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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
Solucionario de
problemas de EcuacionesDiferenciales2do Parcial (3ra versión)
• Resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares
• Transformada de Laplace
•
Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada deLaplace
• Resolución de sistemas de Ecuaciones diferenciales
• Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden
• Series de Fourier
• Ecuaciones en Derivadas Parciales
Roberto Cabrera V.
dcabrera@fiec.espol.edu.ec
06/02/2009
Este es un solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales correspondiente a la Segunda
Evaluación, donde constan ejercicios tipo examen. Esta obra ha sido elaborada por Roberto Cabreray Christian de La Rosa, ex – estudiante de la ESPOL, con el auspicio de la directiva A.E.F.I.E.C. de los
años 2006, 2007, 2008. Modificado y corregido dos veces por Roberto Cabrera.
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Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
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Resumen de problemas resueltos de Ecuaciones Diferenciales
II Parcial
i. Resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares:
Método de Frobenius
ii. Transformada de Laplace: Teoremas Transformada de Laplace de algunas funciones Transformada inversa de Laplace
iii. Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada deLaplace:
Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes Ecuaciones diferenciales de coeficientes variables Ecuaciones integro diferenciales
iv. Resolución de sistemas de Ecuaciones diferenciales: Método de Eliminación Método de los operadores diferenciales Método de Laplace Método de los valores y vectores propios.
v. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden: Aplicaciones de Sistema: Masa – Resorte – Amortiguador
Aplicaciones de circuitos eléctricos
vi. Series de Fourier Definición de la serie de Fourier Serie de Fourier de una función par e impar Convergencia de una serie de Fourier Extensiones pares o impares periódicas de una serie de Fourier
vii. Problema de la ecuación del calor
viii. Anexos: Problemas propuestos Tabla de transformadas de Laplace de ciertas funciones Tabla de transformadas inversas de Laplace de ciertas funciones
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Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
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Método de Frobenius
1. Determine la solución general de la ecuación diferencial:
, mediante series de potencias de x. Utilice la raíz de mayor valor de la ecuación
indicial asociada a la ecuación diferencial dada para establecer la primera solución, ésta como una
función elemental; y, luego utilice algún procedimiento conocido para definir la segunda soluciónlinealmente independiente e igualmente exprésela como una función elemental.
Asumiendo la solución alrededor del punto , se tiene que verificar que clase de punto es, en este
caso , entonces , por lo tanto es un punto singular.
Lugo se verifica si es singular regular.i) (existe)
ii) (existe)
Los dos límites existen, por lo tanto es un punto singular regular.
La fórmula de la ecuación indicial indica:
, se obtiene que:
Las raíces de la ecuación indicial son: , y .Asumiendo la solución como:
Obteniendo la 1ra y 2da derivada:
Reemplazando y, y’,y’’ en la ecuación diferencial se obtiene:
Introduciendo los coeficientes de cada sumatoria:
Se iguala las potencias de todas las sumatorias, en esta caso a , haciendo uncambio de parámetro en alguna en la tercera sumatoria.
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Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
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La nueva ecuación queda así:
Se iguala los subíndices de cada sumatoria al mayor de todas, en este caso a . Luego se
desarrollan dos términos en la primera y segunda sumatoria:
Se agrupan los coeficientes de cada sumatoria en una sola sumatoria:
Igualmente los coeficientes de
Como , se obtiene , que es la misma ecuación indicial anterior.
En este caso si puede ser igual a cero.La ecuación de recurrencia es:
Despejando el valor de , se obtiene la fórmula de recurrencia general:
Reemplazando la raíz mayor , se obtiene la fórmula de recurrencia particular para la primera solución:
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Entonces la primera solución es, para el varlo de r=0:
Reemplazando los coeficientes en la solución
Por lo tanto , lo podemos encontrar de la siguiente forma:
=
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2) Resuelva:
• ( ) 0,033 02
2
22 ==+−+ xdealrededor y
dx
dy x x
dx
yd x
singulares ,0)()( 0
2 ====⇒⇒⇒⇒==== x p x x p ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )[ ] ( )
( )( )[ ] ( )
( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )[ ]
( )( )[ ] ( )( )
( )( )[ ] ( )
( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
−
−++−+=
∴
−−+++−=
=
−++−=
−=
==
∫ =
∫ =
=∴
+−+−=⇒−=−=→=
=−=→=
−=−=→=
=
=≥−
−=→=≥−=→=
≥−+
−=→=−++−+−+
=−==→=−−→=−−
=−++−+−++−−
=−++−+−+
=++−+−+
=++−++−++
=++−+−++
∑
∑
∫ ∑∫ ∑
∫ ∫ ∫ ∫
∑
∑∑
∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
∞+
=
−−
−−
∞+
=
−
−
−
−
∞+
=
−−−−−
∞+
=
−−
−
−
−−
−
−−
−
−
−
−−
−
−
∞+
=
+
−
∞+
=
+
−
∞+
=
+
∞+
=
++∞+
=
+
∞+
=
+∞+
=
+∞+
=
++∞+
=
+
+∞
=
++∞
=
−++∞
=
−+
3
21
231
2
3
2
1
2
3
3
31233
0
33
2
33
26
33
26
31
32
1
)(
12
301
323
0102
3
012
001
12
11
11
21210
1
10
11
0
0
1
0
000
1
0
00
12
0
22
2!
1
22
ln
2!12ln2
!
1
2!
1
...!3!2!1
1!33
3
!222
!111
3
1;2
11;3
1;3
0113
13013013
011313
0113
013
0331
0331
n
nn
x
n
nn
x
n
nn
x
n
nn
x
x x
x
x x
x
dx x
x
dx x p
x
1
n
n
n
n
n
nnn
n
r n
nn
r
n
r n
n
n
r n
n
n
r n
n
n
r n
n
n
r n
n
n
r n
n
n
r n
n
n
r n
n
n
r n
n
n
r n
n
n
r n
n
nn
x x
xe x
x y x y
nn x x x xe x
dxn
x x x xe xdx
n
xe x x y
dx x
ee xdx
e x
e xe xdx
e x
ee xdx
y
e y x y
e xC x y x x x
xC x yC C
C n
C C C n
C C C n
r utilizando será solución primerala
2n paradefinidaestanonn
C C r n
n
C C r
nr n
C C C r nC r nr n
enteror r r r r r C r r
xC r nC r nr n xC r r
xr nC xC r nr n
xr nC xC r nr n
xC xr nC xr nC xr nr nC
xC xr nC x x xr nr nC x
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3) Resuelva la siguiente ecuación difrencial alrededor del punto0x0 =
• ( ) ( ) 1132
22 =+−+− y
dx
dy x
dx
yd x x
singulares ,0)()( 0
2 ====⇒⇒⇒⇒==== x p x x p ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )[ ] ( )
( )( ) ( )[ ] ( )
[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )[ ]
[ ]
( )( ) ( )[ ] ( )( )( ) ( )[ ]
( )
( ) [ ] ( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )
11
ln
1
1)(
11
ln
1
1ln)(
111
11)(
lnln11
ln1)(
1
1
1
1
1
ln
1
11
ln
1
1
)(
1
ln
1
1)(
1
ln1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1...13
2
1
0
0;0
0;1
1311131
00
01131
01131
0131
0311
0131
21
2211
2
21
2
2
22
1
2
22
2211
21
122
21
22
13
21
)(
12
01320
0103
02
01
11
2112
2102
01
20
2
11
2
0
0
12
0
00
1
00
1
0
00
1
0
22
2
−+
−+
−=
−=
−−
−+−=+=
−=−=−
−
−==
+−==−
−
−−=−=
−=
−−
−−
−−=→+=
−+
−=
−=→
−=
−
−
−=
∫
−=
∫ =
−
=∴++++=⇒=→=
=→=
=→=
=
≥=→=
≥++
+++−++=→++−+++−++
==→=−
=++−+++−+++−
=++−+++−++
=+−+++−++
=++−++−++−−++
=++−+−++−
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∑
∑∑
∑∑
∑∑∑∑∑
∑∑∑
−−−
−−−
+
++
∞+
=
+
+
∞+
−=
+
+
∞+
=
+
∞+
=
−+∞+
=
+
∞+
=
+∞+
=
−+∞+
=
+∞+
=
−+∞+
=
+
+∞
=
+
+∞
=
−+
+∞
=
−+
x
x
x
xk
xk x y
x
x
x
x x
x x x x yu yu x y
xdxdx x x x x x
dxW
y x g u
x x xdx xdx x x x
x
x xdx
W
y x g u
x x x x x
x
x
x
x
xW yu yu x y
x
xk
xk x y
x
xC x ydx
x xdx
x
x x
xdx
e x
e
xdx
y
e y x y
x
C x y x x x xC x yC C n
C C n
C C n
r utilizando será solución primerala
nC C r
nr n
C r nr nr nC C r nC r nr nr n
r r C r
xC r nC r nr nr n xC r
xC r n xC r nr nr n
xC r n xC r nr nr n
xC xr nC xr nC xr nr nC xr nr nC
xC xr nC x xr nr nC x x
p
p
h
x
dx x x
xdx x p
1
nn
nnnn
n
r n
nn
r
n
r n
n
n
r n
n
n
r n
n
n
r n
n
n
r n
n
n
r n
n
n
r n
n
n
r n
n
n
r n
n
n
r nn
n
r nn
n
r nn
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Transformada de Laplace
Halle:
• ( ) ( )t t sent e L t 2cos24364 35 +−+
Por la propiedad de linealidad tenemos que:( ) ( ){ }( ) ( ){ } { } { } ( ){ } ( ){ }
{ } { } ( ){ } ( ){ }
4
2
16
1236
5
44
216
43
!36
5
14
2cos24364
2cos243642cos24364
2cos24364
224
224
35
3535
35
++
+−+
−=
++
+−+
−=
+−+=
+−++=+−+
+−+
s
s
s s s
s
s
s s s
t Lt sen Lt Le L
t Lt sen Lt Le Lt t sent e L
t t sent e L
t
t t
t
Halle• ( ) ( )t eet L t t 2cosh2 42 −++
Por la propiedad de linealidad tenemos que:
( ) ( )
( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }( ){ } ( ){ }
{ } { } { } ( ){ }
{ } { } { } ( ){ }t e Le Lte Let L
t e Le Lte Let L
t e Let t L
t e Let Lt eet L
t eet L
t t t t
t t t t
t t
t t t t
t t
2cosh44
2cosh44
2cosh44
2cosh22cosh2
2cosh2
42
42
42
4242
42
−
−
−
−−
−
+++=
+++=
+++=
++=++
++
Aplicando el primer teorema de la traslación:{ } { } { } ( ){ }
