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Tema 3.
Dinámica 3.1 Concepto de fuerza. 3.2 Impulso mecánico. Cantidad de movimiento. 3.3 Leyes de Newton. 3.4 Tipos de fuerzas. 3.5 Aplicaciones.
3.1 Concepto de fuerza
En el tema anterior se ha estudiado el movimiento pero en ningún caso se analizaron las
causas que lo originan. El presente tema trata sobre las causas que provocan cambios en el
movimiento de los objetos, estas son las fuerzas. El estudio de las fuerzas se conoce en física
como dinámica.
Las primeras aproximaciones al estudio del movimiento parten de los griegos, quienes creían
erróneamente que la tendencia de los cuerpos es a permanecer en reposo, y que aquellos
cuerpos que se movían lo hacían para buscar su “lugar natural”, tierra abajo, encima el agua y
encima el aire y el fuego. Estas ideas permanecieron hasta que en el siglo XVII Galileo Galilei
formuló la primera aproximación al principio de inercia, que más adelante enunciaría Isaac
Newton. Según Galileo un objeto lanzado sobre el suelo tarda poco en detenerse y recorre
poca distancia; si el suelo está pulido el objeto llega más lejos, y si está impregnado de aceite
llega más lejos aún. Idealmente, si el objeto no sufriera roce con el suelo o el aire debería
moverse con velocidad constante indefinidamente. Las ideas de Galileo llevan al concepto de
las fuerzas como agentes que producen variaciones en el estado de movimiento de los objetos.
Cuando un sistema físico influye o afecta a otro se dice que ejerce una interacción. Las
interacciones pueden ser más o menos intensas, no es la misma interacción la caída de una
pluma sobre una mesa que la caída de una masa de 5000kg; además, no es lo mismo empujar
una tarta sobre una mesa hacia delante que hacia abajo.
Las fuerzas son las magnitudes físicas que representan y cuantifican las interacciones. La
fuerza es una magnitud vectorial y su unidad es el Newton (N). Las fuerzas se pueden ejercer
por contacto o a distancia y sus efectos sobre los sistemas físicos son producir cambios en el
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estado de movimiento o deformaciones. Como magnitudes vectoriales las fuerzas están
representadas por vectores; la dirección y el sentido indican hacia donde se ejerce la fuerza, el
módulo indica la intensidad y el punto de aplicación indica donde se ejerce la fuerza.
3.2 Impulso mecánico. Cantidad de movimiento.
3.2.1 Impulso mecánico
El efecto de una fuerza sobre un punto material depende, entre otras cosas, de la fuerza y del
tiempo que ésta está actuando. El impulso mecánico se define como el producto de la fuerza
por el tiempo que está actuando.
ΔtFI ⋅=rr
Es una magnitud vectorial con la dirección y el sentido de la fuerza y cuya unidad en el sistema
internacional es el N·s.
3.2.2. Cantidad de movimiento
La cantidad de movimiento o momento lineal mide la capacidad de un objeto de ejercer
fuerza. Se define como el producto de la masa de un objeto por su velocidad:
vmprr
⋅=
Es una magnitud vectorial con la dirección y el sentido de la velocidad y cuya unidad es el
Kg·m/s. Un objeto de baja masa puede tener una cantidad de movimiento muy elevada debido
a tener una velocidad muy alta como por ejemplo una pelota de tenis en el saque. Por otro lado
un objeto muy lento también puede tener una gran cantidad de movimiento si su masa es muy
grande, por ejemplo una trasatlántico atracando en un puerto.
3.2.3 Teorema de conservación de la cantidad de movimiento
El impulso mecánico y la cantidad de movimiento tienen las mismas unidades lo que significa
que deben ser magnitudes que tengan algún tipo de relación. Esta relación consiste en que el
impulso mecánico ejercido sobre un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de movimiento
de dicho cuerpo.
pΔIrr
=
La anterior relación lleva a un principio físico muy importante de validez universal; su aplicación
va desde el interior de los átomos a las interacciones entre galaxias. El teorema de conservación de la cantidad de movimiento afirma que:
“Si sobre un sistema no actúa ninguna fuerza o la resultante de las que actúan
es nula, la cantidad de movimiento del sistema permanece constante.”
Si cte.p0F =⇒=rr
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3.2.4 Aplicaciones directas del teorema de conservación de la cantidad de movimiento
La conservación de la cantidad de movimiento se puede aplicar en gran cantidad de
fenómenos físicos. Aquí se van a resolver los más sencillos. En todos los casos se van a
considerar dos masas como un sistema de modo que las fuerzas entre sí se anulen por el
principio de acción y reacción (que se va a ver a continuación) y se cumplan las condiciones
del teorema de conservación de la cantidad de movimiento.
3.2.4.1 Colisiones
Una colisión o choque es una interacción entre dos o más masas que se caracteriza porque;
1. la duración es muy breve,
2. la intensidad es muy alta.
