Post on 25-Dec-2015
UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE
FACULTAD DE INGENIERÍA
INGENIERÍA CIVIL EN OBRAS CIVILES
UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE
Tarea °2
Valdivia, Diciembre de 2014.
.
ALUMNO:
SEBASTIÁN RAMOS GRILLI
DOCENTE :
ING.JOSE SOTO
N°: 26
De acuerdo al enunciado ,como una aporximacion adecuada se peude asumir que
el edificio vibra en el primer modo , determinándose asi las siguientes expresiones
para el modo i=1, vistas en clase :
2
1 1 1 1 1 1 1
21 11
* 2* * * * *y * 1
*M* 2* * * * 2
b g
b b b b b b g
b
L q y z w y w L u
Ly q w q w q u
m m
En donde .
2 bb
b
kw
m m
;
12* * bb
b
cw
m m
;
1 2* * ...t
nm r M r m m m
1 1*q y ; 11
1
* *t M rL
M
;
1 1 1M * *t M
El sistema desacoplado se puede representar matricialmente como :
1
1 1
1
*M1
b
L
L
m m
*1
bq
y
+1 10 2* *
2* * 0b b
w
w
*1
bq
y
+2
1
2
0
0b
w
w
*1
bq
y
= -1 1
1
*M1
b
M
L
m m
*
1*
0gu
La ecuación del sistema en movimiento libre sin amortiguamiento queda
expresado por :
1
1 1
1
*M1
b
L
L
m m
*1
bq
y
+2
1
2
0
0b
w
w
*1
bq
y
=0
0
Donde:
1
*
1 1
1
*M1
b
L
M L
m m
; 2
* 1
2
0
0b
wK
w
Las frecuencias natrales y modos de vibrar se calculan resolviendo el problema de
valores y vectores propios del algebra lineal, es decir :
* 2 **M 0Det K w
Reemplazando las matrices correspondientes , resulta :
2 2 2
1 1
2 21 1
*
0*M*b
b
L w w w
Det Lw w w
m m
*
Para conocer w1,ᶲ1,M1,L1 se deben clcular antes las frecuencias y modos propios
del edificio sin aislador sísmico.
Matriz de Masa del Edificio, base fija
2
1
2
52
0.012
0.006* 26 0.012
T Segm
cm
T Segm
cm
Matriz de rigidez del Edificio, base fija
De acuerdo a las instrucciones del enunciado será necesario definir los grados
estáticos del sistema incluyendo los giros en los nudos del pórtico, para luego
condensar la matriz estatica y obtener la matriz dinámica. En efecto :
2250Hormigon
TE
cm
34
30/50
1*30*50312500
12I cm
Se supondrá que el marco es indeformable axialmente
Para hallar la matriz estatica del pórtico, será necesario intreoducir conceptos de
estructuras relacionados a desplazamientos y giros unitarios , es decir :
1 1( "0")q resto
11 3
5*12*109.32
EIK
h 12 3
2*12*43.73
EIK
h
13 0K 14 0K
15 2
6*3826.53
EIK
h 16 2
6*3826.53
EIK
h
17 2
6*3826.53
EIK
h
2 1( "0")q resto
21 3
2*12*43.73
EIK
h 22 3
2*12*43.73
EIK
h 25 0K
23 2
6*3826.53
EIK
h 24 2
6*3826.53
EIK
h 26 2
6*3826.53
EIK
h
27 2
6*3826.53
EIK
h
3 1( "0")q resto
31 0K 34
2*312500
EIK
a
32 2
6*3826.53
EIK
h 35 0K
33
4* 4* 4*2410714,29
EI EI EIK
h h a 36
2*446428,57
EIK
h
37 0K
4 1( "0")q resto
41 0K
42 2
6*3826.53
EIK
h
43
2*312500
EIK
a
44
4* 4*2( ) 3035714.29
EI EIK
a h
45
2*312500
EIK
a
46 0K
47
2*446428
EIK
h
5 1( "0")q resto
51 2
6*3826.53
EIK
h
52 0K
53 0K
54
2*312500
EIK
a
55
4* 4*( ) 1517857,14
EI EIK
a h
56 0K
57 0K
6 1( "0")q resto
61 2
6*3826.53
EIK
h
62 2
6*3826.53
EIK
h
