Post on 02-Oct-2018
I.E.S. Ram
Cipri
1. FUN
Las funcio
donde a y b Si
recibe el no Por último
recibe el no Geométricbasta con c
Recuerda t Ejercicios1. Rep
1f
2. Rep
1f
Algunas pr
-
0 y b a
f
món Giraldo
F
NCIONEnes afines s
b son núme
, enton
ombre de fu
, la función
ombre de fu
camente esconstruir un
también que
: presenta las
2 3x x
presenta las
x x
ropiedadesDominio:
0a
f x x
FUNC
ES AFIson funcion
eros reales n
nces la func
unción linea
n
unción cons
stos tres tipna tabla de v
e todas las f
s siguientes
2f
s siguientes
2f x x
s de las func
2
,
UIONES
INES, Les de la form
f
f
no nulos.
ción
al.
stante.
pos de funcvalores (con
funciones lin
funciones s
3
2x x
funciones y1
ciones afine
Unidad S ELE
LINEALma
:f
f x ax
:f
f x ax
:f
f x b
ciones repren dos valore
neales pasa
sobre unos m
3f
y establece l 3f x x
es, lineales y
2f x x
9: MENT
LES Y C
b
esentan reces).
n por el orig
mismos ejes
3 1f x
la relación q2x
y constantes
Dpt
TALES
CONST
ctas en el p
gen de coor
s:
que hay entr
s son:
Ma
to. de Matem
S
TANTE
plano. Para
rdenadas.
tre ellas:
2f x
temáticas I
máticas 1
ES
dibujarlas,
,
I.E.S. Ram
-
-
- Sobre la estrictamen
2. FUN
Son funcio
donde Geométricpasos:
1)
2) Secutam3) Svalo
Recuerda qabajo (es c
Ejercicios3. Rep
a)
, ,a c
món Giraldo
Imagen o r
Monotonía
Extremos r
notación: nte decrecie
NCIONEones de la fo
camente re
Se calcula
Se calculan uación mbién el punSólo se aplores a la izq
que la parábcóncava) cua
: presenta las
2 2y x x
, y b a
2ax
recorrido:
a:
relativos: N
indicente.
ES CUAorma
.
epresentan
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los puntos
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s siguientes 3x
Afines
Const
0
,v vV x y
0bx c
0a
y x
Funcion
Afines y
Constant
o tienen
ca que la
ADRÁT
parábolas,
de corte co. Si queremcon el eje O
hemos podidvértice y otr
bierta hacia.
funciones c
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antes: Com
:f
f x
donde v
x
y
2x
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función e
TICAS
para cuya
on el eje OXmos que laOY. do usar 2). tros dos a la
a arriba (es
cuadráticas:c) 2y x
si
mo su nombre
a
2x ax bx
2v
v v
bx
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= ,
s estrictam
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Se construa derecha de
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2 3x
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mente crecie
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0a
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Ma
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0
temáticas I
2
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e resolver laalcularemos
res con dos
bierta hacia
2
s
s
a s
s
a
I.E.S. Ram
Cipri
b)
4. Rep
1f
5. Rep
a)
b)
c)
3. FUN
Para su reptrozos (“en
Ejercicios6. Rep
a)
b)
c)
7. Unadiarios dep
1) Dar la eprecio del el precio d
món Giraldo
22 1y x
presenta las 2
2, x x f
presenta las2 6y x x
2 3y x 2 4 y x
NCIONEpresentaciónn su dominio
: presenta las
f x
x
f xx
a compañía
pende del pr
expresión qbillete. 2) ¿el billete qu
2
xf x
16
f xx
10 8x
s siguientes 2
2 2x x
s siguientes 1 para x x
3 para x x
para x
ES DEFn gráfica bao”).
