Post on 27-Jan-2021
TEMA 14 (libro) : DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y NORMAL
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DEL LIBRO DE TEXTO
SE DEBEN DAR LOS RESULTADOS REDONDEADOS A 4 CIFRAS DECIMALES
DE ESTA RELACIÓN DE EJERCICIOS DEBES SABER HACER:
o Aplicar B(n,p) con ayuda de la fórmula y calculadora.
o Tipificar X ≡ N(𝜇, 𝜎) Z ≡ N(0,1).
o Manejar bien la tabla N(0,1) de manera directa e inversa.
o Y sobre todo: ¡ojo! con los sucesos de N(0,1) convertirlos en dibujos.
LOS EJERCICIOS DE BINOMIAL Y NORMAL SON MUY METÓDICOS, Y MUY DIFERENTES ENTRE
SÍ, NO ORIGINAN CONFUSIÓN.
EN EBAU SE PREGUNTARON POR PRIMERA VEZ EL CURSO PASADO (un ejercicio con dos apartados,
un apartado de probabilidad y en el otro una “normal”)
LOS QUE SE PUSIERON HACÍAN REFERENCIA AL CÁLCULO DE "𝜇" 𝑦 "𝜎" EN UNA NORMAL EN LA QUE DABA LA PROBABILIDAD EN %.(los últimos de esta relación son de ese tipo)
AÑADO COMO ÚLTIMO LOS TRES EJERCICIOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
PROPUESTOS EN EL MODELO DE EXAMEN QUE EL COORDINADOR PROPUSO
32.-33.-35.- Funciones de Probabilidad y Distribución
Sólo hago 33a) y 33d) para que conozcáis esos dos conceptos: Función de probabilidad y
función de distribución.
a) Tabla: X x1 x2 x3
P(X = xi) 2
3
1
6
1
5
Para que sea una función de probabilidad
La suma de todas las probabilidades debe ser 1 ∑ P(X = xi)3i=1 = 1 , en este caso
2
3+1
6+1
5=
31
30 > 1 No es una función de probabilidad.
d) Tabla: X x1 x2 x3 x4 x5
P(X = xi) 0,2 0,1 0,1 0,2 0,4
Para que sea una función de probabilidad
La suma de todas las probabilidades debe ser 1 ∑ P(X = xi)5i=1 = 1 , en este caso
0,2 · 2 + 0,1 · 2 + 0,4 = 1 Sí es una función de probabilidad.
Su función de distribución es (una función a trozos, escalonada)
𝐹(𝑥) =
{
0 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑥10,2 𝑠𝑖 𝑥1 ≤ 𝑥 < 𝑥2 0,3 𝑠𝑖 𝑥2 ≤ 𝑥 < 𝑥3 0,4 𝑠𝑖 𝑥3 ≤ 𝑥 < 𝑥4 0,6 𝑠𝑖 𝑥4 ≤ 𝑥 < 𝑥5
1 𝑠𝑖 𝑥5 ≤ 𝑥
Ese valor se ha obtenido sumando P(X=x1) y P(X=x2) 0,1+0,2=0,3
Ese valor se ha obtenido sumando P(X=x1), P(X=x2), P(X=x3)
y P(X=x4) 0,2+0,1+0,2+0,1 = 0,6
Se elabora de la siguiente manera:
F(xi) = P(X≤xi) Se calcula como suma de las probabilidades hasta el valor xi.
43.- ¿Distribución binomial? Escribo las características para que sea binomial
Se repite un experimento “n” veces en las mismas condiciones (independencia)
En el experimento aleatorio sólo pueden darse dos posibilidades :
que ocurra un determinado suceso A, que llamaremos éxito, o
que no ocurra dicho suceso, �̅�, que llamaremos fracaso
Para el suceso A, P(A) = p , entonces P(�̅�) = q = 1 - p
Si definimos X ≡ “nº de veces que ocurre el suceso A en las n veces que realizamos el experimento”,
X = 0, 1, 2 , 3 . . . n Se dice que “X sigue una distribución binomial de parámetros n y p”, y se escribe :
X ≡ B(n,p)
a) Si definimos X ≡ “nº de fichas que son blancas en las 4 extracciones” no sigue una
distribución binomial, porque no se repite el experimento en las mismas condiciones
(independencia), puesto que la extracción en cada caso es sin devolución.
b) Si definimos X ≡ “nº de fichas que son blancas en las 4 extracciones” sigue una
distribución binomial porque cumple todas las condiciones. Además X ≡ B(4,3/8).
c) Si definimos X ≡ “nº de veces que sale el número 1 en los 10 lanzamientos del dado”, sigue
una distribución binomial porque cumple todas las condiciones. Además X ≡ B(10,1/6).
d) Si definimos X ≡ “nº de veces que sale el número 3” no sigue una distribución binomial,
porque no sabemos cuántas veces se repite el experimento, y además no se repetiría en las
mismas condiciones.
e) Si definimos X ≡ “nº de personas, de un grupo de 20, que tienen los ojos azules” sigue una
distribución binomial porque cumple todas las condiciones. Además X ≡ B(20;0,1).
46.- ¿Distribución binomial?
a) Si definimos X ≡ “nº de tiradas con puntuación 10, de las 50 veces que lanza” sigue una
distribución binomial porque cumple todas las condiciones. Además X ≡ B(50; 0,97).
b) Si definimos X ≡ “nº de tornillos defectuosos de los 5 fabricados” ” sigue una distribución
binomial porque cumple todas las condiciones. Además X ≡ B(5; 0,12).
c) Si definimos X ≡ “nº de veces que sale el 6 de los 10 lanzamientos” sigue una distribución
binomial porque cumple todas las condiciones. Además X ≡ B(10, 1/6).
d) Si definimos X ≡ “nº de varones de una familia de 7 hijos” sigue una distribución binomial
porque cumple todas las condiciones. Además X ≡ B(7, 1/6).
e) Si definimos X ≡ “nº de vecinos que tiene nietos, de un grupo de 20 vecinos” sigue una
distribución binomial porque cumple todas las condiciones. Además X ≡ B(20; 0,7).
f) Seguiría una distribución binomial si la variable aleatoria fuese saber si se han titulado en
el tiempo mínimo, pero esta variable no sigue una distribución binomial.
