Post on 08-Oct-2020
1
TAREA 1: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta: ________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ NIVELACIÓN DESPEJE DE FORMULAS 3 5
48
r mm
p
, Despejar para m
Multiplicamos ambos lados por 8p
8 3 54 (8 )
8
p r mm p
p
Nos queda como si 8p dividía y pasa a multiplicar
3 5 4 (8 )r m m p
3 5 32r m mp
Restamos a ambos lados (-5m)
3 5 ( 5 ) 32 ( 5 )r m m mp m
Queda como si el valor +5m pasa a restar como -5m 3 0 32 5r mp m
3 32 5r mp m
Factor común 3 (32 5)r m p
El factor (32p-5) pasa a dividir 3
(32 5)
rm
p
3
(32 5)
rm
p
VERIFICACIÓN Paso 1: Listamos las variables r, p y m Paso 2: asumimos valores que no sean ni -1, 0, 1 r=2, p=4, m=? Paso 3: calculamos “m”
3(3) 9 9
(32(4) 5) 128 5 123m
Paso 4: Sustituimos todos los valores en ecuación la original 3 5
48
r mm
p
93(3) 5
91234
8(4) 123
459
36123
8(4) 123
123 459
36123 123
32 123
115236123
32 1231
36 36
123 123
Con lo cual se confirma el despeje TAREA
a)5 2
4r pm
rm
, para m
2
b)5 2 3
78
p r k
pm
, para p
c)4 3 7
98
r mp r
p
, para m
3
d)4 3 7
115
r pm rp
pr
, para p
e)9 3 2
97
r k M
Mk
, para m
4
Factorice por tanteo simple dejando constancia de los factores de c, y las combinaciones ab Ejemplo
2 12 864x x Factorizamos
Elaboramos la tabla de opciones
Por los que nos queda ( 36)( 24)x x
Combinaciones -864 = -1*864 = -432*2 = -216*4 = -108*8 = -6*144
a) 2 10 2000x x
864 2
432 2
216 2
108 2
54 2
27 3
9 3
3 3
1
a b a-b
864 1 863
432 2 430
216 4 212
108 8 100
54 16 38
27 32 -5
9 96 -87
3 288 -285
24 36 -12
5
b) 2 81 1568x x
c) 2 11 900x x
d) 2 18 1768x x
e) 2 100 2304x x
6
PLANO CARTESIANO Es un medio para representar gráficamente pares ordenados en papel. Cada par ordenado representa un punto en el papel. Cada par ordenado generalmente en el plano cartesiano se representa así(x, y) A continuación un ejemplo
Características de un plano cartesiano Son las siguientes:
- Representan dos variables - Cada variable se representa por un eje
central, por convención el eje de las “x” es horizontal y el eje de las “y” es vertical.
- Los ejes se colocan a 90 grados entre sí o sea perpendicularmente.
- Los espacios horizontales representan una misma distancia
- Los espacio verticales representa una misma distancia (que no necesariamente es la misma del eje horizontal)
Traficación de un punto Para elaborar graficas en el plano cartesiano lo primero que se debe saber es ubicar un punto. Por ejemplo punto (4,3) representa el par ordenado (x, y), de manera que x=4, y y=3. Se parte del origen, y se mueve 4 unidades en la dirección de x, y 3 unidades en la dirección de y
GRAFICACIÓN DE UNA FORMULA Cuando una formula se puede escribir como Y = alguna expresión algebraica con la variable “x” como por ejemplo:
- 2 3y x
- 2 3 1y x
Cuando se tiene este caso decimos que la variable “y” es función o depende de la variable “x” y lo representamos así; Y = f(x)= 2 3y x
Y = f(x)= 2 3 1y x
El método más sencillo para graficar una función es la técnica de la tabla de valores, Esta técnica consiste:
1. en elaborar un listado de los valores de x que puedan representar mejor a la gráfica, se deben considerar puntos especiales de la gráfica como;
o – infinito o +infinito o Valores prohibidos de “x” que
pueden ser asíntotas verticales, y los puntos faltantes
o Valores cercanos a los valores prohibidos
o Puntos especiales de la gráfica como máximos y mínimos, inicios y finales
2. Para cada valor de “x” calcular su correspondiente valor de ”y” usando la formula indicada
3. Ubicar todos los puntos (x, y) calculados
4. Unir los puntos y esbozar la grafica
Y
40
35
30 (x, y) = (6, 25)
25
20
15
10
5
X
2 4 6 8 10 12
y
(4,3)
x
7
5. Agregar fechas para indicar que la gráfica continua para –infinito o + infinito si fuera el caso.
GRAFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL: Dada la ecuación: Y=f(x) = 3x-3 Elaboramos la tabla de valores, los cuales pueden ser elegidos según su deseo, en general se prueban valores que representen menos infinito y más infinito aunque no se grafiquen para poder ubicar las flechas, y siempre se eligen valores de tal manera que x=0 o y =0, los cuales se llaman intercepto con los ejes Ix= (¿, 0) Iy= (0, ?)
Tipo X Y=3x-3 (x, y)
-00 -100 3(-100)-3=-303 (-100,-303)
Iy 0 3(0)-3=-3 (0, -3)
Ix 1 3(1)-3=0 (1, 0)
+00 +100 3(100)-3=297 (100,+297)
NOTA: En el caso del a función lineal es suficiente graficar dos puntos y trazar una línea que los atraviese y se le agregan las flechas
GRAFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA:
Dada la ecuación: 2( ) 2 2 24y f x x x 2( )y f x ax bx c
Calculamos el vértice ( 2) 2 1
2 2(2) 4 2v
bh x
a
2( ) ( ) (1/ 2) 2(1/ 2) 2(1/ 2) 24v vk y f h f x f
2(1/ 4) 1 24 1/ 2 1 24 49 / 2vk y
Vértice
( , ) (1/ 2, 49 / 2)v vx y
Tipo X Y=3x-3 (x, y)
-00 -10
Xv-2 -3 2
2 3 2 3 24 (-3, 0)
Xv- 0 2
2 0 2 0 24 (0, -24)
(Xv, Yv)
½ 21 1
2 2 242 2
(1/2, -49/2)
Xv+ 2/2 2
2 1 2 1 24 (1,-24)
+00 +21/2
8
Grafica de valor absoluto Dada la ecuación
( ) 3 2 5 7y f x x
( )y f x a mx b c
Calculamos el vértice : ( ) 0h x cuando mx b
( 5) 5
2 2v
bh x
m
5 5( ) 3 2 5 7
2 2v vk y f x f
5 53 2 5 7 3 0 7 7
2 2f
Vértice (5/2, -7)
Tipo X Y=3x-3 (x, y)
h- 0 3 2(0) 5 7
3 5 7
3(5) 7
15 7 8
(0, 8)
(Xv, Yv)
5/2 3 2(5 / 2) 5 7
3 0 7 7
(1/2, -7)
H+ 10/2 3 2(5) 5 7
3 5 7
3(5) 7 8
(1,8)
9
TEORÍA MÉTODOS 2, PARCIAL 1, VERSIÓN 2 FUNCIÓN Explicación General: Si podemos expresar un variable en términos de uno o más variables diremos que una variable es función o depende de una o más variables. Por ejemplo el costo de un pastel, depende de los precios y cantidades de harina, huevos, leche y mantequilla. Por lo cual podemos decir que el costo de un pastel es función de dichas variables, en lenguaje matemático lo podemos expresar así: Costo = f(harina, huevos, leche, mantequilla) Si usáramos variables más comunes en el lenguaje matemático tendríamos Z=f(r, s, l, m) Si lo expresamos como una fórmula matemática podríamos tener algo como f(r, s, l, m)= Z = 7r + 5s + 22l + 50m Como todas las variables tienen exponente 1, diremos que esta es una función lineal, de Z respecto a r, s, l y m. Las funciones tienen una característica muy importante, para cada grupo de valores de las variables independientes (r, s, k, m), solo existe un resultado posible para la variable dependiente (Z) Por ejemplo si r=5 libras de harina, s = 24 huevos. L=2 litro de leche, m=1 libra de mantequilla diremos: Z = f(5, 24, 2, 1) = 7(5) + 5(24) + 22(2) + 50(1) = 35 + 120 + 44 + 50=249 lempiras En esta clase solo trataremos con funciones de una variable independiente. Y al resultado de la función la relacionaremos con la variable
“y” que llamaremos variable dependiente y la independiente será la “x” y esto lo expresaremos así: Y= f(x) Para el caso tenemos la formula Y=3X+2 Podremos decir que Y es función de x y la expresaremos así F(x)=3x+2 Si x=2 Calculamos f(2)= 3(2)+2 = 6+2=8 Y diremos que y=f(2)=8 Representación gráfica: Una función lineal puede ser representada en el plano cartesiano como una línea recta, que cumple con la condición que si trazamos una línea imaginaria vertical, solo toca un punto.
Conceptos matemáticas relacionados con la función
A. CONJUNTOS
B. PAR ORDENADO
C. PRODUCTO CARTESIANO
D. RELACION
E. FUNCION
10
Como podemos ver para poder llegar al concepto de función debemos comprender varios conceptos previos. A. CONJUNTO Es el concepto más general. Es una colección de elementos que se denota por una letra mayúscula y cuyos elementos se expresan de dos maneras:
a) Por extensión: describiendo todos los elementos: { , }A rojo verde
b) Por comprensión: describiendo la lógica detrás de los elementos
{( , ) , 1}A x y x y x Esto se lee:
A es el conjunto de todos los pares de datos representados por (x, y) que pertenece al producto todos los pares ordenados de los reales, y que cumple la condición que 1y x
B. PARES ORDENADOS Dentro del concepto de conjunto está el de par ordenado que es un conjunto de dos elementos en los cuales importa el orden y se representan por (x, y), de tal maneara que (3,2) no es lo mismo que (2,3). REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN PAR ORDENADO. El punto (4,3) representa el par ordenado (x, y), de manera que x=4, y y=3. Se parte del origen, y se mueve 4 unidades en la dirección de x, y 3 unidades en la dirección de y
C. PRODUCTO CARTESIANO El producto cartesiano A B es un conjunto que resulta de combinar dos conjuntos simples A y B .
{1, 2,3, 4}A
{ , }B a b
El cual se puede graficar así en el plano cartesiano
En el caso de conjuntos que representan intervalos de números
1, 4A x
1,3B y
El producto cartesiano en términos graficos será el siguiente:
D. RELACIÓN Es un subconjunto del producto cartesiano Por ejemplo del producto cartesiano
y
(4,3)
x
B=
AxB a b
1 ( 1,a) ( 1,b)
A= 2 ( 2,a) ( 2,b)
3 ( 3,a) ( 3,b)
4 ( 4,a) ( 4,b)
4
3
2
1
1 2 3 4
11
Graficado asi
Tenemos el subconjunto C que llamaremos relación C del producto cartesiano AXB C= relación de AxB = {(1, a), (1, b)} y su grafica es asi
Dado el producto cartesiano
Tenemos dos ejemplos de relaciones
E. Función: es un subconjunto del producto cartesiano que cumple la regla, que todo elemento del dominio solo tiene como pareja un elemento del rango. Por ejemplo del producto cartesiano
Tenemos la función D que llamaremos funcion D del producto cartesiano AXB D= función de AxB = {(1, a), (2, b)} Que graficamos así:
Que cumple la regla que un dato del origen “A” no tiene más de un dato de destino “B” Del producto cartesiano
La grafica de una función seria la siguiente
4
3
2
1
1 2 3 4
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4
4
3
2
1
1 2 3 4
12
Que cumple la regla que si paso una línea vertical imaginaria solo tocaría un punto. El circulo abierto indica que ese punto precisamente no se incluye, y el circulo negro cerrado indica que si se incluye. Otros ejemplos de funciones son las siguientes
Formalmente podemos expresar una función A, es un grupo de puntos (x, y) que cumple la regla de la ecuación.
