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MATEMTICAS FINANCIERAS:
Matemtica Financiera estudia el valor del dinero en el tiempo y que a travs de una serie de modelos matemticos llamados criterios permiten tomar las decisiones ms adecuadas en los proyectos de inversin.
CAPITALIZACIN Y DESCUENTO
Consideramos dos tipos de inters: el inters simple y el inters compuesto
INTERS SIMPLE
Una operacin financiera es a inters simple cuando el inters es calculado sobre el capital original y para el perodo completo de la transaccin. En otras palabras, no hay capitalizacin de intereses.
INTERES COMPUESTO
El modelo matemtico para calcular el Valor Futuro de una inversin inicial a una tasa de inters dada compuesta anualmente en un perodo futuro es calculado mediante la siguiente expresin: = (1 + ) El tipo de inters (i) y el plazo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo.
N=1 I1=V0i V1= V0 + I1
N=2 I2=V1i V2= V1 + I2
N=3 I3=V2i V3= V2 + I3
N=n-1 In-1=Vn-2i Vn-1= Vn-2 + In-1
N=n In=Vn-1i Vn= Vn-1 + In
VALOR PRESENTE FUTURO
1 2 3 N-1 N
Valor presente : =
(+)
Valor futuro : =( + )
Vn y Vo son financieramente equivalentes.
Ejemplo: Se hace un deposito de $200 a una cuenta de ahorros que paga una tasa de inters de 6% anual, A cunto ascender la cuenta despus de 5 aos?
Datos:
= 200 = (1 + )
i= 6% ao 5 = 200(1 + 0.06)5= 267.6 USS
N= 5
5 = ? ? ?
La equivalencia financiera estar dada por:
267.6
1 2 3 4 5
200
Ejemplo: Una persona desea contar con $10000 dentro de 10 aos Cunto debe depositar hoy en una cuenta que paga 8% anual?
Datos
10=$10000 =
(1+)
i=8% anual
N=10 aos 0=10000
(1+0.08)10= $4631.9
=?? El deposito hoy debe ascender a $4631.9, la equivalencia financiera estar dada por:
10000
1 2 3 8 9 10
4631.9
ANUALIDADES
Vo
1 2 3 N-1 N
A A A A A
La equivalencia financiera estar dada por:
Vo=
(1+)+
(1+)2+
(1+)3++
(1+)
Vo=A(+)
(+) A= Vo
()
(+)
Ejemplo: Se obtiene un prstamo bancario de $1000 para pagarlo en 12 cuotas mensuales iguales. Cul ser el valor de las mensualidades si la tasa de inters es 1% anual?
=$1000 1000
i=1% anual 1 2 3 10 11 12
N=12 meses
M M M M M M
M=(1+)
(1+)1
M=10000.01(1.01)12
(1.01)121=$88.8
Las mensualidades ascendern a $88.8.
Ejemplo Una persona hoy (ao 0) dese hacer un deposito en una cuenta de ahorros que paga 9%/ao de tasa de inters, con la finalidad de efectuar 6 retiros anuales de 1000 $ c/u a partir del ao 5. Cunto deber ser el deposito?
Es conveniente construir el diagrama de flujo de dinero. (A =1000US$)
A A A A A A
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Vo
Es equivalente a: A A A A A A
0 1 2 3 4
Equivalencia financiera
INTERES NOMINAL Y EFECTIVO
La tasa de interes efectivo es la que se paga o cobra, la tasa de inters nominal es la que se ofrece.
i : tasa de inters efectiva por periodo
IN : tasa de inters nominal por periodo
n : numero de subperiodos (divisiones de un periodo)
Ejemplo
La tasa de inters nominal es de 8%, determinar la tasa efectiva de inters para diferentes periodos de capitalizacin.
n i(%/ao)
1 8.00
2 8.16
3 8.22
4 8.24
6 8.27
12 8.30
360 8.33
INTERES CONTINUO
Es la tasa de inters efectiva cuando se hace un numero infinito de capitalizaciones por periodo.
En el ejemplo anterior, la tasa de inters continuo estar dada por:
INTERES REAL Y CORRIENTE
La tasa de inters corriente es la que pagan o cobran los bancos (i).
Tasa de inters real es el incremento del poder adquisitivo del dinero (ii).
Ao 0 Ao 1
Deposito en el banco Vo V1 = Vo(1 + i)
Precio de un bien en Vo V1* = Vo(1 + )
el mercado.
EJEMPLO Un banco paga 8% de tasa de inters En cuanto se incrementara el poder adquisitivo de un
deposito en un ao, si la tasa anual de inflacin es 3%?
El perfil de flujos de dinero estar dado por:
Lo que quiere decir que en el ao 1 con V1 podremos adquirir 4.4% mas de lo que se hubiera adquirido con Vo en el ao cero.
PRECIOS REALES Y CORRIENTES PRECIOS CORRIENTES.- Son aquellos que se dan en el momento de la transaccin validos
solo para ese momento. Se utilizan en la vida cotidiana.
PRECIOS REALES.- Miden la relacin de intercambio entre bienes y/o servicios y se expresan en unidades monetarias de un ao base (moneda constante).
VALOR CORRIENTE: VN Flujo en el ao N y expresado en dlares del ao N.
VALOR CONSTANTE: VN0 Flujo en el ao N y expresado en
dlares del ao 0. VN
K Flujo en el ao N y expresado en dlares del ao K.
VN0 = VN
K =
EJEMPLO El precio de un bien en 1995 es de 200 $ (corriente). Expresar este precio en moneda de 1990 y
del ao 2000 considerando 3% como tasa de inflacin.
Precio corriente V1995 = 200 $ de 1995
Precio constante base 1990
Precio constante base 2000
FINANCIAMIENTO DE PROYECTOS DE INVERSION
El termino financiamiento se refiere a las diferentes fuentes de recursos requeridos para
formar el capital Fijo. Las fuentes son:
Recursos propios
Emisin de acciones
Emisin de bonos
Crdito de proveedores
Prestamos
FINANCIAMIENTO CON DEUDA VENTAJAS:
Se mantiene la propiedad.
Menor pago de impuesto a la renta.
Mejora la rentabilidad por efecto de la palanca financiera.
DESVENTAJAS:
El servicio de la deuda (Amortizacin e intereses) es independiente del nivel de utilidades.
Se pierde capacidad de endeudamiento para momentos difciles.
Si la deuda alcanza ciertos niveles se pierde autonoma.
FINANCIAMIENTO CON DEUDA Debe quedar claramente establecido:
Fraccin y tipo de inversin (Monto deuda).
Plazo (Tiempo para amortizar la deuda).
Periodo de gracia (no se amortiza la deuda).
Tasa de inters y comisiones.
Forma de pago.
- Servicio de la deuda constante.
- Amortizacin constante.
- Pago vencido o adelantado.
- Periodicidad.
- Tipo de moneda
EJEMPLO:
Se ha obtenido un prstamo de 30MMU$ para pagarlo en 3 aos y 1 ao de gracia, los pagos sern anuales y vencidos. La tasa de inters e inflacin son 9% y 3%/ao respectivamente. Calcular el servicio de la deuda en moneda corriente y en moneda constante.
Para pasar a moneda del ao 0 :
MMU$ 0 1 2 3 4
Deuda 30 30 20 10 -
Amortizacin - - 10 10 10
Intereses - 2.7 2.7 1.8 .9
Servicio de la Deuda - 2.7 12.7 11.8 10.9
MMU$ 1 2 3 4
Amortizacin - 9.43 9.15 8.89
Intereses 2.62 2.55 1.65 0.8
Servicio de Deuda 2.62 11.98 10.8 9.69
VN0 =
VN(1+P)N
EJEMPLO
Resolver el problema anterior si el pago se hace con servicio de deuda constante.
Servicio de deuda =
Para pasar a moneda constante del ao 0:
30(0.09)(1.09)3
(1.09)3 -1=11.85
MMU$ 0 1 2 3 4
Deuda 30 30 20.85 10.88 -
Amortizacin - 30 9.15 9.97 10.88
Intereses - - 2.7 1.88 0.97
Servicio de la Deuda - 2.7 11.85 11.85 11.85 VN0 =VN
(1+P)N
MMU$ de 0 1 2 3 4
Amortizacin - 8.62 9.12 9.67
Intereses 2.62 2.55 1.72 0.86
Servicio de l deuda 2.62 11.17 10.84 10.53
EVALUACION DE PRESTAMOS
Debe considerarse todos los factores: Tasa de inters. Plazo. Periodo de gracia. Tipo de moneda. Tasa de cambio (Devaluacin, Revaluacin) Comisiones (Generalmente es un porcentaje del prstamo y se paga
al momento de recibirlo. )
Considerando todos los factores se determina la tasa de inters efectiva y se elige el prstamo que representa la menor tasa.
Ejemplo:
Se dispone de 2 lneas de crdito una en u$ y otra en yenes y presentan las siguientes caracteriscas:
en u$ en yenes
Tasa de inters 8%/ao 4.5%/ao
Comisin 2% 4%
Periodo de gracia 1 ao 2 aos
Plazo 4 aos 3 aos
Revaluacin respecto al dlar ______ 3%/ao
Forma de pago servicio de la deuda constante y vencido
Periodo del pago Anual Anual
Cul de las lneas es mas ventajosa?
Nota : asumir 0 en u$ como prstamo
Prestamos en us$0-
Servicio de la deuda ao 1 =0.08 u$
Servicio en los aos 2 al 4 =.(.)
.= 0.302 u$
El perfil de flujo de dinero estar dada por:
0 1 2 3 4 5
0.02 0.08 0.302 0.302 0.302 0.302
Equivalencia financiera
0.98 =.
(+)+.
(+)+.
(+)+.
(+)+.
(+)
Resolviendo
=8.69%/ao
Prstamo en yenes: si t la tasa de cambio ($/Y) en el ao 0
Prstamo = 0 u$ = 0/ , Y
Servicio de la deuda en aos 1 y 2 = 0.0450/ , Y
Servicio de la deuda aos 3,4,5 =0
0.045(1.045)3
(1.045)31= 0.364
0 ; Y
tipo de cambio 1 2 3 4 5
Servicio de la deuda 1.03t 1.06t 1.093t 1.126t 1.159t
Y 0.0450 0.0450 0.3640 0.364
0 0.364
0
U$ 0.0460 0.0480 0.3980 0.4100 0.4220
Perfil en u$ v0
0.040 0.0460 0.0480
0.3980 0.4100 0.4220
Equivalencia financiera
0.960 = 0.0460
(1+)1 + 0.0480
(1+)2 + 0.3980
(1+)3 + 0.4100
(1+)4 +0.4220
(1+)5
Resolviendo I=8.84%/ao
Resumen:
PRESTAMO PRESTAMO
U$ Y
Prestamos 0 0 u$
Tasa de inters 8 4.5 %/ao
Comisin 2 4 %
Tasa de inters efectiva 8.69 8.85 %/ao
EL PRESTAMO EN U$ ES MAS BARATO
PROYECTOS DE INVERSION ESTADOS FINANCIEROS
PROYECTADOS
ESTADOS FINANCIEROS PROYECTADOS Son las herramientas fundamentales e indispensables para evaluar los proyectos de inversin y estas son:
Estado de ganancias y perdidas proyectado
Flujo de caja proyectado
Balance general proyectado
Los EFP se preparan para el escenario esperado (valor promedio de las variables) en moneda constante y considerando el efecto incremental del proyecto.
