Post on 19-Jul-2015
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
O O O
rr
B
A
t
T
EXTERIORES TANGENTES
POSICIONES RELATIVAS ENTRE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA
SECANTES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
O1
O1
O1 O1
O2
O2
O2 O1O2 O
O1
O2
TT
EXTERIORES INTERIORES
CONCENTRICAS TANGENTES EXTERIORES
TANGENTES INTERIORES
POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS
SECANTES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
o
r (recta TANGENTE)
o1
o2
T
T
Si dos circunferencias son tangentes, el punto T de tangencia es un punto que comparten ambas y está en la
recta que une sus centros
Si una recta es tangente a una circun-ferencia, el punto de tangencia T
es el pie de la perpendicular trazada por el centro O a la recta tangente
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
El radio perpendicular a una cuerda (r)la divide en dos partes iguales, así como
el arco que ésta subtiende.De ahí deducimos que
LA MEDIATRIZ DE UNA CUERDA PASAPOR EL CENTRO
O
r
B
A
o
Si una recta es tangente a una circun-ferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a
la tangente
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
T (Punto de tangencia)
RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA
o
T (Punto de tangencia)
1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
1. Trazamos el radio OT de la circunferencia, es decir, del centro al punto de tangencia
o
T (Punto de tangencia)
1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
2. Trazamos la perpendicular al radio OTdesde el punto T. Dicha recta es la tangente la circunferencia dada
RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA
1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
o
r (recta TANGENTE)
Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA
T (Punto de tangencia)
RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
d
O
1. Trazamos una perpendiculardel centro O a la recta d,
prolongándola hasta cortara la circunferencia en dos
puntos, T1 y T2.
RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
d
O
T1
T1
2. T1 y T2 son los puntos de tangencia de las dos soluciones que buscamos,
las rectas t1 y t2, paralelas a d en los puntos T1 y T2
RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
d
O
T1
T1
TRAZADO DE LA TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO TDE ELLA, SIN CONOCER EL CENTRO DEL ARCO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
T
TRAZADO DE LA TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO TDE ELLA, SIN CONOCER EL CENTRO DEL ARCO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
T
A
B
1. Trazamos desde T, dos arcosiguales con radio arbitrario
consecutivos, TA y TB
TRAZADO DE LA TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO TDE ELLA, SIN CONOCER EL CENTRO DEL ARCO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
T
A
B
2. Con centro en T y radio TBtrazamos un arco
TB
TRAZADO DE LA TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO TDE ELLA, SIN CONOCER EL CENTRO DEL ARCO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
T
A
B
3. Trazamos el arco AB, quecorta al anterior en C
TB
C
TRAZADO DE LA TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO TDE ELLA, SIN CONOCER EL CENTRO DEL ARCO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
T
t
A
B
4. Unimos C con T y obtenemos la recta tangente que buscamos
TB
C
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIADESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
OP
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIADESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
MOP
M
r1
1. Trazamos el segmento OP y su mediatriz
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIADESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
MOP
M
T1
T2
2. Trazamos la circunferencia de radio MO (=MP), que cortará a lacircunferencia dada en los puntos
T1 y T2, puntos de tangenciade las rectas que buscamos
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIADESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
MOP
M
T1
T2
r1
t1
t2
r2
3. Uniendo T1 y T2 con P, obtenemoslas rectas tangentes buscadas.
Para comprobar que están trazadascorrectamente, trazamos los
radios r1 y r2, que deben cortara t1 y t2 perpendicularmente.
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
O1
O2
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
1.Se traza desde O1 una circunferencia de radio igual a la diferencia entre O1 - O2
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
MO1
O2
2. Se unen O1 y O2 mediante una recta y se le calcula la mediatriz.
A continuación se traza una circunferencia con centro en M y radio M-O1,
que corta a la trazada anteriormente en A y B.