1/ 3 1/ 3y x Y los valores de “x” están
limitados entre 1 y 4, y los de “y” entre 1 y 3 Se expresa así:
{( , ) , 1 / 3 1 / 3,A x y talque y x
1,4 , 1,3 }x y
Y su grafica es:
APLICACIONES DE PRODUCTO CARTESIANO Y DE LA FUNCIÓN José debe tener una decisión en dos etapas: La primera decisión es si se transporta en auto o en moto. La segunda decisión es si va al cine o aun restaurante. El conjunto de todas las posibilidades resulta ser un producto cartesiano.
Donde A= conjunto de los medios de transporte Donde B = conjunto de los destinos Una relación C seria C = {(auto, restaurante), (auto, cine)} Para la decisión de ir en auto existen dos opciones, restaurante o cine. Por lo que es no es una decisión única. Una función “D” seria D= {(moto, restaurante), (auto, cine)} Como se puede ver la relación produce decisiones ambiguas, pero la función produce decisiones exactas:
si se va en moto se va ira al restaurante
si se va en auto se ira al cine FUNCIONES APLICADAS AL PLANO CARTESIANO. Las funciones en el campo de la matemática se pueden graficar en el plano cartesiano. REGLA GENERAL: Se dice que una gráfica en el plano cartesiano representa una función si se cumple que al
4
3
2
1
1 2 3 4
A X B restaurante cine
moto (moto,restaurante) (moto,cine)
auto (auto,restaurante) (auto,cine)
13
trazar una línea vertical solo suceden dos casos. Solo toca un punto, o no toca ningún punto. Si toca dos puntos en algún momento entonces no es una función es una relación.
GRAFICA DE UNA FUNCIÓN: Una función de dos variables se grafica en el plano cartesiano. CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES EN EL PLANO CARTESIANO
1. Variable dependiente “y” 2. Variable independiente x (sola) 3. Expresión algebraica
( ) _ _y f x formula de x
4. Evaluación de una función
Si:
( ) 3 2y f x x
(2) 3(2) 2 8f
(3) 3(3) 2 11f
5. Dominio: es el conjunto de todas las “x”, que forman parte de la gráfica.
6. Rango o Recorrido: es el conjunto de todas las “y” que forman parte de la grafica
Línea vertical solo toca un punto: si se traza una línea vertical en cualquier parte de la función f(x) solo se tocara un punto. CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES EN EL PLANO CARTESIANO Las funciones pueden ser racionales e irracionales a las que también se les llama funciones algebraicas; asimismo, existen las funciones trascendentes dentro de las cuales se ubican las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
14
EJEMPLOS DE FUNCIONES DE POLINÓMICAS Lineal: ( )y f x ax b
Cuadrática:
2( )f x ax bx c
2
( )f x a mx b c
Cubica: 3 2( )f x ax bx cx d
Funciones racionales
( )
ax bf x
x a x b
15
INTERPRETACIÓN DE FUNCIONES EN EL CONTEXTO ECONÓMICO: Sean dos conjuntos de datos relacionados por pares cartesianos como ser:
Precio =p
Cantidad = q = quantity (cantidad en inglés)
Si decimos que ambas variables están relacionados por la ecuación: 7p-14q=7 Matemáticamente podemos despejar para p y tendremos la ecuación: 7 14 7p q
2 1p q
Donde podemos decir que p es una función respecto a q expresada como:
( ) 2 1p f q q
Siendo
la variable independiente q
la variable dependiente p Nota: es importante recordar que en el contexto real, normalmente la decisión se toma en el precio, y la cantidad es la consecuencia del precio, por lo que la función debería ser cantidad en términos de precio q= f(p), pero por convención o costumbre en el contexto económico, se grafica la función p=f(q)Pero por
:
En el contexto matemático:
El dominio de p=f(q) son los reales
El rango de p=f(q) también son los reales
Pero en el contexto económico:
El domino de la función: p=f(q) son todos los números positivos y el cero
El rango de la función: son todos los números mayores o iguales a y=1
Esto debido a que los precios ni las cantidades pueden ser negativos
y=precio=lps
4
3
2
1
0
-1
-2
-1 0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x=q=quantity=unidades
16
FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es una función de la forma:
Y=f(x) =mx +b Características de la ecuación:
El exponente de las variables es 1
La función se acostumbra que “y” depende de “x”
Características de la grafica:
Intercepto en x: Ix(?, 0)
Intercepto en y: Iy(0, ?)
Pendiente m, si m= positiva es creciente, si m = negativa es decreciente
b es el valor de y si x vale 0 Características de la función
Variable dependiente = y
Variable independiente = x
Dominio son los valores posibles de x = reales
Rango son los valores posibles de y = reales
Y su representación grafica es
Para calcular la pendiente de una recta se toman dos puntos y se sustituye
2 1
2 1
y yym
x x x
A continuación tipos de pendientes de una función
Nota: una recta vertical la pendiente es
indeterminada, o es un valor cercano a infinito Para determinar la ecucacion se sustituye un punto (x1, y1) en la siguiente formula:
1 1( )y y m x x
LÍNEA RECTA DE PENDIENTE VERTICAL: Cumple que para todo punto y, solo existe un valor en x. De manera que los puntos (2,3), (2,4) pertenecen a la recta, y por tanto no es función. Si aplicamos la formula
2 1
2 1
(4) (3) 1
(2) (2) 0
y ym indefinido
x x
17
EJERCICIOS: CASO 1: Dados dos puntos determinar ecuación de la recta (1, 2) y (3,5) Paso 1: determinamos X1=1, y1= 2 X2=3, y2=5 Paso 2: aplicamos la fórmula:
2 1
2 1
y yym
x x x
(5) (2) 3
(3) (1) 2m
Paso 3: determinar la ecuación de la recta aplicando
1 1( )y y m x x
3
( (2)) (1)2
y x
3 32
2 2y x
3 32
2 2y x
3 1
2 2y x
Paso 4: verificación X=3
3 1(3) 10 / 2 5
2 2y
Se cumple (3,5) Paso 5: intercepto en y o sea Iy(0, ¿) Sabemos que x=0 Sustituimos en la ecuación
3 1 1(0)
2 2 2y
Planteamos formalmente
10,
2Iy
Paso 6: Intercepto en x o sea Ix(¿, 0)
Sabemos que y= 0 Sustituimos en
3 1
2 2y x
3 10
2 2x
Y despejamos 1 3
2 2x
1 2
2 3x
1
3x
Plateamos formalmente
1,0
3Ix
Paso 6: tabla de valores
Tipo x y (x, y)
Iy 0 3 1 1(0)
2 2 2
(0,1/2)
Ix -1/3 3 1 1( ) 0
2 3 2
(-1/3,0)
Paso 7: graficamos
Paso 8: las características de la función
Dominio (valores de x) = Reales= ,
Rango (valores de y) = Reales= ,
18
TAREA 2: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta:________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ Datos los puntos (1,3) y (7,4)
1. Determinar la pendiente (m)
2. Determinar le ecuación (Y) y verificar
3. Determinar Intercepto en X
4. Determinar Intercepto en Y
5. Tabla de Valores
6. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
7. Dominio y Rango
19
2. Dados los puntos (-3,-4) y (-2,5)
1. Determinar la pendiente (m)
2. Determinar le ecuación (Y) y verificar
3. Determinar Intercepto en X
4. Determinar Intercepto en Y
5. Tabla de Valores
6. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
7. Dominio y Rango
20
3. Dados los puntos (5,6) y (8,2)
1. Determinar la pendiente (m)
2. Determinar le ecuación (Y) y verificar
3. Determinar Intercepto en X
4. Determinar Intercepto en Y
5. Tabla de Valores
6. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
7. Dominio y Rango
21
4. Dados los puntos (3 ,4) y (9 ,2)
1. Determinar la pendiente (m)
2. Determinar le ecuación (Y) y verificar
3. Determinar Intercepto en X
4. Determinar Intercepto en Y
5. Tabla de Valores
6. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
7. Dominio y Rango
22
5. Dados los puntos (-3,3) y (3,-3)
1. Determinar la pendiente (m)
2. Determinar le ecuación (Y) y verificar
3. Determinar Intercepto en X
4. Determinar Intercepto en Y
5. Tabla de Valores
6. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
7. Dominio y Rango
23
DADA LA ECUACIÓN CUADRÁTICA: 2( ) 2 2 24y f x x x
1. Determine el vértice de la ecuación
( , ) ( , )v vh k x y
Igualamos 2 22 2 24y x x ax bx c
Y determinamos: a=2, b=-2 , c=-24 Calculamos el valor en x del vértice con la formula:
( 2) 2 1
2 2(2) 4 2v
bh x
a
Para calcular el valor en y del vértice calculamos la función
( ) ( )v vf h f x k y
2
1/ 2 2 1/ 2 2 1/ 2 24y f
2 2 4924
4 2 2
formalmente
( , ) ( , ) (1/ 2, 49 / 2)v vh k x y
2. Determinar Intercepto en Y El intercepto en y es Iy(0, ¿) Calculamos
2
0 2 0 2 0 24 24y f
Formalmente (0, 24)Ix
3. Determinar los intercepto en “x” o sea Ix ( ¿, 0) y verifique
Para encontrar los intercepto en x hacemos y=0
20 2 2 24y x x
Aplicamos la función cuadrática a=2, b=-2 , c=-24
Discriminante: 2 4b ac 2( 2) 4(2)( 24)
4 192 196 Calculamos las raíces
2
1 2
4,
2 2
b b ac bx x
a a
1 2
( 2) 196 2 14,
2(2) 4x x
1 2
2 14 2 144, 3
4 4x x
Si queremos presentar la expresión factorizada aplicamos
21 2( )( )ax bx c a x x x x
22 2 24 2( (4))( ( 3))x x x x 22 2 24 2( 4)( 3)x x x x
Ix(¿,0) cuando (x-4)= 0 o sea cuando x=4 (x+3)=0 o sea cuando x=-3 Formalmente Ix1(4, 0) , Ix2(-3, 0)
4. Tabla de Valores
Tipo x y (x, y)
Ix2 -3 0 (-3, 0)
Iy 0 -24 (0, -24)
(h,k) ½ -49/2 (1/2, -49/2)
(2h,f(2h)) 1 -24 (1,-24)
Ix1 4 0 (4,0)
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
Dominio = ]-00, +00 [ = Reales Rango = ]-24.5, +00[ =]-49/2, +00[
24
EJEMPLO DE CUADRATICA:
1) 26 6 72y x x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
a=-6, b=-6, c=+72 ( 6) 6 1
2 2( 6) 12 2
bh
a
K=f(-1/2)
1
2k f
21 1
6 6 722 2
y
= 73.5
(h,k) = (-1/2, 147/2) = (-0.5, 73.5)
