Post on 05-Oct-2015
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TRIGONOMETRA
ANGULO .- Se determina rotando un rayo con respecto a su extremo. La posicin de inicio se llama lado inicial del ngulo y la posicin despus de la rotacin es el lado terminal. El extremo del rayo es el vrtice del ngulo ANGULO EN POSICIN ESTANDAR .- El vrtice coincide con el origen de coordenadas y su lado inicial con la parte positiva del eje de abscisas ( eje X ).
ANGULOS POSITIVOS .- S e genera por rotacin contraria a las manecillas del reloj.
NOTACION .- Se nombran utilizando letras del alfabeto griego , , , , , , etc. O letras maysculas del alfabeto espaol: A , B , C , etc.
ANGULOS COTERMINALES.- Cuando el lado terminal de A es el lado inicial de B y el lado inicial de A es el lado terminal de B
MEDIDA ANGULARRADIAN.- Un radin es la medida de un ngulo central ,que subtiende un arco , s ; de igual longitud que el radior , de la circunferencia , es decir :
= s / r . El ngulo se mide en radianes .s = r ( longitud de arco )
NOTA. Un ngulo central de una revolucin completaCorresponde a la longitud de arco igual a s = 2r , adems 2 6. 28La longitud de una circunferencia es un poco ms de seis veces su radio .
Luego = 2 radianes = 2 rad.
De donde : revolucin = 2/2 = radianes revolucin = 2/4 = /2 radianes1/6 revolucin = 2 /6 = /3 radianes ,
MEDIDA EN GRADOSGRADO .- Un grado ( 1 ) es equivalente a una rotacin de 1/ 360 de una rotacin completa , con respecto al vrtice .
Una revolucin completa en sentido positivo corresponde a 360, entonces
2 rad. = 360 , y , 180 = rad.
, y ,
0180270900I cuadrante II cuadranteIII cuadranteIV cuadrante
CIRCULO TRIGONOMETRICO Sea la circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio 1 , cuya ecuacin es x + y = 1
Si cada nmero real positivo ,t, corresponde a un punto M(x,y ) de la circunferencia , Ejm. t =0 , , t = 2 corresponden al punto ( 1, 0 ) t = /2 corresponde a ( 0,1) , etc
En general, cada nmero real , t, correspondeA un ngulo central ( en posicin estandar) cuya medida, en radianes, es t .
La longitud del arco AM ,es : s = r ( r = 1 ) indica que el nmero real ,t, es la longitud del arco subtendido por el ngulo , dado en radianes.
Las coordenadas x e y son dos funciones de la variable real t . Se pueden emplearEstas coordenadas para definir las funciones trigonomtricas
XYoM(x,y)A(1,0)(0,1)(-1,0)(0,-1)Br
RAZONES TRIGONOMTRICAS
oBMAN11r =1Fig. 1Fig.2En Fig.1 En Fig. 2
SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS
CuadranteAnguloSenCosTanCotSecCosecI0< < 90++++++II90< < 180+----+III180< < 270--++--IV270 < < 360-+--+-
EJEMPLOS
VARIACION DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS
Las razones trigonomtricas varan de acuerdo a los valores del ngulo en los intervalos que se indican :-1 sen 1
-1 cos 1
- < tan < +
- < cot < +
< sec - 1 1 sec < +
< cosec - 1 1 cosec < +
OBSERVACIONES:
Si el ngulo es negativo el valor de las razones trigonomtricas se reduce a los valores de la razn de un ngulo positivo segn las relaciones :sen( - ) = - sen ( )
cos ( - ) = cos ( )
tan ( - ) = - tan ( )
cot ( - ) = - cot ( )
sec(- ) = sec ( )
cosec ( - ) = - cosec ( )
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS NGULOS DE 30 , 60 y 45En el tringulo equiltero ABC cuyo lado es 1. CD es la altura y mide del tringulo rectngulo ADC , se tiene sen 30 = sen , cos 30 = cos , tan 30 = tan
sen 60 = sen , cos 60 = cos , tan 60 = tan
SEN 30 = COS 60 = , por que los ANGULOS son COMPLEMENTARIOS
2) En el cuadrado ABCD de lado 1 , AD es la diagonal cuya longitud es
Sen45 =
Cos45 =
Tan 45 = 1
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES
FORMULASFormulas de la suma y diferencia :
1.sen( ) = sen cos cos A sen cos ( ) = cos cos sen sen
3.
4
Frmulas para ngulo doble1. Sen 2 = 2 Sen . Cos 2. Cos 2 = Cos - Sen
Observacin .- cos 2 = cos - sen = (1 - sen ) sen = 1 2 sen , cos 2 = cos - sen = cos - ( 1 cos ) = - 1 + 2cos , De all que,
5. sen = 6. cos =
3.
4.7.
CONVERSIN DE PRODUCTO A SUMAS O DIFERENCIASCONVERSIN DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO
VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS PARA NGULOS MULTIPLOS DE 30 (/6 ) , 45 (/4) y 60 ( / 3 )
TAREA : LLENAR EL CUADRO CON LOS VALORES CORRESPONDIENTES
Funcin30/645/460/390/21202 /31353 /41505 /61802107 /62404 /32703 /23005 /33602 sen cos tan
cot sec Cosec
LEY DE SENOS ABCabchABCabchA es agudo A es obtuso
Ley de coseno