{ } { } { } ( ){ }( ) ( ) ( )
( ) ( )( )621
20219295
44
4
1
14
1
14
1
!22cosh44
2cosh44
3
234
22342
42
++−
+−++=
−+
++
−+
−+
−=+++
+++
−
−
s s s
s s s s
s
s
s s st e Le Lte Let L
t e Le Lte Let L
t t t t
t t t t
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Demuestre:• Demuestre el primer teorema de la traslación
( ){ } ( ) ( ){ } ( )
( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )a s F s F dt t f e
a s s sidt t f e
dt t f eet f e L: Entonces
s F dt t f et f LTenemos
a s F t f e Lentonces s F t f LSi
t s
t a s
at st at
st
at
−===
−=→=
=
==
−==
∫
∫
∫
∫
∞
−
∞
−−
∞
−
∞
−
0
0
0
0
:
,
Halle:
• ( ) ( )t t senh L cos23
Por la propiedad de linealidad tenemos que:( ) ( )
( ) ( ){ } ( )
( ) ( ){ }
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]t e Lt e Lt e Lt e L
t e Lt e Lt e Lt e L
t eeee L
t ee
Lt t senh L
t t senh L
t t t t
t t t t
t t t t
t t
coscos3cos3cos8
1
coscos3cos3cos8
1
cos338
1
cos2
cos2
cos2
6226
6226
6226
3223
3
−−
−−
−−
−
−+−=
−++−+=
−+−=
−=
Aplicando el primer teorema de la traslación:
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )( )( )371254543712
185464816
6
12
23
12
23
16
6
8
1
coscos3cos3cos8
1
2222
24
2222
6226
+++++−+−
+−=
++
+−
++
++
+−
−−
+−
−=
−+− −−
s s s s s s s s
s s
s
s
s
s
s
s
s
s
t e Lt e Lt e Lt e L t t t t
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• Encuentre la transformada de la primera derivada de f(t)
( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f(0)- sF(s)
l exponenciaordendeest f queasumiendo P f e pero
P f e f dt t f e s
dt t f e s f P f e
dt t f e set f dt t f e
t f vdt t f dv
dt e-sdueu : partes por Integrando
dt t f edt t f et f' LTenemos
f s sF t f' Lentonces s F t f LSi
sP
P
sP
P
st
P
st sP
P
P
st P
st
P
P
st
P
st - st
P
st
P
st
=
=
+−=
+−=
+=
=→=
=→=
==
−==
−
∞→
−
∞→
∞
−
−−
∞→
−−
∞→
−
∞→
−
−
∞→
∞
−
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
0lim
lim0
0lim
lim'lim
'
'lim':
0,
0
0
00
0
00
• Encuentre la transformada de la función tf(t)
( ){ } ( ) ( ){ } ( )
( ){ } ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )[ ]
( ){ } ( ) s F ds
d t tf L
dt t tf e
dt t f te
dt t f e s
dt t f eds
d s F
ds
d
:tenemosigualdad ladeladosambos Derivando
s F dt t f et f LTenemos
s F ds
d t tf Lentonces s F t f LSi
st
st
st
st
st
−=→
−=
−=
∂
∂
=
=
==
−==
∫
∫
∫
∫
∫
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
0
0
0
0
0
:
,
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• ( ){ }at t L cos2
Por la propiedad de la derivada de la transformada tenemos que:( ){ }
( ){ } ( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )322
22
222
2222222
222
22
222
2
2
222
2
32
222
)(1cos
cos
a s
a s s
a s
sa sa sa s s
a s
sa
ds
d
a s
s
ds
d
s F ds
d
at t L
at t L
+
−=
+
−+−+−=
+
−=
+=
−=
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Halle:
• ( )
t
t L
cos
Usando la propiedad de la transformada de la derivada
( )
( ) ( ) ( )
{ } ( )
( ) ( ){ }
( ) ( ){ }
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ){ }( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) s
21
s
23
s
23
23
n
nn
e s
e2s
st
t L
e2s
s s
s2s
s s s st sen L
t t t t
t t t t t sen
n
t t senque sabemos potenciasde serie Por
t sendedatransformala Encuentro
t sen L st
t L
t sen sLt
t L
f s sF t f L
0 f(0)ademást
t (t) f' entonces ,t sent f Si
t
t L
4141
4
1
3
2
2
2
2
29
27
25
23
2
7
2
5
2
3
2
1753
0
2
12
2cos
...!3
21
!22
1
2
11
....!7
29
!5
27
!3
25
23
....!7!5!3
....!7!5!3
!12
1
2cos
2
cos
)0()('
,2
cos
cos
−−
−
∞+
=
+
==
=
+−+
−=
+Γ
−Γ
+Γ
−Γ
=
+−+−=+−+−=
+
−=
=
=
−=
===
∑
π π
π
π
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• Encuentre la transformada de la integral de f(t)
( ){ } ( ) ( )( )
( ) ( )
( ){ } ( ){ }
( ){ } ( )
( )( ){ } ( )
s
s F
s
t f Lduu f L
:quetenemos Despejando
duu f L st f L
g t g L st g L
:que sabemos Entonces
0 g(0) y f(t)(t) g' entonces ,duu f t g Si
s
s F duu f Lentonces s F t f LSi
t
t
t
t
==
=
−=
===
=
=
∫
∫
∫
∫
0
0
0
0
)0('
,
• Encuentre la transformada f(t)/t
( ){ } ( )( )
( )
( )( )
{ } { }
{ } { }
{ } ( ) ( )
( ) ( )∫
∫ ∫
∫
∞
∞
∞
∞
=
=−=
−=
=
==
=
=
s
s
s
s
duu f t t f L
duu f duu f (t) g L
:quetenemosladosambos Integrando
(t) g Lds
d (t) f L
g(t)t L(t) f L
:que sabemos Entonces
g(t)t (t) f entonces ,t
t f t g Si
duu F t
t f Lentonces s F t f LSi ,
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Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 14 -
Halle:
• ( )
∫ − θ θ
θ
θ d senet e L
t
t
0
44 31
( )
( ){ } ( )
( )
( ){ }
( ) ( )
( ){ }
( ){ }( )
( ){ }( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2220
44
222
2
224
4
4
0
4
0
4
4
0
44
4
3arctan
254844
3
4243
1
3
4arctan
258
3
23
4arctan
2
1)(
3
4arctan
2
1)(
3
4
arctan23
4
arctan258
3
)(
258
3
94
33)(
3)(
)(
31)(,)(31
)(
,31
4
31
−
−+−+−−
+−
=−=
+
−++
+=
+−−==
+−==
+
−=
+
=++==
=
++=
++==
=
=
=
==
=
−=
−=
∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
−
∞∞∞
−
−
∞
−−
−
−
s
s
s s s s sGd senet e L
s
s
s s s s
s
sds
d t ht L sG
s
s s
sM H(s)
su
duuuduu X
) x(
LM(s)
uuu sene Lu X
:estraslacióndeteorema primer el por que sene Lu X
duu X ) x(
LM(s)hallamosdonde De
sene L sM si s
sM d sene L H(s) Encuentro
s H ds
d t ht L
:que sabemosdatransformaladederivadaladeteoremael por
d senet LesqueG(s)encontrar Debo
sGt g e L
:quetenemostraslaciónladeteorema primer el Por
d senet e L
t
t
s s s
s
t
t
t
t
t
π θ θ
θ
π π
π
π
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ θ θ
θ θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
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- 15 -
• Demuestre el segundo teorema de la traslación
( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( )
( ) ( ){ } ( ) ( )
( ) ( ){ } ( )
( ) ( ){ } ( ) ( )
( ) ( ){ } ( ) ( )
s F eduu f eeat f a-t L
duu f eat f a-t L
ut y0uat Cuando
dudt ya-t uaut Si
dt at f eat f a-t L: Entonces
dt at f a-t eat f a-t LTenemos
s F eat f a-t Lentonces s F t f LSi
as suas
au s
a
st
st
as
−
∞
−−
∞
+−
∞
−
∞
−
−
==−
=−
∞=→∞==→=
==→+=
−=−
−=−
=−=
∫
∫
∫
∫
0
0
0
:
,
µ
µ
µ
µ µ
µ
• Encuentre la transformada ( ) ,....3,2,1,02212;0
122;2=
+<<+
+<<=
−
nnt n
nt net f
t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
{ }
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( )
( )
{ }
+
+
=
+=
+=
+
=
−=
−+−+−=−+−+−=
−+−+−=
+=
−+−+−=
+
+
∞+
=
−−−−−−−−
−
∑
12
12
1
111
1111)(
...11
...1
)(...)(
2
1
....
21
21
0
432432
543210
5432102
s
s
s
s
s
n
n
s
s s s s s s s s
t
e s
e sG f(t) L
e s
e
e
se s sG
eeee s s
e
s
e
s
e
s
e
s sG
t t t t t t L sG
sG f(t) Lquetenemostraslaciónladeteorema primer el Por
t t t t t t et f
µ µ µ µ µ µ
µ µ µ µ µ µ
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- 16 -
• ( )( )
( )
+ t t
t sent t sen L δ µ π
3)(
4
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( ) 31
1
2
23)(
3)3(13
lim3
1
1
2
2
1
1
12
2
)(4
)(4
cos2
2)(
44cos
2
2
44cos2
2
4cos444cos44
)()(4
3)(
3)(
3)(
24
4
0
0
24
224
444
4
4
44
4
+
+
+=
+
===
+
+=
++
+=
−+
−=
−+
−
−+
−=
−+
−=
+−
=
−
+
=
+
+
−
→
−
−−
−
s
set
t
t sent t sen L
t
t senet
t
t sen L
:impulso funciónlautilizodatransforma segundalaara P
s
se
s s
se
t t sen Lt t Lt t sent L
t sent t sen sent t sen
:escalónal multiplicaque funciónladesplazar debo Pero
s F et t f L
:traslaciónladeteorema segundoel utilizodatransforma primeralaara P
t t
t sen Lt t sen Lt
t
t sent t sen L
t
t
t sent t sen L
s
t
s
s s
s
π
π
π π
π π π
π
π
π π
π
δ µ
δ
µ π
µ π
µ π π
π π π π π π π π
µ π
δ µ δ µ
δ µ
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- 17 -
• Encuentre la transformada de la siguiente gráfica
Tenemos que encontrar la transformada de una función periódica:
( )
( ){ }
( ){ }
( )
( ) ( )
( )
( ){ }( )
( ){ }
( )( )11
1
1
1
1
1
1
)cos()(
1
1
:Re1
)cos()()(
)cos()()(1
)()()cos()(
)()cos(
)cos()cos()(
)cos()(
)(1 1
)(1
1
20
0)(
222
0
22
2
2
02
2
02
+−
=
+
+
−
=
+
−−
−=
+
−−=
−−=+
+−−=
=→=
−=→=
−−=
−=→=
−=→=
−=
−=
<<
<<=
−
−
−
−
−
−−
−
−
−
−−
−
−
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
se s
e
e
t g L
s
t t sen se
et g L
emplazando
s
t t sen sedt t sene
t t sen sedt t sene s
dt t sene st sene set dt t sene
t senvdt t dv
e sdueu : partes por Integro
dt t e set dt t sene
t vdt t sendv
e sdueu : partes por Integro
dt t senee
t g L
dt t g ee
t g L
2 periodoconente periodicamextendidat
t t sent g
s
s
s
st
s
st st
st - st
st - st - st - st
st - st -
st - st - st
st - st -
st s
st
s
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π π π
π
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- 18 -
• Demuestre el teorema de la convolución
{ } { } { }
{ } { }
dt duut g u f eS donde
S dt duut g u f edt duut g u f eduut g u f L
:quelo por g(t) LG(s) f(t) L F(s)donde
sG s F duut g u f L
t g t f duut g u f sG s F Lentoncest g G(s) L yt f F(s) LSi
M
t
t
u
st
M
M M
t
t
u
st
t
ut
st
t
t
t
1-1-
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
= =
−
∞→
∞
= =
−
=
∞
=
−
−=
=−=
−=
−
==
=
−
=−===
0 0
0 0000
0
0
)()(
lim)()()()()()(
,
)()()()(
)(*)()()()()(),()(