2. Determinar Intercepto en Y Iy(0,?)
26(0) 6(0) 72 72y
Iy( 0, 72)
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
Ix(¿, 0)
20 6 6 72x x
a=-6, b=-6, c=+72 2 24 4
2 2 2
b b ac b b acx
a a a
6( 6) ( 6) 4( 6)(72)
2( 6)x
6 36 1728
12x
6 1764 6 42
12 12x
1
6 424
12x
2
6 423
12x
Ix1(-4,0) Ix(3,0)
4. Tabla de Valores
tipo x y (x, y)
Ix -4 0 (-4,0)
(2h,f(2h) -1 72 (-1,72)
(h,k) -1/2 147/2 (-0.5,73.5)
Iy(0,72) 0 72 (0.72)
Ix 3 0 (3,0)
5. Grafica (indicar dominio y rango
gráficamente) X:-4 hasta 3 Y: 0 hasta 72
6. Dominio y Rango Dominio (valores en x) = R = ]-inf, +inf[ Rango (valores en y) = ]-inf, 73.5]
25
DADA LA ECUACIÓN CUADRÁTICA:
1) 25 5 100y x x
7. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
a=5, b=-5, c=-100 ( 5) 5 1
2 2(5) 10 2v
bh x
a
1
2k f h f
21 1 1 405
5 5 100 101.252 2 2 4
y f
(1/2,-405/4) = (-0.5, -101.25)
8. Determinar Intercepto en Y Iy( 0,?)
20 5(0) 5(0) 100 100y f
(0,-100)
9. Determinar los intercepto en “x” y verifique
2( ) 5 5 100y f x x x
a=5, b=-5, c=-100
22 ( 5) ( 5) 4(5)( 100)4
2 2(5)
b b acx
a
5 25 2000 5 2025
2(5) 2(5)x
5 45
10x
1
5 45 505
10 10x
1
5 45 404
10 10x
Ix1(-4,0) Ix2(5,0)
10. Tabla de Valores
tipo x y (x, y)
Ix -4 0 (-4,0)
Iy 0 -100 (0,-100)
(h,k) 1/2 -405/4 (0.5,-101.25)
(2h,f(2h)) 0 -100 (0,-100)
ix 5 0 (5,0)
11. Grafica (indicar dominio y rango
gráficamente) X: -4 hasta 5 Y: -101.25 hasta 0
12. Dominio y Rango Dominio = Reales = R = ]-infinito, + infinito[ Rango [-101.25, +infinito[
26
DADA LA ECUACIÓN CUADRÁTICA:
1) 23 6 24y x x
13. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
14. Determinar Intercepto en Y
15. Determinar los intercepto en “x” y verifique
16. Tabla de Valores
17. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
18. Dominio y Rango
27
DADA LA ECUACIÓN CUADRÁTICA:
2) 25 30 35y x x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
28
DADA LA ECUACIÓN CUADRÁTICA:
3) 23 17y x x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
29
DADA LA ECUACIÓN CUADRÁTICA:
4) 27 28 21y x x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
30
DADA LA ECUACIÓN CUADRÁTICA:
5) 24 2 16y x x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
31
TAREA 3: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta:________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ CONCEPTO DE DOMINIO Y RANGO EJEMPLO 1: Sean los conjuntos: A= {1,2,3,4} B={a, b} El producto cartesiano AXB es igual a
En este producto cartesiano al conjunto A lo llamaremos conjunto de origen o dominio. Y al conjunto B lo llamaremos conjunto de destino, o de Rango o de las imágenes. En el ejemplo anterior: El dominio de AXB = {a, b}, que en este caso resulta ser A= {a, b} El rango de AXB = {1,2,3,4}, que en este caso resulta ser B = {1,2,3,4} EJEMPLO 2: De la siguiente relación
Determinamos que El dominio seria {1,4}
Y el rango seria {a,b} Nota: Esta relación no es una función porque el dato del origen “1” tiene dos contrapartes en el conjunto del destino o sea “a” y “b”. EJEMPLO 3: Dada la siguiente función
Observamos que es una función continua: En este caso el Dominio que son los valores validos de x, van desde 1 hasta 8, sin tomar en cuenta el 1 y si tomando encuentra el 8 y lo representamos como un intervalo: Dominio de f(x) = ]1, 8] Para el rango es un poco más complicado Porque tenemos tres grupos de rango
Primera parte = ]1, 8[
Y
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7 8
F(x)
Y
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7 8
F(x)
32
Segunda parte = [2.5, 8]
Tercera parte = [2.5, 6]
Esto se puede expresar como la unión de todos los intervalos
Rango de f(x) = ]1, 8[ U [2.5, 8] U [2.5, 6]
Si ponemos las tres gráficos al mismo tiempo
Y trazamos líneas verticales imaginarias nos daremos cuenta que al fusionarlos nos queda este intervalo:
Este análisis lo podemos hacer directamente en la gráfica así O sea que nos quedaría si:
EJEMPLO 4:
Si identificamos los grupos de dominio y rango tendríamos los siguientes:
Podemos ver que el dominio y el rango es la unión de dos partes: Dominio de F(x) = ]1, 3 ] U [4, 6[ En el caso del rango podemos ver que hay dos grupos un grupo es [9, 10] El otro es la unión de ]1, 8] U [2.5, 8] U [2.5, 6], si observamos podemos resumirlo a uno solo ]1, 8] que contiene a los tres, por tanto: Rango = ] 1, 8 ] U [9, 10] Y nos queda así:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Y
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7 8
Dominio = ]1, 8]
Ran
go =
] 1
, 8 ] F(x)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
33
EJEMPLO DE DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN QUE NO ES FUNCIÓN:
Esta relación no es una función porque una línea vertical toca dos puntos.
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
Dominio = ]1, 3 ] U [4, 6[
F(x)
Ran
go =
] 1
, 8 ]
U [
9, 1
0]
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
Dominio =[1, 6[
Ran
go =
] 1
, 8 ]
U [
9, 1
0]
34
Identifique el dominio y el rango de las siguientes gráficas, mediante rectas numéricas e intervalos: 1)
2)
3)
4)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
35
5)
6)
7)
8)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
36
Conteste las siguientes preguntas: 1) Que es un producto cartesiano?
2) Que es una relación?
3) Que es una función?
4) Que es un par ordenado?
5) Una función puede ser a la vez un a relación?
6) Cuál es el dominio de una función?
7) Cuál es el rango de una función?
8) En una gráfica continua, si trazamos una recta vertical imaginaria y se tocan dos puntos de la gráfica, como clasificáramos esta grafica
a. Como solo función b. Como función y relación c. Como solo relación
9) En la función y = x+3. Quien es la variable independiente, y quien la variable dependiente?
37
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Definimos valor absoluto como
, 0
, 0
x xx
x x
Y también como 2x x
Ejemplos
Ecuación
y a mx b c
Si ( )g x mx b
También Tenemos la forma
( )y a g x c
Forma de la grafica
SI a es positivo
Si a es negativo
Característica de la grafica Vértice (xv, yv)
Xv: es igual a x si ( ) 0g x
bXv
m
Yv:
Xv= f(h)= ( )a m h b c
Yv= f(h)= c Intercepto en y = Iy =(0, ?) Intercepto en x = Ix =( ?,0)
Dominio = =Reales Rango
SI a es positivo [ , [k
Si a es negativo
] , ]k
EJERCICIO: Graficar y determinar dominio y rango de
3 6 3y x
Paso 1: determinar vértice (xv, yv)
( ) 0g x
3x-6=0 X=6/3=2
3(2) 6 3y
6 6 3y
0 3y
3y
Paso 2: determinar intercepto en “y” Iy(0, ?) X=0
3(0) 6 3y
6 3y
(6) 3y
3y
Iy(0,-3) Paso 3: determinar el intercepto en “x” Ix(¿ ,0) Y=0
0 3 6 3x
3 3 6x
33 6
1x
3 3 6x
38
+ -
3 3 6x
3 3 6x 3 6 3x 9
3x
3x
3 3 6x
3 3 6x 3 3 6x 3 3x
3
3x
1x Ix(3, 0) Ix(1, 0) Paso 4: elaborar grafica
Paso 5: determinar dominio y rango Dominio = =Reales Rango: Como “a” es negativo ] ,3]
39
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
1) ( ) 9 3 5 2y f x x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
Igualamos a cero lo que esta dentro del valor absoluto 3 5 0x 3 5 5 0 5x 3 0 0 5x 3 5x
1 13 5
3 3x
5
3h x
5( )
3k f h f
5 59 3 5 2
3 3y f
59 5 5 2
3y f
59 0 2
3y f
50 2 2
3y f
Vértice (h,k) = (5/3, 2) =(1.67,2) 2. Determinar Intercepto en Y
Iy( 0,?)
