Post on 05-Apr-2018
7/31/2019 Tema4 Lmits i continuitat
1/17
4. Lmits i continutat
4.1 Successions
Definicio 4.1.1 Una successio de nombres reals es una funcio tal que el seu
domini es el conjunt dels nombres naturals,N. Es a dir, es una funci o : NR, encara que usualment es denota per
{a0, a1, a2, a3, . . . },
o tambe per{an}nN, o b e {an}n=0.
Exemple 4.1.2 Una manera de definir una successi o es especificar quin es el
seu terme general. Per exemple,
n = n , n = (1)n , n = 1n
amb n > 0.
Definicio 4.1.3 Una successio {an} es diu que es convergent a un nombre real, i ho escriurem com {an} o be com
limn
an = ,
si per a tot > 0 existeix un nombre natural n0 tal que, si n > n0, aleshores
|an | < .
Les successions per a les quals el seu lmit es + o be sanomenendivergents.
Es ben facil comprovar que les successions constants son convergents i
que el lmit es la mateixa constant.
83
7/31/2019 Tema4 Lmits i continuitat
2/17
Exemples. Les dues primeres successions de lexemple anterior no son conver-
gents. La tercera convergeix a 0. Vegem-ho: La primera successio, definida per
n = n, no es convergent. En efecte, suposem que fora convergent a un nombre
real . Agafem = 12 , per la definicio de convergencia, existeix un n0 tal queper a tot n > n0, aleshores
|an | = |n | < 12
.
Aixo vol dir que per a tot n > n0, n ] 12 , + 12 [ i aixo no es cert.La segona successio tampoc es convergent. Es un exemple de les succes-
sions anomenades oscillants. Demostrarem ara que qualsevol nombre real nopot ser lmit de la successio. Suposem que es un nombre real distint de 1 i de
1. Siga = min{| 1|, | + 1|}. Es facil comprovar que per a aquest tenim
que1,1 / ] , + [.
Per tant, per a tot n N, tenim que |an | .La tercera successio s que es convergent i el lmit es 0. Demostrem-ho.
Siga > 0, aleshores, 1
> 0 i sempre podem agafar un nombre natural n0 que
siga major que 1
. Es a dir, siga n0 tal que1
< n0. Siga ara n > n0, aleshores
|an | = | 1n 0| = 1
ngrau(q(n)), aleshores
limn
p(n)
q(n)= .
Si el grau del numerador es menor que el del denominador, grau(p(n)) an.
Demostrem ara que la successio esta fitada superiorment.
Si en lexpressio de an calculada ades substitum els factors (1k
n) per 1, obtenim
que
an < 1 + 1 +1
2!+
1
3!+ +
1
n!.
Noteu tambe que per a qualsevol k N, 2k < k!, per tant
an < 1 + 1 +1
2+ (
1
2)2 + + (
1
2)n = 3 (
1
2)n1 < 3.
Es a dir, 3 es una fita superior de la successio.
En conclusio, la successio es creixent i esta fitada superiorment, per tant, es con-
vergent.
Hi ha moltes successions que son de la forma {(an)bn}n=0 i per a lesquals, aplicant-hi les propietats de les successions donades en la Propietat 4.1.4
sobte una indeterminacio del tipus 1. El lmit dalgunes daquestes succes-
sions es pot determinant reduint-les a expressions relacionades amb el numero
e. La propietat seguent ens mostra com es pot aconseguir la reduccio.
Propietat 4.3.2 Siga {an}n=0 una successio que divergeix a, llavors, la suc-cessio
{(1 + 1an
)an}n=0
es convergent al n umero e.
Exemples.
87
7/31/2019 Tema4 Lmits i continuitat
6/17
La successio {(1 + 1n2
)n}n=1 es convergent.
limn1 +
1
n2
n
= limn1 +
1
n2
n2
1
n2n
=
limn
1 +
1
n2
n2limn 1n= e0 = 1.
La successio {(1+ 1n2
)1n }n=1 es convergent, pero no es del tipus numero e
ja que el lmit de la successio de lexponent no es infinit, limn1n
= 0.
