Post on 26-Jun-2015
Diseño de Experimentos
Presenta:
Reyna Karem Domínguez Hernández
DISEÑO 2K CON PUNTOS CENTRALES
Domínguez Karem
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ORIZABA
División de Estudios de Posgrado E Investigación
Maestría en ingeniería industrial
DISEÑO 2K
CON PUNTOS CENTRALES
Planteamiento del problema
Se utiliza una aleación de níquel y titanio en la fabricación de componentes para turbinas de aviones. La formación de grietas es un problema potencialmente grave en la parte final, ya que puede dar por resultado una falla irreversible.
Se realiza una prueba en las instalaciones del fabricante de las partes a fin de determinar el efecto de cuatro factores sobre las grietas. Los cuatro factores son: Temperatura de vertido (A), Contenido de titanio (B), Método de tratamiento térmico (C) y cantidad empleada de refinador de textura (D). Se corren dos réplicas de un diseño 24, y se mide la longitud de las grietas (en mm) inducidas en una probeta sometida a una prueba estándar. Los datos se muestran en la tabla 1. Suponga que se ejecutan seis réplicas al centro para comprobar el supuesto de linealidad (0, 0, 0, 0) y se observan las siguientes respuestas: 73, 75, 71, 69, 67 y 76.
Tabla 1. Resultados del experimento
Combinación de
Tratamientos
réplicasTotal
I II-1 1.90 1.93 3.83a 1.74 1.78 3.52b 1.81 1.85 3.66
ab 1.83 1.80 3.63c 1.77 1.78 3.55
ac 1.81 1.80 3.61bc 1.88 1.82 3.70
abc 1.73 1.70 3.43d 1.98 1.95 3.93
ad 1.72 1.76 3.48bd 1.87 1.83 3.70
abd 1.85 1.86 3.71cd 1.99 1.90 3.89
acd 1.79 1.75 3.54bdc 1.87 1.84 3.71
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Maestría en ingeniería industrial
abcd 1.80 1.80 3.60- 1.76 1.75 3.51- 1.71 1.69 3.40- 1.67 1.76 3.43
Fuente: Diseño y análisis de experimentos, Montgomery, Douglas.
Se desea conocer el nivel ideal de cada factor para minimizar la longitud de las grietas en los componentes de las turbinas, para lo cual los expertos determinaron los siguientes niveles:
Factor Nivel Bajo Nivel AltoTemperatura de vertido 750 °C 900 °CContenido de titanio Ti-5Al-2.5Sn (Alpha) Ti-8Al-1Mo-1V (Near-Alpha)Método de tratamiento térmico
A B
Cantidad de refinador 20 gr/cm2 45 gr/cm2
Variable de respuesta: longitud de las grietas en milímetros
Unidad experimental: 1 componente para turbinas
Se determinó realizar un diseño 2K, con 4 factores y dos niveles cada uno. Para lo cual se realizó la tabla de contrastes (tabla2) y posteriormente se calcularon las sumas de cuadrados de cada factor, así como el total.
