Post on 03-Feb-2020
Alonso Fernández Galián
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TEMA 2: TRIGONOMETRÍA II: FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
La trigonometría está presente en muchas ramas de las matemáticas, más allá de la geometría
elemental. Aquí abandonaremos el punto de vista geométrico para centrarnos en las propiedades
algebraicas de las razones trigonométricas.
2.1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LAS OPERACIONES CON ÁNGULOS
Veamos cómo calcular las razones trigonométricas de las operaciones entre ángulos.
I. Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos. El seno de la suma de dos ángulos no
es igual a la suma de los senos, y lo mismo ocurre para el resto de las razones trigonométricas.
Es decir, en general:
sen sen sen coscos cos tantan tan
Concretamente, las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos, y , se calculan con
las siguientes fórmulas:
Demostración: Consideremos la siguiente figura:
En el triángulo rectángulo OCD se observa que:
OD
CDsen sen ODCD
OD
OCcos cosODOC
Notemos que FDEDOC ˆˆ . Por tanto, también se tiene:
DF
EFsen sen DFEF
DF
DEcos cosDFDE
Por otro lado, las razones trigonométricas de son:
DFDF
1
sen y ODOD
1
cos
Así, finalmente:
sen coscossen cossen 1
sen DFODDECDCEBFBF
sen cos1
cos DFODEFOCBCOCOBOB
cossen sen cos
sen coscossen sen
sen sen coscos cos
tantan1
tantan tan
Matemáticas I
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La tangente se obtiene dividiendo el seno entre el coseno:
coscos
sen sen
coscos
coscos
coscos
sen cos
coscos
cossen
sen sen coscos
sen coscossen
cos
sen tan
(*)
tantan1
tantan
donde en el paso (*) hemos dividido el numerador y el denominador entre coscos .
II. Razones trigonométricas de la diferencia de ángulos. Se tiene:
Demostración: Basta escribir la resta como la suma del ángulo opuesto:
sen coscossen sen coscossen sen sen
sen sen coscossen sen coscos cos cos
tantan1
tantan
tantan1
tantan tan tan
sen coscossen sen
sen sen coscos cos
tantan1
tantan tan
•Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de un ángulo de 15º.
4
26
2
1
2
2
2
3
2
230ºsen º45cosº30cosº45sen º30º45sen º51sen
[…]
•Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de un ángulo de 75º.
4
62
2
2
2
3
2
2
2
145ºsen º30cosº45cosº30sen º45º30sen º75sen
4
26
2
2
2
1
2
2
2
35º4sen º30sen º45cosº30cosº45º30cosº75cos
322
324
13
31
13
11
13
1
º45tanº30tan1
º45tanº30tanº45º30 tanº75tan
Nota: También podíamos haber calculado la tangente dividiendo el seno entre el coseno.
Tema 2: Trigonometría II: Fórmulas trigonométricas
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III. Razones trigonométricas del ángulo doble. Se tiene:
Demostración: Notemos que 2 . Así:
cossen 2sen coscossen sen 2sen
22 sencossen sen coscos cos2 cos
2tan1
tan2
tantan1
tantan tan2tan
IV. Razones trigonométricas del ángulo mitad. Se tiene:
Demostración: La clave de la demostración es observar que es el ángulo doble de 2/ , y
despejar el seno y el coseno de 2/ a partir de las fórmulas siguientes:
-Relación fundamental de trigonometría: 12
sen2
cos 22
-Coseno del ángulo doble:
cos2
2cos2
sen2
cos 22
Para verlo más claro, hacemos el siguiente cambio de variable:
2
2/
[…]
4
26
2
1
2
2
2
3
2
20º3sen º54sen º30cosº45cosº30º45cosº15cos
322
324
13
31
13
11
13
1
º45tanº30tan1
º45tanº30tanº30º45 tanº15tan
2
cos1
2sen
2
cos1
2cos
cos1
cos1
2tan
cossen 22sen
22 sencos2 cos
2tan1
tan22 tan
Matemáticas I
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Ahora, sumamos y restamos las dos expresiones anteriores:
2
cos1
2cos
2
2cos1cos2cos1cos2
2cossencos
1sencos
2
22
22
2
cos1
2sen
2
2cos1sen 2cos1sen 2
2cossencos
1sencos
2
22
22
Finalmente, dividiendo el seno entre el coseno obtenemos la fórmula para la tangente.
