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INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 6: Ecuaciones de primer y segundo grado
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6Ecuaciones de primer y segundo grado
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ESQUEMA
ACTIVIDAD
Podemos encontrar en el día a día muchas situaciones donde se utilicen ecuaciones de primer y segundo grado. Por ejemplo, calcular el espacio que recorre un vehículo.
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Epitafio de Diofanto
Busca en la web
Enlace a la historia de Diofanto de Alejandría
Enlace para resolver el epitafio
Diofanto de Alejandría planteó un problema
de ecuaciones de primer grado en su
epitafio.
¿Te atreves a resolverlo?
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Esquema de contenidos
Ecuaciones de primer
y
segundo grado
Ecuación de primer grado
Identidad y ecuación
Elementos
Soluciones de una ecuación
Resolución de ecuaciones de primer grado
Ecuaciones sencillas
Ecuaciones con paréntesis
Ecuaciones con denominadorResolución de problemas
con ecuaciones de primer
grado
Ecuaciones de 2º grado
Concepto
Resolución caso 1
Resolución caso 2
Resolución caso 3
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Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas separadas por un signo igual ( = ).
Identidad y ecuación
Una igualdad algebraica es:
• Una identidad cuando es cierta para cualquier valor de las letras.
•Una ecuación si sólo es cierto para algunos valores de las letras.
SIGUIENTE
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Identidad y ecuación
¿Son igualdades o ecuaciones?
a) xxx 325
b) 062 xx
c) 56 x
SIGUIENTE
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Identidad y ecuación
¿Son igualdades o ecuaciones?
a) xxx 325
b) 062 xx
c) 56 x
Identidad, es cierta para cualquier valor de x
SIGUIENTE
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Identidad y ecuación
¿Son igualdades o ecuaciones?
a) xxx 325
b) 062 xx
c) 56 x
Identidad, es cierta para cualquier valor de x
99 3,332-35 3
3-3- ,)1-(3)1-(2-)1-(5 -1x
66 2,322-25 2
x
x
SIGUIENTE
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Identidad y ecuación
¿Son igualdades o ecuaciones?
a) xxx 325
b) 062 xx
c) 56 x
Identidad, es cierta para cualquier valor de x
99 3,332-35 3
3-3- ,)1-(3)1-(2-)1-(5 -1x
66 2,322-25 2
x
x
ecuación
SIGUIENTE
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Identidad y ecuación
¿Son igualdades o ecuaciones?
a) xxx 325
b) 062 xx
c) 56 x
Identidad, es cierta para cualquier valor de x
99 3,332-35 3
3-3- ,)1-(3)1-(2-)1-(5 -1x
66 2,322-25 2
x
x
06- ,0611 1
00 ,06)2((-2) 2
00 ,0633 3
2
2
2
x
x
x
ecuación
SIGUIENTE
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Identidad y ecuación
¿Son igualdades o ecuaciones?
a) xxx 325
b) 062 xx
c) 56 x
Identidad, es cierta para cualquier valor de x
99 3,332-35 3
3-3- ,)1-(3)1-(2-)1-(5 -1x
66 2,322-25 2
x
x
06- ,0611 1
00 ,06)2((-2) 2
00 ,0633 3
2
2
2
x
x
x
ecuación
ecuación
SIGUIENTE
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Identidad y ecuación
¿Son igualdades o ecuaciones?
a) xxx 325
b) 062 xx
c) 56 x
Identidad, es cierta para cualquier valor de x
99 3,332-35 3
3-3- ,)1-(3)1-(2-)1-(5 -1x
66 2,322-25 2
x
x
06- ,0611 1
00 ,06)2((-2) 2
00 ,0633 3
2
2
2
x
x
x
ecuación
57 5,6(-1)- -1x
54 5,62- 2
55 5,6(1)- 1x
x
ecuación
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Elementos de una ecuación de primer grado
Miembro: en una ecuación hay dos expresiones separadas por un signo igual. La expresión situada a la izquierda es el primer miembro y la expresión de la derecha es el segundo miembro.
Término: es cada uno de los sumandos de los miembros.
Término independiente: es el miembro formado por un solo número.
Incógnitas: son las letras cuyos valores desconocemos.
Grado: Es el mayor de los exponentes con los que figura la incógnita.
72575
min
miembro
2
ostér
segundomiembroprimer
xxx Incógnita x
Grado 2
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Soluciones
Soluciones. Son los valores de la incógnita que hacen que la igualdad sea cierta.
