( 1º Tema 1 - 28 ).doc

EXPRESIONES ALGEBRAICASEXPRESIONES ALGEBRAICAS

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TEMA Nº 1

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Lectura motivadora

ISAAC NEWTON

(1642 - 1727)

saac Newton nació en un pueblito agrícola de Inglaterra en el año de la muerte de Galileo; no fue un niño prodigio, como

muchos grandes matemáticos, al contrario. Nació sietemesino en una familia pobre, tuvo grandes problemas de salud y dificultades en los estudios; como era débil físicamente, no jugaba con los niños de su edad, escribía poesías, dibujaba y construía cometas con faroles que remontaba de noche para asustar a la gente.

I

A los quince años lo sacaron de la escuela para que ayudara en la granja familiar, pero allí le fue peor que en la escuela, hasta que un día su tío lo encontró bajo un árbol, completamente absorto, leyendo un libro de matemáticas; decidieron que el joven Isaac tenía que volver a la escuela.En 1661 ingresó al Trinity College de Cambridge como estudiante, pero se pagaba los estudios haciendo servicios domésticos. El maestro de matemáticas que lo inspiró, reconoció su talento y le dio confianza fue Isaac Barrow (1630 - 1671), al que Newton reemplazó en la cátedra en 1669.

En 1664 cerró la universidad debido a una plaga que invadió la región y Newton volvió a su pueblo; allí, en dos años de experimentos y reflexiones solitarias, sentó las bases de sus grandes descubrimientos: la ley de la gravitación universal, el cálculo infinitesimal, el teorema del binomio y la naturaleza de la luz; tenía 23 años.

Es curioso que Newton no hablara con nadie de esos descubrimientos que fueron dados a conocer poco a poco, a veces veinte años después de su invención, provocando la crítica de otros físicos y matemáticos que no querían creer que Newton se les hubiera adelantado.

En el caso del análisis infinitesimal, se creó con Leibnitz, una larga y cruel polémica, que siguió durante todo el siglo XVIII entre los matemáticos ingleses y los del continente europeo, los primeros acusaban a Leibnitz de haber traducido la obra de Newton, los segundos acusaban a Newton de ser el ladrón. La verdad es que los dos hombres inventaron el cálculo infinitesimal independientemente, Newton lo hizo varios años antes que Leibnitz pero publicó sus trabajos después.

En una carta a Robert Hooke (cuando eran amigos, ya que después pelearon amargamente sobre la prioridad de la idea de la gravitación), declaró Newton modestamente: "Si he visto más allá que otros, ha sido porque estaba subido sobre los hombros de gigantes". Entre esos gigantes están Copérnico, que hizo girar la Tierra alrededor del Sol creando una conmoción en la iglesia, Descartes y su geometría analítica, Kepler con sus leyes del movimiento de los planetas, descubiertas empíricamente después de veintidos años de trabajo y Galileo, que ya había establecido dos de las tres leyes del movimiento de los cuerpos.

En 1689, Newton fue elegido miembro de la Cámara de los Lores aunque no tenía nada que ver con la política. Se cuenta que pidió la palabra una sola vez. Se hizo un gran silencio en la sala, iba a hablar el científico más grande del mundo; se levantó Newton y dijo: "solicito que se cierre la ventana, hace mucho frío en la sala"

Newton tenía un enorme poder de concentración, trabajaba 18 ó 19 horas seguidas y se olvidaba hasta de comer. A los 74 años resolvió un díficil problema que Leibnitz había propuesto a los matemáticos de Europa y explicó: "pienso constantemente en el problema y poco a poco las cosas se empiezan a aclarar hasta que se iluminan totalmente".

Newton murió a los 84 años de edad, fue enterrado en la Abadía Real de Westminster, junto con los grandes de Inglaterra. Ante su tumba, Voltaire, el filósofo francés que estaba exiliado en Londres, pronunció su célebre

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frase: "El mundo está progresando: Inglaterra honra a sus matemáticos cuando los demás países honran a sus hombres de guerra".

El problema era encontrar las trayectorias ortogonales de una familia uniparamétrica de curvas; cuando Johann Bernoulli, un matemático amigo de Leibnitz, vio la solución exclamó: "reconozco al león por su garra".

SESIÓN Nº 1

NOTACIÓN FUNCIONALVALOR NUMÉRICO

APRENDIZAJES ESPERADOS

1. Reconoce y define expresiones algebraicas diferenciando las variables de las constantes.

2. Establece que las expresiones algebraicas constituyen las piezas fundamentales del álgebra y de sus aplicaciones.

3. Representa los datos y las condiciones de un problema por medio de expresiones algebraicas.

4. Organiza los datos para necesarios para calcular el valor numérico de polinomios.

NOTITA IMPORTANTE

Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior puesto que debieron transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo experimentado por el Algebra se debió sobre todo a los matemáticos, árabes y, muy en particular, a Al – Hwarizmi (siglo IX d.C), que sentó las bases del Álgebra tal como lo conocemos hoy en día.

