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Sucesión de Fibonacci
Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta
En matemática, la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci) es la
siguiente sucesión infinita de números naturales:
La sucesión inicia con y , y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.
A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en
Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci.
Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos.
También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles,
en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.
Contenido
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1 Historia
2 Definición recursiva
3 Representaciones alternativas
o 3.1 Función generadora
o 3.2 Fórmula explícita
o 3.3 Forma matricial
4 Propiedades de la sucesión
5 Generalización
o 5.1 Sucesión de Lucas
6 Algoritmos de cálculo
7 La sucesión de Fibonacci en la cultura popular
8 La sucesión de Fibonacci en la naturaleza
9 Dígitos en la sucesión de Fibonacci
10 Véase también
11 Referencias
12 Bibliografía
13 Enlaces externos
[editar]Historia
La sucesión de Fibonacci en términos de conejos.
Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido
descubierta por matemáticos indios tales como Pingala (200 a.c.),Gopala (antes de 1135)
y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con
sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de
pulsos) era , que produce explícitamente los números 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.1
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos:
"Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos
son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes,
y en el segundo mes los nacidos parir también".2
Número de Mes
Explicación de la genealogíaParejas de
conejos totales
Fin del mes 0 0 conejos vivos. 0 parejas en total.
Comienzo del mes 1
Nace una pareja de conejos (pareja A). 1 pareja en total.
Fin del mes 1 La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A.1+0=1 pareja en total.
Fin del mes 2 La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A.1+1=2 parejas en total.
Fin del mes 3La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B.
2+1=3 parejas en total.
Fin del mes 4Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C.
3+2=5 parejas en total.
Fin del mes 5A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E.
5+3=8 parejas en total.
Fin del mes 6A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H.
8+5=13 parejas en total.
... ... ...
Fin del mes 12 ... ...
Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas
totales que hay hasta ese mes.
De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas
propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de
haberla denominado como se la conoce en la actualidad.3
También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert
Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos
se acerca a la relaciónáurea fi ( ) cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos
términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta serie ha
tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con
tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen y Delia Derbyshire la han utilizado para la
creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.
[editar]Definición recursiva
Chimenea con la secuencia de Fibonacci
Los números de Fibonacci quedan definidos por las ecuaciones
(1)
(2)
(3) para
Esto produce los números
Es usual definir de esta manera en Matemática discreta y, de hecho, ya es algorítmica.
[editar]Representaciones alternativas
Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener
otras maneras de representarla matemáticamente.
[editar]Función generadora
Una función generadora para una sucesión cualquiera es la
función , es decir, una serie formal
de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci
tienen la función generadora
(4)
Cuando esta función se expande en potencias de , los coeficientes resultan ser la sucesión de
Fibonacci:
[editar]Fórmula explícita
La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular
varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una
fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores)
notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia
con las condiciones iniciales
y
El polinomio característico de esta relación de recurrencia es , y
sus raíces son
De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma
Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes
y satisfacen la ecuación anterior cuando y , es decir que
satisfacen el sistema de ecuaciones
Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene
Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser
expresado como
(5)
Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo
de manera que la ecuación (5) se reduce a
(6)
Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente
demostrable por inducción matemática. A pesar de que la
sucesión de Fibonacci consta únicamente de números
naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional .
De hecho, la relación con este número es estrecha.
[editar]Forma matricial
Otra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es
considerando el sistema lineal de ecuaciones
Este sistema se puede representar mediante su notación
matricial como
Conociendo a y , al aplicar la
fórmula anterior veces se obtiene
(7)
Una vez aquí, simplemente tenemos que diagonalizar
la matriz, facilitando así la operación de potenciación,
y obteniendo por tanto la fórmula explícita para la
sucesión que se especificó arriba.
y más aún
(8)
Estas igualdades pueden probarse mediante
inducción matemática.
[editar]Propiedades de la sucesión
Al construir bloques cuya longitud de lado sean números
de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja
alrectángulo áureo (véase Número áureo).
Los números de Fibonacci aparecen en numerosas
aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en
modelos de la crianza de conejos o de plantas, al
contar el número de cadenas de bits de longitud
que no tienen ceros consecutivos y en una vasta
cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe
una publicación especializada llamada Fibonacci
Quarterly4 dedicada al estudio de la sucesión de
Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán
ampliamente los números de Fibonacci aparecen en
matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas.
Algunas de las propiedades de esta sucesión son las
siguientes:
La razón o cociente entre un término y el
inmediatamente anterior varía continuamente,
pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:
Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci. Cualquier sucesión recurrente de orden
2, como la sucesión 3, 4, 7, 11, 18,..., lleva al mismo límite. Esto fue demostrado por Barr y
Schooling en una carta publicada en la revista londinense "The Field" del 14 de diciembre de
1912. Los cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente
es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que se
aproximan asintóticamente por exceso y por defecto al valor límite.
Cualquier número natural se puede escribir
mediante la suma de un número limitado de
términos de la sucesión de Fibonacci, cada
uno de ellos distinto a los demás. Por
ejemplo,
, .
Tan sólo un término de cada tres es par, uno
de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada
cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede
generalizar, de forma que la sucesión de
Fibonacci es periódica en
lascongruencias módulo , para
cualquier .
La sucesión puede expresarse mediante otra
fórmula explícita llamada forma de
Binet (de Jacques Binet). Si
y , entonces
y
Cada número de Fibonacci es el
promedio del término que se encuentra
dos posiciones antes y el término que se
encuentra una posición después. Es
decir
Lo anterior también puede
expresarse así: calcular el siguiente
número a uno dado es 2 veces éste
número menos el número 2
posiciones más atrás.
La suma de los primeros
números es igual al número
que ocupa la posición
menos uno. Es decir
Otras identidades
interesantes incluyen las
siguientes:
Si , entonces para cualquier
(Identidad de Cassini)
Phi forma parte de una expresión de la sucesión de Fibonacci.
