Post on 22-Jan-2016
I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
V
mti
2
2
2
2
2
d xm F Vdt
V
mti
2
2
2
Dar (la posición) como una función
de (el tiempo):
De ahí deducimos las velocidad , la
energía, la cantidad de movimiento, etc.
x
t
x t
v t
0 0
0
20
La fuerza es igual a cero
La posición está dada a todo tiempo como:
La velocidad está dada a todo tiempo como:
1La energía es siempre
2
t
x t x v t
t
v t v
E mv
20 0
0
2
La fuerza es constante
La posición está dada a todo tiempo como:
1
2La velocidad está dada a todo tiempo como:
1La energía es
2
t
x t x v t at
t
v t v at
E mv t
F kx
max
La posición está dada a todo tiempo como:
cos 2
donde la frecuencia está dada como
1 1
2
donde es el periodo.
t
x t x ft
f
kf
m T
T
max
2 2 2max
La velocidad está dada a todo tiempo como:
2 sin 2
La energía es:
1 1 1
2 2 2
t
x t fx ft
E t mv t kx t kx
2
En este caso la fuerza es la de la
ley de la gravitación de Newton:
Resultan las leyes de Kepler.
La posición como función del tiempo
La velocidad como función del tiempo
La energía
mMF G
r
Todas las variables dinámicas (posición, tiempo, velocidad, cantidad de movimiento, energía, energía cinética, energía potencial, momento angular) son reales, es decir; todas las variables dinámicas son continuas.
V
mti
2
2
2
22
2 2 22
2
2
0
2 2
i Vt m
V
di i
t m t m dx
,x t T t x
2 2
22
di
t m dx
2 2
22
T di T
t m dx
2 2
22
,
di
t m dx
x t T t x
2 2 2 2
2 2
1 1
2 2
T d T di T i
t m dx T t m dx
2 2
22
,
di
t m dx
x t T t x
2 2
2
1 1 y
2
T di C CT t m dx
2 2
2
2 2 2 2
2 2
2,
1 1
2 2
di
t m dxx t T t x
T d T di T i
t m dx T t m dx
2
y C mCi t i x
T Ae x Be
2 2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2,
1 1
2 2
1 1 y
2
di
t m dxx t T t x
T d T di T i
t m dx T t m dx
T di C CT t m dx
2 2
2
2
di
t m dx
2
, 'C mC
i t x
x t A e
22
2
, 'i t k x
it m
x t A e
2 2
2 2 2
, ,10
u x t u x t
x v t
,u x t T t X x
2 2
2 2 2
, ,10
u x t u x t
x v t
2 2
2 2 2
, ,10 ,
u x t u x tu x t T t X x
x v t
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
10
1 1 10
1 1 1
exp exp
, ' C x vt
d X x d T tT t X x
dx v dt
d X x d T t
X x dx v T t dt
d X x d T tC C
X x dx v T t dt
X x A Cx T t B v Ct
u x t A e
, expu x t A i kx t
2 2
2 2 2
, ,10
u x t u x t
x v t
, expu x t A i kx t
2 2
2 2 2
, ,10
u x t u x t
x v t
EE
, exp
,, ,
u x t A i kx t
u x t Ei u x t i u x t
t
EE
2 2
2
2
di
t m dx
2
, 'C mC
i t x
x t A e
22 ,
, , ,2
r tr t V r t r t i
m t
Si , entonces proponemos
,
V r t V r
r t T t r
22 ,
, , ,2
r tr t V r t r t i
m t
22
22
22
2
1 1
2
1 1
2
dT tT t r V r T t r i r
m dt
dT tr V r i
m r T t dt
dT ti C r V r CT t dt m r
22 ,
, , ,2
,
r tr t V r t r t i
m t
r t T t r
221 1
y 2
,Ei t
dT ti E r V r ET t dt m r
r t r e
22 ,
, , ,2
,
r tr t V r t r t i
m t
r t T t r
22
22
,, , ,
2
,
2
Ei t
r tr t V r t r t i
m t
r t r e
r V r r E rm
22
22
d xV x x E x
m dx
22
22
2
2
ˆ
r V r r E rm
V r r E rm
H r E r
22
22
d xV x x E x
m dx
V x
0x x a
0
22
22
d xV x x E x
m dx
0
0 0
x
V x x a
a x
22
22
0 0 0
d xE x
m dx
x x a
22
2
22 2
2 2
22
2
2
2 donde
0
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal homogenea con
coeficientes constantes.