En este capítulo se va a trabajar con lo que son variables y constantes, para hacer una diferencia empezaremos diciendo que la variable es una cantidad que puede tomar cualquier valor que se tome de un conjunto numérico. Por ejemplo si decimos Qx ; nos estamos refiriendo a que “x” puede tomar cualquier valor del conjunto de los números racionales; mientras que la constante es una cantidad que toma un valor fijo, pudiendo ser de dos tipos: constante relativa que se llama parámetro y que se representa con letras, y las constantes absolutas que son los números con un valor fijo. Para ilustrarlo

mejor tomemos el ejemplo de la presión atmosférica.

La presión atmosférica en Lima y en Cerro de Pasco son constantes pero tienen valores diferentes, a esto se llama constante relativa o parámetro y constantes absolutas serán los números: 5; 7; 8; etc.

Veamos el siguiente ejemplo:

En la expresión:

5 2 7 2 3E 5x y z 7abxy b 2c 3(x;y;z)

Se observa:

Variables: x, y, z Constantes:

Relativas o parámetros: a; b; c Absolutas: 1; 2; 3; 5; 7

FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA

El álgebra es la parte de la matemática que tiene por objeto generalizar todas las cuestiones que se puedan proponer sobre las cantidades.

NOTACIÓN MATEMÁTICA

Se utiliza para diferenciar las variables y constantes dentro de una expresión matemática.

Ejemplo:

- Variables: {a, x}- Constantes:

{b;y; 1;2;3;4;6}

- Variables: {x}- Constantes:

{y;2; 4}

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es aquella expresión matemática que esta formada por variables y/o constantes, donde las variables están relacionados con las operaciones matemáticas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación en un número limitado de veces.

Ejemplos:

; ;

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Observación

Cualquier expresión que no cumpla con los requisitos mencionados se denomina expresión no algebraica o trascendente.

Ejemplos

;

TÉRMINO ALGEBRAICO

Es la mínima expresión algebraica en la que sus elementos se encuentran ligados por las diferentes operaciones aritméticas, excepto la adición y sustracción. Sus partes se indican en el siguiente esquema.

TÉRMINOS SEMEJANTES

Son aquellos que tienen la misma parte literal.Dos o más términos se pueden sumar o restar sólo si son semejantes, para lo cual se suman o restan los coeficientes y se escriben la misma parte literal.

Ejemplos:

son semejantes y se pueden

reducir a:

CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según la naturaleza de sus exponentes o por el número de sus términos.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL

Son aquellas expresiones cuyas variables presentan exponentes enteros; es decir las variables poseen exponentes que no están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios. Estas expresiones se subclasifican en:

a) Racionales enteras: Son aquellas expresiones en los que al transportar todas las variables al numerador, sus exponentes resultan ser enteros no negativos.

Ejemplos:

22x y ; 2x 1; 2x y

3

b) Racionales fraccionarias:Son expresiones en donde por lo menos una de sus variables aparece en el denominador, o si están en el numerador, alguna de ellas aparece con exponentes entero negativo.

Ejemplos:

3

2 1 2x 1; 3xy ;

x x x 1

EXPRESIÓN ALGEBRAICA IRRACIONAL

Estas expresiones se caracterizan por que sus variables están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios.

Ejemplos:

14 2325 x 3 ; 6xy ; 5x y x y

MONOMIOS Y POLINOMIOS

Ciertas expresiones algebraicas tienen nombres especiales. Si x es una variable, entonces un MONOMIO EN x es una expresión de la forma nax , en donde el coeficiente a es un número real y n es un entero no negativo llamado grado del monomio.

Un polinomio en x es cualquier suma finita de monomios en x. Otro modo de decirlo es el siguiente:

Definición: Un POLINOMIO EN x es una expresión de la forma:

n n 1 n 2 k(x) n n 1 n 2 k

22 1 0

P a x a x a x ... a x

... a x a x a

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En donde n es un entero no negativo y los ai son números reales.

En la definición anterior, cada una de las expresiones:

kka x de la suma, es un término del polinomio.

Si el coeficiente ak es cero, el término kka x será

omitido. El coeficiente an de la potencia más alta de x es el coeficiente principal del polinomio y si an 0, se dice que el polinomio tiene GRADO “n”.

Un polinomio en x puede ser considerado como una expresión algebraica obtenida empleando únicamente sumas, restas y multiplicaciones que incluyen a x. En particular, las expresiones:

22

1 x 53x ; ; 3x x 2

3 x 2

No son polinomios en x pues existen divisiones entre variables, o raíces en las que existen variables.

Los coeficientes de los polinomios se pueden elegir de algún sistema matemático distinto del de los números reales. Sin embargo, a menos que se especifique otra cosa, el término “POLINOMIO” se referirá siempre a un polinomio con coeficientes reales.

Puesto que los polinomios, y los monomios que constituyen los polinomios, son símbolos que representan números reales, todas las propiedades conocidas pueden aplicarse. Si se llevan a cabo sumas, restas y multiplicaciones con polinomios, se puede simplificar entonces el resultado haciendo uso de las propiedades de los números reales.

