Post on 26-Jun-2015
Notas de
Algebra Lineal
Respuestas a ejercicios escogidos
Sebastian Castaneda HernandezAgustın Barrios Sarmiento
Rafael Martınez Solano
Grupo Marea
Ediciones Uninorte
Barranquilla - Colombia
2
Capıtulo 1
Vectores en IR2 y IR3
1.1 Introduccion
Ejercicios 1.1.1 (pagina 5)
Ejercicio 2:(a). Si ~x = (x, y) se tiene
(x, y) + (2, 5) = 3(−3, 6)
(x + 2, y + 5) = (−9, 18)
de donde
x + 2 = −9
y + 5 = 18,
por lo que ~x = (x, y) = (−11, 13). Utilizando las propiedades de espaciovectorial de IR2, se tiene:
~x = 3~b − ~a
= 3(−3, 6) − (2, 5)
= (−9 − 2, 18 − 5)
= (−11, 13).
3
4 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL
1.2 Sistema bidimensional de coordenadas
Ejercicios 1.2.1 (pagina 10)
Ejercicio 1: ( Las respuestas en este ejercicio no son unicas.)
(a.) {(x, y) |x2 + y2 = 4} si escogemos un sistema rectangular de coordenadascuyo origen sea el punto P . Si el sistema se escoge, por ejemplo, de formaque el eje x sea tangente a la circunferencia y el eje y pase por el centro (verfigura) se tiene (en el caso mostrado) que la circunferencia queda descrita porla ecuacion x2 + (y − 2)2 = 4.
b.) Una ecuacion sencilla para la recta se obtiene escogiendola como uno delos ejes de coordenadas. Si, por ejemplo, la recta es el eje x su ecuacion esy = 0.c.) Escojamos el sistema de forma que los catetos queden sobre los ejes de co-ordenadas. Por ejemplo, consideremos el caso mostrado en la figura siguiente.
Entonces los lados del triangulo quedan descritos por:Cateto de 3 cms: {(x, 0) | 0 ≤ x ≤ 3}Cateto de 4 cms: {(o, y) | 0 ≤ y ≤ 4}Hipotenusa: {(x, y) | y = −4
3x + 4, 0 ≤ x ≤ 3}.
Capıtulo 1. Vectores en IR2 y IR3
5 Barrios / Castaneda / Martınez
Ejercicio 2:a.) Un semiplano.
e) Una circunferencia
Ejercicio 3:
(a.) En el plano, fijado un punto O, el conjunto de los puntos que esta a unamisma distancia, no nula, de O, es un conjunto infinito (una circunferencia)por lo que un mismo real positivo estarıa describiendo a un conjunto infinitode puntos del plano.b.) Para una recta fija L, el conjunto de los puntos del plano que estan auna misma distancia, no nula, de L es la union de dos rectas paralelas a L yes, por lo tanto, un conjunto infinito. Si consideramos distancias con signo,dependiendo de los semiplanos en los cuales queda dividido el plano por L, elconjunto de puntos correspondiente a un numero real es el conjunto de puntosde una recta paralela a L o L misma.
1.2 Segmentos dirigidos y vectores en IR2.
6 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL
1.3 Segmentos dirigidos y vectores en IR2
Ejercicios 1.3.1 (pagina 23)
Ejercicio 1:
(b.)−→PQ = (1,−4), si X es el punto final de un segmento equivalente a 〈P, Q〉,
entonces:X = (6,−4), si el segmento se ancla en R.X = (3,−7), si el segmento se ancla en Q.X = (0, 2), si el segmento se ancla en S.Si X es el punto inicial, entonces:X = (4, 4) si el punto final es R.X = (1, 1) si el punto final es Q.X = (−2, 10), si el punto final es S.(d.)Perımetro= 2
√17 + 3
√2.
Ejercicio 3:
(a.) (0, 2) (b.) (0,−2) (c.) 2(
cos(
π4
)
, sen(
π4
))
= (√
2,√
2) (d.) ±(2, 0)
(e.) (−2, 0).
Ejercicio 5:
Un punto S como el pedido satisface:−→RS = t
−→PQ, donde t es un real cualquiera.
Ejercicios 1.3.2 (pagina 33)
Ejercicio 1:
(a.)‖−→PQ‖ =√
17, ‖−→PR‖ =√
13, ‖−→QR‖ =√
10. Las direcciones respecti-vas, como angulos en grados, son aproximadamente 72.96375, 123.69006 y198.43494.(b.) La no colinealidad de P, Q y R se sigue porque los vectores
−→PQ y
−→PR,
anclados en el mismo punto, P , no son paralelos por no ser multiplos entre sı.(d.) Una ecuacion vectorial es (x, y) = (−1 + t, 2 + 4t), t ∈ IR.