s siguientes
2
2
2 si
1 2 si
2 si
x x
x
x x
2
2
4 3
2
x x
x
a de autoburecio del bil
que nos pro¿Qué ingresue hace máx
2 si
2 si
x
x
2
2
6
x
funciones c 32, f x x
parábolas e
1,6
0, 4
, 2 2,
FINIDAasta con hac
funciones d
i 0
i 0 1
i 1
x
x
x
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uses interurllete (p) seg
N oporciona loso diario se ximo los ing
2
2
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x
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d) 21
3y x
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41 y x f
en el domini
,
AS A TRcer la corres
definidas a t
rbanos ha cgún la expre
p 300 os ingresos obtiene si
gresos diario
2
3
3x
y establece 2x x
io que se in
ROZOSspondiente r
trozos:
comprobadoesión:
6p
diarios (I) el precio deos? 4) ¿Cuá
f
Dpt
la relación
dica:
S representaci
o que el nú
de esa comel billete es áles son eso
21
4x x
Ma
to. de Matem
que hay en
ión de cada
úmero de v
mpañía en f15 euros?
os ingresos m
2 2 1x
temáticas I
máticas 3
tre ellas:
a uno de los
viajeros (N)
función del3) ¿Cuál esmáximos?
3
s
)
l s
I.E.S. Ramón Giraldo Matemáticas I
Funciones elementales 4
8. La altura en metros, H, que alcanza una pelota lanzada verticalmente hacia arriba, viene dada en función del tiempo en segundos por la expresión: H t 20t 2t 2 .
1) ¿Qué altura habrá alcanzado a los tres segundos? 2) ¿En qué momentos alcanzará 32 m de altura? 3) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? ¿Dónde?
9. En un estudio sobre el coste de producción de una empresa de ordenadores, se ha concluido que producir unidades de un determinado componente tiene un coste expresado por la función
. La venta de unidades de ese componente proporciona unos ingresos que
vienen determinados por la función , siendo el número de unidades
producidas. a) Calcular el número de unidades que deben producir para que los costes sean mínimos. b) Hallar la expresión, en función de , de los beneficios, suponiendo que se venden todas las unidades que se producen. c) Calcular el número de unidades que deben producir y vender para que los beneficios sean máximos.
10. El precio, en euros, que la acción de una empresa alcanza en el transcurso de una sesión de bolsa, viene dado por la función
en donde es el tiempo en horas a contar desde el inicio de la sesión. Supongamos que la sesión comienza a las 10 de la mañana y finaliza 7 horas después. Se pide: a) ¿Entre qué horas el precio de acción sube? b) ¿Entre qué horas el precio de la acción baja?
c) ¿A qué hora el precio de la acción alcanza un máximo relativo? ¿Cuál es ese valor? d) ¿A qué hora el precio de la acción alcanza un mínimo relativo? ¿Cuál es ese valor? e) ¿A qué hora el precio de la acción alcanza su valor más grande? ¿Cuál es ese valor?
11. El consumo de agua de un colegio viene dado por la función:
en donde t es el tiempo en horas a contar desde la apertura del colegio y f(t) es el consumo en m3. Se supone que la jornada escolar comienza a las 10 horas y finaliza a las 13,5 horas. Se pide:
1) ¿Cuándo el consumo de agua es creciente? ¿Cuándo el consumo es decreciente? 2) ¿En qué momento el consumo es máximo y en qué momento es mínimo?
4. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
Son funciones de la forma
donde k es un número real no nulo. Geométricamente representan hipérbolas equiláteras cuyas asíntotas son los ejes coordenados:
x
20,01 1f x x x x
6 0,25g x x x x
x
3 240 420 1200 200p t t t t t
3 2
0 0
( ) 0,1 0,675 1,35 0 3,5
0 3,5
si t
f t t t t si t
si t
: 0 0
f
kf x
x
I.E.S. Ramón Giraldo Matemáticas I
Cipri Dpto. de Matemáticas 5
* Asíntota horizontal:
* Asíntota vertical: Ejercicio: 12. Representa las siguientes funciones de proporcionalidad inversa:
a) 1
yx
c) 1
2y
x
b) 1
yx
d) 1
32
yx
5. FUNCIONES RACIONALES ESPECIALES
Son funciones de la forma
donde . Para su representación gráfica (que es una hipérbola equilátera) construiremos una tabla de valores y a partir de ella deduciremos sus propiedades. Estas gráficas poseen las siguientes asíntotas:
* Asíntota horizontal:
* Asíntota vertical:
Ejercicio: 13. Representa las siguientes funciones racionales:
a) 3 2
1
xy
x
d)
4 3
1
xy
x
b) 1
1
xy
x
e)
1
1
xy
x
6. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO DE UNA FUNCIÓN
La función valor absoluto de una función , se define por:
Para su representación gráfica usaremos cualquiera de los siguientes dos procedimientos:
(1) Representar y los trozos de curva que estén en la parte negativa del eje OY
ponerlos positivos (mediante sus simétricos)
(2) Escribir la función como una función definida a trozos, y representar cada
uno de los trozos correspondientes.
