Post on 24-Aug-2020
SOLUCIONARIO
ENSAYO MT- 024
EN
SC
ES
MT
024-A
17
V1
1. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Números racionales
Habilidad Comprensión
I) Verdadera, ya que 3
1 es igual a 0,333…, y 0,33 es menor a 0,333…
II) Verdadera, ya que si dos fracciones tienen igual numerador, aquella que tenga
mayor denominador será la de menor valor. Como 11 es menor que 12, 11
7 es
mayor que 12
7.
III) Verdadera, ya que 23,0 es igual a 0,3222…, mientras que 32,0 es igual a
0,323232… Como la milésima del primer valor es menor a aquella del
segundo valor, entonces se cumple que 0,3222… es menor que 0,323232…
Por lo tanto, las afirmaciones I, II y III son verdaderas.
2. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Números racionales
Habilidad Aplicación
4
1
9
4:
18
3522)25,04,0(:
6
5
9
2 (Igualando denominador/transformando)
9
1:
18
154
(Desarrollando)
1
9
18
19 (División de fracciones)
2
19
3. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Números racionales
Habilidad Aplicación
Se sabe que durante el primer mes Pablo logró juntar $9.000. Si en los siguientes dos
meses reunió dos tercios de lo ahorrado el mes anterior, entonces:
Mes 1: $9.000
Mes 2: 3
2$9.000 =
3
000.92$
= $6.000 Dinero acumulado: $15.000
Mes 3: 3
2$15.000 =
3
000.152$
= $10.000 Dinero acumulado: $25.000
Finalmente, el último mes ahorró tres quintos de lo ahorrado hasta el mes anterior, es
decir:
Mes 4: 000.25$5
3 =
5
000.253$
= $15.000 Dinero acumulado: $40.000
Por lo tanto, Pablo ahorró $40.000 para asistir al recital.
4. La alternativa correcta es B .
Unidad temática Potenciación
Habilidad Aplicación
(𝑝
𝑞)2
∙ [(𝑝2
𝑞2)
−3
]
7
=𝑝2
𝑞2∙ [(
𝑝2
𝑞2)
−3
]
7
(Potencia de un cuociente)
= 𝑝2
𝑞2∙ [(
𝑞2
𝑝2)
3
]
7
(Potencia de una potencia)
= 𝑝2
𝑞2∙ [
𝑞6
𝑝6]
7
= 𝑝2
𝑞2∙𝑞42
𝑝42 (Potencia de una potencia)
= 𝑞40
𝑝40
= (𝑞
𝑝)40
5. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Números racionales
Habilidad Aplicación
Transformando cada fracción de la expresión a decimal ...7333,63,64,03
19
5
2
,
el valor aproximado por defecto a la milésima es 6,733.
6. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Números racionales
Habilidad ASE
En el conjunto de los números enteros:
I) Falso, porque el producto de un número par con un número impar es siempre un
número par.
II) Verdadero, ya que la suma de dos números impares es siempre un número par.
III) Falso, porque 2 y 3 son primos, y 2 + 3 = 5 no es par.
Por lo tanto, solo la afirmación II es siempre verdadera.
7. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Número racionales
Habilidad ASE
Como p y q son dos elementos del conjunto M = {1, 2, 3}, tales que p < q, entonces las
posibles parejas de valores para p y q son: p = 1 y q = 2, p = 1 y q = 3 o p = 2 y q = 3.
Luego:
I) (p – q + 2) no tiene siempre como resultado un elemento de M, ya que si p = 1 y
q = 3, entonces (p – q + 2) = (1 – 3 + 2) = 0, que no pertenece a M.
II) (p + q – 2) tiene siempre como resultado un elemento de M, ya que
si p = 1 y q = 2, entonces (p + q – 2) = (1 + 2 – 2) = 1
si p = 1 y q = 3, entonces (p + q – 2) = (1 + 3 – 2) = 2
si p = 2 y q = 3, entonces (p + q – 2) = (2 + 3 – 2) = 3
y los tres resultados pertenecen a M.
III) (q – p) tiene siempre como resultado un elemento de M, ya que
si p = 1 y q = 2, entonces (q – p) = (2 – 1) = 1
si p = 1 y q = 3, entonces (q – p) = (3 – 1) = 2
si p = 2 y q = 3, entonces (q – p) = (3 – 2) = 1
y los tres resultados pertenecen a M.
Por lo tanto, solo II y III tienen siempre como resultado un elemento de M.
8. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Potenciación
Habilidad ASE
Al factorizar la expresión, resulta (323
– 319
) = 319
·(34 – 1) = 3
19·(81 – 1) = 3
19·80. Luego:
A) 30 es un divisor de (323
– 319
), ya que 833
83
30
803 181919
, el cual es un número
entero.
B) 45 es un divisor de (323
– 319
), ya que 1633
163
9
163
45
803 17
2
191919
, el cual es
un número entero.
C) 50 no es un divisor de (323
– 319
), ya que 5
83
50
803 1919
, el cual no es posible de
seguir simplificando, por lo que no es un número entero.
D) 40 es un divisor de (323
– 319
), ya que 2340
803 1919
, el cual es un número entero.
E) 72 es un divisor de (323
– 319
), ya que 1033
103
9
103
72
803 17
2
191919
, el cual es
un número entero.
9. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Números irracionales
Habilidad Compresión
1
√5 + 1≈
3
10 (Racionalizando)
1
√5 + 1∙(√5 − 1)
(√5 − 1)≈
3
10 (Desarrollando el producto)
√5 − 1
5 − 1≈
3
10
√5 − 1
4≈
3
10 (Despejando la expresión √5 − 1)
√5 − 1 ≈12
10=
6
5 (Multiplicando por 4)
Por lo tanto, 6
5
15
1
.
10. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Números irracionales
Habilidad ASE
Si las bases y los argumentos de logaritmos son mayores que 1, entonces siempre se
cumple que a mayor argumento, mayor es el valor del logaritmo, y a mayor base, menor
es el valor del logaritmo. Luego:
- a es mayor que c, ya que tienen igual base, pero el argumento de a es mayor que
el de b.
- c es mayor que b, ya que tienen igual argumento, pero la base de c es menor que
la de c.
Luego, b < c < a.
Por lo tanto, el orden de menor a mayor es b, c y a.
11. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Potenciación
Habilidad ASE
En este caso, ambas raíces tienen la misma cantidad subradical pero distinto índice, por lo
que se deben utilizar las propiedades de las potencias para obtener la raíz equivalente.
mnmn aaaa
11
(Por definición)
mna
11
(Por ser potencias con la misma base)
nm
nm
a
(Sumando fracciones en el exponente) nm mna (Trasformando a raíz)
Por lo tanto, la expresión mn aa es siempre equivalente a nm mna .
12. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Potenciación
Habilidad Aplicación
)35(2
)53(2
)35(2
106
(Factorizando por 2 )
35
53
(Simplificando por 2 )
)35)(35(
)35)(53(
(Racionalizando)
35
)53( 2
(Suma por su diferencia)
2
51523 (Cuadrado de binomio)
2
1528 (Sumando)
2
)154(2 (Factorizando por 2)
154 (Simplificando)
13. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Números irracionales
Habilidad ASE
I) Falsa, ya que 2log5log
1
2log5log3
3
2log3
1
5log
3
, el cual es un
número irracional.
II) Verdadera, ya que 185log
5log281
5log
5log27325log27
5log
3 2
, el
cual es un número racional.
III) Verdadera, ya que 10
1
5
2
1
3255log
5log2
13
75
5log
5log
3
, el cual es un
número racional.
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
14. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Números irracionales
Habilidad ASE
Aplicando propiedades de logaritmo a la expresión 3 24log mn :
3 243 24 logloglog mnmn (Logaritmo de un producto)
mn log3
2log4 (Logaritmo de una potencia/raíz)
3
log2log12 mn (Suma de fracciones)
3
)loglog6(2 mn (Factorizando)
)log(log3
2 6 mn (Logaritmo de una potencia)
mn6log3
2 (Logaritmo de un producto)
b3
2 (Reemplazando por aproximación)
3
2b (Calculando)
15. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Potenciación
Habilidad ASE
(1) p = 4q. Con esta información, sí es posible determinar el valor numérico para
q
p
9
4, ya que al reemplazar en la raíz se obtiene
3
4
9
16
9
44
q
q.
(2) q = 6. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico para
q
p
9
4, ya que no se conoce una relación numérica entre p y q.
Por lo tanto, la respuesta correcta es: (1) por sí sola.
16. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Números complejos
Habilidad Aplicación
Transformando los denominadores a número entero, resulta:
2
1
11
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
12
ii
)(
i
i
i
i
i
ii
y i
i
i
i
i
i
ii
1
112
Por lo tanto, 2
1
2
21)(
2
11
1
1 iiii
i
ii
.
17. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Números complejos
Habilidad ASE
(1) La suma de z con su conjugado es igual a 2. Con esta información, sí es posible
determinar el valor de m, ya que la suma entre un complejo y su conjugado es
siempre igual al doble de su parte real, es decir, 2 ∙ 𝑚 = 2. Luego, el valor de m sería
igual a 1.
(2) z se encuentra en el primer cuadrante del plano complejo. Con esta información, no es
posible determinar el valor de m, ya que solo podemos afirmar que el valor de m es
positivo, pero no es posible determinar el valor numérico exacto de m.
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.
18. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Transformaciones algebraicas
Habilidad Aplicación
La expresión (9a2b – 16b
3) se puede factorizar por b, resultando b ∙ (9a
2 – 16b
2). Por otra
parte, (9a2 – 16b
2) se puede factorizar como una suma por su diferencia, resultando
(3a + 4b) ∙ (3a – 4b). Luego, la expresión (9a2b – 16b
3) resulta b ∙ (3a + 4b) ∙ (3a – 4b).
Analizando cada una de las expresiones, se tiene que
A) Corresponde a un factor de (9a2b – 16b
3), ya que esta es factorizable por b.
B) Corresponde a un factor de (9a2b – 16b
3), ya que (9a
2b – 16b
3) = b ∙ (9a
2 – 16b
2).
C) Corresponde a un factor de (9a2b – 16b
3), ya que
(9a2b – 16b
3) = b ∙ (3a + 4b) ∙ (3a – 4b).
D) Corresponde a un factor de (9a2b – 16b
3), ya que
(9a2b – 16b
3) = b ∙ (3a + 4b) ∙ (3a – 4b).
E) NO corresponde a un factor de (9a2b – 16b
3), ya que no se puede obtener como el
producto entre los factores de la expresión.
19. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Ecuación y sistemas de primer grado
Habilidad Aplicación
Despejando el valor de a en términos de b
2
43
4
868646842
3
24
bbababab
a
Evaluando cada una de las alternativas:
A) Resulta un racional entero, ya que si b = 3
4, se tiene que 0
2
0
2
44
2
43
43
a .
B) Resulta un racional entero, ya que si b = 2, se tiene que 12
2
2
46
2
423
a .
C) Resulta un racional NO entero, ya que si b = 3
1, se tiene que
2
3
2
41
2
43
13
a
D) Resulta un racional entero, ya que si b = 3
2, se tiene que
12
2
2
42
2
43
23
a .
E) Resulta un racional entero, ya que si b = 4, se tiene que 42
8
2
412
2
443
a .
20. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Ecuación y sistemas de primer grado
Habilidad ASE
Elevando al cuadrado la ecuación x + y = a, se obtiene x2 + 2xy + y
2 = a
2. Luego:
x2 + 2xy + y
2 = a
2
x2 + y
2 = a
2 – 2xy (Según la segunda ecuación, 2xy = b)
x2 + y
2 = a
2 – b
Por lo tanto, el valor de la expresión (x2 + y
2), en términos de a y b, es (a
2 – b).
21. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Transformación algebraica
Habilidad ASE
(1) 𝑥 =2
𝑦 . Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de 𝒂, ya
que si 𝑥 ∙ 𝑦 = 2, entonces 𝑎 = (𝑥−𝑦
𝑥+𝑦−
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦) =
−4𝑥𝑦
𝑥2−𝑦2=
−8
𝑥2−𝑦2.
(2) 𝑥2 − 𝑦2 = 4 . Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de 𝒂,
ya que solo podemos obtener el valor numérico del denominador de 𝒂. Es decir,
𝑎 = (𝑥−𝑦
𝑥+𝑦−
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦) =
−4𝑥𝑦
𝑥2−𝑦2=
−4𝑥𝑦
4= −𝑥𝑦.
Con ambas juntas, sí es posible determinar el valor numérico de 𝒂, ya que conoceríamos
tanto el numerador como el denominador de 𝒂. Luego, 𝑎 = (𝑥−𝑦
𝑥+𝑦−
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦) =
−4𝑥𝑦
𝑥2−𝑦2 =−4∙2
4= −2.
Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas, (1) y (2).
22. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Habilidad Aplicación
𝑥(𝑥 − 7) = 60 (Desarrollando)
𝑥2 − 7𝑥 − 6 = 0 (Factorizando)
(𝑥 − 12)(𝑥 + 5) = 0
De la última igualdad se deduce que los valores de x que son soluciones de la ecuación de
segundo grado son 12 y − 5.
23. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Habilidad Aplicación
Si una de las soluciones de una ecuación cuadrática es un número complejo con parte
imaginaria no nula, entonces la otra será el conjugado de este número. En este caso, una
solución es 2 + 5i, por lo que la otra es 2 – 5i.
En una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0, se tiene que la suma de las
soluciones es igual a a
b, mientras que el producto entre ellas es igual a
a
c.
Homologando términos para la ecuación del enunciado, se tiene que a = 1, b = m y c = n.
Luego
(2 + 5i) + (2 – 5i) = – m (2 + 5i) ∙ (2 – 5i) = n
4 = – m 22 + 5
2 = n
m = – 4 29 = n
Por lo tanto, los valores de m y n son, respectivamente, – 4 y 29.
24. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Habilidad Aplicación
Si una de las soluciones de la ecuación x(4x – p) = p es (i – 1), entonces al reemplazar la
solución en la ecuación se cumple la igualdad.
Luego, se puede plantear y resolver:
(i – 1)·(4·(i – 1) – p) = p
(i – 1)·(4i – 4 – p) – p = 0
4i² – 4i – pi – 4i + 4 + p – p = 0
– 4 – 8i – pi + 4 = 0
– 8i – pi = 0
– i·(8 + p) = 0
Por lo tanto, dicha igualdad se cumple solo para p = – 8.
25. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Inecuaciones y función potencia
Habilidad Comprensión
Para resolver un sistema lineal de inecuaciones con una incógnita, se debe encontrar el
conjunto solución de cada inecuación por separado y luego realizar la intersección de los
intervalos obtenidos.
En este caso, al desarrollar cada inecuación con a y b positivos, resulta:
ax > b x > a
b y bx > a x >
b
a
Para graficar e intersectar los intervalos solución, es necesario considerar que si 0 < a < b,
entonces b
a <
a
b. Luego, el gráfico de los intervalos solución queda:
Por lo tanto, como la intersección se produce para todos los valores mayores que a
b,
entonces la solución del sistema de inecuaciones es
,
a
b.
+
b
a
a
b
26. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Inecuaciones y función potencia
Habilidad Aplicación
Resolviendo la inecuación:
xxxxxxxxx 222 36982)4)(92( (Producto de binomios)
xxx 362 (Restando x2)
0362 x (Restando x)
362 x (Sumando 36)
Como las soluciones de la ecuación 362 x son 6 y – 6, entonces todos los valores
mayores o iguales que – 6 y menores o iguales que 6 satisfacen la inecuación 362 x . Es
decir, x pertenece al intervalo [– 6, 6].
27. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Inecuaciones y función potencia
Habilidad ASE
Si el número es x, entonces el enunciado se puede traducir a la expresión x – 5 < 2x.
Despejando x:
x – 5 < 2x ⟹ – 5 < x ⟹ x ∈ ]– 5, +∞[
I) Verdadera, ya que si x < 8, entonces – 5 < x < 8. Es decir, x ∈ ]– 5, 8[.
II) Falsa, ya que si x > 2, entonces – 5 < 2 < x. Es decir, x ∈ ]2, +∞[.
III) Falsa, ya que si x < 0, entonces – 5 < x < 0. Es decir, x ∈ ]– 5, 0[.
Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.
28. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Función afín, función lineal y función constante
Habilidad Comprensión
Según los datos presentados en el enunciado, se puede inferir que la función que modela
el costo del gas sigue un comportamiento lineal de la forma c(x) = ax + b. En este caso, el
cargo fijo es equivalente al valor de b, es decir, 700. Como se sabe que un cliente que
consume x = 15 metros cúbicos de gas tiene que pagar c(x) = 14.950 pesos, se tiene que:
c(x) = ax + b
14.950 = 15a + 700
95015
250.14
15
700950.14
a
Entonces, la función que modela el comportamiento del enunciado es g(x) = 950x + 700.
29. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad ASE
(1) 𝑎 = 3. Con esta información, sí se puede determinar el valor numérico de
𝑓(𝑔(𝑏 − 𝑎)), ya que 𝑓(𝑔(𝑏 − 𝑎)) = 𝑓(2𝑎 − 𝑏) = 2𝑎 = 2 ∙ 3 = 6.
(2) 𝑏 = 2. Con esta información, no se puede determinar el valor numérico de
𝑓(𝑔(𝑏 − 𝑎)), ya que este depende, en última instancia, solo del valor de a.
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.
30. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
Habilidad Comprensión
Si la masa era inicialmente de M0 gramos y pierde un 1% de su masa en cada segundo, es
decir, 0,01·M0, entonces:
Después del segundo 1, la masa que queda es de 0,99·M0 gramos.
Después del segundo 2, la masa que queda es de 0,99·0,99·M0 = (0,99)²·M0 gramos.
Después del segundo 3, la masa que queda es de 0,99·0,99·0,99·M0 = (0,99)³·M0 gramos.
Después del segundo x, la masa que queda es de
0,99·…·0,99·0,99·0,99·M0 = (0,99)x·M0 gramos.
x veces
Por lo tanto, la expresión que representa la masa M(x), en gramos, del metal a los x
segundos de ser sumergido es M0·(0,99)x.
31. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
Habilidad Aplicación
Según la figura, el punto (2, 3) pertenece a la gráfica de la función, lo que significa que se
cumple que f(2) = 3. Reemplazando en la expresión, resulta f(2) = loga 2 = 3.
Por lo tanto, aplicando la definición de logaritmo, resulta loga 2 = 3 a³ = 2 a = 3 2 .
32. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
Habilidad ASE
Sea la función 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1, es correcto afirmar que:
I) Verdadera, ya que el dominio de la función corresponde a todos los reales.
II) Falso, ya que el recorrido de la función es el intervalo [1, +∞[.
III) Verdadera, ya que el punto (0, 1) pertenece a la gráfica de la función
𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1 , dado que 𝑓(0) = 1.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.
33. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Habilidad Compresión
Dadas las funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 y 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 1)2, entonces la expresión de la
función compuesta 𝑔(𝑓(𝑥)) es:
𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(2𝑥 + 3) = (2𝑥 + 3 + 1)2 = 4𝑥2 + 16𝑥 + 16
Luego, los valores de a, b y c son 𝑎 = 4, 𝑏 = 16 𝑦 𝑐 = 16.