(0) 9 3(0) 5 2f
9 0 5 2 9 5 2 ,
9(5) 2 45 2 43
Iy(0, -43) 3. Determinar los intercepto en “x” y
verifique Ix(?,0) y=0
0 9 3 5 2x
2 9 3 5x 2
3 59
x
23 5
9x
La definición de valor absoluto dice los siguiente:
, 0
, 0
x xx
x x
+ -
2(3 5)
9x
2 35
9 1x
2 1 15 3
9 3 3x
2 15
9 3x
2 15 47 / 27
9 3x
Ix1(47/27,0) Ix1(1.74,0)
2(3 5)
9x
2(3 5)
9x
25 3
9x
2 593
x
2 59 43/ 273
x
Ix2(43/27,0) Ix2(1.59,0)
4. Tabla de Valores
tipo x y (x, y)
Iy 0 -43 (0,-43)
Ix 43/27 0 (1.59,0)
(h,k) 5/3 2 (1.67,2)
Ix 47/27 0 (1.74,0)
(2h,k) 10/3 -43 (3.33,-43)
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
X: 0 hasta 3.33 Y:-43 hasta 2
6. Dominio y Rango
Dominio (valores de x) = reales = ]-infinito, +infinito[ Rango =]-infinito, 2]
40
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
1) 2 7 2 1y x
7. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
Para calcular h se iguala a cero el valor absoluto
7 2 0x
7 0 2x 2
7h x
2
7k f
2 22 7 2 1
7 7f
22 2 2 1
7f
22 0 1 0 1 1
7f
(h,k) = (2/7, 1) = (0.2857, 1)
8. Determinar Intercepto en Y Iy(0, ?)
(0) 2 7(0) 2 1y f
(0) 2 2 1y f
Aplicamos la definición de valor absoluto
, 0
, 0
x xx
x x
(0) 2(2) 1 4 1 3y f
Iy(0, -3) 9. Determinar los intercepto en “x” y
verifique Ix( ?,0)
0 2 7 2 1x
1 2 7 2x
17 2
2x
17 2
2x
+ -
1(7 2)
2x
1(7 2)
2x
12 7
2x
1 12
2 7x
5
14x
Ix(5/14,0) = (0.3571,0)
1(7 2)
2x
17 2
2x
12 7
2x
1 12
2 7x
3
14x
Ix(3/14,0) =(0.2143,0)
10. Tabla de Valores
tipo x y (x, y)
Iy 0 -3 (0,-3)
Ix 3/14 0 (0.21,0)
(h,k) 2/7 1 (0.29,1)
Ix 5/14 0 (0.36,0)
(2h,f(2h)) 4/7 -3 (0.57,0)
11. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
X: 0 hasta 1 Y: -3 hasta 1
12. Dominio y Rango
Dominio = Reales = ]-infinito, +infinito[ Rango ]-infinito, 1]
41
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
1) 3 2 8 5y x
13. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
14. Determinar Intercepto en Y
15. Determinar los intercepto en “x” y verifique
16. Tabla de Valores
17. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
18. Dominio y Rango
42
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
2) 2 6 3 4y x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
43
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
3) 3 3 12 7y x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
44
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
4) 5 2 5 3y x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
45
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
5) 6 3 4 2y x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
46
TAREA 4: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta:________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ FUNCIÓN RADICAL Ecuación
y a mx b c
Si ( )g x mx b
Forma de la grafica
SI a es positivo y m positivo
Si a es negativo y m positivo
SI a es positivo y m negativa
Si a es negativo y m negativo
Vértice (h, k)
h: es igual a x si ( ) 0g x
k:
k= f(h)= ( )a m h b c
k= f(h)= c
Intercepto en y = Iy =(0, ?) Intercepto en x = Ix =( ?,0) Dominio
SI m es positivo [h, [
Si m es negativo
] , ]h
Rango
SI a es positivo [ , [k
Si a es negativo
] , ]k
EJERCICIO: Graficar y determinar dominio y rango de
3 6 3y x
Paso 1: determinar vértice (h, k)
( ) 0g x
3x-6=0 X=6/3=2 X=2
3(2) 6 3y
6 6 3y
0 3y
3y (h,k)=(2,3)
Paso 2: determinar intercepto en “y” Iy(0, ?) X=0
3(0) 6 3y
6 3y
En este caso no hay intercepto en y
47
Paso 3: determinar el intercepto en “x” Ix(¿ ,0) Y=0
0 3 6 3x
3 3 6x
22
3 3 6x
9 3 6x
9 6 3x
(9 6)
3x
5x Ix = (5,0) Paso 4: agregar otros puntos para tener 3 puntos graficables Para no tener que probar puntos a ambos lados podemos calcular el dominio cuando
( ) 0g x 0mx b
3 6 0x
3 6x
6
3x
2x Esto nos dice que los puntos crecen al infinito Elaboramos la tabla de valores
x y
-1 No Definido
0 No definido
1 No Definido
2 3
5 0
6 (Nota: este punto fue elegido a
voluntad)
3(6) 6 3y
12 3y
2 3 3 0.46y
Paso 5: determinar dominio y rango Dominio Por simple inspección a la gráfica o sino observando que m es positivo
Rango: Por simple inspección a la gráfica o sino observando que a es positivo ] ,3]
48
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
1) 2 7 5 3y x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
7 5 0x 7 0 5x
1
0 57
x
5
7h x
(h) 2 7( ) 5 3y f h
(h) 2 7(5 7) 5 3y f
(h) 2 5 5 3y f
(h) 2 0 3y f
(h) 2(0) 3y f
(h) 0 3 3y f
(h, k) = (5/7, 3) 2. Determinar Intercepto en Y
Iy (0, ?) X=0
(0) 2 7(0) 5 3y f
(0) 2 0 5 3y f
(0) 2 5 3y f
(0)y f ND
No hay IY 3. Determinar los intercepto en “x” y
verifique IX (?,0) Y=0
0 2 7 5 3x
3 2 7 5x
37 5
2x
37 5
2x
( ) ( )
2
237 5
2x
97 5
4x ,
9 75
4 1x
9 15
4 7x
,
9 (5)4 1
4 4 7x
9 20 1
4 7x
,
29
28x
Ix(29/28, 0) 4. Tabla de Valores
tipo x y (x, y)
Iy 0 ND
(h,k) 5/7 3 (0.71, 3)
Ix 29/28 0 (1.03, 0)
2 -1 (2, -3)
(2) 2 7(2) 5 3y f
(2) 2 14 5 3y f
(2) 2 9 3y f
(2) 2(3) 3y f
(2) 6 3 3y f
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
X: 5/7 hasta 2 Y: -3 hasta 3
6. Dominio y Rango
Dominio = [5/7, +infinito[ Rango = ]- infinito, 3]
Opción 2 de dominio 7 5 0x , 7 0 5x
5
7x ,
5
7x
Dominio = [5/7, +infinito[
49
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
1) 4 9 4 2y x
7. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
9 4 0x 9 4x
4
9h x
4 9(h) 4 2k
4 9(4 / 9) 4 2k
4 4 4 2k
4 0 2k 4(0) 2k
0 2k (h, k) = (4/9, 2)
8. Determinar Intercepto en Y Iy (0, ?) X=0
4 9(0) 4 2y
4 0 4 2y
4 4 2y
Y=ND Iy no existe
9. Determinar los intercepto en “x” y verifique
Ix(?,0) Y=0
0 4 9 4 2x
2 4 9 4x
29 4
4x
19 4
2x
( ) ( )
2
219 4
2x
19 4
4x
14 9
4x
1 4 14
4 4 9x
1 16 1
4 4 9x
1 16 1
4 9x
17
36x ,
17
36x
10. Tabla de Valores
tipo x y (x, y)
-1 ND
Iy 0 ND
(h,k) 4/9 2 (0.44,2)
Ix 17/36 0 (0.47,0)
1 4 9(1) 4 2
= 4 5 2
=-6.94
(1,-6.94)
11. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
X: 0.44 hasta 1 Y: -6.94 hasta 2
12. Dominio y Rango
Dominio(valores de x) = [4/9, +infinito[ Rango (valores en y) = ]-infinito, 2]
50
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
1) 6 2 10 5y x
13. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
14. Determinar Intercepto en Y
15. Determinar los intercepto en “x” y verifique
16. Tabla de Valores
17. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
18. Dominio y Rango
51
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
2) 2 9 3 1y x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
52
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
3) 5 3 2 7y x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
53
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
4) 4 2 7 3y x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
54
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
5) 5 8 3 2y x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
55
DADA LA ECUACIÓN RACIONAL (NIVEL 1): R( )
( ) ,Q( ) 0Q( )
xy f x x
x
Conceptos adicionales: Asíntotas: son líneas verticales, horizontales o inclinadas imaginarias a las cuales la gráfica se acerca sin tocar nunca en estos valores en x:
Valores en x hacia menos Infinito
Valores en x hacia mas infinito
Por la izquierda a un punto prohibido
Por la derecha a un punto prohibido Punto faltante: son factores que están en el polinomio de arriba y el polinomio de abajo y se pueden cancelar. Dada la grafica
(3 3)( ) 1
(3 9)
xy f x
x
Fusionamos en una sola fracción (3 3) (1)(3 9)
( )(3 9) (3 9)
x xy f x
x x
(3 3 3 9)( )
(3 9)
x xy f x
x
(6 6)( )
(3 9)
xy f x
x
Debemos lograr esta grafica
1) Determinamos los factores, y los clasificamos arriba y abajo.