45.- Completar las tablas con la distribución de probabilidad
Para completar las tablas usamos la fórmula de la probabilidad para una variable aleatoria que sigue un
distribución binomial. 𝐏(𝐗 = 𝐤) = (𝐧𝐤)𝐩𝐤𝐪𝐧−𝐤 con k = 0,1,2 . . . n ; donde:
n = número de experimentos k = número esperado de éxitos
p = probabilidad de éxito q = 1 – p.
La calculadora tiene sobre una tecla (la de dividir) nCr que es la que sirve para calcular (
𝑛𝑟), se lee “n”
sobre”r”.Se introducen en el orden en el que se escriben , intercalando entre ellos SHIFT y la tecla
sobre la que se encuentre, para que calcule; es decir, para calcular (32) 3 SHIFT
.. 2 = 3 . [Así
funciona mi calculadora]
Para calcular cualquier probabilidad introduce todos los datos seguidos y copia el resultado
a) X ≡ B(3; 0,9) xi 0 1 2 3
P(X = xi) 0,001 0,027 0,243 0,729
En este caso n = 3 ; k = 0, 1, 2, 3 ; p = 0,9 y q = 0,1.
P(X = 0) = (30) 0,90 · 0,13 = 0,001 P(X = 1) = (3
1) 0,91 · 0,12 = 0,027
P(X = 2) = (32) 0,92 · 0,1 = 0,243 P(X = 3) = (
33) 0,93 · 0,10= 0,729
La media se calcula aplicando la fórmula:
𝜇 = ∑ [ 𝑥𝑖 · 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)]3𝑖=0 = 0 · P(X = 0) + 1 · P(X = 1) + 2 · P(X = 2) + 3 · P(X = 3) = 2,7
La desviación típica se calcula aplicando la fórmula:
𝜎 = √∑ [ 𝑥𝑖2 · 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)] − 𝜇
23𝑖=0 =
√02 · P(X = 0) + 12 · P(X = 1) + 2 2 · P(X = 2) + 32 · P(X = 3) – 2,72 = √0,26998 = 0,5196
b) X ≡ B(5; 0,15) xi 0 1 2 3 4 5
P(X = xi) 0,4437 0,3915 0,1382 0,0244 0,0022 0,00008
En este caso n = 5 ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 ; p = 0,15 y q = 0,85.
P(X = 0) = (50) 0,150 · 0,855 = 0,4437 P(X = 1) = (5
1) 0,151 · 0,854 = 0,3915
P(X = 2) = (52) 0,152 · 0,853 = 0,1382 P(X = 3) = (5
3) 0,153 · 0,852= 0,0244
P(X = 4) = (54) 0,154 · 0,851 = 0,0022 P(X = 5) = (5
5) 0,155 · 0,850 = 0,00008
La media se calcula aplicando la fórmula:
𝜇 = ∑ [ 𝑥𝑖 · 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)]3𝑖=0 = 0 · P(X = 0) + 1 · P(X = 1) + 2 · P(X = 2) + 3 · P(X = 3) + 4 · P(X = 4) +
5· P(X = 5) = 0,7503
La desviación típica se calcula aplicando la fórmula:
𝜎 = √∑ [ 𝑥𝑖2 · 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)] − 𝜇
2 3𝑖=0 =
√0 · P(X = 0) + 1 · P(X = 1) + 2 2 · P(X = 2) + 32 · P(X = 3) + 42 · P(X = 4) + 52 · P(X = 5)– 0,75032
= √0,6381 = 0,7988
9.- X ≡ B(8; 0,6)
Identificamos los valores necesarios para aplicar la fórmula conocida del cálculo de
probabilidades de una variable aleatoria que sigue una distribución binomial.
X ≡ B(n,p) 𝐏(𝐗 = 𝐤) = (𝐧𝐤)𝐩𝐤𝐪𝐧−𝐤 con k = 0, 1, 2 . . . n ; donde:
n = número de experimentos k = número esperado de éxitos
p = probabilidad de éxito q = 1 – p.
En nuestro caso ahora es :
𝐏(𝐗 = 𝐤) = (𝟖𝐤) 𝟎, 𝟔𝐤 · 𝟎, 𝟒𝟖−𝐤 con k = 0, 1, 2 . . . 8 ; porque:
n = 8 k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
p = 0,6 q = 1 – 0,6 = 0,4
Pide calcular:
a) P(X = 4) = (𝟖𝟒) 𝟎, 𝟔𝟒 · 𝟎, 𝟒𝟒= 0,2322
b) P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,0007 + 0,0079 = 0,0085
P(X = 0) = (𝟖𝟎) 𝟎, 𝟔𝟎 · 𝟎, 𝟒𝟖 = 0,0007 P(X = 1) = (
𝟖𝟏)𝟎, 𝟔𝟏 · 𝟎, 𝟒𝟕= 0,0079
c) P(X ≥ 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) = 0,3154
P(X = 6) = (𝟖𝟔) 𝟎, 𝟔𝟔 · 𝟎, 𝟒𝟐 = 0,20902 P(X = 7) = (
𝟖𝟕) 𝟎, 𝟔𝟕 · 𝟎, 𝟒𝟏= 0,0896
P(X = 8) = (𝟖𝟖) 𝟎, 𝟔𝟖 · 𝟎, 𝟒𝟎= 0,0168
d) P(3 ≤ X ≤ 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0,6347
P(X = 3) = (𝟖𝟑) 𝟎, 𝟔𝟑 · 𝟎, 𝟒𝟓 = 0,1239 P(X = 4) = (
𝟖𝟒) 𝟎, 𝟔𝟒 · 𝟎, 𝟒𝟒= 0,2322
P(X = 5) = (𝟖𝟓) 𝟎, 𝟔𝟓 · 𝟎, 𝟒𝟑= 0,2787
e) P(X ≤ 7) = P(X = 0) + P(X = 1) + . . . + P(X = 6) + P(X = 7) Habría que aplicar 8 veces la
fórmula, por eso vamos a calcular la probabilidad con ayuda del suceso contrario:
Como el suceso contrario a X ≤ 7 es X > 7, por las propiedades de la probabilidad, podemos
escribir :
P(X ≤ 7) = 1 – P(X > 7) = 1 – P(X = 8) = 1 - (𝟖𝟖)𝟎, 𝟔𝟖 · 𝟎, 𝟒𝟎 = 1-0,0168 = 0,9832
f) P(0 < X < 8) = P(X = 1) + P(X = 2) + . . . + P(X = 6) + P(X = 7) Habría que aplicar 7 veces la
fórmula, entonces vamos a calcular la probabilidad con ayuda del suceso contrario:
El suceso contrario de 0 < X < 8 es {X = 0 , X = 8}
P(0 < X < 8) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 8)] = 1 – [ (𝟖𝟎)𝟎, 𝟔𝟎 · 𝟎, 𝟒𝟖 +(
𝟖𝟖) 𝟎, 𝟔𝟖 · 𝟎, 𝟒𝟎] =
1 - 0,0007 – 0,0168 = 0,9825
10.- Problema:
- Definimos la variable aleatoria X (nos fijamos en A y p)
X = nº de personas, que de un grupo de 10, dan negativo en la prueba de diabetes.