Para su elaboracin se requiere de la preparacin de una serie de cuadros auxiliares
Como: programa de ventas, requerimiento de capital de trabajo, programa de produccin, programa de uso de materia prima, presupuesto de ingresos, programa de compras, presupuesto de compras, presupuesto de materia prima y materiales en produccin, requerimiento de mano de obra, presupuesto de mano de obra, gastos generales de produccin, costos de produccin, gastos administrativos, gastos de ventas, presupuesto de capital de trabajo, cronograma de inversiones, cronograma de desembolso, servicio de la deuda, depreciacin de activo fijo y amortizacin de intangibles, etc.
ESTADO DE GANANCIAS Y PERDIDAS PROYECTADOS
Se elabora para etapa operativa y muestra los resultados de la operacin del proyecto
Ingresos por ventas y otros conceptos
Gastos de produccin ( materias primas, c. variables, c. fijos)
Gastos administrativos
Gastos de ventas
Utilidad de operacin
Gastos financieros (inters del prstamo en moneda constante)
Depreciacin
Utilidad neta
Reserva legal
Utilidad retenida
Dividendos
Perdidas
U.N = (ING. GP GA GV INT D )(1-t)
FLUJO DE CAJA PROYECTADO Se elabora para todo el horizonte el planeamiento y determina las entradas y salidas del dinero del proyecto, las que se denominan flujo neto de fondo (FNF). El FNF es indispensable para determinar la rentabilidad del proyecto.
INVERSIONES
Inversin propia
Amortizacin de la deuda ( en moneda constante)
Capital de trabajo incremental
TOTAL DE INVERSIONES
UTILIDAD NETA DEPRESIACION
FLUJO NETO DE FONDOS = U.N + DEP. INVERSIONES
Deportes
Dividendos (del ao anterior)
Saldo de caja anual = FNF + APORTES DIVIDENDOS
Caja residual = saldo de caja + caja residual del ao anterior
FNF = (ING. GO. GA. GV. INT D) (1-T) + D - INV
BALANCE GENERAL PROYECTADO Es un estado financiero tipo stock y muestra los saldos que hay en las cuentas de activo, pasivo y capital contable. Es una fotografa del estado de las cuentas muestra las fuentes de recursos (pasivos) y en que fueron empleadas (activos)
ACTIVO PASIVO Caja banco corto plazo Inventario de M.P y materiales Cuentas por pagar Inventario de productos terminados Cobros adelantados Inventario de productos en proceso Pago de la deuda del prximo ao Cuentas por cobrar (moneda corriente) Pagos adelantados Pasivo a largo plazo Activo fijo neto Deuda despus del pago del prximo Intangible neto ao (moneda corriente) Patrimonio Capital social: aportes acumulados Utilidades retenidas acumuladas Perdidas acumuladas Reserva legal acumulada Ajuste por inflacin acumulado
TOTAL DE ACTIVO = TOTAL PASIVO
EFECTO DE LA DEPRECIACION FNF = (Ing. - GO - GA - GV - Int - D) (1-t) + D - INV FNF = (Ing - GO - GA - GV - Int) (1-t) - D(1-t) + D - INV
FNF = (Ing - GO - GA - GV - Int) (1-t) + Dt INV Se aprecia que la depreciacin es un aporte al FNF y no representa una salida de dinero (costo). su efecto es disminuir el pago de impuestos (Dt). que es conocido como escudo Tributario o escudo Fiscal. De ah la importancia de capitalizar los activos inmediatamente inicie la operacin de dicho activo.
EFECTO DEL FINANCIAMIENTO EV. ECONOMICA
UN ECO = (Ing. - G.O. - G.A. - G.V. - D) (1- t)
IMP ECO = (Ing. - G.O. - G.A. - G.V. - D) t
EV. FINANCIERA
UN FIN = (Ing. - G.O. - G.A. - G.V. - Int - D) (1- t)
IMP FIN = (Ing. - G O. - G.A. - G.V. - Int - D) t
IMP FIN = (Ing. - G.O. - G.A. - G.V. - D) t - t Int.
IMPFIN = IMPELO - t Int
El financiamiento implica un menor pago de impuesto (t x Int) dado que los intereses generan escudo Fiscal.
EJEMPLO Elaborar los Estados financieros Proyectados para un proyecto con la siguiente informacin:
Capital fijo 100.0 MMUSS del ao 0
Valor de rescate 10.0 % del capital fijo
Inversin de capital en trabajo 8.0% del costo de produccin y 5.0% del ingreso por ventas
Costos variables de prod 0.65MUSS de 0/TM
Costos fijos de produccion 20.0% de la inversin en capital fijo
Gastos administrativos 15.0% del costo de produccin
Gastos de venta 10.0% del ingreso por ventas
1 2 3 4 5
Ventas(MTM/AO) 97.0 98.0 94.0 93.0 94.0
Precio(MUSS DE 0/TM) 2.00 1.95 2.00 2.05 2.00
FINANCIAMIENTO 60.0% de la inversin en capital fijo
Tasa de inters 12.0%/ao
Plazo 3 aos sin periodo de gracia
Pagos anuales vencidos y constantes = 2.89%
MMUSS DEL AO
1 2 3 4 5
VENTAS(MTM/AO) 97 98 94 93 94
PRECIO(MUSS DE 0/TM) 2 1.95 2 2.05 2
INGRESOS 194 191.1 188 190.15 188
COSTOS DE PRODUCCION
MMUSS DEL AO 0
1 2 3 4 5
VARIABLES 63.1 63.7 61.1 60.5 61.1
FIJOS 20 20 20 20 20
COSTO DE
PRODUCCION 83.1 83.7 81.1 80.5 81.1
INVERSION EN CAPITAL DE TRABAJO
MMUSS DEL AO 0
1 2 3 4 5
INVERSION TOTAL 16.35 16.251 15.888 16 15.9
INVERSION
INCREMENTAL 16.35 0.1 0.4 0.1 16
Risked Reserves
@1/1/2003
ESTADO DE GANANCIAS Y PERDIDAS - EVALUACION ECONOMICA
MMUSS DEL AO 0
1 2 3 4 5
INGRESOS 194 191.1 188 190.7 188
GASTOS DE
PRODUCCION 83.1 83.7 81.1 80.5 81.1
GASTOS
ADMINISTRATIV. 29.1 28.7 28.2 28.6 28.2
GASTOS DE VENTAS 19.4 19.1 18.8 19.1 18.8
UTILIDAD DE
OPERACIN 62.4 59.6 59.9 62.5 59.9
DEPRECIACION(D) 18 18 18 18 18
RENTA NETA 44.4 41.6 41.9 44.5 41.9
impuestos a la
renta(30%) 13.3 12.5 12.6 13.4 12.6
UTILIDAD NETA 31.1 29.1 29.3 31.2 29.3
FLUJO DE CAJA PROYECTADO - EVALUACION ECONOMICA
(MMUSS DEL AO 0)
0 1 2 3 4 5
INVERSION
ACTIVO FIJO 100 10
CAPITAL DE
TRABAJO 16.35 0.1 0.4 0.1 16
TOTAL INVERSION 100 16.35 0.1 0.4 0.1 26
UTILIDAD NETA 31.1 29.1 29.3 31.2 29.3
DEPRECIACION 18 18 18 18 18
FLUJO NETOS DE
FONDO 100 32.8 47.2 47.7 49.1 73.3
SERVICIO DE LA DEUDA
MMUSS 0 1 2 3
DEUDA 60 42.2 22.3 0
AMORTIZACION 17.8 19.9 22.3
INTERESES 7.2 5.1 2.7
SERVICIO DE LA DEUDA 25 25 25
MMUS$ DE 0
AMORTIZACION 17.3 18.8 20.4
INTERESES 7 4.8 2.5
ESTADO DE GANANCIAS Y PERDIDAS - EVALUACION FINANCIERA (MMUSS del Ao O)
1 2 3 4 5
Ingresos 194.00 191.1 188.00 1907.00 188.00
Gastos de produccin 83.10 83.70
081.00 805.00 811.00
Gastos Administrativos 29.13 28.70
282.00 286.00 028.20
Gastos de Ventas 194.00 191.00
018.80 191.00 188.00
Utilidad de Operacin 62.40 59.60 059.90 062.50 059.90
Depreciacin 18.00 18.00 018.00 018.00 018.00
Intereses 7.00 4.80 002.40
Renta Neta 37.50 36.80 039.50 044.50 041.90
Impuesto a la Renta (30%) 11.20 11.10 011.80 013.40 012.60
Utilidad Neta 26.20 25.80 027.60 031.20 029.30
FLUJO DE CAJA PROYECTADO - EVALUACIN FINANCIERA (MMUS$ DEL AO 0)
0 1 2 3 4 5
INVERSIN
Activo Fijo Propio 40 -10
Amortizacin 17.3 18.8 20.4 0 0
Capital de Trabajo 16.3 -0.1 -0.4 0.1 -16
Total Inversin 40 33.6 18.7 20 0.1 -26
Utilidad Neta 26.2 25.8 27.6 31.2 29.3
Depreciacin 18 18 18 18 18
Flujo Neto de
Fondos -40 10.6 25.1 25.6 49.1 73.3
Una empresa petrolera espera realizar sus operaciones comerciales con la ejecucin de Un proyecto de inversin que tendr un balance general de apertura siguiente:
Activo Pasivo
Caja 2,000 Deuda 12000
Activo fijo 18,000 Capital social 8,000
Total activo 20,000 Total capital social y patri. 20,000
Se sabe que el 75 % del activo fijo es de tipo productivo, el mismo que se depreciara a una tasa anual del 25 %. El activo fijo restante que es de tipo administracin y ventas se deprecian al 15 % anual. El capital de trabajo se recupera en un 100% y el activo fijo de apoyo en un 25 %.
La deuda que se estima contraer tiene un perodo de repago de 4 aos. Durante el primer ao solo ser pagara el inters. El prstamo se devolver en cuotas totales constantes a un costo efectivo de 23 % anual. La inflacin esperada de la economa en su conjunto es de 5 % anual.
Por razones operativas la produccin del ao se vende totalmente durante dicho perodo, por lo que las variaciones del inventario estn contempladas como inversin en capital de trabajo que es el monto que figura como caja.
