. Solución para tensores de esfuerzo y deformación con simetría axial y sin cortantes . . . . . 28
2.2. Integración por diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Compresión isotrópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4. Compresión oedométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5. Compresión triaxial no drenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6. Compresión triaxial drenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3. Modelo constitutivo Viscohipoplástico 493.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2. Ecuación visohipoplástica en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3. Ecuación viscohipoplástica en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.1. Factor de barotropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.2. Definición del OCR en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.3. Tasa de defomación viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4. Valores de referencia y parámetros viscohipoplásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.1. Valores de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
I
TABLA DE CONTENIDO ICIV 200710 09
3.4.2. Parámetros viscohipoplásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4. Element test con Viscohipoplasticidad 714.1. Compresión oedométrica utilizando la versión 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2. Solución general de la ecuación viscohipoplástica en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5. Simulación de un loess de Argentina 775.1. Parámetros viscohipoplásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2. Valores de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3. Simulación con Viscohipoplasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6. Conclusiones finales 83
A. Algunos conceptos de la mecánica del continuo 85A.1. Notacion de los tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
A.2. Álgebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
A.3. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
A.4. Inversa de un tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
A.4.1. Teorema Sherman-Morrison para tensores de cuarto orden . . . . . . . . . . . . . . 93
A.5. Transformación de matrices entre 2 sistemas cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
A.6. Cinemática del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.7. Tensor de esfuerzo de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
A.8. Cambio de la configuración con tiempo actual de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
A.9. Cambio del marco de referencia y objetividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.10.Tensor de la tasa de esfuerzos objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
B. Programación 106B.1. Programación de las envolventes de falla en mathematica en 3D . . . . . . . . . . . . . . . 106
B.2. Programación de la superficie d Matsuoka-Nakai en el espacio T1,T2,T3 . . . . . . . . . . 107
B.3. Programación del element test ensayo oedométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
B.4. Programación del element test para compresión oedométrica con esfuerzo controlado . . . . 110
B.5. Programación del element test para compresión triaxial no drenada . . . . . . . . . . . . . . 114
B.6. Programación del element test para compresión triaxial drenada . . . . . . . . . . . . . . . 117
B.7. Programación del element test para compresión oedométrica con Viscohipoplasticidad . . . 122
II
Índice de figuras
1.1. Resultado de compresión oedométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Simulación de ensayo oedométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Principio del comportamiento proporcional del suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Envolventes de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Envolventes de respuesta mediante la ecuación de WU WEI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6. Curva típica de las relaciones de vacíos máxima, mínima y crítica vs. esfuerzo σ . . . . . . 15
1.7. Criterios de fallas M-N y M-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8. Criterio de falla M-N en MATHEMATICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9. Ángulo de lode y ángulo ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.11. Esquema de la determinación del β en un ensayo isotrópico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1. Idealización de la integración por diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Integración por diferencias finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3. Esquema de la compresión isotrópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4. Esquema de la compresión oedométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5. Diagrama de flujo para la programación del element test de compresión oedométrica . . . . 38
2.6. Simulación de compresión oedométrica para Arena de Guamo con Hipoplasticidad. . . . . . 39
2.7. Diagrama de flujo para oedométrico con control en los esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8. Simulación de compresión oedométrica con la ecuación invertida. . . . . . . . . . . . . . . 41
2.9. Esquema del triaxial no drenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.10. Diagrama de flujo para la programación del element test compresión triaxial no drenada . . . 44
2.12. Esquema del triaxial drenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.11. Simulación de triaxial CU para Arena de Guamo con Hipoplasticidad. . . . . . . . . . . . . 45
2.13. Diagrama de flujo para la programación del element test compresión triaxial drenada . . . . 47
2.14. Simulación de compresión triaxial CD para Arena de Guamo con Hipoplasticidad. . . . . . 48
3.1. Esquemas de trayectorias e vs. ln(σ) en ensayo oedométrico con diferentes efectos viscosos 50
3.2. Deformación como la suma de una deformación elástica y una deformación plástica . . . . . 52
3.3. Deformaciones viscosas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
III
ÍNDICE DE FIGURAS ICIV 200710 09
3.4. Diagrama para ilustrar los saltos de esfuerzos debido al cambio de isotacas. . . . . . . . . . 56
3.5. Ubicación de los puntos pe y p+e en los espacios p−q y ν− p−q. . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6. Modificación de la superficie de fluencia propuesta por [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.7. Trayectorias con ‖ D ‖= kte y OCR = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.8. Valores de K0 y x =‖ D ‖) ‖ Dv ‖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.9. Obtención del índice de viscosidad mediante dos isotacas con ensayo isotrópico. . . . . . . . 69
4.1. Diagrama de flujo de compresión oedométrica con Viscohipoplasticidad . . . . . . . . . . . 74
4.2. Simulación de ensayo oedométrico con Viscohipoplasticidad variando la tasa de deformación 75
5.1. Obtención del parámetro λ en el ensayo de compresión oedométrica. . . . . . . . . . . . . . 78
5.2. Obtención del parámetro κ en el ensayo de compresión triaxial CD. . . . . . . . . . . . . . 79
5.3. Obtención del parámetro ϕc en el ensayo de compresión triaxial CD. . . . . . . . . . . . . . 79
5.4. Simulación de un loess de Argentina con Viscohipoplasticidad. . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A.1. Vectores unitarios e1, e2 y e3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
A.2. Descripción del movimiento dos puntos de un material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
IV
Índice de tablas
1.1. Nombres y símbolos de los parámetros hipoplásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2. Rangos de los parámetros hipoplásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1. Parámetros hipoplásticos para arena de Guamo. Los valores están reportados en [2]. . . . . . 37
5.1. Velocidad de deformación ε para cada escalón de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
A.1. Multiplicaciones de tensores utilizadas frecuentemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
A.2. Condiciones de objetividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A.3. Ecuaciones de transformación para los tensores F, C y B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A.4. Ecuaciones de transformación para los tensores U∗t , C∗t , V∗t y B∗t . . . . . . . . . . . . . . . 103
V
Abstract
It presents an approach to Hipoplasticty and Viscohipoplasticity providing the reader a tangible and a com-
prehensive introduction to these constitutive models. It describes the fundamentals of Hipoplasticity emp-
hasizing on the Kolymba’s, Wei’s and Wolffersdorf’s constitutive equations. The responses envelopes are
analysed using Wei’s equation. A Mathematica script for the simulation of the response envelope in 3D is
available on the appendices. Then, an integration of element test using Hipoplasticity are explained. Inclu-
des isotropic compression test, oedometric compression test, triaxial CU compression test and triaxial CD
compresion test. Scripts under VISUAL BASIC for these element tests are annexed on the appendices. The
Viscohipoplasticity theory follows. Fundamentals of it’s principles and formulation are exposed. It contents
the 1d version proposed by Niemunis and Krieg and the 3D version proposed by Niemunis. The element
test using the constitutive equation for 1D is solved and a script under VISUAL BASIC is available on the
appendices. Finally, a loess from Argentina is simulated using Viscohipoplasticity. Results demonstrated an
excelent fitting comparing the experimental and simulated curves. The partial cementation that reads high
stiffness under small strains by the loess is simulated using a low value for κ .
Prefacio del autor
La Hipoplasticidad y la Viscohipoplasticidad son modelos constitutivos capaces de reproducir con gran
afinidad el comportamiento mecánico de las arenas y las arcillas respectivamente. La investigación ha demos-
trado claramente que las modelaciones constitutivas realizadas con estos modelos son mucho más precisas
que aquellas realizadas empleando Elasticidad o Elastoplasticidad. A pesar que la Hipoplasticidad y la Vis-
cohipoplasticidad son modelos formulados recientemente, éstos han demostrado un excelente desempeño en
la simulación, y por lo tanto es necesario el entendimiento de los mismos por parte de los ingenieros y su
implementación por parte de las empresas. Sin embargo la realidad ha mostrado lo contrario por catalogar a
estos modelos como complejos y problemáticos. Con este documento pretendo abrirle al lector una peque-
ña ventana donde pueda observar las ventajas y capacidades que nos otorga estos modelos constitutivos y
finalmente una herramienta de simulación de element test para su libre implementación.
Agradezco al pr. Lizcano por introducirme a esta ciencia. Sus enseñanzas y observaciones han confor-
mado los pilares que soportan este documento. Agradezco a la Universidad de los Andes por ofrecerme el
ambiente.
A Alejandro Kerguelen y Marco Andrés por su amistad. A mis padres por su educación. A mis hermanas
por su apoyo. A mis hermanos por su compresión.
I
Introducción
Un modelo constitutivo es una relación matemática que conecta los esfuerzos con las deformaciones
de un material. Los modelos constitutivos se expresan mediante ecuaciones matemáticas o constitutivas[15].
Estas ecuaciones consideran a los esfuerzos y deformaciones como cantidades tensoriales y contienen a la vez
otras cantidades que son escalares y que se denominan constantes del material. Las constantes del material
permiten distinguir entre el comportamiento mecánico de dos materiales, como por ejemplo el de un material
flexible y resistente como el acero y un material rígido y poco resistente como el vidrio. Con su adecuada
combinación se puede construir una ecuación capaz de reproducir comportamientos mecánicos complejos.
Para construir un modelo constitutivo se debe suponer que el material es un medio continuo. La teoría del
medio continuo es aquella que considera que la materia es indivisible. Esto contradice a la realidad donde
se presenta una materia compuesta por partículas y con un comportamiento mecánico que está construído
a partir de las interacciones de estas partículas con otras y con el medio exterior. La mecánica del medio
continuo considera que los comportamientos que ocurren a microescala son despreciables.
En la mecánica de suelos se han planteado numerosos modelos constitutivos tratando de aproximarse
al comportamiento de este material, y se ha llegado a la conclusión que no existe un solo modelo que sea
capaz de adaptarse a todos los comportamientos mecánicos observados hasta el momento. En otras pala-
bras, la implementación de un modelo constitutivo depende del caso y del tipo de material analizado. Siendo
así se puede afirmar que entre todos los modelos constitutivos se destacan la Hipoplasticidad y la Viscohi-
poplasticidad. Estos modelos han demostrado ser capaces de representar el comportamiento mecánico de
las arenas y las arcillas con mejor afinidad que el modelo elástoplástico por ejemplo. Las observaciones
realizadas por GUDEHUS[10][9], NIEMUNIS[19][20][18], WOLFFERSDORFF[33] y KOLYMBAS[14] acon-
tecen esta afirmación. A esto se suman los aportes realizados para simular cargas cíclicas[19] y suelos no
saturados[11]. Algunos modelaciones realizadas en ingeniería empleando estos modelos son testimonios de
su mejor desempeño frente a otros[8]. Sin embargo, ha sido díficil su implementación en la geotecnia aplica-
da. Ésta ha mostrado cierta resistencia al intentar cambiar la modelación constitutiva empleando Elasticidad y
Elastoplasticidad por aquella que emplea Hipoplasticidad y Viscohipoplasticidad. Una de las posibles causas
podría ser la falsa calificación de modelos matemáticos complejos que se le han atríbuido a la Hipoplasticidad
y Viscohipoplasticidad. Y esto a pesar que las ecuaciones constitutivas resultan ser mucho mas sencillas que
las formuladas en la elastoplasticidad por ejemplo. Otra posible causa puede ser los pocos software disponi-
1
INTRODUCCIÓN ICIV 200710 09
bles para realizar simulaciones de element test y problemas de contornos. Aunque existen muchos códigos
para programas de elemetos fintos FEM estos resultan ser muy costosos e inexequible para la mayoría de las
empresas consultoras. Todo esto se resume en una baja popularidad atríbuidos a estos modelos constutivos
por parte de los ingenieros.
Con este documento se quiere presentarle al lector un acercamiento a éstas jóvenes y exitosas teorías
basadas en el medio continuo. Con ello se intenta demostrar que los modelos hipoplástico y viscohipoplástico
presentan una formulación matemática mucho más sencillas que otros modelos constitutivos. El documento
está respaldado con un marco teórico y un lenguaje adecuado para el entendimiento de aquellos que no están
familiarizado con los conceptos. Su estructura presenta los conceptos más relevantes en ambos modelos
constitutivos, la integración de su ecuación constitutiva utilizando algunos métodos por diferencias finitas y
se presentan la solución de algunos element test que se utilizan frecuentemente. Ésto último con el propósito
de brindarle al lector una herramienta de simulación. Estas herramientas se acompañan con simulaciones
realizadas para mostrar algunos resultados que se pueden obtener a partir de su utilización. También incluye
la simulación con Viscohipoplasticidad de un loess de Argentina y se analiza el ajuste del comportamiento
mecánico de este material con respecto al modelo constitutivo.
Detalladamente el documento se estrctura de la siguiente manera. En el primer capítulo se exponen los
conceptos básicos de la Hipoplasticidad. Su contenido presenta los aspectos más relevantes que se tuvie-
ron en cuenta en el planteamiento de la ecuación constitutiva. Se enfatiza en la ecuaciones propuestas por
KOLYMBAS[14], WU WEI[31] y por último WOLFFERSDORF[33]. También incluye una breve descripción
de las envolventes de respuestas introducidas por GUDEHUS[10] para el caso de la Hipoplasticidad y la inver-
tibilidad de la ecuación propuesta por WOLFFERSDORF mediante el algortimo de DOAHN[26]. El siguiente
capítulo presenta la solución de la ecuación constitutiva para algunos element test. El capítulo expone los
métodos de integración por diferencias finitas con expansión de TAYLOR y el algoritmo de la programa-
ción de los element test en lenguaje VISUAL BASIC. Luego, en los siguientes dos capítulos se presentan los
aspectos relevantes de la Viscohipoplasticidad según la versión modificada de NIEMUNIS[19] que guarda
consistencia con la ley de compresión de BUTTERFIELD[5]. Se presenta la solución del element test de
un ensayo de compresión oedométrica utilizando la versión 1D[20] y la solución generalizada de la ecua-
ción constittuiva 3D. El capítulo siguiente contiene la simulación con Viscohipoplasticidad de un loess de
Argentina con el propósito de analizar el desempeño del modelo constitutivo en estos tipos de suelos carac-
terizado por presentar cementación parcial. Se presentan unos apéndices con los conceptos relevantes de la
mecánica del continuo en que se apoyan estos dos modelos constitutivos. Incluyen la explicación del tensor
corrotacional de ZAREMBA-JAUNMANN tema que se no se presenta con la profundidad adecuada en los
documentos científicos de mayores aportes. Finalmente los apéndices incluye la programación de algunos
script de MATHEMATICA y los element test desarrollados en el cuerpo del documento utilizando Hipoplas-
ticidad y Viscohipoplasticidad en lenguaje VISUAL BASIC. Esto último con el propósito de brindarle al lector
una herramienta de simulación de algunos ensayos experimentales.
2
INTRODUCCIÓN ICIV 200710 09
Al finalizar el documento el lector está en capacidad de:
Comprender los conceptos de la mecánica del continuo adoptadas en el desarrollo matemático de la
Hipoplasticidad y Viscohipoplasticidad.
Entender los aspectos relevantes de estos dos modelos constitutivos.
Solucionar las ecuaciones constitutivas para los element test utilizados frecuentemente.
Utilizar los programas de element test en lenguaje VISUAL BASIC para la simulación de ensayos ele-
mentales. Estos programas son perfectamente adaptables como macros de MICROSOFT EXCEL para
la rápida uilización por parte del usuario.
Tener una perspectiva del desempeño del modelo viscohipoplástico en la simulación de los loess de
Argentina caracterizados por presentar cementación parcial.
3
Capítulo 1
Modelo constitutivo hipoplástico
1.1. Introducción
La Hipoplasticidad es un modelo constitutivo desarrollado para suelos granulares. Según KOLYMBAS
y WU WEI[32], una ecuación constitutiva hipoplástica debe ser aquella que esté planteada de una mane-
ra incremental[28] con la tasa de esfuerzo y la deformación como variables de estado y debe presentar
pendientes suaves para cada deformación. Esto implica que la Hipoplasticidad es un modelo no lineal, es
decir, presenta tangentes distintas para cada incremento. La Hipoplasticidad no distingue entre deformacio-
nes plásticas y elásticas y carece de formulaciones matemáticas complejas para describir el comportamiento
mecánico de las arenas. En los últimos 40 años se han planteado más de una versión de ecuaciones hipoplás-
ticas, cada una tratando de mejorar la versión anterior. Por esta razón la Hipoplasticidad se debe ver como
un modelo constitutivo que puede ser expresado mediante ecuaciones que no necesariamente tienen que ser
las mismas[15]. El alcance del modelo hipoplástico se limita a suelos granulares que no presentan efectos
viscosos y que son normalmente consolidados o ligeramente sobreconsolidados[15].
Las últimas ecuaciones constitutivas simulan los comportamientos observados debido a la densidad y el
esfuerzo de confinamiento[12]. Han evolucionado hasta plantear una ecuación con el esfuerzo, la deforma-
ción y la relación de vacíos como variables de estado de la forma:
T = F(T,e,D) (1.1.1)
dondeT es el tensor de la tasa de esfuerzo objetivo co-rotacional de ZAREMBA-JAUNMANN, T es el tensor
de esfuerzos de Cauchy, e es la relación de vacíos y D es el tensor de la tasa de elongación. El tensorT está
deducido en el apéndice A.10 a partir de un marco de referencia asociado al elemento con base ortonormal
que rota con el mismo según el tensor de rotación R (véase apéndice A.6). El tensor de la tasa de elongación
D corresponde a la parte simétrica del gradiente de velocidad ∇v lo que significa que la ecuación constitutiva
4
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
hipoplástica no tiene en cuenta la rotación del material (parte antisimétrica del tensor de gradiente de veloci-
dad ∇v deominada tensor de giro W). Esto implica que el tensor de la tasa de esfuerzos T debe ser objetivo
y por lo tanto debe estar embebido dentro de un marco de referencia corrotacional al elemento de análisis lo
que justifica la selección del tensor de Zaremba-JaunmannT en la ecuación constitutiva hipoplástica.
La ecuación 1.1.1 requiere de una configuración de referencia. Usualmente las deformaciones están ex-
presadas a partir de la configuración inicial que es aquella mediante la cual el material está libre totalmente
de los esfuerzos y deformaciones. No obstante un elemento de suelo está sometido generalmente a presiones
geostáticas y a deformaciones por consolidación lo que hace de la configuración inicial una condición díficil
de alcanzar. Para resolver el problema, se establece la configuración actual como configuración de referen-
cia de manera que se va solucionando la ecuación constitutiva por incrementos. Aunque la selección de la
configuración actual como la de referencia es menos precisa para el caso de pequeñas deformaciones, es una
configuración que es independiente a la rotación del cuerpo rígido y además representa de mejor manera los
cambios de volumen [8].
1.2. Ecuación hipoplástica en 1D
En este inciso se presenta la deducción de una ecuación hipoplástica para el caso de una compresión oe-
dométrica. Para deducir la ecuación hipoplástica en 1D considérese el ejemplo proporcionado por FELLIN[6].
La curva obtenida a partir de una compresión oedométrica describe pendientes mas altas para la carga que
para descarga (véase figura 1.1.a.). La manera más sencilla de representarlas es trazando dos líneas rectas,
una para carga y otra para descarga tal como muestra la figura 1.1.b. Teniendo en cuenta que la definición
de KOLYMBAS (véase inciso 1.1) establece que la ecuación debe ser de tipo incremental, la representación
del ensayo oedométrico se puede expresar de manera sencilla mediante las siguientes dos ecuaciones dife-
renciales:
Para carga σ =−E1ε (1.2.1)
Para descarga σ = E2ε (1.2.2)
Como las ecuaciones diferenciales 1.2.1 y 1.2.2 representan rectas, entonces son integrables. Si se integran
se puede llegar a las siguientes expresiones:
Para carga σ =−E1ε =−E1
2ε− E2
2ε +
E2
2ε− E1
2ε (1.2.3)
Para descarga σ = E2ε =E1
2ε +
E2
2ε +
E2
2ε− E1
2ε (1.2.4)
5
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
−300−200−1000
−1
−0.5
0
σ [kN/m2]
ε [%
]
Experiment
unloading
loading
(a) Ensayo oedométrico con arena suelta. Tomado de[6].
−300−200−1000
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
σ [kN/m2]
ε [%
]
E2
σmax
εmax
E1
σ0
(b) Representación del ensayo oedométrico de la fi-gura a. Tomado de [6].
Figura 1.1: Resultado de compresión oedométrica.
Finalmente se pueden combinar las ecuaciones 1.2.3 y 3.2.9 en la siguiente expresión:
σ =E1 +E2
2ε +
E2−E1
2‖ ε ‖ (1.2.5)
La Hipoplasticidad describe curvas no lineales descritas a través de una rigidez que es dependiente del
estado de esfuerzo y deformación (véase sección 1.1). Las ecuaciones anteriores representan líneas rectas
para carga y descarga y por lo tanto no corresponden a un modelo hipoplástico. FELLIN[6] publicó una
ecuación hipoplástica en 1D muy sencilla estableciendo una rigidez proporcional a los esfuerzos de la forma:
Para carga E1 = C1σ (1.2.6)
Para descarga E2 = C2σ (1.2.7)
Las anteriores ecuaciones conllevan a replantear la ecuación 1.2.5 de la siguiente manera:
σ = C1σε +C2σ ‖ ε ‖ (1.2.8)
Como las condiciones son oedométricas entonces el diferencial de la relación de vacíos de se relaciona con
la deformación ε mediante la expresión de = (1 + e0)dε , y este a su vez se relaciona con el diferencial
de esfuerzo dσ con la expresión dσ = −1+ e0
Ccσdε . Teniendo en cuenta que la rigidez es proporcional al
esfuerzo se puede llegar a deducir las siguientes ecuaciones con ayuda de las anteriores expresiones y la
ecuación 1.2.8:
C1−C2 =−1+ e0
Ccpara carga (1.2.9)
C1 +C2 =−1+ e0
Cspara descarga (1.2.10)
6
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
−300−200−1000
−1
−0.5
0
σ [kN/m2]
ε [%
]
ExperimentHypoplasticity
Figura 1.2: Simulación de ensayo oedométrico con σ0=-3.4 kPa, C1=-775, C2=-433. Tomado de [6].
Despejando las constantes C1 y C2:
C1 =−1+ e0
2Cs +Cc
CcCs(1.2.11)
C2 =−1+ e0
2Cc−Cs
CcCs(1.2.12)
Si se reemplazan las constantes C1 y C2 en la ecuación 1.2.8 se puede llegar a una expresión que describe la
curva oedométrica. Esta expresión es la que se presenta a continuación:
σ =−1+ e0
2Cs +Cc
CcCsσε− 1+ e0
2Cc−Cs
CcCsσ ‖ ε ‖ (1.2.13)
FELLIN presenta la simulación de un ensayo oedométrico utilizando la ecuación 1.2.13 para σ0=-3.4 kPa,
C1=-775, C2=-433. La curva simulada se presenta en la figura 1.2. Nótese que la relación entre los esfuerzos
y deformaciones no es lineal, y que se utiliza una sola ecuación para el caso de carga y descarga.
1.3. Ecuaciones constitutivas hipoplásticas básicas por Kolymbas y por WuWei
Las ecuaciones formuladas por KOLYMBAS[14](1985) y WU WEI[31](1992) utilizan ecuaciones dife-
renciales no integrables de la forma PFAFFIAN para encontrar una expresión que introduzca la dependencia
de los esfuerzos del material con la historia de las deformaciones. La forma PFAFFIAN corresponde a la
ecuación diferencial que contenga la siguiente estructura:
y =n
∑k=1
aik(x1,x2, ...,xn)∂xk (1.3.1)
7
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
donde aik son coeficientes numéricos que dependen del material. Esta ecuación se puede reescribir de la
siguiente forma:
y = a1∂x1 +a2∂x2 + ...+an∂xn (1.3.2)
lo que sugiere que la ecuación es la suma de los incrementos ∂xk y como no es integrable no se puede
obtener una función única y = f (x) (contrario para el modelo que relaciona σ y ε de manera lineal que se
presenta en el inciso 1.2). Para el caso de la mecánica de materiales se reemplazan y con y = σ y x con
x = ε convirtiéndose la ecuación 1.3.2 en σ = a1∂ε1 +a2∂ε2 + ...+an∂εn. En notación tensorial la anterior
ecuación es incremental de la forma:T = h(D) (1.3.3)
Ahora, existen tres aspectos básicos que conllevan a reformular la ecuación 1.3.3[15]. Lo primero es que la
rigidez del material no es lineal. Las curvas de ensayos oedométricos en el espacio e vs. log(p) demuestran
claramente que la rigidez dσ/dε es mayor para carga que para descarga y varía punto a punto. Esto implica
que la ecuación constitutiva no depende solo de D sino también del estado de esfuerzos T y por lo tanto se
debe replantear con la forma:T = h(D,T) (1.3.4)
Lo segundo es que la ecuación debe cumplir con el principio del comportamiento proporcional del suelo
estudiado por GOLDSCHEIDER[7] que establece que las "trayectorias de deformaciones proporcionales que
inician desde un estado libre de esfuerzo están conectadas a trayectorias de esfuerzos proporcionales. Si el
estado inicial no es libre de esfuerzos, la trayectoria se aproxima de manera asintótica a la trayectoria con
estado inicial libre de esfuerzos."1 Lo anterior se ilustra en la figura 1.3. El principio del comportamiento
e j
e i
Trayector
ia de
deform
aciones
proporcionales
s
(a) Trayectoria de deformacionesproporcionales
s j
s i
con
estado
incial
s1=s
2=
s3=0s 1=
s 2=s 3=0
(b) Trayectorias de esfuerzos segúna) estado inicial libre de esfuerzos.b) estado inicial sometido a esfuer-zos.
Figura 1.3: Principio del comportamiento proporcional del suelo. Adaptada de [15]
proporcional del suelo implica que si se aplica una tasa de elongación constante D se debe obtener una
trayectoria de esfuerzo proporcional que pasa por el origen en el espacio de los esfuerzos σi−σ j−σk (véase
1Fuente: [15]. Traducido de inglés a español por el autor.
8
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
figura 1.3). Para lograrlo la ecuación debe ser homogénea de la forma:
T = h(D,λT) = λ
nh(D,T) (1.3.5)
El grado de homogeneidad denotado por el exponente n debe ser igual a 1 para que las curvas de esfuerzos-
deformación normalizadas coincidan y el ángulo de fricción no varíe con respecto a la rigidez[15].
Lo tercero es la suposición de un material que no esté afectado por cambios en la tasa de deformación D.
Este problema se puede solucionar haciendo que la tasa de esfuerzo sea proporcional a la tasa de deforma-
ción. Esto es, si por ejemplo se deforma el material el doble de rápido, la tasa de esfuerzo también se debe
multiplicar por 2 y de esta manera la curva que describe la ecuación constitutiva no se altera. Matemática-
mente es:
h(T,λD) = λh(T,D) = λT (1.3.6)
Con esta última ecuación (1.3.6) se infiere que la ecuación constitutiva debe ser homógenea de primer orden
en D. Entonces en conclusión se debe deducir una ecuación constitutiva que cumpla con las siguientes
restricciones matemáticas:
1. Es de tipo incremental.
2. Es no lineal en D.
3. Es homogénea de primer orden en D.
4. Es homogénea de primer orden en T.
Volviendo a la ecuación con la forma PFAFFIAN 1.3.2, para el caso de la ecuación hipoplásticaT = h(D,T)
con tasa de esfuerzo objetivoT y cantidades tensoriales simétricas T y D se puede utilizar el teorema de
representación general que para el caso de una ecuación tensorial isotrópica (independiente del marco de
referencia)[30] se expresa de la siguiente manera[15]:
h(T,D = ψ11+ψ2T+ψ3D+ψ4T2 +ψ5D2 +ψ6(TD+DT)
+ψ7(TD2 +D2T)+ψ8(T2D+DT2)+ψ9(T2D2−D2T2) (1.3.7)
donde ψi son cantidades escalares e invariantes en función de los tensores T y D y pueden tomar los valores2:
ψi = ψi
(trT, trT2, trT3, trD, trD2, trD3, trTD, trT2D, trTD2, trT2D2
)(1.3.8)
Por ensayo y error se establecieron ecuaciones hipoplásticas que cumplen con las restricciones menciona-
das anteriormente. Por ejemplo, KOLYMBAS seleccionó unas funciones candidatas que combinó de manera
2tomado de [19]
9
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
lineal con algunos términos de la ecuación 1.3.3 también denominados generadores, y cumpliendo con las
restricciones formuladas anteriormente experimentó con diversas expresiones hasta concluir con la siguiente
ecuación constitutiva(1985)[15]:
T = C1
12(TD+DT)−C2tr(TD)1+
[C3T+C4
T2
trT
]√trD2 (1.3.9)
que es lo mismo que:
T = C1
12(TD+DT)−C21(T : D)+
[C3T+C4
T2
trT
]‖ D ‖ (1.3.10)
La ecuación propuesta por WU WEI (1992) [31] fué deducida de la misma manera con el intento de mejorar
el comportamiento mecánico simulado. La ecuación de WU WEI se presenta a continuación:
T = C1(trT)D+C2
trTDtrT
T+C3T2
trT
√trD2 +C4
T∗2
trT
√trD2 (1.3.11)
donde T∗ corresponde al esfuerzo desviador definido como T∗ = T− 13(trT1), y las constantes del material
C1, C2, C3 y C4 definen su comportamiento mecánico y se pueden obtener a partir del estado crítico del
suelo[15].
Las ecuaciones propuestas por KOLYMBAS(1.3.9) y WU WEI(1.3.11) son de tipo incremental y no lineal
en D. La homogeneidad de la ecuación con grado 1 en D y T se puede comprobar fácilmente si se tiene en
cuenta que:
tr(αT) = αtrT
tr(αTD) = αtr(TD)
αT∗ = αT− 13
tr(αT)1
(1.3.12)
llegando a la conclusión que h(T,λD) = h(λT,D) = λT. El siguiente paso es deducir la forma general
de una ecuación hipoplástica a partir de las ecuaciones de WU WEI. La ecuación constitutiva que propuso
(1.3.11) se puede reescribir de la siguiente forma:
T = (C1trTI+C2T⊗T) : D+
(C3
1trT
T ·T+C41
trTT∗ ·T∗
)‖ D ‖ (1.3.13)
donde I es el tensor de identidad de 4o. orden (véase apéndice A.3). Si se analiza la ecuación 1.3.13 se puede
deducir que el primer sumando corresponde a la multiplicación con doble contracción de un tensor de 4.o
orden con uno de 2.o orden y como resultado se obtiene un tensor de segundo orden que es exactamente
igual a la suma de los dos primeros sumandos de la ecuación 1.3.11. El último sumando corresponde a la
multiplicación entre dos tensores de segundo orden que es equivalente a la suma de los últimos dos sumando
10
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
de la ecuación 1.3.11. Si se establece un tensor L = C1tr(T)I +C2T⊗T y un tensor N = C31
tr(T)T ·T +C4
1tr(T)T∗ ·T∗ entonces se puede reescribir la ecuación 1.3.13 de la forma:
T = L : D+N ‖ D ‖ (1.3.14)
lo que significa que la ecuación hipoplástica tiene un sumando lineal en D denotado por L y un sumando no
lineal en D denotado por N. Nótese que se puede realizar el mismo análisis con la ecuación 1.3.10 propuesta
por KOLYMBAS. Más simplificado aún, si se establece un tensor E = L+N⊗~D donde ~D =D‖ D ‖ entonces
la ecuación 1.3.14 puede reescribirse mediante la siguiente expresión:
T = E : D (1.3.15)
1.4. Envolventes de respuesta de las ecuaciones hipoplásticas
Las envolventes de respuesta fueron introducidas por GUDEHUS[10] para evaluar el desempeño de un
modelo constitutivo. Consiste en analizar la trayectoria de esfuerzos T y la tasa de esfuerzoT a partir de una
trayectoria de tasa de elongación D con norma euclidiana constante ‖D ‖= kte en toda dirección. GUDEHUS
propuso ‖ D ‖= 1 en el plano de RENDULIC para evaluar las trayectorias de esfuerzo, es decir un círculo en
el plano D11 vs.√
2D22. El hecho de ser evaluadas sobre el plano de RENDULIC implica que las condiciones
son simétricas con respecto al eje, es decir D22 = D33 y por lo tanto T22 = T33 (véase figura 1.4.c). GUDEHUS
demostró que la relación de las envolventes de respuesta para la trayectoria impuesta de ‖D ‖= 1 corresponde
a una elipse. La figura 1.4.a muestra la trayectoria de la tasa de elongación D que propone GUDEHUS y su
respectiva envolvente de respuesta se presenta en la figura 1.4.b. El plano de RENDULIC es el que se muestra
en la figura 1.4.c y es válido solo para la condición D22 = D33.
Para evaluar las envolventes de respuesta con Hipoplasticidad se realiza el siguiente procedimiento[10].