(e.)(
65, −1
5
)
,(
75, 3
5
)
,(
85, 7
5
)
,(
95, 11
5
)
Capıtulo 1. Vectores en IR2 y IR3
7 Barrios / Castaneda / Martınez
Ejercicio 2:
(a.)(2, 0) (b.) 3√26
(−1, 5) (d.) 3√13
(−2, 3)
Ejercicio 4:
(a.) Eje X: (x, y) = (t, 0), t ∈ IR Eje Y : (x, y) = (0, s), s ∈ IR.(b.) (x, y) = (−1 + t, 5), t ∈ IR o (x, y) = (s, 5), s ∈ IR.(c.) (x, y) = (2 + t, 3 + 2t), t ∈ IR.(d.) (x, y) = (3t, 2 − 2t), t ∈ IR.(e.) (x, y) = (1 + 5t,−3 − t), t ∈ IR.(f.) (x, y) = (4 + 2t,−5t), t ∈ IR.
1.4 Sistema tridimensional de coordenadas
Ejercicios 1.4.1 (pagina 42)
Ejercicio 2:
(b.)
1.4 Sistema tridimensional de coordenadas
8 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL
(d.)
(h.)
(i.)
Capıtulo 1. Vectores en IR2 y IR3
9 Barrios / Castaneda / Martınez
(l.)
Ejercicio 3:
(a.)Eje X : {(x, 0, 0) | x ∈ IR},Eje Y : {(0, y, 0) | y ∈ IR},Eje Z : {(0, 0, z) | z ∈ IR}
(b.)Plano XY : {(x, y, 0) | x, y ∈ IR},Plano Y Z : {(0, y, z) | y, z ∈ IR},Plano XZ : {(x, 0, z) | x, z ∈ IR}
(c.) {(x, y, 0) | (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1}. (d.) {(x, y, 2) | x2 + y2 = 4}.
Ejercicio 4:
(b.)−→PQ = (−2, 1,−1),
−→PR = (−1, 0, 2),
−→QR = (1,−1, 3).
(c.)√
6 +√
5 +√
11 ≈ 8.
(f.)(
13, 7
3, 8
3
)
,(
−13
, 83, 7
3
)
.
(i.) Una solucion se obtiene con el punto S cumpliendo la condicion−→PQ =
−→RS,
de donde S = R +−→PQ = (−2, 3, 4). Existen, por supuesto, otras soluciones.
Ejercicio 6:Si ~v = (x, y, z) 6= (0, 0, 0) y θ, ρ son los angulos directores, se tienen:
x = ‖~v‖Cos(ρ)Cos(θ)
1.4 Sistema tridimensional de coordenadas
10 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL
y = ‖~v‖Cos(ρ)Sen(θ)
z = ‖~v‖Sen(ρ)
Ejercicio 7 (Las soluciones dadas abajo no son las unicas posibles:)
(a.) (x, y, z) = (1 − 2t, 3t, 2 + 2t), t ∈ IR.(c.) (x, y, z) = (1,−1, 3) + t(3,−1, 2), t ∈ IR.(d.) (x, y, z) = (0, 2,−1) + t(5, 1, 0), t ∈ IR.(f.) (x, y, z) = (0, t, 0), t ∈ IR.
1.5 El producto escalar
Ejercicios 1.5.1 (pagina 54)
Ejercicio 1:
(a.) −6 (b.) (36, 72) (c.) −78 (d.) 105.25511, 164.74488, y 90 (grados).(e.) Cualquier vector de la forma (−5t, t) = t(5,−1), con t ∈ IR.(f.) ± 5√
5(1, 2).
Ejercicio 3:
Sugerencia: Escoja un sistema de coordenadas de modo que los vertices delcuadrado sean (0, 0), (L, 0), (0, L) y (L, L), donde L es la longitud de los ladosdel cuadrado.
Ejercicio 7:
(a.) Los puntos R y S deben satisfacer:
1.−→PR es un vector ortogonal a
−→PQ y con la misma norma.
2.−→QS =
−→PR
(b.) Encuentre R tal que−−→MR sea ortogonal a
−→PQ y cuya norma sea la mitad de
la norma del vector indicado. M es el punto medio del segmento con extremosen P y Q.
Capıtulo 1. Vectores en IR2 y IR3
11 Barrios / Castaneda / Martınez
Ejercicio 8:
(a.)(
−2117
, 8417
)
,(
−6417
,−1617
)
. (b.) (−5, 0), (0, 4). (c.)(
413
, 613
)
,(
−6913
, 4613
)
.