Per tant, el seu lmit es
limn
1 +
1
n2
1n
=
limn
1 +
1
n2
limn 1n= 10 = 1.
La successio {(11
n)
n
}n=1 es convergent.limn
1 1
n
n= lim
n
1 +
1n
n= lim
n
1 +
1
nn1
= e1 =1
e.
La successio {(n2+2n25 )
3n2+2}n=0 es convergent.
limn
n2 + 2
n2 53n2+2
= limn
n2 5 + (5 + 2)
n2 53n2+2
= limn
1 + 7
n2 53n2+2
= limn
1 +1
n257
n257
7
n25(3n2+2)
= elimn
21n2+14
n25 = e21.
4.4 Funcions elementals
Ara estudiarem algunes propietats de les funcions mes habituals i que uti-
litzarem durant la resta del curs.
88
7/31/2019 Tema4 Lmits i continuitat
7/17
Lmits i continutat
4.4.1 Funcions polinomiques
Definicio 4.4.1 Una funcio es diu que es polinomica de grau n si existeixen
nombre reals a0
, a1
, . . . , an
, amb an
= 0, tals que
f(x) = anxn + an1x
n1 + + a2x2 + a1x + a0,
per a totx R.
Noteu que el domini duna funcio polinomica es sempre tot R. Les fun-
cions polinomiques de grau zero reben el nom de funcions constants, f(x) = a0.
Nota. Les funcions polinomiques o polinomis son molt habituals i importants
en matematiques. Per exemple, hi ha un resultat molt important anomenat el
Teorema de Weierstrass de 1885 que diu que es possible aproximar uniforme-
ment funcions cont nues mitjancant polinomis. Es a dir, sempre podem trobar unpolinomi que saproxime tant com vullguem a una funcio contnua. La definicio
de funcio contnua es troba mes endavant, Definicio 4.5.3.
Una funcio f es diu racional si existeixen dues funcions polinomiques p, q
tals que
f(x) =p(x)
q(x)
per a tot x R. El domini duna funcio racional es el conjunt dels nombres realsmenys els punts on sanulla el denominador, R {x R tals que q(x) = 0}.
4.4.2 Funcio exponencial
Definicio 4.4.2 Siga a R, a > 0. La funcio exponencial amb base a es lafuncio f : R R definida perf(x) = ax.
El domini duna funcio exponencial es R i es una funcio injectiva. Al-
gunes de les propietats les teniu a continuacio.
Propietats 4.4.3 Siga f(x) = ax, amb a R, a > 0, aleshores
i) a0 = 1 ,
ii) a
x+y
= a
x
ay
,iii) axy = ax ay = axay
,
iv) (ax)k = akx .
89
7/31/2019 Tema4 Lmits i continuitat
8/17
4.4.3 Funcio logar tmica
Donat que la funcio exponencial es una funcio injectiva es pot definir la
seua inversa. Aquesta inversa es la funcio logartmica i es denota per g(x) =loga x, es a dir, loga x es lexponent al qual hi ha que elevar la base a per a
obtenir x,
loga x = b ab = x.
El domini de la funcio es ]0, +[ i el conjunt imatge es la recta real (els valorscompresos entre ]0, 1] tenen com a imatge els reals negatius i els valors entre
[1, +[ els reals positius).Si la base dels logaritmes es lanomenat numero e = 2, 71828 . . . , aleshores
la funcio logaritme es denota per ln x i sanomena logaritme neperia.
Algunes propietats importants de la funcio logartmica, i que nomes es-
criurem per a la funcio ln x, son les seguents
Propietats 4.4.4 Siga f(x) = ln x, aleshores
i) ln 1 = 0, (e0 = 1) ,
ii) ln x y = ln x + ln y ,iii) ln x
y= ln x ln y ,
iv) ln xk = k ln x .
Aquestes propietats es poden deduir de les de la funcio exponencial i del fet que
aquesta siga injectiva. En particular,
elnxy = x y = elnx eln y = elnx+ln y
elnxy =
x
y=
elnx
eln y= elnxln y
elnxk
= xk = (elnx)k = ek lnx.