Los factores de arriba solo pueden ser intercepto en x, o puntos faltantes,
Los factores de abajo solo pueden ser valores prohibidos, o puntos faltantes
Los puntos faltantes ocurren cuando el mismo factor está arriba y abajo
En este caso vemos que solo hay un factor arriba (6x-9) que sería el intercepto en x En este caso vemos que solo hay un factor abajo (3x-9) y no esta repetido por lo tanto seria el que define el valor prohibido y la asíntota vertical
Ubicación Factor Valor x Hace 0 el factor
Tipo
Arriba (6x-6) X=1 Intercepto en x
Abajo (3x-9) X=3 Asíntota vertical
2) Calculamos los valores prohibidos que serán candidatos para una asíntota vertical
Vemos que el polinomio (3x-9) no puede ser igual a cero porque se produciría un error matemático. Por lo cual el valor prohibido de x ocurre cuando: 3x-9=0 Despejando nos queda X=9/3=3 Formalmente Asíntota Vertical (AV): x=3
3) Calculamos el intercepto en x, ocurre cuando y=0 o sea:
(6 6)0
(3 9)
x
x
Nos queda 0(3 9) (6 6)x x
0 (6 6)x
Despejando nos queda x=6/6=1 Formalmente Intercepto en x = Ix (1, 0)
56
4) Calculamos el intercepto en y, que ocurre cuando x=0
Sustituimos (6(0) 6) 6 2
( ) 0.67(3(0) 9) 9 6
y f x
Formalmente Intercepto en y = Iy (0, 2/3)
5) Asíntota Horizontal La asíntota horizontal es una línea horizontal imaginaria a la cual la gráfica se acerca en el infinito, puede o no cruzarla la gráfica. Para determinarla se divide el termino principal del polinomio de arriba entre el termino principal del polinomio de abajo
6: 2
3
xAH y
x
Verificación de cruce: Igualamos la ecuación a y=2
(6 6)2
(3 9)
xy
x
Y despejamos 2(3 9) (6 6)x x
6 18 6 6x x 18 6 es falso
Por tanto no cruza la horizontal 6) Elaboramos ahora la tabla de valores
Tipo x y (x, y)
-00 -100 (6( 100) 6)1.96
(3( 100) 9)
(-100, 1.96)
Iy 0 (6(0) 6) 2
(3(0) 9) 3
(0,0.67)
Ix 1 (6(1) 6) 00
(3(1) 9) 6
(1,0)
AV-
3-0.01
(6(2.99) 6)398
(3(2.99) 9)
(2.99, -398)
AV 3 (6(3) 6) 12
(3(3) 9) 0
No definido
No Definido
AV+
3+0.01
(6(3.01) 6)402
(3(3.01) 9)
(3.01, 402)
+00 +100 (6(100) 6)2.04
(3(100) 9)
(100, 2.04)
7) Elaboramos la grafica Primero ubicamos las asíntotas AV: X=3 AH: y=2
Segundo ubicamos las tendencias e interceptos
57
Tercero unimos por el camino mas corto
Y finalmente tenemos la grafica
8) Determinamos el dominio
El dominio lo podemos definir como todos los números reales menos los valores prohibidos, el valor prohibido en este caso es la asíntota vertical.
Dominio = 3
O Dominio = , 3
9) Determinamos el rango
El rango lo podemos definir como todos los reales menos la asíntota horizontal, a menos que la función cruce la asíntota horizontal. AH: y=2
Rango = 2
Rango = , 2
Rango = , 2 2,
58
EJEMPLO DE ECUACION RACIONAL:
1) 3 7
82 3
xy
x
1. Fusione en una fracción 3 7 2 3
82 3 2 3
x xy
x x
8 2 33 7
2 3 2 3
xxy
x x
Nota: las fracciones tienen tres signos 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 7 16 24
2 3 2 3
x xy
x x
3 7 16 24
2 3
x xy
x
13 31
2 3
xy
x
2. Determine la asíntota vertical
Sabemos que es prohibido o no definido 1
0
2 3 0x , 2 3x , 3
2x
AV: x=3/2 3. Determine la asíntota horizontal
Se divide el termino principal del polinomio de arriba entre el termino principal del polinomio de abajo
13 13
2 2
xy
x
AH: y =-13/2 4. Verifique que no cruza la asíntota
horizontal Para verificar el cruce igualamos la asíntota horizontal a la ecuación original o simplificada
13 31 13
2 3 2
xy
x
1313 31 (2 3)
2x x
13 1313 31 (2 x) ( 3)
2 2x
3913 31 13
2x x
3913 13 31
2x x
230
2x
230
2
Como es inconsistente la ecuación significa que no cruz
230
2
5. Determinar Intercepto en Y Iy (0,?)
13(0) 31 31 31
2(0) 3 3 3y
Iy(-31/3) 6. Determinar el intercepto en “x”
Ix(?, 0) 13 31
02 3
x
x
0(2 3) 13 31x x
0 13 31x 31 13x 31
13x
,
31
13x
Ix(31/13,0) = 7. Tabla de Valores
tipo x y (x, y)
-inf -100 (-100, -6.55)
Iy 0 -31/3 (0, -10.33)
AV-0.01 1.49 13(1.49) 31
2(1.49) 3
=-581.5
(1.49, -581.5)
AV 3/2 =1.5
ND (1.5,ND)
AV+0.01 1.51 13(1.51) 31
2(1.51) 3
+568.5
(1.51, +568.5)
Ix 31/3 0 ( 2.38, 0)
+inf +100 (100, -6.44)
59
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
X:-2 hasta 4 Y: -15 hasta 5
9. Dominio y Rango Dominio = R-{3/2} Rango = R-{13/2}
60
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL:
1) 7 8
39 5
xy
x
10. Fusione en una fracción
7 8 9 53
9 5 9 5
x xy
x x
7 8 3 9 5
9 5 1 9 5
x xy
x x
Una fracción tiene 3 signos 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
7 8 27 15
9 5 9 5
x xy
x x
7 8 27 15
9 5
x xy
x
,
20 23
9 5
xy
x
11. Determine la asíntota vertical AV es cuando el denominador se hace 0
9 5 0x , 9 5x ,5
:9
AV x
12. Determine la asíntota horizontal AH se divide termino principal entre termino principal
20 20:
9 9
xAH y
x
=-2.222
13. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
20 23 20
9 5 9
x
x
20 23 9 20 9 5x x
180 207 180 100x x
180 180 100 207x x 0 107x 0 107 Como 0 no puede ser igual a -107 decimos que no cruza
14. Determinar Intercepto en Y Iy(0,?) X=0
20(0) 23 23
9(0) 5 5y
Iy( 0,-23/5)
15. Determinar el intercepto en “x” Ix(?,0) Y=0
20 230
9 5
x
x
0 9 5 20 23x x
0 20 23x 23 20x 23
20x
23
20x
16. Tabla de Valores
tipo x y (x, y)
-inf -100 20( 100) 23
9( 100) 5
=-2.235
Iy 0 -23/5 (0, -4.60)
AV-0.01 0.545 20(0.545) 23
9(0.545) 5
=-127.4
(0.545, -127.4)
AV 5/9 ND (0.555,ND)
Av+0.01 0.565 20(0.565) 23
9(0.565) 5
= 137.6
(0.545, -+137.6)
Ix 23/20 0 (1.15, 0)
+inf +100 20(100) 23
9(100) 5
=-2.21
(100, -2.21)
61
17. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
X: -1 hasta 2 Y: -5 hasta 5
18. Dominio y Rango
Dominio = R-{5/9} Rango = R-{20/9}
62
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL:
1) 5 2
14 3
xy
x
19. Fusione en una fracción
20. Determine la asíntota vertical
21. Determine la asíntota horizontal
22. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
23. Determinar Intercepto en Y
24. Determinar el intercepto en “x”
25. Tabla de Valores
26. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
27. Dominio y Rango
63
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL:
2) 3 4
22 5
xy
x
1. Fusione en una fracción
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
64
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL:
3) 2 4
35 3
xy
x
1. Fusione en una fracción
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
65
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL:
4) 3 7
46 6
xy
x
1. Fusione en una fracción
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
66
DADA LA ECUACIÓN RACIONAL:
5) (3 )
56 4
xy
x
1. Fusione en una fracción
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
67
TAREA 5: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta:________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ DADA LA ECUACIÓN RACIONAL (NIVEL 2):
( )( ) , ( ) 0
( )
p xy f x q x
q x
A continuación haremos ejemplos con puntos faltantes Dada la grafica
2
2
( 5 6)( )
( 3 10)
x xy f x
x x
Factorizamos por tanteo ( 3)( 2)
( )( 5)( 2)
x xy f x
x x
Como vemos existe un facto repetido que es (x+2) por lo cual lo podemos cancelar
( 3)( )
( 5)
xy f x
x
1) Determinamos los factores, y los clasificamos arriba y abajo.
Ubicación Factor Valor x Hace 0 el factor
Tipo
Arriba (x+3) X=1 Intercepto en x
(x+2) X=-2 Punto faltante
Abajo (x-5) X=5 Asíntota vertical
(x+2) X=-2 Punto faltante
2) Calculamos los valores prohibidos que serán candidatos para una asíntota vertical
Vemos que el polinomio (x-5) no puede ser igual a cero porque se produciría un error matemático. Por lo cual el valor prohibido de x ocurre cuando: x-5=0 Despejando nos queda X=5 Formalmente
Asíntota Vertical (AV): x=5 En el caso del punto faltante también tenemos un punto prohibido en el factor (x+2) Que nos dice que x=-2 no se puede evaluar. Sin embargo si factorizamos esa limitación es removible y se le llama punto faltante. Podemos calcular el valor de y sustituyendo en
( 2 3) 1( )
( 2 5) 7y f x
Por tanto el punto faltante es (-2, - 1/7)
3) Calculamos el intercepto en x, ocurre cuando y=0 o sea:
( 3)0
( 5)
x
x
Nos queda 0( 5) ( 3)x x
0 ( 3)x
Despejando nos queda x=-3 Formalmente Intercepto en x = Ix (-3, 0)
4) Calculamos el intercepto en y, que ocurre cuando x=0
Sustituimos ((0) 3) 3 3
(0) 0.60((0) 5) 5 5
y f
Formalmente Intercepto en y = Iy (0, -3/5)
5) Asíntota Horizontal 2
2: 1
xAH y
x
Verificación de cruce: Igualamos la ecuación a y=2
( 3)1
( 5)
xy
x
Y despejamos 1( 3) ( 5)x x
3 5x x
68
3 5 es falso Por tanto no cruza la horizontal
6) Elaboramos ahora la tabla de valores
Tipo x y (x, y)
-00 -100 (( 100) 3)1.96
(( 100) 5)
(-100, 0.92)
Ix -3 (( 3) 3) 00
(( 3) 5) 8
(1,0)
Iy 0 ((0) 3) 30.60
((0) 5) 5
(0,-0.60)
AV-
5-0.01
((4.99) 3)799
((4.99) 5)
(4.99, -799)
AV 5 ((5) 3) 8
((5) 5) 0
No Def.