(d.)(
413
, 613
)
,(
−6913
, 4613
)
. (e.)(
−2117
, 8417
)
,(
−6417
,−1617
)
.
Ejercicio 9:
(a.) 15√29
≈ 2.78543... (b.) 3√34
≈ 0.514495... (c.) 0.
Ejercicio 10:
Verifique que−→PQ • −→PR = 0.
Ejercicio 11:
(a.) 0. (b.) 1. (c.)√
10. (d.)√
29. (e.)√
26. (f.)√
5.
1.6 La ecuacion del plano
Ejercicios 1.6.1 (pagina 63)
Ejercicio 1:
(a.) Ecuacion cartesiana 2x + 5z = 12. Una ecuacion vectorial es
(x, y, z) =(
t, s,12
5− 2
5t)
.
(b.) Una ecuacion cartesiana es x − y − z = −3. Son ecuaciones vectoriales
(x, y, z) = (t, s, 3 + t − s), t, s ∈ IR
o
(x, y, z) = (1 + 2t − s,−1 + 3t + s, 5 − t − 2s), t, s ∈ IR
(c.) 12x − y + 2z = 5 es una ecuacion cartesiana. Una ecuacion vectorial es
(x, y, z) = (s, 3 + 2t + 2s, 4 + t − 5s), t, s ∈ IR.
1.6 La ecuacion del plano
12 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL
(d.) Una vectorial es (x, y, z) = (t + 2s, 2t − s, 3t + 4sw), t, s ∈ IR. Unacartesiana es 11x + 2y − 5z = 0.(e.) Ecuacion Cartesiana: 2x − z + 1 = 0. Una ecuacion vectorial es
(x, y, z) = (t, s, 2t + 1), t, s ∈ IR.
Ejercicio 2:
(b.) (i) (0,−5, 3). (ii) (24, 14,−9). (iii) (0, 1, 0). (iv) (0, 0, 0).
Ejercicio 6:(a.) De x−y +3z = 0 se obtiene x = y−3z y de aquı la ecuacionvectorial
(x, y, z) = (t − 3s, t, s) = t(1, 1, 0) + s(−3, 0, 1), t, s ∈ IR.
Los vectores (1, 1, 0), (−3, 0, 1) son un par de generadores del plano. Los demasson similares.
Ejercicio 7: Haga los calculos directamente aplicando las definiciones.
Ejercicio 8: Haciendo calculos directos puede probarse que
‖~u × ~v‖2 = ‖~u‖2‖~v‖2 − (~u • ~v)2
lo que equivale a
‖~u × ~v‖2 = ‖~u‖2‖~v‖2 − ‖~u‖2‖~v‖2Cos2(θ)
= ‖~u‖2‖~v‖2(1 − Cos2(θ))
= ‖~u‖2‖~v‖2Sen2(θ)
de donde se obtiene lo deseado.
Si ~u y ~v no son paralelos, el area del paralelogramo determinado por dosrepresentantes anclados en el mismo punto es
‖~u|‖~v‖Sen(θ) = ‖~u × ~v‖.
Capıtulo 1. Vectores en IR2 y IR3
13 Barrios / Castaneda / Martınez
Para un vector ~w como el indicado, la altura del paralelepıpedo determinadopor los tres vectores es
‖Proy~u×~v ~w‖ =|(~u × ~v) • ~w|‖~u × ~v‖ ,
de donde se sigue que el volumen generado es |(~u × ~v) • ~w|.
Ejercicio 9:Los vectores no nulos ~u y ~v son paralelos si, y solo si ~u × ~v = (0, 0, 0). Sededuce que el area generada por dos vectores no nulos es nula si, y solo si sonparalelos. De igual forma se tiene que el volumen generado por tres vectores nonulos es cero si y solo si el triple producto escalar es cero. De allı se concluyen:
• Tres puntos P, Q, R son colineales si, y solo si ~PQ × ~PR = (0, 0, 0).
• Los puntos P, Q, R y S son coplanares si, y solo si
~PQ •(
~PR × ~PS)
= 0.