Curiositat. Les escales de mesura de la intensitat dun terratremol mes
usades son de tipus logartmic. En particular, lescala de Richter utilitza una
escala logartmica de base 10, i per tant, un augment dun grau en aquesta escala
no es correspon amb un augment lineal de la magnitud dun terratremol, sinoexponencial. Per exemple, un terratremol de grau sis es deu vegades menys
intens que un de grau set, i cent vegades menys intens que un de grau vuit.
90
7/31/2019 Tema4 Lmits i continuitat
9/17
Lmits i continutat
4.4.4 Funcions trigonometriques
Les funcions trigonometriques associen a un angle uns determinats valors.
Un angle ve determinat per la seua mesura en radians (la longitud de larc de
la circumferencia unitat compres entre dues semirectes). El sentit positiu dels
angles es el que va de leix x a leix y. Aix, si langle es positiu segueix aquest
sentit i si es negatiu el sentit es el contrari.
Considerem la circumferencia unitat i un angle mesurat en radians de x
unitats. Langle x ens determina un punt en la cirumferencia unitat de coorde-
nades (a, b) aleshores definim les funcions
sinus com sin(x) = a, cosinus com cos(x) = b.
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
cos
sin tan
Una relacio fonamental es la identitat
sin2(x) + cos2(x) = 1.
Aquesta relacio es consequencia de la definicio ja que el punt (sin x, cos x) es
un punt de la circumferencia unitat.
Tant el sinus com el cosinus (i les funcions definides a partir delles) s on
funcions periodiques, es a dir, tornen a prendre els mateixos valors en diferents
intervals. Per tant, cap delles es injectiva en tota la recta real. A continuacio
podem vore les grafiques de la funcio sinus
-6 -4 -2 2 4 6
-1-0.5
0.5
1
sin(x)
91
7/31/2019 Tema4 Lmits i continuitat
10/17
i la funcio cosinus
-6 -4 -2 2 4 6
-1
-0.5
0.5
1
cos(x)
Les altres funcions trigonometriques es defineixen a partir daquestes. Les
funcions tangent i secant, definides per a x = k + 2 , k Z,
tan(x) =sin(x)
cos(x), sec(x) =
1
cos(x).
Les funcions cotangent i cosecant, definides per a x = k, k Z,
cot(x) =cos(x)
sin(x), csc(x) =
1
sin(x).
Les seues funcions inverses, amb les precaucions sobre els dominis de
definicio, sanomenen arc sinus, arc cosinus i arc tangent i es denoten per
arcsin, arccos i arctan, respectivament. Les dues primeres estan definides en
linterval [1, 1] i lultima en R. Les altres inverses no son tan importants.
4.5 Lmits de funcions
El concepte intutiu de lmit duna funcio es pot expressar com: Quan
la variable x saproxima (tendeix) a un valor x0, el valor de la funcio f(x)
saproxima (tendeix) a . Amb un exemple entendrem millor aquest concepte.
Exemple 4.5.1 La funcio
f(x) =
x2 x [2, 1[,32
x = 1,
x2 + 2x + 1 x ]1, 3].
te com a grafica
92
7/31/2019 Tema4 Lmits i continuitat
11/17
Lmits i continutat
-2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
4
Aleshores, si sobserva la seua grafica sembla clar que el lmit de la funcio
quan x saproxima a x0 = 0 es igual a = 0 i que quan ens aproximem a x0 = 2
el lmit de la funcio es = 1. Pero que passa si ens aproximem a x0 = 1? Aixo
ho vorem de seguida.
Els nombres que estan prop dun punt real x0 els podem dividir entre els
que estan a la seua esquerra i els que estan a la seua dreta. Per tant, podrem
calcular:
el lmit de la funcio en x0 per lesquerra (quan ens aproximem a x0 ambvalors que estan a la seua esquerra), i ho denotarem per
limxx
0
f(x).
el lmit de la funcio en x0 per la dreta (quan ens aproximem a x0 ambvalors que estan a la seua dreta), i ho denotarem per
limxx+
0
f(x).
Exemple. Per a la funcio de lexemple anterior (Exemple 4.5.1) es te que
limx1
= 1 , limx1+
f(x) = 2.