En todas las colisiones la fuerza que uno de los objetos realiza sobre otro es a su vez recibida
por el principio de acción y reacción, por lo tanto la fuerza total del sistema es nula y la cantidad
de movimiento se conserva.
despuésantes pprr
=
Si la energía se conserva se dice que la colisión es elástica, y en caso contrario se dice que es
inelástica. En el caso que los cuerpos permanezcan unidos tras la colisión se dice que ésta es
plástica o perfectamente inelástica. Teóricamente las colisiones pueden involucrar a varios
cuerpos y se producen en tres dimensiones. Aquí se van a tratar las colisiones sólo entre dos
masas y en una dimensión, por lo que el signo de la velocidad indica el sentido del movimiento.
Ejemplo 1 colisión elástica Dos masas de 4kg y 10kg se mueven con velocidades respectivas de 20m/s y -15m/s colisionando de manera elástica. Calcula las velocidades tras la colisión.
En las colisiones elásticas se conserva la energía cinética.
Antes de la colisión se tienen las velocidades v1 y v2 cada una con su signo y
después v1’ y v2’.
conservación de la cantidad de movimiento → m1v1 + m2v2 = m1v1’ + m2v2’
conservación de la energía cinética → 222
211
222
211 v'm
21v'm
21vm
21vm
21
+=+
Sustituyendo y simplificando se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
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4·20 + 10·(–15) = 4v1’ + 10v2’
4·400 + 10·225 = 4 v’12 + 10 v’22
Resolviendo el sistema se obtiene v’1= –30m/s v’2=5m/s.
Ejemplo 2 colisión plástica Dos masas de 3kg y 7kg viajan a velocidades respectivas de 10m/s y 5m/s. Colisionan de manera que permanecen unidas tras el choque. Determina la velocidad del sistema.
conservación de la cantidad de movimiento → m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v’
3·10 + 7·5 = (3 + 7) v’ → v’ = 6.5m/s
3.2.4.2 Retroceso
Otro fenómeno relacionado con la conservación de la cantidad de movimiento es el retroceso.
Cuando una parte de un sistema es expelida con cierta velocidad en un sentido el resto del
sistema experimenta un cierto impulso en sentido contrario. Ejemplos son el globo que se
desinfla, los aviones a reacción, las armas de fuego...
Ejemplo retroceso Un niño de 50kg de masa salta desde una barca con una velocidad de 2m/s. Determina la velocidad de retroceso de la barca si su masa es de 1000kg e inicialmente el sistema barca-niño están en reposo.
conservación de la cantidad de movimiento → (m1 + m2) v0 = m1v’1 + m2 v’2
(1000 + 50) 0 = 50 · 2 + 1000 v’2 → v’2 = – 0.1 m/s
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3.3 Leyes de Newton
Las leyes de Newton, también conocidas como leyes de la dinámica, son los principios
básicos que se van a emplear para resolver todos los problemas de la dinámica. La primera es
un resultado directo del teorema de conservación de la cantidad de movimiento. La segunda se
conoce como ley fundamental de la dinámica y establece la relación entre una magnitud
cinemática, la aceleración, y las fuerzas, y la tercera describe el proceso de interacción entre
dos sistemas.
3.3.1 Primera ley de Newton: principio de inercia
Newton se basó en el teorema de la conservación de la cantidad de movimiento para formular
la primera ley de la dinámica:
“Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza o la resultante de todas las que
actúan es nula, el cuerpo permanecerá indefinidamente en reposo o con
movimiento rectilíneo uniforme.”
De la primera ley se pueden extraer algunas conclusiones importantes:
1. Para un cuerpo no hay diferencia entre que no actúen fuerzas o que actúen varias y se
anulen entre sí.
2. El estado de reposo o movimiento del cuerpo es indefinido mientras no exista una
fuerza resultante no nula.
3. Los cuerpos se pueden mover sin necesidad que actúen fuerzas para ello.
4. Siempre hay que tener presente que la velocidad es un vector y por lo tanto se
caracteriza por su módulo, dirección y sentido. Una fuerza puede provocar cambios en
la dirección de la velocidad, en el sentido y en el módulo.
3.3.2 Segunda ley de Newton: ley fundamental de la dinámica
Si sobre una masa se aplica una fuerza se puede medir el cambio que experimenta su
velocidad a lo largo del tiempo, es decir se puede calcular su aceleración. Si se repite el
experimento aplicando el doble de fuerza se puede observar cómo la aceleración aumenta al
doble, es decir, existe una relación de proporcionalidad entre la fuerza aplicada y la aceleración
que un cuerpo adquiere. Esa relación entre fuerza y aceleración depende del objeto en
cuestión. Concretamente esa magnitud es la masa del objeto. La segunda ley de Newton
afirma que:
“La fuerza resultante aplicada sobre un objeto es igual al producto de la
masa de ese objeto por la aceleración que adquiere:
amFr r
⋅= “
Conclusiones:
1. La masa de un objeto es una magnitud que representa la oposición de ese cuerpo a las
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variaciones de su velocidad. Un objeto con mucha masa acelera menos que uno con
menos masa ante una misma fuerza, por otro lado, se necesita también más fuerza
para frenar un objeto con mucha masa que para frenar un objeto ligero.