Nota (productos de senos y cosenos): Veamos otras fórmulas, deducibles de las anteriores, que
aparecen con frecuencia al trabajar con las funciones trigonométricas.
Recordemos las fórmulas del seno y el coseno de la suma y la diferencia de ángulos:
[1] sen coscossen sen [2] sen sen coscos cos
[3] sen coscossen sen [4] sen sen coscos cos
Sumando [1] y [3] se deduce:
cossen 2sen sen sen sen 2
1cossen
Restando [1] y [3] se deduce:
sen cos2sen sen sen sen 2
1sen cos
Sumando [2] y [4] se deduce:
coscos2 cos cos cos cos2
1coscos
Restando [2] y [4] se deduce:
sen sen 2 cos cos
cos cos2
1sen sen
•Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de un ángulo de 22,5º.
383,02
22
4
22
2
2/21
2
º45cos1
2
º45sen 22,5ºsen
923,02
22
4
22
2
2/21
2
º45cos1
2
º45cosº5,22cos
414,022
22
2/21
2/21
º45cos1
º45cos1
2
º45tanº5,22tan
Tema 2: Trigonometría II: Fórmulas trigonométricas
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2.2 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Se denominan ecuaciones trigonométricas a aquéllas en las que la incógnita está afectada por
alguna razón trigonométrica. Por ejemplo, xx 2sen 4cos45 .
Soluciones. Al resolver una ecuación trigonométrica debemos tratar de llegar a una igualdad de
los tipos “ ax sen ”, “ ax cos ” ó “ ax tan ” para luego calcular el ángulo x. Además,
contando el número de vueltas en la circunferencia tenemos:
ax sen kax º360arcsen , para algún k ℤ.
ax cos kax º360arccos , para algún k ℤ.
ax tan kax º360arctan , para algún k ℤ.
Así, en general, una ecuación trigonométrica tiene infinitas soluciones: una o varias por cada
giro en la circunferencia goniométrica.
Ejemplos de ecuaciones trigonométricas. Las ecuaciones trigonométricas pueden ser muy
diferentes unas de otras, y no existe un método que sirva para resolverlas todas. Veamos
algunos ejemplos que recogen las principales estrategias de resolución.
En caso de que aparezcan varias razones trigonométricas, conviene utilizar la relación entre las
distintas razones para expresarlas todas en función de una de ellas. Además, podemos tener que
emplear las fórmulas de las operaciones con ángulos.
•Ejemplo: Resolver siguiente ecuación trigonométrica:
12coscos3 xx
(i) Aplicamos la fórmula del ángulo doble:
1sencoscos3 22 xxx
(ii) Expresamos el seno en función del coseno y ordenamos la ecuación:
1cos1coscos3 22 xxx
02cos3cos2 2 xx
(iii) Tenemos una ecuación de segundo grado en “ xcos ”:
02cos3cos2 2 xx no
x
2
2/1
4
53
4
1693cos
Descartamos la segunda solución porque 1cos x . [...]
•Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación trigonométrica:
2sen 21 x
Despejamos “ xsen ” y luego calculamos x:
kx
kx
xxx
º360º150
ó
º360º30
2
1sen 1sen 22sen 21
Matemáticas I
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•Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación trigonométrica:
0sen 2tan xx
La mejor estrategia es utilizar que xxx cos/sen tan para sacar factor común al seno de x:
0sen 2tan xx
02
cos
1 sen 0sen 2
cos
sen
xxx
x
x
kx
kxx
x
kx
kxx
º360º300
º360º60
2
1cos02
cos
1
º360º180
º360º00sen
(Nota: para que un producto de factores sea igual a 0, alguno de ellos debe ser igual a 0).