d xE x
m dx
d x mEk x k
dt
d xk x
dt
2 2
1 2
La ecuación característica es: 0
Las raices son: y
y por tanto las dos soluciones linealmente
independientes son exp y exp
y la solución general es
ikx
k
ik ik
ikx ikx
x Ae B
ikxe
2
22
0d x
k xdt
Las condiciones iniciales son:
0 0
0 0
y
2 sin
0 =0 y =0
ikx ikx ikx ikx
x x
x
x A B B A
x Ae Ae A e e A
a
i kx
2
22
0 ikx ikxd xk x x Ae Be
dt
0
2 sin 0
Ojo, esto implica que,
donde
Las condiciones iniciales son: 0 =0 y =0
1, 2,3,...
x a
x a iA ka
ka n
x x a
n
2
22
0 2 sind x
k x x iA kxdt
2 22
2¡¡¡¡¡¡¡
2 y 1, 2,3,...
así qu
1, 2,3,... !!!!!!!!
e
2nE
mEk ka
m
n
n na
n
2
22
0d x
k xdt
2 22
2 1, 2,3,...
2nE n nma
0x x a
2 2
1 22E
ma
2 2
2 24
2E
ma
2 2
2 29
2E
ma
2 22
2 1, 2,3,...
2nE n nma
0x x a
2 2
1 22E
ma
2 2
2 24
2E
ma
2 2
2 29
2E
ma
3 100
100
10 m 37.58 10 eV
10 m 37.58 eV
a E
a E
2 2
0 0
0
4 sin 4 sin
4 1 4cos sin 2 1
2 2 2
La condición de renormalizació
1
:
2
n 1
a n
n
n aAA x dx AA d
a n
AA a AA a nAA
x x dx
an n
A ia
2
22
0 2 sind x n
k x x iA xdt a
22
2
La solución normalizada de la ecuación de Schrodinger
0
con condiciones a la frontera 0 0
es
2sin
donde 1, 2,3,...
d xk x
dt
a
nx x
a a
n
1
21 sinn x x
a a
2
2 22 sinn x x
a a
3
2 33 sinn x x
a a
4
2 44 sinn x x
a a
24
2 2424 sinn x x
a a
124
2 124124 sinn x x
a a
2 2
2
1
2V x m x
dV xF x m x
dx
22 2
2 2
2
2
2
2 22
4
4
co 2
2
s
d xm m xdt
d xx
dtx t L t
E m L
2 22 2
2
1/ 4 2
1
2 2
1exp
22 !
10,1,2,...
2
n nn
n
dm x E
m dx
m m m xx H x
n
E n n
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc7.html#c1
r
eV
2
2 22
2
eV E V
m r
2 2 2 22 2
2 2
2 sinsin sin sin 0
mr er E
r r r
2 2 2 22 2
2 2
4
2 2
2 sinsin sin sin 0
, , , ( ) , exp
donde
1 con 1, 2,...
2
nnlm nl lm
n
mr er E
r r r
Er t R r Y i t
meE n
n
4
2 2
1
2
1,2,...
n
meE
n
n
Se obtiene limpiamente el espectro del átomo de hidrógeno
•¿Y la intensidad de la líneas?