(con φ = número áureo)
Leonardo de Pisa
Leonardo de Pisa
Leonardo de Pisa, "Fibonacci"
Nacimiento a. 1170
Pisa, Italia
Fallecimiento a. 1250
Pisa, Italia
Campo Matemáticas
Creador de la Sucesión de Fibonacci
Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (c. 1170 - 1250), también
llamado Fibonacci, fue un matemático italiano, famoso por haber difundido enEuropa el sistema de
numeración indo-arábigo actualmente utilizado, el que emplea notación posicional (de base 10, o
decimal) y un dígito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesión de Fibonacci.
El apodo de Guglielmo (Guillermo), padre de Leonardo, era Bonacci (simple o bien intencionado).
Leonardo recibió póstumamente el apodo de Fibonacci (por filius Bonacci, hijo de Bonacci). Guglielmo
dirigía un puesto de comercio en Bugía (según algunas versiones era el cónsul de Pisa), en el norte
de África (hoy Bejaia,Argelia), y de niño Leonardo viajó allí para ayudarlo. Allí aprendió el sistema de
numeración árabe.
Consciente de la superioridad de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países
del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes 1 más destacados de ese tiempo, regresando
cerca de 1200. En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber Abaci (libro
del ábaco o libro de los cálculos). Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración
aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo,intereses, cambio
de moneda, y otras numerosas aplicaciones. En estas páginas describe el cero, la notación posicional,
la descomposición en factores primos, los criterios de divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo
en la Europa ilustrada, y tuvo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo.
Leonardo fue huésped del Emperador Federico II, que se interesaba en las matemáticas y la ciencia en
general. En 1240, la República de Pisa lo honra concediéndole un salario permanente (bajo su nombre
alternativo de Leonardo Bigollo).
Contenido
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1 Su quinta obra
2 Su aporte completo a la matemática[2]
3 Referencias
4 Véase también
5 Enlaces externos
[editar]Su quinta obra
Escultura de Leonardo de Pisa, realizada por Giovanni Paganucci. Fue completada en el año 1863 y yace en el
Camposanto monumentale de Pisa.
En el año 1225 publica su cuarto y principal libro: Liber Quadratorum 'El Libro de los Números
cuadrados', a raíz de un desafío de un matemático de la corte de Federico II(Teodoro) que le propuso
encontrar un cuadrado tal que si se le sumaba o restaba el número cinco diera como resultado en
ambos casos números cuadrados. Curiosamente, el año de publicación del libro es un número
cuadrado.
Fibonacci comienza con los rudimentos de lo que se conocía de los números cuadrados desde la
antigua Grecia y avanza gradualmente resolviendo proposiciones hasta dar solución al problema de
análisis indeterminado que le habían lanzado como desafío.
En la parte original de la obra introduce unos números que denomina congruentes (Proposición IX) y
que define, en terminología actual, como c = m.n (m² - n²), donde m y n son enteros positivos impares, m
> n. De esta forma, el menor de ellos es 24. Enuncia y muestra que el producto de un número
congruente por un cuadrado es otro número congruente.
Utiliza estos números como herramientas para sus posteriores proposiciones y los hace intervenir en
una identidad que es conocida como Identidad de Fibonacci(Proposición XI). La identidad
es: [1/2(m²+n²)]² ± mn (m² - n²) = [1/2(m² - n²) ± mn]². Esta permite pasar con facilidad de un triángulo
rectángulo a otro.
Leonardo de Pisa utiliza frecuentemente las proposiciones precedentes como lemas para las siguientes,
por lo que el libro lleva un encadenamiento lógico. Sus demostraciones son del tipo retórico y usa
segmentos de recta como representación de cantidades. Algunas proposiciones no están rigurosamente
demostradas, sino que hace una especie de inducción incompleta, dando ejemplos prácticos y
específicos, pero su dominio algorítmico es excelente y todo lo que afirma puede ser demostrado con
las herramientas actuales. No se encuentran errores importantes si se hace excepción de la
incompletitud de algunas demostraciones. El contenido del libro supera a la respuesta al desafío
recibido y muestra el estado de la matemática de su época.
[editar]Su aporte completo a la matemática2
Liber Abaci (Libro del Ábaco). Fue escrito en 1202 y revisado y considerablemente aumentado en
1228. Se divide en quince capítulos. Un capítulo importante está dedicado a las fracciones
graduales,3 de las que expone las propiedades. En ellas basa una teoría de los números
fraccionarios y, después de haberlas introducido en los cálculos de números abstractos, las vuelve
un instrumento práctico para la obtención de números concretos. Todas las fracciones se presentan
a la manera egipcia, es decir, como suma de fracciones con numeradores unitarios y
denominadores no repetidos. La única excepción es la fracción ,4 que no se descompone.
Incluye una tabla para descomposición en fracciones unitarias que se lee derecha a izquierda,
como en las lenguas semíticas.
Practica Geometriae. (Geometría práctica) Está dividido en siete capítulos en los que aborda
problemas de geometría dimensional referente a figuras planas y sólidas. Es la obra más avanzada
en su tipo que se encuentra en esa época en Occidente.
Flos super solutionibus quarumdam questionum ad numerum et ad geometricam
pertinentium. (Ramillete de soluciones de ciertas cuestiones relativas al número y a la geometría)
Comprende quince problemas de análisis determinado e indeterminado de primer grado. Dos de
esos problemas habían sido propuestos como desafío a Leonardo por Juan de Palermo,
matemático de la corte del emperador Federico II.
