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TEMA 4: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS.

1.- REGLA DE L´HôPITAL

La regla de L´hôpital sirve para resolver indeterminaciones del tipo

.

Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma

, donde a puede ser un número o infinito, y aparecer las

indeterminaciones:

o

Esta regla dice:

Si , en donde f y g son derivables en un

entorno de a y existe

. Entonces también existe el límite

y además coincide con el anterior.

Es decir:

Ejemplos:

a)

Aplico L´hôpital

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2

b)

c)

d)

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Indeterminación infinito menos infinito

En la indeterminación infinito menos infinito, si son fracciones, se ponen a común

denominador.

e)

Indeterminación cero por infinito

La indeterminación cero por infinito, se transforma del siguiente modo:

f)

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2.- MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. Definiciones.

Una función f es estrictamente creciente en un intervalo (c,d) si y sólo si

Una función f es estrictamente decreciente en un intervalo (c,d) si y sólo

si

TEOREMA 1.

Sea f una función definida en un intervalo (a,b). Se cumple lo siguiente:

Si f ´(x)>0 (a,b) entonces f es estrictamente creciente en (a,b).

Si f ´(x)<0 (a,b) entonces f es estrictamente decreciente en (a,b).

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3.-EXTREMOS RELATIVOS: MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

Si una función es continua, un máximo relativo es el punto donde la

función cambia de ser creciente a ser decreciente y un mínimo relativo es

dónde pasa de ser decreciente a ser creciente. Por esto, en las funciones

continuas el estudio de los extremos va unido al de la monotonía.

Si además las funciones a estudiar son derivables se pueden usar los

siguientes resultados:

Teorema :

Si f tiene un extremo relativo en x=a y existe la derivada en el punto a,

entonces ésta tiene que ser cero.

(Por lo tanto los puntos que anulan a la primera derivada son los posibles

extremos)

TEOREMA 2: Sea f una función definida en el intervalo (a,b) y con derivada segunda en

(a,b). Si x0 es un punto de (a,b) en el que la derivada primera es cero.

Entonces:

Si f ´´(x0)>0 f tiene un mínimo relativo en xo.

Si f ´´(x0)<0 f tiene un máximo relativo en xo.

Si no se da ninguno de los dos casos, es decir, la derivada segunda se anula

en los puntos candidatos a extremos, calcularemos las derivadas sucesivas

hasta encontrar la primera que no se anule. Si es de orden par aplicaremos

el teorema 2 y si es de orden impar el teorema 1.

0

y

x

f ‘(x) < 0

f ’(x) > 0

x00

y

x

f ‘(x) < 0

f ’(x) > 0

x0

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Los valores en los que se anula la derivada de una función se llaman puntos

singulares y son posibles extremos. Pero también serán posibles extremos

los puntos en los que no exista derivada.

En el siguiente ejemplo tenemos la función valor absoluto de x que no es

derivable en x=0 (punto anguloso) y sin embargo tiene un mínimo en x=0

porque la función cambia de ser decreciente a ser creciente.

En x= 0 no es derivable (punto anguloso) pero tiene un mínimo.

En el siguiente ejemplo vemos una función que no es continua en el punto

2 en el que presenta una discontinuidad evitable. En este punto tiene la

función sin embargo un mínimo.

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Estudio de la monotonía y extremos de una función.

EJEMPLOS:

1.-Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos

de f(x) = x3 − 3x + 2

Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes

pasos:

1. Derivar la función. f '(x) = 3x

2 −3

2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos:

f '(x) = 0. 3x

2 −3 = 0 x = -1 x = 1

3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada

primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene

en la derivada primera. Recordamos que:

Si f '(x) > 0 es creciente.

Si f '(x) < 0 es decreciente.

Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.

f '(−2) = 3(−2)2 −3 > 0

Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.

f '(0) = 3(0)2 −3 < 0

Del intervalo (1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo.

f '(2) = 3(2)2 −3 > 0

+ - +

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

La función crece en los intervalos: (−∞, −1) U(1, ∞)

La función decrece en el intervalo: (−1,1)

Para hallar los extremos locales de la misma función f(x) = x3 − 3x + 2

Aplicando el teorema 2 seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f '(x) = 3x2 − 3 = 0

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x = −1 x = 1. Estos serían los posibles extremos.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella

los ceros de derivada primera y si:

F ''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

F ''(x) < 0 Tenemos un máximo.

