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Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”7
Unidad 7. Trigonometría
PÁGINA 155
■ Practica
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
1 Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángu-los:
a) b) c)
7 m
25 m 8 m
aa
a
11,6
cm
32 m 60 m
a) sen a = 725
= 0,28; cos a = √252 – 72
25 = 24
25 = 0,96; tg a = 7
24 ≈ 0,29
b) sen a = √11,62 – 82
11,6 = 8,4
11,6 ≈ 0,724
cos a = 811,6
≈ 0,69; tg a = 8,48
= 1,05
c) sen a = 32√322 + 602
= 3268
= 817
≈ 0,47
cos a = 6068
= 1517
≈ 0,88; tg a = 3260
= 815
≈ 0,53
2 Midiendo los lados, halla las razones trigonométricas de B^ en cada caso:
a) b)
A
AB
BC
C
a) sen B^ = 2,83,4
≈ 0,82; cos B^ = 23,4
≈ 0,59; tg B^ = 2,82
= 1,4
b) sen B^ = 1,33,8
≈ 0,34; cos B^ = 3,63,8
≈ 0,95; tg B^ = 1,33,6
≈ 0,36
3 Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes trián-gulos rectángulos (A^ = 90°):
a) b = 56 cm; a = 62,3 cm
b) b = 33,6 cm; c = 4,5 cm
c) c = 16 cm; a = 36 cm
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Unidad 7. Trigonometría
a) sen B^ = 5662,3
≈ 0,90
cos B^ = √62,32 – 562
62,3 = 27,3
62,3 ≈ 0,438
tg B^ = 5627,3
≈ 2,051
27,3
cm
56 cm
62,3 cm
A
B
C
sen C^ = 27,362,3
≈ 0,438; cos C^ = 5662,3
≈ 0,90; tg C^ = 27,356
= 0,4875
b) sen B^ = 33,6√4,52 + 33,62
= 33,633,9
≈ 0,991
4,5 cm
33,6 cm
33,9 cm
A
B
C cos B^ = 4,5
33,9 ≈ 0,133
tg B^ = 33,64,5
≈ 7,467
sen C^ = 4,533,9
≈ 0,133; cos C^ = 33,633,9
≈ 0,991; tg C^ = 4,533,6
≈ 9,955
c) sen B^ = √362 – 162
36 ≈ 32,25
36 ≈ 0,896
cos B^ = 1636
= 0,)4
tg B^ = 32,2516
≈ 2,016 32,25 cm
36 cm
16 c
m
A
B
C
sen C^ = 1636
= 0,)4; cos C^ = 32,25
36 ≈ 0,896; tg C^ = 16
32,25 ≈ 0,496
4 Comprueba, con el teorema de Pitágoras, que los triángulos ABC y AHB son rectángulos.
Halla en cada uno las razones trigonométricas de B^ y compara los resultados. ¿Qué observas?
BHC
A
1,96 cm23,04 cm
24 cm6,72 cm7
cm
El triángulo ABC es rectángulo en A:242 + 72 = 625 = (23,04 + 1,96)2 = 252 = 625
El triángulo AHB es rectángulo en H:23,042 + 6,722 = 576 = 242
sen B cos B tg B
EN ABC725
= 0,28 2425
= 0,96 724
≈ 0,292
EN AHB6,7224
= 0,28 23,0424
= 0,96 6,7223,04
≈ 0,292
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Unidad 7. Trigonometría
5 Calcula las razones trigonométricas de los ángulos A^ y C^,
ABD y
CBD .
