Post on 18-Aug-2015
TEOREMA DE CONTINUIDAD DE
UNA FUNCION
CalculoIntegrantes:Armas Manríquez Erick Daniel 10-13Barrios Flores Brenda Consuelo 2- 5Ramírez Gamboa Diana 6- 9
Es una afirmación matemática demostrable a partir de otras
proposiciones ya demostradas.
En matemáticas, una función continua es aquella que en general la
gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
Teorema
Continuidad
• La función f es continua en el numero a si f esta definida en algún intervalo abierto que
contenga a a.• Intuitivamente se puede decir que una función
es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene "huecos".
Continuidad de una Función
• Se dice que una función f es continua en el numero a si solo se cumplen las 3 condiciones siguientes:
• Si f (a) existe
• Si lim f (x) existe
• Si lim f (x) = f (a)
Criterios de Continuidad
x a
x a
1.- EXISTENCIA
Una función es continua en x=a si al sustituir a, en una función el resultado es un numero real.
F(a)= R (existe)
2.- LIMITES
Una función es continua en x=a si los limites por la izquierda y la derecha son iguales, es decir el limite existe y es único.
Lim f(x)= lim f(x)
X—a - x—a+
3.- IGUALDAD
Una función es continua en x=a si la sustitución directa es igual con el limite.
F(a)= lim f(x)
x—a
Para que una función sea continua debe cumplir con los siguientes teoremas:
• Teorema de Weierstrass: La hipótesis de este teorema es que contamos con una función F que es continua en un intervalo cerrado [a,b].
• La tesis afirma que, en tal caso, existe al menos un máximo y un mínimo absolutos que la función alcanza en [a,b].
• Es decir, existen en [a,b] al menos dos valores m y M tales que F(m) ≤ F(x) ≤ F(M) para todo valor x de [a,b].
Teoremas sobre funciones continuas
• Es que contamos con una función F que es continua en un intervalo cerrado [a,b] cuyos valores en sus extremos F(a) y F(b) tienen distinto signo.
• La tesis del teorema es que, en tal caso, la función se anula en algún punto del intervalo (a,b).
• El teorema nos garantiza que debe existir al menos un cierto valor x del intervalo (a,b) para el cual F(x) = 0. Pero solo nos asegura que tiene que haber ese valor, no nos dice nada de cómo encontrarlo.
Teorema de Bolzano:
• La hipótesis de este teorema es que contamos con una función F que es continua en un intervalo cerrado [a,b].
• La tesis afirma que, en tal caso, la función alcanzará cualquier valor intermedio, comprendido entre F(a) y F(b).
• Veremos que este teorema es a la vez una generalización y una consecuencia del Teorema de Bolsano.
Teorema del valor intermedio:
• Dadas 2 funciones f (x) y g (x), que son continuas en un punto o en un intervalo, se cumple entonces que:
• La suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo.
• El producto de las dos funciones es una función continua en ese punto o intervalo.
Propiedades de las funciones continuas
• El consiente entre ambas funciones es una función continua en ese punto o intervalo, salvo en aquellos en los que el denominador se anula.
• Si f (x) es continua en a, y g (x) es continua en
f (x), entonces la composición de funciones
(fg)(x) es también continua en a.