La región en el plano en donde se llevará a cabo la integración es:
Luego de hacer el cambio t-u=v la región cambia, por lo que el integral se transforma en:
( ) ( )( )
( )( )
( )
( )
( ) { }{ } )()()()()()(
),(,),(
0)()(
)()(
111
01
,
,
,
,)()()()(
000 0
0 00 0
0 0
sG s F dvv g eduu f edvduv g u f e
dvduvu K S limentoncesdvduvu K S
M vuM vuv g u f ev) K(u, funciónotra Definamos
dvduv g u f eS donde De
v
t
u
t v
u
u
u
vu
t u J
:escióntransformalade Jacobianoel Donde
dvduvu
t uv g u f edt duut g u f eS
sv su
v u
vu s
v u
M M
M
v
M
u
M
vu s
M
v
vM
u
vu s
M
R
vu s
R
st
M
uvtu
===
==
>+≤+=
=
==
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=∂
∂=
∂
∂=−=
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫∫ ∫∫
∞−
∞−
∞
=
∞
=
+−
∞
=
∞
=∞→
= =
+−
=
−
=
+−
+−−
0 M 0 M
t-u=v
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- 19 -
Halle:
• ( )
+
−
222
1
a s
s L
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )a
at sent
a
at sen
at aa
at at sent
at sena
a
at at
aa
at sent at sen
a
duau sen
at a
duau
at sena
duauau senat a
duauat sena
duau senat auat senaua
dua
ut a senau
a sa s
s L
at sena
at a sa s
s L
:quetenemosnconvoluciódeintegral el Usando
a s
s L
t t
t t
t
t
2
2cos
1
2
cos
2
1
4
2cos1cos
1
4
2
2
1
2
2cos
1
2
2cos11
coscos1
cos1
coscoscos
1
cos1
1*cos
1
2
00
00
2
0
02222
1
22221
222
1
=
−
+=
−−
+=
−
+=
−=
−=
−=
++
=
++
+
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ −
−
−
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- 20 -
Resolución de ecuaciones diferenciales mediante las transformada deLaplace
Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial:
• ( ) 3)0(''0)0(')0(,cos102'5''4''' ====+++ y y yt y y y y
{ } { } { } { } ( ){ }
{ }
{ }{ }{ }
( ){ }
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
{ }( )
)(2)cos(22)(
1
2
1
2
1
2
2
1)()(
1
2
1
21
22
1)(
2121211113103
1112211
3103)(
1
3103)(21
1103)(254
110)(2)(5)(43)(
Re1
cos
)(
)()0()('
)()0(')0()(''
3)()0('')0(')0()('''
cos102'5''4'''
2
2211
22
222222
2222
2
2
22
223
223
2
22
323
t sent teeet y
s
s
s s s L sY Lt y
s
s
s s s sY
2 E -1, D-2,C 2, B-1, Adonde De
32E 2C 2B A
105E 2DC 3B2A
34E 5D2C 3B2A
0 E 4DC 3B2A
0 D B A
:ecuacionesde sistema siguienteel Tenemos
2E 2C 2B A s5E 2DC 3B2A s4E 5D2C 3B2A s E 4DC 3B2A s D B A310s3s
s s E Ds s sC s s s B s s A s s
s
E Ds
s
C
s
B
s
A
s s s
s s sY
s
s s sY s s
s
s sY s s s
s
s sY s sY sY s sY s
:dastransformalasemplazando s
st L
sY y L
s sY y s sY y L
sY s y sy sY s y L
sY s y sy y s sY s y L
:necesariasdastransformalas Encuentro
t L y L y L y L y L
Laplacededatransformala Aplicando
t t t
2342
+−−+−=
+
+−+
+−
++
+
−==
+
+−+
+−
++
+
−=
=====
=+++
=++++
=++++
=++++
=++
+++++++++++++++++++++=++
+++++++++++++=++→
+
++
++
++
+=
+++
++=
+
++=++
+=−+++
+=+++−
+
=
=
=−=
=−−=
−=−−−=
=+++
−−−
−−
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- 21 -
Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial:
• ( ) ( ) ( ) ( ) 00',20,2;0
20;84,4
2
2
==
>
<<+−==+ y y
t
t t t hdondet h y
dt
yd
π
π π
{ } { } ( ){ }
{ }{ }
( ){ } ( )( ){ } ( )( ){ } ( )( ){ }
( ){ }
( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( )( )
−−−+++−=
+−+
+
++−=
−====
=
=
=+
=+
+++++=
+++++=
+
+++=
+•
====
−=
=
=+
=+
+++++=−+
+++++=−+
+
+++=
+
−+•
++
+
−+=
+−+
=+
++−
=+−
++−
=
−++−=+−−=
=
−=−−=
=+
−
−
−
−
−
222
2)(2
)2()2cos()(
4
11
4
11)(
1,00Re
44
04
0
0
444
444
44
4
1,Re
44
84
0
2
44482
44482
44
482
4
4
4
482)(
4482)(4
14
84)(42)(
:Re
14
84
2)(484)(84)()(
)(
2)()0(')0()(''
4''
2
222
22
23
222
2222
233
2223
2222
3
222
22
3
22
2
32
22
22
22
2
2020
22
π π µ π π
π π
π π
π
π
π
π
π
π
π
π
π µ π µ π µ µ
π
π
π
π
π
π
π π
t sent t
t sent 2-2t 2t y
s se
s
s2-2
s s
2 sY
DC 1, B , A:quetenemos sistemael solviendo
B
A
D B
C A
B s A s D B sC A
s DCs s B s As
s
DCs
s
B
s
A
s s
D2-2C -1, B ,2 A:quetenemos sistemael solviendo
B
A
D B
C A
B s A s D B sC A s s
s DCs s B s As s s
s
DCs
s
B
s
A
s s
s s
: parciales fracciones Encuentro
s se
s s
s s sY
se
s
s s sY s
se
s s sY s sY s
emplazando
se
s st h L
t t Lt t Lt t t Lt h L
sY y L
s sY s y sy sY s y L
:necesariasdastransformalas Encuentro
t h L y L y L
Laplacededatransformala Aplicando
s
s
s
s
s
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- 22 -
• Determinar la solución del siguiente problema de valor inicial:
Primero se expresa en términos de funciones escalones de la siguiente manera:
Se reemplaza en la ecuación diferencial y se procede a resolverla usando transformadas de Laplace:
Despejando Y(S):
Encontrando la solución mediante transformada inversa de Laplace:
i) ii)
iii) Entonces
iv)
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- 23 -
Encuentre la solución de la siguiente ecuación integro - diferencial:
• ( )t t
t yduut yu y
t
δ −+=−∫ 6)(2)()(
3
0
{ } ( ){ }
{ }
{ }
( ){ }
t t t y s
sY
t t t y s
sY
s
s s s
s
sY
s
s sY sY
s sY sY
emplazando
t L
s s
t L
sY t y L
sY t yt y Lduut yu y L
:necesariasdastransformalas Encuentro
t Lt
Lt y Lduut yu y L
Laplacededatransformala Aplicando
t
t
−=→−=
+=→+=
+−±
=
−−±
=
=
−+−
−+=
=
==
=
==
−
−
+=
−
∫
∫
)()(1
1)(
)()(1
1)(
2
4442
2
1442
)(
01
)(2)(
11
)(2)(
:Re
1
1
6
!3
6
)()(
)()(*)()()(
6)(2)()(
222
121
4
44
4
4
2,1
4
42
42
44
3
2
0
3
0
δ
δ
δ
δ
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Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 24 -
Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial de coeficientes variables:
• ( ) 2)0(',1)0(,02'21'' ===−−+ y y y yt ty
{ } ( ){ } { }
{ } { } [ ]
( ){ } { } { } ( ) [ ]
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
( )
( )( ) ( )
t
t
et y
K Ke y
Ket y
s
K sY
K s sY
s
ds
sY
sY
s s
s
sY
sY
s sY sY s s
s sY sY s s sY s s sY s s
sY sY s s sY s sY sY s
emplazando
sY y L
sY s s sY s sY sY s sY yt L
y s sY ds
d y s sY ty L y L yt L
s sY sY s y sy sY sds
d y L
ds
d ty L
:necesariasdastransformalas Encuentro
y L yt Lty L
Laplacededatransformala Aplicando
2
)0(2
2
2
2
22
)(
11)0(
)(
2
)(
)ln(2ln)(ln
2)(
)('
2)(
)('
)()('2
0)()('20)(222)('2
0)(21)(2)('21)(2)('
:Re
)(
1)(2)('2)(')(21)('21
)0()(2)0()('2''21
1)(2)(')0(')0()(''''
02'21''
=
=→==
=→
−
=
+−−=
−−=
−−=
=−−
=−−−=−++−++−
=−−++++−−
=
−++=++−=−
−+−=−=−
+−−=−−−=−=
=−−+
∫ ∫
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- 25 -
Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial de coeficientes variables:
• ( ) 13'2'' −=++− t y yt ty
{ } ( ){ } { } { } { }
{ } { } [ ]
( ){ } { } { } [ ] ( )
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }
{ } { }
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )( )( )
{ }
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) { }
( )( ){ } ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) t k duut
u
ek t yt k t
t
ek t y
t s
Lt g
t
ek t f ek
s s
k Lt tf
s s
sk L s s
ds
d Lt tf s s Lt f
t g t f sG s F L s s s L s
s s L
s
k L
s
s s L
s
k
s
s s Lt y
sY Lt y s
k
s
s s sY
k s sk sk s sY s
ds s
k s
ds s s
sk s sY s
ds s s
sk s su sY su
see su
s s
sk s sY
s sY
s
sk s sY s sY s s
s
sk k sY s s sY s s
s
s sY k sY s s sY k s sY sY s
emplazando
s
s
s s Lt L
sY y L
k sY s s sY s sY sY k s sY yt L
y s sY y s sY ds
d y Lty L yt L
k s sY sY s y sy sY sdsd y L
dsd ty L
:necesariasdastransformalas Encuentro
Lt L y L yt Lty L
Laplacededatransformala Aplicando
t ut
t t
k k
k k
k k
k
k
sds
s
2
0
12
1
21
11
11
113131
123
12
3
1
221
2
31
22
2
31
122
2
3
23
212
1
212
3
21
2ln22
3
21
2
21
2112
211
2
22
11
122
13)(*
13)(
1)(
13)(13
1)1(
3)(
)1(113
1ln)(1ln)(
)(*)()()(1
1ln1ln
1ln1ln)(
)()(1ln
)(
1ln1ln3ln)(
11
31
131
)(
1
31)(
1
31)(
2)('
31)(14)('1
12)(3122)('
1)(32)(12)(')(2)('
:Re
1111
)(
2)(12)(')(')()(2'2
)0()(2)0()('2''2
)(2)(')0(')0()(''''
13'2''
11
1
1
11
1
1
+−+−
=→++−
=
=
=
+−=→+−=
+−
−=
−
−+−=
−−=→−=
==
−=
−
+
−
=
+−
=
=→+−
=
+−=+−+=
−+=
−
++−=
−
++−=
===
−
++−=+
−−=−−−−
−=++++−−++−
−=+−−+−−+−−
−=−=−
=
−−+−=+−−=+
−+−−=+=+
+−−=−−−=−=
−=++−
∫
∫ ∫ ∫
−
−
−−−
−−−
−−−
−
∫
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- 26 -
Método de eliminación
1) Usando el método de eliminación, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales:
=+++
=−−+ −
)2(eyx2'y'x
)1(eyx'y'x2t
t
Restando: (1)-(2);
Se obtiene:t t ee y x x −=−− −23'
Despejando y :
22
3
2
' t t ee x x y
−−+−=
Reemplazando y en (1):
2
e
2
e)sentCtcosC(
2
3tcos
2
Csent
2
Cy
tcosCsentC'x
2
e
2
e
2
x3
2
'xy
sentCtcosCx
ir
01r
0]1r[eexsi
0x''x02
x
2
''x
e2
e
2
e
2
x3
2
'xx
2
e
2
e
2
'x3
2
''x'x2
e2
e
2
e
2
x3
2
'xx
2
e
2
e
2
x3
2
'x'x2
tt
2121
21
tt
21
2,1
2
2rt
rt
ttttt
ttt'tt
−
−
−−−
−−−
−++−+−=⇒
+−=
−+−=⇒
+=⇒
±=⇒
=+⇒
=+⇒=
⇒
=+⇒=+⇒
=+−+−−++−+⇒
=
−+−−−
−+−+
tsenh2
ee;
2
e
2
etcosksentky
2
e
2
etcos
2
C3
2
Csent
2
C3
2
Cy
tttt
21
tt
K
12
K
21
21
=−
−++=⇒
−+
−+
−−=
−−
−
Pero
4 434 4214 4 34 4 21
Solución:
++=+=
senhttcosksentkysentCtcosCx
21
21
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- 27 -
2) Utilice el método de eliminación para encontrar la solución general del sistema lineal
dado, donde x´, y´, z´ denotan diferenciación con respecto a t.
1
2
De la primera ecuación despejamos y;
Reemplazando y en la segunda ecuación:
Multiplicando la ecuación por 3;
Obtenemos una ecuación diferencial de coeficientes constantes:Resolviendo la ecuación 3 con x=ert;
Ecuación Característica
Ahora encontremos y:
( ) ( )'3
1
3
2 x x y −=
t t eC eC x −+= 24
1 t t eC eC x −−= 2
414'
x 2 ydt
dy
y3 x 2dt
dx
−−−−====
−−−−====
3
´ x x
3
2 y
dt
dx
3
1 ) x 2(
3
1 y
−−−−====⇒⇒⇒⇒
−−−−====⇒⇒⇒⇒
x 23
´ x x
3
2
3
´´ x ´ x
3
2
3
´´ x ´ x
3
2
dt
dy
−−−−−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒
−−−−====⇒⇒⇒⇒
0 x 4 ´ x 3´´ x
x 6 ´ x x 2´´ x ´ x 2
====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒
−−−−−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒
[[[[ ]]]] 04 r 3r e 2rt ====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒
;ecec x
e x ,e x 1r ,4 r
0 )1r )( 4 r (
04 r 3r
t
2
t 4
1
t
2
t 4
1
21
2
−−−−
−−−−
++++====⇒⇒⇒⇒
========⇒⇒⇒⇒−−−−========
⇒⇒⇒⇒
====++++−−−−
====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒
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- 28 -
⇒ Reemplazando x, y x’ en y:
⇒ [ ] [ ]t t t t eC eC eC eC y −− −−+= 24
124
1 43
1
3
2
t t eC eC y −+−= 24
132
* Encuentre la solución particular del problema anterior dado:
x (0)=8, y (0)=3
Del ejercicio anterior:
t t eC eC x −+= 24
1
t t eC eC y −+−= 24
13
2
Como x (0)=8, entonces:8= C1+C2 1
Como y (0)=3, entonces:
2132
3 C C +−= 2
Con 1 y 2 se obtiene un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas; resolviendo elsistema se obtiene:
C2=5, C1=3
⇒ La solución particular es: t t ee x −+= 53 4 t t ee y −+−= 52 4
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- 29 -
Método de los operadores diferenciales
1) Usando el método de las operaciones diferenciales resuelva el siguiente sistema de
ecuaciones diferenciales:
=+++−
=+++−
t2
21
2
22
12
ex)4D4D(x)D2D(
tx)D2D(x)4D4D(
=++−
=++−t
22
1
212
ex)2D(x)2D(D
tx)2D(Dx)2D(
Encontrando )t(x1 usando la regla de Kramer se obtiene que:
( )[ ][ ]
( )( )( )
[ ]
;cex''
;cebx'
;cebtax
:ular xión partico la solucEncontrand
;eCeC)t(x
;2r;04r
;04re
;e)t(x
;0)t(x4)t(''xogénea:homióno la solucEncontrand
;e4
3t1)t(x4)t(''x
;e4
3t1)t(x)4D(
;e3t44)t(x)4D(4
;)4D(4
e3t44)t(x
)4D(4
e3t44
)4D(4
e2t42e2
D4D)4D(
et212D)t(x
D)2D)(2D()2D)(2D(
Det)2D(2D
)2D(D)2D(D)2D()2D(
e)2D(Dt)2D(
)2D()2D(D
)2D(D)2D(
)2D(e
)2D(Dt
)t(x
t1p
t1p
t1p
1p
t2
t21h1
2,12
2rt
rt1
11
t11
t1
2
t1
2
2
t
1
2
t
2
tt
222
t
1
2
t
22
t2
2
2
2t
1
=
+=
++=
+=
±==−
=−
=
=−
+−−=−
+−−=−
−+=−−
−−
−+=
−−
−+=
−−
−++−=
−−−
−++=
−−+−+
−++=
−+−+−
+−+=
+−
+−
+
+
=
−
( )
;e4
3t1ce3bt4a4
;e4
3t1cebta4ce
tt
ttt
+−−=−−−
+−−=++−
+−−=− :obtienese ,e4
3t1(t)4x(t)''xendoReemplazan t
11
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- 30 -
[ ] ( )
( )
( )
;12
e
8
1eCeC)t(x
;12
e
8
1x
;8
1a;
12
1b
;a4be3
;bea4be
;be''x
;be'x
;beax
;eCeC)t(x;2r
;2
1
4
e)t(x4)t(''x
;2
1
4
e)t(x)4D(
;2e)t(x)4D(4
;)4D(4
2e
)4D(4
2e2e
)4D(4
1e)2D()t(x
)4D(4
1e2e)2D(
)4D(4
Dte)2D()2D(
)4D(4
t)2D(De)2D(
)2D()2D(D
)2D(D)2D(
e)2D(D
t)2D(
)t(x
:),t(
tt2
2t2
12
t
p2
t
tt
tp2
tp2
tp2
t22
t21h2
2,1
t
22
t
22
t2
2
2
t
2
tt
2
t
2
2
tt
2
t
2
t2
2
2
t
2
2
+++=
+=
==
−−=−−
−−=+−
−−=−
=
=
+=
+=±=
−−=−
−−=−
+=−−
−−
+=
−−
++−=
−−
−−−=
−−
−−−=
−−
−−−=
−−
−−−=
+−
+−
−
−
=
−
−
2
1
4
e
2
1
4
e
: 2
1
4
e (t) 4x (t) ' ' x en x do Reemplazan
: particular solución la o Encontrand
Kramer de regla la usando x solución la encontrar a procede se Ahora
t
t
t
2 2 2p
2
La solución es:
+++=
−+++=
−
−
;12
e
8
1eCeC)t(x
;e4
1t
4
1
4
1eCeC
tt2
2t2
12
tt2
t21(t) x 1
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- 31 -
2.-) Usando el método de los operadores diferenciales resuelva el sistema:
=++−
−=−++
)2(tcos4)x)(2D()x)(3D(
)1(sent)x)(1D()x)(2D(
21
21
( )
( ) ( )
;senttcosCex
;senttcosx
;9AB8
;7BA8
;sent7tcos9tcosAB8sentBA8
;0BsenttcosAtcosBAsent8
;0xx8
;tcosBAsent'x
;BsenttcosAx
;Cex
;
8
1r
;01r8
;re'x
;ex
;0xx8
;sent7tcos9xx8
tcos9sent7xx8tcos9sent7x)1D8(
tcos8tsentsent3tcosx)4D4D(x)3D4D(
cot)4)(2D(x)2D(x)3D)(2D(
)sent)(3D(x)3D)(1D(x)3D)(2D(
)2D(por2)3D(por1Multiplico
t8
1
2
p2
2'
2
2
2
t8
1
2
rt2
rt2
2'
2
2'
2
2'
2
2
22
22
22
1
21
++=
+=
==
=+
−=+−
−=+++−
=+++−
=+
+−=
+=
=
−=
=+
=
=
=+
−=+
−=−−−=−−
−++−=++−+−
+=++−+
−
−−=−−+−+
+∧−
−
−
: es particular solución La
1,B 1, A
: sistema el o Resolviend
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- 32 -
Ahora procedemos a encontrar 1x del sistema de ecuaciones:
++=
+−=
+−=
−−
++=
−−=
−−=−
=++−
−=−++
=++−
−=−++
−
−
−
−
;senttcosCex
;sent2tcosCe3x
;sent2tcosCe3x
t;cos4sentsenttcosCe3x
t;cos4sentx3x
;tcos4sentx3x5
tcos4x2'xx3'x
;sentx'xx2'x
)2(tcos4)x)(2D()x)(3D(
)1(sent)x)(1D()x)(2D(
t8
1
2
t8
1
1
t8
1
1
t8
1
1
21
21
2211
2211
21
21
: es sistema del solución La
: obtiene se (2),y (1) Restando (2)
(1)
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- 33 -
Método de Laplace
1) Utilice el método de las transformadas de Laplace para resolver el problema de valor
inicial dado. Aquí x’, y’, etc. denotan diferenciación con respecto a t.
=−−=+−
;cos'4 ;2'3't y y x
sent y x x ;0)0( ;0)0(==
y x
Aplicando transformada de Laplace a las dos ecuaciones:
+=−−−
+=+−−
;1
)()0()()(4
;1
1)(2)(3)0()(5
2
2
s
s s y y s sy s x
s s y s x x s x
+=+−
+=+−
−
−
1)()1()(4
11
)(2)()3(
)3(
)4(
2
2
s
s s y s s x
s s y s x s
s
Sumo1 y 2, entonces se obtiene:
[ ]
1
43)()1)(3(8
2
2
+
−−=+−+−
s
s s s y s s
[ ]1
)1)(4()(52
22
+
+−=+−−
s
s s s y s s
+
++
+−
+−=
++−
−−−=⇒
152)1)(52()43(
)(2222
2
s
DCs
s s
B As
s s s
s s s y
)1)(52()5()52()2())((
)1)(52(43
22
23
22
2
++−
+++−+−+++=
++−
−−⇒
s s s
D B sC D A sC D B sC A
s s s
s s
−=+
−=+−
=−+
=+
⇒
4D5B
3C5D2A
1C2DB
0CA
Resolviendo el sistema:
−=
−=
−=
=
;10/7D
;10/11C
;2/1B
;10/11A
+
−−
++−
−
−=1s10
7s
10
11
5s2s2
1s
10
11
)s(y22
+
−
=+−−−
+−=−−−
≈
;1
)3()()1)(3()()3(4
;1
4)(8)()3)(4(
2
2
s
s s
s y s s s x s
s s y s x s
L [ ]' x -3L [ ] x +2L [ ] y =L [ ] sent
L [ ] x4 - L [ ]' y - L [ ] y = L [ ]t cos
1
2
1
2
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- 34 -
( )[ ] 1s
10
7s
10
11
41s
s10
11
2
1
)s(y22 +
+
++−
−
=
( )[ ] ( )[ ] 1s
1
10
7
1s
s
10
11
41s
s
10
11
41s
1
2
1
)s(y 2222 +⋅+
+⋅+
+−⋅−
+−⋅=
( )[ ]( )
( )[ ] 1s
1
10
7
1s
s
10
11
41s
11s
10
11
41s
2
4
1)s(y
2222 +⋅+
+⋅+
+−
+−⋅−
+−⋅=
( )[ ]( )
( )[ ] ( )[ ] 1s
1
10
7
1s
s
10
11
41s
2
20
11
41s
1s
10
11
41s
2
4
1)s(y
22222 +⋅+
+⋅+
+−⋅−
+−
−⋅−
+−⋅=
Aplicando transformada inversa de Laplace a y(s):
[ ] )()(1
t y s y L =−
;
( )[ ]( )
( )[ ] ( )[ ]
++
++
+−−
+−
−−
+−= −−−−−
1s
1L
10
7
1s
sL
10
11
41s
2L
20
11
41s
1sL
10
11
41s
2L
4
1)t(y
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tsen10
7tcos
10
11t2sene
20
11t2cose
10
11t2sene
4
1)t(y ttt ++−−= −−−
( ) ( ) ( ) ( )tsen10
7tcos
10
11t2cose
10
11t2sene
10
3)t(y tt ++−−= −−
De la ecuación 4x-y’-y=cos(t); podemos encontrar x(t):
4
)tcos(yy)t(x
++′=
( ) ( ) ( ) ( )tcos10
7)t(sen
10
11]t2cose)t2(sene2[
10
11]t2senet2cose[
10
3)t(y tttt +−−−−−−=′ −−−−
( ) ( )tcos40
7)t(sen
40
11t2sene
8
5)t2cos(e
5
1
4
)t(y tt +−+=′
−−
( ) ( )tsen40
7
)tcos(40
11
t2cose40
11
)t2(sene40
3
4
)t(y tt
++−−=−−
La solución:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
++−−=
+−+−=
−−
−−
tsen10
7tcos
10
11t2cose
10
11t2sene
10
3)t(y
tcos10
7)t(sen
10
1t2sene
20
11)t2cos(e
40
3)t(x
tt
tt
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Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 35 -
2) Resolver
=+−
=++ −
t15Y3'X4''Y
e15X3'Y''X t
con las condiciones X(0)=0, X’(0)=0, Y(0)=0, Y’(0)=0.