La condición ‖D ‖= 1 en el plano de RENDULIC conlleva a establecer el siguiente tensor de tasa de elonga-
ción D con parámetro α:
D =
−sin(α) 0 0
0 −cos(α)/√
2 0
0 0 −cos(α)/√
2
(1.4.1)
que corresponde a la ecuación paramétrica de un círculo bajo simetría axial (D22 = D33). Igualmente se
puede evaluar la condición ‖ D ‖= 1 en el espacio principal D11,D22,D33. El resultado es una esfera con
centro en el origen y con radio a = 1 que conlleva a expresar el tensor D con las ecuaciones parámetricas de
11
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
-D222
-D11
D
(a) Trayectorias de la tasa de elongaciónD en el plano de RENDULIC
-T22,
-T222
-T11,-T11
2
(b) Envolvente de respuesta
Plano de
Rendulic
q 22
q 22
q 11
(c) Plano de RENDULIC para estado de esfuerzossimétrico con respecto al eje principal
Z
X Y
P
O θφ
(d) Se señalan los parámetros θ y φ de lasecuaciones paramétricas de una esfera
Figura 1.4: Envolventes de respuesta
una esfera con parámetros θ y φ que se señalan en la figura 1.4.d como se muestra a continuación:
D =
cos(θ)cos(φ) 0 0
0 cos(θ)sin(φ) 0
0 0 sin(φ)
(1.4.2)
Según la figura 1.4.d el parámetro θ tiene por rango [−π/2,π/2] y el parámetro φ tiene por rango [0,2π].
La programación de las envolventes de respuesta en el plano de RENDULIC y en el espacio T11,T22,T33
se puede realizar fácilmente en MATHEMATICA. En el apéndice B.1 se presenta la programación utilizada
la ecuación de WU WEI (ecuación 1.3.11) para el caso de T11 = T22 = T33 = −100 y con las constantes
del material C1 = −106,5, C2 = −801,5, C3 = −797,1 y C4 = 1077,73. Los resultados se presentan en la
3Las constantes del material utilizadas para graficar las envolventes de respuesta son las que presenta el texto [15], capítulo 7.
12
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
figura 1.5. Las envolventes de respuesta generadas con ecuaciones hipoplásticas demuestran ser elipses tal
−1 −0.5 0.5 1è!!!2 D2
−1
−0.5
0.5
1D1
−1−0.5
00.5
1D3
−1
−0.50
0.51
D2
−1
−0.5
0
0.5
1
D1
−1−0.5
00.5D3
1
−0.50
0.5D2
−80000−60000−40000−20000 20000 40000è!!!2 T2
−80000
−60000
−40000
−20000
20000
40000
T1
(a) ‖D‖ = 1 en el plano de RENDULIC
D1,√
D2
−1 −0.5 0.5 1è!!!2 D2
−1
−0.5
0.5
1D1
−1−0.5
00.5
1D3
−1
−0.50
0.51
D2
−1
−0.5
0
0.5
1
D1
−1−0.5
00.5D3
1
−0.50
0.5D2
−80000−60000−40000−20000 20000 40000è!!!2 T2
−80000
−60000
−40000
−20000
20000
40000
T1
(b) Envolvente de respuesta en el plano de RENDULIC
T1,√
T2
−1 −0.5 0.5 1è!!!2 D2
−1
−0.5
0.5
1D1
−1−0.5
00.5
1D3
−1
−0.50
0.51
D2
−1
−0.5
0
0.5
1
D1
−1−0.5
00.5D3
1
−0.50
0.5D2
−80000−60000−40000−20000 20000 40000è!!!2 T2
−80000
−60000
−40000
−20000
20000
40000
T1
(c) ‖D‖= 1 en el espacio principal D1,D2,D3
400000
−40000−80000
T3
400000
−40000
−80000
T2
40000
0
−40000
−80000
T1
0−40000
−80000
T3
0
−40000
80000
T2
(d) Envolvente de respuesta en el espacio princi-pal T1,T2,T3
Figura 1.5: Envolventes de respuesta mediante la ecuación de WU WEI con parámetros C1 =−106,5, C2 =−801,5, C3 =−797,1 y C4 = 1077,7 y condición inicial T11 = T22 = T33 =−100.
como se observan en el comportamiento de los suelos[10]. Aunque las elipses se pueden demostrar median-
te la observación de resultados experimentales una explicación a través de la mecánica de los suelos no se
ha podido establecer aún[19]. Otros modelos constitutivos presentan envolventes con trayectorias disconti-
nuas, linealizadas[10] o incluso con esquinas[29]. La simulación de envolventes de respuestas elípticas en la
Hipoplasticidad se atribuye como una de sus ventajas con respecto a otros modelos constitutivos.
13
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
1.5. Ecuación constitutiva hipoplástica de Wolffersdorff
La ecuación propuesta por WOLLFERSDORFF (1996)[33] introduce el comportamiento asintótico de
los suelos al estado crítico según lo describe BAUER, los factores de picnotropía y barotropía propuestos
por GUDEHUS, la pérdida de memoria del suelo y la superficie de fluencia propuesta por MATSUOKA-
NAKAI [17]. La ecuación constitutiva pretende mejorar la formulación matemática del modelo introduciendo
4 constantes del material que dependen de los niveles de esfuerzos y las relaciones de vacíos y otras 4
constantes de calibración que son invariantes para un material con cierta granulometría y con ciertas formas
de grano en particular[33].
La versión propuesta por KOLYMBAS (ecuación 1.3.9) utilizó como variable de estado el tensor de es-
fuerzos de Cauchy T. Posteriormente WEI agregó como variable de estado la relación de vacíos e. WOLF-
FERSDORFF mantiene las variables de estado e y T y propone una ecuación incremental con la formaT = F(T,e,D). Su ecuación tiene en cuenta la observación de GUDEHUS y BAUER quienes propusieron
para la ecuación constitutiva una expresiónT = F expresada de la siguiente manera:
T = fb fe(LD+ fdN‖D‖) (1.5.1)
donde fb y fd son factores de barotropía y fe es el factor de picnotropía4. El factor fb describe la dependencia
del comportamiento del suelo con respecto a las presiones de confinamiento, y por lo tanto depende de la
trT. El factor fe aporta a la ecuación la dependencia del comportamiento con respecto a la relación de vacíos
y por lo tanto también depende de e y trT. Para simplificar la ecuación se define el factor fs = fe fb que
depende a la vez de trT y e. El término L = L[D] es lineal en D y por lo tanto depende del tensor D y del
tensor T definido como T = T/trT que es adimensional y coaxial con T5. Según lo anterior la ecuación 1.5.1
se puede reescribir señalando la dependencia de cada variable como se muestra a continuación[33]:
F := fb(trT,e) fe(trT,e)(
L(T,D)+ fd(tr(T),e)N(T)‖D‖)
(1.5.2)
En las proximas secciones se explican los estados asintóticos del suelo y la superficie de fluencia MATSUOKA-
NAKAI, condiciones que se tuvieron en cuenta para deducir la ecuación constitutiva según WOLFFERSDORF.
1.5.1. Estados asintóticos del suelo o atractores
Para desarrollar la ecuación constitutiva WOLFFERSDORFF tuvo en cuenta los tres estados asintóticos del
suelo también denominados atractores descritos por GUDEHUS[9] que se refieren a la pérdida de memoria
o swept out of memory, el estado crítico y los estados criptoplásticos. A continuación se explicarán los dos
4Se entiende por barotropía y picnotropía la dependencia del comportamiento mecánico del suelo por la densidad o por el estadode presiones respectivamente. Los nombres picnotropía y barotropía fueron propuestos por Kolymbas.
5Coaxial implica que los eigenvalores de ambos tensores son paralelos y por lo tanto el producto de los tensores es conmutativo
14
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
primeros atractores:
Estado límite con pérdida de memoria. El estado límite del suelo (o estado pico) implica queT =
Tp =
0. Este estado se puede alcanzar mediante trayectorias de esfuerzos proporcionales a partir de trayectorias
proporcionales de deformación constante. Al alcanzar la condición límite con T = Tp y D = Dp (donde
el subíndice p denota estado límite o pico), la relación de vacíos para este estado ep se localiza entre las
relaciones de vacíos máxima ei y del estado crítico ec . Bajo esta condición los factores fd y fe son constantes.
Los valores ei y ec son los valores máximos y mínimos de la relación de vacíos para un estado de esfuerzo
con trT. Para el estado inicial T11 = T22 = T33 = 0 las relaciones de vacíos se denotan con un subíndice
"0"(p.e. ei0, ed0, ec0). El comportamiento típico de las relaciones de vacíos características se muestran en la
figura 1.6. La ecuación que conecta el estado de esfuerzo con la relación de vacíos máxima ei y mínima ec
se conoce como la Ley de Bauer y se presenta a continuación.
ei
ei0=
ec
ec0=
ed
ed0= exp
[−(− trT
hs
)n](1.5.3)
donde hs y n son constantes del material. hs corresponde a la rigidez de la fase sólida del material y n
corresponde al exponente.
-T22,
-T222
-T11,-T11
2
ei0
ec0
ed0
ei
ec
ed
ln(-trT)
e
Figura 1.6: Curva típica de las relaciones de vacíos máxima, mínima y crítica vs. esfuerzo σ
Es importante senalar que la ley de BAUER se tiene en cuenta en la ecuación constitutiva según WOLF-
FERSDORF.
Estado crítico. Para esta condición se alcanza el estado de esfuerzo crítico Tc que suponiendo volumen
constante o deformación isocórica el estado de esfuerzo Tc permanece constante y concecuentemente su
cambio con respecto al tiempoT = 0. La condición de volumen constante conlleva a establecer lo siguiente
15
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
para el estado crítico:
T = 0 (porque el estado de esfuerzo permanece constante)
e = 0 (Por ser a volumen constante)
trDc = 0 (Por ser volumen constante)
e = ec T = Tc (1.5.4)
Si se establece que al alcanzar el estado crítico fd = 1 y teniendo en cuenta la ecuación 1.3.14 se puede
deducir una expresión para−→Dc de la siguiente forma:
T = L : D+N‖D‖,T =
Tc = 0, D = Dc,
0 = L : Dc +N‖Dc‖,L : Dc =−N‖Dc‖,
L−1 : Dc =−L−1N ‖ Dc ‖,−→Dc =
D‖ D ‖ =−L−1N (1.5.5)
Para simplificar un poco, NIEMUNIS introduce el tensor B definido como:
B =−~Dc = L−1 : N (1.5.6)
La ecuación 1.5.5 implica que existe solo una dirección para el tensor−→Dc bajo la condición de estado crítico.
Lo anterior se puede interpretar como la regla de flujo para la Hipoplasticidad que a diferencia de otros
modelos constitutivos no se necesita introducir para deducir la ecuación, en cambio resulta de la expresión
al introducir las condiciones de estado crítico (véase ecuaciones 1.5.4). Ahora, como el tensor ~Dc = −B es
direccional entonces:
‖ ~Dc ‖2= ‖ −B ‖2 = 1. (1.5.7)
La condición 1.5.7 se cumple solo en el estado crítico. Teniendo en cuenta que ‖ ~Dc ‖2= tr~Dc
2y la ecuación
de la regla de flujo (1.5.5) se puede deducir la siguiente expresión para la superficie límite para estado crítico
fc:
fc := tr~Dc2−1 = 0 = tr(−L−1N)2 (1.5.8)
6En otras palabras, el resultado de la ecuación 1.5.8 bajo el espacio T11,T22,T33 corresponde a la superficie
límite del estado crítico generado por la ecuación hipoplástica. Por otro lado, la condición del estado crítico
6El símbolo := denota asignación de una función a una nueva variable.
16
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
Plano de
Rendulic
q3
q2
T1
T2
T3
T1=T
2=T3
T
y
q
-T2, -T2
-T1,-T1
2
-T11
-T22 -T33
Criterio Matsuoka/Nakai jc=40°
Criterio Mohr/Coulomb jc=40°
jc=30°
jc=20°
Figura 1.7: Criterio de falla MATSUOKA-NAKAI comparado con el criterio de falla MOHR-COULOMB
supone que no existen cambios en el volumen. Entonces trDc = 0. Definiendo gc como la tr~Dc entonces:
gc := tr~Dc = tr(−L−1N) = 0 (1.5.9)
La condición gc describe una superficie de esfuerzos para todos los Tc con la condición isocórica tr~Dc = 0.
Luego, para la condición de estado crítico las dos condiciones fc = 0 y gc = 0 deben ser satisfechas. Para
hacerlo se necesitan formular funciones tensoriales de L y N que cumplan con estas condiciones y con
superficie de fluencia de MATSUOKA-NAKAI.
1.5.2. Superficie de fluencia de Matsuoka-Nakai
La superficie de fluencia MATSUOKA-NAKAI circusncribe la pirámide propuesta por MOHR-COULOMB
de manera ajustada (véase figura 1.7). La implementación del criterio de falla MATSUOKA-NAKAI se había
realizado en otras ecuaciones constitutivas propuestas por VERMEER P. (1980) y NOVA R. (1987). Uno de
los propósitos de la ecuación de WOLFFERSDORFF es generar una superficie de fluencia que coincida con la
superficie propuesta por M-N [17] mediante la ecuación propuesta por VEERMER:
yM−N(T) =− I1I2
I3+
9− sin2(ϕc)−1+ sin2(ϕc)
= 0 (1.5.10)
introduciendo las invariantes de esfuerzo
I1 = trT
I2 =12[T : T− (I1)2]
I3 = det(T)
(1.5.11)
Para los ejes principales se puede deducir el siguiente sistemas de ecuaciones de las invariantes.
17
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
I1 = T11 +T22 +T33
I2 =−T11T22−T11T33−T22T33
I3 = T11T22T33
(1.5.12)
Con la ecuación 1.5.10 y las ecuaciones 1.5.12 se puede despejar T11 llegando a la siguiente expresión:
(T22 +T33)T112 +(
T222 +T33
2 +3T22T33− T22T33
K
)T11 +(T22T33
2 +T22T332) = 0 (1.5.13)
donde K = (9−sin2(ϕc))/(−1+sin2(ϕc)). La ecuación 1.5.13 es una cuadrática de la forma ax2 +bx+c = 0
y tiene soluciones complejas y reales para cada T22,T33. El conjunto de respuesta reales describen en el
espacio de esfuerzos principales T11, T22, T33 la superficie de fluencia MATSUOKA-NAKAI. La ecuación se
puede programar fácilmente con MATHEMATICA. La gráfica de la superficie límite de M-N para un ϕc = 30
en el espacio principal T1, T2 y T3 se presenta en la figura 1.8. El script dearrollado para graficar la superficie
de fluencia se anexa en el apéndice B.2.
025
5075
100
0
25
5075
100
0
25
50
75
100
025
5075
0
25
5075
T2
T1
T1
T2
T3
Figura 1.8: Criterio de falla Matsuoka/Nakai programado en MATHEMATICA
18
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
1.5.3. Algunos aspectos de la deducción de la ecuación de Wolffersdorff
Para encontrar las funciones L y N, WOLFFERSDORFF utiliza las siguientes expresiones propuestas por
WU [31]:
L : = D+B1tr(TD)T (1.5.14)
N : = B2T2 +B3T∗2 (1.5.15)
La ecuación constitutiva es deducida a partir de los estados asintóticos, la ley de BAUER y la superficie de
fluencia de M-N. Los coeficientes B1, B2 y B3 se pueden despejar teniendo en cuenta las ecuaciones para el
estado crítico 1.5.9, 1.5.8 y la condición gc = fc. La solución lo realiza introudiciendo la variable α que está
en función del ángulo de fricción crítico ϕc de la forma:
αc2 =
4sin2(ϕc)3(3− sin(ϕ))2 (1.5.16)
Con la ecuación 1.5.16 y las condiciones mencionadas se puede llegar a la siguiente expresión para el estado
crítico[33]:T = fb
[D+
12αc
2 tr(TcD)Tc +1√2αc
(Tc + T∗c) ‖ D ‖]
(1.5.17)
Ahora, para introducir el criterio de falla de M-N, WOLFFERSDORF convierte la ecuación 1.5.17 a:
T = fb
[XD+
12αc
2Y tr(TcD)Tc +1√2αc
Z(Tc + T∗c) ‖ D ‖]
(1.5.18)
siendo X , Y y Z factores desconocidos de la ecuación. Para solucionarlo utiliza las condiciones establecidas
en las ecuaciones 1.5.4, la ley de BAUER y la ecuación de la superficie M-N. De esta forma el sistema se
convierte en tres ecuaciones y tres incógnitas y por lo tanto es determinado. La solución la presenta en [33]
llegando a la siguiente expresión para el estado crítico:
T = fb
1trT2
c
[F2D+a2tr(TcD)Tc +aF(Tc + T∗c) ‖ D ‖] (1.5.19)
donde:
a =√
3(3− sin(ϕc))2√
2sin(ϕc)(1.5.20)
F =
√18
tan2(ψ)+2− tan2(ψ)
2+√
2tan(ψ)cos(3θ)− 1
2√
2tan(ψ) (1.5.21)
tan(ψ) =√
3 ‖ T∗c ‖ (1.5.22)
cos(3θ) =−√
6tr(T∗c)
[tr(T∗c)]3/2(1.5.23)
19
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
El ángulo θ y el ángulo ψ están señalados geométricamente en la figura 1.9. Se puede demostrar que para
compresión triaxial y estado de esfuerzo hidrostáticos F = 1. Para el caso de extensión triaxial el factor F
decrece con la oblicuidad del tensor T de la forma F = 1+q/(3p).
-
T11=
-T
22=
-T
33
T
y
q
-T
D2=-D1 /2
T2
D2=-D1 /2
-T11
-T22
-T33
Figura 1.9: Ángulo de lode y ángulo ψ
1.5.4. Ecuacion constitutiva final por Wolffersdorff
La ecuación constitutiva final introduciendo los factores de barotropía y picnotropía propuestos por GU-
DEHUS y BAUER queda de la siguiente manera:
T = fa fe
1trT2
[F2D+a2tr(TD)T+aF fd(T+ T∗) ‖ D ‖] (1.5.24)
GUDEHUS[10] y BAUER [3] propusieron las siguientes expresiones para los factores de barotropía y picno-
tropía teniendo en cuenta la ley de BAUER y el comportamiento del suelo en el estado límite y crítico:
fe =(ec
e
)(1.5.25)
fd =(
e− ed
ec− ed
)α
(1.5.26)
fb =(
ei0
ec0
)β hs
n1+ ei
ei
(−trThs
)1−n[3+a2−a
√3(
eio− ed0
ec0− ed0
)α
]−1
(1.5.27)
fs = fe fb (1.5.28)
20
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
Las ecuaciones 1.5.26 y 1.5.27 introducen las constantes de material α y β a la ecuación constitutiva. La
ecuación 1.5.24 es equivalente a la siguiente expresión:
T =
fa fe
T : Ta2
((Fa
)2
I+ T⊗ T+ fd
(Fa
)(T+ T∗)
)(1.5.29)
Si se establece que:
L =fa fe
T : Ta2
((Fa
)2
I+ T⊗ T
)(1.5.30)
N =fa fe
T : Ta2(
Fa
)(T+ T∗) (1.5.31)
la ecuación 1.5.29 se puede reescribir de la misma forma que 1.3.14:
T = L : D+ fdN ‖ D ‖ (1.5.32)
con excepción del factor fd .
1.6. Invertibilidad de la ecuación hipoplástica
La ecuación hipoplástica de WOLLFERSDORFF se ha expresado hasta ahora de la formaT = F(T,e,D).
En este inciso se mostrará la forma de expresar la misma ecuación pero esta vez despejando D = F(T,e,D)según el algoritmo de DOANH[26]. Sea x =‖ D ‖. Se puede deducir que D = A−Bx siendo A = L−1 :
T y
B = L−1 : N de la siguiente manera:
T = L : D+ fdN ‖ D ‖L−1 :
T = L−1L : D+L−1 : fdN ‖ D ‖
L−1 :T = I : D+L−1 : fdN ‖ D ‖
D = L−1 :T−L−1 : fdN ‖ D ‖
(1.6.1)
de la forma:
D = A−Bx (1.6.2)
Para hallar x se multiplica con doble contracción a ambos lados de la ecuación 1.6.2 para obtener D : D =‖D2 ‖= x2. Se puede demostrar que al desarrollar esta ecuación resulta una cuadrática en función de x como
21
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
se muestra a continuación:
‖ D ‖2= DT : D = (A−Bx)T : (A−Bx)
x2 = AT : A−AT : Bx−BT : Ax+BT : Bx2
(BT : B−1)x2 +(−AT : B−BT : A)x+AT : A = 0
(1.6.3)
que es una cuadrática con la forma ax2 +bx+ c = 0 con:
a = BT : B−1 ; b =−AT : B−BT : A ; c = AT : A (1.6.4)
que es lo mismo que:
a = trB2−1 ; b =−2 · tr(AB) ; c = trA2 (1.6.5)
La solución de la cuadrática es la siguiente:
x1,2 =AT : B
BT : B−1±√(
AT : BBT : B−1
)2
− AT : ABT : B−1
(1.6.6)
Teniendo en cuenta que la norma euclidiana siempre es positiva ‖ D ‖> 0[19] se escoge la raíz cuyo valor
sea mayor a 0. Ahora, en caso de existir dos raíces positivas significa que la ecuación 1.5.29 es invertible con
múltiples soluciones. En caso que existan dos raíces negativas entonces la ecuación 1.5.29 no es invertible.
NIEMUNIS[19] demuestra que estas dos condiciones solo son posibles cuando T se localiza en el borde
o por fuera de la superficie de fluencia respectivamente. Entonces la condición de invertibilidad se puede
simplificar al caso cuando una raiz es positiva y la otra es negativa lo que implica que x1x2 < 0. La anterior
condición se puede evaluar multiplicando las dos raíces y verificando la condición para la cual cumple.
x1x2 =4(A ·B)2−4(A ·B)2 +4A ·A(B ·B−1)
4(B ·B−1)2 =A ·A
B ·B−1< 0 (1.6.7)
Como A ·A > 0 entonces la ecuación 1.5.29 es invertible si y solo si B ·B− 1 < 0. Por otro lado, como
el tensor A = L−1 :T y B = L−1 : N entonces se requiere conocer de antemano el tensor L−1 para poder
invertir la ecuación 1.5.29. La ecuación 1.5.30 muestra que el tensor L−1 se puede descomponer de la forma
H = A+B⊗C y por lo tanto se puede utilizar el teorema de SHERMMAN-MORRISON (véase apéndice A.4).
Recordando la ecuación de L :
L =fs
T : Ta2
((Fa
)2
I+ T⊗ T
)
Para facilitar los cálculos se introducen los factores escalares ζ y ξ que se definen a continuación:
ζ =fs
T : Ta2; ξ =
(Fa
)2
, ∴ L = ζ (ξI+ T⊗ T) ; (1.6.8)
22
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
El teorema de SHERMMAN-MORRISON plantea que si H = A + B⊗C su inversa es la que se muestra a
continuación:
H−1 = A−1 : B : C : A−1(1+λ )−1
donde λ = (C : A−1 : B). Sea:
A = ξI ∴ A−1 =1ξ
I ;
B⊗C = T⊗ T(1.6.9)
Entonces:
A−1 : B⊗C : A−1 =1
ξ 2 I : (T⊗ T) : I =1
ξ 2 (T⊗ T) ;
λ =1ξ
T : (I : T) =1ξ
T : T ;
L−1 =1ζ
(1ξ
I−1
ξ 2 T⊗ T
1+ 1ξ
T : T
) (1.6.10)
Reemplazando con las ecuaciones 1.6.8:
L−1 =T : TF2 fs
(I− T⊗ T
F2
a2 + T : T
)(1.6.11)
Sea κ = 1a2 + T : T7. Para el caso especial de T diagonal con simetría con respecto al eje (T22 = T33) y F = 1
entonces:
L−1 =T : T
fs
1− ˆT112
κ0 0 0 0,5 0 0 0 0,5
0 − ˆT11 ˆT22κ
0 0,5 0 0 0 0 0
0 0 − ˆT11 ˆT22κ
0 0 0 0,5 0 0
0 0,5 0 − ˆT11 ˆT22κ
0 0 0 0 0
0,5 0 0 0 1− ˆT222
κ0 0 0 0,5
1 0 0 0 0 − ˆT11 ˆT22κ
0 0,5 0
0 0 0,5 0 0 0 − ˆT11 ˆT22κ
0 0
0 0 0 0 0 0,5 0 − ˆT11 ˆT22κ
0
0,5 0 0 0 0,5 0 0 0 1− ˆT222
κ
(1.6.12)
7No se debe confundir la variable κ asignada al escalar 1a2 + T : T con el parámetro κ del modelo viscohipoplástico.
23
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
El tensor A = L−1 :T corresponde a:
A =T : Tfsκ
(κ− T 2
11)
T11−2T11T22
T22 0 0
0 (κ−2T222)
T22−T11T22
T11 0
0 0 (κ−2T222)
T22−T11T22
T11
(1.6.13)
y B = L−1 : N :
B =fdaκ
(κ− T 211)(T11 + T11
∗)−2T11T22(T22 + T22
∗) 0 0
(κ−2T222)(T22 + T22
∗)0 −T11T22(T11 + T11
∗) 0
(κ−2T222)(T22 + T22
∗)0 0 −T11T22(T11 + T11
∗)
(1.6.14)
1.7. Parámetros hipoplásticos
Como se mencionó anteriormente la ecuación constitutiva hipoplástica según WOLFFERSDORFF presenta
8 parámetros. En la tabla 1.1 se presenta el símbolo y el nombre de cada parámetro hipoplástico:
Tabla 1.1: Nombres y símbolos de los parámetros hipoplásticosSímbolo Nombre
ϕc Ángulo de fricción crítico con p′ ∼ 0ed0 Relación de vacíos para el estado mas denso con p′ ∼ 0ec0 Relación de vacíos crítica con p′ ∼ 0ei0 Relación de vacíos para el estado mas suelto con p′ ∼ 0hs Dureza del esqueleto granularn Exponente de la ley de compresiónα Exponente de la función de piknotropíaβ Exponente de la función de barotropía
La literatura presenta diversos métodos para la obtención de estos parámetros a partir de ensayos experi-
mentales. Algunos de estos métodos se presentan a continuación:
Ángulo de fricción crítico para p′ ∼ 0: se puede obtener a partir del triaxial drenado, no drenado y
24
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
corte directo. Las siguientes relaciones para el estado crítico puede ser utilizada para despejar ϕc:
sinϕc =σ1−σ2
σ1 +σ2(1.7.1)
M =6sinϕc
3− sinϕc(1.7.2)
donde M es la pendiente de la recta q vs. p′ para el estado crítico (véase figura 1.10.a). Una alternativa es
determinar el ángulo de reposo e igualarlo al ángulo de fricción crítico para p′ ∼ 0 (véase 1.10.b).
-T22 -T33
Criterio Mohr/Coulomb jc=
jc=30°
jc=20°
q
p'
1
M
(a) Esquema de la línea del esta-do crítico en el espacio q vs. p′
jc
(b) Esquema de la determinación del ángu-lo de reposo
Figura 1.10: .
Relación de vacíos crítica para p′ ∼ 0 : con ensayos triaxiales no drenados para estados suelto a me-
dianamente denso con diferentes presiones de confinamiento iniciales y a deformaciones mayores al 20 %.
Otra alternativa es igualar ec0 ≈ emax.
Relación de vacíos para el estado mas suelto y denso con p′ ∼ 0 : la relación de vacíos para el estado
más suelto se puede obtener mediante la relación ei0 ≈ λemax con λ = 1,05− 1,20. La relación de vacíos
para el estado más denso se puede obtener mediante un corte cíclico con amplitud de deformación controlada
'= 10−3. Otra alternativa es igualar ed0 ≈ emin.
Dureza del esquelteo granular hs y exponente de la ley de compresión n: ambos parámetros se pueden
obtener realizando una compresíón oedométrica o isotrópica partiendo desde el estado mas suelto de la
muestra. Para obtener hs y n se puede utilizar la relación ei = ei0 exp[−(
3phs
)].
Exponente de la función de piknotropía α: se obtiene mediante un ensayo triaxial en estaod denso
considerando la relación de vacíos e y el estado de esfuerzo T en el estado pico. Para hallar α se puede
25
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
utilizar las siguientes ecuaciones:
Kp =T1p
T2p=
1+ sinϕp
1− sinϕp, donde sinϕp =
T1pT2p
T1p +T2p;
Id =ec− ep
ec− ed;
tanνp =−D1 +2D2
D1= 2
Kp−4+5AK2p−2AKp
(5Kp−2)(1−2A),
siendo A =a2
(2+Kp)
(1− Kp(4−Kp)
5Kp−2
);
α =
ln
(6
(2+Kp)2 +a2Kp(Kp−1tanνp)a(2+Kp)(5Kp−2)
√4+2(1+ tanνp)2
)ln(1− Id)
(1.7.3)
Exponente de la función de barotropía β : se puede obtener mediante dos curvas de compresión isotrópicas
para distintos relaciones de vacíos iniciales e1 y e2 (véase figura 1.11). El exponente β se puede obtener
mediante la siguiente ecuación:
β =
ln
(Es2(3+a2−a
√3 fd1)
Es1(3+a2−a√
3 fd2)
)
ln(
e1
e2
) ; donde Es = (1+ ei)∆p∆ei
(1.7.4)
-
T11=
-T
22=
-T
33
T
y
q
-T22
-T22
-T33
p'
e10
e20
De1
De2
Dp
Figura 1.11: Esquema de la determinación del β en un ensayo isotrópico.
Otra alternativa es suponer β = 1.
Los rangos que presentan los parámetros de la Hipoplasticidad se presentan en la tabla 1.2.
26
CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
Tabla 1.2: Rangos de los parámetros hipoplásticosParámetro Rango
ϕc 28-40
ed0 0.3-1.0ec0 0.6-1.7ei0 0.7-2.0hs 50-50.000 MPan 0.3-0.6α 0.05-0.3β 1.0-2.0
27
Capítulo 2
Element test con Hipoplasticidad
Se denomina element test a los ensayos que bajo esfuerzos presentan deformaciones homogéneas[15],
suposición bajo la cual se basan los modelos constitutivos. Experimentalmente se ha encontrado que la con-
dición de deformación homogénea se presenta bajo un riguroso procedimiento experimental y solo por parte
del tiempo en el que ocurre el ensayo[15]. Aunque estrictamente las muestras no presentan homogeneidad en
sus deformaciones, se supone lo contrario para ser comparado con las simulaciones realizadas por modelos
constitutivos. Para realizar una simulación, es necesario conocer en primer lugar las condiciones y restriccio-
nes que presenta cada ensayo y en segundo lugar el control del ensayo. Para explicar lo anterior considérese
por ejemplo el ensayo oedemétrico. Es bien conocido la restricción D22 = D33 = 0 para el caso oedométri-
co, y bajo la suposición de deformación cortante nula solo existe un componente en el tensor D diferente
a cero (D11 6= 0). El segundo paso es conocer el control para el ensayo. Para ese caso, lo mas sencillo es
suponer deformación controlada1 lo que se conoce como condiciones de borde cinemáticas. Siguiendo con
el ejemplo del ensayo oedométrico, lo anterior implica que se conoce D11 y se debe hallar el tensor T. Una
vez solucionada, se tienen en cuenta las condiciones iniciales T y e y los parámetros del material y con ellos
se integra numéricamente la ecuación constitutiva por medio de diferencias finitas hasta obtener la curva
de esfuerzos-deformación. En este inciso se presentarán las soluciones para algunos ensayos elementales y
algunos métodos de integración por diferencias finitas de la ecuación constitutiva.
2.1. Solución para tensores de esfuerzo y deformación con simetría axial ysin cortantes
Los element test de compresión oedométrica y compresión triaxial presentan simetría axial (D22 =D33,T22 = T33) y no presentan deformaciones cortantes (T y D tensores diagonales). Esta sección presenta el
1es mas sencillo porque la ecuación constitutiva es explícita enT cuando se conocen para cada e y T el tensor D.
28
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
desarrollo matemático para deducir las expresiones matemáticas con las condiciones anteriores y F = 1.
Con las condiciones de simetría axial y sin deformación cortante, los tensores T y D son:
T =
T11 0 0
0 T22 0
0 0 T22
; y D =
D11 0 0
0 D22 0
0 0 D22
(2.1.1)
Utilizando la ecuación de WOLFFERSDORFF se puede deducir unas expresiones para los tensores L y N.