Tabla 2. Contrastes
CONTRASTES
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A - (1) + a - b + ab - c + ac - bc + abc - d + ad - bd + abd - cd + acd - bcd + abcdB - (1) - a + b + ab - c - ac + bc + abc - d - ad + bd + abd - cd - acd + bcd + abcd
AB + (1) - a - b + ab + c - ac - bc + abc + d - ad - bd + abd + cd - acd - bcd + abcdC - (1) - a - b - ab + c + ac + bc + abc - d - ad - bd - abd + cd + acd + bcd + abcd
AC + (1) - a + b - ab - c + ac - bc + abc + d - ad + bd - abd - cd + acd - bcd + abcdBC + (1) + a - b - ab - c - ac + bc + abc + d + ad - bd - abd - cd - acd + bcd + abcd
ABC - (1) + a + b - ab + c - ac - bc + abc - d + ad + bd - abd + cd - acd - bcd + abcdD - (1) - a - b - ab - c - ac - bc - abc + d + ad + bd + abd + cd + acd + bcd + abcd
AD + (1) - a + b - ab + c - ac + bc - abc - d + ad - bd + abd - cd + acd - bcd + abcdBD + (1) + a - b - ab + c + ac - bc - abc - d - ad + bd + abd - cd - acd + bcd + abcd
ABD - (1) + a + b - ab - c + ac + bc - abc + d - ad - bd + abd + cd - acd - bcd + abcdCD + (1) + a + b + ab - c - ac - bc - abc - d - ad - bd - abd + cd + acd + bcd + abcd
ACD - (1) + a - b + ab + c - ac + bc - abc + d - ad + bd - abd - cd + acd - bcd + abcdBCD - (1) - a + b + ab + c + ac - bc - abc + d + ad - bd - abd - cd - acd + bcd + abcd
ABCD + (1) - a - b + ab - c + ac + bc - abc - d + ad + bd - abd + cd - acd - bcd + abcdFuente: tabla generada por los integrantes del equipo.
Así con la tabla de contrastes construida, se procedió a obtener la suma de cuadrados para cada factor mediante ecuación 1 y posteriormente la tabla ANOVA como se muestra. Los grados de libertad para el error son 2k(n-1) y 2k-1 para el total, siendo n=2.
……………………………………… .. Ec .1
Tabla 3. ANOVA
FactorSuma de
CuadradosGrados
de Cuadrad
o Fcalculada F Tablas P value Decisión
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SCAB…K=(ContrasteAB…K )2
n2k
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libertad MediaSSA 0.0657 1 0.0657 19.289 7.95 0.00023
2Se rechaza
SSB 0.0014 1 0.0014 0.405 7.95 0.531291
No se rechaza
SSAB 0.0132 1 0.0132 3.876 7.95 0.061702
No se rechaza
SSC 0.0058 1 0.0058 1.696 7.95 0.206239
No se rechaza
SSAC 0.0004 1 0.0004 0.111 7.95 0.742152
No se rechaza
SSBC 0.0003 1 0.0003 0.074 7.95 0.787701
No se rechaza
SSABC 0.0215 1 0.0215 6.320 7.95 0.019753
No se rechaza
SSD 0.0124 1 0.0124 3.641 7.95 0.069498
No se rechaza
SSAD 0.0038 1 0.0038 1.124 7.95 0.30059 No se rechazaSSBD 0.0000 1 0.0000 0.008 7.95 0.92842 No se rechaza
SSABD 0.0176 1 0.0176 5.161 7.95 0.033235
No se rechaza
SSCD 0.0023 1 0.0023 0.669 7.95 0.422237
No se rechaza
SSACD 0.0007 1 0.0007 0.206 7.95 0.654037
No se rechaza
SSBCD 0.0007 1 0.0007 0.206 7.95 0.654037
No se rechaza
SSABCD 0.0048 1 0.0048 1.395ERROR 0.0749 22 0.0034TOTAL 0.2254 37
Fuente: tabla generada por los integrantes del equipo.
Después de la construcción de la tabla ANOVA, utilizando un =0.01 podemos observar que el factor A resulta ser significativo, por lo que para poder llegar a una mejor ANOVA, se eliminaron los factores no significativos que son: B, AB, C, AC, BC, ABC, D, AD, BD, ABD, CD, ACD, BCD y ABCD.
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Ahora lo que sucede es que el error se parte en componentes de falta de ajuste y error puro, que se obtienen de las repeticiones en el centro y en los puntos factoriales.
Tabla 4. ANOVA con curvatura
FactorSuma de
Cuadrados
Grados de
libertad
CuadradoMedia Fcalculada F Tablas P value Decisión
SSA 0.0657 1 0.0657 21.9896 7.42 0.00004 Se rechaza
Curvatura 0.0552 1 0.0552 18.4590 7.42 0.00013 Se rechaza
ERROR 0.1046 35 0.0030
TOTAL 0.2254 37Fuente: tabla generada por los integrantes del equipo.