B
O1r1-r2
r2
r1
r2
A
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
A
B
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
De esta manera estamos simplificando el problema al caso de tangente
entre punto y circunferencia (el punto sería O2, y la circunferencia
la de radio O1 menos O2)
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
A
B
O1
O2
De esta manera estamos simplificando el problema al caso de tangente
entre punto y circunferencia (el punto sería O2, y la circunferencia
la de radio O1 menos O2)
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
A
B
T1
T2
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
3. Una vez realizadas estas dos tangentes provisionales, se prolongan los radios O1A y O1B, hasta que corten a la circunferencia dada de centro O1. Estos dos puntos serán T1 y T2, los puntos de tangencia de ésta
circunferencia.
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
A
B
T1
T2
T3
t1
t2
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
4. Se traza el radio paralelo a O1-T1 desde O2, así obtenemos T3 y por lo tanto la
primera solución, la recta tangente t1
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
A
B
T1
T2
T3
t1
t2T4
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
5. Se traza el radio paralelo a O1-T2 desde O2, así obtenemos T4 y por lo tanto la
segunda solución, la recta tangente t2
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
O1
O2
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
O1
O2
1. Este caso es similar al anterior. también se resuelve simplificando el problema al de
tangencia entre un punto y una circunferencia, pero en este caso en lugar de restar los radios de las circunferencias, los sumamos. De esta manera, trazamos
con centro O1 una circunferencia auxiliar O3 de radio O1-O2
r1+r2
r1 r2
=O3
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
O1
O2
2. Trazamos la mediatriz de O1(O3)-O2,y trazamos la circunferencia MO2, que corta
a la circunferencia O3 en los puntos A y B
A
B
r1+r2
r1 r2
=O3
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
O1
O2
A
B
r1+r2
r1 r2
=O3
De esta manera estamos simplificando el problema al caso de tangente
entre punto y circunferencia (el punto sería O2, y la circunferencia
la de radio O1 más O2)
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
O1
A
B
O2
r1+r2
r1 r2
T1
T2
3. Unimos el centro O1 con A y con B, y dichas rectas cortan a la circunferencia O1
en los puntos de tangencia T1 y T2.
=O3
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
O1
A
B
O2
r1+r2
r1 r2
T1
T2
T3
t1
4. Si trazamos una paralela a O1T1 desde O2, pero en este caso por el lado contrario
del centro O2, obtendremos el punto de tangencia T3
=O3
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
O1 =O3
A
B
O2
r1+r2
r1 r2
T1
T2
T3
T4t1
t2
5. Si trazamos una paralela a O1T2 desde O2, También por el lado contrario del centro O2, obtendremos el punto de tangencia T4, y
uniendo T2 y T4 obtendremos la rectatangente t2
TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
T
R
TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
T
R
TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
T
O1
O2
R
R
TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
T
O1
O2
R
R
R
R
TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
rT
P
TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
rT
P
TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
rT
P
o
TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
rT
P
o
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
P
R
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
P
R
R
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
R
R
P
O1 O2
r
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
R
R
P
O1
T1 T2
O2
R
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
P
O1
T1 T2
O2
R
R
R
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
rR
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
rR
R
R
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
O1
O2
O3
O4
rR
R
R
R
R
R
R
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
O1
T1
T8
T7
T6
T5T4
T3
T2
O2
O3
O4
rR
R
R
R
R
R
R
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
O1
T1
T8
T7
T6
T5T4
T3
T2
O2
O3
O4
rR
R
R
R
R
R
R
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s,DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
r
T
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s,DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
r
T O
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s,DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
r
T
O1
O2
O
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s,DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
r
T
O1
T1
T2
O2
O
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s,DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
r
T
O1
T1
T2
O2
O
b c
A
C
B
a
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN DOS A DOS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
b c
A
C
B
a
1.Se trazan las bisectrices tanto interiores como exteriores de los ángulos que se forman al cortarse las tres rectas
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN DOS A DOS
2.Las bisectrices interiores se cortan en el punto P (INCENTRO del triángulo que forman a, b y c), y las exterioresse cortan en E, D y F. Esos cuatro puntos son los centros de las cuatro soluciones