Un procedimiento propuesto para solucionar estos dos tensores se mostrará a continuación. Desarrollando la
ecuación para L =fa fe
T : Ta2
((Fa
)2
I+ T⊗ T
):
T =
T11 0 0
0 T22 0
0 0 T22
;
T⊗ T =
T 211 0 0 0 0 0 0 0 0
0 T11T22 0 0 0 0 0 0 0
0 0 T11T22 0 0 0 0 0 0
0 0 0 T11T22 0 0 0 0 0
0 0 0 0 T 222 0 0 0 0
0 0 0 0 0 T 222 0 0 0
0 0 0 0 0 0 T11T22 0 0
0 0 0 0 0 0 0 T 222 0
0 0 0 0 0 0 0 0 T 222
(2.1.2)
Entonces el tensor L para las condiciones establecidas es el siguiente:
L =fs
trT
1+a2T 211 0 0 0 0,5 0 0 0 0,5
0 a2T11T22 0 0,5 0 0 0 0 0
0 0 a2T11T22 0 0 0 0,5 0 0
0 0,5 0 a2T11T22 0 0 0 0 0
0,5 0 0 0 1+a2T 222 0 0 0 0,5
0 0 0 0 0 a2T 222 0 0,5 0
0 0 0,5 0 0 0 a2T11T22 0 0
0 0 0 0 0 0,5 0 a2T 222 0
0,5 0 0 0 0,5 0 0 0 1+a2T 222
(2.1.3)
29
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
La multiplicación con doble contracción de L : D es:
L : D =
(1 + a2T 211)D11 +
a2T11T22D220 0
0a2T11T22D11 +(1+a22T 2
22)D220
0 0a2T11T22D11 +(1+a22T 2
22)D22
; (2.1.4)
Un procedimiento similar se puede realizar para hallar el tensor N. Si se tiene en cuenta que Ti +T ∗i =2Ti
trT− 1
3entonces:
N =fs fda(trT)
2T11
trT− 1
30 0
02T22
trT− 1
30
0 02T22
trT− 1
3
(2.1.5)
El siguiente paso es hallar las expresiones para los componentes
T 11 y
T 22. Para hacerlo es necesario tener
en cuenta que para las condiciones establecidas:
trT = T11 +2T22;
T : T =trT2
(trT)2 ;
‖ D ‖=√
D211 +2D2
22
Finalmente se suman los componentes respectivos de la ecuación hipoplástica para hallar
T 11 y
T 22 y sim-
plificando un poco se puede llegar a las siguientes expresiones:
T 11 =
fs(T11 +2T22)2
T 211 +2T 2
22
(D11 +a2 T11D11 +2T22D22
(T11 +2T22)2 T11 + fda3
5T11−2T22
T11 +2T22
√D2
11 +2D222
); (2.1.6)
T 22 =
fs(T11 +2T22)2
T 211 +2T 2
22
(D22 +a2 T11D11 +2T22D22
(T11 +2T22)2 T22 + fda3
4T22−T11
T11 +2T22
√D2
11 +2D222
)(2.1.7)
Dado a que el ensayo de compresión oedométrica y triaxial presentan simetría axial y no presentan defor-
maciones cortantes, las ecuaciones anteriores facilitarán las soluciones para cada uno de estos ensayos. El
siguiente inciso presenta algunos métodos de integración y luego se presentan las soluciones de los element
test para los ensayos de compresión isotrópica, compresión oedométrica, compresión triaxial no drenado y
compresión triaxial drenado.
30
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
2.2. Integración por diferencias finitas
2 El método de integración por diferencias finitas es usado frecuentemente para encontrar una solución
numérica de un medio continuo. Este método consiste en reemplazar las derivadas por aproximaciones en
diferencias finitas y de esa manera se puede solucionar una ecuación diferencial por incrementos. Para expli-
car lo anterior considérese el caso de una dimensión con la función f (t) que muestra la figura 2.1. La idea es
dividir la función f (t) en pequeños segmentos e ir integrando de un punto al siguiente. Ahora supóngase que
se parte desde el punto i y se quiere llegar al punto i+1. Sean fi = f (ti) y fi+1 = f (ti+1). Según la expansión
de TAYLOR:
v
(ee0, p e0)
q
p
q=Mp
‖B‖=1
f(t)
t
Integración
Real
O
A
Figura 2.1: Idealización de la integración por diferencias finitas
fi+1 = fi + f ′i ∆t +(∆t)2
2!f ′′i +
(∆t)3
3!f ′′′i . . . (2.2.1)
donde f ′ es la primera derivada de f (t), f ′′ es a segunda derivada y así sucesivamente. Dado que es muy
díficil solucionar la n-ésima derivada de f (t) para los n>1, entonces la ecuación 2.2.1 se puede aproximar a
los primeros dos términos quedando de esta manera:
fi+1 = fi + f ′i ∆t +E (2.2.2)
donde E = (∆t)2
2! f ′′i + (∆t)3
3! f ′′′i . . . corresponde al conjunto de términos que no se tienen en cuenta y por eso
constituyen el error de la itegración. Si se aproxima el error a su primer término E = (∆t)2
2! f ′′i entonces se
puede concluir por un lado que E ∼ (∆t)2, es decir el error es propocional al cuadrado del tamaño de la
retícula. Por otro lado, el error E ∼ f ′′i , es decir, es proporcional a la curvatura de la función. En este caso se
debe conocer la condición actual f i para encontrar al punto siguiente f i+1 y por esa razón el método se de-
nomina diferencias finitas hacia adelante. Como la condición actual es conocida, entonces la condición f i+1
se puede calcular de manera explícita lo que quiere decir que el término f i+1 aparece totalmente despejado
2La teoría que se presenta en este inciso se realizó consultando las fuentes [34] y [1].
31
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
en la ecuación. Con la ecuación 2.2.1 se puede deducir la siguiente expresión para la primera derivada f ′:
f ′i =fi+1− fi
∆t− ∆t
2!f ′′i −
(∆t)2
3!. . . (2.2.3)
y simplificando se puede llegar a:
f ′i =fi+1− fi
∆t− E
∆t(2.2.4)
donde E∗− E∆t
corresponde al error del truncado, es decir el error que se comente en la primera derivada
por integrar aproximando a los primeros dos términos en la ecuación 2.2.1. Igual que la integración explícita
hacia adelante se puede integrar hacia atrás. El término fi−1 se puede solucionar mediante la expansión de
TAYLOR llegando a la siguiente expresión:
fi−1 = fi− f ′i ∆t +(∆t)2
2!f ′′i −
(∆t)3
3!f ′′′i . . . (2.2.5)
y resolviendo para la primera derivada se llega a :
f ′i−1 = fi−∆t f ′i +(∆t)2
2!f ′′i −
(∆t)3
3!f ′′′i (2.2.6)
que se puede simplificar como:
f ′i−1 = fi−∆t f ′i +E∗∗ (2.2.7)
Con E∗∗ ≈ (∆t)2
2! f ′′i . Entonces se puede concluir que el error obtenido con el método de integración hacia
adelante es similar al error obtenido con el método de integración hacia atrás.
Una solución para disminuir la magnitud del error de integración consiste en tener en cuenta ambos tipos
de integración en uno solo, lo que se conoce como el método de integración de las diferencia finitas medias.
Para tal propósito se restan las ecuaciones 2.2.5 de 2.2.1. De la diferencia resulta:
fi+1− fi−1 = 2∆t f ′i +13(δ t)3 f ′′′i + . . . (2.2.8)
Nótese que al restar las ecuaciones se eliminó el tercer término de la segunda derivada f ′′i y en su lugar ocupa
el término de la tercera derivada f ′′′i . Al despejar la primera derivada de 2.2.8 se obtiene:
f ′i =fi+1− fi−1
2∆t+E∗∗∗ (2.2.9)
donde E∗∗∗ ≈ 16 f ′′′i (∆t). Con este método el error se disminuye con mayor rápidez comparado con los casos
de integración hacia adelante y hacia atrás. Para el caso de la ecuación constitutiva se tiene una función
T = h(T,D,e). Frecuentemente se utiliza la integración hacia adelante para la ecuación constitutiva. Entonces
para resolver las condiciones del próximo incremento, se debe resolver primeroT para la condición actual y
32
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
ln(-T/ Tr)
De
Dr
q
v
p
(ee0, p e0)
Isotaca de
referencia
(e1, p 1, q1)
p e
p e +
q
p
q=Mp
‖B‖=1 Elipse de fluencia
en la isotaca de
referencia para elmismo e
Elipse de fluencia
para el estadoactual
p e
+
p e
(p1, q1)
I
r
q
p
q=Mp
‖B‖=1
q
p
q=Mp
‖B‖=1
p
(Isotaca dereferencia
para q=0)
(ere
Isotaca
referen
para q=
Trayectoria B
Trayectoria C
Trayectoria A
Línea del estado
crítico
v=1+e
p
A
B
C
A
B
C
Isotaca de
referencia para
q=0 (compresión
isotrópica)
OCR=1
f(t)
t
f(t+Δt)
f(t+Δt)
f(t+Δt)Real E
Δf
t t+Δt
IntegraciónReal
f(t)
t
f(t)
f(t-Δt)
f(t-Δt)Real
E
Δf
tt-Δt
Integración
Real
(a) Integración por diferencias finitas haciaadelante.
ln(-T/ Tr)
De
Dr
q
v
p
(ee0, p e0)
Isotaca de
referencia
(e1, p 1, q1)
p e
p e +
q
p
q=Mp
‖B‖=1 Elipse de fluencia
en la isotaca de
referencia para elmismo e
Elipse de fluencia
para el estadoactual
p e
+
p e
(p1, q1)
I
r
q
p
q=Mp
‖B‖=1
q
p
q=Mp
‖B‖=1
p
(Isotaca dereferencia
para q=0)
(ere
Isotaca
referen
para q=
Trayectoria B
Trayectoria C
Trayectoria A
Línea del estado
crítico
v=1+e
p
A
B
C
A
B
C
Isotaca de
referencia para
q=0 (compresión
isotrópica)
OCR=1
f(t)
t
f(t+Δt)
f(t+Δt)
f(t+Δt)Real E
Δf
t t+Δt
IntegraciónReal
f(t)
t
f(t)
f(t-Δt)
f(t-Δt)Real
E
Δf
tt-Δt
Integración
Real
(b) SIntegración por diferencias finitas haciaatrás.
t
f(t+Δt)
f(t+Δt)
f(t+Δt)Real E
Δf
t t+Δt
f(t)
t
f(t)
f(t-Δt)
f(t-Δt)Real
E
Δf
tt-Δt
Integración
Real
f(t)
t
f(t)
f(t+Δt) E
t t+Δt
hacia adelanteReal
hacia atrásMedias
(c) SIntegración por diferencias finitas me-dias.
Figura 2.2: Integración por diferencias finitas.
luego:
T(i+1) = T(i) +T
(i)∆t (2.2.10)
El caso especial de compresión con simetría axial queda simplificado a las ecuaciones:
T
(i+1)
11 = T (i)11 +
T
(i)
11∆t (2.2.11)
T(i+1)
22 = T (i)22 +
T
(i)
22∆t (2.2.12)
e(i+1) = e(i) + e(i)∆t (2.2.13)
La integración hacia atrás corresponde a la siguiente ecuación:
T(i+1) = T(i) +T
(i+1)∆t (2.2.14)
33
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
y para el caso de compresión con simetría axial:
T
(i+1)
11 = T (i)11 +
T
(i+1)
11 ∆t (2.2.15)
T(i+1)
22 = T (i)22 +
T
(i+1)
22 ∆t (2.2.16)
e(i+1) = e(i) + e(i+1)∆t (2.2.17)
Las ecuaciones anteriores implican que se debe conocer los valores paraT
(i+1)y e(i+1). Esto obliga a realizar
una solución implícita de las ecuaciones.
El último caso corresponde a las diferencias medias que corresponde a la ecuación:
T(i+1) = T(i) +12
( T
(i)+T
(i+1))
∆t (2.2.18)
que para condiciones de simetría axial se simplifica a:
T
(i+1)
11 = T (i)11 +
12
(
T(i)
11 +
T(i+1)
11
)∆t (2.2.19)
T
(i+1)
22 = T (i)22 +
12
(
T(i)
22 +
T(i+1)
22
)∆t (2.2.20)
e(i+1) = e(i) +12
(e(i) + e(i+1)
)∆t (2.2.21)
2.3. Compresión isotrópica
La compresión isotrópica establece esfuerzos y deformaciones iguales en las tres direcciones (véase
esquema de la figura 2.3). Lo anterior implica un tensor T y D de la siguiente manera:
T =
T11 0 0
0 T11 0
0 0 T11
; y D =
D11 0 0
0 D11 0
0 0 D11
(2.3.1)
Reemplazando en las ecuaciones 2.5.2 y 2.5.3 se puede deducir la siguiente relación hipoplástica para com-
presión isotrópica:
T11 = 3 fs
(D11 +
a2
3D11 + fd
a√3‖ D11 ‖
)(2.3.2)
donde ‖ D11 ‖ denota el valor absoluto de D11 =√
D211.
34
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
-T22,
-T222
T11
2
ei
ec
ed
ln(-trT)
q 22
x1
x2
x3
e2
e1
e3
T11,D11
T11, D11
T11,D11
x1
x2
x3
e2
e1
e3
ej
e i
Trayector
ia de
deform
aciones
proporcionales
s j
s i
con
estado
incial
s1=s
2=
s3=0s 1=
s 2=s 3=0
Figura 2.3: Esquema de la compresión isotrópica
2.4. Compresión oedométrica
Como se mencionó la compresión oedométrica establece deformaciones laterales nulas (véase figura
2.4). Los tensores de esfuerzo y deformación son los que se muestran a continuación:
T =
T11 0 0
0 T22 0
0 0 T22
; y D =
D11 0 0
0 0 0
0 0 0
(2.4.1)
T11,D11
T11, D11
T11,D11
T11, D11
T22
D22=0
T22
D22=0
Isotrópico
Figura 2.4: Esquema de la compresión oedométrica
La condición D22 = D33 = 0 se reemplaza en las ecuaciones 2.5.2 y 2.5.3 llegando a las siguientes
expresiones:
T 11 =
fs(T11 +2T22)2
T 211 +2T 2
22
(D11 +a2 T 2
11D11
(T11 +2T22)2 + fda3
5T11−2T22
T11 +2T22
√D2
11
); (2.4.2)
T 22 =
T 33 =
fs(T11 +2T22)2
T 211 +2T 2
22
(a2 T11T22D11
(T11 +2T22)2 + fda3
4T22−T11
T11 +2T22
√D2
11
)(2.4.3)
35
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
Nótese que las ecuaciones anteriores se pueden reorganizar de la siguiente manera:
T 11 =
fs
trT2
(D11 +a2T11trTD+ fda(T11 + T ∗11) ‖ D11 ‖
)(2.4.4)
T 22 =
fs
trT2
(a2T22trTD+ fda(T22 + T ∗22) ‖ D11 ‖
)(2.4.5)
Para realizar la integración numérica con deformación controlada (Se conoce D11) se puede realizar una
integración explícita hacia adelante. Los pasos que se proponen son los siguientes:
1. Se deben establecer los 8 parámetros para el tipo de suelo que se quiera simular (véase inciso 1.7)
y las condiciones iniciales, es decir, T110, T220, ε110 y e0. Igualmente se debe establecer la tasa de
deformación D11 que es conocida (dado a que es el control del ensayo), y el incremento de tiempo ∆t.
2. Calcular a (ecuación 1.5.20) que depende del ángulo de fricción crítico y por lo tanto permanece
constante durante toda la integración.
3. Calcular los esfuerzos normalizados Ti j, los esfuerzos desviadores normalizados T ∗i j y las invariantes
en función del estado de esfuerzo T utilizadas en la ecuación constitutiva:
trT = T11 +2T22 ; trT2 = T 211 +2T 2
22 ;
T11 = T11/trT ; T22 = T22/trT ;
T ∗11 = T11−1/3 ; T11−1/3 ;
trT = T11 +2T22 ; trT2 = T 211 +2T 2
22 ;
trT∗ = T ∗11 +2T ∗22 ; trT∗2 = T 2∗11 +2T 2∗
22 ;
(2.4.6)
4. Calcular las invariantes en función de la deformación D utilizadas en la ecuación constitutiva:
trD = D11 +2D22 ; trTD = T11D11 +2T22D22 (2.4.7)
5. Calcular las relaciones de vacíos caraterísticas ei, ed y ec mediante la ley de BAUER (ecuación 1.5.3)
y calcular los factores fd y fs mediante las ecuaciones 1.5.26 y 1.5.28 respectivamente.
6. Calcular la tasa de esfuerzos
T 11 y
T 22 mediante las ecuaciones 2.4.4 y 2.4.5 respectivamente. Calcular
la tasa de la relación de vacíos e con la siguiente ecuación:
e = (1+ e)trD (2.4.8)
36
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
Tabla 2.1: Parámetros hipoplásticos para arena de Guamo. Los valores están reportados en [2].Parámetros Valor Unids.
ϕc 30.0
hs 4.0E6 kPan 0.27 (-)
ec0 1.00 (-)ed0 0.52 (-)ei0 1.15 (-)α 0.17 (-)β 1.00 (-)
7. Calcular las variables de estado para el próximo incremento integrando explícitamente:
T (t+1)11 = T (t)
11 +
T 11∆t (2.4.9)
T (t+1)22 = T (t)
22 +
T 22∆t (2.4.10)
ε(t+1)11 = ε
(t)11 +D11∆t (2.4.11)
e(t+1) = e(t) + e∆t (2.4.12)
8. Una vez encontrado las nuevas variables de estado se vuelve al paso 3 para solucionar los próximos
incrementos. El ciclo se repite hasta llegar a los esfuerzos o deformaciones máximas establecidas
previamente.
Nótese que para la integración descrita anteriormente, una compresión implica que D11 < 0 y una descarga
corresponde a D11 > 0. En el anexo B.3 se presenta la programación del element test para compresión
oedométrica utilizando el algoritmo que ilustra la figura 2.5 como macro de EXCEL en lenguaje VISUAL
BASIC. Las variables utilizadas dentro de la programación son comentadas para facilitar el entendimiento por
parte del lector.
Las figuras 2.6.a y 2.6.b muestran los resultados de una simluación de compresión oedométrica con
la arena de Guamo utilizando el programa que se presenta en el anexo B.3. Los parámetros de la arena
de Guamo fueron establecidos por ARIAS y están reportados en [2]. La tabla 2.1 presenta los parámetros
hipopolásticos de la arena de Guamo según ARIAS[2]. La simulación consta de una carga desde −T110 =1kPa y e0 = 0,70 (punto A, véase figura 2.6) hasta −T11 = 2000 (punto B) seguido por una descarga hasta
T11 = 1kPa (punto C).
Para el caso de esfuerzo controlado, es necesario resolver un problema de control mixto dado a que
se conoce
T 11 y se debe resolver
T 22 para la condición D22 = 0. Un método aproximado es suponer unos
valores iniciales para
T 22 = K0
T 11. De esa manera se puede conocer un D11 tal que D22 = 0. Para resolver
cada incremento de la integración es conveniente utilizar el algoritmo matemático propuesto por DOAHN
37
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
Leer los 8 parámetros hipoplásticosLeer el estado inicial de T, ε y eL l i t d ti
Declarar e inicializar variables del programaInicio
Leer el incremento de tiempoLeer el control D1
Calcular a=f(φc)
K t i
1Kstep=i
Calcular invariantes del esfuerzo:*
2*
121ˆ,ˆ,ˆ,ˆ TTTT
2*2* ˆ tr,ˆtr,ˆtr,ˆtr,tr TTTTT
Microsoft Equation 3.0
OEDOMÉTRICO
Calcular invariantes de la deformación:
DTDD ˆtr,tr,tr 2
Calcular relaciones de vacíos características y los factores fd y fs:)(),,(),(),(),( TTTTT ffefffefefe sdcdi =====
Calcular incrementos de esfuerzosDDTDT tr)1(),,(),,( 21 eefTfT
oo+===
teeetDtTTTtTTToo
Δ+=Δ+=Δ+=Δ+= ,,,, 111222111 εεActualizar variables del siguiente paso:
i=nStep
Imprimiendo variables de estadoeTT ),0(,,, 2121 =εε
Fin
Figura 2.5: Diagrama de flujo para la programación del element test de compresión oedométrica
para la inversión de la ecuación constitutiva que se presenta en la sección 1.6. A continuación se presenta los
pasos que se debe seguir para el método de integración descrito:
1. Establecer parámetros y las condiciones iniciales de T y e. Igualmente se establece el control
T 11 y se
supone un valor inicial para
T 22 = K0
T 11. D22 = 0.
2. Calcular a (ecuación 1.5.20).
38
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
1 10 100 1.000 10.000
Relación
de vacíos e [‐]
Esfuerzo vertical log(‐T11/Tr) [kPa]
e0=0.7T10=‐1 kPahs=4E6 kPan=0.27ed0=0.52ei0=1.15K0=0.47
A
B
C
Primeracompresión
Descarga
e0=0.7T10=‐1 kPahs=4E6 kPan=0.27ed0=0.52ei0=1.15K0=0.47
A
B
C
Primeracompresión
Descarga
0
200
400
600
800
1.000
1.200
0 500 1.000 1.500 2.000 2.500
Esfuerzo horizon
tal ‐T
22 [kPa]
Esfuerzo vertical ‐T11 [kPa]
e0=0.7T10=‐1 kPahs=4E6 kPan=0.27ed0=0.52ei0=1.15K0=0.47
1
K0
A
B
C
Descarga
Primeracompresión
e0=0.7T10=‐1 kPahs=4E6 kPan=0.27ed0=0.52ei0=1.15K0=0.47
1
K0
A
B
C
Descarga
Primeracompresión
(a) Ciclo de carga y descarga.
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
1 10 100 1.000 10.000
Relación
de vacíos e [‐]
Esfuerzo vertical log(‐T11/Tr) [kPa]
e0=0.7T10=‐1 kPahs=4E6 kPan=0.27ed0=0.52ei0=1.15K0=0.47
A
B
C
Primeracompresión
Descarga
e0=0.7T10=‐1 kPahs=4E6 kPan=0.27ed0=0.52ei0=1.15K0=0.47
A
B
C
Primeracompresión
Descarga
0
200
400
600
800
1.000
1.200
0 500 1.000 1.500 2.000 2.500
Esfuerzo horizon
tal ‐T
22 [kPa]
Esfuerzo vertical ‐T11 [kPa]
e0=0.7T10=‐1 kPahs=4E6 kPan=0.27ed0=0.52ei0=1.15K0=0.47
1
K0
A
B
C
Descarga
Primeracompresión
e0=0.7T10=‐1 kPahs=4E6 kPan=0.27ed0=0.52ei0=1.15K0=0.47
1
K0
A
B
C
Descarga
Primeracompresión
(b) Se muestra la variación del K0 en la curva de primera com-presión y la descarga.
Figura 2.6: Simulación de compresión oedométrica para Arena de Guamo con Hipoplasticidad. Deforma-ción controlada.
3. Calcular los esfuerzos normalizados Ti j, los esfuerzos desviadores normalizados T ∗i j y las invariantes
en función del estado de esfuerzo T utilizadas.
4. Calcular las relaciones de vacíos caraterísticas ei, ed y ec mediante la ley de BAUER (eucación 1.5.3)
y calcular los factores fd y fs mediante las ecuaciones 1.5.26 y 1.5.28 respectivamente.
5. Calcular D11 mediante la ecuación constitutiva invertida. El procedimiento se presenta en la sección
1.6. Este procedimiento implica dos raíces para ‖D ‖ y se debe seleccionar aquella que cumpla con la
condición ‖ D ‖> 1. Se puede calcular D22 y verificar la condición impuesta inicialmente D22 ≈ 0. el
grado de aproximación depende de la suposición inicial de
T 22 = K0
T 11.
6. Calcular las invariantes en función de la deformación D utilizadas en la ecuación constitutiva.
7. Calcular la tasa de esfuerzo
T 22 mediante las ecuación 2.4.5. Calcular la tasa de la relación de vacíos
e.
8. Calcular las variables de estado para el próximo incremento integrando explícitamente:
T (t+1)11 = T (t)
11 +
T 11∆t
T (t+1)22 = T (t)
22 +
T 22∆t
ε(t+1)11 = ε
(t)11 +D11∆t
e(t+1) = e(t) + e∆t
9. Se resuelve el próximo incremento volviendo al paso 3.
39
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
El anexo B.4 presenta la programación del element test para compresión oedométrica con control en los
esfuerzos realizado en lenguaje VISUAL BASIC. Esta programación es consistente con el diagrama de flujo
que muestra la figura 2.7.
Kstep=i
1D2=0, suponer un K0 y calcular T2 y 2T
Calcular invariantes del esfuerzo:*
2*
121ˆ,ˆ,ˆ,ˆ TTTT
2*2* ˆ tr,ˆtr,ˆtr,ˆtr,tr TTTTT
Calcular relaciones de vacíos características y los factores fd y fs:)(),,(),(),(),( TTTTT ffefffefefe sdcdi ===== Microsoft
Equation 3.0
OEDOMÉTRICO invertido
Calcular invariantes de la deformación:
Calcular ||D|| con el algoritmo matemático para la inversión de la ecuación constitutiva. Dado que existen dos raíces, se debe seleccionar
aquel ||D||>0. Luego se calcula D1 y D2 con la ecuación invertida.
DTDD ˆtr,tr,tr 2
Calcular incrementos.DDT tr)1(),,(2 eefT
o+==
teeetDtTTTtTTToo
Δ+=Δ+=Δ+=Δ+= ,,,, 111222111 εεActualizar variables del siguiente paso:
Imprimiendo variables de estado
i=nStep
eTT ),0(,,, 2121 =εε
Fin
Figura 2.7: Diagrama de flujo para la programación del element test de compresión oedométrica esfuerzocontrolado.
La figura 2.8 presenta la comparación entre una simulación para la arena de Guamo con parámetros de
la tabla 2.1 y con las mismas condiciones iniciales para control en la deformación y control en los esfuerzos.
40
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
La figura demuestra que el algotimo propuesto para integrar la ecuación con esfuerzo controlado genera una
curva aproximada. El nivel de aproximación depende de la suposición inicial del K0.
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
10 100 1.000 10.000
Relación
de vacíos
e [‐]
Esfuerzo vertical log(‐T11/Tr) [kPa]
e0=0.7T10=‐1 kPahs=4E6 kPan=0.27ed0=0.52ei0=1.15K0=0.47
Control en deformaciones
Control en esfuerzos (invertida)
A
B
C
Figura 2.8: Simulación de compresión oedométrica para Arena de Guamo con Hipoplasticidad. Esfuerzocontrolado.
2.5. Compresión triaxial no drenada
Consiste en la compresión de una muestra bajo simetría axial y sin drenaje. Esta última condición obliga
a que la muestra no presente cambios de volumen, es decir, la deformación es isocórica. Por lo tanto trD = 0.
Bajo esta condición se puede deducir fácilmente que D22 = D33 =−D11/2 (véase esquema de la figura 2.9).
Los tensores de esfuerzo y deformación son los que se muestran a continuación:
T =
T11 0 0
0 T22 0
0 0 T22
; y D =
D11 0 0
0 −D11
20
0 0 −D11
2
(2.5.1)
T11, D11
T11,D11
T11, D11
T22
D22=0
T22
D22=0
Isotrópico
Oedométrico
T11, D11
T22
D22=-D11 / 2
T22
D22=-D11 / 2
Figura 2.9: Esquema del triaxial no drenado
41
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
Las ecuaciones hipoplásticas que relacionan a la compresión triaxial no drenada son las que se presentan
a continuación:
T 11 =
fs(T11 +2T22)2
T 211 +2T 2
22
(D11 +a2 T11(T11−T22)
(T11 +2T22)2 D11 + fda√6
5T11−2T22
T11 +2T22
√D2
11
); (2.5.2)
T 22 =
fs(T11 +2T22)2
T 211 +2T 2
22
(−D11
2+a2 T11(T11−T22)
(T11 +2T22)2 D11 + fda√6
4T22−T11
T11 +2T22
√D2
11
)(2.5.3)
Teniendo en cuenta que la ecuación hipoplástica está expresada en esfuerzos efectivos, se deben calcular las
presiones de poros que se generan dentro teniendo en cuenta la ley de TERZAGUI:
−T = σ =
σ11 σ12 σ13
σ21 σ22 σ23
σ31 σ32 σ33
=
σ ′11 σ ′12 σ ′13
σ ′21 σ ′22 σ ′23
σ ′31 σ ′32 σ ′33
+
u 0 0
0 u 0
0 0 u
(2.5.4)
En notación indicial σi j = σ ′i j + uδi j o también −Ti j = −T ′i j + uδi j donde el símbolo δi j representa al Kro-
necker delta (véase el apéndice A.2). La presión de poros se puede obtener teniendo en cuenta que σ2 = 0
entonces σ2′ =−u.
Con las ecuaciones que conciernen a la compresión triaxial CU, se puede construir un algoritmo para su
integración. En las próximas líneas se presentan los pasos a seguir para realizar una integración explícita de
un triaxial CU bajo deformación controlada (se conocen D11 y por lo tanto D22(=−D11/2)).
1. Realizar los primeros dos pasos que se muestran en el algoritmo utilizado para la integración de la
compresión oedométrica mostrada en el inciso anterior. En este caso D22 =−D11/2.
2. Calcular los esfuerzos normalizados Ti j, los esfuerzos desviadores normalizados T ∗i j y las invariantes
en función del estado de esfuerzo T utilizadas en la ecuación constitutiva.
3. Calcular las invariantes en función de la deformación D utilizadas en la ecuación constitutiva.
4. Calcular las relaciones de vacíos caraterísticas ei, ed y ec mediante la ley de Bauer (ecuación 1.5.3) y
calcular los factores fd y fs mediante las ecuaciones 1.5.26 y 1.5.28 respectivamente.
5. Calcular la tasa de esfuerzos
T 11 y
T 22 mediante las ecuaciones 2.5.2 y 2.5.3 respectivamente. Calcular
la tasa de la relación de vacíos e. Calcular la tasa de la presión de poros mediante la expresión u =−T22.
42
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
6. Calcular las variables de estado para el próximo paso integrando explícitamente:
T (t+1)11 = T (t)
11 +
T 11∆t (2.5.5)
T (t+1)22 = T (t)
22 +
T 22∆t (2.5.6)
ε(t+1)11 = ε
(t)11 +D11∆t (2.5.7)
e(t+1) = e(t) + e∆t (2.5.8)
u(t+1) = u(t) + u∆t (2.5.9)
7. Se calculan las variables de estados para el próximo paso volviendo al paso 2.
En el anexo B.5 se presenta la programción en lenguaje VISUAL BASIC del element test para compresión
triaxial CU con deformación controlada. El algoritmo del programa es consistente con el diagrama de flujo
de la figura2.10. Las figuras 2.11 muestran los resultados de la simulación de una compresión triaxial no
drenada CU de la arena de Guamo (véase tabla 2.1). La simulación se realizó con deformación controlada
utilizando el programa del anexo B.5 con condiciones inciales e0 = 0,70, y T11 = T22 = T33 = −100 kPa.
Las figuras muestran el comportamiento típico de una arena suelta caracterizadas por presentar presiones de
poro positivas y un diagrama de esfuerzo-deformación con pico leve.
2.6. Compresión triaxial drenada
La condición con drenaje permite el cambio del volumen de la muestra trD 6= 0. Al deducir una expresión
con control de fronteras cinemático para la compresión triaixal drenada, se debe conocer el componente D11
y para el caso de presión de cámaras constante se puede suponer T22 = 0 (aunque pueda que no sea constante).
Por lo tanto se desconocen los componentes T11 y D22 lo que obliga a despejar la ecuación hipoplástica en
ambos lados (El esquema de la compresión triaxial drenada se presenta en la figura 2.12). Este algoritmo se
conoce como control mixto y se solucionará en las siguientes líneas. Los tensores de esfuerzo y deformación
se muestran a continuación:
T =
T11 0 0
0 T22 0
0 0 T22
; y D =
D11 0 0
0 D22 0
0 0 D22
(2.6.1)
43
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
Kstep=i
Calcular invariantes del esfuerzo:
1
Calcular invariantes del esfuerzo:*
2*
121ˆ,ˆ,ˆ,ˆ TTTT
2*2* ˆ tr,ˆtr,ˆtr,ˆtr,tr TTTTT
Calcular invariantes de la deformación:
DTDD ˆttt 2 DTDD tr,tr,tr 2
Calcular relaciones de vacíos características y los factores fd y fs:)(),,(),(),(),( TTTTT ffefffefefe sdcdi =====
Microsoft Equation 3.0
Actualizar variables del siguiente paso:Doo
Calcular incrementos :
221 ,tr)1(),,(),,(oooTueefTfT −=+=== DDTDT TRIAXIAL CU
tuuuteeetDtDtTTTtTTToo
Δ+=Δ+=Δ−=Δ+=Δ+=Δ+= ,,2
,,,, 122111222111 εεεε
Imprimiendo variables de estadoueTT ,,,,, 2121 εε
i=nStep Fin
Figura 2.10: Diagrama de flujo para la programación del element test compresión triaxial no drenada
Plano de
Rendulic
q 22
q 22
q 11
e
ln(s )
0.1 e 10
e
ln(s )
Creep
e
ln(s )
Relajación
e e
Cambio de e
0.1 e 10e e
0.1 e 10e e
e=ln(1+e)
ln(T/ Tr)
De
De
v
e
De
-T0 -(T0+DT)
e0
e 0+De
l
k
1
1
e=ln(
e=ln(1+e)
ln(-T/ Tr)e 0
T0 Te
e 0+De
Tp
A
B C
creep
e
e 0
e 0+De
T11,D11
T22, D22
T22,D22
Figura 2.12: Esquema del triaxial drenado
44
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020
Esfuerzo desviador q
[kPa]
Deformación vertical ‐ε11 [‐]
e0=0.7T110=‐100 kPaT220=T330'=‐100 kPaϕc=30°
Estado límite
Estado crítico
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 20 40 60 80 100 120
Esfuerzo desviador q
[kPa]
Esfuerzo promedio p [kPa]
Δu
T110=‐100 kPaT220=T330'=‐100 kPaϕc=30°
(a)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020
Esfuerzo desviador q
[kPa]
Deformación vertical ‐ε11 [‐]
e0=0.7T110=‐100 kPaT220=T330'=‐100 kPaϕc=30°
Estado límite
Estado crítico
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 20 40 60 80 100 120
Esfuerzo desviador q
[kPa]
Esfuerzo promedio p [kPa]
Δu
T110=‐100 kPaT220=T330'=‐100 kPaϕc=30°
(b)
2
4
6
8
10
Presión de
poros
u[kPa]
2
4
6
8
10
12
Esfuerzo vertical ‐T 1
1 [kPa]
0
20
40
60
80
00
0,00 0
20
40
60
80
00
20
0 2
0,01 0,0Deform
0 40Esfuer
2 0,03mación vertica
e0=0.7ed0=0.5ei0=1.15T110=‐10T220=T33
60 8rzo horizontal ‐
T110=‐100 T220=T330'=ϕc=30°
0,04l ‐ε11 [‐]
2500 kPa
30'=‐100 kPa
80 100‐T22 [kPa]
kPa‐100 kPa
0,05
120
(c)
2
4
6
8
10
Presión de
poros
u[kPa]
2
4
6
8
10
12
Esfuerzo vertical ‐T 1
1 [kPa]
0
20
40
60
80
00
0,00 0
20
40
60
80
00
20
0 2
0,01 0,0Deform
0 40Esfuer
2 0,03mación vertica
e0=0.7ed0=0.5ei0=1.15T110=‐10T220=T33
60 8rzo horizontal ‐
T110=‐100 T220=T330'=ϕc=30°
0,04l ‐ε11 [‐]
2500 kPa
30'=‐100 kPa
80 100‐T22 [kPa]
kPa‐100 kPa
0,05
120
(d)
Figura 2.11: Simulación de triaxial CU para Arena de Guamo con Hipoplasticidad. Deformación controlada.