Las ventas previstas para cl horizonte de la vida til del proyecto de inversin son las
Siguientes:
Ao 1 2 3 4 5
Unidades 210 240 260 290 300
Al momento de decidir la inversin el precio de venta del producto que se manufacturara con el proyecto es $ 38 la unidad, el mismo que permanecera constante durante el periodo de tiempo que cubren las proyecciones. Los costos de produccin del proyecto sin incluir cargos por depreciacin del activo fijo a valores del ao de inversin, para una produccin de 300 unidades, se estiman en $ 4,000 de los cuales $ 700 son costos fijos, el resto costo variable, se considera que los gastos de administracin y ventas desembolsables que requiere el proyecto para su operacin representa el 1.5 % de los ingresos por ventas. La empresa que tendra a cargo la operacin del proyecto esta afecta a un impuesto a la renta del 30 %. El costo de oportunidad de los accionistas que aportan $ 8,000 dlares para cubrir el resto de la inversin que no es financiada por el prstamo es de 17 % libre de riesgo e inflacin. Se considera una cobertura del 6 % por concepto de riesgo es aceptable. Se desea analizar la rentabilidad del proyecto a implantarse con el esquema financiero sealado.
CALCULOS PREVIOS:
Depreciacin del Activo Fijo.
Productivo 18,000*0,75*0,25 =$ 3.375,00
Administracin y Ventas 18,000*0,25*0,15 = S 675,00
Total = $ 4.050,00
Cuadro del servicio de la deuda
El calentamiento original del prstamo estimado a una tasa de inters corriente del 23%
Seria:
Periodo Deuda Amortizacin Inters Pago total
1.000 12.000 2.760 2.760
2.000 12.000 3.206 2.760 5.966
3.000 8.794 3.943 2.023 5.966
4.000 4.851 4.850 1.116 5.966
Como las proyecciones econmico financieras estn a valores constantes, se tiene
que De lactar el calendario de pagos original, descontando cada monto futuro a una
tasa de Inflacin de 5% anual. Los montos as calculados representan los pagos a
efectuarse en El futuro en su equivalente al ao cero.
CUADRO DEL SERVICIO DE LA DEUDA DEFLACTADA
Perodo Amortizacin Intereses Pago total
1 2,629 2,629
2 2,908 2,503 5,411
3 3,406 1,748 5,154
4 3,990 9,18 4,908
COSTO DE PRODUCCION ANUAL
Ao Costos fijos Depreciacin Costo variable
Costo total
1 700 3,375 2,310 6,385
2 700 3,375 2,640 6,715
3 700 3,375 2,860 6,935
4 700 3,375 3,190 7,265
5 700 3,375 3,300 4,000
ESTADO DE GANANCIAS Y PRDIDAS PARA UNA EVALUACION ECONOMICA
Concepto 01 02 03 04 05 Verltas 7980 9120 9880 11020 11400
Costo ventas 6385 6715 6935 7265 4000
Utilidad bruta 1595 2405 2945 3755 7400
Gastos operativos 795 812 823 840 846
Utilidad antes de I c T 800 1593 2122 2915 6554
Impuesto a la renta 240 478 637 875 1966
, Utilidad 560 1115 1485 2040 4588
ESTADO DE GANANCIAS Y PRDIDAS PARA UNA EVALUACION FINANCIERA
Concepto 01 02 03 04 05 Utilidad antes de I c T() 800 1595 2122 2915 6554
inters () 2629 2503 1748 918
Utilidad antes de T (1829) (910) 374 168 5644
Impuesto a la renta 112 50 1693
Utilidad (1829) (910) 262 118 3951
() = Utilidad antes de intereses c impuestos cn la evaluacin econmica
() = Inters de la deuda defractada a valores constantes del ao base cero
FLUJO DE FONDO ECONOMICO.
CLCULO DEL TIRE
1) COSTO DE OPORTUNIDAD CON RIESGO Y SIN CONSIDERAR INFLACIN
(1.17)(1.06)-1= 24.02% ESPERADO POR ACCIONISTA
CONCEPTO 0 1 2 3 4 5
UTILIDAD NETA
560 1115 1485 2040 4588
DEPRECIACIN
4050 4050 4050 4050 4050
RECUPERO DE W.C.
2000
RECUPERO A.F.APOYO
1125
TOTAL FUENTES
4610 5165 5535 6090 8388
COSTO EFECTIVO REAN NETO= 23(1-0.3)= 16.1%
INFLACION ESPERADA 5%, COSTO REAL DE LA DEUDA:
= (Tc Inf)/(i + Inf.)= (0.161- 0.05)/(1 + 0.05)= 10.57%
COSTO PROMEDIO PONDERADO DEL CAPITAL
CPPC= 25.02(8000/20000)+10.57( 12000/20000) = 15.95%
CRITERIO: TIR > CPPC TIR= 13.45%
FLUJO DE FONDO FINANCIERO.
Muestra aporte realizados por los socios de $8000, y resultado potencial que se puede obtener en los prximos aos.
TIRF = 15.7 %/ao TIRF>TIR
TASA NOMINAL= i= ( 1 + Tpura)(1 + Tinflacin)(1 + Triesgo)= 23%
CONCEPTO 0 1 2 3 4 5 FUENTES
UTILIDAD NETA 1829 910 262 118 3951
DEPRECIACION 4050 4050 4050 4050 675
RECUPERO DE W.C. 2000
RECUPERO DE A.F. 1125
PRSTAMO 12000
TOTAL DE FUENTES 12000 2221 3140 4312 4168 7751
USOS
INVERSIN ACTIVO FIJO
18000
CAJA 20000
AMORTIZACIN 2908 3406 3990
FLUJO NETO 8000 2221 232 906 178 7751
PROYECTO DE INVERSIN CRITERIOS
DE EVALUACIN
CRITERIOS DE EVALUACIN DE INVERSIONES
Los indicadores de rentabilidad se determinan con datos de los estados financieros proyectados, los que normalmente son elaborados para es escenario esperado. Por lo tanto los indicadores de rentabilidad tambin sern esperados.
TASA DE DESCUENTO (TD, COK)
Es la mnima rentabilidad que debe tener un proyecto para q sea aceptado (rentable), proyectos con rentabilidad menores que la TD son rechazados. Es el costo medio de la diferentes fuentes de financiamiento que utiliza el proyecto.
Tasa de descuento real: (moneda constante)
Tasa de descuento corriente: (moneda corriente)
=1 + 1 +
VALOR PRESENTE NETO (VPN o VAN)
El VPN es la suma de la FNF actualizados con la TD, para todo el horizonte de planeamiento. Determina rentabilidad, escala optima y fija prioridad .
FNF1 FNF2 FNFN-1 FNFN VPN 0, TD
0 1 2 N-1 N
FNF0
0, =01 + 0
+11 + 1
+21 + 2
+11 + 1
+1 +
0, =
(1 + )
=0
CRITERIO: VPN > 0 El proyecto es rentable
Si el FNF esta expresado en moneda constante debe usarse la TDR y si esta expresado en moneda corriente debe usarse la TDc.
0,15%= 60.1MM US$ de 0 Mayor que cero el proyecto es rentable .
MMUS$ DE 0 0 1 2 3 4 5
FNF Econmico 100 32.8 47.2 47.7 49.1 73.3
FNF Financiero 40 10.6 25.1 25.6 49.1 73.3
0,15% =40
1.15 0+
10.6
1.15 1+
25.1
1.15 2+
25.6
1.15 3+
49.1
1.15 4+ 73.3
1.15 5
0,15% =100
1.15 0+
32.8
1.15 1+
47.2
1.15 2+
47.7
1.15 3+
49.1
1.15 4+ 73.3
1.15 5
0,15%= 69.5MM US$ de 0 Mayor que cero el proyecto es rentable .
Se aprecia que el VPN Financiero es mayor que el Econmico (efecto de la palanca financiera)
EJEMPLO: Determinar el VPN para el proyecto del ejemplo de estados financieros, utilizar el 15%/ao como tas de descuento real.
EJEMPLO:
Determinar el VPN a diferentes tasas del siguiente FNF:
0, =100
1 + 0+
61
1 + 1+
80
1 + 2
0 1 2
FNF 100 61 80
T(%) VPN 0.T
0 41
5 30.7
10 21.6
15 13.5
20 6.1
25 0
30 -5.7
35 -10.9 -20
-10
0
10
20
30
40
50
0 5 10 15 20 25 30 35
VPN (0,T) vs T %
PROYECTO RENTABLE PROYECTO NO
RENTABLE
(T %)
( 0,)
Solo si la TD es mayor que 25% el proyecto es rentable
TASA INTERNA DE RETORNO ( TIR)
Es aquella tas que hace el VPN sea cero, mide rentabilidad y fija prioridad.
0, = 0 =
(1 + )
=0
CRITERIO: Si la TIR >TD el proyecto es rentable.
Si el FNF esa en moneda constante se determinara el TIRR y si esta expresado en moneda corriente se determinara la TIRc.
=1+
(1+) -1
EJEMPLO:
Determinar la TIR para el proyecto de ejemplo de estados Financieros:
EV. ECONOMICA
TIRE= 35.3 % Mayor que 15 %, el proyecto es rentable
EV. FINANCIERA
MMUS$ DE 0 0 1 2 3 4 5
FNF Econmico 100 32.8 47.2 47.7 49.1 73.3
FNF Financiero 40 10.6 25.1 25.6 49.1 73.3
0=100
1+ 0+
32.8
1+ 1+
47.2
1+ 2+
47.7
1+ 3+
49.1
1+ 4+
73.3
1+ 5
0 =40
1+ 0+
10.
1+ 1+
25.1
1+ 2+
25.
1+ 3+
49.1
1+ 4+
73.3
1+ 5
TIRF= 56.1 % Mayor que 15 %, el proyecto es rentable
Se aprecia que la TRIF es mayor que la TIRE (efecto de la palanca financiera)
RELACION BENEFICIO/COSTO (B/C)
Es la relacin del Valor Presente de los Ingresos y el Valor Presente de los Egresos, mide la rentabilidad y prioridad. FNF = Ing Eg VPN = VPIng VPEg
= ,
,=
1+ =0
1+ =0
CRITERIO: Si B/C > 1 el proyecto es rentable. La relacin B/C indica cuanto dinero ingresa al proyecto por cada unidad monetaria que sale. CRITERIO DE EVALUACION DE INVERSIONES 7
EJEMPLO: Determinar la relacin B/C del proyecto del ejemplo de Estados Financieros.
MMU$ 1 2 3 4 5
Ingresos 194.0 141.1 188.0 190.7 188.0
VPIng 0 , 15%
194.0
1.151
141.0
1.152
188.0
1.153
190.7
1.154
188.0
1.155
639.3
EVALUACION ECONOMICA VPN 0 , 15% = 60.1 MMUS$ de 0 VPIng 0 , 15% = 639.3 MMUS$ de 0 VPEg 0 , 15% = 579.2 MMUS$ de 0
B/C 15% = 639.3/579.2=1.104 Mayor que 1, el proyecto es rentable.
EVALUACION FINANCIERA VPN 0 , 15% = 69.5 MMUS$ de 0 VPIng 0 , 15% = 639.3 MMUS$ de 0 VPEg 0 , 15% = 569.8 MMUS$ de 0
B/C 15% = 639.3/569.8=1.48 Mayor que 1, el proyecto es rentable.
Se aprecia que el B/C financiero es mayor que el econmico (efecto de la palanca financiera).
