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Teoremas de Cobertura
Ulises Martinez Araiza
umartinez@gdl.cinvestav.mx
www.ulisesmartinez.com
Teoremas de Cobertura
2 Ulises Martinez Araiza
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Contenido Contenido ............................................................................................................................... 2
1. El teorema de P-Cobertura ................................................................................................. 3
2. Resultados derivados del teorema de P-cobertura .............................................................. 5
3. El teorema de T-Cobertura ................................................................................................. 6
4. Resultados derivados del teorema de T-cobertura .............................................................. 9
7. Referencias ....................................................................................................................... 10
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1. El teorema de P-Cobertura
Definición 4.1 P-Componentes
Sea 𝑁′ una subred de la red 𝑁 generada por un conjunto no vacío 𝑋 de nodos. 𝑁′ es
una P-componente de 𝑁 si:
∙ 𝑝 ∪ 𝑝 ∙⊆ 𝑋 para todo lugar 𝑝 de 𝑋, y
𝑁′ es una P-red fuertemente conexa.
Ilustración 1: Una red Free-Choice bien formada y su descomposición en P-componentes1
Obsérvese que, por la primera condición de la definición 4.1, una P-componente está
determinada por su conjunto de lugares, es decir, dos P-componentes diferentes tienen
diferentes conjuntos de lugares.
Proposición 4.2 Propiedades elementales de los P-componentes
Sea 𝑁1 = (𝑃1, 𝑇1, 𝐹1) una P-componente de la red 𝑁.
Por cada 𝑡 ∈ 𝑇1, |∙ 𝑡 ∩ 𝑃1| = 1 = |𝑡 ∙∩ 𝑃1|. Si 𝑀 y 𝑀′ son marcados de 𝑁 tal que 𝑀′ ∈ [𝑀⟩, entonces 𝑀′(𝑃1) = 𝑀(𝑃1). 𝑃1 es un sifón mínimo y una trampa mínima de 𝑁.
1 Ilustración tomada de [1].
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Definición 4.3 P-cobertura, redes cubiertas por P-componentes
Sea 𝐶 un conjunto de P-componentes de una red. 𝐶 es una P-cobertura si cada lugar de
la red pertenece a una P-componente de 𝐶. Una red está cubierta por P-componentes si
esta tiene una P-cobertura.
El nombre de P-cobertura es particularmente adecuado para redes en las cuales cada
transición tiene algunos lugares de entradas y algunos lugares de salida (note que una red
subyacente a un sistema siempre satisface esta condición). En este caso, por definición de
una P-componente, no solo cada lugar, sino también cada transición y cada arco de una red
cubierta por P-componentes pertenece a un elemento de una P-cobertura.
El resultado principal a probar es el teorema de P-cobertura.
Proposición 4.4 Propiedades de los sifones mínimos en redes Free-Choice bien formadas
Sea 𝑅 un sifón mínimo de una red Free-Choice bien formada, entonces:
𝑅 es una trampa.
La sub-red generada por 𝑅 ∪∙ 𝑅 es una P-componente.
Lema 4.5
Cada lugar de una red Free-Choice bien formada está contenido en un sifón mínimo.
Teorema 4.6 Teorema de S-cobertura
Redes Free-Choice bien formadas están cubiertas por P-componentes.
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2. Resultados derivados del teorema de P-
cobertura
Proposición 4.7 P-componentes inducen P-invariantes mínimos
Sea 𝑁1 = (𝑃1, 𝑇1, 𝐹1) un P-componente de una red 𝑁 . Entonces 𝜒[𝑃1] es un P-
invariante mínimo de 𝑁.
Teorema 4.8 Consecuencias del teorema de P-cobertura
Sea 𝑁 una red Free-Choice bien formada:
𝑁 tiene un P-invariante positivo.
Cualquier sistema (𝑁,𝑀) es acotado.
Un sistema (𝑁,𝑀) es vivo si y solo si cada P-componente de 𝑁 está marcada
en 𝑀.
Ninguna de estas tres partes del teorema se mantiene si 𝑁 es bien formada, pero no
es una red Free-Choice.
Teorema 4.9 Cotas de lugares en sistemas Free-Choice vivos y acotados
Sea 𝑝 un lugar de un sistema Free-Choice vivo y acotado (𝑁,𝑀0). La cota de 𝑝 es igual
a:
min{𝑀0(𝑃1)|(𝑃1, 𝑇1, 𝐹1)𝑒𝑠𝑢𝑛𝑃 − 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑑𝑒𝑁𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜𝑝}
Teorema 4.10 Redes Free-Choice bien formadas tienen marcados vivos 1-acotados
Sea 𝑁 una red Free-Choice bien formada. Existe un marcado 𝑀0 de 𝑁 tal que (𝑁,𝑀0) es un sistema vivo y 1-acotado.
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3. El teorema de T-Cobertura
Se introducirán las definiciones de T-componente y T-cobertura. Estas son obtenidas
desde las definiciones de P-componentes y P-coberturas, intercambiando lugares por
transiciones.
Ilustración 2: Un sistema Free-Choice vivo y acotado y su descomposición en T-componentes2
Definición 4.11 T-componentes
Sea 𝑁′ una sub-red de la red 𝑁 generada por un conjunto no vacio de 𝑋 nodos. 𝑁′ es
una T-componente de 𝑁 si:
∙ 𝑡 ∪ 𝑡 ∙⊆ 𝑋 por cada transición 𝑡 de 𝑋, y
𝑁′ es una T-red fuertemente conexa.