Aplicando la transformada de Laplace a ambas ecuaciones:[ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
+−
+=
+
−
=
+
−=
−
+
+
+
−+
−=
+
+
+
−+
−=
++
+
−+
−=
=====
+++
+++=
++−−=
++−−=
+
−−
=+
−−
=++
−+
+−
=+−
−+
−
=
−−
−
−
+
=
=−+−
+
=+−
=−−
+=−+
=−−−−−
+=−−+−−
=−−
=−+ −
222222
2
22
222
2
222
22222
2
22
2
22
2
2224222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
t
1s
1
1s
s2
1s
1s2
;tcos1s
s
;1s
1
;1s
s15
1s
1s215
s
115
1s
s
1s
1s2
s
115
1s
s
1s
1s2
s
115)S(X
1sEDs
1sCBs
sA15
1s1ss1ss15
1s1ss15ss15)S(X
1s
s
15ss15
1s
s
15
1
1s15
1s2ss
15
1s
)1s(1s15
s41s
s
s15
1s
1s15
1ss4
s1s
1ss
15
s1s
15
)S(X
;s
15)s(Y1s)S(sX4
;
1s
15)S(sY)s(X1s
;s
15)S(Y)S(sX4)s(Ys
;1s
15)S(X)S(sY)s(Xs
;s
15)S(Y)0(x)S(sX4)0('y)0(sy)s(Ys
;1s
15)S(X)0(y)S(sY)0('x)0(sx)s(Xs
t15y'x4''y
e15x'y''x
1-1-1-
1-
1-
1-1-1-1-
£ £ £
£
£
£ £ £ £ x(t)
: X(S)ainversa Laplacededatransformaaplicando x(t)Obteniendo
:comoexpresamoslo X(s)tantolo Por
0 E 1, D -1,C 2, B -1, A
:sonescoeficient losdevaloreslosqueobtienese parciales fraccionesdesumalacomo X(s) Expresando
: Kramer dereglala Aplicando
£ £
£ £
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Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 36 -
( ) ( )( )( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )( )( )
( )
( )
( )
( ) ( )
[ ]
tcos15tcost5.7sent5.7tsent1515)t(x
tcos152
tcost
2
senttsent1515
1s
s15
1s
1s215
s
115
2
tcost
2
senttsent
2
tcostsent
2
tsent2
1s
1s2
2tcostsent
1s1
2
tcostsent
4
)t(sen
2
tcost
4
)t(sen
2
tcosu
4
)tu2(sen
1s
1
;du2
)tcos()tu2cos(du)ut(sen)u(sensent*sent
1s1s
1
1s
1
;2
tsenttcos*sent
1s
s
;2
tsent4
)tcos(04
)tcos(2
)t(tsentcos*sent
4
)tu2cos(
2
)u(usendu
2
)tu2(sen)t(sendu)utcos()u(sentcos*sent
;tcos*sent1s1s
s
1s
s
222
22
22
t
022
t
0
t
02222
22
t
0
t
0
t
0
t
0
2222
++−+−=
+
+−+−=
++
+
−+
−=
+−=
−−
=
+
−
−=
+
−=
−−−=
−
−=
+
−−=−==
++=
+
==
+
=
−+−−=
−−=
−+=−=
=
++=
+
∫ ∫
∫ ∫
x(t)
£ £ £ x(t)
L
L
L
£ L
L
£ L
1 - 1 - 1 -
1 -
1 -
1 -
1 - 1 -
1 -
1 - 1 -
Ahora encontremos y(t) usando una ecuación del sistema:
( )
( )
+−−−+−=
++−+−=
==
+−−−−−+−=
+−−−=
+−−−=
++−+−−++−+=
−−+−=
−=
−+−−+=
++−+−=
−−=
=++
−
−
−
−
−
−
−
∫
;45tcos45sent90tsent15tcost30e15)t(y
tcos15tcost5.7sent5.7tsent1515)t(x
,0)0(y
;Ctcos30sent60tcos15tsent15sent30tcost30e15y
sent30tcos60tcost15tsent30e15y
;sent30tcos60tcost15tsent30e15'y
;tcos15tcost5.7sent5.7tsent15153sent5.7tcost5.7tcos15tsent15e15'y
;sent5.7tcost5.7tcos15tsent15''x
;tsent5.7tcost15'x
;sent15tcos5.7tsent5.7tcos5.7sent15tcost15'x
;tcos15tcost5.7sent5.7tsent1515x
;x3''xe15'y
e15X3'Y''X
t
t
t
t
t
t
t
:essolucionLa
45;C entonces
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Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 37 -
Método de los valores y vectores propios
1) Resuelva por el método de los valores y vectores propios el siguiente sistema:
z y z
z y x y
z y x x
3'
5'
4'
−=
−+=
++−=
−
−
−
=
z
y
x
310
151
114
'z
'y
'x
−
−
−
=
310
151
114
A det(A-λI)=0
[ ] [ ] 01)3(11)3)(5()4(
310
151
114
)IAdet( =−λ−−−+λ−−λ−λ−−=
λ−−
−λ−
λ−−
=λ−
0)3)(5)(4( =+−+ λ λ λ
41 −=λ 52 =λ 33 −=λ
4−=λ
=
−00
0
110191
110
z y
x
=−+
=+
09
0
z y x
z y
…. z x
y
10=
−=
−=
1
1
10
1υ
5=λ
=
−
−
−
0
0
0
810
101
119
z
y
x
=−
=+−
0
08
z x
z y ….. z x
z y
=
= 8
=
1
8
1
2υ
3−=λ
=
−
−
0
0
0
010
181
111
z
y
x
=−
=++−
0
0
z x
z y x
z
1
1
10
z
z
z10
z
y
x
−⇒
−⇒
z
1
8
1
z
z8
z
z
y
x
⇒
⇒
z
1
0
1
z
0
z
z
y
x
⇒
⇒
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- 38 -
t t t ececect x 321
332211)( λ λ λ υ υ υ ++=
t t t ececect x 33
52
41
1
0
1
1
8
1
1
1
10
)( −−
+
+
−
2) Resolver el sistema
X012011
203
'X
−−−
−
=
0
12
011
203
=
−−−
−−
−−
λ
λ
λ
0)]1(21[2)]1()[3( =+−−++−− λ λ λ λ
04634
0)23(2)1)()(3(23 =−−−−−
=−−+++−
λ λ λ λ
λ λ λ λ
0674 23 =+++ λ λ λ 21 −=λ i212 +−=λ i213 −−=λ
Se procede a encontrar el vector propio asociado al siguiente valor:* 21 −=λ
≈
−−
−
0
0
0
212
011
201
≈
−−
−
0
0
0
210
210
201
−
0
0
0
000
210
201
y= -2z
x= 2z
−=
1
2
2
1v
Se procede a encontrar el vector propio asociado al siguiente valor i213 −−=λ :
≈
+−−
−−
0
0
0
2130
0i21
)i22(206≈
+−−
−−
0
0
0
2112
0i21
)i22(206
≈
+−−
+−
0
0
0
i2112
0i21
20i22
=υ
1
0
1
3
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- 39 -
( )( )
.alesRez
;zi21y3
;zi224x6
∈
+−=
+=
Entonces:
.
Entonces podemos concluir que el vector propio complejo asociado a este valor de
i213 −−=λ es:
( )( ) ,i
0
2
2
3
1
2
3
i21
i22
z
y
x
v
,
z
z3
i2
3
1
z3
i2
3
2
z
y
x
v
ba321321
+
−=
+−
+
=
=
=
+−
+
=
=
: 3 z si v,de forma la tenga que propio vector un usar Podemos
Entonces procedemos a encontrar la primera solución l.i. con 21 −=λ :
−= −
1
2
2
ex t21
Ahora procedemos a encontrar la segunda y tercera solución l.i. con i213 −−=λ , tiene la
siguiente formai
β+α=λ , por lo tanto las otras dos soluciones son:
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( );btseneatcosex
;btcoseatsenextt
3
tt2
β−β=
β+β=
αα
αα
( ) ( ) ( ) ( ) ;
0
2
2
t2sene
3
1
2
t2cose
0
2
2
t2sene
3
1
2
t2cosex tttt2
+
−=
−−
−−= −−−−
.alesRez
;z3
i2
3
1y
;z3
i232x
∈
+−=
+=
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- 40 -
( ) ( ) ( ) ( ) ;
0
2
2
t2cose
3
1
2
t2sene
0
2
2
t2cose
3
1
2
t2senex tttt3
+
−−=
−+
−−= −−−−
Por lo tanto la solución general es:
( ) ( ) ( ) ( ) ;
0
2
2
t2cose
3
1
2
t2seneC
0
2
2
t2sene
3
1
2
t2coseC
1
2
2
eCx
;xCxCxCx
tt3
tt
2
t21
332211
+
−−+
+
−+
−=
++=
−−−−−
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- 41 -
Aplicaciones de Sistema: Masa – Resorte – Amortiguador
1) Una masa de 1 kilogramo sujeta a un resorte con una constante k = 9 m/seg
se suelta del reposo 1 metro debajo de la posición de equilibrio del sistema masa-
resorte, y empieza a vibrar. Después de 2/π segundos, la masa es golpeada hacia
arriba por un martillo que ejerce un impulso de 3 newtons.
a) Determine una función que defina la posición ‘’y’’ de la masa en cualquier instante
‘’t’’.
b) Halle la posición de la masa en los tiempos t= 4/π segundos y t= π segundos.
Como no hay amortiguador C=0;En t = 2/π segundos hay un impulso hacia arriba de 3 Newtons, por lo tanto hay una perturbación
π−δ−=
2t3)t(f , el signo negativo se debe a que tomamos el eje de referencia positivo hacia abajo.
La ecuación diferencial que representa al sistema es:
;2t3Ky9dt
yd2
2
π−δ−=+
Para resolver esta ecuación diferencial aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación:
;e3)s(y9)0('y)0(sy)s(Ys
;2
tδ3y9
dt
yd
s22
2
2
π−
−=+−−
−−=
+ L L
La posición inicial del sistema es y(0)=1 metro, y la velocidad inicial es y’(0)=0:
( )
;2
tu2
t3sent3cos)t(y
;9s
e3
9s
s
9s
e3
9s
s)t(y
;9s
e3
9s
s
9s
e3s)s(y
;e3s)s(y9s
;e3)s(y9s)s(ys
2
s2
22
s2
2
2
s2
22
2
s22
s2
s2
π−
π−−=
+−
+
=
+−
+=
+−
+=
+
−=
−=+
−=+−
π−
π−
π−
π−
π−
π−
1 - 1 - 1 - L L L
)t(fKydt
dyC
dt
ydm
2
2
=++
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- 42 -
a)
π≥
π−−
π<
=
2
t
2
t3sent3cos
2t;t3cos
)t(y
b)
m0)1(1)2/(3sen)3cos()(y
,m2
2)4/3cos()4/(y
=−−−=π−π−π=π
−=π=π
2) Un sistema vibratorio compuesto de un resorte de constante m/N4k = , un
amortiguador de m/Ns6c = , tiene adherido una bola metálica de 20 Newton de peso.
Determine la forma en que vibra la masa si inicialmente esta en la posición de equilibrio
y sin velocidad inicial, y si desde el tiempo t = 0 actúa una fuerza perturbadora definidaasí:
[ )
( ]
∈−
∈=
4,2t;t100400
2,0t;t100)t(f
La ecuación diferencial que representa al sistema es:
);t(fKy
dt
dyc
dt
ydm
2
2
=++
Asumiendo que la gravedad es 2s/m10 :
210
20
g
wm === Kg.
);t(fy4dt
dy6
dt
yd2
2
2
=++
Antes de resolver la ecuación diferencial aplicando la transformada de Laplace, se recomienda expresar lafunción f(t) en términos de de funciones escalones multiplicadas por las funciones que se encuentran en cadauno de los intervalos mostrados en la regla de correspondencia:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) );4t(u4t100)2t(u2t200)t(tu100)t(f
);4t(u400)4t(u4t100)4t(u400)2t(u400)2t(u400)2t(u2t200)t(tu100)t(f
);4t(u44t100)4t(u400)2t(u400)2t(u22t200)t(tu100)t(f
);4t(tu100)4t(u400)2t(u400)2t(ut200)t(tu100)t(f
);4t(tu100)4t(u400)2t(tu100)2t(u400)2t(ut100)t(tu100)t(f
);4t(ut100400)2t(ut100400)2t(tu100)t(tu100)t(f
−−+−−−=
−+−−+−−−+−−−−−=
−+−+−−−+−+−−=
−+−−−+−−=
−+−−−−−+−−=
−−−−−+−−=
La ecuación diferencial queda expresada de la siguiente forma:
( ) ( ) );4t(u4t100)2t(u2t200)t(tu100y4dt
dy
6dt
yd
2 2
2
−−+−−−=++
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- 43 -
Ahora se puede proceder a resolver la ecuación diferencial mediante la transformada de Laplace:
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ];)4t(u4t50)2t(u2t100)t(tu50y2dt
dy
3dt
yd
;)4t(u4t100)2t(u2t200)t(tu100y4dt
dy6
dt
yd2
2
2
2
2
−−+−−−=
++
−−+−−−=
++
L L
L L
La posición inicial del sistema es y(0)=0 metro, y la velocidad inicial es y’(0)=0:
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
++=
+++
++−
++=
+++
++−
++=
+−=++
+−=++
+−=+−+−−
−
−−
−−
−−
−−
−−
)1s(2ss
50)t(y
;e)1s(2ss
50e
)1s(2ss
100
)1s(2ss
50)s(y
;e2s3ss
50e
2s3ss
100
2s3ss
50)s(y
;e
s
50e
s
100
s
502s3s)s(y
;es
50e
s
100
s
50)s(y2)s(sy3)s(ys
es
50e
s
100
s
50)s(y2)0(y3)s(sy3)0('y)0(sy)s(ys
2
11
y
s4
2
y
s2
2
y
2
s4
22
s2
2222
s4
2
s2
22
2
s4
2
s2
22
2
s4
2
s2
22
2
)s(3)s(2)s(1
L
4 4 4 34 4 4 214 4 4 34 4 4 214 4 34 4 21
Para encontrar )t(y1 , se procede a usar el teorema de la integral de la transformada de Laplace:
Si( )
)t(f)1s(2s
501 =
++
−L , entonces( )
dud)(f)1s(2ss
50t
0
u
0
2
1
∫ ∫ θθ=
++
−L
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
=+
=+
++
+++=
++
+=
++
−−−
50B2A
0BA
;1s2s
2s1sA
1s2s
A
)1s(2s
50 111 BBL L L
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene:B = 501, A = -50;
( ) ( ) ( );50e50
2s
50
1s
50
)1s(2s
50 t2t11 −−−− −=
+−
+=
++L L
Entonces:
( ) ( ) ;dud50e50d)(f)1s(2ss
50
t
0
u
0
2
t
0
u
0
21
∫ ∫ ∫ ∫ θ−=θθ=
++θ−θ−−L
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Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 44 -
[ ] ( )[ ] [ ]
[ ] [ ] ( )[ ]
[ ] ;5.37t25e5.12e50du2525e50
;5.1250t25e5.12e50u25e5.12e50du2525e50
;du2525e50du255025e50du25e50
t2t
t
0
u2u
t2tt
0u2u
t
0
u2u
t
0
u2ut
0
u
0u2u
t
0
u
02
−+−=++−
−−+−=+−=++−
++−=+−−+−=+−
−−−−
−−−−−−
−−−−θ−θ−
∫
∫
∫ ∫ ∫
Por lo tanto:
( )
;5.37t25e5.12e50)t(y
;5.37t25e5.12e50)1s(2ss
50
t2t1
t2t
2
1
−+−=
−+−=
++
−−
−−−L
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) );4t(u5.374t25e5.12e50e
)1s(2ss
50)t(y
);2t(u5.372t25e5.12e502e)1s(2ss
502)t(y
e)1s(2ss
50
2e)1s(2ss
100
)t(y
4t24ts4
2
13
2t22ts2
2
12
s2
2
1s2
2
1
2
−−−+−=
++=
−−−+−=
++=
++=
++=
−−−−−−
−−−−−−
−−−−
L
L
L L
Ahora y(t) es:
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( );)4t(u5.374t25e5.12e50
)2t(u5.372t25e5.12e5025.37t25e5.12e50)t(y);t(y)t(y)t(y)t(y
4t24t
2t22tt2t321
−−−+−+
−−−+−+−+−=++=
−−−−
−−−−−−
Se puede representar y(t) en como una función con regla de correspondencia:
( ) ( )( ) ( )
≥−+++−++
<≤−++−+
<≤−+−
=
−−
−−
−−
;4t;350t100ee21e5.12ee21e50
;4t25.212t75e21e5.12e21e50
;2t05.37t25e5.12e50
)t(y84t242t
4t22t
t2t
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Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 45 -
3) Una masa de 5kg se sujeta a un resorte suspendido del techo y ocasiona que el resorte se
estire 2 metros al llegar al reposo en equilibrio. Se eleva luego la masa 1 metro sobre el punto
de equilibrio y se le aplica una velocidad dirigida hacia arriba de 1/3 m/seg. Determine:
a) La ecuación del movimiento armónico simple de la masa.
b) La posición del objeto en t =
4
πsegundos
a)Como no hay amortiguador C=0, además no existe fuerza perturbadora que se aplique al sistema por lo tantof(t)=0, la posición inicial de la masa es 1 metro sobre la posición de equilibrio por lo tanto si tomamos el eje dereferencia positivo hacia arriba la posición inicial de la masa sera 1 metro. Y la velocidad es 1/3 m/seg.
La ecuación diferencial que representa al sistema es:
;0kydt
yd5
2
2
=+
Se debe encontrar el valor de k:
Como la masa es 5kg y si se asume la gravedad 2m/seg10 , el peso será de 50 Newton, al sujetar el resorte la
masa se estira 2 metros, lo que me indica de manera implícita la constante del resorte que se la puede calcular mediante:
lkF ∆= , donde F es el peso del objeto y l∆ la longitud del estiramiento. Despejando k se obtiene k=25N/m.
Para resolver esta ecuación diferencial aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación:
[ ]
;0)s(y25)0('y5)0(sy5)s(Ys5
;0y25dt
yd5
2
2
2
=+−−
=
+ L L
)t(fKydt
dyC
dt
ydm
2
2
=++
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- 46 -
La posición inicial del sistema es y(0)=1 metro, y la velocidad inicial es y’(0)=1/3:Reemplazando las condiciones se obtiene:
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )t5sen15
1t5cos)t(y
;5s3
1
5s
s
5s3
1
5s
s)t(y
;5s3
1
5s
s)s(y
3
1s)s(y5s
3
5
s5)s(y25s5
;0)s(y253
5s5)s(ys5
2222
22
2
2
2
+=
++
+=
++
+=
++
+=
+=+
+=+
=+−−
1 - 1 - 1 - L L L
b)
La posición del objeto en 4/π segundos es:
15
28
15
16
2
2
15
11
2
2
2
2
15
1
2
2
4y
45sen
15
1
45cos
4y
−=
−=
+−=−−=
π
π−
π=
π
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- 47 -
Aplicaciones de Circuitos Eléctricos
1) Un circuito LRC con R=12 ohmios, L=1, C=0.01 faradios se conecta a una batería
que transmite un voltaje de 20 voltios. Si el interruptor esta inicialmente apagado y se lo
enciende después de 10 segundos, permaneciendo conectada por un lapso de 20segundos y luego desconectada definitivamente. Si inicialmente no hay carga en el
condensador y la corriente inicial es cero, determine:
a) La carga acumulada en el condensador en los tiempos t=5s, y t=20s.
b) La intensidad de corriente que atraviesa el circuito en los tiempos t=8s, y t=40s.
E
20
10 30 t
)(1
''' t QC
RQ LQ ε =++ =20u(t-10)-20u(t-30)
)]t([]QC
1[]'RQ[]''LQ[ ε=++ llll
−=++
−−
s
ee sQ s sQ sQ s
s s 30102 20)(100)(12)(
−=++
−−
s
e
s
e sQ s s
s s 30102 20)()10012(
++−
++=
−−
)10012()10012(20)(
2
30
2
10
s s s
e
s s s
e sQ s s
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- 48 -
100
12100
1100
1
11001210012
222
−=
−=
=
=++++⇒++
++
C
B
A
Cs Bs A As As s s
C Bs
s
A
++
+−
10012
12100
11001
2 s s
s
s
++−++
+
−−
++−++
+
−=
−
64)6(
6
64)6(
6164)6(
6
64)6(
615
1
)( 22
30
22
10
s s
s
se s s
s
se sQ
s s
[ ])()( 1 sQt Q −= l
)t(U)30t(8sene4
3)30t(8cose1
5
1
)t(U)10t(8sene4
3)10t(8cose1
5
1)t(Q
30)30t(6)30t(6
10)10t(6)10t(6
−−−−−
−−−−=
−−−−
−−−−
Cuando t=5s
0)5( =Q Condensador descargado
Cuando t=20s
)10(820
3)10(8cos5
15
1)( )10(6)10(6 −−−−= −−−− t senet et Q
t t
8020
3
80cos51
5
1
)20(6060
seneeQ−−
−−=
)993.0(20
3)110.0(5
15
1)20( 6060 −−−−= −− eeQ
coulombs xQ 251008.2)20( −=
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- 49 -
2) Un circuito LRC con R=150 ohmios, L=1 Henrio, C=0.0002 faradios en t=0 se le
aplica un voltaje que crece linealmente de 0 a 100 voltios, durante 10 segundos, para
luego cesar por tiempo indefinido. Si inicialmente no hay carga en el condensador y la
corriente inicial es cero, determine:
a) La carga en cualquier instante de tiempo
b) La corriente del circuito en t=20s.
( )
( )4
150 0 0
1 ' 0 0
2 10
R r Q
L H Q
C F −
= =
= =
= ×
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
0 10
0 10 10 10
0 10 10
'' ' 1/
'' 150 ' 5000 10
'' 150 ' 5000 10 10 100 100'' 150 ' 5000 10 10 10 100
LQ RQ C Q V t
Q Q Q t t t
Q Q Q t t t t t t
Q Q Q t t t t t
µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ
+ + =
+ + = −
+ + = − + −
+ + = − − −
Encontrando la transformada:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
10 102
2 2
2 10 102 2
10 10
2 2
10 10 1000 ' 0 150 150 0 5000
10 10 100150 5000
10 10 10050 100
s s
s s
s s
e e s Q s sQ Q s Q s Q Q s
s s s
s s Q s e e s s s
s s Q s e e s s s
− −
− −
− −
− − + − + = − −
+ + = − −
+ + = − −
( ) ( )2 2
1/500
3/5000010
1/1250050 100 50 100
1/50000
A
B A B C D
C s s s s s s s
D
=
= −= + + + ⇒
=+ + + + = −
V(t)
100
0 10 t
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- 50 -
Q(20segundos)=0
( )( )Q t
i t t
∂=
∂
i(20segundos)=0
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- 51 -
Series
DeFourier
Contenido:
Definición de la serie de FourierSerie de Fourier de una función par.
Serie de Fourier de una función impar.
Convergencia de una serie de Fourier.