Ejercicio 13:
Si Qes un punto cualquiera del plano, entonces la distancia del punto P (x0, y0, z0)al plano de ecuacion ax+by+cz = d (con vector normal ~n = (a, b, c) 6= (0, 0, 0))es
D = ‖Proy~n−→QP‖
=|~n • −→QP |
‖~n‖
=|~n • P − ~n • Q|
‖~n‖
=|ax0 + by0 + cz0 − d|√
a2 + b2 + c2
1.6 La ecuacion del plano
14 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL
Capıtulo 1. Vectores en IR2 y IR3
Capıtulo 2
Matrices y sistemas deecuaciones lineales
2.1 El espacio IRn
Ejercicios 2.1.1 (pagina 77)
Ejercicio 1:
(a.) (−5,−2, 15, 2). (b.) −45. (c.) 3√
3 ≈ 5.19615.... (d.)√
53 ≈ 7.2801....(e.) Cualquier vector de la forma
(t − 3s − 4r, t, s, r) = t(1, 1, 0, 0) + s(−3, 0, 1, 0) + r(−4, 0, 0, 1)
donde t, s y r son reales arbitrarios.
Ejercicio 4:
(b.) ‖α~x‖ =√
(α~x) • (α~x) =√
α2(~x • ~x) = |α|‖~x‖(c.) Utilizando (d.) (siguiente demostracion) se tiene:
‖~x + ~y‖2 = (~x + ~y) • (~x + ~y)
= ‖~x‖2 + 2(~x • ~y) + ‖~y‖2
≤ ‖~x‖ + 2‖~x‖‖~y‖ + ‖~y‖2
= (‖~x‖ + |~y‖)2
15
16 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL
de donde se sigue la desigualdad triangular.(d.) Para todo real λ se tiene
(~x − λ~y) • (~x − λ~y) = ‖~y‖2λ2 − 2(~x • ~y)λ + ‖~x‖2 ≥ 0.
Si ~y 6= ~O, entonces escogiendo λ = ~x•~y‖~y‖2 se sigue que
‖~x‖2‖~y‖2 ≥ |~x • ~y|2
de donde se tiene la desigualdad pedida. Si ~y es el vector cero, el resultado estrivial.
Ejercicio 5:
Si ~x, ~y son vectores no nulos, se sigue de la desigualdad de Cauchy-Schwarzque
−1 ≤ ~x • ~y
‖~x‖‖~y‖ ≤ 1,
definiendo
θ = Cos−1
(
~x • ~y
‖~x‖‖~y‖
)
se sigue lo pedido.
Ejercicio 6:
(a.) Para ~x distinto del vector cero, se tiene
∥
∥
∥
∥
∥
1
‖~x‖~x
∥
∥
∥
∥
∥
=
∣
∣
∣
∣
∣
1
‖~x‖
∣
∣
∣
∣
∣
‖~x‖
= 1.
(b.) Suponga que ~x y ~y son paralelos, muestre que uno de los dos
(
1
‖~x‖~x − 1
‖~y‖~y
)
•(
1
‖~x‖~x − 1
‖~y‖~y
)
o
(
1
‖~x‖~x +1
‖~y‖~y
)
•(
1
‖~x‖~x +1
‖~y‖~y
)
Capıtulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
17 Barrios / Castaneda / Martınez
es cero. Concluya que1
‖~y‖~y = ± 1
‖~x‖~x,
de donde se sigue que ~x, ~y son multiplos el uno del otro.Recıprocamente, demuestre que si uno de ellos es multiplo del otro, entonces
~x • ~y = ±‖~x‖‖~y‖(
o que~x • ~y
‖~x‖‖~y‖ = ±1
)
.
Ejercicio 7:
(a.) 1√27
(1,−1, 3, 4), 1√22
(3, 0,−3, 2), 1√10
(0, 0,−1, 3).
(b.) ± 2√27
(1,−1, 3, 4).
(c.) 2 1‖~v‖~v, donde ~v = (x, y, z, w) con 3x − 3z + 2w = 0.
(d.) 56.789089... grados, aprox.
Ejercicio 8:
La recta que “pasa” por X0 ∈ IRn y es paralela a ~x ∈ IRn−{ ~O} es el conjuntode puntos X que satisfacen:
X = X0 + t~v, t ∈ IR.
2.2 La ecuacion lineal en n variables
Ejercicios 2.2.1 (pagina 90)
Ejercicio 1:
(a.) Lineal en u = x2, y y z, con u ≥ 0.(c.) Lineal en u = sen(3x), v = cos(2y), w = tan(z), con u, v ∈ [−1, 1],w ∈ [−2, 2].
Ejercicio 2:
2.2 La ecuacion lineal en n variables
18 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL
(a.) No son equivalentes: Para cualquier t ∈ IR − {53}, se tiene que (0, t) es
solucion de (2x + 3y)x = 5x pero no lo es de 2x + 3y = 5.(b.) No son equivalentes.(c.) Son equivalentes si, y solo si c 6= 0.