Proposición 4.12 Propiedades elementales de los T-componentes
Sea 𝑁1 = (𝑃1, 𝑇1, 𝐹1) una T-componente de la red 𝑁:
Por cada lugar 𝑝 de 𝑁1, |∙ 𝑝 ∩ 𝑇1| = 1 = |𝑝 ∙∩ 𝑇1|. Sea 𝑀0 un marcado de 𝑁 , y sea 𝜎 una secuencia de transiciones de 𝑇1 .
Entonces, 𝑀0𝜎→𝑀 de 𝑁 si y solo si 𝑀0|𝑃1
𝜎→𝑀|𝑃1 en 𝑁1.
Sin pérdida de generalidad, la segunda parte de esta proposición establece que el
comportamiento de una T-componente no es restrictiva con el resto del sistema.
2 Ilustración tomada de [1].
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Definición 4.13 T-coberturas, redes cubiertas por T-componentes
Sea 𝐶 un conjunto de T-componentes de una red. 𝐶 es una T-cobertura si cada
transición de la red pertenece a una T-componente de 𝐶. Una red está cubierta por T-
componentes si tiene una T-cobertura.
De forma similar a las P-coberturas, si cada lugar de una red cubierta por T-
componentes tiene algunas transiciones de entradas o algunas transiciones de salida, entonces
no solo cada transición, sino cada lugar y cada arco pertenecen a una T-componente de una
T-cobertura. El resultado principal a demostrar es el teorema de T-cobertura.
Proposición 4.14 T-componentes inducen T-invariantes mínimos
Sea 𝑁1 = (𝑃1, 𝑇1, 𝐹1) una T-componente de una red N. Entonces 𝜒(𝑇1) es un T-
invariante mínimo de 𝑁.
De forma opuesta, dado un T-invariante mínimo 𝐽, la sub-red generada por ∙ ⟨𝐽⟩ ∪⟨𝐽⟩ ∪ ⟨𝐽⟩ ∙ es un T-componente. Para probar este resultado, se introducirán las asignaciones
cíclicas.
Definición 4.15 Asignaciones cíclicas
Una asignación 𝛼 es cíclica si, por cada clúster 𝑐 de su dominio 𝐶, el conjunto 𝛼(𝑐) ∙
contiene lugares de 𝐶 únicamente.
El nombre de asignación cíclica es por el hecho de que cada camino infinito que
contiene únicamente lugares y transiciones asignadas incluye un circuito.
3
Ilustración 3: Lema de asignación cíclica
3 Ilustración tomada de [1].
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Lema 4.16 Lema de asignación cíclica
Sea (𝑁,𝑀0) un sistema Free-Choice vivo y acotado. Sea 𝛼 una asignación cíclica de
𝑁 con un dominio no vacio 𝐶. Existe una secuencia de ocurrencias 𝑀0𝜏𝜎→ tal que:
𝜏 es finita y no contiene transiciones de 𝐶, y
𝜎 es infinita y contiene únicamente transiciones 𝛼-asignadas.
Teorema 4.17 T-invariantes mínimos inducen T-componentes
Sea 𝑁 una red Free-Choice bien formada y sea 𝐽 un T-invariante mínimo de 𝑁. La
subred generada por ∙ ⟨𝐽⟩ ∪ ⟨𝐽⟩ ∪ ⟨𝐽⟩ ∙ es una T-componente de 𝑁.
Teorema 4.18 Teorema de T-cobertura
Redes Free-Choice bien formadas están cubiertas por T-componentes.
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4. Resultados derivados del teorema de T-
cobertura
Las transiciones de un modelo pueden ser divididas en transiciones observables y
transiciones internas. Las transiciones observables modelan acciones que pueden ser
percibidas fueras del sistema, mientras que las transiciones internas modelan acciones que
no tienen un efecto visible.
Un sistema es divergente para una división en especifica de sus transiciones en
observables e internas si algún marcado alcanzable habilita una ocurrencia infinita de
transiciones internas. Un sistema divergente no está bien diseñado, debido a que puede
acoplarse en un comportamiento inútil infinito. Usando el teorema 4.17, caracterizaremos la
división para la cual un sistema Free-Choice vivo y acotado es divergente.
Definición 4.19 Activación de una T-componente
Sea 𝑁1 = (𝑃1, 𝑇1, 𝐹1) una T-componente de una red 𝑁. Un marcado 𝑀 de 𝑁 activa 𝑁1
si el sistema (𝑁1, 𝑀|𝑃1) es vivo.
No todo marcado alcanzable activa un T-componente dado. De hecho, existen algunas
redes Free-Choice vivas ya acotadas en las cuales ningún T-componente es del todo activado.
Teorema 4.20 Las T-componentes pueden ser activadas
Sea 𝑁1 una T-componente de un sistema Free-Choice vivo y acotado (𝑁,𝑀0) .
Entonces existe una secuencia de ocurrencias 𝑀0𝜏→𝑀 tal que 𝑀 active 𝑁1 y ninguna
transición de 𝑁1 ocurra en 𝜏.
Teorema 4.21 Una caracterización de divergencia
Sea (𝑁,𝑀0) un sistema Free-Choice vivo y acotado y sea 𝑇𝐼 , 𝑇𝑂 una partición de las
transiciones de 𝑁 en transiciones internas y observables respectivamente. (𝑁,𝑀0) es
divergente para esta partición si y solo si existe un T-componente (𝑃1, 𝑇1, 𝐹1) de 𝑁 tal
que 𝑇1 ⊆ 𝑇𝐼.
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7. Referencias [1] Jörg Desel and Javier Esparza. 1995. Free Choice Petri Nets. Cambridge University
Press, New York, NY, USA.