AV+
5+ 0.01
((5.01) 3)801
((5.01) 5)
(5.01, 801)
+00 +100 ((100) 3)1.08
((100) 5)
(100, 1.08)
7) Elaboramos la grafica Ubicamos las asíntotas. AV: X=5 AH: y=1
Segundo ubicamos las tendencias, intercepto y punto faltante.
Tercero unimos por el camino más corto
Y finalmente tenemos la grafica
8) Determinamos el dominio El dominio lo podemos definir como todos los números reales menos los valores prohibidos, el valor prohibido en este caso es la asíntota vertical.
Dominio = 2,5
O Dominio = , 2,5
Dominio = , 2 2,5 5,
9) Determinamos el rango El rango lo podemos definir como todos los reales menos la asíntota horizontal, a menos que la función cruce la asíntota horizontal.
Rango = 1/ 7,1
Rango = , 1/ 7,1
69
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):
1) 2
2
( 2)( 5 6)
( 2 8)
x xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Determine el punto faltante
8. Tabla de Valores
9. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
10. Dominio y Rango
70
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):
2) 2
2
( 7)( 9 14)
( 4 21)
x xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Determine el punto faltante
8. Tabla de Valores
9. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
10. Dominio y Rango
71
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):
3) 2
2
( 7 18)
( 11 18)
x xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Determine el punto faltante
8. Tabla de Valores
9. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
10. Dominio y Rango
72
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):
4) 2
2
( 16 55)
( 8 33)
x xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Determine el punto faltante
8. Tabla de Valores
9. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
10. Dominio y Rango
73
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):
5) 2
2
( 19 84)
( 10 24)
x xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Determine el punto faltante
8. Tabla de Valores
9. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
10. Dominio y Rango
74
DADA LA ECUACIÓN RACIONAL (NIVEL 3): ( )
( ) , ( ) 0( )
p xy f x q x
q x
A continuación haremos ejemplos con dos asíntotas verticales, y asíntota horizontal Y=0 Dada la grafica
2
( 4)( )
( 56)
xy f x
x x
Factorizamos por tanteo ( 4)
( )( 8)( 7)
xy f x
x x
Como vemos el grado del polinomio de arriba es 1, y el de abajo es 2, y no hay factores repetidos para puntos faltantes
1) Determinamos los factores, y los clasificamos arriba y abajo.
Ubicación Factor Valor x Hace 0 el factor
Tipo
Arriba (x+4) X=-4 Intercepto en x
Abajo (x-8) X=8 Asíntota vertical
(x+7) X=-7 Asíntota vertical
2) Calculamos los valores prohibidos que serán candidatos para una asíntota vertical
En este casos los valores prohibidos son -7 y 8, y constituyen las asíntotas verticales cuando x-8=0 x+7=0 Despejando nos queda X=8 X=-7 Formalmente Asíntota Vertical (AV): x= 8 Asíntota Vertical (AV): x= -7
3) Calculamos el intercepto en x, ocurre cuando y=0 o sea:
( 4)0
( 8)( 7)
x
x x
Nos queda 0( 8)( 7) ( 4)x x x
0 ( 4)x
Despejando nos queda x=-4 Formalmente Intercepto en x = Ix (-4, 0)
4) Calculamos el intercepto en y, que ocurre cuando x=0
Sustituimos ((0) 4) 4 4 1
( )((0) 8)((0) 7) ( 8)( 7) 56 14
y f x
Formalmente Intercepto en y = Iy (0, -1/14)
5) Asíntota Horizontal Calculamos
2
1:
xAH y
x x
Nota: como no nos queda una constante debemos evaluar que ocurre en – infinito y + infinito Usamos -1000 y nos queda 1/(-1000)=10.001 Usamos +1000 y nos queda 1/(+1000)=+0.001 Lo cual nos dice que tiene a la recta horizontal y=0 REGLA GENERAL: cuando el grado del polinomio del numerador sea menor que el del denominador la asíntota horizontal siempre será y=0 Verificación de cruce: Igualamos la ecuación a y=1
( 4)0
( 8)( 7)
x
x x
Y despejamos ( 8)( 7)0 ( 4)x x x
0 ( 4)x
X=-4, por lo tanto si cruza cuando x=-4
75
6) Elaboramos ahora la tabla de valores
Tipo x y (x, y)
-00 -100 ( 100 4)
( 100 8)( 100 7)
= -0.010
(-100, -0.010)
AV- -7 -0.01
-20.053 (-7.01, -20.053)
AV -7 No definido No Definido
AV+ -7+ 0.01
19.947 (-6.99, 19.947)
Ix -4 0 (-4,0)
Iy 0 =-1/14= -0.071 (0, -0.071)
AV- 8-0.01 -79.987 (7.99, -79.987)
AV 8 No definido No Definido
AV+ 8+ 0.01
80.013 (8.01, 80.013)
+00 +100 +0.011 (100, 0.011)
7) Elaboramos la grafica
Primero ubicamos las asíntotas AV: X=-8, x=7 AH: y=0
Segundo ubicamos las tendencias, interceptoS
Tercero unimos por el camino más corto
Cuarto unimos y logramos la grafica
8) Dominio
Dominio = 8,7
9) Rango
Rango = 0
76
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 3):
1) 2
( 2)
( 5 24)
xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2 5 24x x x x
Combinación -24 -24 = -1(24)=-2(12)=-6(4)=-8(3) Sumemos las combinaciones = 23,+10, -2, -5 Nos conviene -8(3) = -24 y -8+3 = -5
2 5 24 8 3x x x x
( 2)
( 8)( 3)
xy
x x
Factores del numerador son Ix Factores del denominador son AV
2. Determine la asíntota vertical (x-8)=0 X=8 AV: x=8 (x+3)=0 X=-3 AV: x=-3
3. Determine la asíntota horizontal ( ) 1
( )( )
xy
x x x
Como no me quedo constante tendré que probar + y – infinito. Probamos x= -10000 y= 1/(-10000) = -0.0001 Probamos x= +10000 y= 1/(10000) = +0.0001 por tanto AH: y=0 como regla general Los casos que queden asi
2 3 4
1 1 1 1, , ,
x x x x
En todos estos casos la AH: y=0
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
Igualamos ( 2)
( 8)( 3)
xy
x x
a cero
( 2)0
( 8)( 3)
x
x x
Y despejamos 0( 8)( 3) ( 2)x x x
Todo valor que multiplica con 0 es cero 0 ( 2)x
2x El punto de cruce (2,0)
5. Determinar Intercepto en Y Iy(0,?) entonces X=0
2
((0) 2) 2 1
((0) 5(0) 24) 24 12y
IY(0,1/12) 6. Determinar el intercepto en “x”
Ix(?,0) entonces y=0 ( 2)
0( 8)( 3)
x
x x
Y despejamos 0( 8)( 3) ( 2)x x x
Todo valor que multiplica con 0 es cero 0 ( 2)x
2x Ix(2,0)
7. Tabla de Valores Valores de Ix(2,0) AV:x=-3, x=8
tipo x y (x, y)
-infinito -100 ( 100 2)
( 100 8)( 100 3)
=-0.0097
(-100, -0.0097)
AV-0.01 -3.001 -454.595 (-3.001, -454.595)
AV -3 ND
AV+0.01 -2.999 +454.495 (-3.001, +454.495)
Iy 0 1/12 (0, 0.083)
Ix 2 0 (2,0)
AV-0.01 7.999 -545.41 (7.999, -545.41)
AV 8 ND
AV+0.01 8.001 +545.49 7.999, +545.49)
+infinito +100 +0.0103 (100, +0.0103)
77
8. Grafica (indicar dominio y rango
gráficamente)
Dominio (valores x) Dominio = Reales – {-3,8} Rango = Reales = ]-infinito, +infinito[
7
6
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-1
-2
-3
-4
78
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 3):
1) 2
( 3)
( 2 35)
xy
x x
9. Factorice y clasifique factores
10. Determine la asíntota vertical
11. Determine la asíntota horizontal
12. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
13. Determinar Intercepto en Y
14. Determinar el intercepto en “x”
15. Tabla de Valores
16. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
17. Dominio y Rango
79
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 3):
2) 2
( 7)( 2)
( 2 8)
xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
80
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 3):
3) 2
( 3)
( 3 10)
xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
81
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):
4) 2
(2)
( 8 20)y
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
82
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 3):
5) 2
( 1)
( 3 15)
xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
83
TEORIA DE APLICACIONES Llamamos aplicaciones al proceso de utilizar herramientas matemáticas para poder resolver problemas de la vida real. Los pasos para resolver un problema de la vida real por lo general son estos
1) Observar la realidad 2) Elaborar una versión simplificada de la
realidad 3) Trasladar esa versión simplificada de la
realidad a un modelo matemático 4) Resolver el modelo matemático 5) Interpretar los resultados del modelo
matemático EJEMPLO Resulta que Juan desea poner un negocio para vender relojes, cada reloj lo piensa vender a 600 lempiras, el los compra al proveedor por 350 lempiras, pero para tener trabajando su negocio, al mes gasta 2000 lempiras en celular, 1500 en gasolina para su moto, 500 en publicidad.
1) Simplificar esa realidad (determinar los datos)
Precio de venta = 600 lempiras
Costo unitario = 350 lempiras
Gastos mensuales o 2000 en celular o 1500 en gasolina para la moto o 500 en publicidad
2) Modelo de la realidad en términos matemáticos
q=numero de unidades
quantity = cantidad
MODELO MATEMATICO
Y= Mx +b
Total = Variable + Fija
INGRESO
Ingreso Total=
Ingreso Variable
+ Ingreso Fijo
I= 600(q) + 0
COSTO
Costo Total =
Costo Variable
+ Costo Fijo
C = 350 (q) + 2000 + 1500 + 500
UTILIDAD
HAY (600q)-(350q)
(0) –(2000+1500+500)
250q -4000
Ecuaciones
Ingreso: I = 600q +0
Costo: C= 350q+4000
Utilidad:U = 250q-4000 Otra opción de calculo es la siguiente U = I – C U = (600q+0) – (350q +4000) U = 600q+0 – 350q -4000 U = 250q -4000 Grafica de ingreso y costo
84
EL PUNTO DE EQUILIBRIO En una gráfica de Unidades-Lempiras, el punto de equilibrio nos dice en que unidades “q” los ingresos son iguales a los costos, o, o cuando la utilidad es igual a 0 Formulas
I=C
U=0 GRAFICA DE UTILIDAD
3) Interpretaciones
Con cada reloj que vendo gano 250 lempiras por reloj
Para no tener pérdidas debo vender al menos 16 relojes
El volumen de ventas mínimo (cantidad en lempiras) que debo tener para no tener pérdidas es de 9600 lempiras
Si no vendo nada pierdo 4000 lempiras NOS PREGUNTAMOS ¿Cuanto debo vender para tener utilidades de 6000 lempiras? Recordamos que tenemos la ecuación
U= 250q -4000 Igualamos
6000 = 250q-4000 6000+4000 = 250q 10000/250 = q q=40
RESPUESTA APLICADA Debemos vender 40 relojes para lograr una utilidad de 6000 lempiras.