[…]
(iv) Finalmente, calculamos los valores correspondientes que puede tomar x:
kxkxx º360º300óº360º602
1cos
•Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación trigonométrica:
0cosº30sen xx
(i) Utilizamos la fórmula del seno de la diferencia de dos ángulos para que las razones
trigonométricas que aparezcan estén expresadas en función de x:
0cos30ºsen cosº30cossen xxx
0coscos2
1sen
2
3 xxx
0cos2cossen 3 xxx
0cossen 3 xx
(ii) Debemos hacer que sólo aparezca una razón trigonométrica. Lo más sencillo es hacer
que el coseno divida al seno para obtener la tangente:
xx cossen 3
1cos
sen 3
x
x
1tan3 x
kx
kx
x
º360º330
ó
º360º150
3
1tan
Tema 2: Trigonometría II: Fórmulas trigonométricas
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2.3 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Se denominan funciones trigonométricas a las funciones:
xy sen xy cos xy tan
donde el ángulo x se mide en radianes. Veamos cuáles son sus gráficas.
y = sen x. Hagamos una tabla dando a x los valores donde el seno alcanza sus valores extremos:
01010sen
22
3
20
xy
x
La función seno es periódica de periodo 2 . Es decir:
xx sen 2sen
Así, su gráfica se repite a intervalos de longitud 2 .
La gráfica de la función seno es, por tanto:
y = cos x. Como antes, hagamos una tabla para los valores extremos del coseno:
10101cos
22
3
20
xy
x
La función coseno es periódica de periodo 2 :
xx cos2 cos
Así, su gráfica se repite a intervalos de longitud 2 .
La gráfica de la función coseno es, por tanto:
Nota: Observemos que la gráfica de la función coseno es idéntica a la de la función seno salvo
en que está desplazada 2/ unidades hacia la izquierda:
2sen cos
xx
Esta relación es consecuencia de combinar las relaciones entre las razones trigonométricas de
ángulos complementarios y de ángulos suplementarios.
Matemáticas I
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y = tan x. Elaboremos una tabla de valores de la función tangente y dibujemos su gráfica:
000tan
22
3
20
xy
x
Dominio: La función tangente no está
definida en los puntos de la forma:
kx
2, k ℤ
Periodicidad: Es periódica de periodo :
xx tantan
Las funciones arco. Se denominan funciones arco a las funciones:
xy arcsen xy arccos xy arctan
Como hay infinitos ángulos para los que cada razón trigonométrica toma el mismo valor x, se
debe especificar el rango de valores y que puede tomar cada arco.
El arco seno de x se define por:
1,1
2,
2
x xy arcsen
El arco coseno de x se define por:
1,1 ,0
x xy arccos
El arco tangente de x se define por:
ℝ ,
x xy arctan
Las gráficas de las funciones arco son, por tanto:
xy arcsen xy arccos xy arctan
Tema 2: Trigonometría II: Fórmulas trigonométricas
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Fórmulas para la suma y la resta de ángulos
1. Usa las fórmulas de la suma de dos ángulos para calcular las razones trigonométricas de un
ángulo de 105º.
2. Usa las fórmulas de la suma de dos ángulos para calcular las razones trigonométricas de un
ángulo de 165º (indicación: 165º = 120º + 45º).
3. Usa las fórmulas de la diferencia de ángulos para calcular las razones trigonométricas de un
ángulo de 285º (indicación: 285º = 330º – 45º).
4. Sean y dos ángulos del primer cuadrante tales que:
13
12sen y
25
7sen
calcula las razones trigonométricas de .
5. Sean y dos ángulos tales que:
(i) 6
6sen , º90º0 .
(ii) 4
1tan , º180º90 .
Calcula las razones trigonométricas de .
6. Sea un ángulo de primer cuadrante tal que 3/1sen . Calcula sin hallar el valor del án-
gulo las siguientes razones trigonométricas:
(a) º30sen (b) º45sen (c) º60cos (d) º45tan
7. Demuestra que:
xyyxyx 22 sencoscoscos
Fórmulas para los ángulos doble y mitad
8. Deduce las razones trigonométricas de un ángulo de 90º a partir de las de un ángulo de 45º
utilizando las fórmulas para el ángulo doble.
9. Sea el ángulo que cumple:
5tan y º270º180
(a) Calcula las razones trigonométricas de 2 .
(b) ¿En qué cuadrante está 2 ?
10. Expresa:
(a) 3sen en función de sen .
(b) 3cos en función de cos .
(c) 3tan en función de tan .