2. La fuerza y la aceleración son vectores que siempre tienen la misma dirección y el
mismo sentido, que no tienen que coincidir con la dirección y sentido del movimiento.
3. La fuerza que aparece en la expresión es la fuerza resultante de todas las que actúan.
4. El primer principio se puede deducir a partir del segundo;
ctev0a0F =⇒=⇒=rrr
3.3.3 Tercera ley de Newton: principio de acción y reacción
La tercera ley de Newton relaciona la fuerza que dos cuerpos se ejercen entre sí:
“Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce a su vez
instantáneamente otra fuerza sobre el primero que es igual en módulo y
dirección y de sentido contrario.”
Conclusiones:
1. Las fuerzas de acción y reacción se ejercen de simultáneamente, no existe primero la
acción y después la reacción.
2. La fuerza recibida por ambos objetos es la misma, pero el efecto es diferente si las
masas son diferentes.
3. Este principio es válido para todas las fuerzas, tanto si se ejercen por contacto como a
distancia.
3.4 Tipos de fuerzas
3.4.1 Las cuatro interacciones de la naturaleza
Todas las fuerzas de la naturaleza se pueden englobar dentro de cuatro categorías;
1. Fuerzas gravitatorias. Se ejercen entre cualquier conjunto de masas, aunque sólo son
apreciables si las masas son muy grandes. Ejemplos son el peso, la atracción que
ejerce el Sol sobre la Tierra o la Tierra sobre la Luna.
2. Fuerzas eléctricas. Se ejercen entre cuerpos cargados y se deben al exceso o defecto
de electrones en los objetos. Ejemplos son los motores eléctricos, los imanes, las
pequeñas descargas que se producen con determinada ropa, etc.
3. Fuerzas nucleares fuertes. Son las responsables de la estabilidad de los núcleos
atómicos.
4. Fuerzas nucleares débiles. Se ejercen durante la emisión β, que es un tipo de
descomposición nuclear.
A continuación se van a estudiar algunos tipos concretos de fuerzas todos englobados en las
dos primeras categorías.
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3.4.2 Fuerzas gravitatorias
Las fuerzas gravitatorias se ejercen entre las masas. Su expresión fue propuesta por Newton
en la ley de gravitación universal:
“Dos masas se atraen siempre con una fuerza proporcional al producto de
sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, que se
ejerce en la dirección de la línea que une los centros de las masas“
221
rmmGF =
Figura 3.1. Fuerza gravitatoria
Donde G=6,67·10–11Nm2/kg2 es un valor constante que recibe el nombre de constante de
gravitación universal. El pequeño valor de G hace necesaria una gran cantidad de masa para
que estas fuerzas sean apreciables, de manera que sólo es efectiva en el caso de los planetas,
estrellas, etc. Por el principio de acción y reacción la fuerza gravitatoria Estas fuerzas se
caracterizan porque:
• son siempre atractivas;
• aumentan proporcionalmente con el producto de las masas;
• decrecen inversamente con el cuadrado de la distancia;
• son centrales, es decir, se ejercen en la dirección de los centros de las masas;
• Su intensidad es baja, debido al pequeño valor del la constante G;
• su alcance es ilimitado.
3.4.3. Fuerzas electrostáticas
Basándose en la ley de gravitación universal, Coulomb enunció una ley similar para calcular la
fuerza que se ejercen entre sí las cargas:
“Dos cargas experimentan siempre una fuerza atractiva o repulsiva
proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que las separa“
221
rqqKF =
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Figura 3.2. Fuerzas eléctricas
q1 y q2 son las cargas, cuyo valor se mide en coulombios (C) y la constante eléctrica K vale
9·109Nm2/C2 en el vacío. Al igual que las gravitatorias, las fuerzas eléctricas son directamente
proporcionales al producto de las cargas, inversamente proporcionales al cuadrado de la
distancia y su alcance es ilimitado. A pesar de estas similitudes, las fuerzas eléctricas
presentan importantes diferencias respecto de las gravitatorias:
1. pueden ser repulsivas o atractivas dependiendo de si las cargas son iguales o
diferentes respectivamente;
2. solamente aparecen si los cuerpos están cargados;
3. su intensidad es muy alta;
4. dependen del medio a través del valor de K.
3.4.4 Fuerza peso
El peso es una fuerza de tipo gravitatorio que se aplica en el caso de los objetos generalmente
en la superficie de los planetas, donde la masa del planeta y la distancia entre los cuerpos son
constantes:
mgR
GMmR
mMGP 2P
P2P
P ===
2P
P
RGMg =
El término ‘g’ recibe el nombre de intensidad de campo gravitatorio o simplemente gravedad
y en el caso de la Tierra tiene un valor de 9.8m/s2. Como la fuerza gravitatoria es atractiva la
fuerza peso sobre un objeto siempre va dirigida hacia el centro del planeta.
3.4.5 Fuerza normal
Cuando un objeto está sobre una superficie recibe una fuerza de la misma que se llama fuerza normal (N), y representa la fuerza con que la superficie sostiene al objeto. Esta fuerza siempre
es perpendicular a las superficies y su valor depende del peso del objeto apoyado. En los
planos horizontales la fuerza normal es igual al peso. Si se apoya una masa pequeña sobre
una mesa, la normal y el peso se anulan entre si y la masa permanece en reposo. Si sobre la
mesa se apoya una masa mayor, la normal no puede igualar al peso y la mesa se hunde.
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Figura 3.3. Fuerza normal
3.4.6 Fuerzas de rozamiento
Las fuerzas de rozamiento aparecen cuando un objeto se mueve a través de un medio que no
sea el vacío o cuando dos superficies se deslizan una sobre la otra. Se deben a las fuerzas de
cohesión entre las partículas de ambas superficies o a las imperfecciones o rugosidades de las
mismas. Solamente se van a tratar aquí las fuerzas de rozamiento por deslizamiento. Las
características de la misma son:
o se mueve a través de un medio que no
sea el vacío o cuando dos superficies se deslizan una sobre la otra. Se deben a las fuerzas de
cohesión entre las partículas de ambas superficies o a las imperfecciones o rugosidades de las
mismas. Solamente se van a tratar aquí las fuerzas de rozamiento por deslizamiento. Las
características de la misma son:
1. Dependen de la naturaleza del estado de las superficies, pero no de su tamaño. 1. Dependen de la naturaleza del estado de las superficies, pero no de su tamaño.
2. Dependen también de la fuerza que une ambas superficies. 2. Dependen también de la fuerza que une ambas superficies.
3. Son paralelas al plano de movimiento y siempre tienen sentido opuesto al movimiento. 3. Son paralelas al plano de movimiento y siempre tienen sentido opuesto al movimiento.
La expresión de la fuerza de rozamiento es: La expresión de la fuerza de rozamiento es:
FR = μ N FR = μ N
donde μ recibe el nombre de coeficiente de rozamiento y es un valor que depende de las
superficies. Existen dos coeficientes de rozamiento, el estático y el dinámico. Mientras que un
cuerpo está en reposo actúa el coeficiente de rozamiento estático pero si se mueve el
coeficiente será el dinámico, que es menor. Esto significa que la fuerza de rozamiento de un
cuerpo es mayor cuando está en reposo que cuando se mueve.
3.4.7. Fuerzas elásticas
Uno de los efectos de las fuerzas sobre la materia es producir deformaciones. Prácticamente
todos los cuerpos rígidos tienden a recuperar su forma cuando la fuerza deja de actuar. Esto se
debe a que las moléculas que forman el material tienden a volver a su posición original, luego
el origen de estas fuerzas son las fuerzas eléctricas de las partículas que componen la materia.
Un muelle o resorte es el ejemplo más claro de esto. Cuando sobre un muelle no se ejerce
Figura 3.4. Fuerzas elásticas.
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ninguna fuerza se dice que está en la posición de equilibrio y tiene la longitud natural ‘l0’.
Cuando un muelle se encuentra comprimido o alargado su nueva longitud es ‘l’ y ejerce una
fuerza que es proporcional al incremento o disminución de longitud.
El valor de la fuerza es:
F= k Δl = k (l – l0)
La fuerza siempre lleva la dirección del eje del muelle y el sentido es siempre hacia la posición
de equilibrio. Es frecuente expresar la posición del extremo de muelle como una coordenada
‘x’, siendo x=0m la posición de equilibrio. En este caso la fuerza se suele expresar como:
F= – k x
donde el signo negativo indica el sentido de la fuerza según el criterio de signos común.
3.4.8. Tensión
Las fuerzas de tensión (T) aparecen cuando la fuerza se ejerce mediante una cuerda. Ejemplos
son los objetos suspendidos o los objetos movidos al tirar de una cuerda. En última instancia la
fuerza se transmite a lo largo de la cuerda debido a los enlaces de las moléculas que la
constituyen por lo que su origen es eléctrico.
3.4.9 Fuerza centrípeta
La fuerza centrípeta es un caso especial de fuerza que es la causante de que los cuerpos sigan
trayectorias circulares. La fuerza centrípeta es gravitatoria en el caso de la Luna en órbita
alrededor de la Tierra, de tensión en el caso de una onda, o una fuerza normal en el caso del
cubo girando sin que caiga el agua. Se calcula como el producto de la masa por la aceleración
centrípeta, siendo su dirección y sentido siempre hacia el centro de la trayectoria.
RmωRvmmaF 2
2
cc ===
Figura 3.5. Fuerza centrípeta
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3.5 Aplicaciones
A continuación se van a resolver de manera general diversas situaciones en la que se van a
aplicar las leyes de Newton y las fuerzas estudiadas. Se van a estudiar los casos más
generales posibles de modo que las variaciones sobre los mismos sean fáciles de aplicar. En
general, el procedimiento de resolución de los ejercicios es el siguiente:
1. Dibujar todas las fuerzas que actúan sobre el sistema y descomponer las fuerzas que
no se encuentren sobre los ejes.
