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8/12/2019 Solucionario Raz Matematico
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SOLUCIONARIO
RAZONAMIENTO
MATEMTICO
DE WALTER ARRIAGA DELGADO
2014
8/12/2019 Solucionario Raz Matematico
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SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO MATEMTICO
NESTOR ABEL SNCHEZ GOYCOCHEA Pgina 1
CAP. 01: SUCESIONES Y SERIES 0.1.
SUCESIONES
Solucin
+2 +2 +2 +2
5 3 6 5 7 7 8 9 9 11
+1 +1 +1 +1
Solucin
1 5 6 2 1 0 1 2 3 1 5 1 8
23 15 46 210 69 315
2 3 5 4 6 1 0 6 9 1 5 2 0
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SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO MATEMTICO
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Solucin
15
12
913
45
2529
15
48
913
1620
2529
De los numeradores tenemos:
1 2 3 4 5 20 400 De los denominadores se obtiene:
5 8 13 20 29
3 5 7 9
2 2 2Entonces:
5 3 1 2 1 2 2! 5 32 0 1 22 0 12022! 404
Por lo tanto el trmino vigsimo es:
400404
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Solucin
5 17 43 89 161
+12 +26 +46 +72
+14 +20 +26
+6 +6
5 1 2 1 14 1 22! 6 1 2 3 3! 5 1 21 0 1 141 0 11022!
61 0 11 0 21033!
1121
Solucin
4 4 4 8 24 120 960
1 1 2 3 5 8Nmeros de Fibonacci
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Solucin
2 3 7 5 6 15 8 24
5 12 21 32 A+B=45
+7 +9 +11 +13
+2 +2 +2
Solucin
13 22 31 40 904
+9 +9 +9
1 3 9 1 9 4Para que un trmino de la sucesin 9 4 "termine en cifra 5, se debecumplir que 9,19,29,
Si 9 99 4 8 5 Si 1 9 919 4 1 7 5 Si
2 9 929 4 2 6 5
Formamos una nueva sucesin con los trminos (de la sucesin original) queterminan en cifra 5.
85 175 265 .
+90 +90
8 5 9 0 1
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Dado que el ltimo trmino de la sucesin original es 904, entonces
9 0 4
85 90 1 90490 1 819 1 9 . 1
1 0 . 1 1 0
Solucin
Sean , y los trminos de la progresin aritmtica.Por datos del problema tenemos:
1) 333 33 11
2) 12321 1 111 1 1232
1 1 1 1 1121 2 1 1129 3
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Solucin
+r +r +r
Teniendo en cuenta el diagrama, calculamos
2 2
( 2 2 )
2 2
2
22 4
Solucin
Sean , y los trminos de la progresin geomtrica.
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Por datos del problema
2 4 2 4 24 5 4 5 4 54
De estos datos tenemos: 5424
94 32
Luego:
2432 24 16 4Hallamos el trmino central:
32 4 6
Solucin
8 18 38 68 1908
+10 +20 +30 trmino n-simo
+10 +10
Hallamos la frmula de trmino n-simo
8 1 0 1 10 1 2 2!
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1 9 0 8 8 1 0 1 0 5 3 25 5 1 9 0 0 0
3 8 0 0 2 0 1 9 0
2 0
Solucin
1 2 4 10 34 154 874
+1 +2 +6 +24 +120 +720
x2 x3 x4 x5 x6
Solucin
E,F,G,H J,K,L N.