Ejercicio 3:
(a.) S = {(2 − t − 3s, t, s) | t, s ∈ IR}. Generadores: {(−1, 1, 0), (−3, 0, 1)}.
(b.) S ={(
3 + 32t, t)
| t ∈ IR}
={(
s, 23s − 2
)
| s ∈ IR}
. Un conjunto de
generadores es {(3, 2)}(
o{(
32, 1)}
, o{(
1, 23
)})
.
(c.) S = {5}. Generador: {0}.
(d.) S = {(5, t, s, r) | t, s, r ∈ IR}.Generadores: {(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}.
(e.) S ={(
t, 32, s, r
)
| t, s, r ∈ IR}
.
Generadores: {(1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}.
(f.) S = {(t, s, r, 6 − 2t − 3s + 4r + u, u) | t, s, r, u ∈ IR}.Generadores: {(1, 0, 0,−2, 0), (0, 1, 0,−3, 0), (0, 0, 1, 4, 0), (0, 0, 0, 1, 1)}.
Ejercicio 4:
La afirmacion es verdadera si, y solo si la ecuacion es homogenea.
2.3 Sistemas m × n
Ejercicios 2.3.1 (pagina 116)
Ejercicio 1:
(a.) (a, b) es una solucion de a + 2b = 3. Ası, a = 3 − 2b donde b es un realarbitrario.(c.) a = 1, b = 2.
Capıtulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
19 Barrios / Castaneda / Martınez
Ejercicio 2:
(a.) a 6= −3. (b.) a 6= 1. (c.) a es un real cualquiera.(d.) a 6= 0 y a 6= −6. (e.) Para ningun valor de a.
Ejercicio 3:
(a.) Infinitas soluciones para a = −3. El sistema es siempre consistente.(b.) Infinitas soluciones si a = 1. El sistema es consistente siempre.(c.) El sistema tiene solucion unica para todo valor de a.(d.) Infinitas soluciones si a = −6, inconsistente si a = 0.(e.) Infinitas soluciones si a = 6, inconsistente si a 6= 6.
Ejercicio 4:
(a.) S ={(
53, 10
3+ t, t
)
| t ∈ IR}
.
(b.) S = {(1, 2 − t, t,−1) | t ∈ IR}.
(c.) S ={(
−6710
, 4710
, −185
, 465
)}
.
(d.) S ={(
t, 0,−49
+ 13t, 5
3− 1
6t,−26
3+ 6t
)
| t ∈ IR}
.
(e.) Inconsistente: S = ∅.
Ejercicio 5:
(a.) Sh = {(0, t, t) | t ∈ IR}. Generado por (0, 1, 1).
(c.) Sh = {(0, 0, 0, 0)}. Generado por (0, 0, 0, 0).
(e.) Sh ={(
t, s, 13t + 1
9s, 5
6s − 1
6t, 6t + 2
3s)
| t, s ∈ IR}
.
Generado por: (6, 0, 2,−1, 36) y (0, 8, 2, 15, 12).
Ejercicio 6:
2.3 Sistemas m × n
20 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL
(a.) Todo sistema formado por ecuaciones lineales de la forma ax+by+cz = d,donde (a, b, c, d) es una solucion de la ecuacion homogenea a+2b+3c−d = 0.
(c.) La forma escalonada reducida es
1 0 0 10 1 0 20 0 1 30 0 0 0
, realizando operaciones
elementales adecuadas sobre esta se logra que el ultimo renglon no sea nulo.
(e.) Un sistema “mınimo” es x = 2, z = 0, w = 3 + y.
Ejercicio 7:
(a.) Solucion unica si |a| 6= 3.
(b.) Infinitas soluciones si a = 3.
(c.) Inconsistente si a = −3.
Ejercicio 9:
(a.) Geometricamente, es claro que no. Algebraicamente, se tiene que elsistema homogeneo
x + y + 2z = 0−x + 2y + 5z = 02x + 4y − z = 0
tiene como unica solucion la trivial (0, 0, 0).
(b.) {t(1,−7, 3) | t ∈ IR}.
(c.) ± 2√59
(1,−7, 3).
Ejercicio 11:
(a.) (x, y, z) =(
−2 + 133t, 4 − 11
3t, t)
, t ∈ IR.
(b.) (x, y, z) =(
1319
− 219
t,− 919
+ 3519
t, t)
, t ∈ IR.
Capıtulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
21 Barrios / Castaneda / Martınez
Ejercicio 14:
(a.) y (d.) L.I , en los demas la respuesta es L.D.