AD = √152 – 122 = 9 cm
BC = √122 + 162 = 20 cm
B
C16 cm
15 cm
A D12
cm
A C
ABD
CBD
sen1215
= 0,8 1220
= 0,6 915
= 0,6 1620
= 0,8
cos915
= 0,6 1620
= 0,8 1215
= 0,8 1220
= 0,6
tg129
= 1,)3 12
16 = 0,75 9
12 = 0,75 16
12 = 1,
)3
Relaciones fundamentales
6 Si sen a = 0,28, calcula cos a y tg a utilizando las relaciones fundamentales (a < 90°).
cos a = √1 – 0,282 = 0,96; tg a = 0,280,96
≈ 0,292
7 Halla el valor exacto (con radicales) de sen a y tg a sabiendo que cos a = 2/3 (a < 90°).
sen a = √1 – (23 )2 = √1 – 4
9 = √5
3; tg a = √5/3
2/3 = √5
2
8 Si tg a = √5, calcula sen a y cos a (a < 90°).
sen acos a
= √5
sen 2 a + cos 2 a = 1
°§¢§£
s = √5 c
(√5 c)2 + c 2 = 1 8 6c 2 = 1 8 cos a = 1√6
= √66
sen a = √5 · √66
= √306
9 Calcula y completa esta tabla en tu cuaderno, con valores aproximados:
En todos los casos, solo tomaremos valores positivos.
• sen a = 0,92 8 cos a = √1 – (0,92)2 = 0,39
tg a = 0,920,39
= 2,35
sen a 0,92
cos a 0,12
tg a 0,75
• tg a = 0,75
sen acos a
= 0,75 8 sen a = 0,75 · cos a
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(sen a)2 + (cos a)2 = 1 8 (0,75 · cos a)2 + (cos a)2 = 1 8 8 (cos a)2 = 0,64 8 cos a = 0,8 sen a = 0,75 · 0,8 = 0,6
• cos a = 0,12 8 sen a = √1 – (0,12)2 = 0,99
tg a = 0,990,12
= 8,27
sen a 0,92 0,6 0,99
cos a 0,39 0,8 0,12
tg a 2,35 0,75 8,27
10 Calcula el valor exacto (utilizando radicales) de las razones trigonométricas que faltan en la ta-bla siguiente (a < 90°). Hazlo en tu cuaderno.
sen a 2/3
cos a √2/3
tg a 2
Como a < 90° 8 °¢£
sen a > 0cos a > 0
• sen a = 23
8 cos a = √1 – (23 )2 = √5
9 = √5
3
tg a = 2/3√5/3
= 2√5
= 2√5 5
• cos a = √23
8 sen a = √1 – (√23 )
2 = √7
9 = √7
3
tg a = √7/3√2/3
= √72
• tg a = 2 8 sen acos a
= 2 8 sen a = 2 cos a
(sen a)2 + (cos a)2 = 1 8 4(cos a)2 + (cos a)2 = 1 8
8 cos a = 1√5
= √55
; sen a = 2√5 5
sen a 2/3 √7/3 2√5/5cos a √5/3 √2/3 √5/5tg a 2√5/5 √7/2 2
Calculadora
11 Completa en tu cuaderno la tabla siguiente, utilizando la calculadora:
a 15° 55° 20' 72° 25' 40'' 85,5°
sen a 0,26 0,82 0,95 0,997
cos a 0,97 0,57 0,30 0,078
tg a 0,27 1,45 3,16 12,71
12 Halla el ángulo a en cada caso. Exprésalo en grados, minutos y segundos.a) sen a = 0,58 b) cos a = 0,75 c) tg a = 2,5
d) sen a = √53
e) cos a = 1
√3 f ) tg a = 3 √2
a) a = 35° 27' 2'' b) a = 41° 24' 35'' c) a = 68° 11' 55''
d) a = 48° 11' 23'' e) a = 54° 44' 8'' f ) a = 76° 44' 14''
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Unidad 7. Trigonometría
13 Halla, con la calculadora, las otras razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de los casos siguientes:
a) sen a = 0,23 b) cos a = 0,74 c) tg a = 1,75
d) sen a = 1
√2 e) tg a = √3 f ) cos a = √3
2
a) cos a = 0,97; tg a = 0,24 b) sen a = 0,67; tg a = 0,91
c) sen a = 0,87; cos a = 0,5 d) cos a = 0,71; tg a = 1
e) sen a = 0,87; cos a = 0,5 f ) sen a = 0,5; tg a = 0,58
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