Carta a Teodoro. Es una simple carta que Leonardo envía a Teodoro, astrólogo de la corte de
Federico II. En ella se resuelven dos problemas. El primero es algebraico y consiste en encontrar
objetos de diferentes proporciones. Estos objetos llevan los nombres de pájaros de diversas
especies. Paul Ver Eecke, quien tradujo el Liber Quadratorum al francés desde el original latino de
la edición de 1228, opina que pudo haber sido una cortesía hacia Federico II, que era aficionado a
la caza con halcón, previendo que su carta sería llevada al príncipe. El segundo problema es
geométrico-algebraico. Se trata de inscribir en un triángulo isósceles un pentágono equilátero que
tenga un lado sobre la base del triángulo y otros dos lados sobre los restantes de éste. Lo reduce a
una ecuación de segundo grado, dando un valor muy aproximado para el lado del pentágono en
el sistema sexagesimal .
Liber Quadratorum. (El Libro de los Números Cuadrados) Consta de veinte proposiciones. Estas
no consisten en una recopilación sistemática de las propiedades de los números cuadrados, sino
una selección de las propiedades que llevan a resolver un problema de análisis indeterminado de
segundo grado que le fuera propuesto por Teodoro, un matemático de la corte de Federico II.
[editar]Referencias
1. ↑ de Pisa, Leonardo (mayo de 1973). «Introducción». El Libro de los Números Cuadrados. Colección
"Biblioteca Cultural Los Fundamentales". Buenos Aires: Editorial Universitaria de Buenos Aires (EUDEBA).
pp. 10, 11, 12. «Lo primero que llama la atención al considerar las obras que acabamos de mencionar es
el conocimiento profundo de los Elementos de Euclides que Leonardo ya poseía. Este conocimiento, en sí,
hace surgir el interrogante de cómo pudo haber sido adquirido. No, seguramente, en el texto griego que
aún no había llegado a Occidente (11). Pero, desde el siglo IX, los Elementos y otras obras de Euclides,
encontradas, en su texto original griego, por los árabes en Bizancio y enAlejandría , fueron objeto de
numerosas versiones en su lengua (12). Estas versiones, generalmente incompletas, algunas abreviadas,
otras comentadas o en las que se interpolaban proposiciones originales, circulaban en el mundo ilustrado
musulmán. Leonardo pudo haberlas conocido, de haber estado lo suficientemente familiarizado con la
lengua árabe como para leerlas. Si estas versiones no le fueron accesibles, debió, seguramente, conocer
las dos versiones latinas, o una de ellas, de los Elementos de Euclides, hechas por Gerardo de Cremona y
Abelard de Bath, de la versión árabe de Tabit ibn Qurra, que data de la primera mitad del siglo IX (13). La
cuestión de la formación euclidiana de Leonardo sigue siendo tema de controversia (14).
(11) El texto griego de los Elementos de Euclides fue publicado por primera vez por Simon Grynaeus bajo
el título: Euclidis Elementorum libri XV cum prefatione Sim. Grynaei, graece. Bale, 1535. esta edición
griega estuvo precedida por la primera versión latina de Zamberti, publicada bajo el título: Euclidis
Megarensis philosophi platonici mathemticorum disciplinarum janitoris; habent in hoc volumine:
elementorum libri XIII, cum expositione Theonis etc., etc. Battholo Zamberti interprete, Venetus,
1505, in-fol. Edición post - incunable conservada en la biblioteca municipal de Amberes (acotado g. 4880).
Obra reeditada en París, en 1516, después en Basilea, en 1546. (12) Ver, sobre el tema de las versiones
árabes de las obras de Euclides: J. H. Heiberg. Litterageschichtliche Studien über Euclid. Leipzig,
1882. George Sarton. Introduction to the history of Science. Tres volúmenes en 8º. Washington, 1927-
1948. (13) La traducción latina de Abelard de Bath, que data de la primera mitad del siglo XII, fue
reimpresa por Campanus, quien la publicó con un comentario bajo su nombre, con el
título: Preclarissimus liber Elementorum Euclidis (in fine): Opus elementorum Euclidis Megarensis
in geometriam artem. In id quoque Campani perspicacissimi commentationes finiunt. Erhardus
Ratdolt augustensis impressor solertissimus. Venetiis impressit anno salutis 1842, in-fol. Incunable
rarísimo que formaba parte de la célebre biblioteca matemática de Michael Chasles (Catálogo Nº 1525).
(14) Ver: Eneström. Woher hat Leonardo Pisano seine Kentniss der Elemente des Euclides entnommmen?
en Bobliot. Mathem. (3), 7 Band, S. 321.»
2. ↑ La lista de sus obras está tomada del libro: de Pisa, Leonardo (mayo de 1973). «Introducción». El Libro
de los Números Cuadrados. Introducción de Paul Ver Eecke, traducción de Pastora Sofía Nogues Acuña
de la versión francesa de Paul Ver Eecke. Notas de José Babini. Buenos Aires: Editorial Universitaria de
Buenos Aires (EUDEBA), Colección "Biblioteca Cultural Los Fundamentales". pp. 7 - 13.
3. ↑ Fracción gradual:
4. ↑ La excepción no surge de una imposibilidad aritmética, pues . La fracción no se descomponía por
razones filosófico-religiosas
[editar]Véase también
Pirámide (geometría)
Pirámide cuadrangular.
Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono con una cara; y por caras, que
son triángulos coincidentes en un punto denominado ápice.
El ápice o cúspide también es llamado vértice de la pirámide, aunque una pirámide tiene más vértices, tantos como
el número de polígonos que lo limitan.
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1 Tipos de pirámides
o 1.1 Área lateral de una pirámide
o 1.2 Área total de una pirámide
2 Volumen
o 2.1 Volumen de una pirámide regular
3 Centro de gravedad de una pirámide
4 Véase también
5 Referencias
6 Enlaces externos
[editar]Tipos de pirámides
Pirámde oblicua. Los vértices están marcados en naranja y las aristas en rojo. La linea amarilla es una diagonal de la base.