Ejercicio 15:
Resuelva los sistemas
1 0 32 2 03 5 05 −1 −3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
357−4
,
6 3 31 −2 02 5 03 −1 6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
357−4
,
3 1 0 95 2 2 37 3 5 0−4 −8 −1 10
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
357−4
.
~v = (3, 5, 7,−4) sera, en cada caso, combinacion lineal de los vectores dados,si el sistema correspondiente es consistente.
Ejercicio 17:
(a.) Demuestre que el sistema(
1 22 3
∣
∣
∣
∣
xy
)
tiene solucion unica para todo par
(x, y) ∈ IR2.
(b.) Dos vectores de IR3 generan o a {(0, 0, 0)}, o a una recta ( si son paralelos)o a un plano (si son no nulos y no paralelos).
(c.) Si ~v = (v1, v2), ~w = (w1, w2) son l.i, entonces
∣
∣
∣
∣
v1 w1
v2 w2
∣
∣
∣
∣
6= 0, por lo que
todo sistema(
v1 w1
v2 w2
∣
∣
∣
∣
xy
)
tiene solucion (unica, ademas).
Ejercicio 18:
Si ~v1, . . . , ~vm son vectores de IRn, con m > n, entonces el sistema ho-mogeneo (en las variables α1, . . . , αm)
α1 ~v1 + α2 ~v2 + . . . + αm ~vm = ~O
tiene infinitas soluciones, de donde se sigue que los vectores son l.d.
2.3 Sistemas m × n
22 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL
Ejercicio 19:
(a.) Las coordenadas de P, Q y R deben satisfacer la ecuacion x2 + y2 + dx +ey + f = 0. Reemplazando dichas coordenadas en la ecuacion indicada seobtiene un sistema 3 × 3 en d, e y f . La ecuacion pedida queda determinadacon la solucion del sistema.
(b.) Como en el ejercicio anterior, la circunferencia existe si el sistema obtenidoes consistente.
(c.) Muestre que el sistema obtenido (como en los ejercicios anteriores) paraP (x0, y0), Q(x1, y1) tiene infinitas soluciones.
(d.) Analice el sistema obtenido para los tres puntos dados.
Ejercicio 21:
(a.)Si P (x0, y0), Q(x1, y1), R(x2, y2) son tres puntos distintos de la parabolade ecuacion y = ax2 + bx + c y Ax + By = C es la ecuacion de una rectaque contiene a los tres puntos, entonces el sistema 6 × 6 (en a, b, c, A, B, C),obtenido al reemplazar por las coordenadas de los puntos en las ecuaciones,es inconsistente a menos que dos de los puntos sean iguales. Puede tambienresolverse mostrando que los vectores
−→PQ y
−→PR no son paralelos a menos que
x1 = x2.
(c.) Como en el anterior.
2.4 Matrices y operaciones matriciales
Ejercicios 2.4.1 (pagina 142)
Ejercicio 1:
(a.)
Capıtulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
23 Barrios / Castaneda / Martınez
(i)(
3 96 27
)
(ii)(
7 −615 14
)
(iii)(
10 −624 20
)
(iv)(
7 36 14
)
(v)(−2 5−5 3
)
(vi) (6, 27) (vii)(−15
8
)
(viii) (0, 4)
(ix)(
13−1
)
(x)(
29
)
(b.)
(i) X = 2A − C =(
1 4−1 9
)
.
(ii) Y =(
1 3−6 2
)
− 23X, donde X ∈ IR2×2.
(iv) Y =(
8 15−9 16
)
− X, X ∈ IR2×2.
Ejercicio 2:
(a.)
(i)(
12 14 136 14 40
)
(ii) No esta definida. (iii) No esta definida.
(iv)
−1 010 −721 20
(v) No esta definida (vi) (6, 14, 40)
(vii)
094
(viii) (−3, 7, 19) (ix)(
2−24
)
(x)
7−211
(b.)
2.4 Matrices y operaciones matriciales
24 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL
(i) X = 2A − C =(
5 4 22 7 12
)
.
(ii) Y =(
2 0 −20 4 0
)
− 23X, donde X ∈ IR2×3.
(iv) No existen matrices que cumplan la condicion.
Ejercicio 4:
(c.) Sean A = (aij), AT = (bij), si A es antisimetrica entonces bij = aji = −aij ,
de donde se sigue lo pedido.
(d.)
(
1
2(A + AT )
)T
=1
2(AT + (AT )T )
=1
2(A + AT )
(
1
2(A − AT )
)T
=1
2(AT − (AT )T )
= −1
2(A − AT )
Por otra parte, A es claramente la suma de las dos matrices consideradas.