X sigue una distribución binomial de parámetros n = 10 y p = 0,98 , porque:
Se escogen las 10 personas de manera independiente unas de otras n = 10
Con las personas sólo pueden darse dos posibilidades :
A = la persona da negativo en el análisis, o
�̅� = la persona da positivo en el análisis
Para el suceso A, P(A) = 98% = 0,98 p = 0,98; entonces P(�̅�) = 1 – 0,98 = 0,02
q = 0,02
De ahí que escribamos X ≡ B(10;0,98)
- De igual manera podíamos definir Y (nos fijamos en A̅ y q)
Y = nº de personas, que de un grupo de 10, dan positivo en la prueba de diabetes.
Y sigue una distribución binomial de parámetros n = 10 y p = 0,02 , porque:
Se escogen las 10 personas de manera independiente unas de otras n = 10
Con las personas sólo pueden darse dos posibilidades :
A = la persona da negativo en el análisis, o
�̅� = la persona da positivo en el análisis
Para el suceso A, P(A) = 98% = 0,98 p = 0,98; entonces P(�̅�) = 1 – 0,98 = 0,02
q = 0,02
De ahí que escribamos Y ≡ B(10;0,02)
Nos pide calcular:
a) P(X = 8) = (108)0,988 · 0,022= 0,0153 o también
P(Y = 2) = (102)0,022 · 0,988= 0,0153
b) P(Y > 1) = 1 – P(Y = 0) – P(Y = 1) = 1 - (100)0,020 · 0,9810 - (10
1)0,021 · 0,989 =
1 – 0,8171 – 0,1667 = 0,0162
49.- ¡ Hay que usar suficientes cifras decimales, porque si no el resultado sale 0 !
Definimos la variable aleatoria X = nº de pilas descargadas de las 12 que escogemos.
X sigue una distribución binomial de parámetros n = 12 y p = 0,002, porque:
Se escogen las 12 pilas de manera independiente unas de otras n = 12
Con las pilas sólo pueden darse dos posibilidades :
A = la pila esté descargada, o
�̅� = la pila no esté descargada
Para el suceso A, P(A) = 2‰ = 0,002 p = 0,002; entonces P(�̅�) = 1 – 0,002 = 0,998 q = 0,998
De ahí que escribamos X ≡ B(12; 0,002)
Nos pide calcular :
P(X > 2) = 1 – P( X ≤ 2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)] =
1 - 0,976262 - 0,023477 - 0,000258 = 1 – 0,999997 = 0,000003
P(X = 0) = (𝟏𝟐𝟎) 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟎 · 𝟎, 𝟗𝟗𝟖𝟏𝟐 = 0,976262 ; P(X = 1) = (
𝟏𝟐𝟏)𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟏 · 𝟎, 𝟗𝟗𝟖𝟏𝟏= 0,023477
P(X = 2) = (𝟏𝟐𝟐) 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟐 · 𝟎, 𝟗𝟗𝟖𝟏𝟎 = 0,000258
50.- Lanzar moneda 8 veces y contar el número de caras
Definimos la variable aleatoria X = nº de caras que salen al lanzar 8 veces una moneda”.
X sigue una distribución binomial de parámetros n = 8 y p = 0,5 porque:
Se lanza 8 veces la moneda de manera independiente una de otras n = 8
Al lanzar la moneda sólo pueden darse dos posibilidades :
A = sale cara, o
�̅� = no sale cara
Para el suceso A, P(A) = 1/2 = 0,5 p = 0,5; entonces P(�̅�) = 1 – 0,5 = 0,5 q = 0,5
De ahí que escribamos X ≡ B(8; 0,5) :
Nos pide calcular :
P(X ≤ 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) o también,
y más rápido:
P(X ≤ 5) = 1 – P(X > 5) = 1 – [P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)] = 1 - 0,109375 - 0,03125 -
0,00390625 = 1 – 0,14453125 = 0,8555
o P(X = 6) = (𝟖𝟔) 𝟎, 𝟓𝟔 · 𝟎, 𝟓𝟐 = 0,109375 ; P(X = 7) = (
𝟖𝟕) 𝟎, 𝟓𝟕 · 𝟎, 𝟓𝟏= 0,03125
o P(X = 8) = (𝟖𝟖) 𝟎, 𝟓𝟖 · 𝟎, 𝟓𝟎 = 0,00390625
95.- El 10% de los boletos de una tómbola premiados
¿Qué es más fácil? Dos premiados comprando 10 o Uno premiado comprando 3
En ambos casos se trata de calcular probabilidades de variables aleatorias que siguen
sendas distribuciones binomiales. Veámoslo:
Definimos la variable aleatoria X1 = nº de boletos premiados de los 10 comprados”.