0y
0x
ax b d
f x xcx d c
, , ,a b c d
ay
c
0d
cx d xc
f x
si 0
si 0
f x f xf x
f x f x
f x
y f x
I.E.S. Ram Ejercicio: 14. Rep
a)
b)
c)
d)
7. TRA
Este es un
de algunas
Seguiremo
(1º) Se rep
(2º) Trasla Nue
(3º) Trasla Nue
(4º) Si nue
món Giraldo
presenta las
4
x
f x x
ASLACIprocedimie
funciones b
os los siguie
resenta la fu
ciones vertiestra funció
ciones horizestra funció
stra función
3
f x
( )
x
f x x
( )
2
f x
x
h
h
0
0
k
k
s siguientes
2
2 si
2 si 0
si
x x
x
x
IONESento para rep
básicas
entes pasos:
función bási
icales: ón será de la
zontales: ón será de la
n es de la fo
213
3x
2
1
1
2
x si
x si
si
2
2
1
4 3
x
x x
(y
0 trasla
0 trasla
traslada
traslada
Funcion
funciones:
0
0 3
3
x
x
x
S DE FUpresentar de
ca (
a forma
a forma
orma
0
0 2
2
x
x
x
3
3
0
si x
si x
si x
2, , x y x y
, y x y
f x
adamos u
adamos u
h
h
f x
amos unid
amos unid
k
k
f x
nes element
UNCIONe forma ráp
. Pue
. Pue
, segu
3
0
1,...)y
x
2 , y x y
x h
unidades la g
unidades la g
x k
dades la gráf
dades la gráf
h k
tales
NES pida muchas
) que n
s bien, si
s bien, si
uiremos los
1,...
x
gráfica de
gráfica de
f
f
fica de ( )
fica de ( )
f x
f x
s funciones,
notaremos p
s pasos ante
( ) hacia ar
( ) hacia ab
f x
f x
) hacia la izq
) hacia la de
Ma
, conociend
por
eriores, en e
f x
rriba
bajo
quierda
erecha
temáticas I
6
do la gráfica
se orden
6
a
I.E.S. Ram
Cipri
Ejemplo: R
8. FUN
■ Logaritm
El logaritm
para que dé
Los logarite se llaman Propiedade 1)
2)
3)
Transform
4)
Otras prop
1 Actualmen
neperiano.
l
l
l
l
món Giraldo
Representar
NCIONEmo de base
mo en base
é dicho núm
tmos de basn neperiano
es:
ación de log
iedades:
nte, esta notac
loga MN
loga
M
N
log ma N m
lnlog
lna N
ES LOGe
mero:
se 10 se llams o naturale
garitmos:
ción está en
y x
a
0 y a
log la M
log loa M
log am N
n
n
N
a
GARÍT
de un n
man decimaes y se repre
desuso y se
21 2
1
loga N
loga N
og siema N
m
Paso 1º
2º
3º
4º
TMICAS
número N e
ales1 y se repesentaban po
utiliza la not
xN x a
mpre que N
os: º)
º)
º)
º)
S
s el expone
presentabanor o L.