SIGUIENTE
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Soluciones
Soluciones. Son los valores de la incógnita que hacen que la igualdad sea cierta.
Resolver una ecuación es encontrar su solución o sus soluciones.
SIGUIENTE
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Soluciones
Soluciones. Son los valores de la incógnita que hacen que la igualdad sea cierta.
Resolver una ecuación es encontrar su solución o sus soluciones.
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
SIGUIENTE
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Soluciones
Soluciones. Son los valores de la incógnita que hacen que la igualdad sea cierta.
Resolver una ecuación es encontrar su solución o sus soluciones.
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
SUMAR +
RESTAR -
Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o les resta el mismo número se obtiene otra ecuación equivalente.
SIGUIENTE
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Soluciones
Soluciones. Son los valores de la incógnita que hacen que la igualdad sea cierta.
Resolver una ecuación es encontrar su solución o sus soluciones.
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o les resta el mismo número se obtiene otra ecuación equivalente.
Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por el mismo número (distinto de cero) se obtiene otra ecuación equivalente.
SUMAR +
RESTAR -
MULTIPLICAR X
DIVIDIR :
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Resolución de ecuaciones sencillas
xx 2534
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
xxpasa
25343 como
Agrupamos los números en el 2º miembro
Resolución de ecuaciones sencillas
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
xxpasa
25343 como
32542
xcomopasa
xx
Agrupamos los números en el 2º miembro
Agrupamos las x en el 1er miembro
Resolución de ecuaciones sencillas
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
xxpasa
25343 como
32542
xcomopasa
xx
Agrupamos los números en el 2º miembro
Agrupamos las x en el 1er miembro
3524 xx
Resolución de ecuaciones sencillas
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
32542
xcomopasa
xx
Agrupamos los números en el 2º miembro
Agrupamos las x en el 1er miembro
3524 xx
42
882 xx
Operamos
Agrupamos los términos en x en
un miembro y los números en
el otro.
Resolución de ecuaciones sencillas
SIGUIENTE
xxpasa
25343 como
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos estos pasos:
1. Eliminar paréntesis.
2. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
3. Reducir términos semejantes, si los hubiera.
4. Despejar x y hallar la solución.
Resolución de ecuaciones con paréntesis
xxx 4)2(15)13(10
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Resolución de ecuaciones de primer grado
xxx 4153010130
Seguimos estos pasos:
1. Eliminar paréntesis.
2. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
3. Reducir términos semejantes, si los hubiera.
4. Despejar x y hallar la solución.
Resolución de ecuaciones con paréntesis
xxx 4)2(15)13(10
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
xxx 4153010130
Seguimos estos pasos:
1. Eliminar paréntesis.
2. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
3013041510 xxx
3. Reducir términos semejantes, si los hubiera.
4. Despejar x y hallar la solución.
xxx 4)2(15)13(10
SIGUIENTE
Resolución de ecuaciones con paréntesis
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Resolución de ecuaciones de primer grado
xxx 4153010130
Seguimos estos pasos:
1. Eliminar paréntesis.
2. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
3013041510 xxx
3. Reducir términos semejantes, si los hubiera.15626 x
4. Despejar x y hallar la solución.
Resolución de ecuaciones con paréntesis
xxx 4)2(15)13(10
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
xxx 4153010130
Seguimos estos pasos:
1. Eliminar paréntesis.
2. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
3013041510 xxx
3. Reducir términos semejantes, si los hubiera.15626 x
4. Despejar x y hallar la solución.
626
156
x
Resolución de ecuaciones con paréntesis
xxx 4)2(15)13(10
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos estos pasos:3
1
5
1
2
2
xxxResolución de ecuaciones con denominadores
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos estos pasos:
1. Eliminar denominadores.3
1
5
1
2
2
xxxResolución de ecuaciones con denominadores
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos estos pasos:
1. Eliminar denominadores.3
1
5
1
2
2
xxxResolución de ecuaciones con denominadores
30)3 ,5 ,2.(.. mcm
)3
1(30)
5
1(30)
2
2(30
xxx
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos estos pasos:
1. Eliminar denominadores.3
1
5
1
2
2
xxxResolución de ecuaciones con denominadores
)3
1(30)
5
1(30)
2
2(30
xxx)1(10)1(6)2(15 xxx
SIGUIENTE
30)3 ,5 ,2.(.. mcm
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos estos pasos:
