Post on 02-May-2018
Formulación de viga en el plano
Modelización Mecánica de Elementos Estructurales
Viana L. Guadalupe Suárez Carmelo Militello Militello
Departamento de Ingeniería IndustrialÁrea de Mecánica
Escuela Técnica Superior de Ingeniería Civil e IndustrialUniversidad de La Laguna
Tenerife, España
1. Conceptos vistos.2. Ejemplos de las estructuras de viga3. Características de la viga de Bernoulli.4. Formulación del elemento numérico de viga.5. Obtención de la matriz B.6. Obtención de la matriz de rigidez.7. Caso de las cargas distribuidas.8. Resumen.
Índice.
Modelización Mecánica de Elementos Estructurales
1. Conceptos vistos.
Proceso de Discretización: METODO DE ELEMENTOS FINITOS
Elementos 1D
Modelo discreto
Elementos 2D
Elementos 3D•Método de los elementos finitos.
Modelo continuo
V
TE
EdVBDBKK ]][[][
pp
p
ii
FF
FF
Ecuación de equilibrio: Principio de minimización de la energía
pp FFKuFFKu 1
Modelización Mecánica de Elementos Estructurales
1. Conceptos vistos.
- Campo de desplazamiento: U, V ,W
•Método de los elementos finitos.
BuBDD
uB]][[][
][
- Propiedades del material: ][D
,E
V
TE dVBDBK ]][[][
Modelización Mecánica de Elementos Estructurales
2. Ejemplos de las estructuras de viga
Puentes trabajando como estructuras de viga frente a una carga transversal
Modelización Mecánica de Elementos Estructurales
3. Características de la viga de Bernoulli.
• Hipótesis de Euler-Bernoulli. Las secciones planas inicialmente perpendiculares al eje de la viga, siguen siendo perpendiculares al eje de la
viga después de la deformación. Las secciones perpendiculares sufren un giro (x) y un desplazamiento vertical v(x). Se consideran que son
muy pequeños. El desplazamiento vertical sólo depende de x: v(x) El desplazamiento longitudinal: u(x,y)=-(x)*y.
• Pequeñas deformaciones
•Las cargas son estáticas
•El material elástico lineal y homogéneo e isótropo.
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2 grados de libertad por nodo4 grados de libertad por elemento
4. Formulación del elemento de numérico.• Tipo de Elemento.
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4. Formulación del elemento de viga.
. Campo de desplazamiento.
32)( dxcxbxaxv
* Implicaciones:
dEIxxvEIQteCor
dxcEIxxvEIMMomento
6)(tan
)2()(
3
3
2
2
Varía linealmente.
Constante.
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4. Formulación del elemento de viga.
•Movimiento rígido.
•Desplazamiento rígido:
vvv 21
Elementos que se deforman.
Elementos que solamente giran como un sólido rígido sin deformarse.
Lvv 12**
21
•Giro rígido:
•Desplazamiento rígido:
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4. Formulación del elemento numérico.
2
1
2
1
)()(
)0()0(
)()0(
LxxvLx
xxvx
vLxvvxv
• Condiciones de contorno:
2
1
2
1
2
32
100010
10001
vv
dcba
LL
LLL•Matricialmente:
32)( dxcxbxaxv
Modelización Mecánica de Elementos Estructurales
4. Formulación del elemento de numérico.
•Funciones de interpolación. Polinomios de Hermite.
31232
1221221211
32
)(2)(3)2(1)(
)(
xvvLL
xvvLL
xvxv
dxcxbxaxv
2
2
2
32
1
2
1
32
1231231)(
Lx
Lxv
Lx
Lx
Lxxv
Lx
Lxxv
Estos polinomios permiten interpolar el campo de desplazamiento de un elemento respecto de otro.
Modelización Mecánica de Elementos Estructurales
4. Formulación del elemento numérico.
1)(
23)(
1)(
231)(
2
2
32
2
2
1
32
1
Lx
LxxH
Lx
LxxN
LxxxH
Lx
LxxN
0)0(0)0(0)0(1)0(
2
2
1
1
xHxNxHxN
22221111 )()()()()( xHvxNxHvxNxv
1)0( vxv
2
2
1
1
2211 )()()()(
v
v
xHxNxHxNvRepresentación vectorial:
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5. Obtención de la matriz B.
• Campo de deformaciones:
• Campo de tensiones:
vBx
xvyx
yxu
2
2 )(),(
2
2 )(.x
xvyED
)(")(")(")(")(")(")(")(" 2211
2
2
1
1
2211 xHxNxHxNyBv
v
xHxNxHxNy
EDv
v
xHxNxHxNyE
2
2
1
1
2211 )(")(")(")("
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6. Matriz de rigidez
•Matriz de Rigidez [K].
dxxHxNxHxN
xHxNxHxN
EIK
dydzydxxHxNxHxN
xHxNxHxN
EdVBDBK
L
z
s
L
V
T
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
2"
2"
1"
1"
0
2"
2"
1"
1"
22
"2
"1
"1
"
0
2"
2"
1"
1"
Matriz D:
Matriz B: )(")(")(")(" 2211 xHxNxHxNyB
ED
Modelización Mecánica de Elementos Estructurales
6. Matriz de rigidez
44
3433
242322
14131211
''20
''2
''20
''2
''20
''2
''20
''1
''20
''1
''10
''1
''20
''1
''20
''1
''10
''1
''10
''1
kkksimkkkkkkk
EI
dxxHxHdxxHxNdxxNxNsimétricadxxHxHdxxNxHdxxHxHdxxHxNdxxNxNdxxHxNdxxNxN
EIK z
L
LL
LLL
LLLL
z
2
22
3
4612
264612612
LLsimétrica
LLLLL
LEIK z
•Matriz de Rigidez [K].
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7. Caso de las cargas distribuidas.•Caso de las cargas distribuidas.
VIGA
Carga distribuída
Modelización Mecánica de Elementos Estructurales
•Caso de las cargas distribuidas: cargas aplicadas en los nodos:
•Trabajo de las Cargas distribuidas:
7. Caso de las cargas distribuidas.
V(x)
L
q dxxqvW0
)(
Modelización Mecánica de Elementos Estructurales
•Caso de las cargas distribuidas: cargas aplicadas en los nodos:
7. Caso de las cargas distribuidas.
2
2
2211
02
02
01
01
2211
12121
12121
)(
)(
)(
)(
L
L
L
L
qvv
dxxH
dxxN
dxxH
dxxN
qvvW
L
L
L
L
q
2
2
12121
12121
L
L
L
L
qFq
Modelización Mecánica de Elementos Estructurales
Proponer tipo de elemento.Definir grados de libertad
5. Resumen
Caracterizar esfuerzos que actúan sobre la estructura
Proponer un campo de desplazamiento
Energía de deformación interna
Obtener polinomios de interpolación
Aplicar condiciones de contorno para obtener los coeficientes
Definir matriz [B]Definir matriz constitutiva [D]
Definir matriz de rigidez [K]
2
1
2
1
)(
)0(
)()0(
Lxxv
xxv
vLxvvxv
32)( dxcxbxaxv
V
T dVE 21
V
T dVBDBK ][
Modelización Mecánica de Elementos Estructurales