85
EJEMPLO 2 Maria tiene un negocio de vender celulares en la casa en tiempos de covid, los ofrece a 900 lempiras, y los compra a 600 lempiras, su papa para estimularla solo por tener el negocio al mes le da 1000 lempiras como premio, y Maria es responsable de pagar su celular para hacer negocios y paga 800 lempiras, y también debe pagar el cable por el uso del internet y lo que aporta es de 400 lempiras, además gasta en gasolina para llevar el celular a los vecinos alrededor de 1200 lempiras al mes.
1) Los datos simplificados de la realidad
Precio de venta 900 lempiras por unidad
Costo unitario 600 lempiras por unidad
Ingreso fijo de 1000 lempiras
Costos fijos
800 lempiras de celular
400 lempiras internet
1200 lempiras de gasolina
2) Elaboramos la tabla del modelo
matemático MODELO MATEMATICO
Y= Mx +b
Total = Variable + Fija
INGRESO
Ingreso Total= Ingreso Variable + Ingreso Fijo
I= 900*q + 1000
COSTO
Costo Total = Costo Variable + Costo Fijo
C = 600*q +800+400+1200 =2400
UTILIDAD
U=I-C (900q)-(600q) = 300q
(1000)-(2400) =-1400
U = 300q -1400
ECUACIONES
Ingreso: I=900q+1000
Costo: C=600q+2400
Utilidad: U = 300q-1400
PUNTO DE EQUILIBRIO I=C U=0 U=300q-1400 = 0 Q=1400/300 = 4.6667 unidades GRAFICAR INGRESO Y COSTO
q Ingreso Costo Utilidad
0 900(0)+1000 =1000
600(0)+2400 =2400
1000-2400 =-1400
4.67
900(4.67)+1000 =5203
600(4.67)+2400 =5202
= 1
10 1000 8400 1600
GRAFICAMOS INGRESO Y COSTO
GRAFICAMOS LA UTILIDAD
UTILIDAD ESPERADA Tenemos U = 300q-1400 Y queremos saber cual es la cantidad de unidades requeridas para lograr un ingreso de 10000, por lo que igualamos 10000 = 300q-1400 10000+1400=300q
86
(10000+1400)/300 =q 11400/300=q Q= 38 unidades Respuesta redactada: se requieren vender 38 unidades para lograr una utilidad de 10000 lempiras EJERCICIO 8: APLICACIÓN LINEAL SIMPLE 1) En el mercado de baleadas se sabe por investigaciones anteriores que si el precio de venta de cada unidad es de L15 la cantidad demandada será de 2500 unidades semanales; asimismo, se sabe que si el precio aumenta en 20% la cantidad demandada disminuirá en 20% unidades semanales. Calcule: a) La función de demanda que exprese esta relación entre el precio y la cantidad demandada. Solución: Vemos Que tenemos los datos de los dos puntos de una recta Armamos la tabla
Momento Unidades (x) Precio (y)
Momento 1 2500 15
Momento 2 2500-20%(2500)
15+20%(15)
Calculamos el momento 2 y nos queda
Momento 2 2500-500 = 2000
15+3 =18
Ahora podemos aplicar la fórmula de la pendiente
2 1
2 2
(18) (15) 3
(2000) (2500) 500
y ym
x x
Calculamos la ecuación
1 1( )y y m x x
3(15) [ (2500)]
500y x
3(15) 15
500y x
315 15
500y x
330
500y x
Verificamos con el punto 2
3(2000) 30 12 30 18
500y
Se cumple (2000,18) Expresando en variables económicas nos queda Respuesta: la ecuación del precio demandado es:
330
500p q
b) Si el precio de venta de cada baleada es de L 16, ¿Cuál es la cantidad demandada? Sustituimos en la ecuación
316 30
500q
500(30 16) 2333.33
3q
Respuesta: la cantidad demanda son 2333.33 unidades c) ¿Cuánto debe ser el precio de cada unidad si desea vender 1800 unidades semanales? Sustituimos en la ecuación
330
500p q
3(1800) 30 19.20
500p
Respuesta: el precio de 19.20 lempiras produce 1800 cantidades demandadas. Iy(0,?) x=0
3(0) 30 30
500y
(0,30) Ix(?,0) y=0
30 30
500x
330
500x
500
303
x
5000 x
Ix(5000,0) Grafique la función de Ingreso
87
DEMANDA Se puede representar asi
La empresa establece una política de precio que permita que todos puedan comprar
Demanda y política de precio
A) Desde el punto de vista de descuento por volumen
Precio = 300 -1/100q
Donde 300 es el precio inicial -1/100 es el descuento por cada unidad adicional
B) Desde el punto de vista de la capacidad de compra
88
EJERCICIO Resulta que la cafetería “buen cafe” hizo dos pruebas de precio y descubrió lo siguiente:
Si ponía el precio del café a 30 lempiras, vendía 2000 unidades al mes
Si ponía el precio del café a 35 lempiras, vendía 1500 unidades al mes
Determine la ecuación de demanda en base a estos datos
Momento Unidades (q) “x”
Precio (p) “Y”
1 2000 30
2 1500 35
Buscamos la siguiente ecuación P=m(q)+b O en términos matemáticos Y=mx+b Aplicamos la formula de pendiente
2 1 2 1
2 1 2 1
y y p pym
x x x q q
(35) (30) 5 1
(1500) (2000) 500 100m
Se interpreta que por cada 100 unidades el precio se reducirá en 1 lempira Calculamos el b
1 1 1 1b y mx p mq
130 (2000)
100b
30 20 50b La ecuación de demanda
150
100p q
Para verificar susituimos el punto 2
1(1500) 50 15 50 35
100p
Como el punto (1500, 35 ) pertenece a la gráfica esta correcta la ecuación Para graficar encontramos los intercepto Ix(?,0) Iq(?, 0)
10 50
100q
150
100q
10050
1q
5000 q
Iy(0,?) Ip(0,?) 1
(0) 50100
p
50p
Graficamos
El dueño del negocio desea saber cuanto vendería si pone el precio de 40 lempiras por tasa p=40
150
100p q
150
100p q
140 50
100q
140 50
100q
89
100
40 501
q
100
101
q
1000 q
Respuesta: Si el precio se pone en 40 lempiras por unidad se venderán 1000 unidades El dueño del negocio desea saber a que precio debería vender para lograr 4000 unidades q=4000
150
100p q
1
4000 50100
p
40 50 10p
Respuesta: Para lograr 4000 unidades se deberán poner el precio de 10 lempiras por unidad.
90
EJERCICIO DE DEMANDA Un negocio de Baleadas tiene el precio a 30 lempiras y vende 1000 baleadas a la semana, y luego puso el precio a 40 lempiras 700 baleadas. Decimos que las unidades son “x”, y los precios son “y” al graficar nos queda así:
Para calcular la ecuación de la demanda que se representa si
Precio= m*q+b
q=unidades
p=precio final
b=precio base En términos matematicos
y=m*x+b
x=unidades
y=precio utilizamos la ecuación de la pendiente{
2 1 2 1
2 1 2 1
y y p pym
x x x q q
(40) (30) 10 1
(700) (1000) 300 30m
Se interpreta que por cada 30 unidades se reduce el precio en un lempira. Calculamos el b
1 1 1 1b y mx p mq
130 (1000)
30b
1000 3 10030 30
30 3 3b
90 100 19063.33
3 3 3
Ecuacion de la demanda queda y mx b
p mq b
1 190
30 3p q
Para verificar usamos el punto 2 q=700, p=40
1 190 700 190(700)
30 3 30 3p
70 190 12040
3 3 3
Como logramos el mismo p=40 con q=700 la ecuación esta correcta. Ix(?,0) Iq(?,0)
1 190
30 3p q
1 1900
30 3q
190 1
3 30q
190 30
3 1q
5700
3q
1900 q
Iq(1900,0) Iy(0,?) Ip(0,?)
1 190
30 3p q
1 190 190(0) 63.33
30 3 3p
Ip(0, 190/3) Ip(0,63.33)
91
Tabla de valores
Tipo Unidades(q) “x”(q) “x”(q)
“x”
Precio(p) “y”
Iy 0 63.33
Ix 1900 0
Graficamos
Cual sería el precio que se necesita poner si queremos vender 1500 unidades
q=1500 1 190 1500 190
(1500)30 3 30 3
p
150 190 150 190 4013.33
3 3 3 3
Respuesta redactada: Para vender 1500 unidades se debería poner el precio de 13.33 lempiras por unidad de baleada Cuanto venderíamos si el precio es de 25 lempiras
p=25
1 190q
30 3p
1 19025 q
30 3
92
APLICACIÓN CUADRATICA Un negocio vende q unidades, con la siguiente
ecuación de demanda 0 500 0.40 2q p
donde q es el número de unidades mensuales y p es el precio en lempiras. Determine: a) Encuentre la ecuación de ingreso mensual Primero calculamos la ecuación del precio despejando para p
2 500 0.40p q
250 0.20p q
Esto nos da el precio unitario, para obtener la ecuación de ingreso debemos calcular el ingreso variable = P*Q Ingreso variable = P*Q = ( 250 0.20q )(q+0)
Q= cantidad demandada = q+0, donde 0 representa si hay cantidades iniciales requeridas.
