VECTOR UNITARIOEn el diagrama se observa un vector C ; si en la misma dirección de C trazamos otro vector (𝜇𝑐) de modulo igual a la unidad diremos que 𝜇𝑐 es el vector unitario C

C𝜇𝑐

1

El vector unitario de un vector es otro vector en la misma dirección cuyo modulo es la unidad

Matemáticamente el vector unitario se halla dividiendo el vector entre su respectivo modulo.

𝜇𝑐 =𝐶

𝐶

EJEMPLO: Dado el vector C en el plano cartesiano, determine:a) El vector Cb) El modulo del vector Cc) El vector unitario de C

Solución:

C

-8 -1

4

4

a) C = Extremo – Origen C = (-8 ; 4) - (4 ; -1)C = ( -8 – 4 ; 4 - - 1)C = ( - 12 ; 5)

b) 𝐶 = (−12)2+(5)2

𝐶 = 144 + 25 = 169

𝐶 = 13

c) 𝜇𝑐 =𝐶

𝐶

𝜇𝑐 =(−12;5)

13

𝜇𝑐 =−12

13;5

13

DESCOMPOSICION RECTANGULAR DE UN VECTOR

Es la representación de un vector en función de otros vectores ubicados sobre dos direcciones mutuamente perpendiculares.

V𝑉𝑦

𝑉𝑥

𝜃

𝛼

“X” y “Y” son las direcciones perpendiculares

“𝑉𝑥” y “𝑉𝑦” son las componentes del

vector V

Las componentes se pueden hallar usando el ángulo 𝜃 o el ángulo 𝛼

𝑉𝑋 = 𝑉𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑉𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑉𝑦 = 𝑉𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑉𝑐𝑜𝑠𝛼

EJEMPLOS:

30°53°

20 40

𝑉𝑥 = 40𝑠𝑒𝑛53°

𝑉𝑦 = 40𝑐𝑜𝑠53°

𝑉𝑥 = 20𝑐𝑜𝑠30°

𝑉𝑦 = 20𝑠𝑒𝑛30°

En el esquema se muestran los módulos de tres vectores ubicados en un sistema de ejes “X” y “y”. Calcule el modulo del vector resultante.

37°

10

3

4

X

Y

SOLUCIÓN:

Descomponemos rectangularmente el vector que esta fuera de los ejes

Hallamos una resultante parcial en cada eje:

En el eje “X”…………………………𝑅𝑋 = 10𝑐𝑜𝑠37° − 4

𝑅𝑋 = 104

5− 4

𝑅𝑥 = 8 − 4𝑅𝑥 = 4

37°

10

3

4

X

Y

10 sen37°

10 cos37°

En el eje “Y”…………………………𝑅𝑦 = 10𝑠𝑒𝑛37° − 3

𝑅𝑋 = 103

5− 3

𝑅𝑥 = 6 − 3𝑅𝑥 = 3

Estas resultantes parciales pueden ser graficadas sobre los ejes “X” y “Y”

R

4

3

Y

X

El modulo de la resultante total se halla con el teorema de Pitágoras.

𝑅 = (3)2+(4)2

𝑅 = 9 + 16

𝑅 = 25

𝑅 = 5

APLICACIONES

1) Haciendo uso del diagrama calcule el vector unitario del vector S

4

2 S

SOLUCION:

S = -4 ; -2

𝑆 = (−4)2+ −2 2

𝑆 = 16 + 4

𝑆 = 20 = 2 5

𝜇𝑠 =𝑆

𝑆=

(−4 ;−2)

2 5=

(−2 ;−1)

5

𝜇𝑠 =1

5(−2 ;−1)

2) Un cuadrado de 3 unidades de lado se ha divididouniformemente en nueve secciones encuentre el modulo de ladiferencia de vectores

A

B

SOLUCION:

A = (2 ; -2) B = (3 ; 1)

A – B = (2 ; -2) - (3 ; 1 )

A – B = (2 - 3 ; -2 – 1)

A – B = - 1 ; - 3

𝐴 − 𝐵 = (−1)2+(−3)2

𝐴 − 𝐵 = 1 + 9

𝐴 − 𝐵 = 10

3) del problema anterior halle el vector unitario del vector diferencia 𝐴 − 𝐵

SOLUCIÓN:

𝜇𝐴−𝐵 =𝐴 − 𝐵

𝐴 − 𝐵

𝜇𝐴−𝐵 =(−1 ;−3)

10

𝜇𝐴−𝐵 =−1

10;

−3

10

4) Usando ejes rectangulares “X” e “Y” hallar el modulo de la suma de vectores.

2

3

2

135°

SOLUCIÓN:

2

3

2

135°45°

− 2𝑠𝑒𝑛45 = −1

45°

45°

1

1

2

2𝑐𝑜𝑠45 = 1

Σ𝑥 = −1 + 3 Σ𝑦 = +1 − 2

Σ𝑥 = 2 Σ𝑦 = −1

𝑅 = (Σ𝑥)2+(Σ𝑦)2

𝑅 = (2)2+(−1)2

𝑅 = 4 + 1

𝑅 = 5

5) El diagrama muestra tres fuerzas coplanares concurrentes, calcule el modulo de la fuerza resultante.

105

4 2

37°53°

45°

SOLUCION:

105

4 2

37°53°

45°

10𝑠𝑒𝑛37 = 6

10𝑐𝑜𝑠37 = 8

5sen 53° = 4

-5cos 53° = - 3

−4 2sen 45° = - 4

−4 2cos 45° = - 4

45°

45°

53°

37°

1

1

23

4

5

Σ𝑥 = 8 − 3 − 4 Σ𝑦 = 6 -4 + 4

Σ𝑥 = 1 Σ𝑦 = 6

𝑅 = (Σ𝑥)2+(Σ𝑦)2

𝑅 = (1)2+(6)2

𝑅 = 1 + 36 𝑅 = 37

6) Sobre un anillo actúan tres fuerzas como se puede ver en el diagrama, calcule el módulo de la fuerza resultante.

11N

10N

5N

127°

SOLUCION:

11N

10N

5N

127°

37°-5sen37°= -3

-5cos37°= -4

37°

53°

3

4

5

Σ𝑥 = −4 + 10 Σ𝑦 = -3+11

Σ𝑥 = 6 Σ𝑦 = 8

𝑅 = (Σ𝑥)2+(Σ𝑦)2

𝑅 = (6)2+(8)2

𝑅 = 36 + 64 𝑅 = 100 𝑅 = 10