Per tant, segons per on ens aproximem al valor de x0 = 1 obtenim un resultat
diferent. En aquests casos direm que el lmit de la funcio no existeix quan x
tendeix a 1.
93
7/31/2019 Tema4 Lmits i continuitat
12/17
Definicio 4.5.2 Siga f : D R R una funcio i siga x0 D. Direm que ellmit de la funcio f quan x tendeix a x0 es un nombre real si per a tot > 0
existeix un > 0 tal que si 0 < |x x0| < , aleshores |f(x) | < . Enaquest cas escriurem
limxx0
f(x) = .
Intutivament aquesta definicio vol expressar la seguent nocio: ens po-
dem apropar a tant com siga necessari amb valors de la imatge de la funci o f
proxims a x0 i vice-versa, totes les imatges de punts proxims a x0 tambe estan
proximes a .
Nota. Encara que ja esta inclos en la definicio, direm que el lmit de la
funcio en x0 val si els dos lmits laterals son iguals a .
El concepte de lmit apareix tambe en la definicio de continutat duna
funcio.
Definicio 4.5.3 Una funcio f : D R R es diu que es contnua en unpunt x0 D si
limxx0
f(x) = f(x0).
Es diu que la funcio f es cont nua en D si ho es en tots els punts de D.
Per la definicio de lmit duna funcio quan x tendeix a x0, tenim que una
funcio es contnua en un punt x0 del seu domini si per a tot > 0, existeix > 0
tal que si
|x
x0|
< , aleshores|f(x)
f(x0)
|< .
Exemple. En lexemple 4.5.1 la funcio es contnua en x0 = 0 i en x0 = 2 pero
no es contnua en x0 = 1 ja que no existeix el lmit de la funcio en x0 = 1.
Idea geometrica. Sacostuma a dir que una funcio es contnua si es pot dibuixar(
o recorrer) la seua grafica sense alcar el llapis del paper en cap moment.
Exemples. Important! Les funcions polinomiques son contnues i per tant,
tambe les funcions constants. Les funcions racionals tambe (alla on estiguen
definides). Les funcions exponencials, les logartmiques i les trigonometriques
sinus i cosinus tambe. La tangent tambe ho es en els punts on esta definida. Es
a dir, totes les funcions elementals son contnues.
Nota. Com a consequencia de la definicio de continutat quan tinguem que
calcular el lmit duna funcio contnua quan x tendeix a x0 aquest lmit es igual
94
7/31/2019 Tema4 Lmits i continuitat
13/17
Lmits i continutat
al valor de la funcio en el punt x0, es a dir,
limxx0
f(x) = f(x0).
Un altre exemple es el seguent: Siga f : R R tal que
f(x) =
1x
x = 0,1 x = 0.
Aquesta es una funcio definida en tot R pero que no es contnua ja que no ho
es en x0 = 0. Vegem-ho. Siga = 1 i siga > 0 qualsevol. Agafem x < 0
tal que x < . Per tant, amb aquest x tenim que |x 0| = x < perof(x) = 1
x< 0 i per tant |f(x) 2| = 2 1
x> 2 > .
-4 -2 2 4
-6
-4
-2
2
4
6
4.6 Criteri de lentrepa per a funcions
Aquest es un primer metode per tal de calcular alguns lmits mes compli-
cats i que es pot utilitzar en moltes ocasions.
Teorema 4.6.1 Siguen f , g , h : D R R tres funcions tals que per a totx D es compleix la seg uent desigualtat
f(x) g(x) h(x).
Aleshores, si
limxx0 f(x) = y = limxx0 h(x),
llavors tambe es compleix que limxx0 g(x) = y.
95
7/31/2019 Tema4 Lmits i continuitat
14/17
Exemple 4.6.2 Calculem el lmit de la funcio f(x) = xsinx quan x tendeix a
zero i vejam que
limx
0
x
sin x= 1.
Nomes cal recordar que per la mateixa definicio de les funcions trigonometriques,
tenim que, per a valors de x entre 0 i 2 , es compleix que
sin x x tan x,
ja que x es la mesura en radians de la longitud de larc de circumferencia entre
els punts (1, 0) i el punt (sin x, cos x).