X1 sigue una distribución binomial de parámetros n = 10 y p = 0,1 porque:
o Se compran 10 boletos de manera independiente n = 10
o Al comprar los boletos sólo pueden darse dos posibilidades :
o A = está premiado, o
o �̅� = no está premiado
o Para el suceso A, P(A) = 10% = 0,1 p = 0,1; entonces P(�̅�) = 1 – 0,1 = 0,9 q = 0,9
De ahí que escribamos X1 ≡ B(10; 0,1)
Definimos la variable aleatoria X2 = nº de boletos premiados de los 3 comprados”.
X2 sigue una distribución binomial de parámetros n = 3 y p = 0,1 porque:
o Se compran 3 boletos de manera independiente n = 3
o Al comprar los boletos sólo pueden darse dos posibilidades :
o A = está premiado, o
o �̅� = no está premiado
o Para el suceso A, P(A) = 10% = 0,1 p = 0,1; entonces P(�̅�) = 1 – 0,1 = 0,9 q = 0,9
De ahí que escribamos X2 ≡ B(3; 0,1)
Debemos comparar los resultados P(X1 = 2) y P(X2 = 1) . Vamos a calcularlos:
Dos premiados comprando 10 P(X1 = 2) = (𝟏𝟎𝟐)𝟎, 𝟏𝟐 · 𝟎, 𝟗𝟖 = 0,193710
Uno premiado comprando 3 P(X2 = 1) = (𝟑𝟏)𝟎, 𝟏𝟏 · 𝟎, 𝟗𝟐 = 0,243
Como P(X1 = 2) < P(X2 = 1), es más fácil conseguir un premio comprando 3 boletos.
66.- La variable aleatoria Z ≡ N(0,1) Manejar la tabla
Podemos usar la tabla asignando antes “el dibujo” que equivale al suceso:
a) P(Z < 0,6) = 0,7257
Suceso : como es < y 0,6 es positivo
En todos estos casos el cálculo es directo con mirar la tabla:
unidad-décima en la columna izquierda y centésima en la fila superior)
b) P(Z ≤ 0,92) = 0,8212
Suceso : como es ≤ y 0,92 es positivo
c) P(Z < 1,3) = 0,9032
Suceso : como es < y 1,3 es positivo
d) P(Z ≤ 2,4) = 0,9918
Suceso : como es ≤ y 2,4 es positivo
e) P(Z < 1,23) = 0,8907
Suceso : como es < y 1,23 es positivo
f) P(Z ≤ 2,01) = 0,9778
Suceso : como es ≤ y 2,01 es positivo
g) P(Z ≤ 0,07) = 0,5279
Suceso : como es ≤ y 0,07 es positivo
c) P(Z < 0,31) = 0,6217
Suceso : como es < y 0,31 es positivo
70.- La variable aleatoria Z ≡ N(0,1) Manejar la tabla
a) P(Z > 1,11) = 1 – P(Z ≤ 1,11) = 1 – 0,8685 = 0,1335
Suceso : como es > y 1,11 es positivo, usaremos el “contrario” y la
tabla. En el dibujo, el contrario (que lo da la tabla) es la zona
“blanca”.
b) P(Z ≤ -0,93) = P(Z ≥ 0,93) = 1 – P(Z< 0,93) = 1 – 0,8238 = 0,1762
Suceso : aunque sea ≤ como -0,92 no es positivo, no se puede usar la
tabla todavía; usaremos la “simetría” de la curva normal, el
“contrario” y la tabla. Caso anterior.
c) P(Z ≥ 2,29) = 1 – P( Z < 2,29) = 1 – 0,9890 = 0,011
Como el caso a)
d) P(Z = 0) = 0, “Puntualmente” ( Z=…) la
probabilidad de una distribución normal es
0.
e) P(Z < -0,33) = P(Z ≥ 0,33) = 1 – P(Z≤ 0,33) = 1 – 0,6293 = 0,3707
Como el apartado b)
f) P(Z > 0,45) = 1 – P(Z ≤ 0,45) =
1 – 0,6736 = 0,3264
Como los casos a) y c)
g) P(Z ≤ -1) = P(Z > 1) = 1 – P(Z < 1) = 1 – 0,8413 = 0,1587
Como los casos b) y e).
h) P(Z ≥ -2,11) = P(Z < 2,11) = 0,9826
Suceso : como es ≥ y -2,11 no es positivo, usaremos el “simétrico” y
la tabla.
17.- La variable aleatoria X ≡ N(5,2)Tipificar y así Z ≡ N(0,1) Manejar la tabla
La tabla sólo sirve si la variable aleatoria sigue una distribución N(0,1), en otro caso debemos
hacer “un cambio de variable” que recibe el nombre de TIPIFICAR:
Si X ≡ N(5,2) identificamos como μ = 5 y σ = 2 Definimos Z = X−μ
σ =
X−5
2 Z ≡ N(0,1)
Nos pide calcular :
a) P(X< 2) = P( X−5
2 <
2−5
2 ) = P(Z1,5) = 1 – P(Z≤-1,5) = 1 – 0,9332 = 0,0668
dibujo 1 simetría de N(0,1) dibujo 2 NO lo da la tabla hacer contrario dibujo 3 (tabla)
b) P(X > 3) = P( X−5
2 >
3−5
2 ) = P(Z>-1) = P(Z< 1) = 0,8413
dibujo 1 simetría de N(0,1) dibujo 2 (tabla)
c) P(X≤ 4) = P( X−5
2 ≤
4−5
2 ) = P(Z≤-0,5) = P(Z ≥ 0,5) = 1 – P(Z < 0,5) = 1 – 0,6915 = 0,3085
dibujo 1 simetría de N(0,1) dibujo 2 NO lo da la tabla hacer contrario dibujo 3 (tabla)
d) P(X ≥ 6) = P( X−5
2 >
6−5
2 ) = P(Z > 0,5) = 1 - P(Z< 0,5) = 1 – 0,6915 = 0,3085
dibujo 1 NO lo da la tabla hacer contrario dibujo 2 (tabla)
e) P(X< 7) = P( X−5
2 <
7−5
2 ) = P(Z< 1) = 0,8413
dibujo (tabla)
f) P(X≤ 8) = P( X−5
2 ≤
8−5
2 ) = P(Z ≤ 1,5) = 0,9332
dibujo (tabla)
74.- La variable aleatoria Z ≡ N(0,1) Manejar la tabla “a la inversa”
Nos pide calcular :
a) P(Z < k) = 0,9599
1º) Nos fijamos en el suceso Z < k (valores menores que “k”, se encuentran a la
izquierda de “k”) y esbozamos su dibujo puede ser:
K positivo K negativo
2º) El valor de la probabilidad 0,9599, nos dice cuál de los dos es.
