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Colegio Pumanque “Educando mentes y corazones “

Altos de la Paloma Lote k-3, Llanquihue, Puerto Montt, Los Lagos / R.B.D 40316-4Teléfono: +56 652772250 / Correo : tamaragallardo.ojeda@gmail.com

Porcentaje – Interés Simple – Función Lineal y Afín

Guía N°4 – Trimestre 2

Objetivo de aprendizaje OA 05 – OA 07 – OA 10Objetivo de Guía Evaluada N° 4 Aplicar los conocimientos adquiridos

sobre porcentaje, variación porcentual, interés simple y funciones.

Indicadores de Evaluación Relacionan porcentajes rebajados y aumentados con situaciones reales; por ejemplo: ofertas de venta, aumento del sueldo, inflación, etc.

Identifican, en expresiones de la vida diaria, los tres términos involucrados en el cálculo porcentual: el porcentaje, el valor inicial que corresponde al porcentaje y el valor que corresponde a la base.

Expresan porcentajes aumentados o rebajados con números decimales y viceversa.

Elaboran, completan y analizan tablas de valores y gráficos, y descubren que todos los pares de valores tienen el mismo cociente ("constante de proporcionalidad").

Elaboran las tablas de valores y gráficos correspondientes, basados en ecuaciones de funciones lineales f(x) = a • x (y = a ∙ x).

Representan la linealidad f(kx) = kf(x) y f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) en tablas y gráficos.

Identifican la pendiente del gráfico Δy de la función f(x) = a • x con Δx el factor a.

Verifican que las coordenadas de puntos pertenecientes al gráfico son soluciones de la ecuación f(x) = a • x.

Instrucciones Usa lápiz grafito o tinta para contestar la prueba. Por favor, cerciorarse de que la respuesta sea clara y visible en la foto o archivo que envíe, de esta forma evitaremos inconvenientes para su corrección.

Lee muy bien cada pregunta antes de contestar.

Si tienes alguna duda sobre cómo contestar, realiza tu consulta al profesor(a) mediante correo: Tamaragallardo.ojeda@gmail.com

La evaluación debe ser entregada en el correo ya mencionada de la profesora, en el asunto debe indicar su nombre, curso y que es la guía evaluada N°4. Ejemplo: Tamara Gallardo Ojeda – Octavo

Básico – Guía N°4.

En el correo donde adjunte su guía evaluada 3 con todo el desarrollo, esta puede ser presentada mediante fotos de la solución o un archivo en pdf.

Tiene hasta el jueves 05 de agosto de 2021 para entregar su evaluación.

PORCENTAJE

El porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100 (por ciento, que significa “de cada 100”). Es a menudo denotado utilizando el signo porcentaje %, que se debe escribir inmediatamente después del número al que se refiere, sin dejar espacio de separación.

Por ejemplo: "treinta y tres por ciento" se representa mediante 33% y significa 'treinta y tres de cada cien'.

Un porcentaje es una fracción que tiene como denominador 100.

El a% de descuento en el valor de un producto equivale a cancelar el (100 − a) % del precio del producto.

Ejemplo:Un producto que tenía un precio de $25000 se está liquidando con un descuento del 40%. ¿Cuál será su precio final?

Un descuento del 40 % equivale a cancelar el (100−40)%=60 % del precio del producto. Es decir:

60 % ∙ $ 25.000= 60100

∙ $ 25.000=0,6 ∙ $25.000=$15.000

Por lo tanto, el precio final es de $15.000 con el 40% de descuento.

Un aumento del b% en el valor de un producto equivale a cancelar el (100 + b) % del precio del producto.

Ejemplo:

Un producto tiene un precio de $15.000, al cabo de dos meses el valor del producto aumentará en un 25%, ¿cuál será el precio final?

Un aumento del 25 % equivale a cancelar el (100+25)%=125 % del precio del producto. Es decir:

125 % ∙ $15.000=125100

∙ $15.000=1,25∙ $15.000=$18.750

Por lo tanto, el precio final será de $18.750 con un aumento del 25%

Los porcentajes tienen diversos usos. Por ejemplo:

Para calcular el impuesto al valor agregado (IVA), que corresponde al 19% de un cierto producto o servicio, o el índice de precios al consumidor (IPC), que mide la variación de los precios de una canasta de bienes y servicios que se consume en un hogar.

Ejemplo IVA

En la boleta de supermercado podemos ver claramente un valor de total afecto, lo cual corresponde al valor de la compra total, y, por otro lado, encontramos el valor de subtotal, lo que corresponde al valor de la compra con IVA incluido.

Ahora veamos, si el total afecto es el 100%, calcular el subtotal equivale a calcular un aumento de un 19%, resultando:

119% ∙ $204.387=119100

∙ $204.387=1.19 ∙ $ 204.387=243.220,53

Lo que corrobora que al incluir el IVA la compra aumenta notablemente a $243.220

Para calcular intereses o descuentos que se aplican a ciertos productos o deudas. Por ejemplo, el interés simple I que genera un capital C a una tasa de interés anual i% en un período t se puede calcular utilizando la expresión: I = C • i % • t

Ejemplo Interés Simple¿Cuál es el interés simple producido por un capital de $400 000 al 5 % anual durante 2 años?