b c
A
P
E
F
D
C
B
a
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN DOS A DOS
3. LOS PUNTOS DE TANGENCIA se obtienen trazando desde P, E, D y F las perpendiculares a cada una de las rectas a, b y c
b c
A
P
E
F
D
C
B
a
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN DOS A DOS
4. Trazamos las circunferencias desde los centros hallados hasta los puntos de tangencia correspondientes
b c
A
P
E
F
D
C
B
a
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN DOS A DOS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOSDOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO
r
t
s
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOSDOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO
r
t
s
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOSDOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO
r
t
s
d
d
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOSDOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO
r
t
s
O
d
d
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOSDOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO
r
t
s
O
d
d
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOSDOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO
r
t
s
O
d
d
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADOS EL PUNTO DE TANGENCIA T Y EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
T
R
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADOS EL PUNTO DE TANGENCIA T Y EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
O
T
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADOS EL PUNTO DE TANGENCIA Y EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
O
O1
O2
T
R
R
T
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADOS EL PUNTO DE TANGENCIA T Y EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
O
O1
O2
T
R
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA TY QUE PASA POR UN PUNTO EXTERIOR P
O
P
T
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA TY QUE PASA POR UN PUNTO EXTERIOR P
O
P
T
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA TY QUE PASA POR UN PUNTO EXTERIOR P
O
P
T
o1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA TY QUE PASA POR UN PUNTO EXTERIOR P
O
P
T
o1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P,DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
O
P
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P,DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
Or
R+r
R
P
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P,DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
Or
R+r
R-r
R
P
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P,DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
Or
R+r
R
R-r
R o1
o2
o3
o4
P
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P,DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
Or
R+r
R
R-r
R o1
o2
o3
T1
T4
T3T2o4
P
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P,DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
O
P
r
R+r
R
R-r
R o1
o2
o3
T1
T4
T3T2o4
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P,DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
O
P
r
R+r
R
R-r
R o1
o2
o3
T1
T4
T3T2o4
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P,DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
O
P
r
R+r
R
R-r
R o1
o2
o3
T1
T4
T3T2o4
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P,DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
O
P
r
R+r
R
R-r
R o1
o2
o3
T1
T4
T3T2o4
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA RDADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
O
r
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA RDADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
R
O
r
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA RDADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
R
r
O
r
O1 O2
R+
r
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA RDADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
R
rr
R-r
O
O4O3
R+
r
O1 O2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA RDADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
R
rr
R-r
O
O4O3
T2T1
R+
r
O1 O2
T3T4
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA RDADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
R
rr
R+
r
R-r
O
O4O3
T3T4
T2T1O1 O2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r,DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA
O
r
T
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r,DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA
O
Pr
O
T
O
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r,DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA
T
rP
O1
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r,DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA
T
rP
O2
O1
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r,DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA
T
rP T1T2
O2
O1
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r,DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA
R
T
rP T1T2
O2
O1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESSe llama enlace o empalme, en los trazados
geométricos, a la unión de rectas con curvaso de curvas entre sí, efectuadas por medio de
su punto de tangencia. Este punto común es el que permite la transición
suave de unas a otras sin brusquedades de ningún tipo.