En este caso es el primer dibujo, porque:
Si k = 0 divide al “dibujo” por su mitad, de ahí que
P(Z ≤ 0) = P(Z ≥ 0) = 50% = 0,5, porque el “área completa bajo la curva” (al
medir toda la probabilidad) es 1.
Como la probabilidad que nos da el enunciado es mayor de 0,5, el valor de k
debe estar a la derecha de 0; es decir k > 0.
3º) Como en el suceso Z < k se cumplen las tres condiciones para poder usar la tabla:
1ª) Z ≡ N(0,1)
2ª) es “ < " y
3ª) K es positivo
4º) Podemos usar la tabla, pero “a la inversa” :
Debo buscar el valor de la probabilidad 0,9599 entre todos los valores de
la tabla (van ordenados de menor a mayor, como si “leyeras un texto
escrito”)
Una vez localizado, debemos calcular el valor de “k”, que debe tener
unidad-décima y centésima; las dos primeras se averiguan, moviéndonos
hacia la izquierda en la misma fila donde se encuentre el 0,9599 (en este
caso 1,7) y la centésima la localizamos moviéndonos hacia arriba en la
misma columna donde se encuentre el 0,9599 (en este caso 0,05). En
resumen k = 1,75
Así que si P(Z < k) = 0,9599 k = 1,75
b) P(Z > k) = 0,9375
1º) Nos fijamos en el suceso Z > k (valores mayores que “k”, se encuentran a la
derecha de “k”) y esbozamos su dibujo puede ser:
K positivo K negativo
2º) El valor de la probabilidad 0,9375, nos dice cuál de los dos es.
En este caso es el segundo dibujo, porque:
Si k = 0 divide al “dibujo” por su mitad, de ahí que
P(Z ≤ 0) = P(Z ≥ 0) = 50% = 0,5, porque el “área completa bajo la curva” (al
medir toda la probabilidad) es 1.
Como la probabilidad que nos da el enunciado es mayor de 0,5, el valor de k
debe estar a la izquierda de 0; es decir k < 0.
3º) Como en el suceso Z > k no se cumplen las tres condiciones para poder usar la
tabla (fallan dos de ellas), porque:
2ª) es “ > " y
3ª) k es negativo
4º) No podemos usar la tabla, debemos “cambiar” el suceso (Z > k) por otro, (Z k) = 0,9375 P(Z < -k) = 0,9375
(si k es negativo, -k es positivo)
5º) Podemos usar la tabla, pero “a la inversa”, razonando como en el apartado a) de
este mismo ejercicio. En este caso el valor 0,9375 no corresponde a ninguno de la
tabla; para ello buscamos dos valores : el inmediatamente menor 0,9370
(corresponde a 1,53) y el inmediatamente mayor 0,9382 (corresponde a 1,54);
entonces se toma como valor de k el promedio de ambos .
En este caso -k = 𝟏,𝟓𝟑+𝟏,𝟓𝟒
𝟐 = 1,535
Así que si P(Z > k) = P(Z < -k) = 0,9375 k = -1,535
c) P(Z > k) = 0,3085
1º) Nos fijamos en el suceso Z > k (valores mayores que “k”, se encuentran a la
derecha de “k”) y esbozamos su dibujo puede ser: K positivo K negativo
2º) El valor de la probabilidad 0,3085, nos dice cuál de los dos es.
En este caso es el primer dibujo, porque:
Si k = 0 divide al “dibujo” por su mitad, de ahí que
P(Z ≤ 0) = P(Z ≥ 0) = 50% = 0,5, porque el “área completa bajo la curva” (al
medir toda la probabilidad) es 1.
Como la probabilidad que nos da el enunciado es menor de 0,5, el valor de k
debe estar a la derecha de 0; es decir k > 0.
3º) Como en el suceso Z > k no se cumple una de las tres condiciones para poder usar
la tabla, porque: es “ > "
4º) Debemos usar la probabilidad que nos dan para calcular la probabilidad del suceso
contrario (Z< k), que sí la da la tabla de la curva de la N(0,1) . Así:
K positivo SUCESO CONTRARIO K positivo
P(Z > k) = 0,3085 P(Z < k) = 1 - P(Z > k)
(si k es negativo, -k es positivo)
5º) Como P(Z > k) = 0,3085 P(Z < k) = 1 - P(Z > k) = 1 – 0,3085 = 0,6915
6º) Ya podemos usar la tabla, pero “a la inversa”. Buscamos el valor de la probabilidad
0,6915 entre todos los valores de la tabla k = 0,5
Así que si P(Z > k) = 0,3085 k = 0,5
d) P(Z < k) = 0,0256
1º) Nos fijamos en el suceso Z < k (valores menores que “k”, se encuentran a la
izquierda de “k”) y esbozamos su dibujo puede ser:
K positivo K negativo
2º) El valor de la probabilidad 0,0256, nos dice cuál de los dos es.
En este caso es el segundo dibujo, porque:
Si k = 0 divide al “dibujo” por su mitad, de ahí que
P(Z ≤ 0) = P(Z ≥ 0) = 50% = 0,5, porque el “área completa bajo la curva” (al
medir toda la probabilidad) es 1.
Como la probabilidad que nos da el enunciado es menor de 0,5, el valor de k
debe estar a la izquierda de 0; es decir k < 0.
3º) No podemos usar la tabla Como en el suceso Z < k no se cumplen las tres
condiciones (falla una de ellas) : k es negativo.
4º) Debemos “cambiar” el suceso (Z < k, con k < 0) por otro, (Z > -k)
que tenga su misma probabilidad (misma área bajo la curva) con ayuda de las
propiedades (simetría) de la curva de la N(0,1) ; pero a este suceso no se le puede
aplicar la tabla, para ello hacemos su contrario. Así:
K negativo SIMETRÍA de N(0,1) -K positivo CONTRARIO -k negativo
P(Z < k) = 0,0256 P(Z > -k) = 0,0256 1 - P(Z < -k) = 0,0256
(si k es negativo, -k es positivo) (si k es negativo, -k es positivo)
5º) Tenemos entonces que P(Z < k) = P(Z > -k) = 1 - P(Z < -k) = 0,0256
P(Z < -k) = 1 - 0,0256 = 0,9744
Usamos la tabla, pero “a la inversa” : debo buscar el valor de la probabilidad 0,9744
entre todos los valores de la tabla . Se obtiene que –k = 1,95 k = - 1,95.
Así que si P(Z < k) = 0,0256 k = -1,95
e) P(Z ≤ k) = 0,4364
1º) Nos fijamos en el suceso Z ≤ k (valores menores o iguales que “k”, se encuentran a
la izquierda de “k”) y esbozamos su dibujo puede ser:
K positivo K negativo
2º) El valor de la probabilidad 0,4364, nos dice cuál de los dos es.
En este caso es el segundo dibujo, porque:
Si k = 0 divide al “dibujo” por su mitad, de ahí que
P(Z ≤ 0) = P(Z ≥ 0) = 50% = 0,5, porque el “área completa bajo la curva” (al
medir toda la probabilidad) es 1.
Como la probabilidad que nos da el enunciado es menor de 0,5, el valor de k
debe estar a la izquierda de 0; es decir k < 0.
3º) No podemos usar la tabla Como en el suceso Z < k no se cumplen las tres
condiciones (falla una de ellas) : k es negativo.
4º) Debemos “cambiar” el suceso (Z < k, con k < 0) por otro, (Z > -k)
que tenga su misma probabilidad (misma área bajo la curva) con ayuda de las
propiedades (simetría) de la curva de la N(0,1) ; pero a este suceso no se le puede
aplicar la tabla, para ello hacemos su contrario. Así:
K negativo SIMETRÍA de N(0,1) -K positivo CONTRARIO -k negativo
P(Z < k) = 0,4364 P(Z > -k) = 0,4364 1 - P(Z < -k) = 0,4364
(si k es negativo, -k es positivo) (si k es negativo, -k es positivo)
5º) Tenemos entonces que P(Z < k) = P(Z > -k) = 1 - P(Z < -k) = 0,4364
P(Z < -k) = 1 - 0,4364 = 0,5636
Usamos la tabla, pero “a la inversa” : debo buscar el valor de la probabilidad 0,5636
entre todos los valores de la tabla . Se obtiene que –k = 0,16 k = - 0,16.
Así que si P(Z < k) = 0,0256 k = -0,16.
f) P(Z > k) = 0,5557
1º) Nos fijamos en el suceso Z > k (valores mayores que “k”, se encuentran a la
derecha de “k”) y esbozamos su dibujo puede ser:
K positivo K negativo
2º) El valor de la probabilidad 0,5557, nos dice cuál de los dos es.
En este caso es el segundo dibujo, porque:
Si k = 0 divide al “dibujo” por su mitad, de ahí que
P(Z ≤ 0) = P(Z ≥ 0) = 50% = 0,5, porque el “área completa bajo la curva” (al
medir toda la probabilidad) es 1.
Como la probabilidad que nos da el enunciado es mayor de 0,5, el valor de k
debe estar a la izquierda de 0; es decir k < 0.
3º) Como en el suceso Z > k no se cumplen las tres condiciones para poder usar la
tabla (fallan dos de ellas), porque:
2ª) es “ > " y
3ª) k es negativo
4º) No podemos usar la tabla, debemos “cambiar” el suceso (Z > k) por otro, (Z
que tenga su misma probabilidad (misma área bajo la curva) con ayuda de las
propiedades (simetría) de la curva de la N(0,1) . Así:
K negativo SIMETRÍA de N(0,1) K positivo
P(Z > k) = 0,5557 P(Z < -k) = 0,5557
(si k es negativo, -k es positivo)
5º) Podemos usar la tabla, pero “a la inversa”, en este caso el valor 0,5557 se
corresponde con -k = 0,14 k = -0,14
Así que si P(Z > k) = P(Z < -k) = 0,5557 k = -0,14
75.- La variable aleatoria X ≡ N(108,16) tipificar y Z ≡ N(0,1) Manejar la
tabla “a la inversa”
Como X ≡ N(108,16) debemos tipificar, Z = X−μ
σ = X−108
16 Z ≡ N(0,1)
Nos pide calcular :
a) P(X < a) = 0,8849
Tipificando P(X < a) = P( X−10816
< a−108
16 ) = P( Z <
a−108
16 ) = 0,8849.
Si P( Z < a−108
16 ) = 0,8849 , razonando como en el apartado a) del ejercicio 74, . . . se
llega a saber que a−108
16 es positivo y como es
c) P(X < c) = 0,3632
Tipificando P(X < c) = P( X−10816
< c−108
16 ) = P( Z <
c−108
16 ) = 0,3632
Si P( Z < c−108
16 ) = 0,3632 , razonando como en el apartado d) del ejercicio 74, . . .
se llega a que c−108
16 es negativo y como es
76.- Probabilidad de Z ≡ N(0,1) en intervalos simétricos [-k,k] o (-k,k).
Nos pide calcular probabilidad de N(0,1) en intervalos simétricos.