1. Eliminar denominadores.3
1
5
1
2
2
xxxResolución de ecuaciones con denominadores
2. Eliminar paréntesis.
)3
1(30)
5
1(30)
2
2(30
xxx)1(10)1(6)2(15 xxx
SIGUIENTE
30)3 ,5 ,2.(.. mcm
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos estos pasos:
1. Eliminar denominadores.3
1
5
1
2
2
xxxResolución de ecuaciones con denominadores
2. Eliminar paréntesis.
)3
1(30)
5
1(30)
2
2(30
xxx)1(10)1(6)2(15 xxx
1010663015 xxx
SIGUIENTE
30)3 ,5 ,2.(.. mcm
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos estos pasos:
1. Eliminar denominadores.3
1
5
1
2
2
xxx
3. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
Resolución de ecuaciones con denominadores
2. Eliminar paréntesis.
)3
1(30)
5
1(30)
2
2(30
xxx)1(10)1(6)2(15 xxx
1010663015 xxx
SIGUIENTE
30)3 ,5 ,2.(.. mcm
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos estos pasos:
1. Eliminar denominadores.3
1
5
1
2
2
xxx
3. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
Resolución de ecuaciones con denominadores
2. Eliminar paréntesis.
)3
1(30)
5
1(30)
2
2(30
xxx)1(10)1(6)2(15 xxx
1010663015 xxx
1063010615 xxx
SIGUIENTE
30)3 ,5 ,2.(.. mcm
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos estos pasos:
1. Eliminar denominadores.3
1
5
1
2
2
xxx
3. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
4. Reducir términos semejantes, si los hubiera.
Resolución de ecuaciones con denominadores
2. Eliminar paréntesis.
)3
1(30)
5
1(30)
2
2(30
xxx)1(10)1(6)2(15 xxx
1010663015 xxx
1063010615 xxx
SIGUIENTE
30)3 ,5 ,2.(.. mcm
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos estos pasos:
1. Eliminar denominadores.3
1
5
1
2
2
xxx
3. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
4. Reducir términos semejantes, si los hubiera.
Resolución de ecuaciones con denominadores
2. Eliminar paréntesis.
)3
1(30)
5
1(30)
2
2(30
xxx)1(10)1(6)2(15 xxx
1010663015 xxx
1063010615 xxx
341 x
SIGUIENTE
30)3 ,5 ,2.(.. mcm
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos estos pasos:
1. Eliminar denominadores.3
1
5
1
2
2
xxx
3. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
4. Reducir términos semejantes, si los hubiera.
5. Despejar x y hallar la solución.
Resolución de ecuaciones con denominadores
2. Eliminar paréntesis.
)3
1(30)
5
1(30)
2
2(30
xxx)1(10)1(6)2(15 xxx
1010663015 xxx
1063010615 xxx
341 x
SIGUIENTE
30)3 ,5 ,2.(.. mcm
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos estos pasos:
1. Eliminar denominadores.3
1
5
1
2
2
xxx
3. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
4. Reducir términos semejantes, si los hubiera.
5. Despejar x y hallar la solución.
Resolución de ecuaciones con denominadores
2. Eliminar paréntesis.
)3
1(30)
5
1(30)
2
2(30
xxx)1(10)1(6)2(15 xxx
1010663015 xxx
1063010615 xxx
341 x
341
34
x
30)3 ,5 ,2.(.. mcm
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Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado
Para resolver problemas mediante ecuaciones seguimos estos pasos:
1. Leer atentamente el enunciado e identificar la incógnita.
2. Plantear la ecuación.
3. Resolver la ecuación.
4. Comprobar que la solución es
válida e interpretarla.
SIGUIENTE
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Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado
SIGUIENTE
Una madre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la madre sea el triple que la del hijo?
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Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado
La incógnita es x, los años que van a pasar.
SIGUIENTE
Una madre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la madre sea el triple que la del hijo?
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Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado
Hoy Dentro de x años
Edad madre 40 40 + x
Edad hijo 10 10 + x
La incógnita es x, los años que van a pasar.
SIGUIENTE
Una madre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la madre sea el triple que la del hijo?
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Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado
Hoy Dentro de x años
Edad madre 40 40 + x
Edad hijo 10 10 + x
La incógnita es x, los años que van a pasar.
)10(340 xx
SIGUIENTE
Una madre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la madre sea el triple que la del hijo?