r T
T1O
s
O
O1
T1
T2
s
R
R+R1 R1
T
O1
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
s
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
s
Sabemos que el arco que buscamosserá tangente a r en T, por tanto su
centro estará en la perpendicular a r trazada desde T
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
O
s
También sabemos que el centro de un arco tangente a dos rectas que se cortan seencuentra en la bisectriz del ángulo
que dichas rectas forman
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
T1O
s
Para hallar el punto de tangencia en s,trazamos la perpendicular a s desde O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
T1O
s
Teniendo O, T y T1, podemostrazar el arco que enlaza r y s
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
T1O
s
Teniendo O, T y T1, podemostrazar el arco que enlaza r y s
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
R
r
s
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
R
r
s
El centro de un arco tangente a dos rectas que se cortan seencuentra en la bisectriz del ángulo
que dichas rectas forman
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
R
O
r
r
r
s
El arco de radio R será tangente a las rectasr y s en aquellos puntos donde dos de sus
radios sean perpendiculares a r y srespectivamente, por tanto el centro Oestará a distancia R de las dos rectas, es decir, en la unión de las paralelas
a r y s a la distancia R
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
R
T1
T2
O
r
s
Para calcular los puntos de tangencia, trazamos perpendiculares desde O a r y s
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
r
r
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
R
T1
T2
O
r
s
Una vez calculados los puntos de tangencia, podemos trazar el arco de enlace entre r y s
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
r
r
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
R
T1
T2
O
r
s
Una vez calculados los puntos de tangencia, podemos trazar el arco de enlace entre r y s
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
r
r
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
T1T1
T2T2
OO
r r
s s
En el problema anterior, si no conocemos el vérticedel ángulo entre r y s, trazando las paralelas
obtenemos el punto O
Si conocemos el vértice, basta con hallar la bisectrizdel ángulo y trazar una paralela a r o s a la distancia
R y obtendremos el centro O
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
r r
r
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
r
s
T
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
rd
d
s
T
V
Como ya sabemos, el centro de un arco tangente a dos rectas oblicuas entre sí se
encuentra en la bisectriz del ánguloque dichas rectas forman.
En el caso que no veamos el vérticede dicho ángulo, trazamos dos
paralelas a r y s respectivamente a una distancia d arbitraria.
Así conseguiremos un ángulo de vértice Vcuya bisectriz coincide con la de r y s
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
rd
d
s
T
V
Como ya sabemos, el centro de un arco tangente a dos rectas oblicuas entre sí se
encuentra en la bisectriz del ánguloque dichas rectas forman.
En el caso que no veamos el vérticede dicho ángulo, trazamos dos
paralelas a r y s respectivamente a una distancia d arbitraria.
Así conseguiremos un ángulo de vértice Vcuya bisectriz coincide con la de r y s
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
rd
d
s
T
OV
Para calcular el centro del arco que buscamos trazamos por T
una perpendicular a la bisectriz hallada anteriormente.
Donde dicha perpendicular corta a la bisectriz está el centro O
del arco que buscamos
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
rd
d
s
T
T1
OV
Trazando una perpendicular a s desde Oconseguimos el otro punto de tangencia T1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
rd
d
s
T
T1
OV
Trazamos el arco OT
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
rd
d
s
T
T1
OV
El enlace es la unión de r-arco-s
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
rd
d
s
T
T1
OV
El enlace es la unión de r-arco-s
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
s
R
R1
ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (EXTERIOR)
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
s
R
R
R1
ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (EXTERIOR)
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
O1
s
R
R
R+R1 R1
ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (EXTERIOR)
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
O1
T1
T2
s
R
R
R
R+R1 R1
ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (EXTERIOR)
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
O1
T1
T2
s
R
R
R+R1
ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (EXTERIOR)
R1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
O1
T1
T2
s
R
R
R+R1
ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (EXTERIOR)
R1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (INTERIOR)
Os
R
R1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (INTERIOR)
Os
R
R
R1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (INTERIOR)
Os
R
RR
-R1
O1
R1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (INTERIOR)
Os
R
RR
-R1
O1
T1
T2
R1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (INTERIOR)
Os
R1
R
RR
-R1
O1
T1
T2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (INTERIOR)
Os
R1
R
RR
-R1
O1
T1
T2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
T
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
O
T
P
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
O
T
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
O
T
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
O
T
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
O
T
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
TP
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
TP
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
T
O1
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
T
O1
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
T
O1
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
T
O1
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
T
ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO
T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