Nótese que para este caso no es necesario modificar las ecuaciones 2.5.2 y 2.5.3:
T 11 =
fs(T11 +2T22)2
T 211 +2T 2
22
(D11 +a2 T11D11 +2T22D22
(T11 +2T22)2 T11 + fda3
5T11−2T22
T11 +2T22
√D2
11 +2D222
); (2.6.2)
T 22 =
fs(T11 +2T22)2
T 211 +2T 2
22
(D22 +a2 T11D11 +2T22D22
(T11 +2T22)2 T22 + fda3
4T22−T11
T11 +2T22
√D2
11 +2D222
)(2.6.3)
Sin embargo es necesario despejar en ambos lados para solucionar el problema del control mixto. Para eso
45
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
se introducen las variables L11,L12,L21,L22,N1,N2 definidas a continuación:
L11 =(T11 +2T22)2
T 211 +2T 2
22
(1+
a2T 211
(T11 +2T22)2
); L12 =
(T11 +2T22)2
T 211 +2T 2
22
(a2T22T11
(T11 +2T22)2
);
L21 =(T11 +2T22)2
T 211 +2T 2
22
(− a2T 2
11(T11 +2T22)2
); L22 =
(T11 +2T22)2
T 211 +2T 2
22
(1− 2T11T22
(T11 +2T22)2
);
N1 =(T11 +2T22)2
T 211 +2T 2
22
(a3
5T11−2T22
T11 +2T22
); N2 =
(T11 +2T22)2
T 211 +2T 2
22
(a3
4T22−T11
T11 +2T22
)(2.6.4)
Sea x =√
D211 +2D2
22. Las ecuaciones 2.5.2 y 2.5.3 se pueden reescribir de la siguiente forma:
T 1 = fsL11D11 + fsL12D22 + fs fdN1x; (2.6.5)
T 2 = fsL21D11 + fsL22D22 + fs fdN1x (2.6.6)
Para despejar D22 se realiza un algoritmo similar a aquel utilizado para invertir la ecuación hipoplástica
(veáse 1.6). De la ecuación 2.6.6 se despeja D22:
D22 = ( fsL22)−1(
T 2− fsL21D11− fs fdN2x) (2.6.7)
Si P = ( fsL22)−1(
T 2− fsL21D11) y Q = fdL−122 N2x entonces:
D22 = P−Qx (2.6.8)
Teniendo en cuenta que:
x2 = D222 +D2
11 = (P−Qx)2 +D211 (2.6.9)
Se puede llegar a una cuadrática de la forma−b±√b2−4ac
2adonde:
a = Q2−1 ; b =−2PQ ; c = P2 +D211 (2.6.10)
Igual al algoritmo utilizado al invertir la ecuación hipoplástica, existe solo una respuesta para la cual se
cumple que ‖D ‖> 1. La anterior condición se puede rectificar despejando el componente conocido
T 22. Bajo
las condiciones que conciernen a una compresión triaxial drenada se puede integrar la ecuación constitutiva
resolviendo el problema del control mixto en cada paso. En las próximas líneas se presenta un algoritmo
para integrar explícitamente la ecuación:
1. Realizar los primeros dos pasos que se muestran en el algoritmo utilizado para la integración de la
compresión oedométrica mostrada en el inciso anterior. Se conoce D11 para este caso.
46
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
Kstep=i
Calcular invariantes del esfuerzo:*
2*
121ˆ,ˆ,ˆ,ˆ TTTT
1
2121 ,,, TTTT2*2* ˆ tr,ˆtr,ˆtr,ˆtr,tr TTTTT
Calcular relaciones de vacíos características y los factores fd y fs:)(),,(),(),(),( TTTTT ffefffefefe sdcdi =====
Calcular invariantes de la deformación para D2=D2(+). :
DTDD ˆttt 2
Microsoft Equation 3.0
Solución de la cuadrática para D2. Como resultado se tienen dos raíces, D 2
(+)y D2
(‐). Se asigna D2=D2(+).
SiNo
DTDD tr,tr,tr 2
TRIAXIAL CD
D2=D2(+)?0),(2 == DTfT
oD2=D2
(‐)
DTDD ˆtr,tr,tr
Calcular incrementos :DDT tr)1(),,(1 eefT
o+==
Actualizar variables del siguiente paso:,,,, 222111111 teeetDtDtTTT
oΔ+=Δ+=Δ+=Δ+= εεεε
i=nStep
Imprimiendo variables de estadoueTT ,,,,, 2121 εε
Fin
Figura 2.13: Diagrama de flujo para la programación del element test compresión triaxial drenada
2. Calcular los esfuerzos normalizados Ti j, los esfuerzos desviadores normalizados T ∗i j y las invariantes
en función del estado de esfuerzo T utilizadas en la ecuación constitutiva.
3. Calcular las relaciones de vacíos caraterísticas ei, ed y ec mediante la ley de BAUER (eucación 1.5.3)
y calcular los factores fd y fs mediante las ecuaciones 1.5.26 y 1.5.28 respectivamente.
4. Se debe solucionar D22 mediante la cuadrática que se dedujo en la ecuación 2.6.10. La solución implica
47
CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
la existencia de dos raíces, una positiva D(+)22 y una negativa D(−)
22 . Se debe asignar a D22 aquella raiz
que cumpla con la condición
T 22 = 0. Para tal propósito se reemplazan ambas raíces en la ecuación
2.6.3.
5. Una vez encontrada la raíz correcta de D22 se pueden calcular las invariantes en función de la defor-
mación D.
6. Calcular la tasa de esfuerzos
T 11 y
T 22 mediante las ecuaciones 2.6.2y 2.6.3 respectivamente. De
antemano se conoce la condición
T 22 = 0 y por lo tanto debe resultar nuevamente de esta última
ecuación. Calcular la tasa de la relación de vacíos e.
7. Calcular las variables de estado para el próximo paso integrando explícitamente:
T (t+1)11 = T (t)
11 +
T 11∆t (2.6.11)
T (t+1)22 = T (t)
22 +
T 22∆t (2.6.12)
ε(t+1)11 = ε
(t)11 +D11∆t (2.6.13)
e(t+1) = e(t) + e∆t (2.6.14)
8. Se calculan las variables de estados para el próximo paso volviendo al paso 2.
0
100
200
300
400
500
600
700
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20
Esfuerzo desviador q
[kPa]
Deformación vertical ‐ε11 [‐]
e0=0.7T110=‐100 kPaT220=T330'=‐100 kPaϕc=30°
Estado límiteEstado crítico
-0,01
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0 0,04 0,08 0,12 0,16 0,2
Deformación volumétrica ε
v(‐)
Deformación vertical ‐ε11 [‐]
e0=0.7T110=‐100 kPaT220=T330'=‐100 kPaϕc=30°
(a)
0
100
200
300
400
500
600
700
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20
Esfuerzo desviador q
[kPa]
Deformación vertical ‐ε11 [‐]
e0=0.7T110=‐100 kPaT220=T330'=‐100 kPaϕc=30°
Estado límiteEstado crítico
-0,01
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0 0,04 0,08 0,12 0,16 0,2
Deformación volumétrica ε
v(‐)
Deformación vertical ‐ε11 [‐]
e0=0.7T110=‐100 kPaT220=T330'=‐100 kPaϕc=30°
(b)
Figura 2.14: Simulación de compresión triaxial CD para Arena de Guamo con Hipoplasticidad. Deforma-ción controlada.
Las figuras 2.14 muestran la simulación de compresión triaxial CD realizada con los parámetros de la arena
de Guamo (véase parámetros en la tabla 2.1). La simulación se realizó utilizando el programa que se presenta
en el anexo B.6 con deformación controlada y con estado inicial e0 = 0,7 y T11 = T22 = T33 = 0.
48
Capítulo 3
Modelo constitutivo Viscohipoplástico
3.1. Introducción
El comportamiento viscoso de los suelos finos ha sido un tema de interés para la ingeniería desde los
estudios de BUISMAN (1936)[4] y TAYLOR (1942)[27]. Ensayos de laboratorios han demostrado que los
efectos viscosos en el suelo así como en otros materiales se manifiestan en la dependencia que presenta su
comportamiento mecánico con respecto al tiempo e incluso con la temperatura. La dependencia σ −ε− t se
puede demostrar fácilmente si se observa en un ensayo oedométrico los siguientes tres efectos viscosos: a)
curvas de igual tasa de deformación ε o isotacas, b) deformación bajo esfuerzo efectivo constante o creep
y c) disminución del esfuerzo efectivo bajo deformación constante o relajación. Las isotacas son curvas de
igual tasa de deformación sobre el espacio ε vs. ln(σ/σr) paralelas las unas a las otras. Estas curvas fueron
estudiado detalladamente por SUKLJE[25] quién experimentó con ensayos oedométricos utilizando suelos
arcillosos y observó la consistencia de las trayectorias experimentales (cada una con su respectivo ε) y las
curvas isotacas bajo el espacio e vs. log(σ). SKULJE aproximó estas curvas a líneas rectas y paralelas sobre
el espacio semi-logarítmico y demostró que al seleccionar una isotaca como la de referencia con su respectiva
tasa de deformación ε , isotacas por encima de ésta corresponden a velocidades de deformaciones mayores
y por debajo corresponden a velocidades menores. La figura 3.1.a ilustra un esquema de la trayectoria de
esfuerzos en un ensayo oedométrico sobre el espacio e vs. ln(σ) con la variación de la tasa de deformación
ε . Esta figura esquematiza la manera en que la trayectoria se ajusta a las isotacas. SUKLJE demostró que
este comportamiento viscoso es independiente de la historia de la deformación del suelo y se comportan
como estado asintótico después de haberse ocurrido procesos de creep o relajación. Las figuras 3.1.b y
3.1.c muestran esquemas de trayectorias que incluyen períodos de creep y relajación respectivamente y la
manera como la trayectoria vuelve posteriormente a su isotaca. La Viscohipoplasticidad intenta reproducir la
dependencia de la tasa de deformación ε , el creep y la relajación mediante un modelo inelástico. El modelo
fué propuesto por NIEMUNIS y KRIEG[20] en una primera versión de una dimensión y para condiciones
49
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
e
ln(σ )
0.1 ε 10
e
ln(σ )
Creep
e
ln(σ )
Relajación
ε ε
Cambio de ε
0.1 ε 10ε ε
0.1 ε 10ε ε
(a) Cambios en la velocidad dedeformación ε
e
ln(σ )
0.1 ε 10
e
ln(σ )
Creep
e
ln(σ )
Relajación
ε ε
Cambio de ε
0.1 ε 10ε ε
0.1 ε 10ε ε
(b) Creep
e
ln(σ )
0.1 ε 10
e
ln(σ )
Creep
e
ln(σ )
Relajación
ε ε
Cambio de ε
0.1 ε 10ε ε
0.1 ε 10ε ε
(c) Relajación
Figura 3.1: Esquemas de trayectorias e vs. ln(σ) en ensayo oedométrico con diferentes efectos viscosos
oedométricas. Luego, NIEMUNIS extendió el modelo para el caso general en tres dimensiones[18].
3.2. Ecuación visohipoplástica en 1D
En esta sección se presenta la versión del modelo unidimensional presentado por NIEMUNIS en el
2003[19] que corresponde a la modificación del modelo presentado por el mismo autor en 1996 [20] con
ciertas modificiaciones para ser consistentes con la ley de compresión de BUTTERFIELD.
La ley de compresión de BUTTERFIELD[5] establece que bajo compresión isotrópica o oedométrica
existe una relación lineal entre la deformación redefinida como ε = ln(1 + e) vs. el logaritmo natural del
esfuerzo ln(
σ
σr
), donde σr denota un esfuerzo arbitrario de referencia usualmente 1 kPa. Nótese que la ley
de compresión propuesta por BUTTERFIELD es distinta a la ley de compresión de TERZAGUI quien estable
una relación lineal en el espacio semilogarítmico e vs. ln(
ppr
). La ley de compresión de BUTTERFIELD
es mucho más precisa para los suelos de mediana y alta plasticidad. Teniendo en cuenta lo anterior, las
expresiones para compresión y descarga-recarga son las que se presentan a continuación
ε− ε0 =−λ ln(T/T0) (3.2.1)
ε− ε0 =−κ ln(T/T0) (3.2.2)
donde λ y κ corresponden al índice de compresión y de descarga-recarga para condiciones oedométricas
en el espacio doblelogarítmico según BUTTERFIELD. Los valores (ε0,T0) corresponden a un punto sobre
la línea de primera compresión para el caso de la ecuación 3.2.1 o para descarga-recarga para el caso de
la ecuación 3.2.2. Por otro lado el modelo viscohipoplástico incorpora las ecuaciones deducidas por BUIS-
MAN en 1936 [4] para consolidación secundaria o creep. La ecuación propuesta por BUISMAN relaciona
linealmente el asentamiento de una muestra con respecto al logaritmo en base 10 del tiempo en procesos de
50
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
creep. NIEMUNIS emplea la misma relación utilizando deformación por creep en lugar de asentamientos y
logaritmo natural en lugar del logaritmo base 10, como se presenta a continuación:
ε− ε0 =−ψ ln(
t + t0t0
)(3.2.3)
donde ψ es la pendiente, t el tiempo y t0 contado a partir del inicio del proceso de creep. La ecuación 3.2.1
se puede derivar con respecto al tiempo llegando a la siguiente ecuación diferencial:
ddt
(ε− ε0) =ddt
(ln(1+ e)− ln(1+ e0))
=ddt
ln((1+ e)/(1+ e0)) =1
(1+ e)/(1+ e0)e
1+ e0=−λ
1T/T0
TT0
D =−λTT
(3.2.4)
Donde D es la tasa de deformación volumétrica definida como D =e
1+ e. Con el mismo procedimiento se
pueden deducir las ecuaciones diferenciales a partir de las ecuaciones de compresión según BUTTERFIELD
(3.2.2 y 3.2.3). Estas ecuaciones diferenciales son las que se presentan a continuación:
D =−κTT
(3.2.5)
D =−ψ1
t + t0(3.2.6)
El modelo viscohipoplástico unidimensional considera a la deformación total como la suma de una defor-
mación elástica más una deformación plástica. Para ilustrar lo anterior consideremos el siguiente ejemplo.
Para un escalón de carga −(∆T ) = ∆σ 1 sobre una muestra normalmente consolidada bajo condiciones
oedométricas la muestra se comprime desde (−T0,ε0) hasta (−(T0 + ∆T ),ε0 + ∆ε) sobre la trayectoria de
primera compresión que muestra la figura 3.2. Teniendo en cuenta que al deformarse sobre la línea de prime-
ra compresión la muestra no puede recuperar su deformación inicial después de retirar el mismo incremento
de esfuerzo, es válido establecer que son deformaciones no recuperables. Contrario al caso anterior, al de-
formarse una muestra sobre la línea de descarga-recarga (sin pasarse a la línea de primera compresión), es
posible recuperar la deformación incial después de retirar el mismo incremento de carga y por lo tanto se pue-
den establecer como deformaciones recuperables. Entonces una deformación total se puede establecer como
la suma entre una deformación no recuperable o viscosa ∆εv más una deformación recuperable o elástica
∆εe tal como se muestra en la figura 3.2 para el caso del incremento de carga ∆σ . De manera general:
ε = εe + ε
v (3.2.7)
y derivando con respecto al tiempo:
D = De +Dv (3.2.8)
1 σ =−T
51
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
De la figura 3.2 es claro que durante procesos de descargas solo deformaciones elásticas suceden. Entonces
e=ln(1+e)
ln(T/ Tr)
De
De
v
e
De
-T0 -(T0+DT)
e0
e 0+De
l
k
1
1
e=ln(
Figura 3.2: Deformación como la suma de una deformación elástica y una deformación plástica para unincremento de carga ∆σ en la línea de primera compresión
la ecuación 3,2,2 se puede simplificar a la siguiente expresión:
ln(
∆TTr
)=− 1
κ∆ε
e (3.2.9)
Ahora, si se deriva 3.2.9 con respecto al tiempo y teniendo en cuenta la ecuación 3.2.8 se puede establecer
la siguiente expresión:
T =−Tκ
(D−Dv) (3.2.10)
Por otro lado, la figura 3.2 muestra claramente que las deformaciones elásticas ocurren hasta el esfuerzo
equivalente de HVROSLEV Te2. Entonces la ecuación 3.2.1 se puede simplificar a la siguiente expresión:
ln(
Te
T0
)=− 1
λ(ε− ε0) (3.2.11)
La ecuación 3.2.11 se puede reescribir si se tiene en cuenta que para el Te existe una deformacíón ε = (1+e)y para T0 existe un ε = 1+ e0. Con lo anterior la ecuación 3.2.11 se puede convertir en:
Te = T0
(1+ e1+ e0
)−1/λ
(3.2.12)
y si se deriva 3.2.11 con respecto al tiempo se deduce la siguiente expresión:
Te =−TeDλ
(3.2.13)
Lo siguiente es definir el OCR. Según TERZAGUI la definición del OCR corresponde a la razón entre el
esfuerzo efectivo máximo que ha soportado el suelo durante toda la historia y el esfuerzo efectivo actual del
2el esfuerzo de HVROSLEV Te se define como el esfuerzo necesario para alcanzar una relación de vacíos e sobre la curva deprimera compresión.
52
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
suelo OCR = σ ′p/σ ′. Con esta definición el OCR es función de los esfuerzos y solo existe la posibilidad de ser
igual o mayor a uno. Una definición similar fué introducida por el modelo Cam-Clay[24] estableciendo que
el OCR es una función del esfuerzo efectivo máximo promedio p′p y el esfuerzo efectivo promedio actual
p′; OCR = p′p/p′. El modelo unidimensional viscohipoplástico emplea la definición del OCR propuesto
por HVROSLEV quien lo define como la relación entre el esfuerzo efectivo equivalente Te y el esfuerzo
efectivo actual OCR =−Te/T 3. Esta última definición implica que el OCR está en función de los tiempos de
consolidación. Para ilustrar lo anterior considérese la figura 3.3.a. La figura muestra que la deformación ∆ε
que tiene por punto final el esfuerzo equivalente Te se puede obtener mediante dos trayectorias: la primera
corresponde a una primera compresión desde el punto A (T0,ε0) hasta el punto C (Te,ε0 + ∆ε), trayectoria
consistente con la ecuación 3.2.11. La segunda trayectoria corresponde a un proceso de creep desde el punto
A hasta el punto B representada por la ecuación 3,2,3. Si se igualan las dos ecuaciones que representan las
trayectorias respectivas se puede deducir una expresión para el OCR de la siguiente manera:
∆ε = λ ln(−Te
T
)= ψ ln
(t + t0
t0
)=−Te
T=(
t + t0t0
)ψ/λ
= OCR =(
t + t0t0
)Iv
(3.2.14)
donde Iv es el índice de viscosidad definido como Iv = ψ/λ . Con esta última expresión (3.2.14) se puede
e=ln(1+e)
ln(T/ Tr)
De
De
v
e
De
-T0 -(T0+DT)
e0
e 0+De
l
k
1
1
e=ln( )1+e1+e0
e=ln(1+e)
ln(-T/ Tr)e 0
T0 Te
e 0+De
Tp
A
B C
creep
(a) Se obtiene la misma deformación con dos trayec-torias: compresión virgen y creep
e=ln
ln(t/tp)
( )1+e1+e0
)
e=ln(1+e)
ln(-T/ Tr)e 0
T0 Te
e 0+De
creep
eref10e
ref
-2
10e
ref
-3
10e
ref
-1
10e
ref
1
10e
ref2
Isotacas
(b) La trayectoria de creep atraviesa varias isotacas
Figura 3.3: Deformación viscosa equivalentes a trayectorias por creep y trayectorias por primera compresiónhasta esfuerzo equivalente Te
establecer que durante un proceso de creep el OCR varía siendo cada vez mayor. Lo anterior implica a la
vez que el OCR es una relación de tasas de deformación. Para ilustrar esta última afirmación considérese
la figura 3.3.b. Esta figura muestra que la trayectoria del proceso de creep atraviesa varias isotacas antes de
llegar al punto B. Para obtener la relación entre las tasas de deformaciones se puede multiplicar y dividir la
3Por convención el esfuerzo equivalente Te es siempre positivo.
53
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
parte derecha de la ecuación 3.2.14 con la deformación provocada por cualquiera de las dos trayectorias ∆ε
llegando a la siguiente ecuación:∆ε
t + t0∆ε
t0
= Dr
(1
OCR
)1/Iv
(3.2.15)
Esta última ecuación (3.2.15) se puede interpretar de la siguiente manera. La tasa de deformación ∆ε/t0corresponde a la tasa de deformación producto de la trayectoria A-C (véase figura3.3.a). Como la trayectoria
finaliza en el esfuerzo equivalente Te entonces esta tasa de deformación es equivalente a la tasa de deforma-
ción viscosa4 de la isotaca de primera compresión y por lo tanto se establece por convención como la tasa de
deformación viscosa de referencia Dr = ∆ε/(t0). Una trayectoria con tasa de deformación viscosa Dv = Dr
presenta un OCR = 1. Por otro lado la tasa de deformación ∆ε/(t0 + t) es una tasa menor que Dr para el
caso t > t0 dado al tiempo adicional del creep t. Teniendo en cuenta que el modelo undimensional viscohi-
poplástico no distingue entre la tasa de deformación viscosa de una isotaca y la tasa de deformación viscosa
debida al creep, la relación ∆ε/(t0 + t) es equivalente a la tasa de deformación viscosa Dv de la isotaca que
pasa justamente por el punto donde el tiempo es igual a t + t0 (que a la vez presenta una tasa de deformación
viscosa menor que Dr). Entonces 3.2.15 se puede reescribir de la siguiente manera:
Dv = Dr
(1
OCR
)1/Iv
(3.2.16)
donde Dv es la tasa de deformación viscosa correspondiente a la isotaca que pasa por el punto con tiempo
igual a t0 + t. Esta ecuación permite establecer que el OCR está en función de tasas de deformación. Más
adelante se comprobará que para realizar una trayectoria sobre una isotaca la tasa de deformación viscosa es
constante porque Dv = D λ−κ
λ, siendo D la tasa de deformación de la isotaca. Entonces al establecer un Dr
(asociando por convención OCR = 1 a esta isotaca) es posible determinar el OCR para un estado de esfuerzos
y deformaciones dado (T,ε) conociendo la isotaca que coincide con el punto actual (σ ,ε) y la isotaca que
coincide con un punto de refrencia (localizado sobre la isotaca de referencia) denotado con los subíndices e0,
p.e. (σe0,εe0). Nótese que la ecuación 3,2,16 es análoga a la ley de NORTON para los metales.
Las ecuaciones 3.2.10, 3.2.13 y 3.2.16 conforman el modelo viscohipoplástico unidimensional. El si-
guiente paso es demostrar que estas ecuaciones son capaces de simular isotacas, creep y por último relaja-
ción. A continuación se demuestran cada uno de estos casos analizando la ecuación constitutiva:
Simulación de isotacas: las isotacas son líneas de compresión con tasa de deformacion constante D =kte. Lo primero que se demostrará es que para que una trayectoria coincida con una isotaca la deformación
viscosa Dv de la isotaca es proporcional a la tasa de deformación de la isotaca D. Teniendo en cuenta que
4Viscosa por finalizar en el esfuerzo equivalente Te.
54
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
para permanecer en la misma isotaca es necesario que la deformación viscosa sea constante entonces:
ddt
Dv = 0 (3.2.17)
Se puede demostrar que T/T = Te/T utilizando la ecuación 3.2.16 y 3.2.17 de la siguiente forma:
Dv =−Dr
(−TTe
)1/Iv
= lnDv = ln(−Dr)+1Iv
ln(−T
Te
);
ddt
lnDv = 0 = 0+ddt
1Iv
ln(−T
Te
)=
1Iv
(TeT − T Te
−T 2e
)1
−T/Te=
TeT − T Te
Iv(−T Te);
Te
Te=
TT
Ahora, la ecuación anterior (Te/Te = T/T ) se puede combinar con las ecuaciones 3.2.10 y 3.2.13 y llegar a
la siguiente expresión:
Te
Te=
Dλ
=TT
=− 1κ
(D−Dv); (3.2.18)
D = Dv λ
λ −κ= Kte (3.2.19)
lo que finalmente sugiere que la tasa de deformación viscosa de una isotaca Dv es propocional a la tasa de
deformación de la isotaca D como se había mencionado anteriormente.
Las distancias que separan a las isotacas fueron estudiadas con detalle por LEINENKUGEL[16]. Empíri-
camente logró demostrar lo siguiente: sean las isotacas que surgen a partir de las tasas de deformación Da
y Db. El salto de esfuerzos Tb−Ta que ocurre tras cambiar la tasa de deformación de Da a Db, son propor-
cionales al logaritmo de la relación entre las velocidades de las isotacas y al esfuerzo Ta. El coeficiente de
proporcionalidad corresponde al índice de viscosidad Iv propuesto por LEINENKUGEL[16]. Lo anterior es:
Tb−Ta = IvTa ln(
Db
Da
)(3.2.20)
Para hacer la comparación con el modelo unidimensional viscohipoplástico considérese las isotacas Da y Db
mostradas en la figura 3.4. Ambas isotacas se pueden obtener a partir de un creep desde el punto de referencia
o empleando las ecuaciones 3.2.3 así:
εa− ε0 =−ψ ln(
ta + t0t0
); εb− ε0 =−ψ ln
(tb + t0
t0
)(3.2.21)
donde ta y tb son los tiempos de creep necesarios para llegar justo a los puntos A y B respectivamente.
Entonces la diferencia en unidad de deformación entre las isotacas A y B se puede obtener a partir de la
55
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
e=ln(1+e)
ln(-T/ Tr)Tb Ta
Da
De
Db
O
A
B C
Dr
e 0
e a
e b
Figura 3.4: Diagrama para ilustrar los saltos de esfuerzos debido al cambio de isotacas.
diferencia de las ecuaciones anteriores:
εb− εa = ψ ln(
ta + t0tb + t0
)(3.2.22)
Nótese que la relación (tb + t0)/(ta + t0) es equivalente que la relación entre las tasas de creep Dva/Dv
b si se
tiene en cuenta la ecuación 3.2.6 (para tasas de creep ). Como se había mencionado anteriormente las tasas
de deformación viscosas por creep son equivalentes a las tasa de deformaciones viscosas de las isotacas
correspondiente al punto donde el tiempo es igual a to + t. Además, por ser isotacas se puede utilizar la
ecuación 3.2.19 y establecer que:Dv
a
Dvb
=Da
Db(3.2.23)
Entonces la ecuación 3.2.22 se convierte en:
εb− εa = ψ ln(
Db
Da
)(3.2.24)
Por otro lado, la diferencia de deformaciones entre las isotacas A y B, es decir, εb− εa se puede obtener a
partir de una trayectoria por la línea de primera compresión de la siguiente manera:
εb− εa =−λ lnTb/Ta (3.2.25)
Igualando 3.2.24 y 3.2.25:
−λ lnTb/Ta = ψ ln(
Db
Da
);
Ta
Tb=(
Db
Da
)ψ/λ
=(
Db
Da
)Iv
(3.2.26)
56
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
que es lo mismo que:
Iv ln(
Db
Da
)= ln
(Tb
Ta
)(3.2.27)
Esta ecuación es equivalente a la ley de NORTON pero esta vez para el caso especial de dos isotacas y sin
establecer una de ellas como la isotaca de referencia. Se puede utilizar la aproximación ln(1 + x) ≈ x para
transformar la expresión Tb/Ta como se muestra a continuación:
x =Tb−Ta
Ta; 1+ x = 1+
Tb
Ta−1 =
Tb
Ta;
ln(1+ x) = ln(
Tb
Ta
)=
Tb−Ta
Ta; (3.2.28)
Con la anterior expresión, la ecuación 3.2.27 se convierte en:
Tb−Ta = IvTa ln(
Db
Da
)(3.2.29)
que es exactamente la expresión propuesta por LEINENKUGEL para los saltos de esfuerzos debido a cambios
de isotacas (véase ecuación 3.2.20). Una conclusión importante es que aunque las ecuaciones son iguales
después de aplicar la aproximación ln(1+x) ≈ x el índice de viscosidad Iv propuesto por LEINENKUGEL[16]
es similar, pero no igual al que propone el modelo viscohipoplástico de NIEMUNIS.
Simulación de creep y relajación: estos casos son mas sencillos de explicar. Para el primer caso, el
proceso de creep inicia al permanecer el esfuerzo efectivo constante5. En ese momento T = 0 lo que implica
que la deformación es igual a la deformación viscosa D = Dv (véase ecuación 3.2.10). La velocidad con que
ocurre el creep aumenta si Iv aumenta y el OCR disminuye (véase ecuación 3.2.16). Esto último implica que
para un proceso de creep su velocidad va disminuyendo a medida que el tiempo t > tp avanza. Para el caso
de un proceso de relajación se debe cumplir con la condición que D = 0. Entonces T = −T/κDv (véase
ecuación 3.2.10) y el esfuerzo disminuye. Igual que el creep la velocidad para un proceso de relajación
aumenta con el índice de viscosidad Iv y disminuye con el aumento del OCR. En la siguiente sección se
explica el modelo viscohipoplástico para el caso general de tres dimensiones.
3.3. Ecuación viscohipoplástica en 3D
NIEMUNIS en [18] propone la ampliación del modelo al caso de 3D considerando las siguientes ob-
servaciones; la tasa de elongación D se descompone en una tasa de elongación viscosa Dv y una elástica
De:
D = Dv +De (3.3.1)
5Igual que a la hipoplasticidad, los esfuerzos que se trabajan en las ecuaciones viscohipoplásticas son siempre efectivos.
57
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
Los factores de picnotropía fe6 y de densidad fd se deben remover de la ecuación constitutiva por ser factores
que aportan la dependencia del comportamiento mecánico del material con respecto a la densidad y a la
relación de vacíos, comportamientos típicos de las arenas y no de las arcillas. El factor de barotropía fb7
se debe modificar dado a que aporta para el caso de la arena la influencia de las presiones de confinamiento
sobre su comportamiento mecánico. Este último factor debe ser deducido nuevamente para las arcillas. Por
último la tasa de deformación viscosa Dv que para el caso de 1D se puede obtener mediante la ecuación
análoga a la ley de NORTON (3.2.16) se debe extender para el caso de tensores, lo que implica que el OCR se
debe redefinir para el caso tridimensional. En este inciso se explica el modelo viscohipoplástico propuesto
NIEMUNIS[18]8 para el caso de tres dimensiones siendo consistente con la ley de BUTTERFIELD.
Para explicar el modelo viscohipoplástico NIEMUNIS elige como modelo de referencia el modelo hi-
poplástico propuesto por WOLFFERSDORFF (véase sección 1.5). Recapitulando, el modelo presenta una
ecuación constitutiva de la forma:T = LD+ fdN‖D‖
WOLFFERSDORFF propone la simplificación de los tensores L y N introduciendo los tensores normalizados
L y N definidos según se muestra a continuación:
L =fb fe
T : Ta2
((Fa
)2
I+ T⊗ T
)=
fb fe
T : TL (3.3.2)
N =fb fe
T : Ta2(
Fa
)(T+ T∗) =
fb fe
T : TN (3.3.3)
Por otro lado el tensor invertido L−1 también se puede descomponer en el producto de unas cantidades
escalares por un tensor normalizado L−1 de la siguiente forma:
L−1 =T : Tfb fe
1F2
I− T⊗ T(Fa
)2
+ T : T
=T : Tfb fe
L−1 (3.3.4)
El primer paso es remover fe y fd dado a que simulan los efectos en el comportamiento mecánico de
los suelos debido a la densidad ρ y a la relación de vacíos e típico de suelos de grano grueso. También se
remueve la invariante en función de T, T : T que se presenta en las expresiones 3.3.2 y 3.3.3. NIEMUNIS[19]
justifica su remoción teniendo en cuenta lo siguiente: el próposito de la invariante T : T es presentar mayores
cambios de volumen a medida que los esfuerzos desviadores aumentan. En otras palabras, si se tienen dos
estados de esfuerzos ambos con la misma norma euclidiana ‖T ‖= kte, aquel que presente mayores esfuerzos
6dependencia de la relación de vacíos e7dependencia de la presión de confinamiento8Igual que para el caso unidimensional NIEMUNIS presenta en 1996 una versión del modelo viscohipoplástico en tres
dimensiones[18] que luego modifica en [19] para ser consistente con la ley de compresión de BUTTERFIELD[5].
58
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
desviadores q = Ti−Tj presentará un menor valor en la invariante T : T y finalmenteT aumenta. Este efecto
se observa muy poco en las arcillas y por lo tanto no debe ser considerado en los tensores de L y N. Con
lo anterior las ecuaciones hipoplásticas removiendo los factores mencionados quedan como se muestran a
continuación:
L = fba2
((Fa
)2
I+ T⊗ T
)= fbL (3.3.5)
N = fba2(
Fa
)(T+ T∗) = fbN (3.3.6)
L−1 =1fb
1F2
I− T⊗ T(Fa
)2
+ T : T
=1fb
L−1 (3.3.7)
El próximo paso es obtener la descomposición de la deformación en una deformación viscosa y una elástica
tal como se muestra en la ecuación 3.3.1. Para tal propósito NIEMUNIS[19] reorganiza los términos de la
ecuación hipoplástica como se muestra a continuación:
T = L : D+N‖D‖
=T = L : (D+L−1 : N ‖ D ‖)
=T = fbL : (D+ L−1 : N ‖ D ‖)
=T = fbL :
(D− (−L−1 : N ‖ D ‖)
)(3.3.8)
En esta última ecuación 3,3,8 se pueden identificar fácilmente la deformación viscosa Dv y la deformación
total D (véase ecuación 3.3.1). Estableciendo la deformación viscosa como:
Dv =−L−1 : N ‖ D ‖ (3.3.9)
entonces la ecuación 3.3.8 se puede reescribir como:
T = fbL : (D−Dv) (3.3.10)
Esta ecúación es análoga a la (3.2.10) para 1D. Sin embargo, falta aún definir fb, el OCR, y establecer la
ecuación que gobierna la tasa de deformación viscosa ánáloga a la ley de NORTON pero en este caso para
tres dimensiones. A continuación se presenta la deducción de cada uno de estos términos.
59
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
3.3.1. Factor de barotropía
EL factor de barotropía propuesto para la ecuación hipoplástica de WOLFFERSDORFF intenta simular los
efectos en la rigidez debido a la presión de confinamiento en la curva de primera compresión bajo un ensayo
oedométrico. Para el caso viscohipoplástico, el factor fb debe representar los efectos en la rigidez tanto en la
curva de primera compresión como en la curva de descarga-recarga debido a las presiones de confinamiento,
y debe funcionar en condiciones oedométricas e isotrópicas[19]. Para tal propósito se considera la ley de
compresión de BUTTERFIELD bajo deformación isotrópica sobre el eje hidrostático p =−(T1 +T2 +T3)/3.
Para compresión isotrópica se cumple que:
Ti j =13
δi j; (3.3.11)
p =−13
δi j
Ti j
; (3.3.12)
Dkl = δkl13
Dv; (3.3.13)
Las ecuaciones de compresión son entonces:
ln(
1+ e0
1+ e
)= λ ln
(pp0
)para primera compresión isotrópica; (3.3.14)
ln(
1+ e0
1+ e
)= κ ln
(pp0
)para descarga-recarga isotrópica; (3.3.15)
y derivando:
ddt− ln
(1+ e1+ e0
)=
ddt
λ ln(
pp0
)− 1
1+ e1+ e0
e1+ e0
=λ
pp0
pp0
− e1+ e
= λpp
(3.3.16)
Teniendo en cuenta que la tasa de deformación volumétrica es Dvol =e
1+ ey haciendo un procedimiento
similar para el caso de descarga-recarga se pueden deducir las siguientes dos expresiones:
p =− pλ
Dvol (3.3.17)
p =− pκ
Dvol (3.3.18)
Para deducir el fb, se considera una trayectoria descarga-recarga lo que implica que no hay deformación
viscosa Dv = 0. Esta trayectoria está descrita por la ecuación de descarga (3.3.18). Por otro lado, para com-
presión isotrópica se cumplen las ecuaciones 3.3.11, 3.3.12 y 3.3.13 y por lo tanto p = p = −1/3δi j
T i j;.
60
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
Entonces bajo estas condiciones (descarga en compresión isotrópica) se puede encontrar un fb que cum-
pla con las condiciones anteriores teniendo en cuenta la ecuación4.2. Para encontrar fb se hace el siguiente
procedimiento matemático:
p =− pk
Dvol =−13
δi j
Ti j
− pk
Dvol =−13
δi j
(δi jδ jl +a2 1
3δi j
13
δkl
)(δkl
13
Dvol)
; (3.3.19)
Como para compresión isotrópica p =−13
trT entonces se puede despejar fb resultando:
fb =− trT(1+a2/3)κ
=−βbtrT (3.3.20)
introduciendo al factor βb =((1+a2/3)κ
)−1. Entonces el factor de barotropía es proporcional al estado de
esfuerzo sin tener en cuenta los esfuerzos desviadores, esto es fb ∼ trT, y el factor de proporcionalidad es una
constante del material (βb). Para el caso de la Hipoplasticidad el factor fb ∼ (trT)1−n y también depende de
las constantes del material ei0,ed0,ec0. Ambos fb están deducidos a partir de una compresión isotrópica para
el caso de primera compresión en Hipoplasticidad y descarga-recarga en Viscohipoplasticidad. Ya definido
fb se presenta en el próximo inciso la definición del OCR para el caso de tres dimensiones.
3.3.2. Definición del OCR en 3D
El modelo viscohipoplástico unidimensional adopta la definición del OCR propuesto por HVROSLEV,
OCR = pe/p. El problema de esta definición consiste en que el esfuerzo equivalente pe no es tan fácil de
establecer al tener un estado de esfuerzos que presente esfuerzos desviadores. Para solucionar el problema
NIEMUNIS adopta el concepto de la elipse de fluencia propuesto para el modelo de Cam-Clay modificado
MCC (por las siglas en inglés)9. La elipse de fluencia es aquella cuya superfice delimita el inicio de las
deformaciones plásticas (p.e. en una trayectoria p−q) y por lo tanto en ese instante se dice que la trayectoria
entra al estado de normal consolidación. Esta elipse está en función de la pendiente de la línea estado crítico
en el espacio p-q denominada M y del esfuerzo equivalente pe10. La ecuación que describe la elipse de
fluencia según el MCC es la siguiente:
p(p− pe)+q2
M2 = 0 (3.3.21)
9Los mayores contribuyentes al modelo elastoplástico del Cam-Clay y Cam-Clay modificado fueron SCHOFIELD[24] yROSCOE[23] respectivamente.
10La línea del estado crítico se obtiene de distintas maneras según el modelo constitutivo. Para el modelo MCC se obtienemedianyte la ecuación q = Mp, y para la Hipoplasticidad o Viscohipoplasticidad se obtiene mediante la solución de la ecuaciónB = 1 (véase figura 3.5.a.)
61
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
Para la teoría viscohipolástica, un punto p,q,e11 puede proyectarse a un esfuerzo equivalente pe que se
encuentre sobre la isotaca de referencia definida en el plano isotrópico (q = 0). Para ilustrar lo anterior
considérese la figura 3.5.b. La figura muestra que el punto con coordenadas (p1,q1,e1) se puede proyectar en
el plano isotrópico (en el piso p−ν siendo q = 0), y luego se proyecta a la isotaca de referencia encontrando
al esfuerzo equivalente pe. Nótese que la isotaca de referencia está identificada con el estado de referencia
(ee0, pe0). Dado que el esfuerzo equivalente pe se localiza en la isotaca de referencia, éste se puede obtener a
partir de la ecuación de compresión de BUTTERFIELD como se muestra a continuación:
ln(
1+ ee0
1+ e1
)= ln
(pe
pe0
)(3.3.22)
Por otro lado, las figuras 3.5.a y b muestran que el punto con coordenadas (p1,q1,e1) está sobre una elip-
q
v
p
(eref, p ref)
Isotaca de
referencia
(e1, p 1, q1)
p e
p e +
q
p
q=Mp
‖B‖=1 Elipse de fluencia
en la isotaca de
referencia para elmismo e
Elipse de fluencia
para el estadoactual
p e
+
p e
(p1, q1)
(a) Elipses de fluencia para el estado actual y para peen la isotaca de referencia.
q
v
p
(ee0, p e0)
Isotaca de
referencia
(e1, p 1, q1)
p e
p e +
q
p
q=Mp
‖B‖=1 Elipse de fluencia
en la isotaca de
referencia para elmismo e
Elipse de fluencia
para el estadoactual
p e
+
p e
(p1, q1)
(b) Se muestra la elipse de fluencia para el es-tado actual en el espacio ν− p−q.
Figura 3.5: Ubicación de los puntos pe y p+e en los espacios p−q y ν− p−q.
se de fluencia. Esta elipse proyecta al punto anterior con una trayectoria elíptica hasta la curva de normal
consolidación sobre el plano isotrópico que no necesariamente es la isotaca de referencia. Este esfuerzo
equivalente se denota con el símbolo p+e . Entonces nuevamente se tienen dos puntos que definen isotacas
igual que en la definición anterior del OCR; el primero corresponde al esfuerzo equivalente pe que defi-
ne la isotaca de referencia, y el segundo corresponde al esfuerzo equivalente proyectado con la elipse de
fluencia al plano isotrópico p+e que define una nueva isotaca característica del estado actual de esfuerzos y
deformaciones. Definiendo al OCR como la relación entre estos dos puntos se obtiene nuevamente la equi-
valencia entre esfuerzos y tasas de deformación análogo a la definición del OCR propuesto por HVROSLEV.
11o también (p,q,ν) teniendo en cuenta que ν = 1+ e.
62
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
Matemáticamente es:
OCR =pe
p+e
(3.3.23)
La definición anterior implica que para alcanzar un OCR = 1 es necesario estar sobre un punto que coincida
con la elipse de fluencia sobre la isotaca de referencia. Entonces existe más de una isotaca sobre el plano
isotrópico p− e (q = 0) para un OCR = 1, lo que se explicará con detalle en el próximo inciso. No obstante,
HIBBIT demostró[13] mediante ensayos experimentales que la superficie que define un estado de fluencia no
es exactamente una elipse. HIBBIT introdujo una modificación a la elipse del modelo MCC con la propuesta
de dos ecuaciones distintas, una para los estados de esfuezos por debajo de la línea del estado crítico y otra
para los estados de esfuerzos por encima. Para diferenciar definió la variable η como:
η =q
Mp(3.3.24)
y las ecuaciones que propuso modifican al esfuerzo equivalente p+e de la siguiente manera:
p+newe =
pβR−1
(βR
√1+η
2(β 2R−1)−1
)η < 1; (3.3.25)
p+newe = p(1+ν
2)1+βR
2η > 1 (3.3.26)
donde el βR es un parámetro adicional que comprende el rango 0< βR < 1. La modificación se ilustra en la
figura 3.6.
142 CHAPTER 4. EXTENSIONS AND MODIFICATIONS
contractancy appear at high stress ratios only and cannot be described by the model.
Recently Krieg (private communication) has attributed this effect (at least a part of it)
to the experimental technique.
4.2.10 Modified shape of the yield surface
Some numerical tests indicate that a modification [89] of (4.77) might be useful. In place
of (4.77) one may introduce two different equations: one for the stress states below and
one for the states above the critical state surface ‖B‖ = 1. We explicitly distinguish
between so-called ’wet’ and ’dry’ states [206] and propose separate equations for these
regions.
The modification shown in Fig. 4.33 needs one additional parameter 0 < βR < 1. The
equivalent pressure p+e = p(1 + η2), cf. (4.80), can be now expressed as the following
function of the actual stress
p+newe =
p
βR − 1
[βR
√1 + η2(β2
R − 1)− 1
]for η < 1, (4.117)
p+newe = p(1 + η2)
1 + βR
2for η > 1, (4.118)
where η = q/(Mp). This allows for some freedom in constitutive modeling.
p pp /2 e eep /2e
new
β
β =1β =0.5
p
q
||B||=
1
RR
R+ +
+ +
β =0.5
p
q
R
β =0.99R
resulting undrained paths
Figure 4.33: Modification of the cap surface proposed in [89]. Such modified shape is used inthe Cam-clay model to improve its prediction of K0. It should be noted, that the overestimatedK0 values from (4.94) as shown in Fig. 4.25 cannot be improved by the parameter βR. It canbe used, however, to capture the ratio between the preconsolidation pressure and the undrainedcohesion and to influence the stress response (shape of the stress path) for undrained shearingin saturated, normally consolidated soil
The above modification requires some changes in the numerical algorithm. For the dry
side (η > 1) the right-hand-side expression in (4.80) and (4.133) must be multiplied by
(1 +βR)/2. For the wet side (η < 1) we use (4.117). in place of p+e (p, q) = p(1 + η2) given
Figura 3.6: Modificación de la superficie de fluencia propuesta por [13]. Tomada de [19].
3.3.3. Tasa de defomación viscosa
Para el modelo viscohipoplástico unidimensional la tasa de deformación viscosa Dv es análoga a la ley
de NORTON (véase ecuación 3.2.16). En el caso 3D la tasa de deformación viscosa Dv no es tan trivial,
teniendo en cuenta que es un tensor y por lo tanto debe de proporcionar una magnitud y un sentido. Para su
deducción NIEMUNIS analiza lo siguiente; de la ecuación para Dv (véase ecuación 3.3.9) se puede inferir
que Dv ∼ L−1 : N =−~B. Con esta ecuación se obtiene el sentido de la deformación viscosa Dv. La magnitud
63
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
se puede obtener con la analogía de la ley de NORTON. Entonces las ecuaciones para obtener la deformación
viscosa son:
~Dv =−~B Para obtener la dirección y sentido (3.3.27)
‖ Dv ‖=−Dr
(1
OCR
)1/Iv
Para obtener la magnitud (3.3.28)
Para obtener −~B se hace el siguiente procedimiento:
−B = L−1 : N;
=1
F2
(I− T⊗ T(F
a
)2 + T : T
)︸ ︷︷ ︸
L−1
: a2(
Fa
)(T+ T∗)︸ ︷︷ ︸
N
Ahora se multiplica y divide el término L−1 por el escalar(F
a
)2 + T : T de la siguiente manera:
=a
F((F/a)2 + T : T
) (I
((Fa
)2
+ T : T
)− T⊗ T
): (T+ T∗)
= ϖ
(I
((Fa
)2
+ T : T
)− T⊗ T
): (T+ T∗)
siendo ϖ =a
F((F/a)2 + T : T
) un escalar. Teniendo en cuenta que el tensor T es simétrico entonces se
cumple que T : T⊗ T = T⊗ T : T y entonces:
= ϖ
((Fa
)2
(T+ T∗)+ T : T⊗ T+ T : T⊗ T∗− T⊗ T : T− T⊗ T : T∗)
= ϖ
((Fa
)2
(T+ T∗)+ T : T⊗ T∗− T⊗ T : T∗)
El tensor direccional ~B se obtiene dividiendo al tensor B con su magnitud ‖ B ‖. Como el tensor B ∼ B
entonces también se puede obtener al tensor direccional con ~B =B‖ B ‖ . Esto es:
~B =
((F/a)2(T+ T∗)+ T : T⊗ T∗− T⊗ T : T∗
)‖ ((F/a)2(T+ T∗)+ T : T⊗ T∗− T⊗ T : T∗
) ‖12 (3.3.29)
12El escalar ϖ se remueve dado a que aparece en el numerador y en el denominador.
64
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
Finalmente la ecuación que describe la tasa de deformación viscosa en el modelo viscohipoplástico se esta-
blece como:
Dv =−Dr~B(
1OCR
)1/Iv
(3.3.30)
OCR = 1: con la tasa de deformación viscosa se puede hacer el análisis para el caso general del OCR = 1.
La condición OCR = 1 implica que OCR = kte y entonces si se derivaddt
pe
p+e
= 0 se obtiene:
OCR = kte; ∴pe
+
p+e
=pe
pe(3.3.31)
Esta condición solo se cumple cuando está bajo la línea de primera condición y para el caso de OCR = 1 esta
línea debe tener pe = p+e . Derivando la ley de compresión de BUTTERFIELD se obtiene:
pe
pe=− 1
λtrD (3.3.32)
Con las ecuaciones 3.3.31 y 3.3.32 se obtiene:
trT
trT=
pe+
p+e
=pe
pe=− trD
λ(3.3.33)
Esta última ecuación implica varios aspectos. Lo primero es que las isotacas dependen de la oblicuidad del
esfuerzo T. O en otras palabras, bajo la misma magnitud en la tasa de deformación ‖ D ‖= kte, pero con
diferentes direcciones D 6= kte se obtienen líneas paralelas de compresión en el espacio doble-logarítmico
lnν , lnσ . Para ilustrar lo anterior considérese la figura 3.7. La figura 3.7.a muestra tres trayectorias de prime-
ra compresión. La trayectoria A corresponde a una compresión isotrópica por la línea de primera compresión
de referencia. Las trayectorias B y C corresponden a compresiones oedométricas con distintos K0 = T22/T11
que pasan por la elipse de fluencia con condición OCR = 1. Las tres trayectorias se deforman con la misma
tasa ‖ D ‖= kte pero con distintas direcciones ~D(A) 6= ~D(B) 6= ~D(C). La trayectoria sobre el espacio ν− p−q
se aprecia en la figura 3.7.b. Esta es la razón por la cual trayectorias de primera compresión oedométricas
son paralelas a trayectorias de primera compresión isotrópica pero no iguales y por lo tanto la ecuación para
obtener la deformación viscosa de referencia Dr no es la misma en los dos casos. Este último aspecto se
soluciona en la sección de parámetros viscohipoplásticos (inciso 3.4).
3.4. Valores de referencia y parámetros viscohipoplásticos
En este inciso se explica algunos procedimientos y ecuaciones para obtener los valores de referencia y
los parámetros viscohipoplástico.
65
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
q
p
q=Mp
‖B‖=1 Elipse de fluencia
en la isotaca de
referencia para elmismo e
Elipse de fluencia
para el estadoactual
p e
+
p e
(p1, q1)
q
p
q=Mp
‖B‖=1
q
v
p
(Isotaca dereferencia
para q=0)
Trayectoria B
Trayectoria C
Trayectoria A
Línea del estado
crítico
‖B‖=1
v=1+e
p
A
B
C
A
B
C
Isotaca de
referencia para
q=0 (compresión
isotrópica)
OCR=1
(a) Trayectorias con OCR = 1, bajo la mismamagnitud en la tasa de deformación ‖ D ‖=kte y con distintos sentidos de deformación~D(A) 6= ~D(B) 6= ~D(C).
nciae
ra el
q
v
p
(Isotaca dereferencia
para q=0)
Trayectoria B
Trayectoria C
Trayectoria A
Línea del estado
crítico
‖B‖=1
n
(b) Representación en el diagrama ν− p−q
Figura 3.7: Trayectorias con ‖ D ‖= kte y OCR = 1.
3.4.1. Valores de referencia
Básicamente los valores de referencia corresponden a establecer la superficie para la cual OCR = 1 en el
espacio ν− p−q. Para tal propósito es necesario definir un punto característico con valores de ee0, pe0,Dr.
A continuación se explican cada uno.
Tasa de deformación viscosa de referencia Dr: la figura 3.7.b muestra tres distintas trayectorias con
diferentes K0 y con OCR = 1. La trayectoria A corresponde a un K0 = 1, es decir, a una compresión isotró-
pica y las trayectorias B y C corresponden a compresiones oedométricas con distintos K0. Para el caso de
compresión isotrópica la ecuación que relaciona Dr con la tasa de deformación ‖ D ‖ es análoga a la que se
presenta para 1D (véase ecuación 3.2.18) y se presenta a continuación:
Dr =λ −κ
λ‖ D ‖
Por otro lado, la figura 3.7.b muestra que la trayectoria es dependiente del K0. Por esta razón NIEMUNIS[19]
introduce la variable x =‖D ‖ / ‖Dv ‖ para resolver la tasa de deformación viscosa de referencia Dr. Para el
caso de compresión oedométrica bajo deformación constante el tensor ~D = diag[−1,0,0] = kte13. Teniendo
en cuenta que para un OCR = 1 y bajo compresión oedométrica la tasa de esfuerzosT ∼ T NIEMUNIS
13el operador diag[, , ] es equivalente a un tensor diagonal con los elementos igual a los presentados entre corchetes.
66
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
resuelve las variables K0 y x en las siguientes dos ecuaciones:
xλβb
=−Lii11x− (Lii11~B11 + Lii22~B22 + Lii33~B33) (3.4.1)
K0 =−L2211x− (L2211~B11 + L2222~B22 + L2233~B33)−L1111x− (L1111~B11 + L1122~B22 + L1133~B33)
(3.4.2)
Las condiciones oedométricas implican a la vez que:
F = 1 ; L1111 = 1+a2 1(1+2K0)2 ; L2222 = L3333 = 1+a2 K2
0(1+2K0)2 (3.4.3)
La solución de x =‖D ‖ / ‖Dv ‖ se presenta de manera implícita en las ecuaciones anteriores y por lo tanto se
debe resolver con K0 a la vez mediante métodos numéricos. NIEMUNIS presenta la solución a las ecuaciones
mediante curvas que relacionan el cociente λ/κo14 y el ángulo de fricción crítico ϕc15 con K0 y x (véase
figuras 3.8).
4.2. VISCO-HYPOPLASTIC MODEL 135
0.4
0.5
0.6
0.7
20 30 40
λ/κ = 4 λ/κ = 6.7
λ/κ = 10 λ/κ = 12.5
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
20 30 40
o
o
o
o
K0
[ ]o [ ]o
x= -D /D11 r
Figure 4.27: Values of K0 and x = ‖D‖/Dr referred to the oedometric swell index κo
Evaluation of K0 from uniaxial creep tests
Consider now an oedometric creep test with T11 = 0 and Dij = δ1iδ1j. Independently of
the initial stress, we expect that a specific ’K0-stress state’ establishes itself eventually
(as an asymptotic state) for which
T22/T11 = T33/T11 = const (4.100)
The condition T11 = 0 with (4.100) implies T = 0 and consistently D = Dvis which leads
to the value
T22/T11 = T33/T11 = Kup0 (4.101)
which was derived in (4.94). The OCR is increasing during the test and the stress ratio
tends to Kup0 . The asymptotic value Kup
0 reached after a long uniaxial creep seems to be
appropriate for most geotechnical problems. at least for normally consolidated or slightly
overconsolidated states.
Closing the discussion on K0 let us repeat that our model does not offer a possibility
of choosing an arbitrary value for K0 = K0NC for normally consolidated soils. Kup0 is
one-to-one related with ϕc. In particular the value K0 = 1− sin ϕ cannot be set, as shown
in Fig. 4.25. If the application of self weight is calculated with the hypoplastic model
initial stress ratio K0 given in Fig. 4.26 or Fig. 4.26 establishes itself for OCR = 1. In
Section 4.3 this problem will be alleviated because the basic constitutive equation will
obtain some additional flexibility. Using Abaqus the problem may also be apparently
circumvented with a simple trick. At the beginning of a FE-calculation we may prescribe
Figura 3.8: Valores de K0 y x =‖ D ‖) ‖ Dv ‖. Tomado de [19].
Relación de vacíos y esfuerzo promedio de referencia ee0, pe0: Corresponden a un punto sobre la
trayectoria OCR = 1 para el Dr seleccionado. Por conveniencia se ha establecido que el valor de ee0 se debe
escoger en el punto para la cual pe0 = 100kPa denominando a esta relación de vacíos e100.
Otra manera de establecer la trayectoria de referencia con OCR = 1 la introdujo GOLDSCHEIDER re-
lacionando la variables Dr, pe0 y ee0 en una sola constante del material. Su propuesta está basada en la
observación de la tasa de deformación viscosa Dv. Independiente a las variables Dr, pe0 y ee0 la tasa de
14El superíndice O del índice de descarga κo significa que se obtiene a partir de un ensayo oedométrico y es diferente al κ de lasecuaciones viscohipoplástica que se obtiene a partir de un ensayo isotrópico.
15Las gráficas 3.8 simbolizan el ángulo de fricción crítico ϕc omitiendo el subíndice c por diferencias de notación.
67
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
deformación viscosa Dv para un estado de esfuerzos y deformaciones T y e permanece igual. Luego, con la
ecuación de la tasa de deformación viscosa (véase ecuación 3.3.30) y bajo la condición que para un e = kte
Dv = kte se obtiene la condición:
DIvr (pe0)−1(1+ ee0)−1/λ = kte (3.4.4)
Sin embargo esta constante es dependiente de las unidades de las variables. Una alternativa fué propuesta
por KRIEG y NIEMUNIS[20] introduciendo la variable Γ con unidades de esfuerzo. En lugar de Dr utilizó
(Dr/1%/h) para no introducir unidades de tiempo. La expresión se describe a continuación:
Γ = (Dr/1%/h)−Iv(pe0)(1+ ee0)1/λ (3.4.5)
3.4.2. Parámetros viscohipoplásticos
En esta sección se presentan las ecuaciones y los métodos para obtener los parámetros vicohipoplástico
con excepción del parámetro ϕc explicado anteriormente en el inciso 1.7 y el parámetro βR que se obtiene
por calibración.
Índice de viscosidad Iv: mide la reacción del material con los cambios en la tasa de deformación. Una
manera de determinar el índice de viscosidad Iv es mediante un ensayo isotrópico que contenga dos isotacas.
Para ilustrar lo anterior considérese la figura 3.9. La figura presenta para un ensayo isotrópico la isotaca
de referencia, y dos isotacas A y B con distintas velocidades vicosas Dv(a) y Dv
(b)16. Nótese que los puntos
pa = p+a y pb = p+
b poseen el mismo esfuerzo equivalente pe por presentar la misma relació de vacíos e.
Entonces pe(a) = pe(b) = pe. Teniendo en cuenta que x =‖D ‖ / ‖Dv ‖, la ecuación 3.3.30 y la definición del
OCR = pe/p+e se puede demostrar que para las isotacas A y B están gobernadas por las siguientes ecuaciones:
‖ D(a) ‖= xDr
(p+
e(a)
pe
)1/Iv
; ‖ D(b) ‖= xDr
(p+
e(b)
pe
)1/Iv
(3.4.6)
dividiendo ambas ecuaciones y despejando con logaritmos:
Iv = lnp(a)
p(b)/ ln‖ D(a) ‖‖ D(b) ‖
(3.4.7)
Dado a que los esfuerzos T(a) ∼ T(b) son proporcionales se puede obtener el índice de viscosidad Iv a partir
de un ensayo oedométrico con una ecuación equivalente a la anterior:
Iv = lnT11(a)
T11(b)/ ln‖ D(a) ‖‖ D(b) ‖
(3.4.8)
16En este caso los tensores direccionales ~D(a) = ~D(b) = diag[−1,−1,−1] por tratarse de una compresión isotrópica
68
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
ln(1+e)
ln(p/p r)
(ee0, p e0)
DrD(a)D(b)
vv
(Isotaca dereferencia
para q=0)
(Isotaca A)
(Isotaca B)
p e(b) p e(a) p e
+ + +
Figura 3.9: Obtención del índice de viscosidad mediante dos isotacas con ensayo isotrópico. Adaptado de[19].
Una manera alternativa es utilizar la ecuación empírica propuesta por GUDEHUS y LEINENKUKEL que
relaciona al índice de viscosidad Iv con el límite líquido wL:
Iv = 0,05+0,026lnwL (3.4.9)
No se ha encontrado una justificación ciéntifica a la ecuación anterior.
Índices de compresión y de descarga-recarga λ , κ: NIEMUNIS presenta una deducción las ecuacio-
nes viscohipoplástica en 1995[20] y 1996[18] para el caso de 1D y 3D utilizando la ley de compresión
de TERZAGUI bajo el plano semilogarítmico e vs. ln(p/pr). En estos casos los índices de compresión y
descarga-recarga λ , κ se obtienen a partir del mismo plano y mediante un ensayo isotrópico. Luego, en su
disertación del 2003[19] NIEMUNIS modifica las ecuaciones para estar concorde a la ley de compresión se-
gún BUTTERFIELD sobre el plano doble-logarímico ln(1 + e) vs. ln(p/pr). En este caso ambos índices se
deben obtener a partir del mismo plano medainte un ensayo de compresión isotrópica.
Para el caso especial del índice de compresión λ las líneas de primera compresión generada a partir de
un ensayo isotrópico u oedométrico son paralelas y por lo tanto λ o = λ , donde el superíndice o denota que
está obtenido a partir de un ensayo oedométrico. Para el caso de κ las curvas de descarga-recarga obtenidas
a partir de compresión isotrópica y oedométrica no son paralelas. En este caso el índice de descarga-recarga
para compresión oedométrica κo es ligeramente distinto al obtenido a partir de un ensayo de compresión
isotrópica κ siendo κo < κ . Una expresión que relacione κ con κo guardando coherencia con la ley de
compresión de BUTTERFIELD se puede deducir a partir del siguiente procedimiento[19]: Teniendo en cuenta
que bajo condiciones oedométricas y suponiendo K0 = kte se cumple que:
p =− pko Dv ; Dkl = δk1δl1Dv ; Ti j =
11+2K0
1,K0,K0 (3.4.10)
69
CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09
entonces para una descarga (Dv = 0 y F = 1) y bajo condiciones oedométricas se obtiene para la tasa de
esfuerzos (véase ecuación 4.2):
T pp = fbLpp11D11 (3.4.11)
Para resolver Lpp11 se utilizan las ecuaciones para condiciones oedométricas con Ko = kte 3.4.10 y la ecua-
ción 3.3.5 llegando a la siguiente expresión:
Lpp11 =1
(1+2Ko)2
(1+2Ko)2 +a2 0 0
0 a2K0 0
0 0 a2K0
(3.4.12)
Entonces con la ecuación anterior y la ecuación 3.4.11 se obtiene:
T 11
T 22
T 33
=fb
(1+2K0)2
(1+2Ko)2 +a2
a2K0
a2K0
Dv (3.4.13)
Ahora, con la ecuación (derecha) 3.4.10 y la ecuación anterior se obtiene:
p =− pko Dv ; tr
T =− trT
κo Dv
= fb1
(1+2K0)2
((1+K0)2 +(1+K0)a2) ; (sumando los componentes de
T en la ecuación 3.4.13)
(3.4.14)
y finalmente:
fb =− trT(1+a2/(1+K0))κo =− trT
(1+a2/3)κ; (igualando a 3.3.20) (3.4.15)
Por lo tanto la ecuación que relaciona al índice de descarga-recarga para ensayo de compresión isotrópica κ
con el del ensayo de compresión oedométrica κo es:
κ =
(1+ a2
1+2K0
)1+ a2
3
κo (3.4.16)
70
Capítulo 4
Element test con Viscohipoplasticidad
En este inciso se presenta el algoritmo matemático que se debe llevar a cabo para solucionar la ecua-
ción viscohipoplástica para 1D bajo compresión oedométrica. Luego se presenta la solución general para la
ecuación viscohipoplástica en 3D.
4.1. Compresión oedométrica utilizando la versión 1D
La ecuación unidimensional viscohipoplástica está deducida teniendo en cuenta una sola dirección de
esfuerzo y una sola dirección de deformación. A pesar que existen esfuerzos en las direcciones 2 y 3, se
omiten y en lugar de ellos se trabaja con un índice de descarga κ obtenido directamente a partir de un ensayo
oedométrico κ = κo1. Para solucionar la ecuación se hace el siguiente procedimiento[20]; retomando la
ecuación 3.2.10:
T =−Tκ
(D−Dv)
donde,
Dv =−Dr
(1
OCR
)1/Iv
(igual que la ecuación 3.2.16). Sin embargo la integración explícita de esta segunda ecuación (3.2.16) es muy
inestable debido a que el exponente 1/Iv ∼ 20. Para solucionar este problema se considera a la deformación
viscosa del paso siguiente según se muestra a continuación:
Dv (t+1) =
(Dv (t) +
∂Dv (t)
∂T∆T +
∂Dv (t)
∂ε∆ε
)∆t (4.1.1)
1Por lo tanto se omite el superíndice o para el símbolo del índice de descarga en este inciso como una excepción.
71
CAPÍTULO 4. ELEMENT TEST CON VISCOHIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
y la ecuación 3.2.10 se puede reescribir de manera incremental como se muestra a continuación:
∆T =−T (t)
κ
(∆ε−
(Dv (t) +
∂Dv (t)
∂T∆T +
∂Dv (t)
∂ε∆ε
)∆t
)(4.1.2)
La derivada parcial∂Dv
∂Tse deduce a partir del siguiente procedimiento:
Dv =−Dr
(−TTe
)1/Iv
ln(Dv) = ln(Dr)+1Iv
ln(−T
Te
)1
Dv∂Dv
∂T=
1Iv
1−TTe
−TTe
∂Dv
∂T=
1Iv
Dv
T= a (4.1.3)
Un procedimiento similar se puede utilizar para deducir la ecuación para la derivada parcial∂Dv
∂εque se
muestra a continuación:∂Dv
∂ε=− Dv
λ Iv= b (4.1.4)
Nótese que se han denominado a =∂Dv
∂Ty b =
∂Dv
∂ε. En la ecuación 4.1.1 el término ∆T aparece en su lado
derecho e izquierdo. Despejando a ∆T :
∆T =−T/κ ((1−b∆t)∆ε−Dv∆t)
(1−a∆tT/κ)(4.1.5)
Por otro lado, si ∆ε es la variable dependiente en lugar de ∆T (esfuerzo controlado) entonces al despejarla
de 4.1.1 resulta la siguiente expresión:
∆ε =(−∆T
T κ+Dv
∆t +a∆T ∆t)
1(1−b∆t)
(4.1.6)
Las ecuaciones anteriores son suficientes para integrar la ecuación constitutiva 1D. Para simular procesos de
creep y relajación es necesario realizar una integración que permita establecer por cada paso una solución ya
sea por deformación controlada o por esfuerzo controlado. En las próximas líneas se propone un algoritmo
para integrar la ecuación constitutiva 1D con la condición anterior:
1. Establecer la condición inicial T0, e0.
2. Establecer los valores de referencia Dr, ee0 y Te0. En caso de utilizar e100 se supone Te0 = 100.
3. Calcular la deformación (se puede deducir a partir de la ley de compresión de Butterfield ε = ln(1+e)).Calcular el esuferzo equivalente Te = Te0/(λ exp(ε− εe0)). Calcular el OCR = Te/T .
72
CAPÍTULO 4. ELEMENT TEST CON VISCOHIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
4. Se requiere conocer el control del presente paso. Para tal propósito se introduce la variable control
que toma valor de 0 si es deformación controlada y 1 si es esfuerzo controlado. También se requiere
conocer la tasa de la variable de control, es decir, D para deformación controlada o T para esfuerzo
controlado. Se introduce la variable tasa cuyo valor corresponde a la tasa del control seleccionado para
el paso presente. Igualmente requiere conocer el incremento del tiempo para el presente paso ∆t. Con
las variables anteriores se puede calcular el incremento ya sea de deformación ∆ε (para control = 0)
o de esfuerzo ∆T (para control = 1). El incremento será identificado mediante la variable increm =tasa∆t.
5. Calcular la rigidez Rig = −T/κ (véase ecuación 3.2.10), la deformación viscosa Dv con la ecuación
3.2.16 y las variables a y b deducidas en las ecuaciones 4.1.3 y 4.1.4 respectivamente.
6. El próximo paso es calcular el incremento contrario al control. Entonces si es deformación controlada
entonces control = 0, ∆ε = increm y ∆T se puede calcular mediante la ecuación 4.1.5. Si es esfuerzo
controlado entonces control = 1, ∆T = increm y ∆ε se puede calcular a partir de la ecuación 4.1.6.
Ambas condiciones se pueden tener en cuenta mediante un condicional y con ello se obtienen un ∆ε y
un ∆T .
7. Calcular las variables de estado para el próximo paso integrando explícitamente:
T (t+1) = T +∆T (4.1.7)
ε(t+1) = ε
(t) +∆ε (4.1.8)
e = exp(ε)−1 (4.1.9)
8. Se calculan las variables de estados del próximo paso volviendo a 2.
El anterior algoritmo se programó en lenguaje VISUAL BASIC como macro de EXCEL siendo consistente con
el diagrama de flujo que muestra la figura 4.1. La programación se presenta en el anexo B.7.
La figura 4.2 presenta una trayectoria de un ensayo oedométrico realizado mediante el programa que se
presenta en el anexo B,7. La trayectoria consta de varias partes que se distinguen por presentar cambios de la
tasa de deformación, procesos de creep y procesos de relajación. Teniendo en cuenta los puntos identificados
con letras de la figura 4.2 se mencionan cada una de las partes que componen la trayectoria:
A-B: compresión con Dv = Dr.
B-C: relajación.
C-D: compresión con Dv = Dr
D-E: compresión con Dv = 102Dr
73
CAPÍTULO 4. ELEMENT TEST CON VISCOHIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
Leer los parámetros viscohipoplásticosLeer el estado inicial de T0, ε0 y e0
Declarar e inicializar variables del programaInicio
Leyendo valores de referencia Dr, ee0, Te0, εe0=ln(1+ ee0)
K t iKstep=i
Microsoft Equation 3.0
CalculandoTe , OCR, ε=ln(1+ e)
Calcular:
Establecer el control (=0 para D; o =1 para T)Leer la tasa= o
Leer el intervalo de tiempo ΔtCalcular el incremento Δε o ΔT; =(tasa)Δt
TD
Calcular:)(),,(),,(,Rig vv
ev DfbDTfaTTfDT ===−= κ
OEDOM
?0=control ?1=control
tDta v⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
Δ+Δ+
Δ1)Rig1(tasaε ⎟⎟
⎞⎜⎜⎛ −Δ
Δ)1Rig ΔtDε-bΔb(T
v
tasa=ΔTtasa=Δε
Actualizar variables del siguiente paso:
)(,1)Exp(,,, efTeTTT e =−=Δ+=Δ+= εεεε
tbtD
Δ−⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
Δ+=Δ1Rig
ε ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ Δ
=Δ)Rig-(1
Rigta
T
i=nStep
Imprimiendo variables de estadoeTeT ,,,, ε
Fin
Figura 4.1: Diagrama de flujo para la programación del element test de compresión oedométrica con Vis-cohipoplasticidad en 1D
E-F: compresión con Dv = Dr
F-G: compresión con Dv = 10−2Dr
G-H: compresión con Dv = Dr
H-I: creep.
>I: compresión con Dv = Dr
74
CAPÍTULO 4. ELEMENT TEST CON VISCOHIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
Nótese que la figura 4.2 también presenta la trayectoria para OCR = 1. Por lo tanto isotacas por encima de
esta línea presentan OCR < 1 y por debajo presentan OCR > 1.
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
3 4 5 6 7 8
Deformación vertical ε=ln(1+e)
(‐)
Esfuerzo vertical ln(σ/σr) [kPa]
Trayectoria simuladaOCR=1
e0=1.14e100=1.04λ=0.084κ=0.006Iv=0.05Dr=5.25E‐04 1/s
G
BC
DE
F
A
H
I
Dr
102Dr
Dr
10‐2Dr
Dr
Figura 4.2: Simulación de ensayo oedométrico con Viscohipoplasticidad variando la tasa de deformación
4.2. Solución general de la ecuación viscohipoplástica en 3D
La ecuación viscohipoplástica en 3D:
T = fbL : (D−Dv)
(ecuación 4.2), presenta problemas de inestabilidad igual que para el caso de 1D. De manera análoga la
ecuación anterior se expande para solucionar la inestabilidad y resulta:
∆T = L (t) :
Dv (t)∆ε−
∂Dv (t)
∂T︸ ︷︷ ︸=A
: ∆T+∂Dv (t)
∂e(1+ e (t))1︸ ︷︷ ︸B
: ∆ε
∆t
(4.2.1)
donde el incremento ∆e ha sido sustituído por (1 + e (t))1 : ∆ε . Nótese las denotaciones de los tensores de
cuarto orden A y B en la ecuación anterior. La solución sigue el mismo algoritmo que en el caso de 1D. El
siguiente paso es despejar ∆T:
∆T =(I+L (t) : A∆t
)−1: L (t) :
((I−B∆t)∆ε−Dv (t)
∆t)
(4.2.2)
75
CAPÍTULO 4. ELEMENT TEST CON VISCOHIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09
Denotando:
K =(I+L (t) : A∆t
)−1: L (t) : (I−B∆t) (4.2.3)
C = (I−B∆t)−1 (4.2.4)
Siendo K y C tensores de cuarto orden. La ecuación viscohipoplástica queda:
∆T = K : (∆ε−C : Dv (t)∆t) (4.2.5)
Según NIEMUNIS[18] K se puede interpretar como una rigidez modificada y C corresponde a una transfor-
mación lineal de la tasa de deformación viscosa Dv. Para resolver los tensores de cuarto orden A y B se
supone que la dirección de la tasa de deformación viscosa ~B no depende del estado de esfuerzo T y por lo
tanto ∂~B/∂T = 0. Con la anterior suposición entonces el tensor A queda:
A≈ DvOCR1
p(t)e
∂ p+ (t)e
∂T(4.2.6)
Solucionando las derivadas parciales:
∂ p+ (t)e
∂T=(
1− q2
M2 p2
)∂ p∂T
+(
2qM2 p
)∂q∂T
(4.2.7)
siendo:∂ p∂T
=−13
1 ;∂q∂T
=3T∗
2q(4.2.8)
Por último, el tensor de cuarto orden B corresponde a:
B =∂Dv (t)
de(1+ e t)1 =
1+ e (t)
IvλDv (t)1 (4.2.9)
76
Capítulo 5
Simulación con Viscohipoplasticidad de unLoess de Argentina
Los loess son suelos predominantemente limosos que se transportan por acción del viento. Se caracteri-
zan geotécnicamente por presentar cementación debido a una estructura interna estable que puede colapsar
por cambios en la humedad[22]. El cementante característico de estos suelos es la causa principal del au-
mento de la rigidez con bajas deformaciones, aumento de la dilatancia a bajos y elevados confinamientos y
localización de tensiones[21]. Argentina presenta estos tipos de suelos en su parte central y se han reportado
otras zonas sobre el límite con Brazil y en las montañas del oeste del país [22].
En vísperas de realizar una publicación, se realizó la simulación de un ensayo oedométrico y de com-
presión triaxial CD de un loess de Argentina en conjunto con el profesor VICTOR RINALDI de Argentina1
utilizando Viscohipoplasticidad. Se pretende evaluar el desempeño de la Viscohipoplasticidad con respecto
al comportamiento de estos suelos parcialmente cementados. Los ensayos de laboratorio fueron proporcio-
nados por la Universidad Nacional de Córdoba de Argentina.
Este capítulo presenta el procedimiento realizado para obtener los parámetros viscohipoplásticos y los
valores de referencia. Luego se presenta las simulaciones2 de las curvas experimentales y una discusión con
respecto a los resultados obtenidos.
1VICTOR ALEJANDRO RINALDI es profesor de la Universidad Nacional de Córdoba reconocido por sus investigaciones delcomportamiento mecánico de los suelos con cementación
2Las simulaciones se realizaron utilizando el programa Element test realizado por CUDMANI y BEAUVAIS como proyecto IBFen la Universidad de Karslruhe, Alemania
77
CAPÍTULO 5. SIMULACIÓN DE UN LOESS DE ARGENTINA ICIV 200710 09
5.1. Parámetros viscohipoplásticos
Los parámetros viscohipoplásticos se deducen a partir de los ensayos de compresión oedométrica y de
la compresión triaxial drenada CD. A continuación se presenta el procedimiento llevado a cabo para la
obtención de los parámetros.
Índice de compresión λ : el índice de compresión λ se obtiene a partir del ensayo de compresión oe-
dométrica. Se midió la pendiente entre dos puntos escogidos en la parte lineal de la curva sobre el espacio
ε = ln(1 + e) vs. ln(σ/σr). La figura 5.1 muestra la curva del ensayo de laboratorio y la selección de los
dos puntos A y B para obtener su pendiente λ . Teniendo en cuenta lo anterior se deduce λ con la siguiente
ecuación:
λ =− ln(1+ eA)− ln(1+ eB)ln(σA/σB)
=0,66−0,556,76−5,38
= 0,084 (5.1.1)
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
3 4 5 6 7 8
Relación
de vacíos
ln(1+e) [‐]
Esfuerzo vertical ln(σ/σr) [kPa]
Loess de Argentinae0=1.18λ=0.084A
B
1
λ
Figura 5.1: Obtención del parámetro λ en el ensayo de compresión oedométrica.
Indíce de viscosidad Iv: el ensayo de compresión oedométrica no presenta cambios en la velocidad de
deformación. Tampoco se tiene información del límite líquido wL del material. Los estudios de ROCCA, RE-
DOLFI y TERZARIOL[22] reportan valores del límite líquido wL ≈ 32% para los loess recientes de Argentina.
Según la correlación empírica propuesta por LEINENKUGEL:
Iv = 0,05+0,026lnwL (5.1.2)
(igual a la ecuación 3.4.9), para un valor wL = 32% el Iv = 0,02.
Índice de descarga-recarga κ: el ensayo de compresión oedométrica no presenta descargas. Por otro
lado el ensayo de compresión triaxial CD muestra una trayectoria sobre el espacio q vs. ε1 con una zona
78
CAPÍTULO 5. SIMULACIÓN DE UN LOESS DE ARGENTINA ICIV 200710 09
rígida antes de lo que se puede interpretar como la fluencia del material (véase figura 5.2). Según la ecua-
ción constitutiva viscohipoplástica la rigidez del material antes de alcanzar OCR = kte está afectada por el
parámetro κ . Por calibración se obtiene que con un κ = 0,06 se logra el mejor ajuste para la zona rígida.
1
1
Esfuerzo desviador q= σ 1‐σ
2[ kPa]
0
20
40
60
80
100
120
0,00 0,
σ20=8e0=1.
Calibra
,01 0,02Defor
80 kPa.06
Fluencia
ción de κ
0,03 0rmación ver
0,04 0,05rtical ε1 [%]
0,06
Figura 5.2: Obtención del parámetro κ en el ensayo de compresión triaxial CD.
Ángulo de fricción crítico ϕc: el ensayo de compresión triaxial se realizó hasta alcanzar una defor-
mación vertical ε1 = 0,12 valor insuficiente para aproximarse al estado crítico del material. Se realizó un
proceso de calibración variando el parámetro ϕc hasta alcanzar el mejor ajuste con respecto a la tendencia de
la curva experimental hacia el estado crítco. La figura 5.3 señala esta tendencia de la curva experimental.
1
1
Esfuerzo desviador q= σ 1‐σ
2[ kPa]
1
1
1
1
1
2
Esfuerzo desviador q= σ 1‐σ
2[ kPa]
0
20
40
60
80
100
120
0,00 0,
σ20=8e0=1.
Calibra
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0,00
σ2=80φc=2e0=1.
,01 0,02Defor
80 kPa.06
Fluencia
ción de κ
0,02 0,0Defor
0 kPa9.8°.06
0,03 0rmación ver
04 0,06rmación ver
Se calibrala tendencurva señ
0,04 0,05rtical ε1 [%]
0,08tical ε1 [%]
a el ϕc con ncia de la ñalada
0,06
0,10
Figura 5.3: Obtención del parámetro ϕc en el ensayo de compresión triaxial CD.
79
CAPÍTULO 5. SIMULACIÓN DE UN LOESS DE ARGENTINA ICIV 200710 09
Tabla 5.1: Velocidad de deformación ε para cada escalón de carga.No. t ∆ε D11
(min) (-) (1/s)1 30 0.00 3,72E−62 60 0.01 2,41E−63 60 0.02 7,06E−64 106 0.04 6,25E−65 210 0.03 2,84E−66 192 0.10 9,21E−6
Parámetro βR: se obtuvo a partir de un proceso de calibración con respecto a la curva experimental q
vs. ε1 del ensayo triaxial CD. Dado a que βR modifica el punto para la cual la trayectoria pierde la rigidez
inicial, se obtuvo el mejor ajuste con un βR = 0,80 entre la curva experimental y simulada.
5.2. Valores de referencia
Se establece la velocidad viscosa del ensayo de compresión oedométrica como la velocidad viscosa de
referencai Dr. La velocidad de deformación del ensayo D11 se obtiene a partir del promedio de las veloci-
dades de deformación para cada escalón de carga. Estas a su vez se obtienen a partir de la relación de la
deformación D11 y el tiempo de duración de la consolidación tp. La tabla 5.1 presenta para cada escalón de
carga la deformación ∆ε , el tiempo de consolidación tp y su respectiva velocidad de deformación D11. El
promedio de los D11 de los escalones de carga es igual a 5,25E− 06 1/s. La figura 3.8 presenta la relación
entre la tasa de deformación viscosa de referencia Dr y la tasa de deformación D11 en condiciones oedomé-
tricas. Para un λ/κ = 14 y ϕc = 29,8 se obtiene un x = −D11/Dr = 1,04. Entonces Dr = 5,05E− 06 1/s.
Para la isotaca con tasa de deformación viscosa Dr y con −T11 = 100 kPa se obtiene una relación de vacíos
de referencia igual a e100 = 1,04.
5.3. Simulación con Viscohipoplasticidad
Se simularon las curvas experimentales del ensayo de compresión oedométrica y el ensayo de compre-
sión triaxial CD. El ensayo oedométrico se simuló estableciendo como condiciones inciales −T110 = 27 kPa
y e0 = 1,14. En triaxial se simuló con condicones iniciales T11 = T22 = T33 = −80 kPa, y e0 = 1,06. Las
figuras 5.4 presentan las curvas experimentales y simuladas.
La figura 5.4.a corresponde al ensayo de compresión oedométrica. La curva experimental muestra una
trayectoria sobreconcolidada en su primera fase que posteriormente se linealiza sobre la curva de normal
consolidación. Los pocos puntos experimentales en el inicio de la curva no permiten establecer si la muestra
80
CAPÍTULO 5. SIMULACIÓN DE UN LOESS DE ARGENTINA ICIV 200710 09
0,5
0,5
0,6
0,6
0,7
0,7
0,8
Relación
de vacíos
ln(1+e) [‐]
1
1
1
1
1
2
Esfuerzo desviador q= σ 1‐σ
2[ kPa]
50
55
60
65
70
75
80
3
OCR
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0,00
σ2=80φc=2e0=1.
4 5Esfuerzo ver
Simulado
Medido
R=1
0,02 0,0Defor
0 kPa9.8°.06
6rtical ln(σ/σ
e0=σ0=λ=0κ=0e10Dv=
04 0,06rmación ver
7σr) [kPa]
=1.14=27 kPa0.0840.006
00=1.05=Dr
0,08tical ε1 [%]
Medido
Simulado
8
0,10
(a) Simulación compresión oedométrica.
0,5
0,5
0,6
0,6
0,7
0,7
0,8
Relación
de vacíos
ln(1+e) [‐]
1
1
1
1
1
2
Esfuerzo desviador q= σ 1‐σ
2[ kPa]
50
55
60
65
70
75
80
3
OCR
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0,00
σ2=80φc=2e0=1.
4 5Esfuerzo ver
Simulado
Medido
R=1
0,02 0,0Defor
0 kPa9.8°.06
6rtical ln(σ/σ
e0=σ0=λ=0κ=0e10Dv=
04 0,06rmación ver
7σr) [kPa]
=1.14=27 kPa0.0840.006
00=1.05=Dr
0,08tical ε1 [%]
Medido
Simulado
8
0,10
(b) Simulación triaxial CD.
0%
2%
4%
6%
8%
10%
Deformación volumétrivca ε
v [%
]
%
%
%
%
%
%
0% 2
σ3=80φc=2e0=1.
2% 4%Defor
0 kPa9.8°.06
% 6%rmación ver
8%rtical ε1 [%]
Medido
Simulado
10%
(c) Simulación triaxial CD.
Figura 5.4: Simulación de un loess de Argentina con Viscohipoplasticidad.
es alterada o inalterada. Sobre esta zona la curva simulada se presenta de manera recta hasta alcanzar el punto
donde inicia con OCR = kte. En la parte lineal el ajuste entre las dos curvas (medida y simulada) es excelente.
En este caso por seleccionar la velocidad del ensayo experimental como la de referencia Dr entonces se puede
establecer que sobre la parte lineal el OCR = 1. La simulación presenta valores de OCR≈ 1 durante toda la
parte lineal de la curva según los datos obtenidos.
El ensayo de compresión triaxial CD presenta una zona rígida en el inicio de la trayectoria p-q (figura
5.4.b) caracterítica de estos suelos parcialmente cementado. Luego, la trayectoria presenta un cambio en la
dirección de los esfuerzos que se puede interpretar como el inicio de las deformaciones plásticas. El bajo
valor del índice de descarga-recarga κ describe una alta rigidez antes de la fluencia y la selección del ángulo
de fricción crítico ϕc permite simular un endurecimiento para altas deformaciones. Por otro lado, durante la
compresión triaxial la muestra presentó deformaciones laterales casi nulas (−ε22 < 0,1%) provocando una
curva experimental de las deformaciones volumétricas con respecto a la deformación vertical proporcional.
81
CAPÍTULO 5. SIMULACIÓN DE UN LOESS DE ARGENTINA ICIV 200710 09
La simulación presenta deformaciones laterales mayores al 1 % en la mayor parte de la trayectoria y como
concecuencia se obtiene una curva simulada que no se ajusta a la curva experimental (véase figura 5.4.c).
82
Capítulo 6
Conclusiones finales
Una conclusión importante consiste en establecer el desempeño la Hipoplasticidad y la Viscohipoplas-
ticidad en comparación a otros modelos constitutivos en la simulación del comportamiento mecánico del
suelo. El desempeño de un modelo se puede evaluar teniendo en cuenta básicamente tres aspectos. El prime-
ro corresponde a la facilidad de su implementación. Esto incluye la complejidad matemática del modelo, y
las herramientas de solución disponibles. En cuanto a lo primero, la complejidad matemática que presenta la
Hipoplasticidad y la Viscohipoplasticidad con respecto a otros modelos constitutivos es mucho más sencilla.
En ambos casos existe una ecuación consitutiva única que rige los procesos de carga y descarga. Por otro
lado la regla de flujo es derivada de las ecuaciones constitutivas al introducir las condiciones de fluencia, a
diferencia del modelo elastoplástico por ejemplo al cual se debe introudicir una regla de flujo a priori den-
tro del planteamiento de la ecuación consittutiva. En cuanto a las herramientas de solución disponibles, los
programas realizado en VISUAL BASIC permiten demostrar la facilidad de la ecuación constitutiva y su rápida
implementación con una programación de pocas líneas. Existen códigos de programas basados en elementos
finitos FEM disponibles para simular utilizando Hipoplasticidad y Viscohipoplasticidad[20].
En segundo lugar, el ajuste del modelo constitutivo con respecto al comportamiento del material. Para
el caso de las arenas, recientes versiones de la Hipoplasctididad modelan los efectos provocados por la
presión de confinamiento, la densidad del material y la relación de vacíos inicial. En el caso de las arcillas, la
Viscohipoplasticidad está en capacidad de modelar efectos viscosos como lo son las curvas isotacas, procesos
de creep y procesos de relajación. También está en capacidad de modelar estados límites que generan picos
debido a la sobreconsolidación y por ende la cohesión del material. Las envolventes de respuesta elípticas
respaldan el buen desempeño de estos modelos.
Un tercer aspecto corresponde al número de parámetros del modelo y la facilidad con que se obtienen.
Para el caso de la Hipoplasticidad, son 8 parámetros básicos (según la ecuación propuesta por WOLFFERS-
DORF) que se obtienen mediante ensayos sencillos. Un ensayo de compresión oedométrica y un ensayo
83
CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES FINALES ICIV 200710 09
triaxial acompañado por algunos ensayos de caracterización son suficientes para obtener los 8 parámetros
hipoplásticos. Para el caso de la Viscohipoplasctididad se requiere de un ensayo de compresión oedométria,
preferiblemente con variación de la tasa de deformación y un ensayo triaxial acompañado a la vez de algunos
ensayos de caracterización. Es importante señalar que todos los parámetros hipoplásticos y viscohipoplás-
ticos contienen sentido físico y por lo tanto se obtienen a partir de ensayos experimentales en una primera
instancia y por calibración en una última instancia. Algunos modelos constitutivos presentan parámetros que
si contienen sentido físico pero que son díficiles para un caso en general. Por ejemplo, aquellos modelos
que incluyan la relación de POISSON como parámetro tendrán problemas al tratar de establecerlo dado a que
depende de las condiciones de drenaje y a otras variables difíciles de establecer.
El modelo viscohipoplástico logró un excelente desempeño en la simulación de los loess de Argentina.
Por un lado la combinación de un bajo valor del índice de descarga-recarga κ con la selección de un βR
apropiado permite simular la alta rigidez a bajas deformaciones típicos de estos suelos durante el corte con
compresión triaxial. Por otro lado, el ángulo de fricción crítico ϕc permitió simular el endurecimiento que
presentó la curva experimental en la compresión triaxial bajo altas deformaciones. Los resultados se discu-
tieron con el profesor RINALDI de la Universidad Nacional de Córdoba en Argentina y el profesor LIZCANO
de esta universidad concluyendo que el modelo viscohipoplástico es capaz de simular el comportamiento
mecánico de los loess de Argentina.
Finalmente se logró construir un programa que abarque los element test que se presentan en los apéndices
B. El programa permite realizar simulaciones de compresión oedométrica con Hipoplasticidad con control
de los esfuerzos y con control en las deformaciones. También permite simular compresión oedométrica
con Viscohipoplasticidad utilizando la versión 1D. A esto se suma la capacidad de realizar simulaciones de
ensayos de compresión triaxial CU y CD con Hipoplasticidad. Una programación del ensayo de compresión
oedométrica y triaxial CD utilizando las versión hipoplástica según WU WEI se encuentran disponibles por
el autor. El programa está disponible para la libre implementación por parte de los estudiantes.
84
Apéndice A
Algunos conceptos de la mecánica delcontinuo
A.1. Notacion de los tensores
La ecuación de la forma:
y = a1x1 +a2x2 +a3x3...+anxn (A.1.1)
es una ecuación líneal con n incógnitas que se puede representar de la siguiente manera:
y =n
∑j=1
a jx j =n
∑i=1
aixi =n
∑m=1
amxm (A.1.2)
donde las letras i, j o m son los índices de la sumatoria. El nombre de los índices ya sea j, i o m no afecta
el significado de la ecuación y por eso se denominan índices mudos. La convención de la ecuación A.1.2
se conoce como la notación de Einsten y se caracteriza por representar un sistema de ecuaciones mediante
sumatoria del producto entre funciones y variables. Esta notación es apropiada para la representación de
sistemas de ecuaciones lineales o polinómicas.
Igual que la notación de Einstein, la notación indicial es una representación de un sistema de ecuaciones.
Para explicarlo consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
y1 = a11x1 +a12x2 +a13x3
y2 = a21x1 +a22x2 +a23x3
y3 = a31x1 +a32x2 +a33x3
85
APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
donde aim son constantes y xm son las variables. El anterior sistema de ecuaciones se puede representar
mediante la notación indicial de la siguiente forma:
yi = aimxm , con i=1,2,3 (A.1.3)
Siendo concecuente con el ejemplo anterior, la siguiente representación indicial:
Ti j = AimA jm , con i=1, 2, 3 y j=1, 2, 3 (A.1.4)
es equivalente al sistema de ecuaciones que se muestra a continuación:
T11 = A11A11 +A12A12 +A13A13
T12 = A11A21 +A12A22 +A13A23
T13 = A11A31 +A12A32 +A13A33
T21 = A21A11 +A22A12 +A23A13
...................................................
...................................................
T33 = A31A31 +A32A32 +A33A33
(A.1.5)
Ahora introduciremos la representación matricial. Ti j se puede organizar mediante una matriz como se mues-
tra a continuación:
T =
T11 T12 T13
T21 T22 T23
T31 T32 T33
(A.1.6)
que corresponde a la notación matricial de Ti j. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
x1
x2
x3
e2e1
e3
Figura A.1: Vectores unitarios e1, e2 y e3
86
APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
Te1 = T11e1 +T12e2 +T13e3
Te2 = T21e1 +T22e2 +T23e3
Te3 = T31e1 +T32e2 +T33e3
(A.1.7)
donde los símbolos e1, e2 y e3 representan los vectores unitarios en dirección de los ejes x1, x2 y x3 respec-
tivamente (véase figura A.1). La expresión anterior se puede representar mediante la notación indicial de la
siguiente forma:
Ti j = ei ·Te3 (A.1.8)
y en notación matricial:
[T] =
T11 T12 T13
T21 T22 T23
T31 T32 T33
(A.1.9)
Las ecuaciones A.1.8 y A.1 permiten observar con mayor claridad que T está compuesto de unos com-
ponentes arreglados con dos índices o dimensiones i y j. Con este arreglo es posible obtener un vector b a
partir del producto de T con un vector a de la siguiente manera:b1
b2
b3
=
T11 T12 T13
T21 T22 T23
T31 T32 T33
a1
a2
a3
(A.1.10)
Como b = Ta entonces se dice que T es una transformación lineal. En general, para que el tensor T sea una
transformación lineal debe cumplir con las siguientes dos condiciones:
1. T(a+b) = Ta+Tb.
2. T(αa) = αTa.
Para realizar una trasformación lineal entre dos vectores es necesario que T esté arreglado exactamente con
dos índices, o dos dimensiones. Como para ese caso T posee dos dimensiones entonces se dice que T es un
tensor de segundo orden, o simplemente un diada. Ahora, es posible realizar transformaciones lineales con
tensores de segundo orden o diadas en lugar de vectores, o de manera general, transformaciones lineales de
tensores de cualquier orden. Una manera de definir a un tensor es el siguiente: un tensor es un conjunto de
componentes numéricos arreglado en unas dimensiones que realiza una transformación lineal a otro tensor.
Para ilustrar lo anterior consideremos un tensor de cuarto orden. Para este caso se requiere un arreglo por
medio de cuatro índices (p.e. Ai jkl con i, j,k, l = 1,2,3) que se puede representar en notación matricial de la
87
APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
siguiente manera:
Ai jkl = A =
A1111 A1112 A1113 A1211 A1212 A1213 A1311 A1312 A1311
A1121 A1122 A1123 A1221 A1222 A1223 A1321 A1322 A1321
A1131 A1132 A1133 A1231 A1232 A1233 A1331 A1332 A1331
A2111 A2112 A2113 A2211 A2212 A2213 A2311 A2312 A2311
A2121 A2122 A2123 A2221 A2222 A2223 A2321 A2322 A2321
A2131 A2132 A2133 A2231 A2232 A2233 A2331 A2332 A2331
A3111 A3112 A3113 A3211 A3212 A3213 A3311 A3312 A3311
A3121 A3122 A3123 A3221 A3222 A3223 A3321 A3322 A3321
A3131 A3132 A3133 A3231 A3232 A3233 A3331 A3332 A3331
(A.1.11)
Nótese que los componentes de la matriz A están arreglados mediante los índices i jkl utilizando 9 cuadrantes
de 3x3 cada uno, donde cada cuadrante representa una pareja de i j que presenta a la vez 9 componentes kl
en su interior.
Teniendo en cuenta la definición propuesta para un tensor se puede deducir que un escalar corresponde
a un tensor con grado 0, un vector es un tensor de primer orden y una diada es un tensor de segundo orden.
Nótese que un tensor se puede construir conociendo el valor y la dimensión de cada componente. Por ejemplo
para el caso de un vector que tan solo tiene una dimensión, basta con descomponerlo de la siguiente manera:
a = aiei, ó b = b je j. Igualmente una diada se puede descomponer en el producto de dos vectores de la forma
T = ab = aib jeie j = Ti jeie j1. Para el caso de un tensor de cuarto orden: B = Bi jkleie jekel .
En este documento los escalares se representarán mediante una letra cursiva minúscula (p.e. α), los
vectores se representarán mediante letras en negrilla minúsculas (p.e. a). Las diadas se denotarán con letra
en negrilla mayúscula (p.e. T) y por último los tensores de cuarto orden se denotarán con letra caligráfica
(p.e. L). Los componentes del tensor se representarán en cursiva con mayúscula o minúscula dependiendo
del grado del mismo.
A.2. Álgebra tensorial
Se presenta a continuación los casos de adición, sustracción y algunos tipos de multiplicación tensorial.