Una pirámide recta es un tipo de pirámide cuyas caras laterales son triángulos isósceles. En este tipo de pirámides
la recta perpendicular a la base que pasa por el ápice corta a la base por su circuncentro.
Una pirámide oblicua es aquella en la que no todas sus caras laterales son triángulos isósceles.
Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono regular.
Una pirámide convexa tiene como base un polígono convexo
Una pirámide cóncava tiene como base un polígono cóncavo.
Existen tres tipos de pirámides cuyas caras son triángulos equiláteros, con bases de 3, 4 y 5 lados respectivamente.
Un tetraedro regular es una pirámide cuyas caras (base y caras laterales) son triángulos equiláteros.
Área de un polígono regular
Partición de polígonos regulares entriángulos isósceles.
La línea roja es un apotema de esteoctógono.
El área de un polígono regular puede calcularse en función de la longitud de cada lado y su número de lados. Un
polígono regular de n lados puede dividirse en ntriángulos isósceles (equiláteros en el caso del hexágono regular)
cuyas bases son los lados del polígono regular. La altura de cada uno de estos triángulos es unapotema del polígono
regular y divide cada uno de los triángulos isósceles en dos triángulos rectángulos, dividiendo así el polígono
en 2n triángulos rectángulos.
El área del polígono regular (Ab) es igual a la suma de las áreas de los triángulos rectángulos (At):
Donde a es el apotema del polígono regular. Para calcular la longitud del apotema se aplica la trigonometría.
Aparte: Calculemos la apotema a, donde α es el ángulo del vértice del triángulo rectángulo que coincide con el
centro del polígono regular.:
Ahora reemplazando el valor de la apotema a en el área del polígono regular (Ab) tenemos:
El valor del ángulo α resulta de dividir el ángulo completo (2π) por el número de triángulos rectángulos (2n),
luego .
(1)
[editar]Área lateral de una pirámide
El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de las caras laterales.
En una pirámide regular, las caras laterales son triángulos isósceles. El área de cada cara es el semiproducto de su
base (que es igual al lado de la base de la pirámide l ), por su altura (que es el apotema de la pirámide ap ). El área
lateral de una pirámide regular resulta de multiplicar el área de una de sus caras laterales por el número de caras
laterales.
(2)
Donde ap es el apotema de la pirámide y p es el perímetro de la base.
Teorema de Pitágoras:
Altura de la pirámide: h = a.
Apotema de la base: ab = b.
Apotema de la pirámide: ap = c.
El apotema de la pirámide (ap) puede calcularse a partir del apotema de la base (ab) y de la altura de la pirámide (h)
aplicando el teorema de Pitágoras.
[editar]Área total de una pirámide
El área total de la pirámide es la suma del área de la base y el área lateral.
(3)
En el caso de una pirámide regular, sustituyendo el área de la base (1) y el área lateral (2) en la ecuación (3), se
obtiene:
[editar]Volumen
El volumen de una pirámide puede obtenerse mediante cálculo diferencial. El área de un plano de corte transversal
es directamente proporcional al área de la base (Ab) y al cuadrado de la distancia del plano de corte respecto al ápice
de la pirámide. Esta distancia (d) es la diferencia entre la altura de la pirámide (h) y altura del plano de corte (z).
Por lo tanto, el área de un plano de corte transversal situado a una altura z por encima de la base es
El volumen de una pirámide se puede hallar conociendo el área de su base y su altura, independientemente de la
forma de la base y de la posición del ápice en un plano paralelo a la base.
(4)
Esta fórmula también es válida para el cono, ya que no depende de la forma de la base, sino de su área.
[editar]Volumen de una pirámide regular
El volumen de una pirámide cuya base es un polígono regular puede calcularse a partir del lado del polígono
regular que define su base y la altura de la pirámide. Sustituyendo el área de la base Ab (1) en la ecuación del
volumen de la pirámide (4) se obtiene:
[editar]Centro de gravedad de una pirámide
El centro de gravedad de una pirámide de densidad uniforme está situado a una distancia de la base igual a un
cuarto de su altura.1
[editar]Véase también
Pirámide
Tronco de pirámide
Tetraedro
Eudoxo de Cnidos
Bipirámide (unión de dos pirámides por sus bases)
[editar]Referencias
1. ↑ Vázquez, Manuel; López, Eloisa (1995), Mecánica para ingenieros, Editorial Noela, Madrid, ISBN 84-88012-03-9.
[editar]Enlaces externos
Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Pirámide (geometría).
Weisstein, Eric W . «Pirámide» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.[[az:Piramooongg
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SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.
Observa con atención lo que sucede con la suma de los términos de una progresión aritmética:Supongamos la progresión: 2. 5. 8. 11. 14. 17. 20. 23. 26. 29. 32. 35. 38Sumamos todos los términos y veo que S (la suma de todos los términos) vale 260
(1) S = 2+ 5+8+11+14+17+20+23+26+29+32+35+38= 260
Si sumo el valor de dichos términos comenzando por el último, la suma será la misma:
(2) S= 38+35+32+29+26+23+20+17+14+11+8+5+2+= 260
Ahora sumas las igualdades de las notas (1) y (2). La suma la haces verticalmente y te encontrarás con (2+38), (5+35), (8+32).......
Estás sumando el primer término con el último, el segundo con el penúltimo, el tercero con el antepenúltimo, y así, sucesivamente como tienes a continuación,verás que todas las sumas son iguales:
Hemos sumado los términos a la izquierda y la derecha del signo ‘=’ por
ello:
¿Cuántas veces se repite la misma suma? Si cuentas bien verás que 40 se repite 13 veces lo que equivale a 40x13= 520
puedes escribir:
Si a los términos los escribimos como:
Los puntos suspensivos se refieren a otros términos, dependiendo del número de éstos.