CRITERIO DE EVALUACION DE INVERSIONES 8
INDICE DEL VALOR PRESENTE (IVP, IVA)
Es la relacin entre el VPN y el VP de la inversin, mide la rentabilidad y prioridad.
= ,
, =
1 +
=0
1 +
=0
CRITERIO: Si B/C = 0 el proyecto es rentable.
El IVP nos seala cuanta rentalbilidad (medio en dinero) es generada por cada unidad momnetaria invertida.
CRITERIO DE EVALUACION DE INVERSIONES 9
EJEMPLO: Calcula el IVP para el proyecto del ejemplo de Estado Financieros:
MMUS$ de 0
0 1 2 3 4 5 VPInv 0 , 15%
Inversin Ec.
100.0 16.3 0.1 0.4 0.1 26.6 101.0
Inversin Fi.
40.0 33.6 18.7 20.0 0.1 26.0 83.6
EVALUACION ECONOMICA VPN 0 , 15% = 60.1 MMUS$ de 0 VPInv 0 , 15% = 101.0 MMUS$ de 0
IVP 15% = 60.1/101.0=0.594 Mayor que 0, el proyecto es rentable.
EVALUACION FINANCIERA VPN 0 , 15% = 69.5 MMUS$ de 0 VPInv 0 , 15% = 83.6 MMUS$ de 0
IVP 15% = 69.5/83.6=0.831 Mayor que 0, el proyecto es rentable.
El IVP financiero es mayor que el econmico (efecto palanca financiera) CRITERIO DE EVALUACION DE INVERSIONES 10
VALOR PRESENTE NETO ACUMULADO
Es el VPN de los primeros k aos del proyecto (0 k N), mide la evaluacin de la rentabilidad.
VPNA 0, TD,K =
1+ =0
FNF 0 FNF 1 FNF 2 FNF 3 . FNF N-1 FNF N
VPNA 0,TD,N = VPN O, TD
EJEMPLO:
Determinar el VPNA para el proyecto del ejemplo de Estados Financieros
EV. ECONOMICA
0 1 2 3 4 5
FNF = (100) 32.8 47.2 47.7 49.1 73.3
VPNA0.15% ,0 = 100
(1.15)0 = -100.0
VPNA0.15% ,1 = 100
(1.15)0 +
32.8
(1.15)1 = -71.5
VPNA0.15% ,2 = 100
(1.15)0 +
32.8
(1.15)1 +
47.2
(1.15)2 = -35.79
VPNA0.15% ,3 = 100
(1.15)0 +
32.8
(1.15)1 +
47.2
(1.15)2 +
47.7
(1.15)3 = -4.4
VPNA0.15% ,4 = 100
(1.15)0 +
32.8
(1.15)1 +
47.2
(1.15)2 +
47.7
(1.15)3 +
49.1
(1.15)4 = 23.6
VPNA0.15% ,5 = VPNA0.15% = 60.1
K FNF VPNA0.15% ,K
0 (100.0) -10.0
1 32.8 -71.5
2 47.2 -35.79
3 47.7 -4.4
4 49.1 23.4
5 73.3 60.1
K
0 1 2 3 4 5
VPNA
PRDIDA
50
0
-50
-100
RENTABILIDAD
K FNF VPNA0.15% ,K 0 (40.0) -40.0 1 10.6 -30.8 2 25.1 -11.8 3 25.6 5.0 4 49.1 23.4 5 73.3 69.5
EV.FINANCIERA:
RENTABILIDAD
VPNA
K
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
0 1 2 3 4 5
PRDIDA
PERIODO DE RECUPERO Es el tiempo en el que el VPNA se hace cero.
Nos seala a partir de que momento se obtiene rentabilidad, antes de este periodo el VPNA es negativo (Perdida).
Ejemplo.- En el caso que se ha estado resolviendo:
P.R. Econmico = 3.16 aos.
P.R. Financiero = 2.70 aos.
0 1 2 3 4 5 6
PERIODO DE
RECUPERO
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
VPNA
K
CRITERIOS DE EVALUACION DE INVERSIONES 15
TASA MARGINAL INTERNA DE RETORNO (TIR) La TMIR se utiliza para determinar el tamao (escala) optima y el momento optimo para liquidar el proyecto.
TAMAO OPTIMO: TMIR ES LA TIR de la inversin incremental (para llegar de 1 a 2 , siendo 1 < 2 ). El tamao optimo se determina cuando la TMIR = TD.
FNF
MMUS$ de 0 0 1 2 3 VPNA0.10% TIR(%)
Proy. A: 1 (100) 60 80 90 88.3 51.8
Proy. B: 2 (150) 80 130 130 127.8 49.8
B-A (50) 20 50 40 39.5 46.0
0=
(1+ )
=0 = 46.0%
CRITERIOS DE EVALUACION DE INVERSIONES 16
MOMENTO OPTIMO PARA LIQUIDAR TMIR es la TIR que se obtiene por el ao adicional de operacin (pasar del ao N al ao N+1). Hay dos tipos de Liquidacin (se aplica, generalmente, a los proyectos cclicos; granjas; agriculturas, etc.)
1. Retiro de la Actividad: Momento de Liquidacin se determina cuando la
TMIR = TD.
2. Continuacin en la Actividad: El Momento de liquidacin se determina
cuando la TMIR = TIR.
FNF
/ = 4
3= 350%
MMUS$ DE 0 0 1 2 3 4 , % TIR (%)
A. Se Liquida en 3 (100) 40 60 80 -- 46.1 31.7
B. Se Liquida en 4 (100) 40 60 80 90 92.5 42.6
B-A 0 0 0 (20) 90 46.4 350.0
CURVA TIPICA DE LA TIR Y TMIR
DETERMINACION DEL TAMAO OPTIMO EJEMPLO: Determinar el tamao optimo para una planta, a continuacin se tallara el FNF para cada tamao Expresado en MMUS$.
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7
0 -150 -170 -190 -210 -230 -250 -270
1 30 36 44 50 54 57 59
2 32 38 46 53 57 60 62
3 33 40 49 55 60 63 65
4 35 42 51 58 63 66 68
5 36 44 53 61 66 69 72
6 38 46 56 64 69 73 75
7 40 48 59 67 72 76 79
8 42 51 62 70 76 80 87
9 44 53 65 74 80 84 87
10 47 56 68 78 89 88 92
29.2 45.7 72.7 89.3 93.6 90.3 82.3
TIR(%) 19.5 21.1 23.6 24.5 24.0 23.2 22.0
TMIR Qj/Qj-1 31.9 43.2 31.9 19.5 12.4 4.1
0.10%
DETERMINACIN TAMAO PTIMO
CRITERIOS DE EVALUACION DE INVERSIONES 20
Ejemplo: Se tiene un proyecto de crianza de animales. Determinar el momento ptimo de venta de los animales. MES DE VENTA - J
FNF (MMUS$ de 0)
5 6 7 8 9 10
0 (100) (100) (100) (100) (100) (100)
1 (5) (5) (5) (5) (5) (5)
2 (11) (11) (11) (11) (11) (11)
3 (17) (17) (17) (17) (17) (17)
4 (23) (23) (23) (23) (23) (23)
5 230 (29) (29) (29) (29) (29)
6 325 (36) (36) (36) (36)
7 420 (43) (43) (43)
8 527 (44) (44)
9 634 (56)
10 735
0,10% 1.1 23.5 35.4 43.9 43.9 34.6
TIR(10 %) 10.2 13.3 13.8 13.9 13.2 12.2
1
25.3 16.4 13.9 10.0 5.5
CRITERIOS DE EVALUACION DE INVERSIONES 21
MOMENTO OPTIMO DE LIQUIDACION
CRITERIOS DE EVALUACION DE INVERSIONES 22
VALOR PRESENTE NETO INCREMENTAL (VPNI)
El VPNI se utiliza para determinar el momento ptimo para invertir, es el VPN de la diferencia entre invertir el prximo ao e invertir ste ao.
0, =
(1+)+1=0
Si el VPNI > 0 el proyecto debe ser postergado
MMUS$ de 0 0 1 2 3 N-1 N N+1
Invertir Hoy: A 0 1 2 3 1
Invertir Maana: B
1 2 3 1 +1
CRITERIOS DE EVALUACION DE INVERSIONES 23
SIMPLIFICACION : - El perodo de pre-operacin es 1 ao. - Los FNF son independientes de cuando se inicia el proyecto (ao de operacin). - N es muy grande y hace +1
(1+)+1
sea despreciable.
0, = - 0 + 0 1 (1+)
De donde resulta si: TD > 1/0 postergar el proyecto e invertir en el ao 1. TD < 1/0 invertir en el ao 0.
CRITERIOS DE EVALUACION DE INVERSIONES 24
DISCREPANCIA ENTRE EL VPN Y LA TIR
FNF
0 MMU$$ DE 0 1 2 3 VPN 0.10% TIR(%)
MMU$$ DE 0
MMU$$ DE 0 (80)
(100)
50 40 28.6 40 30.3
35.6 65 50 50 28.4
SEGN EL CRITERIO DEL VPN el proyecto B es mejor, pero segn el criterio de la TIR el proyecto A es mejor
VPNA < VPNB TIRA > TIRB
RAZONES DE LAS DISCREPANCIA
1. Diferencia de escala (inversin)
2. Diferencia de perfil :
3. Diferencia de Horizonte de planeamiento o nmero de aos de operacin
Cuando la discrepancia se por diferencia de escala o perfil prevalece el criterio de VPN
DISCREPANCIA POR DIFERENCIA DE H/P
Los VPN no son comprable , el VPNA es valido para 4 aos de operacin y el VPNB es vlido para 5 aos. Para haceros comparables hay que expresarlos para un mismo numero de aos de operacin , o expresar el VPN por ao de operacin) VPN anualizado) conocido como factor de recuperacin de capital (FRK).
La seleccin se realiza por aquel proyecto que cuente con el mayor FRK (VPN anualizado)
a: Aos de operacin
EJEMPLO:
Se cuenta con dos proyectos A y B y cuyos FNF se muestran a continuacin, determinar que proyecto es mejor.
0 MMU$$ DE 0 1 2 3 4
B
A -100
-120
45 55 55
35.6 55 45 35
El proyecto A tiene 3 aos de operacin y el proyecto B , 4 aos .La tasa de descuento es 10%.
EVALUACION DE LA RENTABILIDAD
Hay una clara discrepancia entre el VPN y la TIR
El VPN de A es para 3 aos de operacin mientras que el de B es para 4 aos, razn por la cual no se pueden comparar.
0.10% TIR a
(MMUS$ de 0 ) ( %) (Aos de Op.)
A 27.69 24.6 3 B 31.31 20.5 4
Para hacerlos comparables debemos expresarlos en la misma base. Esto es VPN por ao de operacin ( VPN anualizado , tambin conocido como FRK )
El proyecto A es mejor , por tener un VPN anualizado (FRK )
A: FRK10%,3= 27.69 (1.1)
3 0.1
(1.1)3 1
= 11.1 MMUS$ de 0/ Ao
B: FRK10%,4 = 31.31 (1.1)
4 0.1
(1.1)4 1
= 9.9 MMUS$ de 0/ Ao
SELECCIN DE ALTERNATIVAS
DE REEMPLAZO
PROYECTOS DE INVERSION
SELECCIN DE ALTERNATIVAS DE REEMPLAZO
Esta es una herramienta muy til que permite operar con los equipos que originan el mnimo costo o egreso . En las plantas industriales se efectan reemplazos de equipos antiguos bsicamente por las razones siguientes : - Altos costos de mantenimiento y/o operativos - Baja eficiencia - Periodos continuos de mantenimiento - Obsolescencia Generalmente los equipos nuevos o aquellos que reemplazarn a los antiguos prestaran los mismos servicios que los equipos reemplazados , razn por la cual no se genera ingresos adicionales sino ahorros o disminucin de costos
la Ecuacin del FNF : = ( EG - D ) * (1- t) + D + VS - INV Eliminando los ingresos de la ecuacin anterior y cambiando de signo para obtener el flujo de Egresos FEG = (EG) * (1-t) t* D - VS + INV Donde : I Ao (0,1,2,3,. ,n) FEG Flujo Egresos EG Egresos ( gastos de produccin , administrativos y ventas ) D Depreciacin T Tasa impositiva VS Valor de rescate INV Inversin
El valor de Salvamento (VS ) es el flujo de dinero que ingresara a la empresa por venta de los equipos usados y no el valor de libros de estos activos.
BASES UTILIZADAS EN LOS EJEMPLOS
- Moneda real del ao cero( moneda constante)
- Tasa de descuento Real Anual 15%
- Tasa Impositiva 30% y
- Depreciacin Lineal
ALTERNATIVAS DE REEMPLAZO 3
CASO : COMPRAR VS REPARAR
Un equipo de servicios de pozos se encuentra malogrado y su valor en libros es de 30MUS$. Para operarlo nuevamente se requiere gastar 70MUS$(en el ao 0)en reparaciones mayores. Esta operacin permitir operar 5 aos mas (1-5)al cabo del cual no tendr valor residual, los costos de mantenimiento y operacin sern de 30MUS$/ao. En caso de ser reparado nuevamente al final del ao 5 podr operar 5 aos ms (6-10) para lo cual debe invertirse 60MUS$ y los costos de operacin y mantenimiento sern 46 MUS$ al ao.
Como alternativa se considera la compra de un equipo cuyo costo instalado es de 160 MUS$. En el caso de efectuarse la compra se revendera el equipo antiguo a 5MUS$ (en el ao1). Despus de 10 aos de operacin no tendr valor residual y su costo de operacin y mantenimiento ser de 28MUS$/ao.
Determinar cual de las posibilidades es ms ventajosa.
ALTERNATIVAS DE REEMPLAZO 4
ALTERNATIVA DE REPARAR
1/5=(70+30)/5=20MUS$/ao 6/10=60/5 MUS$/ao
En el ao 1 se dejar de recibir 5.0 MUS$ por no vender el equipo antiguo.
AO INVERSION EGRESOS DEPRECIACION
FEG
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
70.0 5.0
60.0
30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 46.0 46.0 46.0 46.0 46.0
20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 12.0 12.0 12.0 12.0 12.0
70.0 20.0 15.0 15.0 15.0 75.0 28.6 28.6 28.6 28.6 28.6
VPEG 0.15% =202.1 MUS$ ALTERNATIVAS DE REEMPLAZO 5
ALTERNATIVA DE COMPRAR
1/10=160/10 =10MUS$/ao
Conclusin: el egreso equivalente de reparar el equipo antiguo es 202.1 MUS$ y de adquirir uno nuevo es 234.3 MUS$, se concluye que es conveniente repara el equipo antiguo ya que significa un menor egreso de dinero.
AO INVERSION
EGRESOS DEPRECIACION
FEG
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
160 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0
16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0
160.0 14.8 14.8 14.8 14.8 14.8 14.8 14.8 14.8 14.8 14.8
VPEG0.15% = 234.3MUS$
ALTERNATIVAS DE REEMPLAZO 6
CASO: ALQUILAR Vs. REPARAR
Un grupo de bombas malogradas cuyo valor en libros es cero, repararlas costara 145MUS$. Los costos de operacin y mantenimiento sern 42MUS$/ao para los 5 aos de operacin, despus de los cuales tendran 14.5 MUS$ como valor residual. Existe la propuesta de alquilar bombas de la mismas caractersticas y cuyo costo sera de 65MUS$/ao, esta cifra incluye los costos de mantenimiento, el costo de operacin de estas bombas asciende a 13 MUS$/ao.
Determinar cual de las alternativas es ms atractiva .
ALTERNATIVAS DE REEMPLAZO 7
ALTERNATIVA DE REPARAR
D1/5 = (145 14.5 ) / 5 = 26.1 $
ALTERNATIVAS DE REEMPLAZO 8
AO INVERSION EGRESOS DEPRECIACION FEG
0 145.0 145.0
1 42.0 26.1 21.6
2 42.0 26.1 21.6
3 42.0 26.1 21.6
4 42.0 26.1 21.6
5 (14.5) 42.0 26.1 7.1
VPEG 0.15% = 210.1 MUS$
ALTERNATIVA DE ALQUILER
Conclusin: es conveniente alquilar y no reparar, ya que esta alternativa significa un menor ingreso
de dinero ALTERNATIVAS DE REEMPLAZO 9
EG 1/5 = + + = 65 + 13 = 78 $
AO INVERSION EGRESOS DEPRECIACION FEG
0
1 78.0 54.6 2 78.0 54.6 3 78.0 54.6 4 78.0 54.6 5 78.0 54.6
VPEG 0.15% = 183.0 MUS$
CASO:
REEMPLAZO DE EQUIPOS POR ALTOS COSTOS DE OPERACIN Y MANTENIMIENTO
Evaluar si es conveniente reemplazar la bomba antigua por una nueva que cuesta 2000 US$ que tiene una vida til de 5 aos sin valor de rescate y cuyo costo anual de operacin es de 400 US$/ao . Al adquirir la nueva bomba se vender la antigua a 100 US$
Hace tres aos se compr una bomba por 1300 US$, actualmente su valor en libros es 500 US$, sus costos de operacin y mantenimiento son de 1000 US$/ao y puede continuar operando durante cinco aos mas despus de los cuales no tendr valor de rescate .
Solucin: el reemplazo de una bomba no requiere de un periodo largo para su cambio, por lo que se considerara un tiempo mnimo para este efecto no afectando el perfil de los flujos de egreso.
ALTERNATIVAS DE REEMPLAZO 10
BOMBA ANTIGUA De continuar operando con la bomba antigua la empresa dejara de recibir 100 US$ en el ao. Uno por no venderla (no los 500 US$ que es su valor en libros);
este ingreso negativo se reporta como una inversin en el ao uno.
D1/5 = 500/5 = 100 US$/ ao
AO INVERSION EGRESOS DEPRECICACION FEG'
0
1 100.00 1000.00 100.00 770.00
2 1000.00 100.00 670.00
3 1000.00 100.00 670.00
4 1000.00 100.00 670.00
5 1000.00 100.00 670.00
VPEG 0. 15% =2332.00 US$
BOMBA NUEVA D1/5 = 2000/5 = 400 US$/ao
CONCLUSIN: Es ms atractiva la compra de una nueva bomba ya que esta
alternativa significa un menor egreso de dinero.
AO INVERSION EGRESOS DEPRECICACION FEG'
0
1 2000.00 400.00 400.00 2160.00
2 400.00 400.00 160.00
3 400.00 400.00 160.00
4 400.00 400.00 160.00
5 400.00 400.00 160.00
VPEG 0. 15% =2276.00 US$
CASO: DETERMINACION DE LA VIDA ECONMICA
Se define como vida econmica el periodo en el cual se minimizan los costos
de inversin, operacin y mantenimiento de los equipos. La vida econmica es
una variable muy importante en la determinacin del periodo de operacin de
los equipos.
Ejemplo: El costo de un compresor es de 30 MUS$ y tiene una vida til de 10
aos, los costos anuales de mantenimiento y operacin se incrementan con el
tiempo debido al envejecimiento del equipo, y disminuye el Valor de Rescate
(Recuperado al ao siguiente del ltimo de operacin). Los datos (expresados
en MUS$) relativos a este equipo se muestran en la siguiente tabla:
AO COSTOS OPERATIVOS Y DE MANTENIMIENTO
VALOR DE RESCATE
1 2.2 10.0
2 2.8 9.0
3 3.5 8.0
4 4.4 7.0
5 5.5 6.0
6 7.0 5.0
7 8.8 4.0
8 11.1 3.0
9 14.0 2.0
10 17.6 1.0
Determine cada cuanto tiempo debe cambiarse el equipo
Solucin: Es necesario construir la tabla de costos operativos, mantenimiento,
inversin, valor de rescate y depreciacin en base a la informacin
proporcionada. El nmero de alternativas estar dado por la cantidad de
posibles reemplazos antes que culmine su vida til. En el ejemplo se cuenta
con 10 alternativas.
AOS DE OPERACIN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
INVERSION 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0
VALOR RESIDUAL 10.0 9.0 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0
DEPRECIACION 20.0 10.5 7.3 5.8 4.8 4.2 3.7 3.4 3.1 2.9
COSTOS OPERATIVOS Y DE
MANTENIMIENTO
1 2.2 2.2 2.2 2.2 2.2 2.2 2.2 2.2 2.2 2.2
2
2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8
3
3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5
4
4.4 4.4 4.4 4.4 4.4 4.4 4.4
5
5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5
6
7.0 7.0 7.0 7.0 7.0
7
8.8 8.8 8.8 8.8
8
11.1 11.1 11.1
9
14.0 14.0
10 17.6
FLUJO DE EGRESOS (MUS$ del ao 0)
AOS DE OP. J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30
1 (4.5) (1.6) (0.7) (0.2) 0.1 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
2 (10.0) (1.2) (0.3) 0.2 0.5 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1
3
(9.0) 0.2 0.7 1.0 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
4
(8.0) 1.4 1.6 1.8 2.0 2.1 2.1 2.2
5
(7.0) 2.4 2.6 2.8 2.9 2.9 3.0
6
(6.0) 3.6 3.8 3.9 4.0 4.0
7
(5.0) 5.0 5.1 5.2 5.3
8
(4.0) 6.8 6.8 6.9
9
(3.0) 8.8 8.9
10
(2.0) 11.5
11
(1.0)
PEG 0. 15% 18.56 21.77 24.82 27.77 30.68 33.61 36.59 39.68 42.91 46.32
RK 1. 15% 21.34 13.39 10.87 9.73 9.15 8.88 8.80 8.84 8.99 9.23
FRK (EGRESOS ANUALIZADOS)
Conclusin: Conviene reemplazar el equipo cada 7 aos dado
que la vida Econmica del compresor es de 7 aos.