•La teoría de Schrödinger calcula la intensidad de manera correcta utilizando la probabilidad de transición entre los diferentes estados
•Se calcula también la vida media de los estados excitados
La ecuación de Schrodinger funciona hasta para moléculas complejas. Desde luego, los cálculos deben ser numéricos por la gran complejidad del problema
La ecuación de Schrödinger “está bien”. Sin embargo,
•No es relativista
•No toma en cuenta el espín
•La ecuación de Dirac
•La electrodinámica cuántica
V
mti
2
2
2
Funciona “a todo dar”. Con las versiones relativistas, se explica perfectamente la estructura de los átomos. Se calculan las energías de los niveles, las líneas espectrales, sus intensidades, reglas de transición, etc., pero ….
22
2i V
t m
?x t v t
¿Dónde están y
No aparecen como solución de la
ecuación de Schrodinger, en su
lugar aparece
¿Qué es
(la ahora muy famosa)
?
es la amplitud de probabilidad
es la probabilidad de encontrar
a la partícula en el intervalo ,
es la densidad de probabilidad
dx
x x dx
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc7.html#c1
1 1
2 2
3 4
4 4
Los estados propios de la energía:
.......
E
E
E
E
2
2
2
1/ 4
220
31/ 4
221
51/ 42 22
2
1 1
2
3 12
2
5 2 12 1
2 2
x i t
x i t
x i t
h x e e
h x xe e
h x x e e
4
2 2
1
2
1,2,...
n n
meE
n
n
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
Clásicamente es imposible que la pelota se salga de la caja
Cuánticamente la probabilidad de encontrar a la pelota fuera de la caja es diferente de cero
Canica
Cerrito
10
Un electrón con una energía de 1 eV.
Una barrera cuya altura es 3 eV
y cuyo ancho es 10 m:
0.588
0.412
a
T
R
10
18
Un protón con una energía de 1 eV.
Una barrera cuya altura es 2 eV
y cuyo ancho es 10 m:
0.374 10
0.999999999999
a
T
R
•Las reacciones nucleares
•La desintegración radiactiva
•La conductividad
•La física del estado sólido
Semiconductores
Diodo de efecto túnel
Transistores
Materiales nuevos
•El microscopio de barrido de efecto túnel
6
14 146 7 C N
protones 7 protones
8 neutrones 7 neutrones
• La vida media del C14 es de 5730 años
• La probabilidad de que un átomo de C14 decaiga en 5730 años es de ½
•¿Cómo sabe o cómo decide el átomo cuando decaer?
14 146 7C N
141 kg de C
5730 años
14
14
1
21
2
kg de
kg de
C
N
14 146 7C N
Un átomo particular de C14 puede decaer en 10 segundos o en diez mil años, como se le de la gana
Einstein: “…Él no tira los dados.”
14 146 7C N
The theory yields a lot, but it hardly brings us any closer to the secret of the Old One. In any case I am convinced that He does not throw dice.
--Einstein, writing to Max Born, 4 December 1926.
235 23192 90U Th
• La vida media del U235 es de 704 millones de años
• La probabilidad de que un átomo de U235 decaiga en 704 millones de años es de ½
• ¿Cómo sabe o cómo decide el átomo decaer?