F ''(x) = 6x

F ''(−1) = −6 Como da negativo, la función tendrá un máximo en x=-1

F '' (1) = 6 Como da positivo, la función tendrá un mínimo en x=1.

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

En este ejemplo como la función era continua por ser polinómica,

simplemente con el estudio de la monotonía ya se podían deducir los

extremos, pero hemos aplicado el teorema 2.

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4.-CURVATURA: CONCAVIDAD , CONVEXIDAD Y

PUNTOS DE INFLEXIÓN.

Hemos tomado el criterio que se sigue en selectividad, el valle tiene forma

CONVEXA y la montaña forma CÓNCAVA.

Definiciones.

Una función f es cóncava en un intervalo (c,d) si la región que queda por

encima de su gráfica en ese intervalo es cóncava. Una función f es convexa en un intervalo (c,d) si la región que queda por

encima de su gráfica en ese intervalo es convexa.

TEOREMA.- Sea f una función que tiene al menos derivada segunda en

un intervalo (a,b). En este caso:

Si f ´´(x) < 0 (a,b) entonces f es cóncava en (a,b).

Si f ´´(x) > 0 (a,b) entonces f es convexa en (a,b).

PUNTOS DE INFLEXIÓN.

Definición.-

Una función continua f tiene un punto de inflexión en x=a si en este punto

la función cambia su curvatura, es decir, pasa de ser cóncava a ser convexa

o de ser convexa a ser cóncava.

Si f tiene un punto de inflexión en a y además existe la derivada segunda en

ese punto a, entonces esta derivada segunda es cero.

Para hallar los puntos de inflexión de una función f resolveremos la

ecuación f ´´(x)=0 y comprobaremos si la derivada segunda cambia de

signo antes y después de cada una de las raíces de la derivada segunda.

Si la función tiene derivada tercera también podemos usar el siguiente

teorema:

TEOREMA. Dada f una función y a un punto en el que f ´´(a)=0 y

f´´´(a) , entonces f tiene en a un punto de inflexión.

Una ampliación del teorema sería:

Si f ´´(a)=0 y f´´´(a) , a será punto de inflexión de f si la primera

derivada no nula en a es de orden impar.

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Estudiar los intervalos de concavidad y convexidad.

Ejemplos:

Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la función:

f(x) = x3 − 3x + 2

Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes

pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

F ''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada

segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene

en la derivada segunda.

Si f ''(x) > 0 es CONVEXA.

Si f ''(x) < 0 es CÓNCAVA. ∩

Del intervalo (− ∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo.

F ''(−1) = 6(−1) < 0 CÓNCAVA.

Del intervalo (0, ∞) tomamos x = 1, por ejemplo.

F ''(1) = 6 (1) > 0 Convexa.

4. Escribimos los intervalos:

La función es convexa en: (0, ∞)

La función es cóncava: (−∞, 0)

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Estudio de los puntos de inflexión.

Calcular los puntos de inflexión de:

f(x) = x3 − 3x + 2

Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0. (posible punto de inflexión)

2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en

ella los ceros de derivada segunda y si:

f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.

f'''(x) = 6 f ´´´(0) Entonces x=0 será un punto de inflexión.

3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.

f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexión: (0, 2)

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6.- PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Pasos para la resolución de problemas de optimización

1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.

2. Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del

problema, en el caso de que haya más de una variable.

3.Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de

modo que nos quede una sola variable.

4. Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

5. Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

Ejemplo

De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del

que tome área máxima.

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La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:

√

Relacionamos las variables:

2x + 2y = 12

x = 6 − y

Sustituimos en la función:

√ = √ =√

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

√ =

√

y=0 e y=2.

Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la

descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.

√

√

√

√

√

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Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.

La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo

que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilátero.