UNITAT 3. TRIGONOMETRIA3.1 RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE3.2 CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA3.3. REDUCCIÓ AL PRIMER QUADRANT3.4. RELACIONS ENTRE LES RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE QUALSEVOL3.5. FÓRMULES D´ADDICIÓ

UNITAT 3. TRIGONOMETRIA

3.1. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE

Podem calcular les raons trigonomètriques no sols dels angles aguts d’un triangle rectangle, sinó que ho podem fer de qualsevol angle comprès entre 0º< α < 360º

Començarem amb l’obtenció de les raons trigonomètriques d’un triangle rectangle dins del primer quadrant de la circumferència.

3.1. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE

A partir de l’obtenció de les raons trigonomètriques d’un angle agut podem obtindre les de qualsevol angle situat dintre la circumferència, és a dir, que es trobe entre 0 i 360º

Dintre del segon quadrant quedaria:

3.1. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE

Dintre del tercer i quart quadrant quedaria:

3.1. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE

3.1. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE

Exemple 1. En una circumferència de radi 4 cm, situem els punts P1, P2, P3 i P4. Troba els valors de les raons trigonomètriques de cadascun dels angles.

3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA

Si dibuixem dues circumferències concèntriques i dos angles α i β es pot comprovar que les raons trigonomètriques no depenen del radi de la circumferència.

Considerant que els triangles OPQ i OP’Q’

són semblants, ja que es troben en posició

de Tales, és fàcil comprovar que els seus

costats són proporcionals:

D´aquí podem traure:

Queda demostrat que el sin, cos i tan no depèn del radi, sinó de l´angle.

3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA

Amb aquesta demostració podem representar les raons trigonomètriques de qualsevol angle inscrit dintre de la circumferència trigonomètrica o goniomètrica, que és aquella que té com a radi la unitat.

Si r=1, sinα =Y/r= Y; cos α= X/r=X

D’ aquesta manera, el punt:

P(x,y)= (cos α, sin α), sempre que

la circumferència tinga radi=1

3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA

De manera semblant amb com ho hem fet per al primer quadrant podrem obtenir les diferents raons trigonomètriques les angles situats als quatre quadrants.

3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA

Si tenim la següent circumferència trigonomètrica, de radi 1, calcula les raons trigonomètriques en els punts marcats (sense utilitzar la calculadora)

3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA

Si ens fixem podem traure els signe de cadascuna de les raons trigonomètriques, segons el quadrant en que és trobe l´angle:

Si 0º< α < 90 sin augmenta de 0 a 1, cos disminueix de 1 a 0 i la

Si 90< α < 180 sin disminueix de 1 a 0, cos disminuiex de 0 a -1 i

Si 180< α <270 sin disminueix de 0 a -1, cos augmenta de -1 a 0

Si 270< α < 360 sin augmenta de -1 a 0, cos augmenta de 0 a 1

3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA

3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA

Exercici. Troba la resta de raons trigonomètriques, si:

3.3. REDUCCIÓ AL PRIMER QUADRANT

Les raons trigonomètriques de qualsevol angle dintre de la circumferència es pot expressar com les raons d’un angle del primer quadrant. D’aquesta manera:

Un angle del segon quadrant el podrem expressar com 180º- α, sent α un angle del primer quadrant.

sin (180º- α) = sin α

cos (180º- α) = -cos α

tg (180º- α) = -tg α

Exemple: sin 130 = sin 50

3.3. REDUCCIÓ AL PRIMER QUADRANT

De la mateixa manera un angle del 3er quadrant el podem representar com un del 1er quadrant, si fem 180 + α

sin (180º+ α) = -sin α

cos (180º+ α) = - cos α

tg (180º+ α) = tg α

Cos (215º)= - cos (35º)

3.3. REDUCCIÓ AL PRIMER QUADRANT

De la mateixa manera un angle del 4at quadrant el podem representar com un del 1er quadrant, si fem 360 – α

Sin (360 – α) = Sin (- α) = - Sin α

Cos (360 – α) = Cos (- α) = Cos α

tg (360 – α) = tg (- α) = - tg α

Tg ( 295) = tg (295-360) = tg (-65) = - tg 65

3.3. REDUCCIÓ AL PRIMER QUADRANTSi dos angles són complementaris, α i β, tenim:• Sin α = Cos β• Cos α = Sin β

Per tant:

Sin 75 = Cos 25

Cos 35= Sin 55

La circumferència la podrem expressar també en radians (unitat de mesura d´angles al igual que els graus). Tota la circumferència mesura 2π radians.

75º= (75· 2π)/360= 0.417 π rad.

4 π/3 rad = (4/3·360)/2= 240º

Graus 90 180 270 360

Radians π/2 π 3π/2 2π

3.3. REDUCCIÓ AL PRIMER QUADRANT

3.4. RELACIONS TRIGONOMÈTRIQUES D’UN ANGLE QUALSEVOLSi coneguem qualsevol de les tres raons trigonomètriques existents (sin, cos i tg) podem calcular les altres dues raons trigonomètriques que ens falten.

3.4. RELACIONS TRIGONOMÈTRIQUES D’UN ANGLE QUALSEVOLCada valor de les raons trigonomètriques el podem posicionar en dos quadrants diferents, teniu que fixar-se en el signe de la raó que us donen i en els signes que prenen les raons trigonomètriques en cada quadrant de la circumferència.

Quadrant

1er 2on 3er 4at

Sin + + - -Cos + - - +Tg + - + -

3.4. RELACIONS TRIGONOMÈTRIQUES D’UN ANGLE QUALSEVOL

3.4. RELACIONS TRIGONOMÈTRIQUES D’UN ANGLE QUALSEVOLCalcula la resta de raons trigonomètriques i els angles als que pertanyen aquestes raons trigonomètriques:

a) Cos α =0,5 0< α<90

b) Sin α = -0,75 180< α<270

c) Tg α = -1,5 270< α<360

d) Cos α = -0,65 90< α<180

e) Sin α = 0,20 90< α<180

f) Tg α = 2,3 0< α<90

3.5. FÓRMULES D´ADDICIÓ

Si ens demanen que obtinguem el sin 55º per mitjà de les raons trigonomètriques de dos angles A i B la suma dels quals siga 55º. No podem fer:

Cos (55) = Cos (30+25)= Cos 30+ Cos 25, perquè ens donarà un nombre superior a 1, i ni el sinus ni el cosinus poden ser superiors a 1 o -1.

Per aquesta raó necessitem l’utilització de les fórmules d’addició.

1. Cosinus de l´angle diferència

2. Cosinus de l´angle suma

3.5. FÓRMULES D´ADDICIÓ

3. Sinus de l´angle suma

4. Sinus de l´angle diferència

5. Tangent de l´angle suma

6. Tangent de l´angle diferència

3.5. FÓRMULES D´ADDICIÓ

RAONS TRIGONOMÈTRIQUES DE L´ANGLE DOBLE

3.5. FÓRMULES D´ADDICIÓRAONS TRIGONOMÈTRIQUES DE L´ANGLE MEITAT