Entonces, el eje de simetría asociado a esta función cuadrática es 𝑥 =−𝑏
2𝑎=
−16
2∙4= −2.
Por lo tanto, el eje de simetría corresponde a la recta 𝑥 = −2.
34. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Habilidad ASE
A partir del gráfico se pueden identificar dos puntos que pertenecen a la función
(−1, 0) y (1, 2). Entonces, la función solicitada debe contener a estos puntos, es decir,
que al reemplazarlos deben satisfacer la igualdad en la función.
En este caso la función que buscamos es 𝑓(𝑥) =−𝑥2+2𝑥+3
2, ya que si se reemplazan los
puntos ocurre que 𝑓(−1) =−(−1)2+2(−1)+3
2=
−1−2+3
2= 0, es decir, el punto (−1,0)
pertenece a la función 𝑓. Por otro lado, 𝑓(1) =−(1)2+2(1)+3
2=
−1+2+3
2= 2, es decir, el
punto (1, 2) pertenece a la función 𝑓.
Por lo tanto, la función 𝑓(𝑥) =−𝑥2+2𝑥+3
2 es la que está mejor representada en el
gráfico.
35. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad Aplicación
Despejando x:
xxfxxf 35)(53)( (Sumando 5)
xxf
3
5)( (Dividiendo por 3)
Por último, intercambiando las variables:
3
5)()(
3
5)( 1
xxfxgx
xf
36. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Inecuaciones y función potencia
Habilidad ASE
En primer lugar, la función 𝑓(𝑥) = 𝑥4 es una curva (tipo parábola) cóncava hacia arriba,
decreciente en el intervalo ]−∞, 0[ y creciente en el intervalo ]0, +∞[ , siendo igual a
cero solo si 𝑥 = 0.
Por otro lado, la función 𝑔(𝑥) = 2𝑥3 es una función potencia con exponente impar,
creciente en todo ℝ, siendo igual a cero solos si 𝑥 = 0.
Entonces:
A) Falso, ya que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) solo para 𝒙 en el intervalo [0,2].
B) Falso, ya que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para cualquier 𝒙 en [−∞, 0] ∪ [2,+∞].
C) Falso, ya que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) solo para 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2.
D) Verdadero, ya que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) solo para 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2. Además, dentro del
intervalo la función 𝑓(𝑥) tiene un crecimiento mayor que 𝑔(𝑥).
E) Falso, ya que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para x en el intervalo [−2,0].
Por lo tanto, la afirmación verdadera es que f(x) ≤ g(x) solo para x en el intervalo [0, 2]
37. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Transformaciones isométricas
Habilidad Aplicación
Aplicar una rotación en 90°, con centro en el origen, a un triángulo en el plano implica
aplicar una rotación a cada uno de sus vértices.
Los vértices del triángulo son (1, 2), (4, 3) y (3, 5), los que luego de aplicárseles una
rotación de 90°, con centro en el origen, resultan ser (−2, 1), (−3, 4) y (−5, 3),
obteniendo así el triangulo del gráfico B.
38. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Transformaciones isométricas
Habilidad Aplicación
Del gráfico se observa que �⃗� = (5,2) 𝑦 𝑣 = (2,−2). Entonces:
I) Falso, ya que 8 ∙ �⃗� = 8 ∙ (5,2) = (40,16).
II) Verdadero, ya que �⃗� + 𝑣 = (5,2) + (2,−2) = (7,0).
III) Falso, ya que −𝑣 = −(2,−2) = (−2,2).
Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera.
39. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Transformaciones isométricas
Habilidad Aplicación
Al aplicar una simetría al punto (3, – 5) respecto al eje X se obtiene el par (3, 5). Por lo
tanto, al aplicarle una rotación de 180° al punto resultante se obtiene el par (– 3, – 5).
40. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Transformaciones isométricas
Habilidad Aplicación
Si el punto medio entre los puntos (2 + 2𝑏, 2 + 𝑎) y (3𝑎, 𝑏 − 7) es (−5, 3),implica que
2 + 2𝑏 + 3𝑎
2= −5 y
2 + 𝑎 + 𝑏 − 7
2= 3
Ordenando estas ecuaciones, tenemos que
2𝑏 + 3𝑎 = −12 y 𝑎 + 𝑏 = 11
Formando así un sistema de ecuaciones con 2 incógnitas
(1) 3𝑎 + 2𝑏 = −12
(2) 𝑎 + 𝑏 = 11
Luego, si amplificamos por (−2) la ecuación (2), obtenemos −2𝑎 − 2𝑏 = −22.
Y ahora, si esta nueva ecuación la sumamos con (1), obtenemos
−2𝑎 − 2𝑏 = −22
3𝑎 + 2𝑏 = −12 +
𝑎 = −34
Luego, reemplazando este valor en la ecuación (2), se tiene
−34 + 𝑏 = 11
𝑏 = 45
Por lo tanto, 𝑏 − 𝑎 = 45 − (−34) = 45 + 34 = 79.
41. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad ASE
I) Verdadera, ya que la altura de un triángulo equilátero está relacionada con la
medida de sus lados. Como ambos triángulos tienen igual altura, entonces la
medida de los lados de ambos triángulos será congruente.
II) Verdadera, ya que al trazar ambas diagonales, estas son perpendiculares y se
dimidian entre sí.
III) Falsa, ya que las bases de un trapecio tienen distintas medidas, por lo que los
triángulos dibujados no son congruentes.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.
42. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Transformaciones isométricas
Habilidad ASE
Si la ordenada del punto (8, – 2) disminuye una unidad, implica que el punto se
transforma en (8, – 3).
Si la abscisa del punto (8, – 3) aumenta en dos unidades, implica que el punto se
transforma en (10, – 3).
Si al punto (10, – 3) se le aplica una simetría central respecto al origen, que es
equivalente a aplicar una rotación en 180° respecto al origen, basta con cambiar el signo
de las coordenadas del punto, por lo que este queda ubicado en la posición (– 10, 3).
43. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad Comprensión
Por teorema de las cuerdas en una circunferencia se tiene que AP · PC = BP · PD.
Reemplazando:
(2𝑥 + 1) ∙ (12) = (2𝑥 − 4) ∙ (15) (Simplificando)
(2𝑥 + 1) ∙ (4) = (2𝑥 − 4) ∙ (5) (Distribuyendo)
8𝑥 + 4 = 10𝑥 − 20 (Despejando la x)
𝑥 = 12
Por lo tanto, BD = BP + PD = 2 · 12 – 4 + 15 = 35.
44. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad Comprensión
Al llevar a un gráfico la descripción del enunciado resulta la figura
adjunta. Es importante tener en cuenta que cualquier relación que
incluya al punto D difícilmente podrá ser cierta, ya que este se
encuentra en una posición arbitraria.
De las cinco opciones, si se analizan las dos que no incluyen al punto
D:
A) AC² = AE·EB No se cumple, ya que es una interpretación
errónea del teorema de Euclides.
D) CB² = AB·EB Se cumple, ya que corresponde al postulado del teorema de Euclides:
“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de su
proyección por la hipotenusa”.
45. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad Aplicación
Según la figura tenemos que 𝑅𝑄 = 𝑃𝑄 − 𝑃𝑅 = (5𝑥 + 4) − (2𝑥 + 1) = 3𝑥 + 3.
A B
C
E
D
Además, se tiene que 𝑅𝑄 ∶ 𝑃𝑄 = 2 ∶ 3
Entonces, se cumple que:
3𝑥 + 3
5𝑥 + 4=
2
3 (Desarrollando la proporción)
9𝑥 + 9 = 10𝑥 + 8 (Despejando la 𝒙)
𝑥 = 1
Por lo tanto, la medida del segmento 𝑃𝑄 = 5 ∙ 1 + 4 = 9
46. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Circunferencia
Habilidad Aplicación
A partir del enunciado podemos completar los datos en la circunferencia de la figura
adjunta.
Como el arco AB = 104° y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , entonces el arco BC y el arco CA miden 128°.
128° 128°
104°
Entonces, si el ángulo ∠𝐶𝑂𝐴 mide 128°, la mitad del ángulo ∠𝐶𝑂𝐴 es 64°.
47. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Circunferencia
Habilidad ASE
Según la figura adjunta, ∠𝐴𝑃𝐸 es un ángulo exterior y se obtiene de la semidiferencia
entre los arcos AE y DC, es decir:
∠𝐴𝑃𝐸 =𝐴𝐸 ̂ − 𝐷�̂�
2
40° =150° − 𝐷�̂�
2
𝐷�̂� = 70° Luego,
𝐸�̂� = 70°
Además, el arco 𝐵𝐴 = 30°, ya que 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ es diámetro de la circunferencia.
Por lo tanto, el arco CB mide 40°.
48. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad ASE
A partir de cada figura, calculamos el valor de x usando la respectiva proporción.
I) 16
10=
𝑥
15
⇒ 𝑥 =
15∙16
10= 24
II) 12
16=
30
𝑥
⇒ 𝑥 =
16∙30
12= 40
III) 𝑥
36=
14
21
⇒ 𝑥 =
36∙14
21= 24
Por lo tanto, solo en I y III el valor de x es 24.
49. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad ASE
En la figura se cumple que RQP SQT, por ser opuestos por el vértice. Además,
RQ:QS = k. Luego:
(1) PRS TSR. Con esta información, sí se puede afirmar que el triángulo PQR es
semejante con el triángulo TQS, ya que se cumple el criterio de tener dos ángulos
respectivamente congruentes.
(2) PQ : QT = k. Con esta información, sí se puede afirmar que el triángulo PQR es
semejante con el triángulo TQS, ya que se cumple los criterios de tener dos lados
respectivamente proporcionales y el ángulo congruente entre ellos.
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola, (1) ó (2).
30°
150°
70°
70°
50. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Comprensión
Supongamos que el dibujo de la figura
mencionada en el enunciado
corresponde a la figura adjunta.
Como OA = 3 cm y AD = 5 cm,
entonces OD = 8 cm. Luego, la razón de
homotecia será 3
8
OA
OD. Es decir, 8 : 3.
51. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Aplicación
Si la recta tiene coeficiente de posición 1, entonces su ecuación será y = mx + 1, con m la
pendiente de esta recta. Como esta recta pasa por el punto (2, 9), entonces se cumple que
9 = 2m + 1. Despejando:
9 = 2m + 1 ⟹ 8 = 2m ⟹ 4 = m
52. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Aplicación
Se sabe que la forma principal de la ecuación de una recta es del tipo 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, donde
m es la pendiente y n el coeficiente de posición asociado al punto de intersección con el
eje y.
A partir del gráfico se observa que 𝑛 = 3, y con los puntos que pertenecen a la recta
podemos determinar el valor de la pendiente m:
𝑚 =3 − 0
0 − (−1)= 3
Por lo tanto, la ecuación de la recta representada en el gráfico es 𝑦 = 3𝑥 + 3.
D A
F
B
O
E C
53. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad ASE
Respecto de la recta L del gráfico adjunto:
I) Verdadera, ya que todas las rectas horizontales (paralelas al eje X) tienen pendiente
igual a 0.
II) Verdadera, ya que en la recta L se encuentran todos los puntos de la forma (𝑥, 8), en
particular (– 9, 8).
III) Falso, ya que la ecuación que representa la recta es 𝑦 = 8.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.
54. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad ASE
Para que dos rectas sean paralelas no coincidentes, ambas deben tener igual pendiente
pero distinto coeficiente de posición. Luego:
(1) a es el triple de b. Con esta información, no es posible determinar que son
paralelas no coincidentes, ya que si bien se cumple que ambas pendientes son
iguales (ya que en la primera recta se cumple también que el coeficiente de x es el
triple del coeficiente de y), no se sabe nada respecto al valor de c, es decir, no se
puede afirmar que los coeficientes de posición son distintos.
(2) c es distinto de cero. Con esta información, no es posible determinar que son
paralelas no coincidentes, ya que solo nos permite concluir que las rectas tienen
distinto coeficiente de posición, ya el coeficiente de la primera recta es cero.
Con ambas juntas, sí es posible determinar que son paralelas no coincidentes, ya que la
primera información permite concluir que ambas rectas tienen igual pendiente, mientras
que la segunda permite deducir que tienen distinto coeficiente de posición, condiciones
necesarias para que cumplan con el enunciado.
Por lo tanto, la respuesta correcta es: Ambas juntas, (1) y (2).
55. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Cuerpos geométricos
Habilidad Comprensión
Sea el volumen V de un cono igual a hr 2
3
1 , donde r es la longitud del radio de la
base y h es la longitud de la altura del cono. Entonces:
I) Verdadera, ya que si el radio de la base se duplica, se tiene que
Vhrhrhr 43
144
3
12
3
1 222
Por lo que el volumen del cono resultante es cuatro veces su volumen original.