2. Escribir la ecuación general de la dinámica, la suma de todas las fuerzas es igual al
producto de la masa por la aceleración. Como regla general se va a considerar el
sentido de movimiento como el positivo, por lo que a veces será necesario hacer un
estudio preliminar para determinar hacia donde tiende a moverse el sistema.
3. Despejar la aceleración y aplicar las ecuaciones cinemáticas correspondientes a cada
caso.
3.5.1 Plano horizontal
En el plano horizontal con rozamiento las fuerzas que actúan son como indica la figura 3.6.
Figura 3.6. Cuerpo sobre plano horizontal
En el eje y no hay movimiento, por lo que la resultante de fuerzas debe ser nula, es decir:
N = P = mg
La fuerza de rozamiento vale:
FR = μN = μ·mg
La segunda ley de Newton se escribe:
Ftotal = ma
F – FR = m·a
y la aceleración vale:
mμmgFa −
=
Casos posibles:
Si F>FR el objeto tiene aceleración positiva, y su velocidad aumenta
Si F<FR la aceleración es negativa y pueden ocurrir dos situaciones:
1. si el objeto tiene velocidad inicial está siendo frenado por el rozamiento;
2. si el objeto esta inicialmente en reposo permanece en reposo ya que la fuerza no es
capaz de vencer el rozamiento.
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Si F=FR el objeto no tiene aceleración y permanece en reposo o con velocidad constante.
Si FR=0 el cuerpo adquiere una aceleración positiva.
Si F=0 sólo existe rozamiento y el cuerpo está frenando hasta detenerse.
Si la fuerza actúa oblicuamente es necesario descomponerla y el análisis en ese caso sería:
Fx = F cos α
Fy = F sen α
Figura 3.7. Cuerpo sobre plano horizontal con fuerza oblicua
En el eje y no hay movimiento por lo que se deben anular las fuerzas:
P = N + Fy
N = P – Fy = mg – F sen α
En el eje x se aplica la segunda ley de Newton
Fx – FR = m·a
F cos α – μ·N = m·a
F cos α – μ(mg – F sen α) = m·a
( )m
FsenαmgμFcosαa −−=
3.5.2 Plano inclinado
El plano inclinado es un caso muy frecuente de aplicación de la segunda ley de Newton. Los
planos se caracterizan por el ángulo de inclinación. Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo
apoyado en un plano inclinado sin rozamiento son dos: peso y normal. El sistema de referencia
se sitúa de modo que el eje x cae en el sentido del movimiento.
Figura 3.8. Descomposición de la fuerza peso en el plano inclinado
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Tema 3: Dinámica
En la figura 3.8 se supone que el objeto se ha dejado sobre el plano sin velocidad inicial. La
fuerza peso cae fuera de los ejes por lo que hay que descomponerla en una componente sobre
el eje x (Px) y otra sobre el eje y (Py). Los valores de estas componentes son:
Px = P·sen α = mg·sen α
Py = P·cos α =mg·cos α
Como en el eje y no hay movimiento se debe cumplir que:
N = Py
N = mg cos α
En el eje x sólo queda una fuerza, la Px. Aplicando la segunda ley de Newton:
Ftotal = ma
Px = ma
mg sen α = ma
a = g sen α
Si existiera rozamiento en el plano inclinado la fuerza de rozamiento se debe aplicar paralela a
la superficie y en sentido contrario al del movimiento, que en este caso es hacia abajo.
Figura 3.9. Cuerpo sobre
plano inclinado con rozamiento
La descomposición del peso se hace igual y la ecuación fundamental de la dinámica queda:
Ftotal = ma
Px – FR = ma
mg sen α – μN = ma
mg sen α – μmg cos α = ma
a = g(sen α – μ cos α)
Si al realizar los cálculos la aceleración resulta ser negativa, esto implicaría que la fuerza de
rozamiento es mayor que la Px, y por lo tanto el objeto no se movería.
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3.5.3 Cuerpos suspendidos
Los cuerpos conectados mediante cables experimentan entre sí fuerzas transmitidas a través
de los mismos, es decir fuerzas de tensión. Si se supone que la cuerda no tiene masa, que es
inextensible (no es elástica) y las poleas no tienen masa, la fuerza de tensión es la misma a lo
largo de todo el cable. Como primer ejemplo se va a resolver el problema de la figura. El primer
paso es representar las tensiones, después se escribe la ecuación fundamental de la dinámica
y por último se calcula la aceleración.
Figura 3.10. Cuerpos suspendidos sin y con rozamiento
El cable define la dirección del movimiento. Este sistema de va a desplazar hacia la derecha ya
que no hay ninguna fuerza que lo impida.