tación p
2y x
1y x
y x
y x
x N
ln
0
log
Dpt
ente al que h
n por log, y
para represen
21
21
21 2
Ma
to. de Matem
hay que ele
los logaritm
ntar el logarit
temáticas I
máticas 7
evar la base
mos de base
tmo natural o
7
e
e
o
I.E.S. Ram
5) L
6) cua
■ Función
Propiedade
1)
2)
3) 4)
5)
6)
Ejercicio: 15. Rep
a) y
b) y
log
món Giraldo
Los logaritm
Conocidos alquier otra
n logaritmo
es: Dom
Img
Continua yBiyectiva,
Curvatura:
presenta laslogy x
10logy x
g : 0,
la
x
loga
loga
liSi 1
li
liSi 1
li
x
x
x
x
a
a
mos de un n
los logaritbase.
o de base
y estrictameluego tiene
s siguientes
a
loga x
0,
0
0
im log
im log
im log
im log
a
a
a
a
x
x
x
x
'
''
f xx
f x
Funcion
número en d
tmos en un
nte monótoinversa que
funciones lc) y d) ly
0 y 1
2
1log
1log
a
a
ex
ex
nes element
dos bases inv
na base ma
ona (creciene es la funci
ogarítmicaslog x
1
2
log x
es f x
tales
versas
ayor que 1
nte si yión exponen
s:
y a
1a
convexa s
cóncava s
son opu
se pueden
y decrecientncial de bas
1
a
si
si
a e
a e
Ma
uestos.
n hallar fác
te si ) se .
1a a
temáticas I
8
cilmente en
8
n
I.E.S. Ram
Cipri
9. FUN
■ Dos func
Propiedade
1) D
2) I
3)4) 5)6)7)
8)
9)
10)
1) D
2) I
3) 4) 5) 6) 7)
8)
9)
10) ■ Dos func
f
g x
f
f
f
f
f
lx
f
g
g
g
g
g
lx
g
f
g
món Giraldo
NCIONEciones expo
es: Dom
Img
está acotano es par
es continues estrictano tiene ex
) es sobrey
Dom
Img
está acot no es pares continu es estrict no tiene
) es sobre
ciones expo
2
1
2
x
x
x
x
f
f f
f
f
f
f
lim f x
1 logf x f
g
g g
g
g
g
g
lim g x
1 logg x
g
(do
10
x
x
x e
x
ES EXPonenciales
da inferiormni impar
ua amente crecixtremos rel
yectiva y co
tada inferiorr ni impar ua tamente decextremos re
eyectiva y c
onenciales
+
0 y limx
2g x
+
y limx
1
2
g x
1nde ln f
PONEN
mente, pero
iente y por tativos
omo consecu
rmente pero
creciente y pelativos
como consec
especiales
m f x
m 0g x
: xf e y
NCIALE
no superior
tanto inyect
uencia, es b
o no superio
por tanto iny
cuencia, es
0
ln )x y
ES
rmente
tiva (luego t
biyectiva
ormente
yectiva (lue
biyectiva
Dpt
tiene invers
ego tiene inv
Ma
to. de Matem
sa)
versa)
temáticas I
máticas 99
I.E.S. Ram
Propiedade
1)
2)
3) 4) 5)
6)
7)
8)
■ Función
Propiedade
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Ejercicio: 16. Rep
:
f
f
món Giraldo
es: Dom
Img
son est son
son
n Exponenc
es: Dom
Img
es contin
Curvatura:
presenta las
f
f y f g
y f g
y f g
limx
f x
y f g
1 lnf x
0,
:=xf x a e
f
f 0 1 yf
f x y f
es estricf
Para 0
Para 1
a
a
Dom
Img
n estrictametán acotadasn continuas
n sobreyect
cial
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s siguientes
g
g
limx
g x
n y x g
ln con x ae a
y 1f a
f x f y
cctamente
d
1 se tien
1 se tiene qu
a
es cof x
Funcion
ente creciens inferiorme
ivas y por t
funciones e
0 y limx
1 logg x
0 y a a
x ya
creciente si
decreciente s
a
limne que
lim
limue
lim
x
x
x
x
f
f
onvexa
nes element
ntes y comoente pero no
tanto, biyect
exponencial
m lx
f x
g x
1
x ya a
1
si 0 1
a
a
m 0
m
0
f x
f x
x
x
tales
consecuenco superiorm
tivas
les:
lim g x