10
9
FRK Mnimo
2 3 4 5 6 7 8 9 10
AOS DE OPERACIN
DIAGRAMA PARA LA DETERMINACION DE LA VIDA ECONOMICA
CASO: REEMPLAZO TOTAL O PARCIAL DEL EQUIPO
Hace 4 aos se instal por 81 MUS$ una trituradora de metal que an puede
continuar trabajando por 6 aos, el costo anual de operacin y de
mantenimiento es de 8/MUS$/ao. Dadas las condiciones del mercado se
debe duplicar la cantidad de mineral a triturar durante los prximos veinte aos.
Se puede instalar por 75 MUS$ una nueva unidad de igual capacidad que la
existente y similares costos de operacin y mantenimiento.
La instalacin de una unidad de doble capacidad que la presente costara 112
MUS$ y sus costos de operacin y mantenimiento serian de 14 MUS$/ao con
una vida til de 10 aos. La trituradora actual se puede vender hoy a 26 MUS$.
En el momento de su retiro todas las unidades estudiadas tendrn un valor de
rescate de 10% de su costo original.
Alternativa A: Completar Capacidad
Continuar operando con la maquina antigua implica que en el ao 1 dejaremos
de recibir 26 MUS$ ya que no la venderemos. El cargo anual por depreciacin
ser ( 81- 8.1) /10 = 7.29 MUS$.
TRITURADORA ANTIGUA
AO INVERSION EGRESOS DEPRECICACION FEG'
0
1 26.00 8.00 7.29 29.41
2 8.00 7.29 3.41
3 8.00 7.29 3.41
4 8.00 7.29 3.41
5 8.00 7.29 3.41
6 8.00 7.29 3.41
7 (8.10) (8.10)
VPEG 0. 15% =32.48 MUS$. FRK 6.15% =8.58 MUS$/ao
Continuar operando con la trituradora antigua implica un egreso anual de 8.58
mus$ durante los prximos 6 aos.
La depreciacin de la trituradora nueva ser (75 7.5 )/10 = 6.75 MUS$/ ao
TRITURADORA NUEVA DE SIMILAR CAPACIDAD
AO INVERSION EGRESOS DEPRECICACION FEG'
0 75.00 75.00
1 8.00 6.75 3.58
2 8.00 6.75 3.58
3 8.00 6.75 3.58
4 8.00 6.75 3.58
5 8.00 6.75 3.58
6 8.00 6.75 3.58
7 8.00 6.75 3.58
8 8.00 6.75 3.58
9 8.00 6.75 3.58
10 8.00 6.75 3.58
11 (7.50) (7.50)
VPEG 0. 15% =91.33 MUS$. FRK 10.15% =18.20 MUS$/ao
La trituradora nueva de la misma capacidad que la antigua generar egresos
anuales de 18.20 MUS$ durante los prximos 10 aos.
FLUJO DE EGRESOS DEL CONJUNTO
AO FLUJO DE EGRESOS (MUS$/AO)
1 8.58+18.20 = 26.8 2 8.58+18.21 = 26.8 3 8.58+18.22 = 26.8 4 8.58+18.23 = 26.8 5 8.58+18.24 = 26.8 6 8.58+18.25 = 26.8 7 18.20+18.20 = 36.4 8 18.20+18.21 = 36.4 . 18.20+18.22 = 36.4 . 18.20+18.23 = 36.4
20 18.20+18.24 = 36.4
VPEG 0. 15% =191.42 MUS$. FRK 20.15% =30.58 MUS$/ao
Esta alternativa implica un egreso anual de 30.58 US$ durante los prximos 20
aos.
Alternativa B: Reemplazo Total
Esta alternativa consiste en vender la trituradora antigua y comprar una nueva
del doble de capacidad.
AO INVERSION EGRESOS DEPRECICACION FEG'
0 112.00 112.00
1 14.00 10.08 6.78
2 14.00 10.08 6.78
3 14.00 10.08 6.78
. 14.00 10.08 6.78
. 14.00 10.08 6.78
9 14.00 10.08 6.78
10 14.00 10.08 6.78
11 (11.20) (11,20)
VPEG 0. 15% =143.60 MUS$. FRK 10.15% =28.61 MUS$/ao
Esta alternativa implica un egreso anual de 28.61 US$ durante los prximos 20
aos.
Conclusin: Dado que los egresos anualizados (FRK) de la alternativa A son
mayores que los de B, es conveniente vender el triturador antiguo y comprar
uno nuevo del doble de capacidad. La eleccin de la alternativa B generar un
ahorro anual de 30.58-28.61 = 1.97 MUS$ durante los prximos 20 aos.
CASO: REEMPLAZO TOTAL O PARCIAL DEL EQUIPO
Este anlisis se realiza cuando el equipo que viene operando est en
condiciones de continuar trabajando pero existen en el mercado equipos que
pueden prestar el mismo servicio y por sus mejores caractersticas, tienen
costo de operacin y mantenimiento inferiores.
Ejemplo: se estudia el reemplazo de un equipo que viene operando hace 4
aos. El equipo puede operar 3 aos ms (aos 1,2y3) y sus costos de
operacin y de mantenimiento sern de 26.0, 28.0 y 30.0 MUS$/ao
respectivamente. Si se adquiere uno nuevo en este momento (ao 0) su costo
ser 40MUS$ y sus costos de operacin y mantenimiento ser de
20.0MUS$/ao. Este equipo tiene una vida til de 5 aos y un valor de
salvamente de 10.0MUS$. La compaa que vende el equipo nuevo pagara 9.0
MUS$ por el antiguo.
Si se demora la adquisicin del nuevo equipo en 1,2o3 aos el valor que se
recibir por la unidad actual ser de 7.0, 5.0 y 3.0 MUS$ respectivamente
considerar 2MUS$ sobre ao como depreciacin de equipo antiguo. cundo
se debe reemplazar el equipo?
Solucin: Con el equipo antiguo se puede operar hasta el tercer ao. Sea A el
ao en que se opera con el equipo antiguo y N con el nuevo
AOS 1 2 3 4 5
A N N N N N Reemplazo en el ao 1
B A N N N N Reemplazo en el ao 2
C A A N N N Reemplazo en el ao 3
D A A A N N Reemplazo en el ao 4
En la matriz anterior se puede apreciar que la diferencia entre las cuatro
alternativas son los tres primeros aos de operacin.
UN AO DE OPERACIN CON EL EQUIPO ANTIGUO
AO INVERSION EGRESOS DEPRECICACION FEG'
0 9.00 9.00
1 (7.00) 26.00 2.00 10.60
VPEG 0. 15% =18.22 MUS$. FRK 1.15% =20.95 MUS$/ao
DOS AOS DE OPERACIN CON EL EQUIPO ANTIGUO
AO INVERSION EGRESOS DEPRECICACION FEG'
0 9.00 9.00
1 26.00 2.00 17.60
2 (5.00) 28.00 2.00 14.00
VPEG 0. 15% =34.89 MUS$. FRK 2.15% =21.46 MUS$/ao
TRES AOS DE OPERACIN CON EL EQUIPO ANTIGUO
AO INVERSION EGRESOS DEPRECICACION FEG'
0 9.00 9.00
1 26.00 2.00 17.60
2 28.00 2.00 19.00
3 (3.00) 30.00 2.00 17.40
VPEG 0. 15% =50.11 MUS$. FRK 3.15% =21.95 MUS$/ao
EQUIPO NUEVO
AO INVERSION EGRESOS DEPRECICACION FEG'
0 40.00 40.00
1 20.00 6.00 12.20
2 20.00 6.00 12.20
3 20.00 6.00 12.20
4 20.00 6.00 12.20
5 (10.00) 20.00 6.00 2.20
VPEG 0. 15% =75.92 MUS$. FRK 5.15% =22.65 MUS$/ao
FLUJO DE EGRESOS DE LAS ALTERNATIVAS
Las cuatro alternativas se diferencian solo en los tres primeros aos (1,2 y 3) a
partir del cuarto ao se operar con el equipo nuevo sea cual fuere la
alternativa. Solo es necesario construir perfil de egresos para los aos 1, 2 y 3.
AOS A B C D
1 22.65 20.95 21.46 21.95
2 22.65 22.65 21.46 21.95
3 22.65 22.65 22.65 21.95
VPEG 0.15% 51.71 50.24 49.78 50.11 MUS$
Conclusin: La alternativa que genera menos egresos a la empresa es la C,
por lo tanto conviene operar con el equipo antiguo hasta el ao 2.
PROYECTOS DE
INVERSION
ANALISIS DE
RIESGO
ANALISIS DE RIESGO P P
VPN VPN
CERTIDUMBRE RIESGO
P
VPN
INCERTIDUMBRE
RIESGO E INCERTIDUMBRE
INCERTIDUMBRE + DISTRIBUCION DE
PROBABILIDADES
DE OCURRENCIA
RIESGO
FUENTES DE RIESGO O INCERTIDUMBRE
El FNF fue calculado para el escenario esperado, para lo cual se proyecto las
variables relevantes del proyecto como son :
Inversin
Precios ( Ventas, M.P, . insumos)
Niveles de Produccin
Volumen de ventas
Eficiencia de proceso(rendimientos)
Consumo de M.P. , mat. Y servicios
Cuando ms lejano del presente est el periodo proyectado, la probabilidad de ocurrencia del
valor esperado es menor.
VARIABLES RELEVANTES EN LA INDUSTRIA DEL PETROLEO A,- RESERVAS RECUPERABLES
rea Productiva
Espesor de formacin
Porosidad
Saturacin de agua
Factores de Recuperacin
Factor de volumen de formacin de petrleo.
Porcentaje petrleo y gas en la estructura.
Temperatura y presin del reservorio.
Compresibilidad, etc.
B.- PERFORACION Y PRODUCCION
Nmero de pozos perforados
Recuperacin/pozo
Potencial inicial/pozo
Velocidad de declinacin
Velocidad de Abandono
Nmero de pozos secos
Nmero de plataformas
Tamao de ductos
Produccin diferida por perforacin o construccin de ductos, etc.
C,- COSTOS E INGRESOS
Costo de Perforacin
Costo de Plataforma
Precios de Petrleo y gas
Costos Operativos
Costo de facilidades de produccin
Impuestos
Regalas, etc.
MEDICION DEL RIESGO
A pesar que el VPN de las tres alternativas es el mismo, estos no pueden ser
comparados ya que involucran diferentes riesgos. El VPN no es un buen
indicador cuando hay riesgo o incertidumbre.
VPN ESPERADO Y RIESGO
VP INGRESOS
P A
B
ESCENARIO 1
0.8 2000
1750
ESCENARIO 2
0.2 100
1100
VP ING
1620
1620
VP Egr
1000
1000
VPN
620
620
Segn el VPN ambos proyectos son iguales
DISTRIBUCION PROBABILIDADES Y RIESGO
VP INGRESOS
P A
B
ESCENARIO 1
0.8 1000
750 ESCENARIO 2
0.2 (900)
100
VPN
620
620
0
577600
67600 0
760
260
A es ms riesgoso que B
A tiene 20% de probabilidad de ser no rentable, B tiene 100% de
probabilidad de ser rentable, a pesar que los VPN esperados son iguales, los
proyectos no son equivalentes.