(e.) Las matrices cuadradas nulas.
Ejercicio 5:
Para buscar un conjunto de generadores observe que, en el caso 2 × 2, lasmatrices simetricas son de la forma
(
a11 a12
a12 a22
)
= a11
(
1 00 0
)
+ a12
(
0 11 0
)
+ a22
(
0 00 1
)
.
Ejercicio 6:
Capıtulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
25 Barrios / Castaneda / Martınez
(a.) Es una base pues los tres vectores son l.i.(b.) Sı(d.) No, los vectores son l.d.
Ejercicio 7:
Muestre que tanto la suma de dos combinaciones lineales de los vectores da-dos como el producto de un escalar por una combinacion lineal de ellos, soncombinaciones lineales de los mismos.
Ejercicio 11:
(b.) Para toda A =(
a11 a12
a21 a22
)
∈ IR2×2 se tiene:
A = a11B1 + a12B2 + a21B3 + a22B4.
(d.) Ninguna matriz(
a11 a12
a21 a22
)
, con a22 6= 0 puede obtenerse como combi-
nacion lineal de B1, B2 y B3.
Ejercicio 13:
(a.)
AB =(−2 −11
33 12
)
, BA =
4 7 0−1 0 −1413 22 6
,
BC =
4 −3 11 −1−1 6 −1 −513 −12 35 −1
, CB no esta definida.
(b.) 15.
(c.)
2.4 Matrices y operaciones matriciales
26 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL
(ii) X =
1 − 14t −6 − 14s 1 − 14u 5 − 14v8t 3 + 8s 8u + 1 8v − 3t s u v
, (iv) No hay solucion
t, s, u, v ∈ IR
(vi) X =
3649
−5749
27449
−143490
451490
−16949
− 12245
19245
−1549
. (viii) No hay solucion.
Ejercicio 17:
Si Ai = (0, 0, . . . , 0) ∈ IRn es una fila de A ∈ IRm×n, entonces para toda matrizB ∈ IRn×p se tiene
(AB)i = AiB = (0, 0, . . . , 0) ∈ IRp.
En forma similar si B(j) es una columna nula de B, entonces
(AB)(j) = AB(j)
es una columna nula del producto.
Ejercicio 18:
Es claro que una tal matriz A es cuadrada. Sea D =
δ1 0 0 . . . 00 δ2 0 . . . 00 0 δ3 . . . 0...
......
...0 0 0 . . . δn
una matriz diagonal n × n, entonces los elementos de la fila i, columna j deAD y DA son iguales. Es decir:
AiD(j) = DiA
(j)
Capıtulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
27 Barrios / Castaneda / Martınez
(ai1, ai2, . . . , aij , . . . , ain)
00...δj
...0
= (0, 0, . . . , δi, . . . , 0)
a1j
a2j
...aij
...anj
δjaij = δiaij
para todo i, j ∈ {1, 2, . . . , n}. Puesto que vale para todo matriz diagonal, siδi 6= δj siempre que i 6= j se sigue que aij = 0 si i 6= j. Ası, A es una matrizdiagonal.
Ejercicio 21:
(a.) X = I2 (b.)(
1 − 2t 2 − 2st s
)
, t, s ∈ IR.
(c) X = I3
2.5 Matrices invertibles
Ejercicios 2.5.1 (pagina 159)
Ejercicio 1:
(a.)( 1
21
0 32
)
. (b.)( 5
3283
23
133
)
. (c.)( 2
343
0 23
)
. (d.)( 1
30
−23
13
)
.
Ejercicio 2:
(a.) λ /∈ {1,−2}. (b.) λ 6= ±√
33. (c.) λ 6= 0.
Ejercicio 3:
2.5 Matrices invertibles
28 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL
(a.)(
2 3−3 4
)−1
=( 4
17− 3
17317
217
)
,(
2 34 6
)
es singular. (b.)
1 −14
14
0 −74
−54
0 54
34
.
(c.)
−19
−16
118
509
−136
− 518
−103
32
16
. (d.)
297
− 597
−2097
3997
−1297
3097
2397
−4097
2297
−5597
−12397
13897
−3797
4497
7997
−9197
Ejercicio 5
(a.) Si. (b.) No. (c.) Si. (d.) Si.