cia inyectivmente
Ma
vas
temáticas I
100
I.E.S. Ram
Cipri
a) y
b) y
10. FU
■ Función
Propiedade
1)
2) 3)
4)
5)
6)
7)
8)
■ Función
sen
cos
món Giraldo
1
2
x
y
2xy
NCIONn seno
es: La función
Es continu
Es pe
Tiene máx
Cortes con
tal que
n coseno
n : 1,
sen x x
sen 1 x
2
sen es estri
sen : ,2
1sen
sen
s : 1,
cosx x
NES TR
n seno es im
a , e
eriódica:
imos relativ
n el eje OX:
Función sen
1x
x sen
ictamente
1,12
arcsen :
n arcsen x
1x
c) y e
d) y e
RIGONO
mpar:
es decir, est
vos en
biyectiva
no
sen
n 2x
creciente en
decreciente
2
conx k
1
1,12
arcsenx
xe
xe
OMÉT
tá acotada
y m
a
sen x x
sen x
3n 2
2
e en 22
2 ,1k
n k
,2 2
n sen x
RICAS
mínimos rel
Fun
1 ,2
3, 2
2
k
k
Dpt
S
lativos en
nción arco sen
2 k
k
Ma
to. de Matem
no
32 ,
2k
temáticas I
máticas 11
. 1
I.E.S. Ram Propiedade
1)
2) 3)
4)
5)
6)
7)
8)
■ Función
Propiedade
1) La
2) Es 3) No 4) Es
5) Cor6) 7) No
8)
tg :
tg
tg :
món Giraldo
es: La función
Es continu
Es pe
Tiene máx
Cortes con
n tangente
es: función tan
continua está acotad
periódi
rtes con el e
tiene extrem
cos 1 x
2
cos es estri
cos : 0,1cos
:
tg
k
x x
es estrictam
: ,2 2
x
n coseno es p
a , e
eriódica:
imos relativ
n el eje OX:
b
Func
ngente es im
da ni superioica:
eje OX:
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biyec
x co
ictamente
1,1
arccos :
:2
k
tg x x
mente crecie
tg x
Funcion
par:
es decir, est
vos en
biyectiva
ción coseno
mpar:
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os
ctiva
cos x
s 2x
creciente en
decreciente2 k
2x k
1,1 0,
cos arc
tg x
tg x con k k
ente
tg
nes element
tá acotada
y mínim
tal que
o
ormente
cos x x
cos x
n 2 1
e en 2 ,
k
k
,1k
con k k
ccos x x
tg x x
1g arctg :
tales
mos relativo
Fu
, 2
2 1
k
k
arccos co
,2
os en
unción arco
tal que
2k
os x
2
Ma
.
coseno
1 , 1k
temáticas I
122
I.E.S. Ram
Cipri
Ejercicio: 17. Rep
Función se
Completa decimales.
x
0º
0
y
x
195
13
12
y
Función co
Completa decimales.
x
0º
0
y
món Giraldo
Func
presenta las
eno: sey
la siguient
15º
12
5º 210º
2
7
6
oseno: y
la siguient
15º
12
ión tangent
s funciones c
en x
te tabla (x
30º 45º
6
4
225º 240º
5
4
4
3
cos x
te tabla (x
30º 45º
6
4
e
circulares
viene dad
60º 7
3
5
º 255º 2
17
12
3
viene dad
60º 7
3
5
tg arctg
da en grado
75º 90º
5
12
2
270º 285º
3
2
19
12
da en grado
75º 90º
5
12
2
g arcx x
Fun
os sexages
105º 12
7
12
2
3
300º 3
5
3
7
os sexages
105º 12
7
12
2
3
ctg tg x
Dpt
nción arco t
imales y e
20º 135º
3
3
4
15º 330º
7
4
11
6
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temáticas I
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14
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temáticas I
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5º 180º
2
60º
6
I.E.S. Ramón Giraldo Matemáticas I
Cipri Dpto. de Matemáticas 17
Problemas: 1. La factura del gas de una familia, en septiembre, fue de 24,82 euros por 12 m3, y en octubre, de 43,81 por 42 m3.
a) Escribe la función que da el importe de la factura según los m3 consumidos y represéntala. b) ¿Cuánto pagarán si consumen 28 m3?
