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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
TÓPICOS ESPECIAIS EM ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS
RICARDO LUIZ SPONCHIADO
TRABALHO 03
SISTEMAS VARIANTES NO TEMPO
PATO BRANCO
2015
RELATÓRIO DE TRABALHO AVALIATIVO
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RICARDO LUIZ SPONCHIADO
TRABALHO 03
SISTEMAS VARIANTES NO TEMPO
Relatório apresentado à disciplina de
Tópicos Especiais de Análise de SistemasDinâmicos, do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica – PPGEE, da Universidade TecnológicaFederal do Paraná – UTFPR, CâmpusPato Branco.
Prof. Dr. Jean Patric Da Costa.
PATO BRANCO2015
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SUMÁRIO
1. Introdução ............................................................................................................. 4
2. Objetivos ............................................................................................................... 5
3. Exemplos .............................................................................................................. 6
Exemplo 4.8 ............................................................................................................... 6
Exemplo 4.9 ............................................................................................................... 7
Exemplo 4.10 ............................................................................................................. 8
4. Problemas ............................................................................................................. 10
Problema 4.01 .......................................................................................................... 10
Problema 4.03 .......................................................................................................... 11
Problema 4.06 .......................................................................................................... 14
Problema 4.07 .......................................................................................................... 15
Problema 4.10 .......................................................................................................... 16
Problema 4.16 .......................................................................................................... 16
Problema 4.20 .......................................................................................................... 18
Problema 5.21 .......................................................................................................... 20
Referências ............................................................................................................... 21
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1. INTRODUÇÃO
A principal razão deste relatório é introduzir a noção de análise de sistemaslineares variante no tempo através de revisão e resolução de problemas presentes na
literatura.
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2. OBJETIVOS
O objetivo geral deste trabalho é o estudo e resolução de exercíciosconsiderando a referência Linear System Theory and Design- C.T. Chen listados a
seguir:
Refazer os exemplos 4.8, 4.9, 4.10;
Resolver os problemas 4.1, 4.3, 4.6, 4.7, 4.10, 4.16, 4.20
Resolva o exercício proposto em aula 5.21.
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6
3. EXEMPLOS
Exemplo 4.8
Considere o sistema homogêneo:
1 1
2 2
0 0 0 0( )
0 0
x x
x x t
x xt t
Ou1( ) 0 x t e 2 ( ) ( ) 0 x t tx t
A solução de 1( ) 0 x t para 0 0t é 1 1( ) (0) x t x .
A solução de 2 1 1( ) ( ) (0) x t tx t tx é
2
2 1 2 1 20
( ) (0) d (0) 0.5 (0) (0)t
x t x x t x x
Assim temos
1
2
2
(0) 1 1(0) ( )
(0) 0 0.5
x
t
x t
x x
e
12
2
(0) 1 1(0) ( )(0) 2 0.5 2
x
t
x t
x x
As duas condições de estado inicial são linearmente independentes, assim
2 2
1 1( )
0.5 0.5 2t
t t
X
que é a matriz fundamental.
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7
Exemplo 4.9
Considere a equação homogênea do Exemplo 4.8. A matriz fundamental calculada é
2 2
1 1( )
0.5 0.5 2t
t t
X
Calculando a inversa
21
2
0.25 1 0.5( )0.25 0.5
t t
t
X
Assim, a matriz de transição de estado é determinado por
2
0
0 2 22 2 200
1 01 1 0.25 1 0.5( , )
0.5( ) 10.5 0.5 2 0.25 0.5
t t t
t t t t t
Φ
Onde a matriz de transição deve satisfazer
0 0, ,t t t t t t
Φ A Φ
Com as seguintes propriedades:
,
t t Φ I
1
1 1 10 0 0 0, ,t t t t t t t t
Φ X X X X Φ
0 1 1 0, , ,t t t t t t Φ Φ Φ
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8
Exemplo 4.10
Considere ( ) t g t te ou ( )( , ) ( ) ( )
t g t g t t e
É fácil verificar que
( )t
t t
t
te g t e te
e
Assim, a representação por espaço de estados fica
0 0(t) ( ) ( )
0 0
( ) ( )
t
t
t t
tet u t
e
y t e te t
x x
x
Considerando como uma implementação a resposta ao impulso
( ) t g t te
. Atransformada de Laplace da resposta ao impulso é
2 2 2
1 1ˆ( )
( ) 2
t g s te
s s s
E considerando a forma canônica de realização de sistemas, dada por
1 2
1 2 1
1ˆ
1 r r sp r r s s s s s
d s d s
G N N N N N
Tem-se as equações
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9
2 11
0 0 0
0 000
00 0 0
0
r r
p I
p p p p
p
p
p
I I I I
I
I
x x u
I
1 2 1 ˆ r r y N N N N x G u
Logo
˙ 2 12
01 0
t t t
x x u
0 1 y t t x
Que representa uma nova realização para resposta impulso.
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4. PROBLEMAS
Problema 4.01
Mostre que a solução
cos sin(t) (0)
sin cos
t t
t t
x x
é oscilação é gerada por
0 1
1 0
x x
Assim
0 1
1 0
x x Ax
21
11
det
A
j
Igualando ℎ() = 0 + e sendo () = . Para = , temos
0 1 jt
e j
E para = −, temos
0 1 jt
e j
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11
Isolando tem-se
12
jt jt e e
sent j
Agora isolando para 0, tem-se
0 1 cos jt
e j t
Como
cost cost sent
e t sent sent cost
AI A
Logo
0cost sent
t sent cost
x x
Problema 4.03
Discretize a equação de estado para 1T e T .
0 1 1
2 2 1
( ) 2 3
u
y t
x x
x
para os períodos de amostragem = 1
e =
.
