Post on 13-Dec-2015
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INTERPOLACIÓN
Supongamos que conocemos n+1 puntos (x0 , y0) ,(x1 , y0) ,... ,(xn , yn) de
esta determinada curva y=f (x ) que se aprecia en la gráfica. Su objetivo
principal de la interpolación significa encontrar un polinomio p(x ) de grado “n”
y es obligatorio que y=f (x ) (la curva) pase por toda la nube de puntos.
Forma para evaluar un polinomio:
Pn ( x )=a0+a1 x+a2 x2+.………an x
n .
P (X0 )=Y 0
P (X1 )=Y 1
⋮
P (Xn )=Y n
Entonces el Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL) quedaría:
a0+a1 x0+a2 x20+¿…………………… ..an x
n0=Y 0¿
a0+a1 x1+a2 x21+¿……………………..an x
n1=Y 1¿
⋮
a0+a1 xn+a2 x2n+¿…………………… ..an x
nn=Y n¿
x1
y1
y0
x0 xn
(1 x0 x20………… .. x
n0
1 x1 x21………xn1
⋮ ⋮ ⋮ ⋮1 xn x
2n x
n1
)(a0a1⋮an)=(y0y1⋮yn
)a0=⋯ a1=… an=…
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
Este método simplemente es una reformulación del polinomio de Newton que
evita los cálculos de las diferencias divididas. Consiste en construir el polinomio
interpolador P ( x ) de grado “n” que pasa por “n+1” puntos (x i,y i). Entonces el
polinomio de Lagrange seria de esta forma:
Pn ( x )=Y 0+P1 (x )Y 1+P2 ( x )Y 2+…⋯+Pn (x )Y n
Donde p j ( x ) es un polinomio de grado n y pn ( x ) debe satisfacer y cumplir con
las siguientes restricciones:
pn (x i )= y i ; i=0 ;…….;n
Entonces generando (n+1) ecuaciones tenemos:
P j ( x )=(x−x0 ) (x−x1 )+…+(x−x i−1 ) (x−x i+1 )+…+(x−xn)
(x j−x0 ) (x j−x1)+…+(x j−xi−1 ) (x j−xi+1 )+…+(x j−xn)
pi (x i)=(xi−x0 ) (x i−x1 )+…+(x i−x i−1) (x i−x i+1)+…+(x i−xn)
(xi−x0 ) (x i−x1 )+…+(x i−x i−1) (x i−x i+1)+…+(x i−xn)=1
pi (x j )=(x j−x0 ) (x j−x1 )+…+(x j−x i−1) (x j−x i+1 )+…+(x j−xn)
(x j−x0 ) (x j−x1 )+…+(x j−x i−1) (x j−x i+1 )+…+(x j−xn)=0
Examinando las ecuaciones se observa que P j (x i ) se define como:
P j (x i )={1 ; i= j0; i ≠ j
Ahora para un mejor entendimiento del polinomio de Lagrange planteamos un
ejemplo:
x0 x1 x2 x3
y0 y1 y2 y3
p ( x )=( x−x1)(x−x2)(x−x3)
(x0−x1)(x0−x2)(x0−x3)y0+
(x−x0)(x−x2)(x−x3)(x1−x0)(x1−x2)(x1−x3)
y1+(x−x0)(x−x1)(x− x3)
(x2−x0)(x2−x1)(x2−x3)y2+
(x−x0)(x−x1)(x−x2)(x3−x0)(x3−x1)(x3−x2)
y3
Adicionalmente lo podemos definir de la forma:
Li (x )=(x−x0 ) (x−x1 ) ( x−x2)… (x−x i−1 ) (x−x i+1 )…(x−xn)
(x i−x0 ) (x i−x1 ) (xi−x2)… (x i−x i−1 ) (x i−x i+1 )…(x i−xn)=1
De donde:
Li (x )=∏j=1j ≠1
n (x−x j)(x i−x j)
; Li (x j )=K ij={1 ; i= j0 ;i ≠ j
Entonces diríamos que:
p ( x )=L0 (x ) y0+L1 ( x ) y1+…+Ln (x ) yn
p ( x )=∑i=0
n
Li (x ) y i
En conclusión el polinomio de Lagrange lo podemos representar de la siguiente
expresión:
p ( x )=∑i=1
n
∏j=0j ≠ i
n (x−x j)(x i−x j)
y i
Algoritmo de interpolación de Lagrange:
Declaro mi nube de puntos , número de puntos =n+1
Aplicamos la formula general
p ( x )=∑i=1
n
∏j=0j ≠ i
n (x−x j)(x i−x j)
y i
Fin.
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LAGRANGE maple.mw Y EN GEOGEBRA C:\Users\KHATERINE\Documents\
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