0
0 0 Región I
0 Región II
0 Región III
x
V x V x a
x a
Región I Región II Región III
0x x a
0V
0
0 0 Región I
0 Región II
0 Región III
x
V x V x a
x a
202 2
2 2
22 2
2 2
En la región II:
2
En las regiones I y III:
2
m V Ed
dx
d mE
dx
Región I Región II Región III
0x x a
0V
0
0 0 Región I
0 Región II
0 Región III
x
V x V x a
x a
1 1
En la región I:
exp exp
exp exp
En la región II:
exp exp
En la región III:
exp
I
I
II
III
x A i x B i x
x i x R i x
x A x B x
x T i x
Región I Región II Región III
0x x a
0V
0 1
0
1
I
II
x R
x A B
R A B
exp exp
exp exp
exp
I
II
III
x i x R i x
x A x B x
x T i x
exp exp
exp exp
exp
I
II
III
x i i x i R i x
x A x B x
x i T i x
0 1
0
1
I
II
x i R
x A B
i R A B
exp exp
exp
exp exp exp
II
III
x a A a B a
x a T i a
A a B a T i a
exp exp
exp
exp exp exp
II
III
x a A a B a
x a i T i a
A a B a i T i a
exp exp
exp exp
exp
I
II
III
x i x R i x
x A x B x
x T i x
exp exp
exp exp
exp
I
II
III
x i i x i R i x
x A x B x
x i T i x
0
0 0 Región I
0 Región II
0 Región III
x
V x V x a
x a
Condiciones en 0 :
1
1
Condiciones en :
exp exp exp
exp exp exp
x
R A B
i R A B
x a
T i a A a B a
i T i a A a B a
Región I Región II Región III
0x x a
0V
1
exp exp exp 0
exp exp exp 0
A B R
A B i R i
A a B a T i a
A a B a i T i a
Condiciones en 0 :
1
1
Condiciones en :
exp exp exp
exp exp exp
x
R A B
i R A B
x a
T i a A a B a
i T i a A a B a
1 1 1 0 1
0
0 0
0 0
a a i a
a a i a
A
i B i
e e e R
e e i e T
1
exp exp exp 0
exp exp exp 0
A B R
A B i R i
A a B a T i a
A a B a i T i a
:= C
1 0 0 02 e
( ) a( ) I
2 I e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
0 1 0 02 e
( ) a( ) I
2 I e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
0 0 1 0 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
0 0 0 14 I e
( ) I a
2 I e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
2 2
2exp
sinh 2 cosh
iT i a
a i a
0
0 0 Región I
0 Región II
0 Región III
x
V x V x a
x a
2 2 2 2
2 2
22 2 2 2 2 2
2 2
22 2 2 2 2 2
2 2
2 22 22 2 2 2 22
2 2
sinh 2 cosh sinh 2 cosh
4
sinh 4 cosh
4
sinh 4 1 sinh
4 1
sinh 4sinh 1
2
i iTT
a i a a i a
a a
a a
aa
T
2 2
2exp
sinh 2 cosh
iT i a
a i a
02 22 2 22 2
2
21 2
sinh 12
m V E mE
a
T
12 22 20
0 0 0
2
0 0
4 12 4
1
sinh1
4 / 1 /
V E E
E V E V V
a
E V E V
T
:= C
1 0 0 02 e
( ) a( ) I
2 I e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
0 1 0 02 e
( ) a( ) I
2 I e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
0 0 1 0 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
0 0 0 14 I e
( ) I a
2 I e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
2 2 2 20 0
2 2 2 2 22 2 2 20 0 0 00
2 2 2 2 20 0
2 2 2 2 20 20 0 0 0
20
2
02
2 sinh 2 sinh
2sinh 8 82sinh 1 8 8
2 sinh 2 sinh sinh42sinh 8 8 2sinh 8
sinh
sinh4
sinh
V a V aRR
V a V E EV VV a E EV V
V a V a aE E VV a E EV V a E E V
aV
aE V
a
2 220
0 0 02 2
202
0 000
sinhsinh
4 4 / 1 /
sinh1sinh 1
4 / 1 /4
V aa
E V E E V E V
E V aa
E V E VE V EV
R
2 V2
cosh 2 m ( ) V E
h2
a
2
1
V2
cosh 2 2 m ( ) V E
h2
a 8 E2
8 E V V2
2
0 0 022 2 2
0 0 0 0
sinh
4 / 1 / 21 ; ;
sinh sinh1 1
4 / 1 / 4 / 1 /
a
E V E V m V E
a a
E V E V E V E V
T R
Región I Región II Región III
0x x a
0V
0
0 0 Región I
0 Región II
0 Región III
x
V x V x a
x a
En la región I:
exp exp
En la región II:
exp exp
En la región III:
exp
I
II
III
x i x R i x
x A x B x
x T i x
022
22
2
2
m V E
mE
0
0
2
0
2
Si tenemos que
2=
y por lo tanto es imaginario.