Extensiones pares e impares periódicas de una serie de
Fourier
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- 52 -
Serie de Fourier de una función f(x)
Definición: Sea f una función continua por segmentos en el intervalo de [[[[ ]]]]p,p−−−− la serie deFourier de f es la serie trigonométrica:
∑∑∑∑∞∞∞∞
====
++++
++++====
1
0
2n
n n p
x n sen b
p
x n cos a
a ) x ( f
π ππ π π ππ π
Donde:
.n ,....,,,n ,N n
dx p
x n sen ) x ( f
p b
dx p
x n cos ) x ( f
p a
dx ) x ( f p
a
p
p
n
p
p
n
p
p
321
1
1
10
====∈∈∈∈∀∀∀∀
====
====
====
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
−−−−
−−−−
−−−−
π ππ π
π ππ π
Series de Fourier cuando f(x) es parSi la función f(x) es una función par se dice que:
∑
∫
∫
∞
=
+=∴
=∈∀
=
=
=
1
0
0
0
0
2
3 21
0
2
2
n
n
n
p
n
p
p
x n cos a
a ) x ( f
.n ,....,,,n ,N n
; b
dx p
x n cos ) x ( f
p a
dx ) x ( f p
a
π ππ π
π ππ π
Series de Fourier cuando f(x) es impar
Si la función f(x) es una función impar se dice que:
∑∑∑∑
∫ ∫∫ ∫
∞∞∞∞
====
====∴∴∴∴
====∈∈∈∈∀∀∀∀
====
====
====
1
0
0
321
2
0
0
n
n
p
n
n
p
x n sen b ) x ( f
.n ,....,,,n ,N n
; dx p
x n sen ) x ( f
p b
a
a
π ππ π
π ππ π
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- 53 -
1) Exprese la función f definida por
<<<<<<<<
<<<<<<<<====
1x0 ,x
0x1- ,)x(f
1como un desarrollo en series de
Fourier.
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++
++++====
1
0
2n
n n p
x n
sen b p
x n
cos a
a
) x ( f
π ππ π π ππ π
[ ] [ ]
2
3
2
3
2
11
2
1
1
1
00
1
020
1
1
0
0
1
1
1
0
0
=⇒=+=
+=+==
=
=
−
−−
−
∫ ∫ ∫
∫
a ,a
;xxxdxdxdx)x(f a
dx)x(f p
a
p
p
p
( ) ( ) ( )
[ ]11111
1
0
1
00
1
222222
2222
1
022
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
−−π
=
π
−π
−=
=∈∀−=π
=∈∀=π
π−
π
π+
π
π+
π
π=
π
π+
−
π
π+
π
π−−=
π
π−
π
π+
π
π=
π
π=⇒π=
=⇒=
π+π=π=
π=
∫
∫ ∫ ∫
∫
−
−−
−
nn
n
n
n
n
1
n
n
p
p
n
)(nnn
)(a
n.1,2,3,...,n N,n ,)()ncos(
n.1,2,3,...,n N,n ,)n(sen
nn
)ncos(
n
)sen(n
n
)n(sena
n
)xncos(
n
)sen(n
n
)n(sena
dxn
x)sen(n
n
x)sen(nx
n
x)sen(na
n
x)sen(nv )dxxcos(ndv
dx,du xu
dxxncosxdxxncosdxxncos)x(f a
dxp
xncos)x(f
pa
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- 54 -
( ) ( ) ( )
π−=
=∈∀−=π
=∈∀=π
−
π
π+
π
π−
π
π−
π−=
π
π+
−
π
π−
π
π−
π−=
π
π+
π
π−
π
π−=
π
π−=⇒π=
=⇒=
π+π=π=
π=
∫
∫ ∫ ∫
∫
−
−−
−
nb
n.1,2,3,...,n N,n ,)()ncos(
n.1,2,3,...,n N,n ,)n(sen
n
)n(sen
n
)cos(n
n
)cos(n
nb
n
)xn(sen
n
)cos(n
n
)cos(-n
nb
dxn
x)cos(n
n
x)cos(nx
n
x)cos(nb
n
x)cos(nv )dxx(nsendv
dx,du xu
dxxnxsendxxnsendxxnsen)x(f b
dxp
xnsen)x(f
pb
n
n
n
n
1
n
n
p
p
n
1
1
0
0
1
01
1
22
1
022
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
Convergencia de una Serie de Fourier
Teorema: Si )x(f y )x('f son funciones continuas por segmentos en el intervalo ( )p,p− ,entonces la serie de Fourier de )x(f en dicho intervalo converge hacia )a(f en un punto decontinuidad, mientras que en un punto de discontinuidad a converge a:
)x(f Lim)a(f
)x(f Lim)a(f
:donde ,)a(f )a(f
ax
ax
+
−
→
+
→
−
+−
=
=
+
2
Ejemplo:
<<π−
π<<+=
01
1
x- ,x
x0 ,x)x(f
En la gráfica se observa que en x=0 hay un punto de discontinuidad por lo tanto el valor a que converge la seriede Fourier en x=0 es:
[ ] ( ) ( )∑∞
=
π
π−π−−
π+=
1
22
111
1
4
3
n
nxnsen
nxncos)(
n)x(f
1
1
02
11
2
==
−==
=+−
=+
+
−
→
+
→
−
+−
)x(f Lim)a(f
)x(f Lim)a(f
:donde ,)a(f )a(f
ax
ax
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- 55 -
Extensión periódica de la función f(x)
Sea f(x) una función continua por segmentos en ( )p,p− . Entonces la Serie de Fourier de f es:
∑∑∑∑∞∞∞∞
====
++++
++++====
1
0
2n
n n p
x n sen b
p
x n cos a
a ) x ( f
π ππ π π ππ π
Donde se define la frecuencia angular de las funciones coseno y seno como “w”, entonces:
T. pnTEntonces
n
pT
f trando, encon
p
n
πp
nπf
ando f:, despej p
nππf
πf,w, donde p
nπw
f
f
==
====
=⇒
==
2
21
22
2
2
Por lo tanto la función f puede extenderse a una función periódica con período = 2p, de
manera talque
∑∑∑∑∞∞∞∞
====
++++
++++====
1
0
2n
n n p
x n sen b
p
x n cos a
a ) x ( f
π ππ π π ππ π , y donde R x ),x(f )px(f ∈=+ 2 .
Donde la serie converge a f(x) si es que f es continua en x y converge a2
)x(f )x(f +− + , si es
que f es discontinua en x.
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- 56 -
2) Encuentre los coeficientes de la serie de Fourier: a) sólo en términos de senos de la
función f(x), b) luego sólo en términos de cosenos.
<<
<<−=
2x1 0,
1x0 x,1f(x)
a) En términos de senos.
Antes de comenzar el desarrollo de este problema se recomienda graficar la función f(x)
Como se observa en la gráfica esta no es función impar ni par, por lo tanto para obtener eldesarrollo en series de Fourier sólo en términos de senos de esta función se debe proceder ahacer una extensión periódica impar de f(x).
2pT donde 0xp- f(-x),-
px0 (x),f(x) =
<<
<<= ,
f
Como se observa en la gráfica ahora el periódo de la función es T=2p, donde p = 2, por lotanto el período T es 4.
Ahora si la función f(x) es una función impar se cumple las siguientes condiciones:
∑∑∑∑
∫ ∫∫ ∫
∞∞∞∞
====
====∴∴∴∴
====∈∈∈∈∀∀∀∀
====
====
====
1
0
0
321
2
0
0
n
n
p
n
n
p
x n sen b ) x ( f
.n ,....,,,n ,N n
; dx p
x n sen ) x ( f
p b
a
a
π ππ π
π ππ π
Encontrando los coeficientes:
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- 57 -
( )
( )
( )
( )
[ ]
π
π−
π=⇒
π
π−
π=
−
π
π−−
π−=⇒
π
π−
π−
π−=⇒
π
π−
π
π−−=⇒
π
π
−=⇒
π=
−=⇒−=
π−=
π+
π−=
π=
π=
π=
∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
2
42
2
420
2
410
2
2
4
21
2
2
2
2
21
2
2
2
1
21
20
21
222
2
2
2
22
2222
1
0
22
1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
1
0
2
0
2
0
0
nsen
nn b
nsen
nn
nsen
nn b
;xn
senn
xncosx
n b
dxxn
cosn
xncos
nx b
;xn
cos
n
dxxn
sendv
;dxdu,xu
;dxxn
senx b
dxxn
sen.dxxn
senx b
dxxn
f(x)sendxxn
f(x)sen b
dxxn
f(x)sen p
b
n
n
n
n
n
n
n
p
n
v
Ahora la función en términos de senos es:
∑
∑∑∞
=
∞
=
∞
=
π
π
π−
π=
π
π
π−
π=
π=∴
==
1
22
1
22
1
22
42
22
42
n
nn
n
xnsen
nsen
nn)x(f
xnsen
nsen
nn p
xnsen b)x(f
0a y 0,a :entonces,impares Como 0n
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- 58 -
b) En términos de cosenos:
Igualmente que en el caso anterior para obtener la serie de Fourier sólo en terminos decosenos de f(x), la función debe ser una función par, si no lo es se debe hacer una extensión
periódica de forma par. Es decir:
2pT donde 0xp- f(-x),
px0 (x),f(x) =
<<
<<= ,f
Como se observa en la gráfica ahora el período de la función es T=2p, donde p = 2, por lotanto el período T es 4.
Ahora si la función f(x) es una función impar se cumple las siguientes condiciones:
∑
∫
∫
∞
=
+=∴
=∈∀
=
=
=
1
0
0
0
0
2
3 21
0
2
2
n
n
n
p
n
p
p
x n cos a
a ) x ( f
.n ,....,,,n ,N n
; b
dx p
x n cos ) x ( f
p a
dx ) x ( f p
a
π ππ π
π ππ π
Encontrando los coeficientes 0n a,a :
( )
( )
2
1
2
100
2
11
21
01
2
0
1
0
21
0
0
2
1
1
0
0
2
0
0
0
0
=
=
+−−=
−=−=
+−===
=
∫
∫ ∫ ∫
∫
a
xxdxxa
dx.dxxadx)x(f a
dx)x(f p
a
p
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- 59 -
( )
( )
( ) ( )
( )
[ ]
π−
π=⇒
π−
π=
−
π
π−−
π=⇒
π
π−
π−
π=⇒
π
π+
π
π−=
π−=⇒
π
π=⇒
π=
−=⇒−=
π−=
π+
π−=
π=
π=
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
21
4
21
41
2
400
2
2
4
21
2
2
2
2
21
21
2
2
2
1
21
20
21
2
2
22
2222
1
0
22
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
1
0
2
0
0
ncos
na
ncos
n
ncos
nna
xncos
n
xnsenx
na
dxxn
senn
xnsen
nxdx
xncosxa
xnsen
nv,dx
xncosdv
;dxdu,xu
;dxxn
cosxa
dxxn
cos.dxxn
cosxdxxn
cos)x(f a
dxP
xncos)x(f
pa
n
n
n
n
n
n
P
n
Como ahora f(x) es una función par, entonces 0bn =
La serie de fourier de f(x) en términos de cosenos es :
∑
∑
∞
=
∞
=
π
π−
π+=
π−
π
=
=
=
π+=
1
22
22
0
1
0
221
4
4
12
14
2
1
2
2
n
n
n
n
xncos
ncos
n)x(f
ncos
n
a
a
p
p
xncosa
a)x(f
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- 60 -
EJERCICIO DE LA ECUACIÓN DEL CALOR DE UNA VARILLA
Una varilla de longitud L coincide con el eje X en el intervalo , tal que la
temperatura en los extremos de la varilla se mantiene a 0ºC en cualquier instante y la
temperatura inicial de toda la varilla esta dada por . Determina la
temperatura , de la varilla, conociendo que el modelo matemático de este
problema viene dado por:
Para resolver esta ecuación en derivadas parciales se procede a usar el método de separaciónde variables, se asume la solución de la siguiente manera:
Se obtiene las correspondientes derivadas de la ecuación, usando la solución que se asume.
Reemplazando en la ecuación en derivadas parciales se obtiene:
Separando a un lado de la ecuación todo lo que depende de la variable “x”, y al otro lado lode “y”.