Ejercicio 7
Se tiene que (In + A)T = In + AT = In − A, por lo que esta ultima esinvertible por ser transpuesta de una matriz invertible. Para demostrar que(In+A)−1(In−A) es ortogonal, debe probarse que su inversa es su transpuesta;es decir que
(In + A)−1(In − A)(In − A)T ((In + A)−1)T
= (In + A)−1(In − A)(In + A)(In − A)−1
= In
pero esto se sigue facilmente si In − A e In + A conmutan lo que, en efecto,sucede
(In − A)(In + A) = In(In + A) − A(In + A)
= In + A − A − AA
= (In + A)In − (In + A)A
= (In + A)(In − A)
De manera similar se puede probar la ortogonalidad de (In − A)−1(In + A)
Capıtulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Capıtulo 3
Determinantes
3.1 Introduccion
3.2 Permutaciones
Ejercicios 3.2.1 (pagina 172)
Ejercicio 1:
(a.) α es impar (5 inversiones), β es impar (3), π es par (10).
(b.) α−1 = ( 4 1 3 5 2 ) , β−1 = ( 1 4 2 5 3 ) , π−1 = π.
(c.)
αβ = ( 3 4 5 1 2 )
βα = ( 2 3 4 5 1 )
απ = ( 4 1 3 5 2 )
πβ = ( 4 2 5 3 1 )
3.3 Determinante de una matriz cuadrada
Ejercicios 3.3.1 (pagina 176)
Ejercicio 1:
(a.) 16. (b.) 0. (c.) 0.
29
30 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL
Ejercicio 3:
(a.) −1±2√
2. (b.) −2±2√
3i. (c.) 2, 5. (d.) 1, 12(1±
√15i).
3.4 Teoremas basicos
Ejercicios 3.4.1 (pagina 185)
Ejercicio 1:
(a.) −12. (b.) 0. (c.) 0. (d.) 28. (e.) 14.
Ejercicio 2:
(a.) −64. (b.) −4. (c.) 4. (d.) −64. (e.) −64. (f.) −2. (g.) 8.
Ejercicio 3:
(a.) −30. (b.) −5. (c.) −5.
Ejercicio 7:
(a.) p(x) = 43π
x − 43π2 x
2. (b.) p(x) = 1 − 143π
x + 83π2 x
2.
(c.) p(x) = 1+ e2−12e
x+ (e−1)2
2ex2. (d.) p(x) = 16
3πx− 8
π2 x2 + 8
3π3 x3
3.5 Otras propiedades del determinante
Ejercicios 3.5.1 (pagina 189)
Ejercicio 1:
(a.) −545. (b.) − 1
10. (c.) −135
4. (d.) −2
5. (e.) −5
2.
Capıtulo 3. Determinantes
31 Barrios / Castaneda / Martınez
Ejercicio 2:
(a.) Para todo real λ /∈ {0, 5,−32}.
(b.) Para todo real λ /∈ {0, 5,−32, 3,−3}.
(c.) Para los mismos valores del ejercicio anterior.
Ejercicio 4:
Si A es ortogonal, entonces A−1 = AT . Aplique determinante en ambos miem-bros de la identidad anterior para obtener el resultado pedido.
Ejercicio 5
De AT = −A se sigue que 2det(A) = 0, de donde det(A) = 0.
3.6 Cofactores y regla de Cramer
Ejercicios 3.6.1 (pagina 194)
Ejercicio 1:
(a.) x = −1013
. (b.) y = 1. (c.) w = 0.
3.6 Cofactores y regla de Cramer
32 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL
Capıtulo 3. Determinantes
Capıtulo 4
Espacios vectoriales
4.1 Introducion
4.2 Definiciones y propiedades basicas
Ejercicios 4.2.1 (pagina 212)
Ejercicio 1:
(a.) Sı (b.) No. (c.) Lo es si, y solo si b = 0. (d.) No. (e.) No.
Ejercicio 3:
Si ~O ∈ S, la combinacion lineal 1 ~O = ~O es una combinacion lineal nula notrivial de elementos de S.
Ejercicio 6:
(a.) No (b.) Sı. (c.) Sı. (e.) Sı. (f.) Sı.
Ejercicio 9:
33
34 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL
(a.)(i) {(t, 3t) | t ∈ IR}
(ii) IR2
(iii) {(0, 0)}.
(iv) IR2
(c.)(i) {(t, 2t, 3t) | t ∈ IR}
(iii) El plano xy.
(v) El plano generado por (2,−1, 5) y (3, 2, 4).
(d.)(i) {p(x) = a + bx | a, b ∈ IR} = P1.
(iii) P2.
(iv) P1.
Ejercicio 15:
(a.) (i) l.d. (ii) l.d. (iii) l.i.
(b.) (i) l.i (ii) l.i. (iii) l.i (iv) l.i. (v) l.d.
(c.) (i) l.d. (ii) l.i. (iii) l.i.
Capıtulo 4. Espacios vectoriales