R
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
T
1ª SOLUCIÓN
ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO
T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
T
O1
R
1ª SOLUCIÓN
ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO
T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
T
T1
O1
R
1ª SOLUCIÓN
ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO
T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
T
T1
O1
R
1ª SOLUCIÓN
ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO
T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
T
T1
O1
R
1ª SOLUCIÓN
ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO
T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO
T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
O
T
R
2ª SOLUCIÓN
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO
T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
O
T
O2
R
2ª SOLUCIÓN
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO
T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
O
T
T2
O2
R
2ª SOLUCIÓN
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO
O2
O1
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO
O2
O1
O3
R
R1-
R
R2-R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO
O1
O3
T1
T2
R
R1-
R
R2-R
O2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO
O1
O3
T1
T2
R
R1-
R
R2-R
O2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO
O1
O3
T1
T2
R
R1-
R
R2-R
O2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO
O1
O3
T1
T2
R
R1-
R
R2-R
O2
O4
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO
O1
O3
O4
T1
T2
T4
T3
R
R1-
R
R2-R
O2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO
O1
O3
O4
T1
T2
T4
T3
R
R1-
R
R2-R
O2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO
O1
O3
O4
T1
T2
T4
T3
R
R1-
R
R2-R
O2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESUNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
CB
A
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESUNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
CB
A
7
1 2 3 4 5 7
6
5
4
3
2
1
6
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESUNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
CB
A
7
1 2 3 4 5 7
6
5
4
3
2
1
6
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESUNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
CB
A
7
1 2 3 4 5 6 7
6
5
4
3
2
1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESUNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
CB
A
7
1 2 3 4 5 7
6
5
4
3
2
1
6
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESUNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
CB
A
7
1 2 3 4 5 7
6
5
4
3
2
1
6
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESUNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
CB
A
7
1 2 3 4 5 7
6
5
4
3
2
1
6
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESUNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
CB
A
7
1 2 3 4 5 6 7
6
5
4
3
2
1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESUNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
CB
A
7
1 2 3 4 5 6 7
6
5
4
3
2
1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESUNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
CB
A
7
1 2 3 4 5 6 7
6
5
4
3
2
1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7 6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACESUNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE UNA CURVA CUALQUIERA
A
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
2 34
5
6
7
89
1011 12 13
1415
17
16
A
B
B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE UNA CURVA CUALQUIERA
A
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
2 34
5
6
7
89
1011 12 13
1415
17
16
A
B
B
O1 2 3 4 5 6 7
1/7
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
O1 2 3 4 5 6 7
1/7
2pr
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
1er PROCEDIMIENTO
O
B
A
O
B
r
A
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
1er PROCEDIMIENTO
Triángulo inscritoen la circunferenciaO
B
C
r
A
A
C B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
1er PROCEDIMIENTO
O
D
L3
B
C
r
Triángulo inscritoen la circunferencia
A
A
C B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
1er PROCEDIMIENTO
Cuadrado inscritoen la circunferenciaO
A
B
C
E
rD
L3L4
A
D
C
B
F
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
1er PROCEDIMIENTO
Cuadrado inscritoen la circunferenciaO
A
pr
B
C
E
F rD
L3L4
A
D
C
B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
1er PROCEDIMIENTO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
2º PROCEDIMIENTO
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
2º PROCEDIMIENTO
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
2º PROCEDIMIENTO
O
A
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
2º PROCEDIMIENTO
O
30º
B
A
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
2º PROCEDIMIENTO
O
B
R
R R R
30º
A
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
2º PROCEDIMIENTO
O
B C
A
R
R
pr
R R
30º
O
11
A
B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
O
1
A
B
2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
O
1
2
A
B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
O
1
2
3
A
B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
O
1
2
4
3
A
B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
O
1
2
4
3
A
B
pr/2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONESRECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.1. Trazamos el CUADRADO correspondiente
A
D
B
C
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
2. Trazamos las DIAGONALES del cuadrado
A
D
B
C
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
3. Trazamos dos perpendiculares por el centro del cuadrado desde la mitad de cada uno de los lados
A
D
B
C
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
4. Trazamos la BISECTRIZ del ángulo que forma el lado AB del cuadrado con la diagonal AC, que cortará en O1 a la mediatriz
de AB
A
D
B
C
O1
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
5. Dibujamos la circunferencia de centro O1
A
O1
T1 T2
T3
D
B
C
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
6. Una vez tenemos O1, ya podemos calcular el resto de centrosde circunferencias. Haciendo centro en el centro del cuadrado