Adición y sustracción: sean los vectores:
a = aiei b = b je j; c = ckek; d = dlel; (A.2.1)
1Siendo mas estrictos una diada se descompone en el producto diádico de dos vectores. Se hará la expeción de omitir el símbolodel producto diádico ⊗ entre los vectores unitarios ei,e j. . . . El producto diádico se describe en el apéndice A.2
88
APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
y las diadas:
T = ab = aib jeie j ≡ Ti jeie j
S = cd = ckdlekel ≡ Sklekel
(A.2.2)
La adición y sustracción de tensores se puede realizar con la condición que los tensores sean del mismo
orden y tamaño. Bajo esta condición se realiza la adición o sustracción de los tensores mediante la suma
o resta de sus componentes homólogos respectivamente. En notación indicial es ai± bi = ci para vectores,
Ai j±Bi j = Ci j para diadas, y Ai jkl±Bi jkl = Ci jkl para tensores de cuarto orden por ejemplo. Las ecuaciones
anteriores son equivalentes a las siguientes expresiones:
a±b = (ai±bi)ei
T±S = (Ti j±Si j)eie j
(A.2.3)
Multiplicación:En el álgebra tensorial se consideran básicamente tres tipos de productos que son el escalar,
vectorial y el diádico. Otros productos pueden resultar como una combinación de los anteriores. Contrario
a la adición y sustracción de tensores, el producto no requiere que sus factores sean tensores del mismo
orden. Para comprender la manera de realizar los productos introducimos el Kronecker delta δi j y el ε de
permutación εi jk que se definen así:
δi j =
1, si i = j
0, si i 6= j(A.2.4)
εi jk =
1, si (i, j,k) = (1,2,3);(2,3,1);(3,1,2)
−1, si (i, j,k) = (1,3,2);(3,2,1);(2,1,3)
0, si i = j ó j = k ó i = k
(A.2.5)
A continuación se presentan algunos casos en los tipos de productos tensoriales:
Producto escalar o punto:
a ·b = (aiei) · (b je j) = aibiδi j
c ·T = c · (ab) = (c ·a)b = ckaib jek · eie j
= ckaib jδi je j = ciTi je j
T · c = ab · (c) = aib jckeie j · ek = Ti jc jei
T ·S = (ab) · (cd) = aib jckdleie j · ekel
= aib jckdleiel = Ti jS jleiel
(A.2.6)
89
APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
Producto vectorial:
a×b = (aiei)× (b je j) = aibiεi jkek
b×a =−a×b
c×T = c× (ab) = (c×a)b = ckaib j(ek× ei)e j
= ckaib jεkilele j = ckTi jεkilele j = Al jele j
T× c = ab× (c) = aib jckei(e j× ek) = aib jckε jklei el
Ti jckε jkleiel = Bileiel
T×S = (ab)× (cd) = aib jckdleie j× ekel
= aib jckdleiε jkmemel = Ti jSkleiε jkmemel = Aimleiemel
(A.2.7)
Producto diádico:
a⊗b = aib jei e j = Ai jei e j
b⊗a = b jaie j ei = A jiei e j
c⊗T = c⊗ (ab) = ckaib jei e j ek = ciTjkei e j ek = Ai jkei e j ek
T⊗ c = aib jckei e j ek = Ti jckei e j ek = Bi jkei e j ek
T⊗S = (ab)⊗ (cd) = aib jckdlei e j ek el = Ti jSklei e j ek el
= Ai jklei e j ek el
(A.2.8)
Para efectos de este documento en caso de omitir el símbolo de multiplicación entre dos tensores se supo-
ne de tipo escalar. Como habíamos mencionado existen otros tipos de multiplicaciones equivalentes a una
combinación de los tres tipos de multiplicaciones descritas. Para ilustrar lo anterior consideremos el doble
producto escalar entre dos diadas denotado con dos puntos seguidos (··):
Doble producto escalar entre dos diadas:
T · ·S = (ab) · ·(cd) = aib jckdleie j · ·ekel
= aib jckdlδ jkei · el = Ti jSklδ jkei· el = Ti jS jlδil = Ti jS ji
(A.2.9)
En los modelos constitutivos es muy frecuente la multiplicación de la forma A · ·BT, donde A y B son tensores
de segundo orden o incluso de cuarto y segundo orden respectivamente. El operador T extrae el transpuesto
del tensor y se define como:
BT = (Bi jeie j)T = Bi je jei = B jieie j (A.2.10)
Para simplificar un poco denominamos a este tipo de multiplicación como doble contracción denotado por
dos puntos (:) y definido de la siguiente forma: A : B = A · ·BT. El resultante de la doble contracción depende
del orden del tensor. En las próximas líneas se encontrarán las resultantes para la doble contracción entre dos
diadas y entre un tensor de cuarto orden y una diada.
90
APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
Tabla A.1: Multiplicaciones de tensores utilizadas frecuentemente en la hipoplasticidad y viscohipoplastici-dad.
Producto Notación tensorial Resultado en notación indicialDoble contracción A : B Ai jBi j (el resultado es escalar)Doble contracción A : B Ai jklBkleie j
Doble contracción A : B Ai jmnBmnkleie jekel
Doble contracción entre dos diadas:
T : S = T · ·ST = (aib jeie j) · ·(ckdlekel)T
= Ti jSkleie j · ·elek = Ti jSklδ jlei·ek = Ti jSk jδik = Ti jSi j
(A.2.11)
Doble contracción entre un tensor de cuarto orden y una diada:
Sea el tensor de cuarto orden A definido como A = Ai jkl = aib jckdleie jekel y la diada B definida como
B = Bmn = fmgnemen.
A : B = A · ·BT = (aib jckdleie jekel) · ·( fmgnemen)T = Ai jklBmneie jekel · ·enem
= Ai jklBmnδlneie jek· em = Ai jklBmlδkmeie j = Ai jklBkleie j
(A.2.12)
La tabla A.2 presenta un resumen de las multiplicaciones que se utilizan frecuentemente en la hipoplasticidad
y viscohipoplasticidad.
Potencia de un tensor: un tensor elevado a la n es el equivalente al producto de n−1 multiplicaciones
escalares del mismo tensor An = A ·A · .... ·A.
A.3. Definiciones
Traza de un tensor: La traza de un tensor corresponde a la suma de los componentes de su diagonal
y se denota con el operador tr[ ]. En notación indicial trA = Akk. Nótese que si A y B son diadas entonces
A : B = tr(A ·BT) y A · ·B = tr(A ·B).
Tensor identidad: El tensor identidad es una transformación lineal que convierte un tensor en el mismo.
Se representa mediante el símbolo J y cumple con la condición AJ = JA = A. El caso especial del tensor J de
segundo orden se representa con un uno en negrilla 1 y está definido como 1i j = δi j. Para tensores de cuarto
orden se introduce el tensor identidad simétrico I que transforma solo tensores simétricos 2. Se define como
2un tensor simétrico cumple con la condición AT = A
91
APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
Ii jkl =12(δikδ jl +δilδ jk). En notación matricial el tensor I corresponde al que se presenta a continuación:
Ii jkl = I =
1 0 0 0 0,5 0 0 0 0,5
0 0 0 0,5 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0,5 0 0
0 0,5 0 0 0 0 0 0 0
0,5 0 0 0 1 0 0 0 0,5
1 0 0 0 0 0 0 0,5 0
0 0 0,5 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0,5 0 0 0
0,5 0 0 0 0,5 0 0 0 1
(A.3.1)
Tensores ortogonales: un tensor se denomina ortogonal cuando transforma vectores manteniendo sus lon-
gitudes y el ángulo entre los mismos. Los tensores ortogonales se denotarán como Q. Lo anterior se resume
en las siguientes ecuaciones:
‖Qa‖= ‖a‖cos(a,b) = cos(Qa,Qb)
(A.3.2)
donde el operador ‖ extrae la norma euclidiana del vector. Con las anteriores condiciones se cumple que para
un tensor ortogonal:
QTQ = QQT = 1
Q−1 = QT
det[Q] = 1,−1(A.3.3)
Se puede demostrar que si el det[Q] = 1 entonces el tensor Q es un tensor de rotación. Si el det[Q] = −1
entonces el tensor Q realiza una reflexión.
Tensores simétricos y antisimétricos: sea A un tensor. Se dice que A es simétrico si A = AT . Igualmente
se dice que A es antisimétrico si A =−AT . Un tensor siempre se puede descomponer en un tensor simétrico
y un tensor antisimétrico de la siguiente manera:
A =A+AT
2︸ ︷︷ ︸simétrico
+A−AT
2︸ ︷︷ ︸antisimétrico
(A.3.4)
La ecuación A.3.4 señala el tensor simétrico y antisimétrico de A.
Norma euclidiana y tensores direccionales: la norma euclidiana se denota encerrando al tensor me-
diante el símbolo ‖ y se define como ‖ A ‖=√A : A = tr(A ·AT). Si A es simétrico entonces ‖ A ‖=√
A2.
92
APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
Los tensores direccionales son aquellos que están dividido por su norma euclidiana. Se denotan acentuando
el tensor con un vector~ p.e. ~A definiendo a ~A =A‖ A ‖ .
A.4. Inversa de un tensor
Dado un tensor B tal que BA = AB = 1 entonces se dice que el tensor B es el inverso de A y se denota
como A−1 = B. Para que un tensor sea invertible debe cumplir con la condición que su determinante sea
distinto a 0. En la literatura se encuentran diversos métodos para invertir un tensor, mencionando entre ellos
el método de GAUSS-JORDAN y el teorema de SHERMANN-MORRISON. Este último es apropiado para
invertir tensores de cuarto orden de la forma H = A+ B⊗C siendo H y A tensores de cuarto orden y B y
C tensores de segundo orden. Su deducción se presenta a continuación:
A.4.1. Teorema Sherman-Morrison para tensores de cuarto orden
Considérese los tensores de cuarto orden H y A (Hi jkl y Ai jkl con i, j,k, l = 1,2,3) y los tensores simé-
tricos B y C (Bi j y Ci j con i, j = 1,2,3). Si H = A+ B⊗C se puede demostrar que H−1 = A−1− (A−1 :
B⊗C : A−1)/(1+λ ) donde λ = C : A−1 : C de la siguiente manera:
(A+B⊗C)−1 =((A : (I+A−1 : B⊗C)
)−1
= (I+A−1 : B⊗C)−1 : A−1(A.4.1)
Teniendo en cuenta la expansión de TAYLOR que establece que (I+X) = I−X+X2−X3 . . ., siendo X un
tensor de cuarto orden, entonces se puede expandir el tensor (I+A−1 : B⊗C) como se muestra a continua-
ción:
(I+A−1 : B⊗C)−1 : A−1 = (I−A−1 : B⊗C
+(A−1 : B⊗C) : (A−1 : B⊗C)
− (A−1 : B⊗C) : (A−1 : B⊗C) : (A−1 : B⊗C)−1 . . .) : A−1
(A.4.2)
y desarrollando el producto con A−1 tenemos:
H−1 = A−1−A−1 : B⊗C : A−1
+A−1 : B⊗ (C : A−1 : B)⊗C : A−1
−A−1 : B⊗ (C : A−1 : B)⊗ (B : A−1 : C)⊗C : A−1 . . .
(A.4.3)
93
APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
donde λ = (C : A−1 : B) es un escalar. La ecuación A.4.3 se puede reescribir de la siguiente manera:
H−1 = A−1 : B : C : A−1(1−λ +λ2−λ
3 . . .) (A.4.4)
Nótese que (1−λ + λ 2−λ 3 . . .) = (1 + λ )−1 si se utiliza nuevamente la expansión de TAYLOR. Teniendo
en cuenta lo anterior se puede finalmente concluir que:
H−1 = A−1 : B : C : A−1(1+λ )−1 (A.4.5)
donde λ = (C : A−1 : B).
A.5. Transformación de matrices entre 2 sistemas cartesianos
Supóngase dos sistemas S y S′ con bases ei y e′i respectivamente. Los vectores unitarios se pueden re-
lacionar con una rotación. Si Q es un tensor ortogonal que rota, es decir, un tensor que transforma a los
vectores preservando sus ángulos y longitudes, se puede relacionar a ei y e′i mediante la siguiente expresión:
e′i = Qei = Qmi · em (A.5.1)
La expresión anterior es equivalente al siguiente sistema de ecuación:
e′1 = Q11e1 +Q21e2 +Q31e3
e′2 = Q12e1 +Q22e2 +Q32e3
e′3 = Q13e1 +Q23e2 +Q33e3
(A.5.2)
Para un vector a en base ei:
ai = a · ei
y análogamente se puede expresar en la base e′i:
a′i = a · e′i
A continuación demostraremos que a′ = QTa:
a′i = a · e′i,e′i = Qmiem,
a′i = a(Qmiem) = Qmi(a · em)
a′i = Qmiam
94
APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
Lo anterior se expresa en notación matrical como:a′1a′2a′3
=
Q11 Q12 Q31
Q12 Q22 Q32
Q13 Q13 Q33
a1
a2
a3
(A.5.3)
Y en notación tensorial: a′ = QTa.
Ahora considérese el tensor T. El tensor T se puede expresar en las bases ei y e′i de la siguiente manera:
Ti j = ei ·Te j ; T ′i j = e′i ·Te′j (A.5.4)
A continuación se demostrará que T = QTTQ:
T ′i j = Qmiem ·TQn jen
= QmiQn j(em ·Ten)
= QmiQn jTmn
Que en notación tensorial se expresa como:
T = QTTQ (A.5.5)
A.6. Cinemática del continuo
El movimiento de una partícula se puede describir con el vector de posición r = r(t). Para su localización
se necesita un estado inicial, es decir la posición de la partícula en cierto tiempo inicial t. Sea x0 el vector
que describe la posición inicial. Luego, la posición de la partícula está dada por el vector:
x = x(x0, t) , donde x0 = x(x, t0) (A.6.1)
El movimiento de una partícula se puede describir de dos maneras: la primera corresponde a observar el
movimiento de la partícula a partir de un punto fijo como referencia. El concepto se puede ampliar a otras
propiedades de las partículas, como por ejemplo el estado de esfuerzos, la temperatura, etc. Sea Θ una
propiedad de la partícula. La descripción de Θ se puede expresar mediante la siguiente ecuación:
Θ = θ(x01,x02,x03, t) (A.6.2)
La descripción anterior se denomina descripción Lagrangiana y se caracteriza por referenciarse con un es-
tado inicial y describir el movimiento o cualquier otra propiedad de una partícula a partir de un punto de
95
APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
referencia. El segundo tipo de descripción corresponde a la observación de los cambios de la propiedad de
las partícula en punto fijo en el espacio. Es como si se observara a través de una ventana fija en el espacio
todos los cambios de la propiedad en cuestión. Para este caso no se necesita un estado inicial; en cambio
se necesita un punto fijo en el espacio para la observación de la propiedad. A este tipo de descripción se le
denomina descripción espacial o Eureliano, y se expresa por componentes de la siguiente manera:
Θ = θ(x1,x2,x3, t) (A.6.3)
Se introduce el vector de desplazamiento denotado mediante el símbolo u y se define según la siguiente
ecuación:
u = x(x0, t)−x0 (A.6.4)
La figura A.2 muestra el movimiento de dos puntos P y Q dentro de un material que están separados a una
distancia dx0 en t = t0. Cuando el tiempo es igual a t el punto P recorre una distancia u(x0) así como el punto
Q recorre u(x0 +dxo).
x0+dx0
x0
x+dx
x
u(x0)
u(x0+dx0)
O
y
x
P(t 0)
Q(t 0)
P(t)
Q(t)
Figura A.2: Descripción del movimiento dos puntos de un material
Se puede demostrar que dx = (I+∇u)dx0 donde el operador ∇ extrae el gradiente del vector u. El tensor
de segundo orden ∇u se denomina el gradiente del desplazamiento y se representa en notación matricial de
la siguiente manera:
∇u =
du1
dx01
du1
dx02
du1
dx03
du2
dx01
du2
dx02
du2
dx03
du3
dx01
du3
dx02
du3
dx03
(A.6.5)
El gradiente de desplazamiento ∇u se puede descomponer en la suma de un tensor simétrico E y un tensor
96
APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
antisimétrico Ω. El tensor E se denomina “tensor infinitesimal de deformación ”y representa el cambio de
longitud. El tensor Ω se denomina “tensor infinitesimal de rotación ”y representa la rotación. Lo anterior se
resume en las siguientes ecuaciones:
∇u = E+Ω
E =12(∇u+∇uT)
Ω =12(∇u−∇uT)
(A.6.6)
Sea v la velocidad de la partícula con posición x = x(x0, t). Para la descripción espacial, se puede demostrar
que:DDt
dx = ∇vdx (A.6.7)
donde el tensor ∇v se denomina tensor del gradiente de velocidad. El tensor del gradiente de velocidad ∇vse puede descomponer en un tensor simétrico D y un tensor antisimétrico W. Lo anterior se resume en las
siguientes ecuaciones:
∇v = D+W
D =12[∇v+(∇v)T ]
W =12[∇v− (∇v)T ]
(A.6.8)
El tensor D se denomina tensor de la tasa de elongación. El tensor W se denomina tensor de giro. Por
convención el tensor D > 0 para extensión y D < 0 para compresión. La ecuación:
dx = (I+∇u)dx0 (A.6.9)
Se puede reescribir de la siguiente manera:
dx = Fdx0 (A.6.10)
donde F = (I + ∇u) y se denomina el gradiente de deformación (distinto al gradiente de desplazamiento
∇u). Nótese que el tensor F claramente describe una transformación de dx0 a dx que se puede obtener como
el resultado del producto de dos transformaciones: la primera corresponde a una rotación de cuerpo rígido
propio de un tensor ortogonal de rotación R. La segunda es la elongación pura propia de un tensor simétrico.
Como el producto de dos tensores no es conmutativo, el tensor simétrico varía en caso que sea el primer
factor antes del tensor de rotación pura R o siendo el segundo factor después de realizar la rotación. El
tensor simétrico se denotarán como V o U para los dos casos respectivamente. Este tipo de descomposición
se denomina descomposición polar y es única, es decir, para un gradiente de deformación F existe un solo
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APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
tensor de rotación R, y de elongación ya sea U o V. Lo anterior se resume en las siguientes ecuaciones:
F = RU
F = VR(A.6.11)
Se denominan tensor de deformación de Cauchy-Green de la derecha al tensor C = U2. Igualmente se
conoce como el tensor de deformación de Cauchy-Green de la izquierda al tensor B = V2.
A.7. Tensor de esfuerzo de Cauchy
Al someter un cuerpo a fuerzas externas éste responde en reacción mediante fuerzas internas. Si se analiza
una superficie interna del cuerpo con vector unitario normal a la superficie n existe un vector de esfuerzos ttal que:
t = Tn (A.7.1)
donde T se conoce como el tensor esfuerzos de Cauchy. Generalmente el tensor T es simétrico y por lo tanto
se puede descomponer en un componente desviador T∗ y un componente hidrostático13
trT1. El esfuerzo
desviador T∗ se define como:
T∗ = T− 13
trT1 (A.7.2)
Introducimos el tensor de esfuerzo normalizado T =T
trT. De la misma manera introducimos el tensor des-
viador de esfuerzos normalizado T∗ = T− 13
trT1. Por convención la extensión provoca esfuerzos Ti j > 0 y
la compresión Ti j < 0.
A.8. Cambio de la configuración con tiempo actual de referencia
Sea x el vector posición de una partícula en el tiempo t y x′ el vector posición de la misma partícula pero
en un tiempo distinto t = τ . El movimiento de la partícula está definido de la siguiente forma:
x′ = x′t(x,τ) siendo x = x′t(x, t) (A.8.1)
donde x′t es una función que indica que el tiempo t es el tiempo de referencia. La velocidad de la partícula se
puede expresar de la siguiente forma:
v(x′,τ) =(
∂x′t∂τ
)(A.8.2)
98
APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
Si en una partícula se definen dx y dx′ como vectores diferenciales que representan al mismo material en el
tiempo t y τ respectivamente entonces se pueden relacionar mediante la siguiente expresión:
dx′ = x′t(x+dx,τ)−x′t(x,τ) = (Ox′t)dx (A.8.3)
que se puede escribir como:
dx′ = Ftdx (A.8.4)
donde el tensor Ft = Ox′t, y se conoce como el tensor del gradiente de deformación relativo. Es decir, el
tensor Ft es relativo a la configuración actual con el tiempo t. Nótese que el tensor Ft varía con el tiempo.
Cuando τ = t, dx′ = dx y por lo tanto Ft(t) = I. En notación matricial:
[Ft] = [Ox′t] =
∂x′1∂x1
∂x′1∂x2
∂x′1∂x3
∂x′2∂x1
∂x′2∂x2
∂x′2∂x3
∂x′3∂x1
∂x′3∂x2
∂x′3∂x3
(A.8.5)
Análogo al caso del tensor del gradiente de deformación F, el tensor del gradiente de deformación relativa Ft
se le puede aplicar el teorema de descomposición polar. Es decir, existen dos tensores únicos siendo uno de
ellos ortogonal y el otro simétrico, cuyo producto es igual al tensor del gradiente de deformación relativa Ft
(igual que para el caso con tiempo actual t fijo). La descomposición polar del tensor Ft se expresa mediante
la siguiente ecuación:
Ft = RtUt = VtRt (A.8.6)
y se denominan Ut y Vt los tensores relativos de elongación derecho e izquierdo respectivamente y Rt es el
tensor de rotación relativo. Nótese que al igual que el tensor del gradiente de deformación relativa, para un
tiempo τ = t:
Ft(t) = Ut(t) = Vt(t) = Rt(t) = 1 (A.8.7)
Hasta ahora se han explicado los tensores relativos denotados con el sibíndice t. A continuación veremos
como se pueden relacionar los tensores relativos con sus homólogos para el tiempo de referencia fijo.
De la ecuación:
dx′(τ) = Ft(x,τ)dx = x′t(x+dx,τ)− xt(x,τ) (A.8.8)
Se puede llegar a determinar la velocidad mediante la siguiente expresión:
DDτ
dx′(τ) = v′(x+dx,τ)− v′(x,τ) =5xv′(x,τ)dx (A.8.9)
99
APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
De las anteriores ecuaciones se puede concluir que:
Ddx′
Dτ=(
DFt
Dτ
)dx (A.8.10)
concluyendo que:DFt
Dτ=5xv′(x,τ) (A.8.11)
Ahora se establecerá las relaciones entre el tensor de la tasa de deformación D con el tensor de elongación
relativa Ut y también al tensor de giro W con el tensor de rotación relativa Rt. Sabemos que por el teorema
de descomposición polar:
Ft(τ) = Rt(τ)Ut(τ) (A.8.12)
y si se deriva la expresión se llega a:
DFt(τ)Dτ
=DRt(τ)
DτUt(τ)+Rt(τ)
DUt(τ)Dτ
(A.8.13)
Si se evalúa en el tiempo τ = t, se puede llegar a la siguiente expresión:
5x v =[
DRt(τ)Dτ
]τ=t
+[
DUt(τ)Dτ
]τ=t
(A.8.14)
Se puede demostrar que el sumando[
DRt(τ)Dτ
]τ=t
es un tensor simétrico y el sumando[
DUt(τ)Dτ
]τ=t
es un tensor
antisimétrico. Como la descomposición de un tensor en dos tensores de los cuales uno de ellos es simétrico
y el otro es antisimétrico es única, se puede establecer que:[DRt(τ)
Dτ
]τ=t
= W(t)[DUt(τ)
Dτ
]τ=t
= D(t)(A.8.15)
En otras palabras R es igual a W solo para el caso que la configuración de referencia sea igual a la actual.
Esta condición no se debe olvidar teniendo en cuenta que de manera general R 6= W . La anterior condición
también aplica para el caso de los tensores U y D.
A.9. Cambio del marco de referencia y objetividad
En la teoría del medio continuo un marco de referencia se refiere a un observador. Se dice cambio del
marco refiriéndose a la transformación entre las parejas x, t desde cierto marco de referencia obteniendo x∗, t∗
en un marco distinto, donde el vector x describe la posición en el marco de referencia, el vector x∗ describe
la posición en el segundo marco. El cambio de marco es distinto al cambio de sistema de coordenadas. Cada
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APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
marco en particular puede realizar muchas transformaciones de sistemas coordenadas. Como los marcos son
rígidos, el cambio entre dos marcos se pueden representar de manera general según la siguiente ecuación:
x∗ = c(t)+Q(t)(x−x0)
t∗ = t−a(A.9.1)
en donde c(t) corresponde al desplazamiento desde el punto x0, Q(t) es un tensor ortogonal y a es una
constante que representa la diferencia entre los tiempos de los marcos.
El concepto de objetividad se aplica para aquellos escalares que no varían con cambiar de marco. Para el
caso del vector, se considera que el vector es objetivo cuando su magnitud no varía al cambiar de marco. Por
último, para el caso de los tensores, se consideran objetivos a aquellos tensores que transforman un vector
objetivo a otro vector objetivo a la vez. Por ejemplo, para las distancias entre dos puntos, vista desde distintos
marcos siempre será la misma, y por lo tanto las distancias es un escalar objetivo. Pero si observamos el
vector de velocidad desde dos marcos distintos, teniendo además una velocidad relativa entre los dos marcos
entonces la velocidad tendrá diferente magnitud al variar de marco. El vector de velocidad y de posición son
dependiente del marco de referencia y por lo tanto no son objetivos. Para el caso del vector de velocidad
relativa entre dos puntos, al verlos desde distintos marcos siempre conservarán la misma magnitud y por lo
tanto el vector de velocidad relativa es objetivo.
Consideremos los vectores x1 y x2 que describen la posición de dos puntos en el marco 1. Igualmente
consideremos x∗1 y x∗2 para describir la posición en el marco 2. De la ecuación A.9.9 tenemos que:
x∗1 = c(t)+Q(t)(x1−x0)
x∗2 = c(t)+Q(t)(x2−x0)(A.9.2)
concluyendo que:
x∗1−x∗2 = Q(t)(x1−x2) (A.9.3)
de la forma:
b∗ = Q(t)b (A.9.4)
La ecuación A.9.4 se cumple para transformar vectores objetivos en distintos marcos.
Ahora consideremos el tensor de transoformación A que transforma los vectores objetivos b y c, de la
forma:
c = Ab (A.9.5)
Sea A∗ el tensor homólogo de T en el marco 2, luego:
c∗ = A∗b∗ (A.9.6)
101
APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
Ahora, teniendo en cuenta las transformaciones para vectores objetivos según la ecuación A.9.4, sea c∗ = Qcy b∗ = Qb.
Con las ecuaciones anteriores se puede concluir que la transformación de un tensor objetivo entre dos
marcos se rige por la siguiente ecuación:
A∗ = QAQT (A.9.7)
Resumiendo lo anterior, se puede decir que las transformaciones entre magnitudes escalares o tensoriales se
rigen por las siguientes ecuaciones:
Tabla A.2: Condiciones de objetividad
Condición EcuaciónPara escalares objetivos α∗ = α
Para vectores objetivos b∗ = Q(t)bPara tensores objetivos A∗ = Q(t)AQT(t)
Se puede demostrar que para los tensores F, C y B las transformaciones de marcos de referencias son las
que se presentan en la tabla A.3.
Tabla A.3: Ecuaciones de transformación para los tensores F, C y B.
Nombre Transformación ObjetividadTensor del gradiente de deformación F∗ = Q(t)F No es objetivoTensor de deformación de Cauchy-Green de la dere-cha
C∗ = C No es objetivo
Tensor de deformación de Cauchy-Green de la iz-quierda
B∗ = Q(t)BQT(t) Si es objetivo
Ahora consideremos el vector dx. Podemos comprobar que el vector dx es objetivo de la siguiente forma;
teniendo en cuenta la condición de objetividad:
x∗ = c(t)+Q(t)(x−x0) (A.9.8)
Tenemos que:
x∗+dx∗ = c(t)+Q(t)(x+dx−x0) (A.9.9)
Concluyendo que:
dx∗(t) = Q(t)dx(t) (A.9.10)
102
APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
Es decir, el vector cumple con la condición de objetividad (véase resumen de la tabla A.4). Sea dx′∗(τ) el
vector dx∗ con t = τ de la forma:
dx′∗(τ) = Q(τ)dx(τ) (A.9.11)
Teniendo en cuenta que dx′(τ) corresponde a un cambio de configuración con tiempo de referencia igual a t,
se puede establecer que dx′(τ) = Ft(τ)dx(t) y que dx′∗(τ) = F∗t (τ)dx∗(t) donde el subíndice t en Ft denota
el tiempo de referencia. Con las ecuaciones anteriores y las ecuaciones A.10.2 y A.9.11 se llega a:
F∗t (τ)dx∗(t) = Q(τ)dx′(τ) = Q(τ)Ft(τ)dx(t) (A.9.12)
Empleando la ecuación A.10.2 se puede demostrar que F∗t (τ) = Q(τ)FT(τ)QT(t) de la siguiente forma:
F∗t (τ)dx∗(t) = Q(τ)Ft(τ)QT(t)dx∗(t)
F∗t (τ) = Q(τ)FT(τ)QT(t)(A.9.13)
La ecuación A.9.13 demuestra que el tensor F∗t no es objetivo. Por descomposición polar sabemos que
F∗t = R∗t U∗t y que Ft = RtUt. Luego:
F∗t = R∗t U∗t = Q(τ)RtUtQT(t)
= [Q(τ)RtQT(t)][Q(t)UtQT(t)](A.9.14)
La ecuación A.9.14 sugiere la obtención de F∗t por medio del producto de dos tensores, donde el primero
es [Q(τ)RtQT(t)] y el segundo es [Q(t)UtQT(t)]. Se puede demostrar que el primer factor corresponde a
un tensor es ortogonal y que el segundo es simétrico. Como la descomposición polar es única los factores
corresponden a R∗t y a U∗t respectivamente.
F∗t = [Q(τ)RtQT(t)]︸ ︷︷ ︸R∗t
[Q(t)UtQT(t)]︸ ︷︷ ︸U∗t
(A.9.15)
Se puede demostrar de la misma manera las ecuaciones que representan las transformaciones de marcos para
los tensores C∗t , V∗t y B∗t . La tabla A.4 presenta un resumen de las ecuaciones de transformaciones y de la
objetividad para los tensores mencionados.
Tabla A.4: Ecuaciones de transformación para los tensores U∗t , C∗t , V∗t y B∗tNombre Transformación ObjetividadTensor de elongación relativo de la derecha U∗t = Q(t)UtQT(t) Si es objetivoTensor de deformación Cauchy-green relativo de laderecha
C∗t = Q(t)CtQT(t) Si es objetivo
Tensor de elongación relativo de la izquierda V∗t = Q(τ)VtQT(τ) No es objetivoTensor de deformación Cauchy-green relativo de laderecha
B∗t = Q(τ)BtQT(τ) No es objetivo
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APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
A.10. Tensor de la tasa de esfuerzos objetivo
Si el tensor de esfuerzos T es objetivo, entonces el tensor cumple con la ecuación A.10.1:
T∗ = Q(t)TQT(t) (A.10.1)
3Nos interesa conocer el tensor objetivo de la tasa de esfuerzos, es decir la derivada del esfuerzo con respecto
al tiempo. Si derivamos la ecuación A.10.1 por regla de la cadena obtenemos la siguiente ecuación:
DT∗
Dt=
dQdt
TQT +QDTDt
QT +QT(
dQdt
)T
(A.10.2)
La ecuación anterior demuestra claramente que el tensor de la tasa de esfuerzos no es objetivo, y que para
solucionar el problema es necesario establecer cierta suposición. Físicamente es fácil de explicar que la rataDT∗Dt no es objetivo. Consideremos para un primer marco el caso de una condición uniaxial bajo esfuerzo
vertical constante. Para un observador dentro del marco el tensor de esfuerzos T es constante en el tiempo.
Igualmente, si se considera un segundo observador dentro de un marco que rota con respecto al primero,
la magnitud del esfuerzo se conserva, y por lo tanto el tensor T es objetivo. Es lógico que para el primer
observador la tasa del tensor de esfuerzos DTDt sea 0. Pero para el segundo observador, el vector de esfuerzos
t∗ está rotando constantemente y por lo tanto la tasa de esfuerzos DT∗Dt varía con el tiempo. Con lo anterior se
concluye que la tasa de esfuerzo DT∗Dt no es objetiva.
Como se había mencionado, el problema de objetividad para el tensor de la tasa de esfuerzos se puede
solucionar introduciendo suposiciones. A continuación explicaremos la propuesta de Jaunmann: considere-
mos el tensor de esfuerzos J. El tensor de la tasa de esfuerzos J evaluado en el tiempo τ y con tiempo de
referencia t se relaciona con el tensor de esfuerzos T mediante la siguiente ecuacion:
J(τ) = RTt (τ)T(τ)Rt(τ) (A.10.3)
Nótese claramente que cuando τ = t entonces Rt(t) = RTt (t) = 1. De esta manera para τ = t:
J(t) = T(t) (A.10.4)
Condición completamente esperada. Si observamos la ecuación propuesta por JAUNMANN (ecuación A.10.3),
el tensor J es un tensor de esfuerzo resultante de la transformación de marcos para el tensor de esfuerzo Ta un marco que rota según el tensor de rotación R. La ecuación incluye un cambio de configuración con
tiempo de referencia igual a t. En resumen, la función de la suposición de JAUNMAN es observar el tensor de
esfuerzos T desde un marco que rota con el material. Hasta ahora persiste el problema de objetividad para
la tasa de esfuerzos ( DT∗Dt ). JAUNMANN demuestra que aunque el tensor DT∗
Dt no sea objetivo, el tensor DJ∗(τ)Dτ
3Para esta sección el símbolo T∗ denota el tensor de la tasa de esfuerzo de Cauchy bajo un segundo observador.
104
APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09
para la condición de τ = t si es objetivo. Para demostrarlo, consideremos el cambio de marco para el tensor
ortogonal Rt. El tensor Rt es objetivo y por lo tanto el cambio de marco está dado por la ecuación (véase
tabla A.4):
R∗t (τ) = Q(τ)Rt(τ)QT(t) (A.10.5)
Luego:
J∗(τ) = R∗Tt (τ)T∗(τ)R∗t (τ)
= [Q(t)RTt (τ)QT(τ)][Q(τ)T(τ)QT(τ)][Q(τ)Rt(τ)QT(t)]
= Q(t)[RTt (τ)T(τ)Rt(τ)]QT(t)
= Q(t)J(τ)QT(t)
(A.10.6)
Si evaluamos la derivada con respecto al tiempo de J(τ) con τ = t encontramos la siguiente expresión:[DJ(τ)
Dτ
]τ=t
=[
DRTt (τ)T(τ)Rt(τ)
Dτ
]τ=t
=DRT
t (τ)Dt
T(τ)Rt(τ)+RTt (τ)
DT(τ)Dt
Rt(τ)+RTt (τ)T(τ)
Rt(τ)Dt
(A.10.7)
Teniendo en cuenta que:
a. Rt(t) = RTt (t) = 1
b.[
DRt(τ)Dt
]τ=t
= W(t)
c.[
DRTt (τ)
Dt
]τ=t
= WT(t) =−W(t)
(A.10.8)
se puede finalmente concluir que:[DJ(τ)
Dτ
]τ=t
=DT(t)
Dt+T(t)W(t)−W(t)T(t) (A.10.9)
La ecuación A.10.9 se puede interpretar como la derivada con respecto al tiempo del tensor de esfuerzos
T visto desde un observador que rota con el elemento del material y es objetivo. El tensor[
DJ(τ)Dτ
]τ=t
se denomina tensor de la tasa de esfuerzos de ZAREMBA-JAUNMANN y se denotará con el simboloT =[
DJ(τ)Dτ
]τ=t
.