2. La dosis de un medicamento es 0,25 g por cada kilo de peso del paciente, hasta un máximo de 15 g. Representa la función peso del paciente-cantidad de medicamento y halla su expresión analítica.
3. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza viene dada por la fórmula 280 64 16h t t (t en segundos y h en metros).
a) Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5]. b) Halla la altura máxima que alcanza la pelota. c) ¿En qué instante alcanza su máxima altura?
4. Un fabricante vende mensualmente 100 electrodomésticos a 400 euros cada uno y sabe que por cada 10 euros de subida venderá 2 electrodomésticos menos.
a) ¿Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros? b) Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos mensuales. c) ¿Cuál debe ser la subida para que los ingresos sean máximos?
5. Un vendimiador ha de recoger 10 000 kg de uva que hoy vendería a 50 céntimos el kilo. Cada día que pasa se estropean 500 kg y el precio aumenta en 5 céntimos el kg. ¿Cuánto ha de vendimiar para obtener el máximo beneficio y cuál será éste? 6. Los controles de calidad de una cadena de montaje de ordenadores han obtenido que el porcentaje de ordenadores que siguen funcionando al cabo de t años viene dado por:
4100
5
t
p t
a) Representa gráficamente esta función. b) ¿Tiene sentido real toda la gráfica obtenida? c) ¿Qué porcentaje de ordenadores siguen funcionando al cabo de dos años? ¿Y al cabo de cinco años? d) ¿Qué significado tiene el punto de corte con el eje de ordenadas? e) ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que el porcentaje de ordenadores que sigan funcionando sea del 80 %? ¿Y para que funcionen la mitad?
7. Algunas flores como los tulipanes se reproducen por medio de bulbos. Supongamos que un bulbo de tulipán origina otros 5 nuevos que se plantan al año siguiente. Calcula el número de tulipanes que habrá al cabo de 5 años. ¿Cuántos años han de pasar para que haya 15 625 tulipanes? Encuentra la fórmula que describe la multiplicación de los tulipanes.
8. Un cultivo de bacterias comienza con 100 células. Media hora después hay 435. Si ese cultivo sigue un crecimiento exponencial del tipo ty ka (t en minutos), calcula k y a y representa la función. ¿Cuánto tardará en llegar a 5 000 bacterias?
I.E.S. Ram 9. En profundida
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Sabiendo q
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10. De
11. Trainfecciosa,función (pque se dete
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món Giraldo
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temáticas I
18
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I.E.S. Ramón Giraldo Matemáticas I
Cipri Dpto. de Matemáticas 19
La función que relaciona la cantidad de calor C t , contenida en un gramo de agua, con la
temperatura t de dicho gramo de agua cuando 10º ,10ºt , es:
0,5 si 10º 0º
45 si 0º
85 si 0º 10º
t t
C t t
t t
Representa gráficamente dicha función.
16. La función f x 400x 400
x 18 nos da el número de pulsaciones por minuto de una persona
que está aprendiendo a teclear en un ordenador en función del número de clases particulares (x), de una hora, a las que asiste.
a) ¿Cuántas pulsaciones por minuto da al comienzo de las clases y cuántas dará al cabo de 20 clases?
b) ¿Cuántas horas debe practicar para dar 300 pulsaciones por minuto? c) ¿Cuál es el límite de pulsaciones, independientemente del número de clases recibidas?
17. Sobre un segmento AB , que mide 20 cm, toma un punto P a una distancia de x cm del extremo A , que divide al segmento en dos partes. Sobre cada una de las partes se construye un triángulo equilátero. Escribe la expresión de la función que nos da el área delimitada por los dos triángulos, en función de la distancia x . Determina su dominio y describe sus características generales. ¿Habrá algún valor para el que la función alcance un valor mínimo? En caso afirmativo calcúlalo y halla el área mínima que determinan los dos triángulos. Indicaciones:
1) La situación que se describe es la del dibujo.
20 m
20 xx
2) La fórmula que da el área de un triángulo equilátero en función del lado a es:
23Área
4a