VPN ESPERADO EN PERFORACION DE DESARROLLO
PROBABILIDAD DE
OCURRENCIA
VPN 0.15%
POZO SECO
0.4
-20.0
POZO PRODUCTIVO
0.6
60.0
VPN = VPN ESPERADO = 28.0
El VPN esperado indica que el proyecto es rentable, el anlisis de la
distribucin de probabilidades seala que existe 40% de probabilidad que el
proyecto no sea rentable. El VPN esperado es un indicador de rentabilidad
incierto ya que se determin de los FNF esperados (que tambin son inciertos).
RIESGO EN LA EVALUACION DE PROYECTOS
La evaluacin de uno o varios proyectos se basa en la proyeccin de sus
variables, si estos son inciertos los clculos del VAN y la TIR no son de utilidad
para la evaluacin del proyecto.
RIESGO
Cuando no se tiene certeza sobre los valores que tendrn los FNF de una
inversin, nos encontramos ante una situacin de riesgo. Se presenta riesgo
cuando una variable puede tomar distintos valores y se dispone de informacin
para conocer la distribucin de probabilidades de un evento.
Ejemplo: Al lanzar una moneda puede salir sello o cara, se conoce el evento
(2), probabilidad de cada evento es 0.5 siempre que la moneda se
equiprobable.
INCERTIDUMBRE
Existe incertidumbre cuando no se conoce los posibles resultados de un evento o suceso y/o su distribucin de probabilidades.
La toma de decisiones se basa en la experiencia, intuicin conocimiento del evaluador, una manera de mejorar es la investigacin de mercados.
Cuando el factor riesgo est presente en la evaluacin de un proyecto uno de los objetivos es alcanzar la maximizacin del VAN y la TIR para ello es necesario calcular los valores esperados del VAN y del TIR.
Si la principal fuente de riesgo es la variabilidad de los FNF estimados, ello implica suponer que el resto de las variables ( vida til, COK, Inversin, Etc.) son ciertas.
Primero se determina FNF esperado.
E( FCi ) = FCti Pi=1
FCti = FC del perodo (t) si se diera el resultado (i)
S = Nmero de posibles resultados de FCt
Pi = Probabilidad de ocurrencia del resultado i
Calculo del VAN esperado
E(VAN) = E( -Inv. + FCti / (1 + i)t )=1 = -Inv. +
E(FCti ) / (1 + i)t=1
n = nmero de perodos
i = tasa de descuento
Ejemplo
Se tiene dos proyectos de inversin en campos petroleros, la primera inversin se realiza en la Costa y la segunda en la Selva, para su ejecucin ambas requieren de 200MM $, con un costo de oportunidad de capital del 12% ,la distribucin de los flujos de caja de cada proyecto son:
Distribucin de flujo de caja para el lote de la costa (C) en $MM
Distribucin de flujo de caja para el lote de la Selva (S) en $MM
Escenario Probabilidad Probabilidad
A 100 0.3 150 0.4
B 130 0.4 90 0.25
C 140 0.3 160 0.35
Escenario Probabilidad Probabilidad
A 200 0.3 130 0.2
B 160 0.2 190 0.3
C 130 0.3 150 0.2
D 170 0.2 130 0.3
Para el proyecto Costa
E(FC1 ) = +(100*0.3) + (130*0.4) + (140*0.3) = 124
E(FC2 ) = +(150*0.4) + (90*0.25) + (160*0.35) = 138.9
Calculo de la esperanza del VAN para la Costa
E(VAN) = -200 + 124/(1.12) + 138.9/ (1.12)2 = 21.45
Distribucin de flujo de caja para el lote de la Selva (S) en $MM
E(FC1 ) = (200*0.3) + (160*0.2) + (130*0.3) + (170*0.2) = 165
E(FC2) = (130*0.3) + (190*0.2) + (150*0.3) + (130*0.2) = 148
Calculo de la esperanza del VAN para la Selva
E(VAN) = -200 + 165/ (1.12) + 148/ (1.12)2 = 65.30
Del punto de vista de la rentabilidad el proyecto de la Selva es mejor.
Como el proyecto involucra riesgo, dispersin de la variable aleatoria:
V( FCt ) = (FCti E(FCt )2 Pt =
V(FCt ) = Varianza del FCt Desviacin tpica estndar
DS( FCt ) = ( (FCti E(FCt ))2 Pt )1/2=
DS (FC1) = ((100-124)2 * 0.3 + (130-124)2 * 0.4 + (140-124)2 * 0.3)1/2)1/2 = 16.9
DS (FC2) = ((150-138.9)2 *0.4 + (90-138.9)2 *0.25 + (160-138.9)2 *(0.35)1/2 = (803.8)1/2
=28.4
Para el lote de la Costa
Para el lote de la Selva
DS (FC1) = ((200-165)2 *0.3+ (160-165)2 *0.4+ (130-165)2 *0.3+ (170-165)2 *(0.2)1/2=
(750)1/2 =27.4
DS (FC2) = (130-138.9)2 *0.4+ (190-148)2 *0.25+ (150-148)2 *0.35+ (130-148)2 =
(575.3)1/2=24
El inters est en calcular la varianza del VAN
V(VAN) = V( - Inv + (FCt / (1+i)t ) = 2 FCt / (1+i)
2t + + 2 FCn / (1+i)2n +
2cov(FC,FC)/(1+i)3+..+2COV (FCn-1, FCn)/ (1+i) 2n-1 ... (1)
t=1
Si los flujos de caja de cada perodo son independientes entre s:
Las
COV (FC1, FCt) =0
V (VAN) = 2 =1 FCt / (1+i)2t
t=1
Para la Costa
V(VAN) = 285.7/ (1.12)2 + 803.8/ (1.12)4 = 738.6
Para la Selva
V (VAN) = 750/ (1.12)2 + 575.3/ (1.12)4 = 963.5
Si los flujos estn correlacionados perfectamente por perodo:
Si los flujos estn correlacionados perfectamente por perodo:
COV (FC1, FCt) / ( FCt)* 2 FCj = 1
V (VAN) = ( =1 FCt / (1+i) t )2
t=1
Para la Costa
V (VAN) = ((285.7)1/2/ (1.12) + (803.8)1/2/ (1.12)2)2 = 1421.3
Para la Selva
V(VAN) = ( (750)1/2/ (1.12) + (575.3)1/2/ (1.12)2)2 = 1098.4
Cuando se tiene proyectos con distintos niveles esperados de rentabilidad y riesgo se usa el coeficiente de variabilidad (Cv )
Cv = (VAN) / E(VAN)
Para la Costa
Cv = 27.2/21.45 = 1.3
Para la Selva
Cv = 31.04/ 65.3 = 0.48
DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES DEL VAN: Se aplica el teorema de lmite central cuando el nmero de variables tiende al infinito, para el caso el VAN resulta de sumar los flujos, cuanto ms perodos tenga mayor ser la normalidad del VAN.
VAN, N(E(VAN)), 2(VAN) A partir de estas pruebas ser realiza las pruebas de hiptesis y construir intervalos de confianza. PROBABILIDAD DE QUE EL VAN SEA MAYOR A UN VALOR DADO: Se estandariza la variable VAN
Zo = (VANo E (VAN) / (VAN)
Se recurre a tabla de distribucin normal.
En caso se requiera conocer si VAN > 0
P(VAN>0 ) = P ( Z < E(VAN) / (VAN) )
Para la Costa
P(VAN>0 ) = P ( Z < E(VAN) / (VAN) ) = P( Z< 21.45/27.2 = 0.79 = 78.52%
Para la Selva
P(VAN>0 ) = P ( Z < E(VAN) / (VAN) ) = P( Z< 65.3/ 31.04 = 2.10 = 98.21%
Intervalos de confianza Consiste en construir un intervalo centrado sobre la media de la variable dado
un determinado nivel de confianza
Intervalo de 68% de confianza
E(VAN) 1* (VAN) < VAN < E(VAN) + 1* (VAN)
Intervalo de 95% de confianza
E(VAN) 1.96* (VAN)< VAN < E(VAN) + 1.96* (VAN)
Intervalo de 99.7% de confianza
E(VAN) 2.968* (VAN)
Para la Costa AL 95% de confianza
E(VAN) 1.96* (VAN) < VAN < E(VAN) + 1.96* (VAN)
21.45 1.96*27.2 < VAN < 21.45 + 1.96*27.2
-31.9 < VAN < 74.8, (-31.9, 74.8)
Para la Selva
E(VAN)1.96* (VAN)
TASA DE DESCUENTO AJUSTADA(TDA)
=
(1+)=0
El es incierto, la TD es certera Es incierto.
Para corregir el que es incierto, a laTD se le adiciona una prima por riesgo ().
TDA = TD+
es funcin del riesgo (): ~
Proyectos de alto riesgo ( grande) tendrn mayores.
=. =
(1+) =0 =
(1++)=0
METODO DEL EQUIVALENTE DE CERTEZA (MEC)
Convierte el FNF esperado (incierto)en FNF certero multiplicndolo por un factor de equivalencia de certeza.
=
es menor que 1 e inversamente proporcional al nivel de riesgo.
~1
j
. =
(1+) =0 =
(1+)
=0
En el mtodo TDA se corrige el denominador y en el MEC se corrige el numerador de la ecuacin del VPN.
EQUIVALENCIA ENTRE LA TDA Y EL MEC
. =
(1+) =0 igual a .
=
(1+) =0
(1+) =
(1+)
(1++) =
(1+)
= (1+
1++)J
EJEMPLO: Determina el FNF y la rentabilidad certeros del ejemplo de los Estados Financieros (=5.0%)
=(1.15
1.20)=(0.9583)
0 1 2 3 4 5
EV.ECONOMIC
100 32.8 47.2 47.7 49.1 73.3
EV .FINACIERA
40 10.6 25.1 25.6 49.1 73.3
0 1 2 3 4 5
FNF certeros 1.0000 0.9583 0.9184 0.8801 0.8435 0.8083
Ev. Econmica 100 31.4 43.3 42.0 41.1 59.2
Ev. financiera 40 10.2 23.1 22.5 41.1 59.2
(%) (%)
EV.ECONOMICA 60.1 35.3 40.9 29.7
EV.FINANCIERA 69.5 56.1 54.2 49.6
RENTABILIDAD ESPERADA
RENTABILIDAD CERTERA
El MEC es el nico mtodo que proporciona la
ARBOLES DE DECISION Se utiliza cuando el proyecto involucra muchas actividades excluyentes en las
cuales se debe tomar la decisin de que alternativa efectuar. Cada alternativa tiene una distribucin de probabilidades de ocurrencia(eventos).