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Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado
Hoy Dentro de x años
Edad madre 40 40 + x
Edad hijo 10 10 + x
La incógnita es x, los años que van a pasar.
)10(340 xx xx 33040
SIGUIENTE
Una madre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la madre sea el triple que la del hijo?
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Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado
Hoy Dentro de x años
Edad madre 40 40 + x
Edad hijo 10 10 + x
La incógnita es x, los años que van a pasar.
)10(340 xx xx 33040
40303 xx
SIGUIENTE
Una madre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la madre sea el triple que la del hijo?
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Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado
Hoy Dentro de x años
Edad madre 40 40 + x
Edad hijo 10 10 + x
La incógnita es x, los años que van a pasar.
)10(340 xx xx 33040
40303 xx 102 x
SIGUIENTE
Una madre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la madre sea el triple que la del hijo?
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Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado
Hoy Dentro de x años
Edad madre 40 40 + x
Edad hijo 10 10 + x
La incógnita es x, los años que van a pasar.
)10(340 xx xx 33040
40303 xx 102 x
2
10
x
SIGUIENTE
Una madre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la madre sea el triple que la del hijo?
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Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado
Hoy Dentro de x años
Edad madre 40 40 + x
Edad hijo 10 10 + x
La incógnita es x, los años que van a pasar.
)10(340 xx xx 33040
40303 xx 102 x
2
10
x 5x
SIGUIENTE
Una madre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la madre sea el triple que la del hijo?
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Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado
Hoy Dentro de x años
Edad madre 40 40 + x
Edad hijo 10 10 + x
La incógnita es x, los años que van a pasar.
)10(340 xx xx 33040
40303 xx 102 x
2
10
x 5x
Dentro de 5 años, la edad de la madre será 45 años y la edad del hijo será 15 años.
Una madre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la madre sea el triple que la del hijo?
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Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica con las siguientes características: • Tiene una única incógnita.
• Alguno de sus términos es de grado 2 y no contiene términos de grado mayor que 2.
02 cbxax a, b y c son números conocidos y 0a
SIGUIENTE
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Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica con las siguientes características: • Tiene una única incógnita.
• Alguno de sus términos es de grado 2 y no contiene términos de grado mayor que 2.
02 cbxax a, b y c son números conocidos y 0a
0352 2 xx 3c 5b 2 a
Ecuación Coeficientes
0422 xx 4-c 2b 1 a
0c 9b 3 a093 2 xx
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de segundo grado
CASO 1: b = 0 02 cax
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de segundo grado
CASO 1: b = 0 02 cax
044 2 xa)Despejamos x
44 2 x
14
42 x 12 x 11 x
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de segundo grado
CASO 1: b = 0 02 cax
044 2 xa)Despejamos x
44 2 x
14
42 x 12 x 11 x
0105 2 xb)Despejamos x
105 2 x
25
102
x 22 x 2x
No hay solución
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Resolución de ecuaciones de segundo grado
CASO 2: c = 0 02 bxax
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de segundo grado
CASO 2: c = 0 02 bxax
a) 036 2 xxFactor común
0)12(3 xx
0)12(3 xx
2
1 x 012
0 x 03
x
x
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de segundo grado
CASO 2: c = 0 02 bxax
a) 036 2 xxFactor común
0)12(3 xx
0)12(3 xx
2
1 x 012
0 x 03
x
x
b) 0102 2 xxFactor común
0)5(2 xx
5 x 05
0 x 02
x
x0)5(2 xx
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Resolución de ecuaciones de segundo grado
CASO 3: 02 cbxax
a
acbbx
2
42
0652 xxa) 6c 5b 1 a
32
15
22
15
2
15
2
15
2
24255
12
61455 2
x
Las soluciones son x = -2 y x = -3.SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de segundo grado
CASO 3: 02 cbxax
a
acbbx
2
42
0962 xxb) 9c 6-b 1 a
32
06
32
06
2
06
2
06
2
36366
12
914)6()6( 2
x
La solución es doble: x = 3.SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de segundo grado
CASO 3: 02 cbxax
a
acbbx
2
42
0232 2 xxc) 2-c 3b 2 a
4
73
4
1693
)2(2
)2()2(433 2
x
No existe ninguna solución.
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Actividad: Buscando el error
Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad2f.htm
En la sección chilena de la Editorial Santillana, esta actividad se refiere a las ecuaciones de primer grado y la búsqueda de errores en su resolución.
Para desarrollarla, sigue este enlace.