Siendo n el número de términos serán los cuatro últimos términos. En una progresión de 7 términos tendrías, sustituyendo n por 7:
La suma de todos los términos será:
El valor de la suma no varía si los sumamos comenzando del último al primero:
Ahora sumamos ambas igualdades:
Todas las sumas indicadas entre paréntesis tienen el mismo valor por lo que podríamos escribir:
Como todos los sumandos entre paréntesis valen lo mismo, tomamos uno de ellos, los que se refieren al primero y último términos y nos resulta lo que tienes más arriba...
En lugar de sumar: 23+23+23+23+23+23, es más fácil, contar cuantas veces se repite este número y multiplicarlo por 23: 23+23+23+23+23+23 es lo mismo que 23x6.
¿Cuántas veces se nos repite ?
Tantas veces como términos tenga la progresión, en este caso, n. Por lo que se nos transformaría todo lo anterior en:
Despejamos el valor de S y obtenemos:
La fórmula que nos sirve para calcular el valor de la suma de los términos de una progresión aritmética es igual:A la suma del primero y último términos, dividido por 2 y multiplicado por el número de términos.
Si una progresión aritmética tiene un número impar de términos, como: 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18La suma del primero y último, es igual a la suma del segundo y penúltimo,…. y me quedará el término CENTRAL sólo. Si a éste le multiplico por 2, es decir, hallo el doble de su valor, veré que coincide con las sumas anteriores:
16. 15 Calcula la suma de los 20 primeros términos de la progresión 2. 4. 6. 8. ……….Respuesta: 420Solución:
Primero calculamos el valor del último término:
Aplicando la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética:
16.16 En una progresión aritmética el primer término vale 1, el segundo 3. …….La suma de todos los términos 196. ¿Cuántos términos tiene?Respuesta: 14Solución:
Conocemos el valor de
Aplicando la fórmula de la suma y haciendo operaciones:
16.17 Calcula la suma de los 1000 primeros números naturales.Respuesta: 500.500 Solución:
Conocemos el primer término que es 1. Conocemos el último que es 1000 y además sabemos que la d es igual a 1.
Haciendo uso de la fórmula de suma:
16.18 Calcula la suma de los 1000 primeros números impares.
Respuesta:1.000.000Solución:Conocemos el primer término, 1. La diferencia o razón, 2. El número de términos, 1000.Calculamos el valor del último término:
Aplicando la fórmula de la suma:
16.19 Calcula la suma de los 1000 primeros números pares.
Respuesta: 1.001.000
16.20 Calcula y demuestra que la suma de los 1000 primeros números pares más los 1000 primeros números impares es igual 2.001.000.
Respuesta: 2.001.000 Solución:
La suma de los 1000 primeros números pares hemos visto que vale: 1.001.000La suma de los 1000 primeros números impares hemos visto que vale: 1.000.000 Total…………..: 2.001.000
Calculamos la suma de los 2.000 primeros números YA QUE EN ESTE NÚMERO ESTAN INCLUIDOS 1.000 NÚMEROS PARES Y 1.000 NÚMEROS IMPARES:
Veo que coinciden las dos cantidades lo que me indica que la respuesta es correcta.
16.21 Tenemos la progresión aritmética siguiente: 5,………………….995. 1000. Halla la suma de todos los términos.
Respuesta: 100.500
16.22 Calcula la suma de los 100 primeros múltiplos de 5.
Respuesta: 25.250
Solución:El primero vale……. ……5El último ……. ………….500El número de términos….. 100
La suma valdrá:
Bisectriz
Construcción gráfica con regla y compás.
La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales.
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia ) de
las semirrectas de un ángulo.
Contenido
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1 Propiedades
2 Aplicación en triángulos
3 Propiedades en un triángulo inscrito
4 Véase también
5 Enlaces externos
Propiedades
Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados del ángulo
Dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos y sus bisectrices se cortan conformando ángulos
rectos ente ellas.
En la figura, la bisectriz del ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y la del ángulo x'Oy es (ww'). Se cortan
formando un ángulo recto. En efecto, si llamamos a la amplitud de xOz, y b la de yOw, observamos
que 2a +2b es la amplitud del ángulo xOx' = 180º, es un ángulo plano. Luego zOw mide a + b = 90º.
Aplicación en triángulos
Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista
de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al
triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.
Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las
bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (A,B) y (A,C). Como
O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad,
es equidistante de (A,C) y (B,C), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser
equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia
común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.
Propiedades en un triángulo inscrito
Considere el triángulo A,B,C y la circunferencia circunscrita. La mediatriz M,N, del lado B,C corta el arco
B,M,C en su punto medio. Como el ángulo inscrito B,A,C subtiende dicho arco, los ángulos B,A,M y
M,A,C son iguales y la recta A,M resulta ser la bisectriz del ángulo B,A,C. Las rectas A,N y A,M son
ortogonales, porque el lado M,N del triángulo A,M,N es diámetro de la circunferencia y el vértice A se
halla sobre dicha circunferencia. La recta A,N es bisectriz del ángulo exterior al triángulo A,B,C en el
vértice A.
Por lo anteriormente expuesto: La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo
opuesto se intersecan sobre la circunferencia circunscrita
Este hecho se usa en la discusión de la circunferencia de los nueve puntos.
Véase también
Teorema de la bisectriz
Mediatriz
Enlaces externos
Bisectriz de un ángulo, en wikiEducared
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CircunferenciaLa circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, cuya definición más usual es:
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de
un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad
constante llamadaradio.
A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta
formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que
pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La
circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los
puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del
círculo cuya superficie contiene.
Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales.