D F H J
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Solucin
4 7 12 19 28 1684
+3 +5 +7 +9 trmino n-simo
+2 +2 +2
Hallamos la frmula de trmino n-simo
4 3 1 2 1 2 2! 1 6 8 4 4 3 3 3 2
1 6 8 1 0 4 1 4 1 0 4 1
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Solucin
Analicemos
3 3113
92
275
31
62
113
184
275
De los numeradores se obtiene:
3 6 11 18 27
3 5 7 9
2 2 2Entonces:
3 3 1 2 1 2 2! 2
De los denominadores tenemos:
1 2 3 4 5 Por lo tanto el trmino n-simo de es:
2 Analicemos
1.5 43 1.2565
32 43 54 65
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De los numeradores tenemos:
3 4 5 6 2 De los denominadores tenemos:
2 3 4 5 1Por lo tanto el trmino n-simo de es:
2 1Finalmente, hallamos la diferencias de los trminos n-simo de y
2
2 1
2 1 2 1
2 2 2
2
SERIES
Solucin
1 2 3
63 61 59 1
-2 -2
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Hallamos el nmero de das
1 6 3 1262 12
3 1 13 2
Hallamos el total de gotas (G) 6 3 6 1 5 9 1
2 1
=
3 2
1 0 2 4
Solucin
2 3 4 3 6 3 8 3 1 6 3
+20 +20 +20
Hallamos la forma del trmino n-simo de y el nmero de trminos de trmino n-simo 2 3 2 0 1 2 0 3 nmero de trminos
1 6 3 2 0 316020
8 Por lo tanto:
2 0 3
=
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2 0
= 3
=
2 0 89
2 38 744
Por lo tanto la suma de las cifras de P es:
7 4 4 15
Solucin
Hallamos
1 3 5 1 9 2 1
= 10 100
Hallamos 1 4 9 1 0 0 1 2 3 1 0
= 101121
6 385
Hallamos 0 . 1 0 . 2 0 . 3 8 110
210
310
8010
10
= 110
= 110
80812 3 2 4
Por lo tanto: 1 0 0 3 8 5 3 2 4 809
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Solucin
2 3 2
= 2
= 3
= 2
=
2 1011
2
3 1011
21
6 2 10
11
2 5005
Solucin
2++++ 22(2 )++++ 22
2[++++] 212 1 2 3 105
12 210
4 2 0 0 2 0 2 1 0
2 0
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Solucin
Fi la
Fi la
Fi la
Fi la
Fi la
1 01
2 4 02
3 6 9 03
4 8 12 16 04
30 60 90 900 30
La fila 30 se puede reescribir de la siguiente manera:
F
30 30 1 2 30
30 3130
0
2
1395
Solucin2 6 12 20 930
+4 +6 +8
+2 +2
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Hallamos la forma del trmino n-simo:
n
n nt n
!
n n nn n
2
2
2 1 22 4 1
2
2 4 4 3 2
Hallamos el nmero de trminos
n n
n n
n n n
2
2
930
0 930
0 31 30 30
Por lo tanto:
nn n
n n
P t n n
n n
30 30
2
1 1
30 30
2
1 1
30 31 61 30 31
6 2
9920
Solucin
n n
n n
S x x x
S n n n n
S n n
S
S
20 20
2
1 1
20 20
2
1 1
1 1 4 2 2 4 20 20 4
4 4
4
20 21 41 20 214
2
0
6
371
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Solucin
n
n
n
n
x x x x x x x x m
n
x x x x x x x x m
n
x x x x x x x x m
n
n n n m
n
n n n m
n n
20
1
20
1
1
1 1 1 1
2 4 6 4 6 8 6 8 10 40 42 44
1 1 1 1
8 1 2 3 8 2 3 4 8 3 4 5 8 20 21 22
1 1 1 1 1
8 1 2 3 2 3 4 3 4 5 20 21 22
1 1
8 1 2
1 1 1 1
8 2 1 2 2
1 1 1
8 2 2 1 n
n n
n
n n m
nn n n n m
n
m
20 20
1
20 20
1 1
1 1
2 1 2 2
1 1 1 1 1
16 1 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11
16 2 2 3 3 4 20 21 2 3 3 4 4 5 21 22
1 1 1 11
16 21 2 22
n
m
nn ; m
m
115
115 36963696
Por lo tanto:n m 115 3696 3811
Solucin
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Multiplicamos pora
S 11
1 1 1 2 3 10
2 2 4 8 16 2
Luego:
S S
S
S
S
S
S
10 11
10 11
9 10
10 1 2 3 9
9
10
10
1 1 2 3 4 10 1 1 2 3 101
2 2 4 8 16 2 2 4 8 16 2
1 1 1 1 1 101
2 4 8 16 2 2
1 1 1 1 102
2 4 8 2 2
10 1 1 1 12
2 2 2 2 2
11
2038 1 2
12 21
2
2038
2
S
S
9
10
11
22038 1024
3060
2
2
1024
Solucin
a ; a ; a ; a ; ; a 1 1 1 1 1
1 2 3 100
101 nmeros consecutivosPor dato del problema:
a a
k
1 1
100
17
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Luego:
x
i
x
i
x
x
x
x x
2
1
2
2
1 3 5 7 2 3 7 14 21 49
2 1 7 1 2 3 7
7 82 7
2
2 196
2 14
12 16
Dado que ""debe ser positivo, elegimos 1 2. Entonces: x 2 23 12 3 225
Solucin
Multiplicamos por 10 a
S 2 3
2 3 410 1
10 10 10
Luego:
S
S
S S
S
S
2 3 2 3 4
2 3
2 3 4 1 2 3 4
10 1 10 10 10 10 10 10 10
1 1 19 1
10 10 10
19
11
10
109
9
10
81
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Solucin
S
S
S .
9 9 9 9
20 40 80 160
9
920
1 101
2
0 9
Solucin
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
1 1 1
1 1
2 3 2 3
2 3 2 3
6 6 6
1 1
3 2
1 1 1 1 1 13 3 3 2 2 2
1 1
3 2
1 11 1
3 2
1
2
1
1
12
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SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO MATEMTICO
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fig f ig f ig f ig
t50
1 2 3 50
9 21 33
+12 +12
: Representa la suma de los tres nmeros de la figura 50
nt n
t
t
50
50
9 12 1
9 12 50 1
597
Solucin
1 0 0 2 9 24
+1 +0 +2 +7 +15
-1 +2 +5 +8
+3 +3 +3
Por lo tanto el producto de las cifras de 24 es:
2 4 8
Solucin
Por datos del problema:
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SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO MATEMTICO
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a a r a r
a a r a r
5 1 1
9 1 1
5 1 17 4 17 1
9 1 33 8 33 2
Resolvemos el sistema de ecuaciones (1) y (2):
a r
a r
r
r
1
1
4 17
8 33
4 16
4
Reemplazando en (1) a a 1 14 4 17 1
Hallamos el dcimo trmino
a a r
aa
10 1
10
10
10 1
1 4 9
37
Solucin
a r
a r a
Por datos del problema, tenemos:
Suma de sus dimensiones.
S a r a a r
a
a
30 30
3 30
10
Volumen del paraleleppedo
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SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO MATEMTICO
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V a r a a r
r r
r
rr
2
2
640 640
10 10 10 640
100 64
36
6
Hallamos la arista mayor a r
a r 10 6 16
Solucin
Hallamos el trmino n-simo de la sucesin
16 19 22 616
+3 +3
nt n n 16 3 1 3 13
Sumamos dos unidades a los trminos de la sucesin
n n
n
a t n
a n
2 3 13 2
3 5
Por dato del problema, la raz cuadrada de n" a " debe ser exacta, es decir:
na k ; k *
n k
n k
kn * *
2
2
3 5
3 5
53
Es fcil ver que el ltimo trmino de n" a " es 618, y teniendo en cuenta (*),
tenemos lo siguiente:
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SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO MATEMTICO
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na
k .