Es frecuente asignar letras mayúsculas P, Q, R, S y encerrar en paréntesis a la x, para distinguir un polinomio de otro y señalar las variables de la misma, así:

P(x) = 3 CONSTANTE; si es de grado cero.

Q(x) = 4x + 5 LINEAL; cuando es de primer grado

R(x) = 2x2 + 4x 2 CUADRATICO; por ser de segundo grado.

S(x) = x3 + 5x2 7x + 1 CUBICO; siendo de tercer grado.

Cuando el coeficiente principal es igual a la unidad se le llama: POLINOMIO MÓNICO como el polinomio S.

Cuando los coeficientes son primos entre si se dice que es un POLINOMIO PRIMITIVO como Q y S observando que R no es primitivo.

VALOR NUMÉRICO

Con frecuencia hacemos uso de símbolos para representar elementos arbitrarios de un conjunto. Por ejemplo, podemos usar x para expresar un número real aunque no especifiquemos ningún número real en particular.

Una letra que se utilice para representar cualquier elemento de un conjunto dado se llama VARIABLE.

Un símbolo que representa a un elemento específico se llama CONSTANTE.

A menos que se especifique otra cosa, las variables representan número reales.

EL DOMINIO DE UNA VARIABLE es el conjunto de números reales representados por la variable.Para ilustrar esto, x es un número real si y sólo si x 0; se deduce que en este caso, el dominio de x es el conjunto de los números reales no negativos.

Análogamente, cuando consideramos la

expresión 1

(x 2) se debe excluir x = 2 para

evitar la división entre cero; por lo tanto el dominio es el conjunto de todos los números reales diferentes de 2.

A este dominio, algunos autores, también les llaman DOMINIO DE DEFINICION; CONJUNTO DE VALORES ADMISIBLES O RECINTO DE VALORES ADMISIBLES.

Habíamos expresado anteriormente que cualquier colección de variables y números reales, y aplicando sumas, restas, multiplicaciones, divisiones o extracción de raíces, se obtiene una EXPRESION ALGEBRAICA. A continuación se dan ejemplos de expresiones algebraicas:

3 3 2xy 3x7x 2xy yz ;

y 1

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52

1/93

23

74yz

3 x wx 2x ;

2x y 5z

En donde x, y, z, w son variables.

Si se sustituyen las variables por números específicos en una expresión algebraica, al número real que resulte se le llama VALOR NUMERICO de la expresión para esos números. Por ejemplo, el valor numérico de la segunda expresión anterior, cuando x = 2 e y = 3 es:

2( 2)(3) 3( 2) 12 69

3 1 2

Al trabajar con expresiones algebraicas se supondrá que los dominios están elegidos de modo que las variables no representen números que hagan que las expresiones no tengan sentido. Se supone por tanto que los denominadores no deben ser cero.

EL VALOR NUMERICO de un polinomio P se obtiene cuando se sustituye su variable por un número real “a”, se denota por P(a); así por ejemplo: para P(x) = 2x2 + 3x 5

Si: x=2, resulta: P(2)=2( 2)2+3(2)5

P(2) = 2 (4) 6 5 P(2) = 3

Los valores numéricos de uso frecuente son P(1) y P(0) que representan la SUMA DE LOS COEFICIENTES de P y su TERMINO CONSTANTE respectivamente .

Definición

Se llama cero de un polinomio P al número “a” de modo que P(a) = 0

Pudiendo haber tantos ceros de acuerdo al grado de P y estos no son necesariamente reales. Esta definición se utilizará en el teorema del factor y en las funciones polinomiales que serán tratados más adelante:

Ejemplo

Los números 1; 2 y 3 son ceros de:3 2P(x) x 6x 11x 6

Resolución

x = 1; P (1) = (1)3 6(1)2 + 11(1) 6 = 0

x = 2; P(2) = (2)3 6(2)2 + 11(2) 6 = 0x = 3; P(3) = (3)3 6(3)2 + 11(3) 6 = 0

Luego 1; 2 y 3 son efectivamente ceros del polinomio.

Si el polinomio tiene más de una variable las definiciones se aplicarán independientemente para cada una de ellas.

CAMBIO DE VARIABLE: Proceso por el cual la variable inicial de una expresión es llevada hacia una nueva variable.

Ejemplo: Sea (x)P 3x 5

( )P 3 5

(3x)P 3(3x) 5 9x 5

(x 2)P 3(x 2) 5 3x 11

(x 2)(x 2)P

P 3P 5 3(3x 11) 5

(x 2)PP 9x 38

EJERCICIOS DESARROLLADOS

01. Si a la expresión A(x)=xn; primero lo

afectamos del exponente 2n 1

n

y luego le

extraemos la raíz cúbica se obtiene en ambos casos una expresión algebraica racional entera. Calcular la suma de los valores que toma “n” sabiendo que n<10.

a) 18 b) 21 c) 15d) 12 e) N.A.