Vamos a razonar de manera generalizada (cómo se haría en cualquier caso), y en vez de ir
repitiendo en todos los apartados lo mismo, podemos aplicar la “fórmula” que hayamos
obtenido:
Como Z ≡ N(0,1) y el intervalo es [-k,k] o (-k, k) razonamos así:
P(-k
f) P(-k < Z < k) = 0,9426
Aplicando el resultado al que hemos llegado razonando, se tiene que
P(-k0,67) = 1 - P( Z
82.- Problema : X es la variable que mide la talla, X ≡ N(165,12)
Tipificar la variable X Z = X−165
12
Calcula la probabilidad de que una persona:
a) Mida más de 170 cm Pide calcular P( X >170) = P( Z >170−165
12) = P(Z >
512
) =
P(Z > 0,42) = 1 - P(Z < 0,42) = 1 – 0,6628 = 0,3372 Redondear a las centésimas Contrario
b) Mida menos de 168 cm Pide calcular P( X < 168) = P( Z <168−165
12) = P(Z <
312
) =
P(Z < 0,25) = 0,5987
c) Mida entre 159 cm y 172 cm Pide calcular
P( 159 < X < 172) = P(159−165
12 < Z < 172−165
12) = P(
−6
12 < Z < 7
12) = P(-0,5< Z <
7
12)
P(-0,5< Z < 0,58) = = P(Z
Despejando k k−900
200 = -0,845 k = 900 - 200 · 0,845 = 731
“Las veinte lubinas más pequeñas pesan menos de 731g”
c) “La cuarta parte formada por las más grandes pesan más de . . .”
Como hay 100 ejemplares , la cuarta parte es 0,25 de la probabilidad, por eso nos pide calcular el valor de “k” cuando P(X > k) = 0,25
P(X > k) = P(Z>k−900
200 ) = 0,25 Usamos el contrario 1 - P(Z<
k−900
200) = 0,25
P(Z<k−900
200) = 1 – 0,25 = 0,75
k−900
200 = 0,675
Despejando k k−900
200 = 0,675 k = 900 + 200 · 0,675 = 1035
“La cuarta parte formada por las más grandes pesan más de 1035g”
84.- Problema : X es la variable que mide el peso de las manzanas, X ≡ N(175,25)
Tipificar X Z = X−175
25
a) ¿Cuántas pesarán menos de 168g?
Pide calcular P( X < 168) = P( Z <168−175
25) = P(Z <
−725
) = P(Z
P(Z<k−175
25) = 1 – 0,25 = 0,75 usando la tabla:
k−175
25 = 0,675
Despejando k k−175
25 = 0,675 k = 175 + 25 · 0,675 = 191,875
“La separación se establece en 191,875 kg”
94.- Problema : X es la variable que mide el contorno de la muñeca de los varones,
X ≡ N(20,5 ; 1,5)
Como X no es N(0,1) Tipificar Z = X−20,5
1,5
a) ¿% de la población con un contorno de muñeca de más de 23 cm? Pide calcular
P(X > 23) = P(Z >23−20,5
1,5) = P(Z>
2,5
1,5 ) = P(Z> 1,67) = 1 – P(Z< 1,67) = 1 – 0,9525 = 0,0475
Redondear a las centésimas Suceso contrario
El 4,75% de la población tiene un contorno de muñeca de más de 23 cm.
b)¿% de la población podrá usar correas con un contorno que mida entre 17 cm y 22 cm?
Pide calcular P(17 < X < 22) = P(17−20,5
1,5 < Z < 22−20,5
1,5) = P(
−3,5
1,5< Z <
1,5
1,5) =
P(-2,33< Z < 1) = P(Z
81.- Hallar 𝛍 𝐲 𝛔 de una distribución X ≡ N(𝛍 , 𝛔).
Lo primero que hay que hacer es tipificar: Z = X−μ
σ Z ≡ N(0,1)
a) P(X ≤ 22) = 0,6915
P(X < 28) = 0,9938
Se dan estas dos condiciones porque cada una nos conducirá a una ecuación con dos
incógnitas, μ y σ. Vamos a escribirlas:
P(X ≤ 22) = 0,6915 P(Z ≤ 22−μ
σ) = 0,6915
P(X < 28) = 0,9938 P(Z < 28−μ
σ) = 0,9938
En ambos casos responde a :
Los buscamos en la tabla de N(0,1)
22−μ
σ = 0,5 0,5 𝜎 + 𝜇 = 22 Aplicando “reducción” se obtienen los valores:
28−μ
σ = 2,5 2,5 𝜎 + 𝜇 = 28 𝝈 = 3 y 𝝁 = 20,5 X ≡ N(20,5 ; 3)
b) P(X > 25) = 0,1056
P(X > 4,8) = 0,9332
Usando Z ≡ N(0,1) dibujamos cada situación:
P(X > 25) = 0,1056 P(Z > 25−μ
σ) = 0,1056
P(X > 4,8) = 0,9332 P(Z > 4,8−μ
σ) = 0,9332
Por los valores que nos dan en cada probabilidad 25−μ
σ es positivo, pero
4,8−μ
σ es negativo
(entonces −4,8−μσ
es positivo), puedes identificarlos en cada dibujo, entonces usando el
contrario en el primer caso y el simétrico en el segundo, se obtiene:
P(Z > 25−μ
σ) = 1 - P(Z <
25−μ
σ) = 0,1056 P(Z <
25−μ
σ) = 0,8944 y
P(Z > 4,8−μ
σ) = P(Z < −
4,8−μ
σ) = 0,9332
Tenemos entonces que resolver el sistema:
P(Z < 25−μ
σ) = 0,8944 Los buscamos en la tabla de N(0,1) y obtenemos:
P(Z < −4,8−μσ
) = 0,9332
25−μ
σ = 1,25 1,25 𝜎 + 𝜇 = 25 Aplicando “reducción” se obtienen los valores:
−4,8−μσ
= 1,5 -1,5 𝜎 + 𝜇 = 4,8 2,75 𝜎 = 20,2 𝝈 = 7,35 y 𝝁 = 15,81
El resultado final es X ≡ N(15,81 ; 7,35)
87.- Hallar 𝛔 de una distribución X ≡ N(6,5; 𝛔).
Considerando X = tiempo de fabricación de camisas y X ≡ N(6,5; σ).
El enunciado se transforma en el siguiente cálculo:
P(X < 7) = 0,937 Tipificando Z = X−6,5
σ
P(Z < 7−6,5σ
) = P(Z < 0,5σ
) = 0,937 Se asocia a
Usando la tabla de la N(0,1) obtenemos que 0,5
σ = 1,53 𝛔 = 0,33
EJERCICIOS QUE EL COORDINADOR PUSO EN EL MODELO DE
EXAMEN EBAU
El de Probabilidad
En una universidad, el 65 % de sus miembros son estudiantes, el 25 % profesores y el
10 % personal de administración y servicios. Son mujeres el 60 % de los estudiantes, el 47 %
de los profesores y el 52 % del personal de administración y servicios. Si seleccionamos al
azar un integrante de esa universidad:
a) Determine la probabilidad de que sea mujer.
b) Sabiendo que la persona seleccionada ha resultado ser hombre, halle la probabilidad
de que sea estudiante.
