Post on 03-Feb-2016
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Tipos de Señales
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Sistema de Control Discreto
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Operaciones Básicas
Multiplexión y DemultiplexiónMuestreo y RetenciónConversión A/D (Cuantización y Codificación)Conversión D/A (Decodificación)
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Operaciones Básicas
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Circuito de Retención
Es un dispositivo para la reconstrucción de señales continuas, a partir de una secuencia de valores discretos (señal de tiempo discreto).Otros tipos: de primer orden, interpolación poligonal, etc.
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Teorema del Muestreo (Nyquist-Shannon)
El Teorema de Nyquist-Shannon, establece que la frecuencia mínima de muestreo necesaria para evitar el “aliasing” debe ser:
fm>2.BW
BW: ancho de banda de la señal a muestrear(BW=fmax-fmin)
Para señales con fmin = 0, se puede expresar como,
fm>2.fmax
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Teorema del Muestreo (Nyquist-Shannon)
Aliasing: Las muestras D son un “Alias” de las muestras B
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Proceso de Muestreo Periódico
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Proceso de Muestreo Periódico
0
*
kP PkTtkTttftPtftf
Aproximación de Tope Plano:
TktPkTpara
PkTtkTparakTf
tf P10
*
Así,
Laplace:
0
*
kP PkTtkTtkTff
sFekTfs
e
s
e
s
ekTftfL P
k
kTsPs
ok
sPkTkTs
P*
0
* 1
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Proceso de Muestreo Periódico
Aproximación por series:
!3!21
32 PsPsPse Ps
,.1 LuegoPseentoncesTPSi Ps
0
*
0
*
kP
k
kTsP kTtkTfPtfekTfPsF
Se observa que el ancho de pulso “P” está actuando como un atenuador de la señal.Para evitar este inconveniente, se coloca un dispositivo de retención que mantenga el valor de la señal muestreada, quedando las expresiones finales:
0
*
0
*
k
kTs
k
ekTfsF
kTtkTftf
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Proceso de Muestreo Periódico
Ejemplo: Se tiene un proceso de muestreo periódico como se indica:
¿Cuánto vale el período fundamental (cantidad de muestras hasta que se repite la secuencia) de la señal de tiempo discreto , si la señal de tiempo continuo tiene una frecuencia de 3 Hz ?
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Representación de los Sistemas Discretos:Ecuaciones de Diferencias Finitas
Un sistema de tiempo discreto SISO tiene como representación la ecuación de diferencias general:
donde es la entrada en el instante y es la salida en el instanteEjemplo:
Se debe leer como que “el próximo valor de la salida es igual a su valor actual menos el doble del valor de la entrada presente”
La “Ecuación de Diferencias Finitas” para el mundo discreto, es el equivalente a las ecuaciones diferenciales ordinarias del mundo continuo.
mkmkkknknkkk ububububxaxaxax 221102211
iu i jx j
kkk uxx 21
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Transformada Z: Definición General
Dada una secuencia discreta, para y haciendo en la expresión de la transformada de Laplace de una señal muestreada, se define a la transformada Z como:
En detalle:
kTx ,3,2,1k Tsez
0k
kk zkTxxZzX
00
*
k
kez
k
kTs zkTxzXekTxsXTs
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Transformada Z: Ejemplos
Considérese la función escalón unitario:
Entonces,
Pero se sabe por convergencia de series que la serie, converge a: si
con lo que, convergerá como:
si
)(ttf
0000
* 1k
kez
k
kTs
k
kTsk
k
kTs zzFeeekTfsFTs
321 xxx
x11
1x
3211 zzzzF
11
11
z
z
zzF 11 z
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Transformada Z: Ejemplos
Considérese ahora la función:
Luego,
La convergencia de la serie es: para
con lo que,
atetf
TsaTsa
k
Tsak
k
kTsakT eeeeesF 2
00
* 1
1 Tsae
aT
aT
ezeZzF
11
1
TsaT ee
sF 1
1*
aTez
zzF
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Transformada Z: Nomenclatura y convenciones
Función continua:
Función continua muestreada:
Secuencia:
Transformada de Laplace de una función continua muestreada:
Transformada Z de una función continua muestreada (secuencia):
Formalmente el asterisco * desaparece en la notación de la transformada Z ya que la transformada está definida sobre funciones discretas; sin embargo se puede escribir:
entendiéndose que primero se muestrea y luego se aplica la transformada.
tf
tf *
sF *
zF
tfZzF
,2,1,0kparafokTf k
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Transformada Z: Propiedades
Traslación Real: RETARDO
Sea entonces,
Haciendo resulta,
ya que para , queda finalmente:
nTtf
00 k
nkn
k
k zTnkfzzTnkfnTtfZzF
nkm
0m
mn zmTfznTtfZ
0mTf 0m
zFznTtfZ n
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Transformada Z: Propiedades
Traslación Real: ADELANTO. Sea entonces,
Haciendo resulta
Representando a las condiciones iniciales, queda finalmente:
EJEMPLO:
nTtf
00 k
nkn
k
k zTnkfzzTnkfnTtfZzF
nkm
nm
mn zmTfznTtfZ
1
0
n
m
mzmTf
1
0
n
m
mn zmTfzFznTtfZ
212
0333 zffzfzzFzTtfZ
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Transformada Z: Propiedades
CONVOLUCIÓN REAL
Se recuerda que en tiempo continuo, la convolución real es:
EJERCICIO: Demostrar la convolución real en tiempo discreto.
zFzFTknfkTfZk
210
21
sFsFdtffLt
21
0
21
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Transformada Z: Ejemplo
Hallar la transformada dadas, la ecuación de diferencias
y las condiciones iniciales,
SOLUCIÓN:Se tiene que, y
luego,
de donde:
Obsérvese que se ha obtenido una función racional en Z, equivalente a la función racional en el plano S que se obtiene para una ecuación diferencial en tiempo continuo.
zX
023 12 kkk xxx
1
0
1
0
x
x
zzXzxZ k 2
2 zzXxZ k 1
0232 zXzzXzzXz
232
zz
zzX