Resolución

Caso I: 2n 1

n 2n 1nx x

Donde:

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(2n 1) N 2n 1 0 ................. ()

Caso II: n

3 n 3x x

Donde n n

N 03 3

………...... ()

Además: n < 10.

Los valores que puede tomar “n” son: 3, 6 y 9 para que () y () sean números naturales.

Nos piden: 3+6+9=18CLAVE: “A”

02. Si: P(x) es un trinomio; donde Z.

1/2 6(5- ) (1 )-1 4(x)P 3x 7 4x .

Calcular: ( máx.) min.

a) 5 b) 5–1 c) 5d) 1/25 e) 1/2

ResoluciónSi P(x) es un trinomio, entonces los exponentes en todos sus términos, deben ser naturales (mayores o iguales que cero).Analizando los exponentes en cada término:

5 N 5 0

5 0 0 5 puede tomar los valores: 1; 4 y 5 .... (1)Reduciendo el segundo término:

61 6

1 17 7

6 6

N 01 1

Luego puede tomar los valores: 0,1,2 y 5... (2)Ahora, según (1) y (2); los valores comunes que pueden tomar son: {1; 5}

{1, 5}

Se solicita: ( máx.) min. = 51 = 5

CLAVE: “C”03. La siguiente expresión:

a b a b2 6 4(x)R a b x ab x (b a)x

Puede reducirse a monomio. Según esto, proporcionar su valor reducido.

a) -5x b) 5x c)10x d) -8x e) 7x.

ResoluciónAl reducirse en un monomio, los términos son semejantes; luego:

6 41

a b a b

Luego: a b 4

a b

sumando ambosmiembros

6

2a = 10 a = 5 b = -1Se pide el término reducido:(a + b2 - ab + b - a) x = (b2 - ab + b) x

Reemplazando a = 5; b = -1.[ (-1)2 - (5) (-1) + (-1)] x R(x) = [1 + 5 - 1] x = 5x

CLAVE: “B”

04. De las siguientes expresiones, son algebraicas:I. x Log5 32 + x2

II. 3 45x Cos45º 2 x

III.x x x

.......2 4 8

a) Sólo III b) I y II c) Todasd) II y III e) II

ResoluciónPremisa I: x Log 5 32 + x2, si es una expresión algebraica.

¡Observa que el logaritmo no afecta a la variable!

Premisa II: 5x3 cos 45° – 2 4 x , también es expresión algebraica ya que la función coseno, no afecta a la variable.

Premisa III:

x x x.....

2 4 8 , antes de clasificar cualquier

expresión, se tendrá que reducir lo máximo que se pueda, luego:

1 1 1x ...

2 4 8

Reduciendo el paréntesis:

1 1 1S ....

2 4 8

1 1 1 1S .....

2 2 2 4

S

1 S S 1S S 1

2 2 2 2

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Finalmente la expresión reducida será:x x x

... x2 4 8

Si es expresión algebraica.

CLAVE: “C”

05. ¿Cuál debe ser el mínimo valor de “m” que hace a la expresión:

3

m 2 m 2m 2 m 2 2

(X)m 2 m 1 (m 2)

x . x . xQ

x

racional entera?

a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) No existe

Resolución Reduciendo la expresión:

m 2m 2.

2m 2m 2

(X) m 1 (m 2) m 2

m 2

x x . xQ

x

2

2

m 2 (m 2)2

m 2(m 2)

(x) m 1 (m 2) m 2

m 2

xQ

x

1m 2 2

m 2

(x) m 1 (m 2) m 2

m 2

xQ

x

Por cociente de potencias con bases iguales; reducimos el exponente de x:

Exponente:

1 m 1 (m 2) m 2m 2 2

m 2 m 2

Exponente:

1 (m 2) 2 m 2 m 1 (m 2) m 2

m 2

Exponente:

m 2(2 m 2)4 m

m 2

Exponente naturalLuego; los valores posibles de:m = {0; 1; 2; 3; 4}Pero:

m 0; porque 0 2 2 , no existe en R

m 1; porque 1 2 1 , no existe en R

m 2 ; porque 1 1

02 2

, no es posible

m {3; 4}

CLAVE: “D”

06. Si:

x x

x 1P ; F

1 x 1 x

Y además G (x) = x. Halle “x” cuando:

G(x)F

1P

10

a) 2 b) 1/2 c) 1/8d) 8 e) 1/10

Resolución

En la expresión:

G(x)F

1P

10

Reemplacemos G(x) = x:

xF

1P

10

Ahora es conveniente que en: X

xP

1 x

Hagamos el cambio de “x”” por F (x):

x

x

Fx

FP

1 F

Reemplazando simultáneamente los datos: 1

1 1 x110 1

1 x

Esto es una ecuación con incógnita “x”:1

1 1 xx 2101 x

Simplificando en la derecha: 1 1

10 x 2

De

donde: x = 8

CLAVE: “D”

PRÁCTICA DE CLASE

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01. Son expresiones algebraicas, las siguientes:I. 2x + 1 – (x +1)2

II. Log 3 x + sen(x + 45°)

III. 2 y(x)P x 2 5

IV. 2x x9

a) Sólo I b) sólo IV c) III y IV d) II y IV e) II y III

02. ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?