Ahora con la nueva tabla ANOVA podemos observar que la falta de ajuste es significativa lo que nos lleva a tener un fuerte indicio de curvatura, es decir, que no se cumple con el supuesto de linealidad.
Para comprobar lo anterior se utilizó Minitab 15 en la solución al problema, llegando a los siguientes resultados:
Imagen 1. Ajuste factorial
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Fuente: Resultados arrojados por Minitab 15
Imagen 2. Ajuste factorial
Fuente: Resultados arrojados por Minitab 15
De los resultados obtenidos con Minitab, en la primera imagen de efectos y coeficientes podemos observar que los factores A, B y D y las interacciones AB, ABC y ABD resultan ser significativos a un nivel de significancia de 0.01.
Así mismo, en la tabla ANOVA (imagen 2), los efectos principales y la curvatura resultan ser significativos al igual que nuestro cálculo en Excel. Por lo que para hacer más gráfico lo anterior se presenta un gráfico de Pareto que nos proporciona Minitab.
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Imagen 3.Gráfica de Pareto
Fuente: Resultados arrojados por Minitab 15
En la gráfica de Pareto podemos corroborar que el efecto del factor A es muy dominante y se tienen indicios de las interacciones ABC, ABD, AB y el factor D, como se puede ver en la imagen 1 de efectos factoriales donde el valor de P para el factor D es menor que nuestro alfa según la tabla de coeficientes por lo tanto si es significativo.
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Imagen 4.Gráficas de residuos
Fuente: Resultados arrojados por Minitab 15
De acuerdo con la primera gráfica que nos proporciona Minitab (grafica de la probabilidad normal) podemos decir que los datos no se ajustan a la línea recta completamente pero sí lo suficiente para decir que cumple con el supuesto de normalidad. En la segunda gráfica de residuos vs ajustes notamos falta de aleatoriedad ya que los datos de la gráfica de residuos vs ajustes se presenta el “efecto espejo”. Así mismo en el gráfica vs orden se puede notar cierta ciclicidad, por lo que podemos decir que los datos carecen ligeramente de homocedasticidad.
Para seleccionar el mejor nivel de cada factor que minimice la longitud de las grietas en los componentes de las turbinas, se analizaron las gráficas de efectos principales arrojadas por Minitab.
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Imagen 5.Gráficas de efectos principales
Fuente: Resultados arrojados por Minitab 15
Imagen 5.Gráficas de efectos principales
Fuente: Resultados arrojados por Minitab 15
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Así, con la ayuda de las gráficas anteriores, podemos decir que si se desea minimizar la longitud de las grietas en los componentes antes mencionados, la mejor respuesta se obtiene con el nivel bajo de la cantidad de refinador (20 gr/cm2), nivel alto de contenido de titanio (Ti-8Al-1Mo-1V (Near-Alpha)), nivel alto del método de tratamiento (B) y nivel alto de la temperatura (900°C).
Conclusión:
Cuando un experimento factorial se lleva a cabo, los puntos centrales deben considerarse de las condiciones actuales de operación, de modo que las respuestas observadas en los puntos centrales correspondan con las respuestas observadas históricamente. Agregar puntos centrales a un diseño de experimentos permite probar el supuesto de linealidad, y como en este caso, identificar factores que son significativos para el diseño o proceso.
Referencias bibliográficas
Diseño y Análisis de ExperimentosDouglas C. MontgomeryEd. IberoamericaPágs. 271-275.
Análisis y Diseño de Experimentos Humberto Gutierrez Pulido y Ramón de la Vara SalazarEd. Mc Graw-hillPágs. 265-267
Apuntes de Diseños EspecialesInstituto Tecnológico de OrizabaDr. Mario L. Arrioja Rodríguez
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