Caracas: 06-05-2014

SOLUCIÓN DEL PRIMER PARCIAL HORARIO 1-2 TIMESTRE ABRÍL-JUNIO 2014

1. (6 puntos) Resolver la desigualdad:

3882183 xx

Solución:

Como:

,42

8082

,63

180183

xx

xx

Las raíces de los factores que están dentro de los valores absolutos son: x1=-6 y

x2=4, estudiamos el signo y el valor absoluto de estos factores:

Recta 6, 4,6 ,4

3x+18 - + +

183 x -3x-18 3x+18 3x+18

2x-8 - - +

82 x -2x+8 -2x+8 2x-8

Casos:

1)

,6,,6 xx

6,64,646,

,64

,064

,3882183

,38)82(183

1

S

x

x

xx

xx

2)

,4,6,46 xx

,4,66.5,4,6

,6.55

28

,285

,38105

,3882183

,38)82(183

2

S

x

x

x

xx

xx

3)

,,4,4 xx

12,412,,4

,12

,3826

,3882183

,38)82(183

3

S

x

x

xx

xx

Luego la solución es:

12,64321 SSSS

2. (7 puntos) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(3,1) y

B(-1,3), y cuyo centro está situado en la recta de ecuación .023 yx

Solución:

La ecuación de la circunferencia de centro C (h, k) y radio r, es:

,,2,2

,0

,022

,22

,)()(

222

22

22222

22222

222

rkhEKDhC

EDyCxyx

rkhkyhxyx

rkkyyhhxx

rkyhx

Como la ecuación de la circunferencia pasa por A y B, Se tiene:

)4(2)3(2024:)2()1(

),2(1030391

),1(1030319

khDCDC

EDCEDC

EDCEDC

Utilizando (4) y que el centro de la circunferencia está situado en la recta de ecuación

,023 yx

)4,2(4,20223023 Ckhhhkh

-64 12

Utilizando (2) y las coordenadas del centro para calcular E y el radio r:

1010164

,1010244)2(103,82

,42

222

rEkhr

EEEDCykD

hC

Entonces la ecuación de la circunferencia es:

:

10)4()2( 22 yx

3. (4 puntos) Graficar la función definida por:

Solución:

a) Usando tabla de valores:

x y

0 -3

Pi/2 0

Pi 3

3Pi/2 0

2Pi -3

5Pi/2 0

3Pi 3

Se tiene:

3,0),cos(3)( xxxf

b) Si se utilizan traslaciones:

4. Dadas las funciones:

1,

,1,12)(,2)( 2

xx

xxxgxxf

a. (5 puntos) Hallar ))(( xfg o

b. (2 puntos) Hallar )3)(( gf

Solución: a. Haciendo las graficas de las funciones se observa que:

,,0Im,2,Im

,

gf

DomgDomf

Para que exista fg o,

2,2,Im Domgf

Por lo tanto, existe fg o

Entonces:

,12,2

,12,1)2(2))((

,1)(,)(

,1)(,1)(2))((

22

22

xx

xxxfg

xfxf

xfxfxfg

Entonces:

fDomgo

b. 43923)3(2)3()3()3)(( 2 gfgf

,,22,,2

,0120,2

,1,1,23

))((

,02,2

,120,2

,01,23

))((

2

222

2

22

22

22

xx

xxx

xx

xfg

xx

xx

xx

xfg

,,22,,2

,,11,2,2,2

,1,1,23

))((

2

2

2

xx

xx

xx

xfg

,,22,,2

,2,11,2,2

,1,1,23

))((

2

2

2

xx

xx

xx

xfg

5. Dada la función f, 1

32)(

x

xxf

a. (2 puntos) Probar que f es inyectiva

b. (2 puntos) Hallar su inversa.

c. (2 puntos) Verificar que xxff )(1o

Solución

a. 1)( xDomf ,

,55)1)(32()1)(32(1

32

1

32)()(

,,

21211221

2

2

1

121

21

xxxxxxxxx

x

x

xxfxf

Domfxx

Entonces f es una función uno-a-uno, por lo tanto existe su inversa.

b.

,1Im,Im2

,2

3)(

2

3)(,

2

33)2(

,323232)1(1

32)(,

11

11

DomfffDomf

x

xxf

y

yyf

y

yxyyx

yxyxxyyxxxyx

xxfyDomfx

c.

,5

5

2

232

6362

12

3

32

32

1)(

3)(2)(()(

1

111 x

x

x

xxx

xx

x

xx

x

xf

xfxffxff

o