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
cos
sin tan
Per tant, si x > 0, podem dividir lexpressio anterior per sin x i obtenim
1 xsin x
tan xsin x
=1
cos x.
Podem aplicar ara el criteri de lentrepa, ja que el lmit de la funcio constant
f(x) = 1 es el mateix valor, i el lmit de h(x) = 1cos x quan x tendeix a 0 es
tambe 1. Quan x < 0 podem fer el mateix pero cal anar amb compte amb els
signes i les desigualtats.
96
7/31/2019 Tema4 Lmits i continuitat
15/17
Lmits i continutat
4.7 Exercicis
1 Calcula el domini de les seguents funcions:
f(x) = 1| x 2 | , g(x) =1
2 x +5, p(x) =2 x, q(x) = 4+10xx2.
2 Donades les funcions f(x) =
x + 1x
i g(x) =
x 1x
.
Calcula f + g, f g, f g i fg
.
3 Laltura dun cert cilindre es igual al diametre de la seua base. Expressa el
volum, larea lateral i larea total del cilindre com a funcio de la seua altura.
4 Prova que si
f(x) = ln
1 x1 + x
,
aleshores
f(x) + f(y) = f(x + y
1 + xy).
5 Prova que la grafica de x2 + y2 = 100 talla la grafica de y = x + 14 en els
punts (8, 6) i (6, 8).
6 Determina el polinomi de grau 3 tal que per als valors de la variable 1, 2, 3 i
4 pren els valors 2, 13, 38 i 83 respectivament.
7 Determina el polinomi de grau menor o igual que 8 que per a x = 0, a,a, 2a,2asanulla, per a x = a2 ,3a2 pren el valor 1 i per a x = a2 , 3a2 pren el valor
1.
8 Siga g(x) = 1x1+x . Troba una relacio entre g(x) i g(x). Calcula la funcioinversa de g.
9 La funcio f(x) = x2+x6x24 es contnua en R {2, 2}. Defineix f(2) per a
que f siga contnua en x = 2. Podries fer el mateix per a x = 2?
10 Calcula els seguents lmits:
limx2
4 x22 x2 , limx1
x3 1x2 1 , limx1
x
x2 x .
11 Calcula els seguents lmits:
limx0
x(1 + x)
2x2, lim
x0x
|x| , limx1x2 1
x2 2x + 1 , limx0sin x
x(cos x)13
.
97
7/31/2019 Tema4 Lmits i continuitat
16/17
12 Prova que limx0sinxx
= 1.
13 Calcula els seguents lmits
limx1
x2 5x + 6x2 4 , limx2
x2 5x + 6x2 4 , limx2
x2 5x + 6x2 4 .
La grafica daquesta funcio es
-10 -5 5 10
-10
-5
5
10
14 Estudia la continutat de les seguents funcions:
a) f(x) =
x2 + 4 x < 2,
x3 x 2 b) g(x) =x2 x < 0,1x x 0
15 Estudia la continutat de les seguents funcions:
a) f(x) =
x2 + 5 x < 2,10 x = 2,
1 + x3 x > 2
b) g(x) =
1 x x < 1,1 x = 1,
x2 1 x > 1
16 Calcula els valors de a i b per tal que la funcio f siga contnua en x = 1 i
discontnua en x = 2,
f(x) =
ax b x 1,3x 1 < x < 2,
bx2 a 2 x.
17 Determina si les seguents successions son fitades i creixents/decreixents
an =n 1
n, bn =
n2 + 1
3n + 2, cn = sin(
n + 1) , dn =
(2)nn10
.
98
7/31/2019 Tema4 Lmits i continuitat
17/17
Lmits i continutat
18 Calcula els seguents lmits
a) limn
n + 1
n
2, b) lim
n
n 1n2 + 2
, c) limn
n5 + n2
n2
1
, d) limn
2n4 + n2
3n4
n3
.
19 Calcula els seguents lmits
a) limn
n + 1
n
n2
, b) limn
n 1n + 2
2n, c) lim
n
n2 + n
n2 1 3n
2
.
99