EJERCICIOS DEL TEMA 2
Matemáticas I
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11. Expresa 4cos en función de cos .
12. Demuestra que:
2sen212cos
13. Usa las fórmulas del ángulo mitad para calcular las razones trigonométricas de un ángulo de
12/ rad a partir de las de 6/ rad.
14. Utilizando las fórmulas del ángulo mitad calcula las razones trigonométricas de 112,5º.
15. Calcula de forma exacta las razones trigonométricas de un ángulo de 37,5º.
16. Sea un ángulo del segundo cuadrante con:
3/5cotan
Calcula las razones trigonométricas de 2/ sin utilizar la calculadora.
Manipulación de expresiones trigonométricas
17. Simplifica todo lo posible:
cos2
º45 cosº45 2cos .
18. Demuestra que:
tantan
coscos
sen
19. Demuestra las siguientes igualdades:
(a) 2sen 1cossen 2
(b) 2
2cos1 sen 2
20. Demuestra las siguientes igualdades:
(a)
cos
1
sen
2sen
cos
2 cos
(b)
2tantan1
1
tan1
1
(c) 2cotan 2cotan tan
21. Demuestra que:
sen cos
sen cos
cos cos
22. Demuestra las siguientes igualdades:
(a)
2sen
tan1
tan22
(b)
2tan
2sen sen 2
2sen sen 2 2
Tema 2: Trigonometría II: Fórmulas trigonométricas
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Ecuaciones trigonométricas
23. Calcula el valor de x sabiendo que:
1º45cos x
24. Calcula en cada caso los valores de x:
(a) 1sen 2 x (b) 14tan3 x (c) 3cos4 2 x
25. Resuelve las siguientes ecuaciones:
(a) 4
1cossen 2 xx (b) 12cossen xx
26. Resuelve las siguientes ecuaciones:
(a) 1sen 2cos2 22 xx (b) xx sen º30cos
27. Resuelve las siguientes ecuaciones:
(a) 0cos2sen xx (b) xxx 2sen4sen 2 cos
28. Resuelve las siguientes ecuaciones:
(a) x
xsec
1cos2 (b) 1 cosec cotan 2 xx
29. Resuelve las siguientes ecuaciones:
(a) xxx cos4sen cos5 22 (b) 0cos)(2sen xx
(c) xx 22 sencos (d) )º90(cos)2( cos xx .
30. Resuelve la siguiente ecuación:
01cos2
cos6 2
x
x
31. Resuelve las siguientes ecuaciones:
(a) 0tan32tan xx (b) 0sen 2º45sen xx
32. Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:
xxx 3sen 6cos2sen
33. Resuelve la siguiente ecuación:
1cossen xx
34. Resuelve el siguiente sistema:
2cossen
º90
yx
yx
Matemáticas I
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35. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
2
1 sencos
2
1cos sen
22
22
yx
yx
Varios
36. Calcula de forma exacta:
(a) Las razones trigonométricas de 195º.
(b) Las razones trigonométricas de 255º.
(c) Las razones trigonométricas de 157º 30’.
37. Sea un ángulo tal que 5/52 cos y º3602180º . Calcula las razones
trigonométricas de .
38. Simplifica todo lo posible las siguientes expresiones (los ángulos están en radianes):
(a)
4
3sen
4sen (b)
2
3sen 5sen
39. Demuestra la siguiente identidad:
cossen sen cos cos
40. Demuestra la siguiente igualdad:
2cos
tan2tan
tan
41. Calcula el valor de la siguiente expresión:
sen sen sen sen sen sen ”.
42. Demuestra la siguiente igualdad:
tan
sen sen
cos cos
Las funciones trigonométricas
43. Representa gráficamente las siguientes funciones trigonométricas (si es necesario, ayúdate
de una tabla de valores):
(a) xy sen 2 (b) xy cos3 (c) xy sen 2 (d) xy 2tan
44. Representa gráficamente las siguientes funciones trigonométricas:
(a) xy sen (b) xy cos (c) xy sen 2 (d) xy cos
45. Representa gráficamente las siguientes funciones trigonométricas:
(a) xy cos3 (b)
2 cos2
xy (c) xy sen 1 (d) xy 2 cos3