También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica,
o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia
unidad o circunferencia goniométrica.1 2 3 4 5
Contenido
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1 Elementos de la circunferencia
2 Posiciones relativas
o 2.1 La circunferencia y un punto
o 2.2 La circunferencia y la recta
o 2.3 Dos circunferencias
3 Ángulos en una circunferencia
4 Longitud de la circunferencia
o 4.1 Área del círculo delimitado por una circunferencia
5 Ecuaciones de la circunferencia
o 5.1 Ecuación en coordenadas cartesianas
o 5.2 Ecuación vectorial de la circunferencia
o 5.3 Ecuación en coordenadas polares
o 5.4 Ecuación en coordenadas paramétricas
6 Circunferencia en topología
7 Circunferencia en un plano de ejes de referencia no ortogonales
o 7.1 Construcción de una circunferencia
8 Otras propiedades
9 Véase también
10 Referencias
11 Enlaces externos
[editar]Elementos de la circunferencia
Secantes, cuerdas y tangentes.
La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
Radio , el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;
Diámetro , el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el
centro);
Cuerda , el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son
los diámetros)
Recta Secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
Recta Tangente o simplemente Tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;
Arco , el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
[editar]Posiciones relativas
[editar]La circunferencia y un punto
Un punto en el plano puede ser:
Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.
[editar]La circunferencia y la recta
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor
que la longitud del radio.
Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a
la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el
punto de tangencia con el centro.
Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del
centro a la recta es menor a la longitud del radio.Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
Segmento circular, es el conjunto de puntos de la región circular comprendida entre una cuerda y el
arco correspondiente
[editar]Dos circunferencias
Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:
Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la
suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1)
Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son
exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No
importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)
Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma
de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden
cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre
sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)
Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son
interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto
de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)
Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor
que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener
mayor radio que la otra.
Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto
radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor
radio que la otra. (Figura 5)
Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos
puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.
[editar]Ángulos en una circunferencia
Ángulos en la circunferencia.
Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.
Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del
ángulo exterior que limita dicha base. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una
cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que
abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia
[editar]Longitud de la circunferencia
La longitud de una circunferencia es:
donde es la longitud del radio.
Pues (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la
circunferencia y el diámetro:
[editar]Área del círculo delimitado por una circunferencia
Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado.
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
[editar]Ecuaciones de la circunferencia
[editar]Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con
centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que
satisfacen la ecuación
.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se
simplifica al
.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad,
es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o
circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,
se deduce:
resultando:
Si conocemos los puntos extremos de
un diámetro: ,
la ecuación de la circunferencia es:
[editar]Ecuación vectorial de la
circunferencia
La circunferencia con centro en el
origen y radio R, tiene por
ecuación vectorial:
.
Donde es el parámetro de la
curva, además cabe destacar
que . Se puede
deducir fácilmente desde la
ecuación cartesiana, ya que la
componente X y la componente Y,
al cuadrado y sumadas deben dar
por resultado el radio de la
circunferencia al cuadrado. En el
espacio esta misma ecuación da
como resultado un cilindro, dejando
el parámetro Z libre.
[editar]Ecuación en
coordenadas polares
Cuando la circunferencia tiene
centro en el origen y el radio es c,
se describe en coordenadas
polares como
Cuando el centro no está en el
origen, sino en el punto
y el radio es , la ecuación se
transforma en:
[editar]Ecuación en
coordenadas
paramétricas
La circunferencia con
centro en (a, b) y
radio c se parametriza con
funciones trigonométricas
como:
y con funciones
racionales como
[
editar]Circunferencia en topología
En topología, se
denomina
circunferencia a
cualquier curva
cerrada que
sea homeomorfa
a la circunferencia
usual de la
geometría (es
decir, la esfera 1–
dimensional). Se
la puede definir
como el espacio
cociente determin
ado al identificar
los dos extremos
de
un intervalo cerra
do.6
Los geómetras
llaman 3-esfera a
la superficie de
la esfera. Los
topólogos se
refieren a ella
como 2-esfera y
la indican
como .7
[
editar]Circunferencia en un plano de ejes de referencia no ortogonales
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Plano oblicuo,
Construcción
de la
Circunferencia.
Para construir
una
circunferencia en
el plano oblicuo,
no se puede usar
la misma
ecuación que se
usa en un plano
ortogonal, por lo
que es necesario
introducir algunos
conceptos que
nos ayudarán a
entender la
construcción de
tal ecuación.
Tales conceptos
son los
de trigonometría.
Se debe tener
presente que en
este plano una
ecuación de
circunferencia se
llamará así si se
ve como tal. Es
por esta razón
que se descarta
la ecuación
anterior, porque
en el plano
oblicuo no
parecerá
circunferencia,
sino una elipse.
[
editar]Constru
cción de una
circunferenci
a
Usaremos el
mismo
razonamiento
usado
anteriormente y
nos guiaremos
por la figura
adjunta. Dijimos
que en el plano
ortogonal, la
ecuación de la
circunferencia
cumplía con que
todos los puntos
de la función
equidistan de un
punto
llamado centro
de la
circunferencia.
En este plano, las
distancias siguen
siendo las
mismas, no es un
plano en
perspectiva, sólo
es un plano
inclinado, por lo
tanto el Teorema
de Pitágoras
sigue siendo
válido si se aplica
de manera
correcta.
Razonamient
o
la distancia
entre los
puntos y
la distancia
entre los
puntos y ,
es
decir
la distancia
entre los
puntos y , es
decir,
.
Por el Teorema
del
coseno tenemos
que la distancia
entre los
puntos y
viene dada por la
siguiente relación
luego,
Deben
destacarse dos
cosas en este
procedimiento
Se prescinde
del uso del
valor
absoluto en
la raíz. Es un
número
positivo
porque está
al cuadrado
Nótese que
si definimos
las
pendientes
negativas
para las
rectas que
intersecan al
eje con un
ángulo mayor
que , se
cumple esta
relación. Si el
ángulo de
intersección
con el eje
es menor, el
signo menos
que
acompaña
al será
positivo. (se
puede
demostrar)
Conlcluímos
entonces que en
esta relación no
hay pérdida de
generalidad.