Para esto, utilizaremos la expresión dada anteriormente:

I = C • i % • t

Resultando:

I=$400.000 ∙5 % ∙2

I=$400.000 ∙ 5100

I=$400.000 ∙0,05∙2

I=$40.000

Por lo tanto, el interés producido durante 2 años es de $40.000

FUNCIÓNUna función es una relación entre dos variables x e y, de manera que, a cada valor de x, llamado preimagen, le corresponde un único valor de y, llamado imagen.

Como el valor de y depende del valor de x, se dice que y es la variable dependiente y x la variable independiente.

La variable y puede también escribirse como f(x), donde x es la otra variable, y se lee “f de x”. Por ejemplo, la función y = 150 + 25x, también se puede escribir como f(x) = 150 + 25x

Representaciones de una Función

Al representar la función f en una tabla de valores obtenemos:

Diagrama

En un diagrama sagital podemos relacionar los elementos por medio de flechas desde el conjunto de partida al conjunto de llegada.

Gráfico

La representación gráfica de la función f es el conjunto de pares ordenados (x, y) que satisfacen y = f(x)

Expresión algebraica

Podemos representar la función f con una expresión algebraica.

Si x representa un número entero, la expresión x + 1 representa a su sucesor. Entonces tenemos que: y = x + 1

Se llama dominio de una función f (Dom( f )) al conjunto de valores que la variable x puede tomar, es decir, el conjunto de las preimágenes.

Se llama recorrido de una función f (Rec( f )) al conjunto de las imágenes y, es decir, todos los valores que resultan al reemplazar los valores del dominio en la función f.

Función Lineal

Una función lineal f es una función que puede escribirse de la forma: f(x) = m • x, con m ≠ 0. Una función lineal cumple las siguientes propiedades:

• Propiedad aditiva: f(x + z) = f(x) + f(z)

• Propiedad homogénea: f(c • x) = c • f(x), con c ≠ 0.

Una función lineal f(x) = m • x, con m ≠ 0, corresponde a una recta que pasa por el origen O (0, 0).

El valor m representa la pendiente de la recta.

Si m > 0, la recta es creciente, y si m < 0, la recta es decreciente.

Cuando m > 0 (Creciente):

Cuando m < 0 (Decreciente):

Si se conocen dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) que pertenecen a la gráfica de la función f, la pendiente m se puede calcular de la siguiente forma:

m=y2− y1

x2−x1, con x2≠ x1

Ejemplo: Si tenemos la función f (x)=−2x , donde claramente la pendiente (m) es igual a −2 y sabemos que las coordenadas (−2 ,4) y (3 ,−6) pertenecen a la función, podemos corroborar a través de estas coordenadas que la pendiente de la función efectivamente es−2.

Coordenada 1: (−2 ,4), donde x1:−2 y y1 : 4

Coordenada 2: (3 ,−6), donde x2:3 y y2 :−6

Ahora reemplazamos y resolvemos:

m=−6−43−−2

Es claro que la pendiente identificada desde un principio en la función como −2 se corrobora a través del cálculo de la misma pendiente sabiendo dos coordenadas.

Ahora bien, con dos coordenadas también podemos calcular la función a través del cálculo de la pendiente y el uso de la expresión de la Ecuación de la recta:

y− y1=m(x−x1)

Considerando la igualdad de la pendiente, podemos considerar que la expresión recién presentada equivale a:

y− y1=( y2− y1

x2−x1) ∙(x−x1)

Ejemplo:

Determina la función con las siguientes coordenadas: A (0,5) y B (1,3)

Entonces, para mayor orden primero calculamos la pendiente, donde tenemos que:

x1=0; y1=5; x2=1; y2=3

Y reemplazamos, resultando:

m=y2− y1

x2−x1=3−5

1−0=−2

1=−2

Ahora, escogemos cualquiera de las dos coordenadas para reemplazar en la expresión denominada ecuación de la recta. En este caso seguiremos utilizando:

Reemplazamos y resolvemos:

y− y1=m(x−x1)

y−5=−2(x−0)

y−5=−2 x

y=−2x+5

Por lo tanto, f (x)=−2 x+5

Ahora bien, la gráfica de una función se puede realizar fácilmente a través de un software como Desmos o Geogebra, no obstante, también se puede realizar manualmente, es decir, realizando nuestros propios cálculos.

Trabajaremos con f (x)=2x o y=2x

Para graficar una función manualmente, primero realizaremos una tabla donde tendremos dos columnas definidas como X e Y.