Para el cuerpo 1 se tiene:
T1 = m1a
y para el cuerpo 2:
P2 – T2 = m2a
La aceleración es la misma para ambos bloques al estar conectados por la cuerda y las
tensiones también son iguales tal como se ha explicado antes. Haciendo un sistema de
ecuaciones se obtiene:
T = m1a
P2 – T = m2a
Sumando ambas expresiones se obtiene:
P2 = (m1 + m2)a
m2g = (m1 + m2)a
con lo que:
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Tema 3: Dinámica
gmm
ma21
2
+=
El valor de la tensión se calcularía sustituyendo el valor de ‘a’ en cualquiera de las ecuaciones
anteriores:
gmm
mmT21
21
+=
Si en el sistema hubiera rozamiento, éste sólo afectaría a la masa 1 que es la que está
apoyada. El sistema de ecuaciones quedaría:
T – FR = m1a
P2 – T = m2a
y operando como antes y teniendo en cuenta que para la masa 1 se cumple que N=P1 = m1g
P2 – FR = (m1 + m2)a
m2g – μm1g = (m1 + m2)a
gmmμmma
21
12
+−
=
En este caso hay que comprobar que P2>FR ya que en caso contrario el rozamiento impediría
el movimiento.
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Ejercicios
1. Pon un ejemplo de cada situación:
a) Fuerza ejercida a distancia cuyo resultado sea una deformación;
b) Fuerza ejercida por contacto cuyo resultado sea una deformación;
c) Fuerza ejercida a distancia cuyo resultado sea un cambio en el estado de movimiento;
d) Fuerza ejercida por contacto cuyo resultado sea un cambio en el estado de
movimiento;
2. ¿Puede en algún caso el vector cantidad de movimiento llevar dirección y/o sentido distinto
a la velocidad?
3. Demuestra que el impulso mecánico y la cantidad de movimiento tienen las mismas
unidades.
4. Dado el vector de posición de una partícula de 3kg de masa calcula la cantidad de
movimiento de esa partícula.
( ) ( )j4tti24tr 3 ˆˆ −++=r
(S.I.)
5. Una bola de 0.1kg de masa colisiona con una pared a 3m/s saliendo rebotada con la misma
velocidad que llegó. Si estuvo en contacto con la pared durante 0.02s, calcula la fuerza que
ejerció la pared sobre la bola.
6. Un avión de 30Tm viaja a 720Km/h cuando el motor ejerce una fuerza sobre él de 80000N
durante 20s. Calcula la nueva velocidad del avión.
7. Un coche de masa 1000kg pasa de 0 a 100km/h en 12s. Calcula la fuerza que ha ejercido el
motor.
8. Dos móviles de masas iguales a 5kg colisionan elásticamente. Si las velocidades iniciales
son 30m/s y –20m/s determina las velocidades finales.
9. Dos móviles de masas 4kg y 6kg viajan el primero al doble de velocidad que el segundo.
Colisionan y permanecen unidos viajando a 14m/s ¿A qué velocidad iba cada uno de ellos?
10. Un niño de 50kg de masa salta con una velocidad de 2m/s sobre una barca hinchable de
15kg inicialmente en reposo. Calcula la velocidad que adquiere el sistema barca-niño.
11. Un cañón de 1000kg de masa está montado sobre un vagón de 4000kg cuando dispara
horizontalmente una bala de 1kg a 500m/s. Calcula la velocidad de retroceso en los casos
siguientes:
a) inicialmente el cañón está en reposo;
b) inicialmente se mueve en el sentido del disparo a 2m/s;
c) inicialmente se mueve en sentido contrario al disparo a 3m/s;
d) inicialmente está en reposo y dispara con un ángulo de 30º.
12. Si dos masas de 2kg y 7kg que inicialmente viajan con velocidades de 8m/s y 6m/s
colisionan y tras la colisión las velocidades son de 10m/s y 5m/s ¿Se puede decir que la
colisión ha sido elástica?
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Tema 3: Dinámica
13. Una bala de masa 20g viaja a 300m/s cuando se incrusta en un bloque de madera de 1kg
de masa inicialmente en reposo. ¿A qué velocidad se mueve el sistema tras el impacto?
14. Repite el problema anterior suponiendo que el bloque de madera se movía hacia la bala a
4m/s. ¿A qué velocidad y en qué sentido e debe mover el bloque para que el sistema esté en
reposo tras el impacto?
15. Dos patinadores sobre el hielo de masas m1=70kg y m2=90kg se empujan mutuamente,
saliendo el primero de ellos con una velocidad de 15 m/s. Calcular la dirección y velocidad del
otro.
16. Si un móvil se desplaza recorriendo siempre 25 metros en cada segundo:
a) ¿Se puede asegurar que no actúa ninguna fuerza?
b) ¿Se puede asegurar que la resultante de todas las fuerzas es nula?
17. Contesta verdadero o falso razonando las respuestas:
a) Si la resultante de fuerzas es nula el cuerpo permanece en reposo.
b) Si un cuerpo permanece en reposo la resultante de fuerzas es nula.
c) Si un cuerpo está en reposo sobre él no actúa ninguna fuerza.