618
24 8596 1
Observemos por (**) que para que n sea entero, k debe ser mltiplo de 3 ydiferente de 0 y 3, es decir:
k ; k y k
0 3 23
De (1) y (2) tenemos:k , , , , , , 6 9 12 15 18 21 24
Por lo tanto los trminos que resultan tener raz cuadrada exacta son:
tr min s
n
o
a k , , , , , , 2 2 2 2 2 2 2 2
7
6 9 12 15 18 21 24
Solucin
8 1 1 7 31 78 156
-7 -2 +8 +24 +47 +78
+5 +10 +16 +23 +31
+5 +6 +7 +8
Solucin
E;F H;I;J L;M;N; P;Q;R;S;T
B D E G I K N O S U
C;D F;G;H J;K;L;M ;O;P;Q;R
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SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO MATEMTICO
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Solucin
Elevamos al cuadrado cada uno de los trminos
a7
7 14 28 562
x2 x2 x2 x2 x2
a 56 2 112
Por lo tanto, la suma de las cifras de es: 1 1 2 4
Solucin
3 10 29 66 1730
+7 +19 +37
+12 +18
+6Hallamos el trmino n-simo
n
n
n
n n n n n t n
! !
t n n n n n n
t n
2 3 2
3
12 1 2 6 1 2 33 7 1
2 3
3 7 7 6 3 2 6 11 6
2
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SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO MATEMTICO
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Veamos, que posicin ocupa el ltimo trmino
n
n
n
3
3
1730 2
1728
12
Por lo tanto, el penltimo trmino ocupa la posicin 11t 3
11 11 2 1333
Solucin
4 3 18 39 18 6
5 4 22 42 17 5
m
n
4 6 9 13 18 245 8 11 14 17 20
mn
Analicemos los numeradores4 6 9 13 18 24 31
+2 +3 +4 +5 +6 +7
+1 +1 +1 +1 +1
Analicemos los denominadores5 8 11 14 17 20 23
+3 +3 +3 +3 +3 +3
Luego
31
23
m
n
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SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO MATEMTICO
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Solucin
3 6 11 18 27
+3 +5 +7 +9
+2 +2 +2
2
2
2 1 23 3 1
2
3 3 3 3 2
2
n
n
n
n nt n
t n n n
t n
Para encontrar los nt que terminen en cifra 7, se debe cumplir que2n termine en
5, esto implica que ntermine en 5. Es decir: 5 15 25n , n , n , Por lo tanto,
el tercer trmino que termine en cifra 7, se da cuando 25n .
225
25 25 2 627Si n t
Solucin
15 13 11 9
+2 +2 +2
15 2 1
15 2 2
2 17
n
n
n
t n
t nt n
Veamos qu posicin ocupa el nmero 89
89 2 17 10 2
3
6
5
n
n
n
SERIES
8/12/2019 Solucionario Raz Matematico
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SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO MATEMTICO
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Solucin
5 6 7 8 9 10 11 12 20
6 7 8 9 10 11 12 20
7 8 9 10 11 12 20
8 9 10 11 12 20
9 10 11 12 20
20
Podemos reescribir la suma anterior de la siguiente manera:
16
1
16
2
1
16 16
2
1 1
5 1 6 2 7 3 8 4 9 5 20 16 4
4
4
16 17 33
2040
16 174
6 2
1496 544
i
i
i i
i i
i i
i i
8/12/2019 Solucionario Raz Matematico
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SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO MATEMTICO
NESTOR ABEL SNCHEZ GOYCOCHEA Pgina 33
SolucinSea
: Nmero de artculos que vende Alessandra.
7: Precio por cada artculo que le pagaran a Alessandra.Por lo tanto:
20
1
20
2
1
20 20
2
1 1
7
7
7
20 21 41 20 217
6 2
2870 1480
4350
n
n
n n
Pago total n n
n n
n n
Solucin
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SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO MATEMTICO
NESTOR ABEL SNCHEZ GOYCOCHEA Pgina 34
3 4 4 4 4
4 2 6 6 10 10 14 78 82
3 1 1 1 1 1 1 1 1
4 2 6 6 10 10 14 78 82
3 1 1
4 2 8
5
4
2
1
1
Sx x x x
S
S
S
Solucin
Considere la siguiente progresin aritmtica
1 1 1
1 2n
n tr mi n osa a a a
1 1 1na a n
Por datos del problema:
El trmino del lugares 4.
1
3
1
1
13
4 13
15
3
n
na a
na
na *
La suma de los trminos es 33.