I. 3 52 y z ; es una expresión irracional

II. 2 3

2 33

x x ; es racional fraccionaria

III. 1(1/2)3x

; es racional entera

a) Sólo I b) I y II c) sólo IIId) Todas e) sólo II

03. De las siguientes proposiciones, son falsas:

I.1

3 3x x es una expresión algebraica

racional fraccionaria e irracional a la vez.II. 3 5( 2x ) es un monomio y también un

término algebraico.

III. (y) 2 3 4

1 1 1 1P

y y y y es un polinomio en y.

IV. 5 4 2(x)P x 3x 7x 7 es un polinomio

a) I y III b) II y IV c) sólo Id) Ninguna e) sólo III

04. Sabiendo que: 2m 2 n 5 n 5 m 4

(x) (x)P 3x y ; Q 7x y

Son términos semejantes. Hállese el valor numérico de m + n.

a) 3 b) 13 c) 12d) 3 ó 13 e) N.A.

05. La siguiente expresión:

3 3 3 3 ......(x)E 2x es:

a) Trascendente b) Irracionalc) Racional entera d) Racional fraccionariae) Exponencial

06. Clasifique usted la siguiente expresión algebraica:

5 5 5 5 5 5

5(x,y,z) 5 5 5

x y y z z xP

z x y

a) Expresión algebraica racional enterab) Expresión algebraica racional fraccionariac) Expresión algebraica irracionald) Expresión matemática trascendentale) Expresión matemática exponencial

07. ¿Cuál es la más simple expresión por la que hay que multiplicar a “M” para que sea racional entera?

3 5 72 4M x x x

a) 105 53x b) 105 52x c) 52 105x

d) 105 51x e) 53 105x

08. Clasificar la siguiente expresión luego de reducirla:

1832

4 42 2

mn abE

mn ab

a) Irracional b) Trascendentec) Irracional d) Irracional enterae) Racional entera

09. Si: 3 2(x)P x 3x 3x 1 . Halle

P(10).

a) 728 b) 729 c) 739d) 750 e) N.A.

10. Si: P(x) = x + 1; Q(x) = 2x – 1. Calcular: P [P (0) + Q (0)]

a) 1 b) 0 c) 2d) 3 e) N.A.

11. Siendo: 102 25 41

(x)P 2x (x ) 3 ;

1X 1

x 1Q

x 1

Hallar: Q[Q[P(2)]]a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

12. Se define: P(n) = n+3 ; F(m) = 3mCalcular “x” en:

F[P[F[P(2)]]] – P[F[P(x)]] = 75a) 4 b) -11 c) 12d) -15 e) -1

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13. Si: 2

( x 1)P x 1

. Calcular

(0) (2)

(1)

P PE

P

a) 0 b) –3 c) –1d) 1 e) N.A.

14. 14 4

(x x )F x x 5

. Halle

F 3

a) 3 b) 2 c) –1d) 1 e) – 3

15. (x)

mx 1P

x 4

; hallar “m”. Si

P[P(x)] es independiente de x:

a) –1/4 b) –1/ 2 c) –1/ 8d) 1/4 e) 1/ 2

TRANSFERENCIA

01. Después de reducir: 1 2x xx 2xx x . x . x

, el resultado se puede

clasificar como:

a) Expresión algebraica racional enterab) Expresión algebraica irracionalc) racional fraccionariad) Expresión exponenciale) Expresión cúbica

02. Luego de reducir: x

x 1

x 11

x x

; la

expresión que resulta es:

a) Racional entera b) Irracional c) Exponencial c) Trascendentee) Racional fraccionaria

03. Señale verdadero o falso:

I. 224x y es una Expresión Algebraica

racional entera

II. 3 21x y

3 es una E.A. racional fraccionaria

III. xx 2x no es una expresión algebraica

a) VVF b) VVV c) VFFd) FVF e) VFV

04. Si los términos:

t1 (x; y) = 22 a 1 b 3a (a b) 3 x y

t2 (x; y) = 2 2(a 1) 4 b 1a(b a) 4 x y

Son semejantes, hallar la suma de sus coeficientes.

a) 0 b) 4 c) 6d) 7 e) 8

05. Calcular “n”, en el siguiente polinomio:

n 4 nx nP(3 x) (2x 9) 4 (x 9)

9 9

Si su término independiente más 9 veces su suma de coeficientes es igual a cero (n es impar).

a) 1 b) 21 c) 3d) 141 e) 5

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01

01. Dado el polinomio:

(X)P 5x 10 , reducir P(x+1)+P(x+2)

a) –5 b) 5x + 15 c) 5x + 20d) 10x + 35 e) 10x + 25

02. Si el P(x) = x2 – 3x + 7, halle P (3)

a) 26 b) 8 c) 10d) 9 e) 7

03. Si: P(x–2) = x2 – x + 5. Halle P(x+1) – P(x)

a) 2x b) 2x + 4 c) 8x + 4d) –2x –4 e) N.A.