Se obtiene dos ecuaciones diferenciales:
La solución para esta ecuación se asume como :
Se obtiene:
Como el valor de es una constante, entonces se analiza de la siguiente forma:
Para
, por lo tanto las raíces son:
Por lo tanto, para este caso la solución es:
Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera :
Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A=B=0, por lo tanto, la solución quedala trivial:
, entoncesPara
, por lo tanto las raíces son:
Por lo tanto, para este caso la solución es:Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera :
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- 61 -
Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A=B=0, por lo tanto, la solución quedala trivial:
, entoncesPara , para indicar que es un valor negativo se pondrá el singo menos dentro del
radical.
, por lo tanto las raíces son:
Por lo tanto, para este caso la solución es:Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera :
Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A =0, pero queda ,donde el valor de B no puede ser cero para que no quede la solución trivial por lo tanto lo quesi puede suceder es queDonde , luego se despeja
Ahora es :
Luego se obtiene la solución para la segunda ecuación diferencial que está en función de t:
Como , entonces:
Expresando en sumatoria:
Ahora se usa la condición inicial :
Donde:
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- 62 -
Se procede a integrar por partes:
Otra vez por partes:
La solución es:
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- 63 -
Transformada de Laplace de ciertas funciones
Transformada inversa de Laplace de ciertas funciones
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- 64 -
Problemas propuestos
1.-) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales alrededor del punto Xo = 0.
Determine si es posible la función a la que converge la primera solución, y luego hallepor cualquier método la segunda solución linealmente independiente.
a) ;0yx4'y''xy 3 =+−
b) ;0y)x43('xy4''yx4 22 =−+−
c) ;0y2'y3''y)1x(x =−+−
d) ;0y'y)x31(''y)1x(x =+−−−
e) ;0y2'y3''y)1x(x =+−−
f) ;0y)x26('y)x4(x''yx2 =−+−−
g) 0xy'y2''xy =−+
h) 0y)2x('xy4''yx 22 =+++
2.-) Halle:
a)[ ]
( )[ ][ ][ ]
( )[ ];3e5
;t5senh4t5cosh3
;)tcossent(
;1t
;t5sen2sen10
2t2
2
22
−
−
−
+
L
L
L
L
L
b)Para las siguientes funciones encuentre [ ])t(''fL :
;tcoset t2 −
( )
;t3cost2sen5
;e
t2sent
;tcos1t2
;t2senht5
t2
3
4
3
−
−
c) Para las siguientes funciones encuentre [ ])t('fL :
( )
;)t2sentcos3(
;t2sene2
;t3cosht5senh10
;t2cost2sen5
;t2tsen3cos6
2
2t3
−
−
[ ][ ][ ][ ]
( )[ ];e2t
;t4sene2
;et
;t4cosh
;)t2(cos4
t2
t3
t32/3
2
2
+
−
L
L
L
L
L
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- 65 -
d) Halle:
e) Halle:
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]( )[ ]
;due
u2sent
;senhtt;sentesi f(t),)t('ft
;tcost
;t2cos2t2sen3t
t
0
u2
2
3
t2
22
=
−
∫ −
−
L
L L
L
L
f) Halle:
[ ]
;t
tsen
;t2tsen2cost5
;t
t3senh
;t
btcosatcos
;t
ee
2
2
1
btat
−
−
−
−−
L
L
L
L
L
g) Halle:
( )
;duu
senu
;du
u
e1
;dueuu
t
t u
tu2
−
+−
∫
∫
∫ −
−
0
0
0
L
L
L ( )
( ) ;dusenhuu
;duu3cos
t
2
t2
∫
∫
0
0
L
L
;)1t(1t
e1
;)t(t
t2sen
)1t(
−δ
−
−
δ
−−
L
L
;5t2t
)t()3t(32
2
++
δ−+L
[ ][ ][ ]
[ ];)5t(u)3t(
;)t(u)t(sen
;)1t(uet
;)2t(u)t(senh.te
;)t(u)t(3coste
2
t32
t2
t2
−−
π−
−
−
π−π−
−
−
L
L
L
L
L
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- 66 -
3.-) Grafique las siguientes funciones y halle sus transformadas de Laplace:
≥
<≤
<≤
<≤
=
≥
<≤+
<≤
<≤−
=
3t ,0
3t2 sent;5-
2t;0
t0 sent;5
g(t)
15t;015t10;5t
10t5;0
5t0;1t
f(t)
4.) Encuentre el período de las siguientes gráficas y halle la transformada de Laplace de
cada una de ellas:
a)
b)
c)
d)
≥
<≤−<≤
<≤
=
9t;0
9t6;20 6t3;10
3t0 ;5
h(t)
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- 67 -
5.-) Encuentre las transformadas inversas de Laplace de las siguientes funciones:
( )
( )
( )
( )( )
( )
2s3s
se)S(F
s
e)S(F
1s
1)S(F
2s1s
11s15s5)S(F
;)3s)(2s(1s
4s2)S(F
;1ss
1)S(F
;
s
11ln)S(F
;as
s)S(F
;3s2
1)S(F
;3s2s
7s3)S(F
;16s8s
2s4)S(F
20s4s
4s6)S(F
;s
1)S(F
;3s
1)S(F
;2s
s)S(F
;
s
1)S(F
;9s
1)S(F
2
s2
2
s2
5
3
2
2
23
2
222
2
2
2
2/3
2
2
4
2
++=
=
+=
−+
−−=
−−+
−=
+=
+=
+=
+=
−−
+=
++
+=
+−
−=
=
−=
+=
=
+=
−
−
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( );
5s2ss
2)S(F
;1s
9sln)S(F
;1s
1sln)S(F
);1scot(ar)S(F
;25s6s
se4)S(F
;4s
36s40s3s3)S(F
;1s
1)s(F
;4s
s)s(F
;1s2s
1)s(F
;3ss
2s)s(F
;1ss
1)s(F
;bs
asln
s
1)s(F
1s
2sln
s
1)s(F
;1s
2sln)s(F
2s2s
1s)s(F
5s2s
e)S(F
22
2
2
2
2
2
s2
22
23
32
22
2
5
2
3
22
22
22
2
s2
+−=
+
+=
−
+=
+=
+−=
−
+−−=
+=
+=
−+=
+
+=
+=
+
+=
+
+=
+
+=
++
+=
+−=
−
−
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- 68 -
6.-) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de
Laplace:
( )
2;y(0) (t)y'
y(t)
10)y( sent;-y(t)(t)y'
0;(0)y' 1,y(0)y 2y' ' ty'
2;(0)y' 1,y(0)y ty' ' y'
0 )( y' 1,y(0)' ty'
(0)y' y(0)y ' y' -2 (0)y' 1,y(0)y ' y'
9(0)y' 1,y(0)tey' ' y'
-4(0)y' 5,y(0)10y 7y' ' y'
t
0
t
0
t
0
t
==θθ−
+=θθ−θ+
=−=θθ−θ+
===+−
===+−
=π==++
==π−δ+π−=+==π−−=+
=−==+
==+=+−
∫
∫
∫
θ− ;tde)(y2) j
;3td)t)((y)i
d)t(sen)(y)h
;2t)g
;1)f
;;0ty'ty2)e
.0);2t(e)t(u44)d);2t(ut2sen3t2sen3)c
;25)b
;sent7tcos9)a
t
32
t2
7.-) En los siguientes problemas utilice el método de eliminación para encontrar la
solución general del sistema lineal dado, donde x’, y’, z’ denotan diferenciación con
respecto a t.
8.-) En los siguientes problemas utilice el método de los operadores diferenciales para
encontrar la solución general del sistema lineal dado:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
0 (0)y' (0) x' x(0) , 2 y(0)
2 (0) x' 1, x(0) : dadas
====
=++−
=−+
=++−
−=−++
==
=+++−
=+++−
;0y2Dx
;0yx2D)c
;tcos4y2Dx3D
;senty1Dx2D)b
;ey4D4DxD2D
;tyD2Dx4D4D)a
2
2
t22
22
9.-) En los siguientes problemas utilice el método de la transformada de Laplace para
encontrar la solución general del sistema lineal dado:
=++−
=−+
−−=
+−=
;02''
;045''
)
;cos4'
;23' )
y y x
y x x
e
t y x y
sent y x xd
0; z(0)(0)y' y(0) 0; y 2z' ' y'
===
=++
=+−− ;sentz2y2'z'y)a
0; (0)' z' 4, z(0)
2; (0)y' -1,y(0)
-1. z(0)1,y(0)
===−
==−=+−
==
=−
−=++
−
−
−
;sent'z''ty
;tcos3te''z3''y3)c
;ez'y
;e)1t('tzzty)b
t
t
t
=++
=−+
−=
=
1;y y' x'
;5x'y'x)b
;yx2'y
,y3'x)a
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- 69 -
10.-) En los siguientes problemas utilice el método de los valores y vectores propios
para encontrar la solución general del sistema lineal dado:
−
−=
−=
=−−
=++
=
−
−
=
6
10,'X
12
36)c
;0y3x5'y2
;0)b
2
0
1
,X
122
212
221
)a
X(0) X
5y 3x 2x'
X(0) X'
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
1) Una masa de 100 gramos esta sujeta a un resorte de acero de longitud natural igual a 50 cm. Elresorte se alarga cuando se le agrega esta masa. Si la masa se pone en movimiento con una
velocidad de 10cm/s, determine el movimiento subsiguiente. (Desprecie la resistencia del aire)
2) Un circuito mecánico vibratorio compuesto de un resorte de constante K=4 N/m. Unamortiguador de constante e=6 Ns/m, tiene adherido una bola metálica de 20 N de peso.Determine la forma en que vibra la masa si inicialmente esta en la posición de equilibrio y sinvelocidad inicial, y si desde el tiempo t=0 actúa sobre una fuerza perturbadora periódica definidaasí:
[
[4).-f(t f(t)
2,4)t 100t -400
0,2)t =
∈
∈= ;
;t100)t(f
3) Un resorte se estira 50cm con una fuerza de 2 Newton. El resorte en referencia forma parte de unsistema m-c-k el cual tiene una masa de 1 Kg, y un amortiguador con una constante c = 4N.m/s. Si
la masa es puesta en movimiento desde su posición de equilibrio y sin velocidad inicial con unafuerza perturbadora de 20 Newton que actúa los primeros 5 segundos y luego cesa durante 5segundos, y luego crece linealmente hasta 10 Newton durante 10 segundos, para nuevamente cesardefinitivamente. Determine la forma en que vibra la masa.
a) ¿Cuál es la posición de la masa a los 2 segundos y a los 8 segundos?
4) Un inductor de 0.5 henrios es conectado en serie con una resistencia de 6 ohmios y uncondensador de 0.02 faradios. Inicialmente el condensador no tiene carga. Si el sistema esperturbado por una fuerza electromotriz de 12 voltios en el intervalo de tiempo.2< t < 8 (seg), y luego por un voltaje instantáneo de 24 voltios en el instante t= 15 seg, determine:
a) La carga acumulada en el capacitor en el tiempo t= 6 seg.
b) La intensidad de corriente que atraviesa el circuito en el tiempo t= 10 seg.
Este documento fue creado con fines académicos, de apoyo para los estudiantes politécnicos.
Agradecimiento: Agradezco a Dios por haberme dado fuerza, paciencia para la elaboración de esta obra. A mi profesora de esta materia, Yadira Moreno. Y a los profesores a los que colaboré en la materia como ayudante
de cátedra puesto que ellos fueron los que me dieron su confianza y apoyo para impartir las clases y compartir el conocimiento, los cuales pongo a continuación:
Janet Valdiviezo, Eduardo Rivadeneira, Fernando Sandoya, Enrique Bayot, Félix Ramírez.
Dedicado a todos mis compañeros politécnicos. Roberto Cabrera Velasco.
5/9/2018 transformada de laplace - slidepdf.com
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Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
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Referencias
Zill, Dennis G. (2006). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Segunda edición.Grupo Editorial Iberoamérica
Nagle Kent, Saff Edward, Zinder Arthur, Ecuaciones Diferenciales y Problemas con
Valores en la Frontera, Editorial Addison –Wesley Iberoamericana, 2001.
William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Ecuaciones diferenciales y problemas con
valores en la frontera, 4a ed. México, Limusa, 1998