Con esta relación,
podemos
encontrar la
ecuación de una
circunferencia,
basándonos en el
hecho de que la
distancia desde el
centro, hasta
cualquier parte de
la frontera o
borde será la
misma. Fijaremos
un centro con las
coordenadas
cartesianas
(fijo). Así,
si e varían,
todo el conjunto
de pares
para cada e
reales, formarán
la frontera de
nuestra
circunferencia de
centro .
Luego, si la
distancia
constante del
centro a la
cirunferencia la
llamamos ,
podemos decir
que será
nuestro radio de
circunferencia.
Entonces,
será la ecuación
de la
circunferencia en
un plano con un
ángulo de
inclinación .
Un caso particular
de esta ecuación
es
cuando .
En este caso
volvemos al plano
ortogonal y la
ecuación de la
circunferencia es
la misma que
habíamos
demostrado. Se
puede decir
entonces, que la
ecuación de la
circunferenca en
el plano ortogonal
es un caso
particular de éste.
El área es la
misma en este
caso, ya que el
área sólo está en
función del radio
y no del ángulo
de inclinación del
plano al que
pertenece.
[editar]Otras propiedades
Potencia de
un punto: si
dos cuerdas
se
intersecan, el
producto de
los
segmentos
formados en
la una, es
igual al
producto de
los
segmentos
formados en
la otra
cuerda,
.
El
segundo teor
ema de
Tales muestr
a que si los
tres vértices
de un
triángulo
están sobre
una
circunferenci
a dada,
siendo uno
de sus lados
el diámetro
de la
circunferenci
a, entonces,
el ángulo
opuesto a
éste lado es
un ángulo
recto (véase
arco capaz).
Triángulos
rectángulos
inscritos en una
semicircunferen
cia.
Dados tres
puntos
cualesquiera
no alineados,
existe una
única
circunferenci
a que
contiene a
estos tres
puntos (esta
circunferenci
a
estará circun
scrita al
triángulo
definido por
estos
puntos).
Dados tres
puntos no
alineados en
el plano
cartesiano
, la ecuación
de la
circunferenci
a está dada
de forma
simple por la
determinante
matricial:
[
editar]Véase también
Círculo
REFERENCIA RÁPIDA DE FÓRMULAS GEOMÉTRICAS
FORMA
ELEMENTOS
FÓRMULA
PERÍMETRO
FÓRMULA
ÁREA
TRIÁNGULO
b: Base
h: Altura
l: Lado1
m: Lado2
n: Lado3
P = l + m + n
A =
b x h
2
CUADRADO
a: Lado
P = 4a
A = a2
RECTÁNGULO
b: Base
h: Altura
P = 2b + 2h
A = b x h
ROMBO
a: Lado
d: Diagonal menor
D: Diagonal mayor
P = 4a
A =
D x d
2
ROMBOIDE
b: Base
h: Altura
P = 2b + 2h
A = b x h
TRAPECIO
l: Lado1
m: Lado2
n: Lado3
o: Lado4
b: Base menor
B: Base mayor
h: Altura
P = l + m + n + o
A =
h ( B + b )
2
PENTÁGONO
a: Apotema
b: Base
P = 5 b
A =
P x a
2
HEXÁGONO
a: Apotema
b: Base
P = 6 b
A =
P x a
2
CÍRCULO
¶: 3.1416
d: Diámetro
r: Radio
P = d x ¶
A = ¶ x r2
ELIPSE
¶: 3.1416
s: Semieje menor
S: Semieje mayor
A = ¶ x S x s
POLÍGONO
IRREGULAR
l: Lado1
m: Lado2
n: Lado3
o: Lado4...
P = l + m + n + o ...
Fórmulas de la circunferencia
1.Longitudes
Longitud de una circunferencia
Longitud de un arco de circunferencia
2.Áreas
Área del círculo
Área del sector circular
Área de la corona circular
Área del trapecio circular
Área del segmento circular
Área del
segmento circular
AB = Área del
sector circular AOB
− Área del
triángulo AOB
Área de la lúnula
3.Ángulos en la circunferencia
Central
Inscrito
Semiinscrito
Interior
Exterior
Frtdtrffffffffffffff
fffffffffffffffgggggggg
ggggrr……………………
…….
Ejercicios resueltos
El máximo común
divisor de dos números
de Fibonacci es otro
número de Fibonacci.
Más específicamente
Esto significa que y son primos relativos y que divide exactamente a
Los números de Fibonacci
aparecen al sumar las
diagonales del triángulo de
Pascal. Es decir que para
cualquier
y más aún
Si , tal que
entonces también es un número primo, con
una única excepción,
número primo, pero 4 no lo es.
Buscar
La suma infinita de los términos de la
sucesión es exactamente
La suma de diez números Fibonacci
consecutivos es siempre 11 veces superior al
séptimo número de la serie.
El último dígito de cada número se repite
periódicamente cada 60 números. Los dos
últimos, cada 300; a partir de ahí, se repiten
cada
[editar]Generalización
Gráfica de la sucesión de Fibonacci extendida al campo de
los números reales.
El concepto fundamental de la sucesión de
Fibonacci es que cada elemento es la suma de
los dos anteriores. En este sentido la sucesión
puede expandirse al conjunto de los
enteros como
de manera que la suma de cualesquiera dos
números consecutivos es el inmediato siguiente.
Para poder definir los índices negativos de la
sucesión, se despeja
donde se obtiene
De esta manera,
y si
La sucesión se puede expandir al campo de
los números reales tomando la parte real de la fórmula
explícita (ecuación (6
real. La función resultante
tiene las mismas características que la sucesión de
Fibonacci:
cualquier número real
Una sucesión de Fibonacci generalizada
sucesión
(9)
Es decir, cada elemento de una sucesión de Fibonacci
generalizada es la suma de los dos anteriores, pero no
necesariamente comienza en 0 y 1.