18. En un ascensor se tienen dos fuerzas; el peso y la tensión que le ejerce el cable del que
cuelga. Haz un esquema del ascensor y de estas dos fuerzas. Si un ascensor sube a velocidad
constante ¿Cuál de estas fuerzas es mayor?
19. Contesta verdadero o falso razonando la respuesta:
a) en un movimiento circular uniforme la fuerza es inexistente
b) si un cuerpo colgado sube la tensión de la cuerda es mayor que el peso
c) como consecuencia del tercer principio de la dinámica si un cuerpo ejerce una fuerza
sobre el otro ambos salen con la misma velocidad en módulo y dirección, pero sentido
opuesto
20. Deduce la segunda ley de Newton a partir de la relación entre impulso mecánico y cantidad
de movimiento. Para ello supón que el movimiento es MRUA y por lo tanto la aceleración es
constante.
21. Sobre un objeto de 14kg actúa una fuerza de 42N. Calcula la aceleración del sistema.
¿Qué ocurriría si la masa fuera el doble?
22. Si la Tierra me atrae con la misma fuerza que yo a ella ¿Por qué cuando salto la Tierra no
viene hacia mí?
23. Tiramos de un cuerpo de masa 10Kg adquiriendo este una aceleración de 2m/s2. Calcular
la fuerza con que tiramos de él si μ=0, μ=0.2 y μ=0.5. Estimar antes de realizar los cálculos si la
fuerza ha de ser mayor, menor o igual en cada situación.
24. Se lanza un cuerpo por un plano con v0=20m/s y se detiene tras recorrer 100m. Calcular el
coeficiente de rozamiento. ¿Cómo evolucionaría un cuerpo del doble de masa?
25. Tiramos de un cuerpo de 2 Kg de masa apoyado sobre un plano con dos fuerzas
perpendiculares de valor 3N y 4N. ¿Qué aceleración adquirirá el bloque?
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Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato
26. Dos personas tiran cada una en sentido contrario de un bloque de madera de 40 Kg que se
apoya en el suelo. Si una tira con una fuerza de 120N y otra con 169N, explicar cómo
evoluciona el bloque en los casos μ=0.1, μ=0.125, μ=0.2.
27. Un móvil de 10 Kg de masa se desliza por un plano sin rozamiento alejándose del origen
con una velocidad de 15m/s. Cuando el móvil está a 30m del origen se aplica una fuerza en
sentido contrario al del movimiento de 50N. Calcular velocidad y posición 10 segundos después
de empezar a ejercerse la fuerza. Describir el movimiento del móvil.
28. ¿Es correcta la expresión ese jarrón pesa 5kg?
29. Dos masas en el vacío se separan al triple de distancia ¿Aumenta o disminuye la fuerza
gravitatoria?¿En qué factor lo hace?
30. Calcular la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna. MT=5.9e24kg, ML=7.3e22,
RTL=384000Km.
31. Con los datos del ejercicio anterior. ¿En qué punto entre la Tierra y la Luna estaría en
equilibro una masa?
32. Calcula cuanto pesa en la Luna un vehículo que en la Tierra pesa 7500N. ML=7.3e22Kg,
RL=1700km.
33. La expresión “el plano horizontal posee un coeficiente de rozamiento de 0.25” es
incorrecta. Explica por qué.
34. Una masa es lanzada contra un muelle y comprime a este hasta detenerse. ¿En qué
instante ejerció la masa más fuerza sobre el muelle?
35. Un muelle se alarga 14cm al ejercer una fuerza de 2N. ¿Cuánto se va a alargar si se
ejercen 3N?
36. De un muelle de constante elástica 5000N/m se cuelga una masa de 10Kg. Calcula cuánto
se alarga.
37. Se ata una masa de 500g a una cuerda de radio 70cm y se hace girar a 60rmp. Calcula la
velocidad lineal de la piedra y la tensión de la cuerda.
38. ¿Cuál es la velocidad máxima de giro de una masa de 2kg atada a un cable de 80cm
capaz de aguantar 10000N?
39. Sobre un plano horizontal se tira con una fuerza de 40N de un objeto adquiriendo este una
aceleración de 2m/s2. Calcula la masa del objeto sin rozamiento o con μ=0.3.
40. Un objeto de 4kg de masa tiene una velocidad inicial de 50m/s. Calcula cuánto tardará en
detenerse y qué distancia recorrerá en los casos siguientes:
a) μ=0;
b) μ=0.5;
c) μ=0.5 y se tira del objeto con una fuerza de 10N;
41. Una bala de masa mb=50g se dispara con una velocidad de vb=250m/s contra un bloque de
madera mm=3Kg que está en reposo sobre un plano (μ=0.3). Calcular el tiempo que el bloque
tarda en detenerse y la distancia que recorre. ¿Qué hubiera pasado si μ=0?
42. Se tira de una masa de 10kg con una fuerza de 30N con un ángulo de 30º respecto la
horizontal. Calcula la aceleración de la masa sin rozamiento y con μ = 0.2.