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SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO MATEMTICO
NESTOR ABEL SNCHEZ GOYCOCHEA Pgina 35
1
1 1
1
1
2
133
2
2 133
2
66 2 1
na aS n
a a nn
a nn
a n n * *
Reemplazamos (*) en (**)
2
1566 2 1
3
30 2 3 166
3
198 27
0 27 198
0 6 33
6 33
nn n
n nn
n n
n n
n n
n n
Dado que ""representa el nmero de trminos, elegimos el valor positivo, porlo tanto:
6n
Solucin
2 3 32 32n sumandos
n n n k n
Por formula del trmino n-simo de una sucesin aritmtica, se tiene:
2
2
1k n n n
k n n n
k n
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SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO MATEMTICO
NESTOR ABEL SNCHEZ GOYCOCHEA Pgina 36
2
2
2 3 32 1
2 3 32 1
1 2 3 32 1
132 1
2
64
8
n n n k n
n n n n n
n n n
n nn
n
n
n
Solucin
2 2
1 13
12 12
2 2
1 1
12
2 2 2
1 1 1
12 12
2 2
1 1
12
2 2 2
1 1 1
12
2 2
1
12
2
1
12
2
1
7 2
7 2
7 2
5
n n
x k
y y
n n
x k k
y y
n n
x k k
y
k
y
x k
W
y y
x k k
W
y y
x k k
W x k
y y
k
W
y
12
2
1
12
2
1
1
5
5
k
y
y k
W
k
W
y
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SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO MATEMTICO
NESTOR ABEL SNCHEZ GOYCOCHEA Pgina 37
Solucin
1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1 3 3 5 2 1 2 1
1 2
2 1 1
1
n n
k k
k k k k
n
n
n
n
Solucin
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SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO MATEMTICO
NESTOR ABEL SNCHEZ GOYCOCHEA Pgina 38
58
1
30 30
1 1
58
1
30
1
58 58
1 1
30
1
2 1
5 26 5 32
2 1
5 26 5 32
2 1
58
58 592 58
2
30 58
58 59 1
30 5
29
15
8
k
k k
k
k
k k
k
k
D
k k
k
k k
k
Solucin
14400 19600 22200 23500 24150
viernelunes martes mircoles j sueves
+5200 +2600 +1300 +650
2 2 2
Dado que Alessandra quiere recaudar S/. 190000 en una semana, entonces.
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8
19900
14400 19600 22200 23500 24150 1900
61 0
0
5
lunes martes mircoles jueves viernes sbado y domin go
x
x
Solucin
Consideremos1
a como el pago del primer cliente.2 3 12
1 1 1 1 12 2 2 2a a a a a
Dado que es una progresin geomtrica, entonces:
1
13
1
1
1
1
1
2 124573
2 1
24573 8191
3
na rS
r
a
a
a
Hallamos el pago del dcimo cliente.
1
1
1 1
1
10
0
33
6
2
144
n
nt a r
t
t
Solucin
Sea la razn de la siguiente progresin geomtrica
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SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO MATEMTICO
NESTOR ABEL SNCHEZ GOYCOCHEA Pgina 40
3 2 3 59
23 3 1 59 23 1
20 36
1 1
n tr min os m tr min os
r n r m
r rn m
De estas igualdades se tiene:
20 36
1 1
5 1 9 1
5 5 9 9
5 9 4
n m
m n
m n
m n *
Por datos del problema:
2 2 2
2 2
m n
m n * *
De (*) y (**) se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
5 9 4 10
2 2 6
m n m
m n n
Hallamos el valor de
20 20
1 6 1
4
r rn
r
De los datos obtenidos, se tiene:
115
3 7 11 59
n m tr minostr mi n os
3 4 1
3 4 4
4 1
p
p
p
t p
t p
t p
Hallamos la suma de los trminos de la sucesin
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SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO MATEMTICO
15
1
15 15
1 1
3 7 11 59
4 1
4 1
15 16
5
4 12
46
5
p
p p
S
S
S p
S p
S