II) Falsa, ya que si la altura del cono se duplica, se tiene que
Vhrhr 23
122
3
1 22
Por lo que el volumen del cono resultante es dos veces su volumen original.
III) Verdadera, ya que si la altura se cuadruplica y el radio de la base disminuye a la
mitad, se tiene que
Vhrhr
hr
2
22
3
14
43
14
23
1
Por lo que el volumen del cono resultante es igual a su volumen original.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.
56. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Comprensión
El origen del espacio tiene coordenadas (0, 0, 0), por lo cual si un punto de la recta L se
encuentra ubicado en el origen, entonces se cumple que (0, 0, 0) = (1, 1, 1) + t⋅(p, p, p).
Por lo tanto, planteando la igualdad para cualquiera de las coordenadas, resulta
0 = 1 + t·p t·p = – 1 t = p
1.
57. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Aplicación
El punto Q se encuentra 1 cm delante, 1 cm arriba y 3 cm a la derecha del punto P. Por lo
tanto, la distancia entre P y Q es 11911311 222 cm.
58. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Cuerpos geométricos
Habilidad Aplicación
El volumen del cuerpo de la figura se calcula como la diferencia entre el sólido exterior
completo y el espacio interior.
El sólido sin el espacio es un paralelepípedo recto, cuya altura mide 4a cm y con una base
cuadrada de lado 3a cm. Luego, su volumen es 4a·(3a)² = 4a·9a² = 36a³ cm³.
Por otro lado, el espacio es un paralelepípedo recto, cuya altura mide 4a cm y con una
base cuadrada de lado 2a cm. Luego, su volumen es 4a·(2a)² = 4a·4a² = 16a³ cm³.
Por lo tanto, el volumen del cuerpo de la figura es (36a³ – 16a³) = 20a³ cm³.
59. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Análisis de variable estadística
Habilidad Comprensión
El conjunto A está compuesto por 9 elementos y las muestras se extraen por combinación
de elementos. Luego:
I) Verdadera, ya que la cantidad de muestras de tamaño 3 es 84!6!3
!9
3
9
, mientras
que la cantidad de muestras de tamaño 6 es 84!3!6
!9
6
9
.
II) Falsa, ya que al ser una cantidad impar de elementos, la mayor cantidad de muestras
que se pueden obtener corresponden a los tamaños 2
1n y
2
1n, con n la cantidad
total de elementos. Por ello, la mayor cantidad de muestras se obtendrá de los
tamaños de muestra 4 y 5.
III) Verdadera, ya que de los 9 elementos se consideran solo 8 de ellos y se realiza la
combinación de 4 elementos.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.
60. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Manejo de datos
Habilidad Aplicación
Completando la tabla con las frecuencias acumuladas, se tiene
Días Frecuencia Frecuencia acumulada
[0, 5[ 10 10
[5, 10[ 25 35
[10, 15[ 30 65
[15, 20[ 15 80
[20, 25[ 13 93
[25, 30[ 7 100
El percentil 60 corresponde al dato bajo el cual se encuentra el 60% de todos los datos.
Como en este caso son 100 datos, entonces el percentil 60 se encuentra en la posición 60,
ya que el 60% de 100 datos es 60.
Buscando la posición 60 en la columna de la frecuencia acumulada, identificamos que
esta se encuentra en el tercer intervalo.
Por lo tanto, el percentil 60 de la muestra se encuentra en el intervalo [10, 15[ .
61. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Manejo de datos
Habilidad Aplicación
Traspasando los datos del gráfico a una tabla y agregando la columna de frecuencia
acumulada, se tiene
Duración
(horas)
Frecuencia Frecuencia
acumulada
[18, 20[ 7 7
[20, 22[ 15 22
[22, 24[ 12 34
[24, 26[ 9 43
[26, 28[ 4 47
El primer cuartil corresponde al valor bajo el cual se encuentra el 25% de los datos.
Como en este caso son 47 datos, entonces el primer cuartil se ubicará en la posición
11.75, ya que el 25% de 47 es 11.75. Luego, buscando esta posición en la frecuencia
acumulada, podemos inferir que el primer cuartil se encuentra en el intervalo [20, 22[ .
Por otro lado, el séptimo decil corresponde al valor bajo el cual se encuentra el 70% de
los datos. Como en este caso son 47 datos, entonces el séptimo decil se ubicará en la
posición 32.9, ya que el 70% de 47 es 32.9. Luego, buscando esta posición en la
frecuencia acumulada, podemos inferir que el séptimo decil se encuentra en el intervalo [22, 24[ .
Por lo tanto, según la información entregada en el gráfico, el primer cuartil y el séptimo
decil se encuentran, respectivamente, en los intervalos [20, 22[ y [22, 24[ .
62. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Manejo de datos
Habilidad ASE
Basado en la tabla, se tiene que 25 de los asistentes son hombres y que 30 de los
asistentes son mujeres, con un total de 55 personas. Luego, analizando cada una de las
alternativas:
A) Verdadera, ya que hay 8 personas con un rendimiento muy bajo de un total de 55,
siendo aproximadamente un 14,55% de los asistentes.
B) Verdadera, ya que los hombres con rendimiento aceptable o alto son 15 de un total
de 25, es decir, el 60% de los hombres.
C) Verdadera, ya que el intervalo modal para los hombres es 31 – 45, mientras que para
las mujeres es 16 – 30.
D) Verdadera, ya que hay 30 mujeres, mientras que los hombres son 25.
E) Falsa, ya que al tratarse de intervalos no es posible conocer el valor exacto de los
abdominales que hizo cada asistente a la clase de gimnasia.
63. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Manejo de datos
Habilidad ASE
I) Verdadera, ya que 2p > p para todo valor positivo de p, por lo cual el intervalo que
tiene la mayor frecuencia es [1, 3].
II) Verdadera, ya que se realizaron un total de 3p lanzamientos, por lo cual la mediana
corresponde al dato que se encuentra en la posición 2
13 p (si p es impar), o bien es
Rendimiento Abdominales Hombres Mujeres
Muy bajo 1 – 15 3 5
Bajo 16 – 30 7 14
Aceptable 31 – 45 10 9
Alto 46 – 60 5 2
el promedio entre los datos que se encuentran en las posiciones 2
3p y
2
3p+1 (si p es
par). En ambos casos, dicho resultado se encontraría en el intervalo [1, 3].
III) Falsa, ya que las marcas de clase de los intervalos son 2 y 5, respectivamente. Luego,
el promedio obtenido a partir de la marca de clase es 33
9
3
522
p
p
p
pp.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.
64. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Análisis de variable estadística
Habilidad ASE
Como el promedio del conjunto es 4, entonces se puede plantear que 43
cba
, lo
cual implica que (a + b + c) = 12. Luego:
(1) El mayor promedio obtenido de las muestras es 5. Con esta información, sí se puede
conocer el valor numérico de a, ya que como 0 < a < b < c, entonces los dos valores
mayores son b y c. Dado que el promedio entre ellos es 5, entonces se puede plantear
que 52
cb
, lo cual implica que (b + c) = 10. Luego,
(a + b + c) – (b + c) = 12 – 10 a = 2.
(2) El menor promedio obtenido de las muestras es 2,5. Con esta información, no se
puede conocer el valor numérico de a, ya que como 0 < a < b < c, entonces los dos
valores menores son a y b. Dado que el promedio entre ellos es 2,5, entonces se
puede plantear que 5,22
ba
, lo cual implica que a + b = 5, desconociéndose el
valor de b.
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.
65. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Manejo de datos
Habilidad Comprensión
Con respecto a los grupos de datos P, Q y R de la tabla:
P 1 2 3 4 5 �̅� = 3
Q 2 4 6 8 10 �̅� = 6
R 3 4 7 10 11 �̅� = 7
I) Verdadera, ya que el rango corresponde a la diferencia entre el dato mayor y el menor
de la muestra. Entonces, el rango de Q = 10 − 2 = 8 y el de R = 11 − 3 = 8.
II) Falso, ya que 𝜎𝑃 = √(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2
5= √
4+1+0+1+4
5= √
10
5= √2
y 𝜎𝑅 = √(3−7)2+(4−7)2+(7−7)2+(10−7)2+(11−7)2
5= √
16+9+0+9+16
5= √
50
5= √10.
III) Verdadero, ya que si los datos del grupo Q corresponden al doble de los datos del
grupo P, entonces su promedio también es el doble del promedio del grupo P.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.
66. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Manejo de datos
Habilidad Comprensión
I) Verdadera, ya que el rango del conjunto A es 7 – 1 = 6, mientras que el rango
del conjunto B es 8 – 2 = 6.
II) Falsa, ya que el promedio del conjunto A es 44
16
4
7531
, mientras
que el promedio del conjunto B es 54
20
4
8642
.
III) Verdadera, ya que todos los elementos del conjunto A tiene la misma
diferencia entre los elementos, al igual que todos los elementos del conjunto
B. Como la diferencia es constante, las desviaciones estándar son iguales.
Por lo tanto, solo I y III son verdaderas.
67. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Manejo de datos
Habilidad Aplicación
Calculando el promedio del conjunto: 44
16
4
7261
x . Luego, calculando la
desviación estándar:
4
)()()()( 2
4
2
3
2
2
2
1 xxxxxxxx
4
)74()24()64()14( 2222 (Reemplazando)
4
)3(2)2(3 2222 (Calculando)
4
9449
4
26
2
26
68. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Análisis de variable estadística
Habilidad ASE
Según la tabla, se conocen las medias de 5 de las 6 muestras que se pueden extraer de esta
población de tamaño 2, donde la media muestral que se desconoce es la de la muestra
{m, n}. Como el promedio entre todas las medias muestrales que se pueden extraer de
una población es igual a la media poblacional, si x es la media desconocida:
4242046
5,545,45,35,2
xx
x
Como la media de la muestra {m, n} es 4, entonces 842
nmnm
.
69. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Análisis de variable estadística
Habilidad ASE
Sabiendo que el intervalo de confianza para la media de las estaturas de las personas
mayores de 18 años de una ciudad que se modela según una distribución normal tiene la
forma [�̅� − 𝐸 , �̅� + 𝐸], donde �̅� es el promedio de la muestra y E es el error asociado.
Entonces, si buscamos el tamaño (n) de la muestra de tal manera que el intervalo de
confianza tenga un rango de 6 cm, significa que (�̅� + 𝐸) − (�̅� − 𝐸) = 6, por lo cual se
infiere que 2 ∙ 𝐸 = 6, es decir, el tamaño del error es de 3.
Además, sabemos que el error se calcula 𝐸 = 𝑍∝
2∙
𝜎
√𝑛. Por otro lado, según el problema,
la desviación estándar (σ) es de 15 cm; también, a partir de la tabla, el coeficiente (𝑍∝
2)
asociado al nivel de confianza (80%) es igual a 1,28.
Reemplazando los datos en la expresión que permite calcular el error, se tiene
3 = 1,28 ∙15
√𝑛 (Despejando √𝑛)
√𝑛 =1,28 ∙ 15
3 (Calculando)
√𝑛 = 6,4 (Elevando al cuadrado)
𝑛 = 40,96
Por lo tanto, el tamaño de la muestra, de manera que el intervalo de confianza para la
media de las estaturas tenga un rango de 6 cm con un nivel de confianza del 80%, debe
ser aproximadamente de 41.
70. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Cálculo de probabilidades
Habilidad Aplicación
Según la regla de Laplace, la probabilidad de que un suceso ocurra se calcula como
𝑃(𝐴) =N° de casos favorables de 𝐴
N° de casos totales
Entonces, al escoger una persona del pueblo al azar, la probabilidad de que sea un
anciano se expresa como
𝑃(Anciano) =N° de ancianos del pueblo
Total de habitantes del pueblo
(Reemplazando) 2
5=
N° de ancianos del pueblo
250.000
(Despejando)
N° de ancianos del pueblo = 100.000
Por lo tanto, en el pueblo hay 100.000 ancianos.
71. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Cálculo de probabilidades
Habilidad Aplicación
Marco coloca 50 pelotas en la piscina, de las cuales 7 son de color verde, mientras que
Gonzalo coloca 20 pelotas en la piscina, de las cuales 14 son de color verde. Entonces, en
la piscina hay un total de 70 pelotas, siendo 21 de ellas de color verde. Luego, la
probabilidad de extraer una pelota verde al azar es 10
3
70
21
pelotas de totalCantidad
verdespelotas de Cantidad .
72. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Análisis de variable aleatoria
Habilidad Comprensión
Si el valor de la variable aleatoria X corresponde a la cantidad de veces que se obtuvo un
1 o un 3 antes del sexto lanzamiento, por lo cual se puede afirmar que antes del sexto
lanzamiento pudo haber salido ninguna vez, una vez, dos veces, tres veces, cuatro veces o
5 veces un 1 o un 3.