Decisin
Eventos Primero se deben tomar las decisiones (Probabilidades de ocurrencia) internas
Ejemplo: El futuro presenta dos escenarios : prospero (demanda alta) y recesivo ( demanda baja). Se debe instalar una planta y se desea determinar si esta debe ser de gran capacidad o de tamao medio (TD:10 %)
P= 0.6 D. Alta
200 $
D. Baja
D. Baja
D. Alta P= 0.6
P= 0.4
P= 0.4 (100 $)
100 $
0 $
D. Alta
D. Alta
D. Alta
D. Alta
D. Alta
D. Baja
D. Baja
D. Baja
D. Baja
D. Baja
1000 $
200 $
400 $
200 $
800 $
(500) $
500 $
50 $
0 $
300 $
P=0.8
P=0.2 P=0.3
P=0.7
P=0.3
P=0.7
P=0.8
P=0.2
P=0.2
P=0.8
ao 0 ao 1 ao 2
Se toma la decisin ms interna, construir o no otra planta mediana en el ao 1
Construir otra planta
1.10% =200
(1.1)0 + 0.8800+0.2 200
(1.1)1 = 418.2 $
No construir
1.10% = 0.8400+0.2 200
(1.1)1 = 327.3 $
Es conveniente construir otra planta mediana en el ao 1
D. Alta
D. Alta P= 0.8 D. Baja
D. Baja
P=0.8
P=0.2
P=0.2 200 $
200 $
800 $
400 $
incluyendo la decisin en el rbol principal.
1000 $
50 $
500 $
(500$)
800 $
200 $
300 $
0 $
AO 0
AO 1 AO 2
D. Alta
D. Alta
D. Baja
D. Baja
200 $
(100 $)
100 $ -200 $ -100 $
0 $
P= 0.6
P= 0.4
P= 0.6
P= 0.4
D. Alta
D. Alta
D. Alta
D. Alta
D. Baja
D. Baja
D. Baja
D. Baja
P= 0.8
P= 0.2
P= 0.3
P= 0.7
P= 0.8
P= 0.2
P= 0.3
P= 0.7
Construir Planta Grande
0.10%= 400
1.10 + 0.6200+0.4(100)
1.1 + 0.6 0.81000+0.250 +0.4(0.3500+0.7 5000 )
1.12
0.10% = 8.3 $
Construir en el ao 0 una Panta Mediana y otra en el ao 1
0.10%= 200
1.10 + 0.6 100 +0.40
1.1 + 0.6 0.8800+0.2200 +0.4(0.3300+0.70)
1.12
0.10% = 112.4 $
Se aprecia que es mucho mas conveniente construir la planta mediana.
EJEMPLO:
Evale si es conveniente efectuar ssmica o no en el siguiente diagrama: (TD: 15%)
AO 0 AO 1
SE ENCUENTRA PETROLEO
NO SE ENCUENTRA PETROLEO
SE ENCUENTRA PETROLEO
NO SE ENCUENTRA PETROLEO
NO SE ENCUENTRA PETROLEO
SE ENCUENTRA PETROLEO
P = 0.85
P = 0.15
P = 0.10
P = 0.90
P = 0.55
P = 0.45
400 M$
0 M$
0 M$ 400 M$
0 M$
0 M$
400 M$
0 M$
0 M$
Hay tres decisiones internas que se deben evaluar:
1.Perforar o no en ssmica favorable
-Perforar: VPN0.15%=100
1.150+0.85400+0.150
1.151= 195.7M$
-No perforar: VPN0.15%= 0 *Conviene perforar
2.Perforar o no en ssmica desfavorable
-Perforar: VPN0.15%=100
1.150+0.1400+0.90
1.151= 62.2$
-No perforar: VPN0.15%= 0 *No conviene perforar
3.Perforar o no sin ssmica
-Perforar: VPN0.15%=100
1.150+0.55400+0.450
1.151= 92.3$
-No perforar: VPN0.15%= 0 *Conviene perforar
Hacer ssmica
VPN0.15% =30
1.150+
100
1.150+0.85400+0.150
1.151+0.30
1.151= 107.0M$
No hacer ssmica
VPN0.15% = 91.3M$ *Conviene efectuar ssmica
RIESGO
Cuando el factor riesgo est presente en la evaluacin de un proyecto uno de los objetivos es alcanzar la maximizacin del VAN y la TIR para ello es necesario calcular los valores esperados del VAN y del TIR.
Si la principal fuente de riesgo es la variabilidad de los FNF estimados, ello implica suponer que el resto de las variables (vida til, COK, Inversin, Etc.) son ciertas.
Primero se determina FNF esperado.
s
E(FCi) = FCti * Pi
i =1
FCti = FC del perodo (t) si se diera el resultado (i)
S = Nmero de posibles resultados de FCt
Pi = Probabilidad de ocurrencia del resultado i
Calculo del VAN esperado
n n
E(VAN) = E( -Inv + FCti / (1 + i)t ) = -Inv + E(FCti ) / (1 + i)
t t t=1 t=1
n = nmero de perodos
i = tasa de descuento
Ejemplo
Se tiene dos proyectos de inversin en campos petroleros de la Costa y la Selva, para su ejecucin ambas requieren de 200MM $, con un costo de oportunidad de capital del 12% ,la distribucin de los flujos de caja de cada proyecto son:
Distribucin de flujo de caja para el lote de la costa (C) en $MM
Escenario FC1 Probabilidad FC2 Probabilidad
A 100 0.3 150 0.4
B 130 0.4 90 0.25
C 140 0.3 160 0.35
Distribucin de flujo de caja para el lote de la Selva (S) en $MM
Escenario FC1 Probabilidad FC2 Probabilidad
A 200 0.3 130 0.2
B 160 0.2 190 0.3
C 130 0.3 150 0.2
D 170 0.2 130 0.3
Para el proyecto Costa en $MM
E(FC1 ) = +(100*0.3) + (130*0.4) + (140*0.3) = 124
E(FC2 ) = +(150*0.4) + (90*0.25) + (160*0.35) = 138.9
Calculo de la esperanza del VAN para la Costa
E(VAN) = -200 + 124/(1.12) + 138.9/ (1.12)2 = 21.45
Para el proyecto Selva en $MM
E(FC1 ) = (200*0.3) + (160*0.2) + (130*0.3) + (170*0.2) = 165
E(FC2) = (130*0.3) + (190*0.2) + (150*0.3) + (130*0.2) = 148
Calculo de la esperanza del VAN para la Selva
E(VAN) = -200 + 165/ (1.12) + 148/ (1.12)2 = 65.30
Del punto de vista de la rentabilidad el proyecto de la Selva es mejor.
Como el proyecto involucra riesgo, dispersin de la variable aleatoria: s V(FCt) = (FCti - E(FCt )
2 )* Pt i=1 V(FCt ) = Varianza del FCt Desviacin tpica estndar s DS(FCt ) = ( (FCti - E(FCt ))
2 * Pt )1/2
i=1
Para el lote de la Costa
DS(FC1 ) = ((100-124)2 *0.3 + (130-124)2 *0.4 + (140-124)2 *0.3)1/2)1/2 =
(285.7)1/2 =16.9
DS(FC2 ) = ((150-138.9)2 *0.4 + (90-138.9)2 *0.25 + (160-138.9)2
*0.35)1/2 = (803.8)1/2 =28.4
Para el lote de la Selva
DS(FC1 ) =((200-165)2 *0.3+(160-165)2 *0.4+(130-165)2 *0.3+(170-165)2
*0.2 )1/2= (750)1/2 =27.4
DS(FC2 ) = (130-138.9)2 *0.4+(190-148)2 *0.25+(150-148)2 *0.35+(130-
148)2 = (575.3)1/2=24
El inters est en calcular la varianza del VAN
n V(VAN) = V( - Inv + (FCt / (1+i)
t ) = 2 FCt / (1+i)2t + + 2 FCn / (1+i)2n +
t=1
2COV(FC1,FC2)/ (1+i)3 +..+2COV(FCn-1,FCn)/ (1+i)
2n-1 ..(1)
Si los flujos de caja de cada perodo son independientes entre s: Las
COV(FC1, FCt ) =0
n
V(VAN) = 2 FCt / (1+i)2t
t=1
Para la Costa
V(VAN) = 285.7/ (1.12)2 + 803.8/ (1.12)4 = 738.6
Para la Selva
V(VAN) = 750/ (1.12)2 + 575.3/ (1.12)4 = 963.5
Si los flujos estn correlacionados perfectamente por perodo:
COV(FC1, FCt) / ( FCt )* 2 FCj = 1
n
V(VAN) = ( FCt / (1+i)t )2
t=1
Para la Costa
V(VAN) = ((285.7)1/2/ (1.12) + (803.8)1/2/ (1.12)2 )2 = 1421.3
Para la Selva
V(VAN) = ( (750)1/2/ (1.12) + (575.3)1/2/ (1.12)2 )2 = 1098.4
Cuando se tiene proyectos con distintos niveles esperados de rentabilidad y riesgo se usa el coeficiente de variabilidad (Cv )
Cv = (VAN) / E(VAN) Para la Costa Cv = 27.2/21.45 = 1.3 Para la Selva Cv = 31.04/ 65.3 = 0.48
Distribucin de probabilidades del VAN
Se aplica el teorema de lmite central cuando el nmero de variables tiende al infinito, para el caso el VAN resulta de sumar los flujos, cuanto ms perodos tenga mayor ser la normalidad del VAN.
VAN, N(E(VAN)), 2(VAN)
A partir de estas pruebas se realiza las pruebas de hiptesis y construir intervalos de confianza.
PROBABILIDAD DE QUE EL VAN SEA MAYOR A UN VALOR DADO
Se estandariza la variable VAN
Zo = (VANo E(VAN) ) / (VAN)
Se recurre a tabla de distribucin normal.
En caso se requiera conocer si VAN > 0
P(VAN>0 ) = P ( Z
Para la Costa
P(VAN>0 ) = P ( Z < (E(VAN) / (VAN) ) = P( Z< 21.45/27.2 = 0.79 = 78.52%
Para la Selva
P(VAN>0 ) = P ( Z < (E(VAN) / (VAN) ) = P( Z< 65.3/ 31.04 = 2.10 = 98.21%
Intervalos de confianza Consiste en construir un intervalo centrado sobre la media de la variable dado un
determinado nivel de confianza.
Intervalo de 68% de confianza
E(VAN) 1* (VAN) < VAN < E(VAN) + 1* (VAN)
Intervalo de 95% de confianza
E(VAN) 1.96* (VAN) < VAN < E(VAN) + 1.96* (VAN)
Intervalo de 99.7% de confianza
E(VAN) 2.968* (VAN) < VAN < E(VAN) + 2.968* (VAN)
Para la Costa al 95% de confianza
E(VAN) 1.96* (VAN) < VAN < E(VAN) + 1.96* (VAN)
21.45 1.96*27.2 < VAN < 21.45 + 1.96*27.2
-31.9 < VAN < 74.8, (-31.9, 74.8)
Para la Selva al 95% de confianza
E(VAN) 1.96* (VAN) < VAN < E(VAN) + 1.96* (VAN)
65.3 1.96*31.04 < VAN < 65.3 + 1.96*31.04
4.5 < VAN < 126.1, (4.5, 126.1)
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Se estudia la sensibilidad de la rentabilidad en las variables ms importantes del proyecto.
1.Se identifican varias relevantes e independientes del proyecto.
2.En adicin al valor esperado, se identifican los valores mnimos y mximos que alcanzaran las variables. Estos valores se expresan como tanto por uno del valor esperado.
Valor mnimo: / =