63
2*446428,57
EIK
h
64 0K
65 0K
66
4* 4*( ) 1517857,14
EI EIK
a h
67
2*312500
EIK
a
7 1( "0")q resto
71 2
6*3826,53
EIK
h
71 2
6*3826,53
EIK
h
73 0K
74
2*446428.27
EIK
h
75 0K
76
2*312500
EIK
a
77
4* 4*( ) 1517857,14
EI EIK
a h
Por lo tanto la matriz de rigidez estatica es :
109,23 43,73 0 0 3826.53 3826.53 3826.53
43,73 3826.53 3826.53 0 3826.53 3826.53
2410714,29 312500 0 446428,57 0
30357,29 312500 0 446428,57
1517857,14 0 0
1517857,14 312500
1517857,14
(Matriz Simétrica )
Para condesar los grados de libertad correspondients a giros tenemos que:
11 122 2 2 5
21 225 2 5 5
x x
x x
K K
K K
*
q
=
F
M
Al resolver la ecuación matricial tenemos el siguiente sistema de ecuaciones :
11 12
21 22
* * 1
* * 2
K q K F
K q K M
Despejamos de 2 y luego reemplazamos en 1 :
1
21 22 22 21* * 0 * *K q K K K q
De 1 :
1
11 12 22 21* * * *K q K K K q F
2 2
1
11 12 22 21* *
xK
K K K K q F
109,23 43,73 0 0 3826.53 3826.53 3826.53
. 43,73 3826.53 3826.53 0 3826.53 3826.53
. . 2410714,29 312500 0 446428,57 0
. . . 30357,29 312500 0 446428,57
. . . . 1517857,14 0 0
. . . . . 1517857,14 312500
. . . . . . 1517857,14
1
0 3826,53
0 3826,53
* 3826,53 0
3826,53 3826,53
3826,53 3826,53
Asi entonces l matriz dinámica de rigidez asociada a los grados de libertad
traslacionales ( q1 y q2) será :
*
83.291 28.9
28.9 22.01DinamicaK
Frecuencias propias
2Det( * ) 0DinamicaK w M
2
2
83.291 0.012* 28.90
28.9 22.01 0.012*
w
w
2 2 2(83,291 0.012* )*(22.011 0.012*w ) 28.9 0w
1
2
29.625
88.868
w radw
w seg
109.32 43.73 0 0 3826,53 3826,53 3826,53
43.73 43.73 3826,53 3826,53 0 3826,53 3826,53DinamicaK
Luego el primer modo de vibrar se asocia a la menor frecuencia , asi se obtiene :
12
1
12
2
083.291 0.012* 28.9*
028.9 22.01 0.012*
w
w
Se hace 1
1 1,0 en cualquiera de las ecuaciones y obtenemos:
2 2 1
2(83,291 0.012*29,625 )*(1,0) 28.9 * 0
1
2 2.23
1
1
1 1
2
1
2.23
Ahora tenemos que:
1 2* * ...t
nm r M r m m m
2
0.12 0.12 0.24tn seg
mcm
5,4b
TK
cm
2 5.4168,75
20.024 *0.012
3
bb
b
k radw
m m seg
2
1 1 1
0.012 0 1* * 1 2.23 * * 0.072
0 0.012 2.23
T tn segM M
cm
1
1r
( vector de influencia sísmica )
1
1
0.012 0 11 2.23 * *
0 0.012 1* *0.538
0.072
M rL
M
Ahora reemplazamos estos parámetros en el determinado presentado en el
comienzo (*), asi :
2 2 2
1 1
2 21 1
*
0*M*b
b
L w w w
Det Lw w w
m m
2 2 2
2 2
0.538* 29,625
0.538*0.072 0168,75 *2
0.024 *0.0123
w w
w w
De aquí se obtiene :
1
2
12,2
53,4
w radw
w seg
En el enunciado se indica que un aproximación adecuada se peude asumir que el
edificio vibra en el primer modo( i=1) , asi entonces para w1=12.024 rad
seg
se
obtendrá el modo principal y el periodo del sistema compuesto ( edificio+Aislador )
Modo 1 (modo principal):
12 2 2
1
12 2
2
00.538*12.2 29,625 12.2*
0168,75 12.2 1,2105*12,204
Se hace 1
1 1
Por lo tanto :
2 2 2 1
2( 0.538*12.2 )*1,0 (29.625 12.2 )* 0
Despejando :
1
2 0.11