04. Si: F(x + 1) = 4x – 3. Halle F(x – 2)

a) 4x – 12 b) 4x – 14 c) 4x –13d) 4x –15 e) N.A.

05.2

( X-3)P x 3x 1 , Calcular P(–3)

a) –1 b) 1 c) 2d) –2 e) N.A.

06. Si:

4 3(x)P 2 1 x x 4 2x 6 2

Calcular: ( 2 1)P

a) -6 b) 6 c) 4d) -5 e) N.A.

07. Si: F(x-3) = (x-2)(x-4) + 1.

Calcular: (2)FE F(3) F(4)

a) 5 5 b) 5 c) 5d) 25 e) 125

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08. Si: P(x+4) = 3x - 1. Determinar el valor de K en:P(K) + P(K+1) = 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

09. 13 3

(x x )P x x

. Halle: P(4)

a) 0 b) 52 c) 42d) 32 e) 62

10. Si: 5 4 3 2

(x)F 60x 185x 45x 92x 10x 12

Hallar:

3

3

32 5

2 5

F FN

F

a) 3 2 5 b) 3 2 5 c) 2d) 3 e) 1

11. Si: ax 1ax 1

F ax

.

Hallar: (3) (5) (7) (19)

(2) (4) (6) (20)

F .F .F ....F

F .F .F ....F

a) 10 b) 21 c) 10/21d) 21/10 e) N.A.

12. P(x3 + x2) = x5 + x. Halle P (1)

a) 0 b) 1 c) 2d) –1 e) 5

13. Hallar: P(22).

Si k 2 ; si k 20

P(k)P[P(k 3)] si k 20

a) 18 b) 19 c) 20d) 21 e) 17

14. Si el polinomio: 9 9 8 8 4 3 2P x (x 1) 3x (x 1) x 2x x2(x x)

Halle: P (3)a) 8 b) 9 c) 10d) 21 e) 27

15. Dado:P(x) = 2x5 – 3x4 – 2x3 + x2 + 5x + 1

Si:P(x+2) = ax5+bx4+cx3+dx2+ex2+fCalcular: a e f

a) 49 b) 18 c) 20d) 77 e) 24

SESIÓN Nº 2

GRADO RELATIVO Y GRADO ABSOLUTO

APRENDIZAJES ESPERADOS

1. Modifica expresiones algebraicas, transformarlas para que adquieran una fisonomía favorable al uso que queramos hacer de ellas.

2. Determina el grado relativo y grado absoluto de expresiones algebraicas.

3. Recrea situaciones sobre el cálculo de grados en operaciones indicadas.

4. Resuelve situaciones problemáticas haciendo uso de conceptos, propiedades y algoritmo sobre clasificación y grado de las expresiones algebraicas.

NOTITA IMPORTANTE

Matemática: una aventura intelectual

En sí la matemática durante el proceso de creación tiene mucho de intuitivo y experimental, el matemático ensaya caminos, los prueba, los evalúa y decide continuar por él o variar su enfoque, algunas veces logra el camino adecuado, pero otras no, en todo este proceso el matemático ha experimentado diversas emociones, a veces de frustración otras de alegría. Quién no ha experimentado una gran satisfacción cuando resolvemos un enigma, o un rompecabezas que se nos ha planteado. Y es que la matemática es una interesante aventura del pensamiento humano, que vehicula múltiples emociones, que forma nuestra mente, y que hoy es el medio más eficaz de comunicación de ideas científicas.Llegamos así al centro de nuestro planteamiento, ¿en qué consiste la matemática realmente? ¿Para qué es útil? Ya lo dijo sabiamente el matemático Paul Halmos: ¿Consiste la matemática en aprender axiomas, como el de las paralelas? ¿Teoremas?, ¿Definiciones?, ¿teorías?, ¿Fórmulas?, ¿métodos? Las matemáticas no podrían existir sin estos ingredientes; son esenciales, sin embargo, es posible argüir que ninguno de ellos está en el corazón del tema y que la principal razón para la existencia de los matemáticos es para que resuelvan problemas y que esto, por consiguiente, es en lo que realmente consiste la matemática: problemas y soluciones. (sic)

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Por todo lo dicho anteriormente creemos que una educación matemática de calidad debe llevar al salón de clase el verdadero quehacer matemático, saber matemáticas es hacer matemáticas. La actividad del matemático está signada por la búsqueda, la experimentación, la conjetura, posterior a esto el matemático empieza a formalizar sus resultados, a expresarlo mediante símbolos, a depurarlo. Presentar en una clase estos resultados inmaculados, perfectos, aniquilan la creatividad, y matan la aventura, pues todo lo hermoso del periodo de búsqueda es ocultado en la trastienda, es como leer un relato policial sabiendo de antemano la solución del enigma.

El acercamiento intuitivo y experimental es pues lo esencial si queremos que los estudiantes desarrollen competencias matemáticas, es ésta la forma como un profesor debería llevar su clase, partiendo de situaciones que motiven a sus estudiantes a investigar, proponiéndoles desafíos que los cuestionen sobre su conocimiento ya adquirido, y de allí partir para adquirir los nuevos conocimientos, en una constante comunicación con el grupo y con el maestro que guiará eficientemente el trabajo.

Habiendo aprendido a reconocer una expresión algebraica observando solamente los exponentes de las variables de la parte literal. Ahora continuamos nuestra incursión en el álgebra precisamente observando los exponentes para determinar una característica propia de las expresiones algebraicas: su grado.

FUNDAMENTO TEÓRICO

GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

GRADO: Se denomina grado a la característica atribuida a los exponentes de las variables de una expresión algebraica. Es aquel exponente numérico (no variable) racional positivo o negativo que afecta a una variable tomada como base.

Clases de Grado:

a) Grado Relativo (G.R.): Con respecto a una de las variables

b) Grado Absoluto (G.A.): Con respecto a todas sus variables

GRADO DE UN MONOMIO

a) Grado Relativo: Se refiere a una de sus variables de la expresión y está determinada por el exponente que posee dicha variable; para ello la expresión debe estar previamente reducida o simplificada.

Así: El monomio 4x2 y5 z8 es:

Con respecto a “x”, de segundo grado

Con respecto a “y”, de quinto grado

Con respecto a “z”, de octavo grado

b) Grado Absoluto: Se calcula sumando algebraicamente los exponentes de sus variables (Suma de sus grados relativos).Así: El monomio: M(x, y) = 7x3 y5

Tiene por Grado Absoluto:

G.A = 3 + 5 = 8 (8º grado)

GRADO DE UN POLINOMIO

a) Grado Relativo: Se refiere a una de sus variables y está determinado por el mayor exponente que afecta a dicha letra en todo el polinomio.

Así: El polinomioF(x, y) = 2x2y4z3 – 3x3y2z + 5x5y z2 es:

Con respecto a “x” de quinto grado

Con respecto a “y” de cuarto grado

Con respecto a “z” de tercer grado

b) Grado Absoluto: Se calcula indicando el término de máximo grado.

Así: El polinomio:

Tiene por grado absoluto 11.

Importante

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De acuerdo con la definición de grado, si “c” es un número real diferente de cero, entonces “c” es un polinomio de grado cero.

GRADOS EN OPERACIONES INDICADAS

Aclaramos que si dos polinomios son de distinto grado, en la suma o resta de los mismos prevalecerá el mayor de estos grados, así por ejemplo:

P(x) = 2x3+4x2 5x+7; Q(x) = 3x2 2x+5Los grados de P y Q son respectivamente 3 y 2; luego:

P(x) + Q(x) = 2x3 + 7x2 7x + 12P(x) - Q(x) = 2x3 + x2 3x + 2

Cuyos grados que serán señalados con G (de aquí en adelante) como: G(P+Q)=3, G(PQ)=3; son iguales al grado de P que tiene mayor grado que Q.

Sin embargo, cuando los grados de P y Q son iguales el grado para la suma o resta será menor o igual que el grado común, ya que pueden eliminarse las mayores potencias de x.

También existen reglas prácticas para encontrar los grados de otras operaciones que se realicen con P y Q.

En el siguiente cuadro se muestra como obtener los grados de las diferentes operaciones

EXPRESIONESALGEBRAICAS

GRADO

P m

Q n

P.Q m + nSe suman los grados de los factores

m – n

Se resta el grado del dividendo menos el grado del divisor

m.aSe multiplica el grado de

la base por el exponenteSe divide el grado del radicando entre el índice del radical.

3m+7n

9m–5n


01. Sea el monomio:

Hallar el grado absoluto de dicho monomio, sabiendo que se verifica la igualdad siguiente:

a) n b) 3n c) md) 2m e) N.A.

Resolución

Aplicamos el grado a una DIVISION:

…( )

Pero por dato del problema:

Transformaremos esta igualdad:

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…. ()

Reemplazando () en (), tendremos:

GP = (n+m)–(n–m)=n+m–n+m=2m

CLAVE: “D”

02. Hallar el grado del producto:

a) 2410 b) 3410 c) 4410d) 5410 e) N.A.

Resolución

Por inducción:2 12 +13

12 22 + 23

36 32 + 33

80 42 + 43

150 52 + 53

1100 102 + 103

S

Aplicamos el grado de una Multiplicación.

GP = 2+12+36+80+150+. . .+1100

GP = =

GP = (12+22+32+…+102) + (13+23+33+…+103)

Luego:

2n n 1 2n 1 n n 1

GP6 2

CLAVE: “B”

03. Dados dos polinomios P y Q, donde el grado absoluto de Q es 30 y el menor exponente de “x” en P es 6. Indicar el grado absoluto P menos el grado relativo a “y” en Q.

a) 2 b) 3 c) –4d) 5 e) N.A.