trazamos una circunferencia que corte a la mediatriz de BC y DC enO2, O3 y O4
A
O1
O2
O3
O4
T1 T2
T3
D
B
C
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
7. Trazamos el resto de circunferencias
A
O1
O2
O3
O4
T1 T2
T3
D
B
C
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo
O1
O2
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
1. Trazamos las circunferencias concéntricas a las dadasaumentando sus radios 15 mm.
O1
O2 r2 + 15
r1 + 15
r2
r1
Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
2. Los puntos donde se cortan dichas circunferencias son loscentros de las circunferencias tangentes buscadas
O1
O4
O3
O2
Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
3. Unimos los centros de las circunferencias dadas conlos de las circunferencias tangentes, así obtenemos los
puntos de tangencia T1, T2, T3 y T4, fundamentales para trazar las circunferencias resultado
O1
O4
O3
T1 T2
T4
T3
O2
Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
4. Trazamos las circunferencias O1 y O2, tangentes a lascircunferencias dadas.
O1
O4
O3
O2
T1 T2
T4
T3
Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
1. Trazamos dos ejes perpendiculares y haciendo centro en la intersección deambos trazamos las dos circunferencias centrales concéntricas (14 y 23 mm.
de radios, ya que sus diámetros miden 28 y 46 respectivamente)
1423
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
2. Hallamos la situación de los centros de las circunferencias de los extremos, a 56 mm de distancia en el eje mayor
1423
56
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
2. Trazamos las circunferencias pequeñas ( 6mm. de radio) y los arcos decircunferencia de los extremos (12 mm. de radio).
12
6
56
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias
56
T1
T2
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias
56
T1
T3
T4
T2
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias
56
T1
T3
T4
T2
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias
56
T1 P
Q
T3
T4
T2
T5
T6
T7
T8
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias
56
T1 P
Q
T3
T4
T2
T5
T6
T7
T8
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias
56
T1 P
Q
T3
T4
T2
T5
T6
T7
T8
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
P
R 50
46
14
18
42
P
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R 9
P
R 50
46
14
18
42
P
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R 9
P
PT1
M1
R 50
46
14
18
42
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R 9
P
PT1
M1
R 50
46
14
18
42
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOST8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R 9
P
PT1
M1
R 50
46
14
18
42
R 27
R 23O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
23
50
27 50 -23 = 27
P
O
T2
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R 23
R 9
P
P
O1
T1
M1
R 50
46
14
18
42
R 27
R 5
0
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
23
50
27 50 -23 = 27
P
O
T2
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R 23
R 9
P
P
O
O1
T1
T2
T2
M1
R 50
46
14
18
42
R 27
R 5
0
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
R 23
23
50
27 50 -23 = 27
P
O
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R 23
R 9
P
P
O1
T1
T2
M1
R 50
46
14
18
42
R 27
R 5
0
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
T2
23
50
27 50 -23 = 27
P
O
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R 23
R 9
P
P
O1
T1
T2
M1
R 50
46
14
18
42
R 27
R 5
0
42
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R 23
R 9
P
P
O1
T1
T3
T2
M1
R 50
46
14
18
42
R 27
R 5
0
42
14
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R 23
R 9
P
P
O1
T1
T3
T2
M2
M1
R 50
46
14
18
42
R 27
R 5
0
42
14
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R 23
R 9
P
P
O1
T1
T3
T2
M2
M1
R 50
46
14
18
42
R 27
R 5
0
42
14
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS