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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
Ing. César Canelo Sotelo
Contenido del curso
• Teoría de redes• El problema del árbol de expansión mínima• El problema de la ruta más corta• El problema de flujo máximo• El problema de flujo de costo mínimo• Administración de proyectos: ruta crítica determinística,
ruta crítica probabilística, optimización de proyectos• Programación dinámica• Proceso de Jerarquía analítica• Teoría de colas
SISTEMA DE EVALUACIÓN: G
• Promedio de prácticas (PP)• Examen parcial (EP)• Examen final (EF)
Promedio final = (PP + EP + EF)/3
BIBLIOGRAFÍA
• Investigación de Operaciones - Winston Wayne
• Introducción a la Investigación de Operaciones - Hillier y Lieberman
• Investigación de Operaciones – H. Taha• Investigación de Operaciones: El arte de la
toma de decisiones – Mathur y Solow• Investigación de Operaciones en la Ciencia
Administrativa – Eppen Gould
TEORÍA DE REDES
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES IIIng. César Canelo Sotelo
GRÁFICAS
Las gráficas son diagramas que si se interpretan en forma adecuada proporcionan información que se utiliza para describir cierto tipo de estructura. Son de utilidad porque muestran las conexiones o relaciones entre varias partes de la estructura. Ejemplos: mapas de carreteras, rutas de itinerario aéreo, etc.
GRÁFICA DE ORDEN n
• Una gráfica es un par ordenado G = (X, A), donde X ≠ Ø , es finito.
• X se denomina conjunto de vértices o nodos.• Al conjunto A se denomina arcos o aristas, y
tiene como elementos a pares de vértices de X. Los arcos unen a todos o algunos de los vértices xi, xj Є X.
GRAFICAS ORIENTADAS
• Una gráfica orientada G consiste en un conjunto de vértices o nodos X y un conjunto de arcos A.
• Para denotar un arco u, se requiere definir el concepto de extremo.Sea u Є A / u = (xi, xj ), se define:
xi : Extremo inicial o predecesor. xj : Extremo final o sucesor.
GRÁFICAS ORIENTADAS
El arco u = (xi, xj ) también se expresa como: xi xj Y se representa como:
Cola Cabeza
Xi Xj
GRÁFICAS ORIENTADAS
U1 U2 U5
U3 U4
U6
Esta red representa la gráfica G, cuyos vértices y arcos son: X = x1, x2, x3, x4, x5 A = (x1, x1), (x3, x2), ( x3, x4), ( x3, x5), (x4, x5), (x5, x3) A = u1, u2, u3, u4, u5, u6
X1
X3
X2
X4
X5
GRÁFICAS ORIENTADAS• ARCOS ADYACENTES Dos arcos son adyacentes si tienen un vértice
en común. Ejemplo, u2 y u3 son adyacentes.• VÉRTICES ADYACENTES
Dos vértices son adyacentes si son diferentes y existe al menos un arco que va de Xi a Xj o de Xj a Xi.
Ejemplo, x2 y x3 son adyacentes.
GRÁFICAS ORIENTADAS• ARCO INCIDENTE A UN VÉRTICE Un arco u es incidente al vértice Xi si llega a
dicho vértice o sale del mismo. Si Xi es el extremo inicial del arco u, se dice
que el arco u es incidente hacia el exterior de Xi. En caso contrario, se dice que u es incidente hacia el interior de Xi. Ejemplos:
Hacia el exterior de X3: u2, u3, u5
Hacia el interior de X3: u4
GRÁFICAS ORIENTADAS
u1 u2 u5
u3 u4
u6
x1
x3
x2
x4
x5
ARCOS INCIDENTES A UN CONJUNTO DE VÉRTICES
Sea Y un subconjunto de X, perteneciente a la gráfica G = ( X, A), se dice que u es incidente a Y hacia el exterior si xi Є Y, xj ~ Є Y.
El conjunto de arcos incidentes a Y hacia el exterior, se representa por W⁺ (Y) .
Si xi ~ Є Y y xj Є Y , se dice que u es incidente hacia el interior de Y, y se representa por W⁻ (Y) .
ARCOS INCIDENTES A UN CONJUNTO DE VÉRTICES
Así, si en la gráfica definimos Y como el conjunto:
Y = x3, x4 Entonces: W⁺ (Y) = u2, u3, u6 W⁻ (Y) = u4 Al conjunto W⁺ (Y) U W⁻ (Y) se representa como:
W (Y) = u2, u3, u4, u6
U2 U5
U1 U3 U4
U6
Gráfica orientada
X1X2
X3
X4
X5
GRÁFICAS• SUBGRÁFICAS
Se denomina subgráfica de G=(X,A) a la gráfica constituida por Y subconjunto de X y por arcos de A que unen vértices de Y. No intervienen todos los vértices de X, en consecuencia sólo intervienen los arcos de A que unen los vértices de Y.
• GRAFICA PARCIALUna gráfica parcial de G=(X,A) es la gráfica constituida por el conjunto de vértices de X y por B subconjunto de A. Intervienen todos los vértices de X de la gráfica original.
GRÁFICAS ORIENTADAS• CAMINO
Es una secuencia de arcos u = (u1, u2, . . . , uk), en el cual el extremo final de cada arco coincide con el extremo inicial del arco que le sigue. Ejemplos:
Camino representado por arcos Camino representado por los vértices
( u5, u6) (x3, x4, x5)
GRÁFICAS ORIENTADAS• CAMINO SIMPLE
Es un camino que no utiliza más de una vez el mismo arco.
• CAMINO ELEMENTALEs un camino que no utiliza más de una vez el mismo vértice.
• LONGITUD DE UN CAMINOEs el número de arcos que contiene el camino y se representa por ℓ(u).
Ejemplo: Si u = ( u5, u6) , entonces ℓ (u) = 2.
x3
x1x2
x5
x4
u1 u2
u3 u4
u5
u6
GRÁFICAS ORIENTADAS• CIRCUITO Es un camino finito N = (x1, x2, ... , xk) en el
que el vértice inicial X1 es igual al vértice final Xk.
Ejemplo: U = ( u5, u6, u4) es un circuito.• ANILLO
Es un circuito constituido por un solo vértice y con un solo arco.
Ejemplo: u1 = (x1, x1) es un anillo.
REPRESENTACIÓN DE GRÁFICAS ORIENTADAS
• Para la representación de gráficas orientadas se pueden emplear varias estructuras de datos. Una representación común es la matriz de adyacencia. Para una gráfica G = (X, A) , se supone que X = {1, 2, . . . , n } . La matriz de adyacencia para G es una matriz B de orden nxn, de elementos booleanos, donde B = [i, j] es verdadero sí y solo sí, existe un arco que vaya del vértice i al j. La matriz se exhibe con 1 para verdadero y 0 para falso.
Ejemplo
1
4
2
3
0
1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
1 2 3 4
1
2
3
4
GRÁFICAS NO ORIENTADASEn las gráficas no orientadas los conceptos de arco, camino y circuito, se sustituyen por arista, cadena y ciclo.
ARISTASe denomina arista de una gráfica no orientada G a un conjunto de vértices xi, xj tales que xi ≠ xj, con (xi, xj) Є A y/o (xj, xi) Є A.
O sea, es el segmento que une dos vértices adyacentes. No se distinguen entre vértice inicial y final.
GRÁFICA NO ORIENTADA
En esta gráfica cada arco tiene las dos orientaciones: (Xi, Xj) y (Xj, Xi)
X1 X2
X3X5
X4
GRÁFICAS NO ORIENTADAS• CADENA
Es una secuencia de aristas. Ejemplo: v = (x1, x2, x3) es una cadena.
• CICLOEs una cadena finita en el que coinciden los vértices inicial y final.
Ejemplo: v = (x1, x2, x3, x4, x5, x1)
REPRESENTACIÓN También se puede usar la matriz de
adyacencia. Ejemplo:
a b
d c
0 1 0 1
1 0 1 1
0 1 0 1
1 1 1 0
a b c d
a
b
c
d
REDES DE TRANSPORTEDEFINICIÓNSe denomina red de transporte al grafo finito, sin anillos, donde se cumple que:
a) Cada arco u tiene asociado un número c(u)>=0 llamado capacidad del arco.
b) Existe un solo vértice Xs tal que W⁻(Xs) = 0 , este vértice se llama fuente o entrada de la red.c) Existe un solo vértice Xt tal que W⁺(Xt) = 0 ,
este vértice se llama destino o sumidero de la red.
REDES DE TRANSPORTE• FLUJO
Es una función entera Ø(u), definida sobre el conjunto A de arcos. Esta función es un flujo para una red de transporte si satisface:
0 <= Ø(u) <= c(u) , para todo u Є A. La función Ø(u) puede considerarse como la
cantidad de materia que fluye por el arco u. Como la cantidad de materia que entra es igual a la que sale, entonces para todo nodo se cumple:
Σ Ø(u) ingresa = Σ Ø(u) sale
REDES DE TRANSPORTE
• ARCO SATURADOSe dice que un arco u Є A está saturado si:
Ø(u) = c(u)
• FLUJO COMPLETO Un flujo es completo si todo camino que va de
la fuente al destino contiene al menos un arco saturado.
Ø(u) c(u) 1 0
c(u)- Ø(u) 2 1 0 2
2 2
RED DE TRANSPORTE
X1
Xs Xt
X2
3 1
42
RED DE TRANSPORTE• CORTE Sea Y un subconjunto del conjunto X de vértices,
que contiene al destino Xt y no contiene a la fuente Xs. El conjunto W⁻(Y) (arcos incidentes hacia el interior de Y) se le denomina corte de la red.Un corte de una red, es un conjunto de arcos cuya ausencia desconectaría completamente a la red.
Ejemplo, si en la red se tiene Y = (X2, Xt), entonces el corte correspondiente a Y está dado por: W⁻(Y) = { (X1, Xt), (Xs, X2) }
CORTE EN UNA RED DE TRANSPORTE
x1
xtxs
x2
3 1
42
REDES DE TRANSPORTE
• CAPACIDAD DE CORTE Se denomina así a la expresión: C [W⁻(Y)] = Σ c(u) , u Є W⁻(Y) Al definirse la capacidad de un corte se toma
en cuenta la dirección de los arcos del corte. Ejemplo, si Y = (X2, Xt) , C [W⁻(Y)] = 2 + 1 = 3
G R A C I A S