105
Apéndice B
Programación
Los anexos que se presentan a continuación corresponden a scripts en lenguaje de programación de los
softwares MATHEMATICA y VISUAL BASIC y contienen algoritmos para la resolución de algunos problemas
que se han citado dentro del documento. Sus estructuras han sido diseñadas para ofrecer la posibilidad de su
modificación a conveniencia del lector y están presentadas de tal manera que se pueden introducir directa-
mente al software de programación repectivo. Aquellas línea que corresponden a un renglón de programación
más ancho que los márgenes establecidos del documento serán partidos y continuados en el renglón siguien-
te. En estos casos la discontinuidad será señalada con los símbolos z o ♠ al finalizar el primer renglón y
al iniciar el siguiente. Algunos de estos scripts contienen comentarios que son irrelevantes en la función del
programa pero que tienen un propósito en relación a la comprensión y entendimiento del algoritmo utilizado.
B.1. Programación de las envolventes de falla en mathematica en 3D
La siguiente es un script en MATHEMATICA de las envolventes de respuesta utilizando la ecuación pro-
puesta por Wu Wei (véase ecuación 1.3.13). Los parámetros y el estado inicial de la ecuación están introdu-
cidos dentro del código.
t1=100;
t2=100;
t3=100;
c1=-106.5;
c2=-801.5;
c3=-797.1;
c4=1077.7;
106
APÉNDICE B. PROGRAMACIÓN ICIV 200710 09
T:=t1,0,0,0,t2,0,0,0,t3;
A:=Cos[p]* Cos[t],0,0,0, Cos[p]* Sin[t],0,0,0, Sin[p];
trT:=Tr[T];
Tx:=T-1/3*trT*1,0,0,0,1,0,0,0,1;
btrTA:=Tr[T*A];
btrA2:=Tr[MatrixPower[A,2]];
Solve[Tt=c1*trT*A+c2*btrTA/trT*T+c3*T^2/trT*btrA2^0.5+c4*Tx^2/trT*btrA2^0.5,Tt]
ParametricPlot3D[ Cos[p] Cos[t], Cos[p] Sin[t],Sin[p],p,0,2 *Pi,
t,Pi/2,-Pi/2, AxesLabel->"D1","D2","D3"]
Show[%,ViewPoint->0,0,5];
B.2. Programación de la superficie d Matsuoka-Nakai en el espacio T1,T2,T3
: El siguiente es un script de MATHEMATICA y corresponde a la solución de la superficie de fluencia de
Matsuoka/Nakai. Está solucionado para un ángulo de fricción de ϕ ′ = 30 dentro del espacio T1,T2,T3
I1 = T1 + T2 + T3;
I2 = -T1 T2 - T1 T3 - T2 T3;
I3 = T1 T2 T3;
phi = 30 Pi/180;
MN = -I1 I2/ I3 + (9 - (Sin [phi])^2)/( -1 + (Sin [phi])^2 );
data = Table[MN, T1, 1, 100, 4, T2, 1, 100, 4, T3, 1, 100, 4];
ListContourPlot3D[data, MeshRange -> 0, 100, 0, 100, 0, 100,
Contours -> 0., Lighting -> False, Axes -> True,
ContourStyle -> RGBColor[1, 0, 0]]
B.3. Programación del element test ensayo oedométrico
En las próximas líneas se presenta la programación en macros de EXCEL con VISUAL BASIC del element
test del ensayo oedométrico. El código está escrito con lenguaje VISUAL BASIC y está diseñado para compartir
información con las celdas que muestra el código para cada variable. En caso que el lector quiera trabajar sin
compartir la información con las celdas, tiene la posibilidad de cambiar el nombre de las celdas por el valor
de la variable directamente sobre el código. Como se había mencionado cualquier discontinuidad del código
será señalado con el símbolo z o ♠.
Private Sub CommandButton1_Click()
107
APÉNDICE B. PROGRAMACIÓN ICIV 200710 09
Dim d2, hs, n, ec0, ed0, ei0, alpha, beta, t1, t2 As Variant
Dim e, t, d1, pi, t1t, t2t, fd As Variant
Dim fs, ec, ed, ei, di1 As Variant
’Introduciendo parámetros
phi = Range("c20")
hs = Range("c21")
n = Range("c22")
ec0 = Range("c23")
ed0 = Range("c24")
ei0 = Range("c25")
alpha = Range("c26")
beta = Range("c27")
’Condición inicial para las relaciones de vacíos
ec = ec0
ed = ed0
ei = ei0
’Estado inicial de esfuerzos, y deformaciones
t1 = Range("c8")
t2 = Range("c9")
e = Range("c11")
t = Range("c15")
’Control de variables (velocidad de deformación)
i = 0
d1i = -0.0005
d2 = 0
d1 = d1i
pi = 3.1415927
’calculando a que es constante en toda la simulación
a = (3 ^ 0.5) * (3 - Sin(phi * pi / 180)) / (2 * (2 ^ 0.5) * Sin(phi * pi / 180))
’definiendo el número de ciclos
g = 500
108
APÉNDICE B. PROGRAMACIÓN ICIV 200710 09
For i = 0 To g
’ciclo de carga y descarga
If -t1 > carga Then
d1 = -d1i
End If
’calculando las invariantes de esfuerzo
trT = t1 + 2 * t2
’Invariantes de esfuerzos normalizados
Th1 = t1 / trT
Th2 = t2 / trT
trTh = Th1 + 2 * Th2
trTh2 = (Th1) ^ 2 + 2 * (Th2) ^ 2
trTh3 = (Th1) ^ 3 + 2 * (Th2) ^ 3
’desviadores e invariantes de esfuerzos desviadores
Thx1 = Th1 - trTh / 3
Thx2 = Th2 - trTh / 3
trThx = Thx1 + 2 * Thx2
trThx2 = Thx1 ^ 2 + 2 * Thx2 ^ 2
trThx3 = Thx1 ^ 3 + 2 * Thx2 ^ 3
trThD = Th1 * d1 + 2 * Th2 * d2
’Invariantes de la deformación
trD = d1 + 2 * d2
trD2 = d1 ^ 2 + 2 * d2 ^ 2
’Calculando las relaciones de vacíos características
ec = ec0 * Exp(-(Abs(trT) / hs) ^ n)
ed = ed0 * Exp(-(Abs(trT) / hs) ^ n)
ei = ei0 * Exp(-(Abs(trT) / hs) ^ n)
’Calculando los factores de barotropía y picnotropía
fd = ((e - ed) / (ec - ed)) ^ alpha
fs = (hs / n) * (ei / e) ^ beta * ((1 + ei) / ei) * (Abs(trT) / hs) ^ (1 - n)z.
z..*(3 + a ^ 2 - a * 3 ^ 0.5 * ((ei0 - ed0) / (ec0 - ed0)) ^ alpha) ^ (-1)
109
APÉNDICE B. PROGRAMACIÓN ICIV 200710 09
’calculando los incrementos de esfuerzos y relaciones de vacío
t1t = fs / trTh2 * (d1 + a ^ 2 * Th1 * trThD + fd * a * (Th1 + Thx1) * Abs(d1))
t2t = fs / trTh2 * (d2 + a ^ 2 * Th2 * trThD + fd * a * (Th2 + Thx2) * Abs(d1))
et = (1 + e) * trD
’tiempo
If d1 = d1i Then
t = Range("c15")
ElseIf d1 = -d1i Then
t = Range("c16")
End If
’calculando los valores del siguiente paso
t1 = t1t * t + t1
t2 = t2t * t + t2
e = et * t + e
’asignando a cada celda el valor del próximo paso
Range("i8").Offset(i + 1, 0) = t1
Range("j8").Offset(i + 1, 0) = t2
Range("m8").Offset(i + 1, 0) = e
Range("k8").Offset(i, 0) = t1t
Range("l8").Offset(i, 0) = t2t
Range("g8").Offset(i, 0) = d1
Range("f8").Offset(i, 0) = t
Next i
End Sub
B.4. Programación del element test para compresión oedométrica con es-fuerzo controlado
Se desarrolló el siguiente element test con lenguaje VISUAL BASIC para compresión oedométrica con
control en los esfuerzos.
Dim d2, hs, n, ec0, ed0, ei0, alpha, beta, T1, T2, e, t as Variant
110
APÉNDICE B. PROGRAMACIÓN ICIV 200710 09
Dim d1, pi, t1t, t2t, fd As Variant
Dim fs, ec, ed, ei, di1 As Variant
’Introduciendo los 8 parámetros de la hipoplasticidad
phi = Range("c20")
hs = Range("c21")
n = Range("c22")
ec0 = Range("c23")
ed0 = Range("c24")
ei0 = Range("c25")
alpha = Range("c26")
beta = Range("c27")
’Condición inicial para las relaciones de vacíos
ec = ec0
ed = ed0
ei = ei0
’Estado inicial de esfuerzos, y deformaciones y fd y fs inicial
T1 = Range("c8")
T2 = Range("c9")
e = Range("c11")
t = Range("c15")
’Control de variables ( tasa de esfuerzo) e inicializacion
i = 0
t1t = Range("c37")
t2t = Range("c39")
d2 = 0
pi = 3.1415927
’Conociendo el ciclo de carga
carga = Range("c32")
’calculando a que es constante en toda la simulación
a = (3 ^ 0.5) * (3 - Sin(phi * pi / 180)) / (2 * (2 ^ 0.5) * Sin(phi * pi / 180))
’definiendo el número de ciclos
g = 1500
111
APÉNDICE B. PROGRAMACIÓN ICIV 200710 09
For i = 0 To g
’Fin de carga e inicio de descarga
If -T1 < carga Then
t1t = t1t
Else
t1t = -t1t
End If
’calculando las invariantes
trT = T1 + 2 * T2
trT2 = T1 ^ 2 + 2 * T2 ^ 2
’dividido por la traza
Th1 = T1 / trT
Th2 = T2 / trT
trTh = Th1 + 2 * Th2
trTh2 = (Th1) ^ 2 + 2 * (Th2) ^ 2
’desviadores
Thx1 = Th1 - trTh / 3
Thx2 = Th2 - trTh / 3
trThx = Thx1 + 2 * Thx2
trThx2 = Thx1 ^ 2 + 2 * Thx2 ^ 2
’recalculando las relaciones de vacíos características
ec = ec0 * Exp(-(Abs(trT) / hs) ^ n)
ed = ed0 * Exp(-(Abs(trT) / hs) ^ n)
ei = ei0 * Exp(-(Abs(trT) / hs) ^ n)
’recalculando los factores de barotropía y picnotropía
fd = ((e - ed) / (ec - ed)) ^ alpha
fs = (hs / n) * (ei / e) ^ beta * ((1 + ei) / ei) * (Abs(trT) / hs) ^ (1 - n)z.
z..*(3 + a ^ 2 - a * 3 ^ 0.5 * ((ei0 - ed0) / (ec0 - ed0)) ^ alpha) ^ (-1)
’calculando D mediante la cuadrática, primero las trazas de los tensores A y B
112
APÉNDICE B. PROGRAMACIÓN ICIV 200710 09
trB2 = (a * fd / (1 / a ^ 2 + trTh2)) ^ 2 * z.
z(((1 / a ^ 2 + trTh2 - Th1 ^ 2 - 2 * Th1 * Th2)* (Th1 + Thx1)) ^ 2z
z+ 2 * ((1 / a ^ 2 + trTh2 - 2 * Th2 ^ 2 - Th1 * Th2) * (Th2 + Thx2)) ^ 2)
trA2 = (trTh2 / (fs * (1 / a ^ 2 + trTh2))) ^ 2 ♠.
♠* (((1 / a ^ 2 + trTh2 - Th1 ^ 2 - 2 * Th1 * Th2) * t1t) ^ 2♠♠+ 2 * ((1 / a ^ 2 + trTh2 - 2 * Th2 ^ 2 - Th1 * Th2) * t2t) ^ 2)
trAB = (trTh2 * a * fd / (fs * (1 / a ^ 2 + trTh2) ^ 2)) * z.
z((1 / a ^ 2 + trTh2 - Th1 ^ 2 - 2 * Th1 * Th2) ^ 2* (Th1 + Thx1) * t1t+z.
z 2 * (1 / a ^ 2 + trTh2 - 2 * Th2 ^ 2 - Th1 * Th2) ^ 2 * (Th2 + Thx2) * t2t)
’ahora los coeficientes cuadrática
beta = (1 / a ^ 2 + trTh2)
a11 = (beta - Th1 ^ 2)
a12 = 2 * (-Th1 * Th2)
a21 = (-Th1 * Th2)
a22 = (beta - 2 * Th2 ^ 2)
ConstA = trTh2 / fs
ConstB = fd * a
’ahora los coeficientes cuadrática
ad = trB2 - 1
bd = -2 * trAB
cd = trA2
’con los coeficientes se despeja la norma de D
normaD = (-bd - (bd ^ 2 - 4 * ad * cd) ^ 0.5) / (2 * ad)
’revisión de la segunda raiz de la cuadrática
normaD2 = (-bd + (bd ^ 2 - 4 * ad * cd) ^ 0.5) / (2 * ad)
d1 = ConstA / beta * (a11 * t1t + a12 * t2t) - normaD * ConstB / beta * z.
z(a11 * (Th1 + Thx1) + a12 * (Th2 + Thx2))
d2 = ConstA / beta * (a21 * t1t + a22 * t2t) - normaD * ConstB / beta z.
z* (a21 * (Th1 + Thx1) + a22 * (Th2 + Thx2))
’trazas de la deformación
trD = d1 + 2 * d2
trD2 = d1 ^ 2 + 2 * d2 ^ 2
trThD = Th1 * d1 + 2 * Th2 * d2
113
APÉNDICE B. PROGRAMACIÓN ICIV 200710 09
’otros incrementos
t2t = fs / trTh2 * (a ^ 2 * Th2 * trThD + fd * a * (Th2 + Thx2) * Abs(d1))
et = (1 + e) * d1
’calculando los valores del siguiente paso
ep1 = d1 * t + ep1
ep2 = d2 * t + ep2
e = et * t + e
T1 = t1t * t + T1
T2 = t2t * t + T2
’asignando a cada celda el valor del próximo paso
Range("i8").Offset(i + 1, 0) = T1
Range("j8").Offset(i + 1, 0) = T2
Range("m8").Offset(i + 1, 0) = e
Range("k8").Offset(i, 0) = t1t
Range("l8").Offset(i, 0) = t2t
Range("g8").Offset(i, 0) = d1
Range("f8").Offset(i, 0) = t
Range("o8").Offset(i, 0) = trB2
Range("p8").Offset(i, 0) = trAB
Range("q8").Offset(i, 0) = trA2
Range("r8").Offset(i, 0) = ad
Range("s8").Offset(i, 0) = bd
Range("t8").Offset(i, 0) = cd
Range("u8").Offset(i, 0) = normaD
Range("v8").Offset(i, 0) = d1
Range("w8").Offset(i, 0) = d2
Range("y8").Offset(i, 0) = normaD2
Next i
B.5. Programación del element test para compresión triaxial no drenada
El siguiente es un macro de EXCEL con lenguaje de programación VISUAL BASIC que contiene el algorit-
mo para solucionar por incrementos el element test de la compresión triaxial no drenada.
114
APÉNDICE B. PROGRAMACIÓN ICIV 200710 09
Private Sub CommandButton1_Click()
Dim d2, hs, n, ec0, ed0, ei0, alpha, beta As Variant
Dim t1, t2, e, t, d1, pi, t1t, t2t, fd As Variant
Dim fs, ec, ed, ei, di1 As Variant
’Introduciendo parámetros hipoplásticos
phi = Range("c20")
hs = Range("c21")
n = Range("c22")
ec0 = Range("c23")
ed0 = Range("c24")
ei0 = Range("c25")
alpha = Range("c26")
beta = Range("c27")
’Condición inicial para las relaciones de vacíos
ec = ec0
ed = ed0
ei = ei0
’Estado inicial de esfuerzos, y deformaciones
t1 = Range("c8")
t2 = Range("c9")
e = Range("c11")
t = Range("c15")
’Control de variables (velocidad de deformación)
i = 0
d1 = -0.005
d2 = -0.5 * d1
pi = 3.1415927
’calculando a que es constante en toda la simulación
a = (3 ^ 0.5) * (3 - Sin(phi * pi / 180)) / (2 * (2 ^ 0.5) * Sin(phi * pi / 180))
’definiendo el número de ciclos
g = 100
115
APÉNDICE B. PROGRAMACIÓN ICIV 200710 09
For i = 0 To g
’calculando las invariantes de esfuerzos
trT = t1 + 2 * t2
trT2 = t1 ^ 2 + 2 * t2 ^ 2
’calculando las invariantes de esfuerzos normalizados
Th1 = t1 / trT
Th2 = t2 / trT
trTh = Th1 + 2 * Th2
trTh2 = (Th1) ^ 2 + 2 * (Th2) ^ 2
trTh3 = (Th1) ^ 3 + 2 * (Th2) ^ 3
’calculando las invariantes de esfuerzos desviadores
Thx1 = Th1 - trTh / 3
Thx2 = Th2 - trTh / 3
trThx = Thx1 + 2 * Thx2
trThx2 = Thx1 ^ 2 + 2 * Thx2 ^ 2
trThx3 = Thx1 ^ 3 + 2 * Thx2 ^ 3
trThD = Th1 * d1 + 2 * Th2 * d2
’Invariantes de la deformación
trD = d1 + 2 * d2
trD2 = d1 ^ 2 + 2 * d2 ^ 2
’calculando las relaciones de vacíos características
ec = ec0 * Exp(-(Abs(trT) / hs) ^ n)
ed = ed0 * Exp(-(Abs(trT) / hs) ^ n)
ei = ei0 * Exp(-(Abs(trT) / hs) ^ n)
’calculando los factores de barotropía y picnotropía
fd = ((e - ed) / (ec - ed)) ^ alpha
fs = (hs / n) * (ei / e) ^ beta * ((1 + ei) / ei) * (Abs(trT) / hs) ^ (1 - n)z.
z..*(3 + a ^ 2 - a * 3 ^ 0.5 * ((ei0 - ed0) / (ec0 - ed0)) ^ alpha) ^ (-1)
’calculando los incrementos
t1t = fs * (trT) ^ 2 / trT2 * (d1 + a ^ 2 * t1 * (t1 - t2) / (trT) ^ 2z
116
APÉNDICE B. PROGRAMACIÓN ICIV 200710 09
z* d1 + fd * a * (5 * t1 - 2 * t2) / (6 ^ 0.5 * (trT)) * Abs(d1))
t2t = fs * (trT) ^ 2 / (trT2) * (-d1 / 2 + a ^ 2 * t1 * (t1 - t2) / trT ^ 2♠
♠* d1 + fd * a * (4 * t2 - t1) / (6 ^ 0.5 * (t1 + 2 * t2)) * Abs(d1))
et = (1 + e) * trD
ut = -t2t
’calculando los valores del siguiente paso
t1 = t1t * t + t1
t2 = t2t * t + t2
e = et * t + e
u = u + ut * t
’asignando a cada celda el valor del próximo paso
Range("i8").Offset(i + 1, 0) = t1
Range("j8").Offset(i + 1, 0) = t2
Range("m8").Offset(i + 1, 0) = e
Range("k8").Offset(i, 0) = t1t
Range("l8").Offset(i, 0) = t2t
Range("g8").Offset(i, 0) = d1
Range("f8").Offset(i, 0) = t
Range("n8").Offset(i + 1, 0) = u
Range("o8").Offset(i, 0) = a
Range("p8").Offset(i, 0) = fs
Range("q8").Offset(i, 0) = fd
Next i
End Sub
B.6. Programación del element test para compresión triaxial drenada
A continuación se presenta el macro de EXCEL en lenguaje VISUAL BASIC del element test de la compre-
sión triaxial drenada.
Private Sub CommandButton1_Click()
Dim d2, hs, n, ec0, ed0, ei0, alpha, beta, t1 As Variant
117
APÉNDICE B. PROGRAMACIÓN ICIV 200710 09
Dim t2, e, t, d1, pi, t1t, t2t, fd As Variant
Dim fs, ec, ed, ei, di1, t2a, t2b, d2a, d2b As Variant
Dim s As Integer
’Introduciendo parámetros hipoplásticos
phi = Range("c20")
hs = Range("c21")
n = Range("c22")
ec0 = Range("c23")
ed0 = Range("c24")
ei0 = Range("c25")
alpha = Range("c26")
beta = Range("c27")
’Condición inicial para las relaciones de vacíos
ec = ec0
ed = ed0
ei = ei0
’Estado inicial de esfuerzos, deformaciones y lectura del tiempo
t1 = Range("c8")
t2 = Range("c9")
e = Range("c11")
t = Range("c15")
’Control de variables (velocidad de deformación)
d1 = -0.002
pi = 3.1415927
d2a = d2b = t2a = t2b = i = 0
’calculando a que es constante en toda la simulación
a = (3 ^ 0.5) * (3 - Sin(phi * pi / 180)) / (2 * (2 ^ 0.5) * Sin(phi * pi / 180))
’definiendo el número de ciclos
g = 100
For i = 0 To g
’Invariantes de esfuerzos
118
APÉNDICE B. PROGRAMACIÓN ICIV 200710 09
trT = t1 + 2 * t2
trT2 = t1 ^ 2 + 2 * t2 ^ 2
’Invariantes de esfuerzos normalizados
Th1 = t1 / trT
Th2 = t2 / trT
trTh = Th1 + 2 * Th2
trTh2 = (Th1) ^ 2 + 2 * (Th2) ^ 2
trTh3 = (Th1) ^ 3 + 2 * (Th2) ^ 3
’Invariantes de esfuerzos desviadores
Thx1 = Th1 - trTh / 3
Thx2 = Th2 - trTh / 3
trThx = Thx1 + 2 * Thx2
trThx2 = Thx1 ^ 2 + 2 * Thx2 ^ 2
trThx3 = Thx1 ^ 3 + 2 * Thx2 ^ 3
’calculando las relaciones de vacíos características
ec = ec0 * Exp(-(Abs(trT) / hs) ^ n)
ed = ed0 * Exp(-(Abs(trT) / hs) ^ n)
ei = ei0 * Exp(-(Abs(trT) / hs) ^ n)
’calculando los factores de barotropía y picnotropía
fd = ((e - ed) / (ec - ed)) ^ alpha
fs = (hs / n) * (ei / e) ^ beta * ((1 + ei) / ei) * (Abs(trT) / hs) ^ (1 - n)z.
z..*(3 + a ^ 2 - a * 3 ^ 0.5 * ((ei0 - ed0) / (ec0 - ed0)) ^ alpha) ^ (-1)
’calculando D2 con la cuadrática. Por eso el subíndice "c"
’(de cuadrática)en todas las variables
Pc = a ^ 2 * Th1 * Th2 * d1
Qc = 1 + a ^ 2 * 2 * Th2 ^ 2
Rc = fd * a * (Th2 + Thx2)
ac = Qc ^ 2 - 2 * Rc ^ 2
bc = 2 * Pc * Qc
cc = Pc ^ 2 - Rc ^ 2 * d1 ^ 2
d2a = (-bc + (bc ^ 2 - 4 * ac * cc) ^ 0.5) / (2 * ac)
d2b = (-bc - (bc ^ 2 - 4 * ac * cc) ^ 0.5) / (2 * ac)
119
APÉNDICE B. PROGRAMACIÓN ICIV 200710 09
’Selección de la raiz correcta en la cuadrática
d2 = d2a
’trazas de la deformación
trD = d1 + 2 * d2
trD2 = d1 ^ 2 + 2 * d2 ^ 2
trThD = Th1 * d1 + 2 * Th2 * d2
t2ta = fs / trTh2 * (d2 + a ^ 2 * Th2 * trThD + fd * a * (Th2 + Thx2) * (trD2) ^ 0.5)
d2 = d2b
’trazas de la deformación
trD = d1 + 2 * d2
trD2 = d1 ^ 2 + 2 * d2 ^ 2
trThD = Th1 * d1 + 2 * Th2 * d2
t2tb = fs / trTh2 * (d2 + a ^ 2 * Th2 * trThD + fd * a * (Th2 + Thx2) * (trD2) ^ 0.5)
s = Fix(t2ta)
If s = 0 Then
d2 = d2a
Else
d2 = d2b
End If
’trazas de la deformación
trD = d1 + 2 * d2
trD2 = d1 ^ 2 + 2 * d2 ^ 2
trThD = Th1 * d1 + 2 * Th2 * d2
’calculando los incrementos
t1t = fs * (trT) ^ 2 / trT2 * (d1 + a ^ 2 * t1 * (t1 - t2) / (trT) ^ 2z
z* d1 + fd * a * (5 * t1 - 2 * t2) / (6 ^ 0.5 * (trT)) * Abs(d1))
t2t = fs * (trT) ^ 2 / (trT2) * (-d1 / 2 + a ^ 2 * t1 * (t1 - t2) / trT ^ 2♠
♠* d1 + fd * a * (4 * t2 - t1) / (6 ^ 0.5 * (t1 + 2 * t2)) * Abs(d1))
et = (1 + e) * trD
120
APÉNDICE B. PROGRAMACIÓN ICIV 200710 09
’calculando los valores del siguiente paso
t1 = t1t * t + t1
t2 = t2t * t + t2
e = et * t + e
’asignando a cada celda el valor del próximo paso
Range("i8").Offset(i + 1, 0) = t1
Range("j8").Offset(i + 1, 0) = t2
Range("m8").Offset(i + 1, 0) = e
Range("k8").Offset(i, 0) = t1t
Range("l8").Offset(i, 0) = t2t
Range("g8").Offset(i, 0) = d1
Range("f8").Offset(i, 0) = t
Range("n8").Offset(i + 1, 0) = u
Range("o8").Offset(i, 0) = a
Range("p8").Offset(i, 0) = fs
Range("q8").Offset(i, 0) = fd
Range("r8").Offset(i, 0) = d2a
Range("s8").Offset(i, 0) = d2b
Range("t8").Offset(i, 0) = t2ta
Range("u8").Offset(i, 0) = t2tb
Range("v8").Offset(i, 0) = d2
Range("AB8").Offset(i, 0) = Pc
Range("AC8").Offset(i, 0) = Qc
Range("AD8").Offset(i, 0) = Rc
Range("AE8").Offset(i, 0) = ac
Range("AF8").Offset(i, 0) = bc
Range("AG8").Offset(i, 0) = cc
Range("AH8").Offset(i, 0) = trThD
Range("AI8").Offset(i, 0) = trD2
Range("AJ8").Offset(i, 0) = fs
Next i
End Sub
121
APÉNDICE B. PROGRAMACIÓN ICIV 200710 09
B.7. Programación del element test para compresión oedométrica con Vis-cohipoplasticidad
En las siguientes líneas se presenta la programación del element test de una compresión oedométrica con
viscohipoplasticidad.
Private Sub CommandButton1_Click()
’declarando las variables
Dim e0, t, phic, kappa, Iv, Dr, ee0, Te0, epse0, control As Variant
Dim vel, increm, dt1, deps, rig, Dv, a, b, eps, OCR, e As Variant
Dim Te, lambda, T1 As Double
dt1 = T1 = e = eps = rig = Dv = a = b = deps = dt1 = Te = 0
’leyendo estado inicial
T1 = Range("c8")
e = Range("c11")
’leyendo tiempo
t = Range("g8").Offset(i + 1, 0)
’leyendo parámetros
lambda = Range("c21")
kappa = Range("c22")
Iv = Range("c23")
’leyendo valores de referencia
Dr = Range("c25")
ee0 = Range("c26")
Te0 = Range("c27")
epse0 = Log(1 + ee0)
’definiendo número de ciclos
n = 200
’Valores del paso inicial
Te = -(((-Te0) ^ (lambda) / ((1 + e) / (1 + ee0))) ^ (1 / (lambda)))
eps = Log(1 + e)
122
APÉNDICE B. PROGRAMACIÓN ICIV 200710 09
OCR = -Te / T1
’íncializando
i = 0
’inicio de los ciclos
For i = 0 To n
’leyendo tiempo, control y velocidad
t = Range("g8").Offset(i + 1, 0)
control = Range("f8").Offset(i + 1, 0)
vel = Range("h8").Offset(i + 1, 0)
’calculando incremento, rigidez, velocidad viscosa, a y b
increm = vel * t
rig = -T1 / kappa
Dv = Dr * (-T1 / Te) ^ (1 / Iv)
a = Dv / (Iv * T1)
b = Dv / (lambda * Iv)
’si es deformación controlada, calculando incremento de deformación
If control = 0 Then
deps = increm
Else
deps = (increm * (1 + rig * a * t) / rig + Dv * t) / (1 - b * t)
End If
’si es esfuerzo controlado, calculando incremento del esfuerzo
If control = 1 Then
dt1 = increm
Else
dt1 = rig * ((1 - b * t) * deps - Dv * t) / (1 + rig * a * t)
End If
’calculando valores del siguiente paso
T1 = T1 + dt1
eps = eps + deps
OCR = -Te / T1
e = Exp(eps) - 1
123
APÉNDICE B. PROGRAMACIÓN ICIV 200710 09
Te = Te0 / Exp((eps - epse0) / lambda)
’ímprimiendo variables de salida
Range("i8").Offset(i + 1, 0) = increm
Range("j8").Offset(i + 1, 0) = rig
Range("k8").Offset(i + 1, 0) = Dv
Range("l8").Offset(i + 1, 0) = a
Range("m8").Offset(i + 1, 0) = b
Range("n8").Offset(i + 1, 0) = deps
Range("o8").Offset(i + 1, 0) = dt1
Range("p8").Offset(i + 1, 0) = T1
Range("q8").Offset(i + 1, 0) = Te
Range("r8").Offset(i + 1, 0) = eps
Range("s8").Offset(i + 1, 0) = OCR
Range("t8").Offset(i + 1, 0) = e
Next i
End Sub
124
Índice alfabético
Antisimétrico, tensor, 92
Cinemática del continuo, 95
Configuración
cambio de, 98
actual, 5
de referencia, 5
inicial, 5
Control
del element test, 28
Creep, 49
Deformación
homogénea, 28
no recuperable, 51
recuperable, 51
Descripción
Eureliano, 96
Lagrangiana, 95
Ecuación constitutiva, 1, 4
hipoplástica 1D por Fellin, 5
hipoplástica por Kolymbas, 10
hipoplástica por Wolfersdorff, 14
hipoplástica por Wu Wei, 10
viscohipoplástica 3D, 57
Ecuación de Leinenkugel, 57
Element test, 28, 71
compresión isotrópica con Hipoplasticidad, 34
compresión oedométrica con Hipoplasticidad, 35
compresión oedométrica con Viscohipoplastici-
dad 1D, 71
compresión triaxial CD con Hipoplasticidad, 43
compresión triaxial CU con Hipoplasticidad, 41
Envolventes de respuesta, 11
Estado crítico, 15
Estados asintóticos del suelo, 14
Expansión de Taylor, 31, 93
Factor de
barotropía, 14
barotropía en Viscohipoplasticidad, 60
picnotropía, 14
Hipoplasticidad, 4
Identidad, tensor, 91
Indice de viscosidad, 53
Integración numérica
por diferencias finitas, 31
por diferencias finitas hacia adelante, 31
por diferencias finitas hacia atrás, 32
por diferencias finitas medias, 32
Invertibilidad
de la ecuación hipoplástica, 21
Invertido, tensor, 93
Isotacas, 49
Ley de compresión
de Butterfield, 50
de Terzagui, 50
Ley de Norton, 54
Loess de Argentina, 77
Medio continuo, 1
Modelo constitutivo, 1, 4
viscohipoplástico, 49
125
ÍNDICE ALFABÉTICO ICIV 200710 09
viscohipoplástico 1D, 50
Objetividad, 100
Observador, 100
OCR
en 3D, 61
según Hvroslev, 52
Ortogonal, tensor, 92
Pérdida de memoria, 15
Parámetro
ed0, 25
hs, 25
n, 25
α , 25
β , 26
κ , 69
ϕc, 24
ec0, 25
ei0, 25
Iv, 68
Parámetros
hipoplásticos, 24
viscohipoplásticos, 68
Potencia
de un tensor, 91
Principio del comportamiento proporcional del suelo,
8
Producto
diádico, 90
doble contracción, 91
doble poducto escalar, 90
escalar, 89
vectorial, 90
Regla de flujo
en Hipoplasticidad, 16
Relajación, 49
Simétrico, tensor, 92
Simetría axial, 28
Superficie de fluencia de Matsuoka-Nakai, 17
Tasa viscosa de referencia Dr, 54
Tensor de esfuerzos de Cauchy, 98
Teorema
Shermman-Morrison, 22, 93
Teorema de representación general, 9
Transpuesto
tensor, 90
Traza de un tensor, 91
Valores de referencia, 66
Viscohipoplasticidad, 49
Zaremba-Jaunmann, tasa de esfuerzo objetiva, 4, 104
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