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12
Primeiro devemos encontrar . Sendo assim, temos
21
2 21det
A
1 j
Igualando ℎ() = 0 + e sendo () = . Para = −1 − , temos
1
0 1 1
j t e j
E para = −1 + , temos
1
0 1 1 j t
e j
Isolando 0 e , temos
0 sent
e t
1t
e sent cost
Logo
0 10 1
2 2
t e
AI
sen
2 sen
t t
t
t t
e sent cost e t
e
e t e sent cost
A
Deve-se aplicar o tempo de discretização sendo t = T = 1
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13
1 1
1 1
1 cos 1 sen 1
2 sen 1 1 cos 1
d
e sen e
e
e e sen
AA
0,5083 0,3046
0,6191 0,1108d e
AA
Como A não possui autovalores iguais a zero, calcula-se por
1d d
B A A I B
Seu uso elimina a necessidade do cálculo de uma série infinita. Logo, temos
0 1 0,5083 0,3046 1 0 1
2 2 0, 6191 0,1108 0 1 1d
B
1.0471
0.1821d
B
Assim, a equação de estado é dada por
0, 5083 0, 3046 1.052
10, 6191 0,1108 0.1871
k k k
x x u
1 2 3k k y x
Realizando os mesmos passos anteriores para = = , chegamos a
0, 0432 0 1, 5648
10 0, 0432 1, 0432
k k k
x x u
1 2 3k k y x
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Problema 4.06
Verifique que
1
1
1 1
0
0
( )
bu
b
y t c c
x x
x
pode ser transformada em
( )
u
y t
x Ax b
c x
com
1 1 1 1 1
0 1
0
1
2 Re( c ) 2 Re( c )c b b
A
b
x
Através da transformação x Qx onde
1 1
1
1 1
b b
b b
Q
Considerando as propriedades de da transformação de equivalência, temos
1
1
A QAQ
B QB
C CQ
Assim
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15
Problema 4.07
Verifique se a equação
1
2
3
1
2
3
1 2 3 1 2 3
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 10 0 0 0 0
( )
b
b
bu
b
bb
y t c c c c c c
x x
x
Pode ser transformada em
2
2
1 2 3
A I 0 b
x = 0 A I x + b u
0 0 A b
y = c c c x
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16
Problema 4.10
Considere a matriz racional 1x2
1 2 4 3 21 2 3 4
1ˆ ( ) s d d
s s s s
G
3 2 3 2
11 21 31 41 12 22 32 42[ s s s s s s ] x
Mostre que sua forma canônica observável realização pode ser reduzido de como
1 11 12
2 21 22
3 31 32
4 41 42
1 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
( ) 1 0 0 0 y t d d
x x u
x u
Problema 4.16
Encontre matrizes fundamentais e matrizes de transição de estado para
0 1
0 t
x x
e
21
0 1
t
e
x x
Então temos
20,52 2 2 2( ) (0) e
t x tx x t x
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17
20.5
1 2 1 2 1
0
( ) ( ) (0) (0)
t t
x x t x t e dt x x
Para1
(0)0
x
Tem-se
1(t)
0 x
Para
0(0)1
x
Tem-se
2
2
0.5
0
0.5
(t)
t t
t
e dt
x
e
Assim a matriz fundamental é
2
2
0.5
0
0.5
1(t)
0
t t
t
e dt
x
e
2 22 2
2
2
0.5 0.50.5 0.51
00.5 0
0.5
11(t)
0 1 0
t t t t t t
t
t
e e dt e e dt x
e
e
A matriz de transição de estados é dada por
22
2 2
0.50.5
10
0.5( )
1( , ) ( ) ( )
0
c
c
c
t t t
c t
t t
e e dt
t t x t x t
e
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18
Problema 4.20
Encontre a matriz de transição de estados para
sin
0 cos
t o
t
x x
2
1 1
2
sin 0
0 cos
x xt
x xt
1 1 sin x x t t
2 2 cos x x t t
Aplicando
1 1 0
cost x t e x
2 2 0 sent
x t e x
Para
1
00
x
Temos
0
cost e
t
x
E para
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19
0
01
x
Temos
0
sent t
e
x
Logo, a matriz fundamental é dada por
0
0
cost
sent
e
t
e
X
Aplicando a regra prática para inversão de matrizes de ordem 2, temos
1 0
0
cost
sent
e
t
e
X
Como
10,t t t t
Φ X X
Temos
0
0
0
0,
0
cost cost
sent sent
e
t t
e
Φ
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20
Problema 5.21
Considere a equação variante no tempo
2
2
t
x tx u
y e x
Cheque se é BIBO estável, marginalmente estável ou assintoticamente estável:
Cômpute a “matriz” de transição 0( , )t t
Cômute a resposta ao impulso ( , )t g
2 2
0 02 ( )
0( , )t
t tdt t t
t t e e
2 2 22 2
g( , ) ( , ) 1 t t t
t e t e e
2 2
0 0
g( , ) t t t
t t t d e d e
A equação é BIBO estável.
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REFERÊNCIAS
Chen, C.-T. (1999). Linear System Theory and Design (3rd ed.). New York: OxfordUniversity Press.
Khalil, H. K. (1996). Nonlinear Systems (2nd ed.). New Jersey: Prentince-Hall.
Lathi, B. P. (2007). Sinais e Sistemas Lineares (2nd ed.). Porto Alegre: Bookman.
Nise, N. S. (2002). Engenharia de Sistemas de Controle (3rd ed.). LTC.
Nise, N. S. (2011). Control Systems Engineering (6th ed.). Pomona: John Wiley &Sons.
Oppenheim, A. V. (2010). Sinais e Sistemas (2nd ed.). São Paulo: Pearson PrenticeHall.