En la columna X colocaremos valores pertenecientes al conjunto Z (Números Enteros), es decir, utilizaremos valores positivos, negativos y cero, esto, con el fin de obtener una gráfica lo más realista y completa posible. Lo ideal es trabajar con un mínimo de 5 valores; 2 valores negativos, 2 valores positivos y cero. Por otro lado, también es recomendable utilizar valores pequeños, como 1, 2, 3… entre otros.

X Y−2−1012

Luego, para obtener valores en Y, reemplazaremos cada valor utilizado en X dentro de la función f (x)=2x o y=2x, es decir:

X Y−2 f (−2)=2 ∙−2=−4−1 f (−1)=2 ∙−1=−20 f (0)=2 ∙0=01 f (1)=2∙1=22 f (2)=2∙2=4

A partir de la tabla realizada obtenemos nuestras coordenadas, las cuales designamos por letra:

A (−2 ,−4 ) B (−1 ,−2 ) C (0 ,0 ) D (1 ,2 ) E (2 ,4 )

Ya con las coordenadas calculadas y establecidas podemos graficar en nuestro plano cartesiano.

Comenzamos graficando la coordenada A, es decir, nos ubicamos en el eje X en la posición −2 y a partir de ahí vamos al eje Y, donde nos ubicamos en la posición −4, resultando:

Luego, ubicamos la coordenada B, es decir, nos ubicamos en el eje X en la posición −1 y a partir de ahí vamos al eje Y, donde nos ubicamos en la posición −2, resultando:

Después, ubicamos la coordenada C, es decir, nos ubicamos en el eje X en la posición 0 y a partir de ahí vamos al eje Y, donde nos ubicamos en la posición 0. Debemos recordar que esta coordenada se conoce como el Origen.

Seguidamente, ubicamos la coordenada D, es decir, nos ubicamos en el eje X en la posición 1 y a partir de ahí vamos al eje Y, donde nos ubicamos en la posición 2, resultando:

Finalmente, ubicamos la coordenada E, es decir, nos ubicamos en el eje X en la posición 2 y a partir de ahí vamos al eje Y, donde nos ubicamos en la posición 4, resultando:

Una vez ubicadas todas nuestras coordenadas, juntamos nuestros puntos a través de una recta, obteniendo finalmente nuestra gráfica de la función f (x)=2x

GUÍA EVALUADA N°4MATEMÁTICA

OCTAVO BÁSICO

Fecha: 02/08/21

Calificación: Puntaje Ideal: 30 Puntaje Obtenido:

1. Dada la siguiente función:

f (x)=45x+ 2

Determina el tipo de función (justifica tu respuesta), el valor de la pendiente y la coordenada de corte en el eje Y utilizando la tabla de valores y el gráfico. (10 Puntos)

Nombre del estudiante:

2. Grafica la función que pasa por los puntos dados. Luego, calcular y determina su pendiente y el punto donde corta al eje Y. (12 Puntos)

A (1,11) y B (−4,16)

3. Por un préstamo de 40.000 pesos, hemos tenido que pagar 60.000 pesos al cabo de 7 años. ¿Cuál es la tasa de interés total que nos han cobrado? (Trabajar con 3 decimales). (8 Puntos)

Tabla de especificación Guía Evaluada N°4 – MatemáticaOctavo Básico – Trimestre 2

Ejercicio Puntaje Obtenido

Puntaje Ideal

1. Pendiente y coordenada de corte- Determina y justifica el tipo de función. (2

Puntos)- Creación de la tabla y reemplazo de

valores. (3 Puntos)- Realiza el gráfico con las coordenadas

obtenidas en la tabla. (3 Puntos)- Uso de la tabla para determinar la

coordenada de corte en el eje Y. (2 Puntos)

2. Ecuación de la recta- Determina (X1, Y1) y (X2, Y2). (1 Punto)- Utiliza la expresión correcta para

determinar la función y reemplaza adecuadamente cada término. (2 Puntos)

- Crea la tabla, reemplaza los valores y grafica la función buscada utilizando las coordenadas obtenidas y las dadas en el contexto. (7 Puntos)

- Determina la pendiente. (1 Punto)- Determina la coordenada de corte en el eje

Y. (1 Punto)

3. Interés Simple- Reemplaza correctamente los datos

entregados en la expresión de interés simple. (2 Puntos)

- Calcula y resuelve el problema entregando el término faltante. (5 Puntos)

- Da una respuesta escrita al enunciado señalado. (1 Punto)

Total 30

Relación Puntaje – Porcentaje Logro Relación Porcentaje Logro – Calificación

9 308 277 236 205 174 133 102 71 30 0

100 7,097 7,093 6,790 6,487 6,183 5,780 5,577 5,373 5,070 4,767 4,563 4,260 4,057 3,853 3,650 3,547 3,343 3,140 3,037 2,833 2,630 2,527 2,423 2,220 2,017 1,913 1,710 1,57 1,43 1,20 1,0

Nota: La calificación ha sido calculada considerando lo estipulado en el Art. 10 del Reglamento de Evaluación del Colegio Pumanque.

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