2Escribimos .
Como sinh sin
E V
m V E
m E Vi i
i i x
02 22 2
2 2
m V E mE
2
0 02 2
0 0 0 0
022
sin
4 / 1 /1 ;
sin sin1 1
4 / 1 / 4 / 1 /
2
a
E V E V
a a
E V E V E V E V
m E V
T R
Región I Región II Región III
0x x a
0V
0
0 0 Región I
0 Región II
0 Región III
x
V x V x a
x a
En la región I:
exp exp
En la región II:
exp exp
En la región III:
exp
I
II
III
x i x R i x
x A i x B i x
x T i x
022
22
2
2
m E V
mE
0
0
(a) Puede ocurrir reflexión aun cuando .
Es un efecto enteramente cuántico.
Es claro que si ,
1 y 0
E V
E V
T R
2
0 0 022 2 2
0 0 0 0
sin
4 / 1 / 21 ; ;
sin sin1 1
4 / 1 / 4 / 1 /
a
E V E V m E V
a a
E V E V E V E V
T R
0
0
(b) Puede ocurrir transmisión aún cuando .
Es un efecto enteramente cuántico.
Es claro que si ,
0 y 1
E V
V E
T R
2
0 0 022 2 2
0 0 0 0
sinh
4 / 1 / 21 ; ;
sinh sinh1 1
4 / 1 / 4 / 1 /
a
E V E V m V E
a a
E V E V E V E V
T R
0(c) Para , existe un conjunto de energías de
la "partícula" incidente para las cuales =1 y
0; es decir, a esas energías la barrera es
transparente.
E V
T
R
2
0 0 022 2 2
0 0 0 0
sin
4 / 1 / 21 ; ;
sin sin1 1
4 / 1 / 4 / 1 /
a
E V E V m E V
a a
E V E V E V E V
T R
2
0 0
2
0 0
1Están dadas por 1
sin1
4 / 1 /
sinÓ sea 0; es decir, con 1, 2,3,... ó
4 / 1 /
1
2
Es decir, cuando el ancho de la barrera es múltiplo de la mitad de la
longitud
n
n
a
E V E V
aa n n
E V E V
na n
T
de onda de de Broglie dentro de la barrera.
2
0 0 022 2 2
0 0 0 0
sin
4 / 1 / 21 ; ;
sin sin1 1
4 / 1 / 4 / 1 /
a
E V E V m E V
a a
E V E V E V E V
T R
El electronvoltio, abreviado como eV, es una unidad de energía equivalente a la energía cinética que adquiere un electrón al ser acelerado por una diferencia de potencial en el vacío de 1 voltio. Dicho valor se obtiene experimentalmente por lo que no es una cantidad exacta.1eV = 1,602176462 × 10-19 J
El electronvoltio es una unidad de energía, equivalente a la energía cinética que adquiere un electrón al ser acelerado por una diferencia de potencial en el vacío de 1 voltio.
A single atom is such a small thing that to talk about its energy in joules would be inconvenient. But instead of taking a definite unit in the same system, like 10−20 J, [physicists] have unfortunately chosen, arbitrarily, a funny unit called an electronvolt (eV) ... I am sorry that we do that, but that's the way it is for the physicists.http://home.att.net/~numericana/answer/feynman.htm
10
Un electrón con una energía de 10 eV.
Una barrera cuya altura es 20 eV
y cuyo ancho es 10 m:
0.146
0.854
a
T
R
10
Un electrón con una energía de 1 eV.
Una barrera cuya altura es 3 eV
y cuyo ancho es 10 m:
0.588
0.412
a
T
R
10
18
Un protón con una energía de 1 eV.
Una barrera cuya altura es 2 eV
y cuyo ancho es 10 m:
0.374 10
0.999999999999
a
T
R
10
Un protón con una energía de 0.18 eV.
Una barrera cuya altura es 0.2 eV
y cuyo ancho es 10 m:
0.0029
0.9971
a
T
R