Definimos los sucesos:
E = Ser estudiante , P = ser profesor , AS = ser de administración y servicios
M = ser mujer , H = ser hombre
Puede hacerse con un diagrama de árbol:
0,6 M
E
0,65 0,4 H
0,25 0,47 M
P
0,53 H 0,1
0,52 M
AS
0,48 H
a) Aplicando Teorema de la Probabilidad Total:
P(ser mujer) = P(M) = P(E ∩ M) + P(P ∩ M)+ P(AS ∩ M) = P(E) · P(M/E)+ P(P) · P(M/P)+ P(AS) · P(M/AS) =
0,65 · 0,6 + 0,25 · 0,47+ 0,1 · 0,52 = 0,5595
a) Aplicando Teorema de Bayes:
P(E/H) =P(E∩H)
P(H) P(E)·P(H/E)
1−P(M) =
0,65·0,4
1−0,5595 =
0,26
0,4405 = 0,5902
Puede hacerse con una tabla de contingencia:
M H
E 0,39 0,26 0,65
P 0,1175 0,1325 0,25
AS 0,052 0,048 0,1
0,5595 0,4405 1
(Para rellenar tabla 0,39 = 0,65 · 0,6 ; de modo análogo los demás 0,1175 = 0,25 · 0,47 ; 0,052 = 0,1 · 0,52 = 0,052 ; 0,26 = 0,65 · 0,4 . . .
Aplicando la definición de sucesos condicionados:
P(ser mujer) = 0,5595
P(E/H) = P(H∩E)
P(H) =
0,26
0,4405= 0,5902
El de la Binomial
En un centro de fertilidad, el porcentaje de éxito de cada intento de inseminación es
del 25 %. Escogidas 8 parejas al azar que se han sometido al tratamiento, determine:
a) Qué tipo de distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de
embarazos conseguidos.
- Definimos la variable aleatoria X
X = número de embarazos conseguidos de un grupo de 8 parejas.
X sigue una distribución binomial de parámetros n = 8 y p = 0,25 , porque:
Se escogen las 8 parejas de manera independiente unas de otras n = 8
Con las parejas sólo pueden darse dos posibilidades :
A = la inseminación tiene éxito, o
�̅� = la inseminación no tiene éxito
Para el suceso A, P(A) = 25% = 0,25 p = 0,25;
entonces P(�̅�) = 1 – 0,25 = 0,75 q = 0,75
De ahí que escribamos X ≡ B(8;0,25)
b) La probabilidad de que haya exactamente 2 embarazos.
En este caso la fórmula es P(X = K ) = (𝟖𝐊)𝟎, 𝟐𝟓𝐊 · 𝟎, 𝟕𝟓𝟖−𝐊 con K = 0, 1, 2 … 7, 8
P(X = 2) = (𝟖𝟐) 𝟎, 𝟐𝟓𝟐 · 𝟎, 𝟕𝟓𝟔 = 0,3115
c) La media y la desviación típica de la distribución.
En una variable que sigue una distribución binomial X ≡ B(8;0,25)
Media 𝜇 = n · p = 8 · 0,25 = 2
Deviación típica 𝜎 = √𝑛 · 𝑝 · 𝑞 = √8 · 0,25 · 0,75 = √1,5 = 1,2247
El de la Normal
En un examen, el 35 % de los presentados obtuvo una mayor que 6, y el 40 % la obtuvo menor
que 4. Sabiendo que las notas siguen una distribución normal, determine su media y su
desviación típica.
Definimos la variable aleatoria X = notas y sigue una distribución normal, N(𝜇 , 𝜎)
¿ 𝜇 y 𝜎?
Interpretamos los sucesos:
35 % de los presentados obtuvo una mayor que 6 P(X> 6) = 0,35
40 % la obtuvo menor que 4 P(X< 4) = 0,4
Tenemos que resolver un sistema de ecuaciones con 𝜇 y 𝜎 como incógnitas.
Como X ≡ N(𝜇 , 𝜎) es necesario tipificar X Z = X−μ
σ .
Usando Z ≡ N(0,1) dibujamos cada situación:
P(X > 6) = 0,35 P(Z > 6−μ
σ) = 0,35
P(X < 4) = 0,4 P(Z<4−μ
σ) = 0,4
Por los valores que nos dan en cada probabilidad (0,35 < 0,5 y 0,4 < 0,5) se deduce que 6−μ
σ
es positivo, pero 4−μ
σ es negativo (entonces tendremos que −
4−μ
σ es positivo), puedes
identificarlos en cada dibujo. Para poder usar la tabla de N(0,1) usaremos el contrario en el
primer caso y el simétrico y contrario en el segundo, se obtiene:
P(Z > 6−μ
σ) = 1 - P(Z <
6−μ
σ) = 0,35 P(Z <
6−μ
σ) = 0,65 y
P(Z < 4−μ
σ) = P(Z > −
4−μ
σ) = 1 - P(Z < −
4−μ
σ) = 0,4 P(Z < −
4−μ
σ) = 0,6
Tenemos entonces que resolver el sistema:
P(Z < 6−μ
σ) = 0,65
P(Z < − 4−μ
σ) = 0,6
Los buscamos en la tabla de N(0,1) , a la inversa, y como los datos no se encuentra en
ella, hacemos promedio de dos y obtenemos:
6−μ
σ = 0,385 0,385 𝜎 + 𝜇 = 6 Aplicando “reducción” se obtienen los valores:
- 4−μ
σ = 0,255 -0,255 𝜎 + 𝜇 = 4 0,64 𝜎 = 2 𝝈 = 3,125 y 𝝁 = 4,7969
El resultado final es X ≡ N(3,125 ; 4,7969)