Por lo tanto, los valores que puede tomar X son 0, 1, 2, 3, 4 y 5.
73. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Cálculo de probabilidades
Habilidad Aplicación
Como solo se conocen las razones en la que están las bolitas de los distintos colores,
entonces cada razón se ampliará de manera de poder hacer una comparación entre todos
los colores:
- azules : verdes = 3 : 2 = 6 : 4 = 9 : 6 = 12 : 8 = 15 : 10 = 18 : 12 = 21 : 14 = 24 : 16
- amarillas : azules = 1 : 2 = 2 : 4 = 3 : 6 = 4 : 8 = 5 : 10 = 6 : 12 = 7 : 14 = 8 : 16 = 9 :
18
- verdes : rojas = 6 : 5 = 12 : 10 = 18 : 15 = 24 : 20 = 30 : 25 = 36 : 30
Al amplificar las razones, se tiene que por cada 10 bolitas rojas, hay 12 bolitas verdes;
por cada 12 bolitas verdes, hay 18 bolitas azules; y por cada 18 bolitas azules, hay 9
bolitas amarillas. Es decir, rojas : verde : azules : amarillas = 10 : 12 : 18 : 9. Por lo tanto,
la probabilidad de escoger una bolita azul o una roja:
7
4
49
28
49
10
49
18)rojas()azules()rojas o azules( PPP
74. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Análisis de variable aleatoria
Habilidad Comprensión
Traspasando los datos del gráfico a una tabla
X f (x)
1 m
2 n
3 0,2
4 0,5
I) Falsa, ya que el conjunto {n; 0,2; m; 0,5} corresponde al recorrido de la variable
aleatoria.
II) Verdadera, ya que se extrae a partir del gráfico.
III) Falsa, ya que la suma de todas las imágenes de f debe ser 1, luego, si f(1) = m = 0,25,
entonces n = 0,05.
Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera.
75. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Análisis de variable aleatoria
Habilidad Comprensión
I) Verdadera, ya que la función de distribución (probabilidad acumulada) y la función de
probabilidad siempre tienen la misma imagen para el primer elemento del recorrido.
II) Falsa, ya que 3c corresponde a la frecuencia acumulada del valor mayor que toma la
variable, por lo tanto 3c es igual a 1. Por otra parte, 1 – 3b siempre es igual a 2c .
III) Falsa, ya que siempre se cumple que F(xn) = P(x1) + … + P(xn). Luego, c2 = b1 + b2,
lo que no permite concluir que c2 = b2 – b1.
Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.
76. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Cálculo de probabilidades
Habilidad Aplicación
Utilizando un diagrama de árbol para representar la situación, tenemos que
Sean los sucesos A: No tuvo pesadilla y B: Vio la película. Entonces, la probabilidad
condicionada P(B/A) se expresa de la forma:
60
35
60
25
60
Total
Vieron película No vieron película
4
5 1
5 4
25
21
25
Tuvieron pesadilla
Tuvieron pesadilla No tuvieron pesadilla
No tuvieron pesadilla
𝑃(Vio la película/No tuvo pesadilla) = 𝑃(No tuvo pesadilla y vio la película)
𝑃(No tuvo pesadilla)
𝑃(Vio la película/No tuvo pesadilla) =
15
∙3560
15
∙3560 +
2125
∙2560
𝑃(Vio la película/No tuvo pesadilla) =
760
760 +
2160
𝑃(Vio la película/No tuvo pesadilla) =
7602860
𝑃(Vio la película/No tuvo pesadilla) = 7
28=
1
4
Por lo tanto, si de los participantes del experimento se escogió al azar una persona, y esta
no tuvo pesadillas, entonces la probabilidad de que haya visto la película es de 1
4 .
77. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Análisis de variable aleatoria
Habilidad ASE
(1) El valor de n. Con esta información, no es posible determinar la probabilidad de
obtener el número n exactamente m veces, ya que para determinar la probabilidad en
este caso se debe usar la distribución binomial, esto es,
𝑃(𝑥 = 𝑚) = (8
𝑚) ∙ (
1
6)𝑚
∙ (5
6)8−𝑚
Expresión que depende solo del parámetro m en este caso y no del número del dado.
(2) El valor de m. Con esta información, sí es posible determinar la probabilidad de
obtener el número n exactamente m veces, ya que para determinar la probabilidad en
este caso se debe usar la distribución binomial, esto es,
𝑃(𝑥 = 𝑚) = (8
𝑚) ∙ (
1
6)𝑚
∙ (5
6)8−𝑚
Expresión que depende solo del parámetro m en este caso y no del número del dado.
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.
78. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Análisis de variable aleatoria
Habilidad Aplicación
Del enunciado del problema tenemos que 𝑌 ~ 𝑁(32, 5) y 𝑋 ~ 𝑁(0,1) son variables
aleatorias con distribución normal.
Luego, si buscamos una equivalencia de 𝑃(𝑌 ≤ 30) para X, debemos ajustarnos a la
variable tipificada 𝑋 ~ 𝑁(0,1) para 𝑌 = 30, es decir,
𝑋 =𝑌 − 𝜇
𝜎=
30 − 32
5= −0,4
Por lo tanto, la probabilidad de que 𝑌 sea menor o igual que 30 es equivalente a la
probabilidad de que 𝑋 sea menor o igual a −0,4 .
79. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Análisis de variable aleatoria
Habilidad Aplicación
Según el problema, se tiene que P(x ≤ 243,6) = 0,1. Según la tabla de distribución de
probabilidad normal tipificada, se tiene que el valor de z asociado a un 90% de
probabilidad es 1,28.
Se puede establecer que, por simetría de la distribución normal, el valor de
1 – P(z ≤ 1,28), que equivale al 10%, es igual al valor de P(z ≤ – 1,28).
La variable x (en este caso, el volumen de gas en litros) puede ser tipificada en una
variable z, cuya transformación viene dada por
6,243z , con µ la media
poblacional de la muestra y σ la desviación estándar de la muestra. Entonces,
sustituyendo estos valores:
2504,66,2434,66,24328,15
6,243
Por lo tanto, el valor de µ es 250 litros.
80. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Análisis de variable aleatoria
Habilidad ASE
Toda función de probabilidad continua cumple con que el área bajo la curva es igual a 1,
ya que incluye el 100% de los datos. En este caso, la gráfica de la función forma un
triángulo de base 4 y altura m, por lo cual el área bajo él es igual a mm
22
4
.
Por lo tanto, planteando el área bajo la curva y despejando m, resulta 2m = 1 m = 2
1.