Ingreso variable = 2250 0.20q q
Ingreso fijo =0 Por tanto la ecuación de ingreso es
2( ) 250 0.20 0I q q q
b) Determine la cantidad de unidades que debe vender para obtener el ingreso máximo. Como la ecuación del ingreso es una ecuación cuadrática podemos aplicar el cálculo del vértice de la formula cuadrática pare encontrar le punto máximo, (nota: es máximo porque la constante que
va con 2x es negativa) 2( ) 0.20 250 0I q q q
a=-0.20; b=250; c=0
(250)625
2 2( 0.20)v
bx h
a
Respuesta: para vender el valor máximo se deben vencer 625 unidades. b) ¿Cuál es el ingreso máximo? Simplemente calculamos el valor de ingreso máximo utilizando las unidades calculadas antes
20.20(625) 250(625)vy
78125vy
Respuesta: el ingreso máximo esperado con la venta de 625 unidades es de 78125 lempiras d) Haga la gráfica de la función de ingreso
Para la gráfica ya tenemos el vértice
(625,78125)
El intercepto en y seria 20.20(0) 250(0) 0y
Iy(0, 0)
El intercepto en x seria 20 0.20( ) 250( )x x
Por factor común
0 ( 0.20 250)x x
Nos da las dos respuestas X=0 -0.20x+250=0 De lo cual nos da que X= 1250 Siendo los interceptos Ix1(0, 0) Ix2(1250, 0) Con esto podemos graficar:
93
APLICACIONES CUADRATICAS La diferencia entre ecuaciones lineales y cuadráticas en el caso de problemas de ingreso, costo y utilidad es la siguiente:
En el caso lineal los precios son constantes
En el caso cuadrático, los precios tienen descuento por volumen, o castigo por volumen
Por ejemplo En el caso lineal Tenemos una pizza con precio constante de 200 lempiras por unidad que se expresa así: p=200 En el caso cuadrático: Tenemos una pizza con precio inicial de 200 lempiras por unidad y un descuento de 1 lempira por cada 50 unidades que se expresa así: p=200-(1/50)*q Entonces si queremos saber los ingresos o la ecuación de ingresos, suponiendo un ingreso fijo de 3000 lempiras por apoyo del gobierno En caso lineal la ecuación seria I.Total = I.Variable+I.Fijo Ingresos = P*Q+IF = (200)(q+0) +3000 P=p=200 Q=q+0 I= 200q+3000 En el caso cuadrático la ecuación seria Ingresos = P*Q +I.Fijo Ingreso= (200-1/50q)(q+0)+3000
200 1/ 50 0 3000I q q
200 1/ 5 3 000 0q qI 2200 1/ 50 3000I q q
21/ 50 200 3000I q q
Porque ponemos (q+0) Porque en algunos casos existe la obligación de comprar cantidad minima de productos. Por ejemplo al alquilar equipo de construcción se exigen 4 horas mínimas de alquiler Si el precio de alquiler por hora es 500
horas Pagadas valores
0 4 500*4=0
1 4 500*4=2000
2 4 500*4=2000
3 4 500*4=2000
4 4 500*4=2000
5 5 500*(4+1)=2500
6 6 500*(4+2)=3000
Resumiendo
Caso Lineal Caso Cuadrático
Ingreso = 200q+3000
Ingreso = P*Q Ingreso = (200-1/50q) (q+0) +3000
2200 1/ 50 3000I q q
En el caso cuadrático hay un descuento se calcula según el número de unidades y este vale
1/ 50q
Se lee o interpreta que por cada 50 unidades se da un descuento de 1 lempiras.
94
EJEMPLO DE LINEAL Y CUADRATICA EN DOS ETAPAS CASO LINEAL Resulta que Juan desea poner un negocio para vender relojes, cada reloj lo piensa vender a 600 lempiras, el los compra al proveedor por 350 lempiras, pero para tener trabajando su negocio, al mes gasta 2000 lempiras en celular, 1500 en gasolina para su moto, 500 en publicidad. PARTE LINEAL
MODELO MATEMATICO
Y= Mx +b
Total = Variable + Fijo
INGRESO
Total = Variable + Fijo
I= P*Q =(600+0q)(q+0) =(600)(q)
+ 0
COSTO
Total = Variable + Fijo
C = 350 (q) + 2000 + 1500 + 500
UTILIDAD
U= (600q)-(350q) (0) –(2000+1500+500)
U= 250q -4000
Graficamos Ingreso y costo
Graficamos la utilidad
CASO CUADRATICO Resulta que el dueño del negocio quiere poner un descuento por volumen en el precio de
venta de 140
que se interpreta un lempira
cada 40 unidades el modelo nos queda asi
MODELO MATEMATICO
Y= Mx +b
Total = Variable + Fijo
INGRESO
Total = Variable + Fijo
I= P*Q =(600-1/40q)*(q+0)
2160040
q q
+ 0
COSTO
Total = Variable + Fijo
C = 350 (q) + 2000 + 1500 + 500
UTILIDAD
HAY 2160040
q q -
350q
(0) –(2000+1500+500)
2125040
q q -4000
DETALLE DEL CALCULO DE UTILIDAD VARIABLE
21600 35040
q q q
21600 35040
q q q
21600 35040
q q q
21(600 350)40
q q
2125040
q q
95
La utilidad quedaría 21250 4000
40U q q
METODO ABREVIADO UTILIDAD=INGRESO-COSTO U=[Pv*Q+IF]-[Pc*Q+CF] U=[(600-1/40q)(q+0)+0]-[350*q+4000]
600 1/ 40 0 0 350* 4000U q q q
2600 1/ 40 0 350 4000U q q q
2600 1/ 40 350 4000q q qU 2600 350 1/ 40 4000q q qU
21 / 42 0 05 0 4 00q qU
Graficamos Ingreso y Costo y utilidad
96
EJEMPLO DE EJERCICIO LINEAL CONVERTIDO EN CUADRATICO El ejercicio lineal es Maria tiene un negocio de vender celulares en la casa en tiempos de covid, los ofrece a 900 lempiras, y los compra a 600 lempiras, su papa para estimularla solo por tener el negocio al mes le da 1000 lempiras como premio, y María es responsable de pagar su celular para hacer negocios y paga 800 lempiras, y también debe pagar el cable por el uso del internet y lo que aporta es de 400 lempiras, además gasta en gasolina para llevar el celular a los vecinos alrededor de 1200 lempiras al mes.
MODELO MATEMATICO
Y= Mx +b
Total = Variable + Fija
INGRESO
Ingreso Total= Ingreso Variable + Ingreso Fijo
I= (900)*(q+0) 900q
+ 1000
COSTO
Costo Total = Costo Variable + Costo Fijo
C = 600*q +800+400+1200 =2400
UTILIDAD
U=I-C (900q)-(600q) = 300q
(1000)-(2400) =-1400
U = 300q -1400
Graficamos ingreso y costo
Graficamos Utilidad
CASO CUADRATICO Resulta que el dueño del negocio quiere poner un descuento por volumen en el precio de
venta de 120
que se interpreta un lempira
cada 20 unidades, entonces el modelo nos queda asi
MODELO MATEMATICO
Y= Mx +b
Total = Variable + Fija
INGRESO
Ingreso Total=
Ingreso Variable + Ingreso Fijo
I= P*Q= (900-1/20q)*(q+0)
190020q q
2190020
q q
+ 1000
COSTO
Costo Total =
Costo Variable + Costo Fijo
C = 600*(q+0) +800+400+1200 =2400
UTILIDAD
U=I-C ( 2190020
q q )
-(600q)
(1000)-(2400) =-1400
U 21900 60020
q q q
2130020
q q
-1400
97
ECUACION DE UTILIDAD 21300 1400
20U q q
Graficamos Ingreso, costo y utilidad
98
TAREA DE ECUACION LINEAL DE DEMANDA Una negocio de venta de baleas ha tenido la siguiente experiencia Al tener el precio a 40 lempiras por baleada vendía 500 unidades y al poner el precio de 30 lempiras vendió 1500 unidades.
a) Complete la siguiente tabla
Momento Unidades Precio
1
2
b) Determine la ecuación de la demanda
(valores de m y b) Demanda = m*q+b
c) Determine el intercepto en x
d) Determine el intercepto en y
e) Grafique la demanda (recuerde no
puede tener unidades negativas, ni
precios negativos)
f) Para vender 2000 unidades determine
que precio requiere
g) Cuanto venderá si el precio es de 45
lempiras
99
TAREA: APLICACIONES LINEALES Juan vende Tablet tipo Android a 2400 lempiras y las compra a 1500 lempiras cada una, su padre le ayuda con 1000 lempiras de subsidio, y el debe pagar 2000 de electricidad, 3000 lempiras de alquiler y 500 lempiras de cuenta de celular.
a) Determine los siguientes elementos del problema
Precio unitario de venta
Costo Unitario de venta
Ingreso fijo por subsidio o ayuda
Costo fijo
b) Complete la siguiente tabla según corresponda el modelo lineal del problema
TOTAL VARIABLE FIJO
Y= mx +b
Ingreso =
Costo =
Utilidad =
c) Liste las ecuaciones de ingreso, costo y utilidad
d) Determine el punto de equilibrio cuando
Ingreso =Costo Utilidad =0
e) Determine cual seria la utilidad (perdida) si se venden 50 unidades
f) Determine cual es la cantidad de unidades que debería vender para obtener una utilidad de 10,000 lempiras
100
TAREA: APLICACIÓN CUADRATICA A PARTIR DEL CASO LINEAL En el negocio del caso lineal, resulta que Juan desea establecer un descuento de 10 lempiras cada 50 unidades, y ya no tiene la ayuda o subsidio de su papa
a) Determine los siguientes elementos del problema
Precio unitario de venta
Descuento por cantidad de unidades
Costo Unitario de venta
Ingreso fijo por subsidio o ayuda
Costo fijo
b) Complete la siguiente tabla según corresponda el modelo lineal del problema
TOTAL VARIABLE FIJO
Y= mx +b
Ingreso =
Costo =
Utilidad =
c) Liste las ecuaciones de ingreso, costo y utilidad
d) Determine el punto de equilibrio cuando
Ingreso =Costo (como es cuadrática esto ocurre en dos punto) Utilidad =0
e) Determine cual seria la utilidad (perdida) si se venden 50 unidades
101
f) Determine cual es la cantidad de
unidades que debería vender para obtener una utilidad de 10,000 lempiras
Nota: Como es cuadrática habrán dos respuestas, si en una de ellas la respuesta es negativa, no se tomara porque no existen
g) Determine cuál es el número de unidades que produce la utilidad máxima (vértice de la ecuación cuadrática)
h) Elabore la grafica de la utilidad utilizando los valores de unidades que hacen una utilidad igual a cero, y la utilidad maxima