Una sucesión de fibonacci generalizada muy importante, es
la formada por las potencias del número áureo.
.
La importancia de esta sucesión reside en el hecho de que se
puede expandir directamente al conjunto de los números reales.
.
...y al de los complejos.
.
Una característica notable es que, si
de Fibonacci generalizada, entonces
Por ejemplo, la ecuación (
Esto significa que cualquier cálculo sobre una sucesión de Fibonacci generalizada
se puede efectuar usando números de Fibonacci.
[editar]Sucesión de Lucas
Gráfica de la sucesión de Lucas extendida al campo de los números reales.
Un ejemplo de sucesión de Fibonacci generalizada es la
descrita por las ecuaciones
La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y
comparte muchas de sus características. Algunas propiedades interesantes
incluyen:
La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se aproxima
al número áureo. Es decir
La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es
La suma de los primeros
posición
Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de
números de Fibonacci mediante la igualdad
Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de
números de Lucas mediante la igualdad
[editar]Algoritmos de cálculo
Calculando usando el algoritmo
Para calcular el -ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci existen varios
definición misma puede emplearse como uno, aquí expresado en
Usando técnicas de análisis de algoritmos
algoritmo 1 requiere efectuar
sucesión crece tan rápido
este algoritmo es muy lento. Por ejemplo, para calcular
20.365.011.073 sumas.
Para evitar hacer tantas cuentas, es común recurrir a una calculadora y utilizar la ecuación (
embargo, dado que
aproximación de y obteniendo en consecuencia un resultado aproximado pero incorrecto. Por
ejemplo, si se usa una calculadora de 10 dígitos, entonces la fórmula anterior arroja como
resultado
es
Un método más práctico evitaría calcular las mismas sumas más de una vez. Considerando un
par de números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, el siguiente par de la sucesión
es , de esta manera se divisa un algoritmo donde sólo se requiere considerar dos números
consecutivos de la sucesión de Fibonacci en cada paso. Este método es el que usaríamos normalmente
para hacer el cálculo a lápiz y papel. El algoritmo se expresa en pseudocódigo como:
Esta versión requiere efectuar sólo
considerablemente más rápido que el algoritmo
50 sumas para calcular
Calculando usando el algoritmo
Un algoritmo todavía más rápido se sigue partiendo de la ecuación (
es posible calcular
De esta manera se divisa el algoritmo de tipo
aproximadamente,
cuatro valores de cada matriz dado que cada una tiene la forma
De esta manera, cada matriz queda completamente representada por los valores
calcular como
Por lo tanto el algoritmo queda como sigue:
A pesar de lo engorroso que parezca, este algoritmo permite reducir enormemente el número de operaciones que se
necesitan para calcular números de Fibonacci muy grandes. Por ejemplo, para calcular
573.147.844.013.817.084.100 sumas del algoritmo
sólo 9 multiplicaciones matriciales.
[editar]La sucesión de Fibonacci en la cultura popular
Sucesión de Fibonacci in art,
Jake uno de los protagonistas de la serie
En la pág. 61 de la novela de
ocho números de Fibonacci (56.9.65808735), que funcionan como una pista dejada por el conservador del museo
del Louvre, Jacques Saunière.
En el álbum Lateralus
"Lateralus" siguen la Sucesión de Fibonacci del número 13 (número de pistas del disco):
1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,...
En la miniserie Taken
extraterrestres, en ejemplos como que sus naves tienen 5 tripulantes, sus manos 3 dedos y un pulgar, 1597
avistamientos ovnis en año anterior, se siguieron a 55 parejas para descubrir la híbrida humano-extraterrestre
Allie, y que finalmente el número de abducidos era de 46368. Incidentalmente se habla en de un hombre que fue
abducido 13 veces. 1, 3, 5, 13, 55, 1597, 46368, todos números Fibonacci.
En el filme de Darren Aronofsky
en números en la cual el personaje Max Cohen relaciona esta última teoría con la secuencia de Fibonacci llegando
en conclusión que todo esta basado en la ley del orden y el caos.
En un lateral de la cúpula de la antigua sinagoga ahora convertida en el Museo Nazionale del Cinema, más
conocida como Mole Antonelliana, en Torino (Italia), se puede observar una instalación luminosa de la sucesión de
números de Fibonacci.
El Dr. Walter Bishop de la serie de televisión
sus cajas de seguridad. Capítulo 10 de la primera temporada.
En el videojuego de
Fibonacci para poder resolverlo.
En el juego móvil Doom RPG hay una habitación secreta que requiere de los primeros 7 dígitos de la sucesión de
Fibonacci (11235813) para poder desbloquearla.
En el videojuego de
sucesión de Fibonacci.
En Criminal Minds un criminal deja una secuencia Fibonacci como pista para encontrar a sus próximas víctimas
cautivas.
En la serie touch del canal Fox, es mencionada cuando se explica la interconexión que hay entre todas y cada una
de las personas en el mundo.
[editar]La sucesión de Fibonacci en la naturaleza
Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que
un zángano (1), el macho de la abeja, no tiene padre, pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los
padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos
(1, 1, 2, 3, 5), ocho trastatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.
[editar]Dígitos en la sucesión de Fibonacci
Una de las curiosidades de dicha serie, son los dígitos de sus elementos:
Empezando en 1 dígito y "terminando" en infinitos, cada valor de dígito es compartido por 4,5, o 6 números de la
serie. Siendo 6 solo en el caso de 1 dígito.
En los elementos de posición n, n^10, n^100,..., El numero de dígitos aumenta en el mismo orden. Dando
múltiples distintos para cada n