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Tema 3: Dinámica
43. Un cuerpo de 5Kg de masa reposa sobre un plano inclinado cuyo ángulo es α=60º.
Calcular la aceleración que adquiere si μ=0 y μ=0.3.
44. Un objeto de 30kg está apoyado sobre un plano inclinado de 30º de ángulo. Calcula el
valor de Px y de la fuerza normal. Calcula la aceleración que adquiere el bloque sobre el plano.
45. Se lanza un bloque de m=0.2Kg hacia arriba a v0=12m/s desde el principio de un plano
inclinado de α=30º y μ=0.16. Calcular qué altura alcanza y velocidad lleva cuando vuelve al
origen (si es que vuelve).
46. Se lanza una masa de 5Kg desde un punto A con una velocidad inicial de v0=4m/s, sobre
una superficie horizontal de 3m, al final de la cual (punto B) comienza un plano inclinado de
α=30º. Si μ=0.2 a lo largo de todo el recorrido calcular: (llamar C al punto del plano inclinado
donde se detiene y D al punto final)
a) la velocidad a la que pasa por B la primera vez;
b) altura que alcanza;
c) la velocidad a la que vuelve a pasar por B;
d) la distancia de A al a que se detiene;
47. Un cuerpo de masa ‘m’ está apoyado en una superficie horizontal siendo el coeficiente de
rozamiento ‘μ’. Si se va inclinando cada vez más el plano inclinado de manera que ‘α’ va
aumentando ¿cual es el valor de α para que el cuerpo comience a moverse?
48. Una masa desliza hacia abajo a velocidad constante por un plano inclinado de ángulo 30º.
Calcula el coeficiente de rozamiento entre el objeto y el plano.
49. Se lanza hacia arriba por un plano inclinado (40º) una masa con velocidad inicial de 50m/s.
Calcula cuánta distancia recorre sobre el plano, cuanto tarda en detenerse y qué altura alcanza
si el coeficiente de rozamiento vale 0 y 0.4.
50. Se tira hacia arriba de una masa (m=100Kg) que sube por una rampa (α=15º) a velocidad
constante. Calcula la fuerza ejercida sabiendo que μ=0.5.
51. Un cuerpo de 15 Kg está en reposo en lo alto de un plano (α=45º y h=5m). Si dejamos
deslizar el cuerpo por el plano inclinado y después sigue por el suelo, analizar el movimiento
del mismo y calcular cuánto tiempo tarda en detenerse y la distancia recorrida en las
situaciones; μ=0 y μ=0.3.
52. Se ejerce una fuerza de 100N sobre la masa 1 (20Kg). Calcula la fuerza que la masa 2
(30Kg) ejerce sobre la masa 1.
m2
53. Calcula la fuerza máxima que se puede ejercer sobre el sistema sin que se rompa el cable
sabiendo que la tensión máxima que soporta la cuerda es de Tmáx=800N.
m1 F
m1=10Kg
m2=4Kg F
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Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato
54. Calcula la fuerza que ejerce el primer bloque sobre el segundo y la fuerza que el segundo
bloque ejerce sobre el tercero.
m 2m 3m F=60N
55. Dos cuerpos de masas m1=10Kg y m2=15Kg cuelgan de los extremos de un hilo por polea.
Calcular la aceleración del sistema y las tensiones en la cuerda.
56. Una máquina de Atwood consiste en dos cuerpos colgados de una polea. Se usa para
medir la aceleración de la gravedad. Calcular la expresión de 'g' si conocemos m1, m2 (m1>m2),
la distancia (s) que baja la mayor de las masas y el tiempo (t) que invierte en hacerlo. Usar
estos datos para ver el valor de 'g' en el lugar que se realizó el experimento, m1=2.08Kg,
m2=2.Kg, el sistema recorre 39.4cm en 2 segundos, partiendo del reposo.
57. Determina el tiempo que tardará en descender un metro la masa 2 en los casos μ=0, μ=0.1
y μ=0.2. (m1 = 50Kg, m2=6Kg)
m1
m2
58. En el sistema de la figura determinar el sentido del movimiento, la aceleración del sistema y
las tensiones en las dos cuerdas. ¿Cuánto tendría que valer m2 para que el sistema no pudiera
iniciar el movimiento?
59. Calcular en el sistema de la figura la aceleración del sistema sabiendo que m1=5kg y
m2=2kg en los casos μ=0, μ=0.1 y μ=0.2.
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Tema 3: Dinámica
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60. En el sistema de la figura calcula la aceleración del sistema y las tensiones para m1=10kg y
m2=6kg en los casos μ=0, y μ=0.2. Calcula el valor máximo admisible del coeficiente de
rozamiento para que el sistema se mueva por si mismo.
61. Determina la aceleración del sistema y las dos tensiones de ambas cuerdas sabiendo que
m1=2Kg, m2=5Kg, m3=6Kg.
m1
m2
m3
45º
30º
60º
62. En la situación mostrada en el esquema se tiene que el muelle de constante elástica
100N/m se alarga 14.7cm cuando se le cuelga una masa de 3Kg. Calcula α.
α