Resolucion Por dato del problema:

Menor exponente de x en:

P = a + 1 = 6 a = 5Asimismo: G.A.(Q) = 3a + 2b + 1 = 30

GA (Q) = 3(5)+2b+1=30 b = 7

Luego: G.A.(P)=a + b + 9 = 5 + 7 + 9

G.A.(P) = 21 ………………….... ()

Ahora hallamos el grado relativo de “y” en el polinomio Q:

G.R (y) = 2b + 5 = 2(7) + 5

G.R. (y) =19 ………………….... ()

Nos piden:G.A.(P) – G.R.(y) Q = 21 – 19 = 2

CLAVE: “A”

04. Calcular el valor de ;

si el G.A. del polinomio:

Es 18 y además el grado relativo a “x” es 5 unidades menor que el grado relativo a “y”

a) 64 b) 4096 c) 1296d) 81 e) N.A.

Resolucion

Exponentes de x m + 1 m m – 3 m – 2

Exponentes de y n + 4 n + 8 n + 2 n + 3

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Grados absolutos en cada monomio

m+n+5

m+n+8

m+n–1

m+n+1

Por dato del problema:GA = m + n + 8 = 18 m + n = 10 ……………………. ( )

GR(X) + 5=GR(y) m+1+5 = n+8 m – n = 2 ……………………… ( )

Luego de ( ) ( ) se obtiene:

2m = 12 m = 6 n = 4

F = 81

CLAVE: “D”05. Hallar el grado de W es:

a) Nulo b) 1 c) 2d) 3 e) N.A.

Resolución

elevamos al

cuadrado.

(R – 5)(R + 4) = 0

R = 5 R = – 4

Como R es positivo, adoptamos: R = 5Luego, la expresión W queda reducida a:

GA (P) = 2CLAVE: “C”

06. Calcular el valor de “P” de modo que la expresión Sea de grado 6:

a) 6 b) 29/36 c) 36/29d) 1/6 e) N.A.

Resolucion

Trabajamos con los exponentes:

Pero como el monomio es de grado 6; luego:

CLAVE: “B”PRÁCTICA DE CLASE

01. Dado el monomio: M(x;y) = ; G.A.(M) = 10; GR(x) = 7. Señalar su coeficiente.

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 14

02. Sean P y Q dos polinomios definidos por:

;

Si el polinomio P(x) – Q(x) es de grado cero, entonces el valor de: T = n2 + 4a2, es:

a) 5 b) c) 10

d) 13 e)

03.El grado de p(X) es 14 y el grado respecto a “x” es 6. El producto de todos sus coeficientes es:

a) 10 b) 50 c) 100d) 500 e) 600

04. Sabiendo que:es un

polinomio de grado absoluto 18 y la diferencia de los grados relativos a “x” e “y” es 8, entonces el valor de es:

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a) 81 b) 64 c) 121d) 49 e) 100

05. Señalar el grado de . Dados los polinomios:

P(x) =

Q(x) =

a) 12 b) 80 c) 20d) 18 e) 96

06. Si P(x) y Q(x) son dos polinomios tales que los grados de

y son 27 y 23 respectivamente; entonces el grado de P(x) es:

a) 7 b) 10 c) 9d) 8 e) 5

07. ¿Cuántos factores han de tomarse en P(x) = ...? tal que P(x) sea de grado 330.

a) 7 b) 9 c) 11d) 13 e) 15

<

08. Calcule el grado del resultado de efectuar.

Sabiendo

que su término independiente es (-800).

a) 11 b) 13 c) 15d) 17 e) 19

09. Calcular el valor de “x” para que la expresión sea de segundo grado.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10. Hallar el grado absoluto del monomio:

Si:

a) 1 b) 2 c) 4d) 3 e) 5

11. Sabiendo que el grado relativo de “y” en el monomio:

M(x; y; z) =

Es mínimo. Calcular el coeficiente de M.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

12. Calcular el grado absoluto; de:

Si: a - b = b - c= 4

a) 6 b) 10 c) 16d) 14 e) 18

13. Sea P un polinomio definido por:

, tal que si al

polinomio P le restamos el monomio 12x3

y4 su grado absoluto disminuye. Si M y N son dos cantidades definidades por: M = G.R(x) y N = G.R(y).

Establecer la correcta relación entre los valores de M y N.

a) M > N b) M < N c) M = Nd) 5 < 2M – N < 7 e) 2M = N

14. Si P es un polinomio definido

por , entonces

el número de valores enteros que admite “n” es:

a) 12 b) 10 c) 6d) 4 e) 1

15. Sea P un polinomio definido por:

Dato I : GA (P) = 24Dato II : GR (x) = GR (y)

Entonces, para hallar la suma de coeficientes del polinomio P.

a) El dato I es suficiente y no el dato II.b) El dato II es suficiente y no el dato I.c) Es necesario utilizar los datos I y II

conjuntamente.d) Cada uno de los datos, por separado, es

suficiente.e) Se necesitan más datos.

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TRANSFERENCIA

01. Hallar: “m + n” si:4xm + 3. yn - 2 + 5xm + 1 .yn + 1+ 7xm . yn + 2

Es de grado absoluto 8, y el grado relativo a “x” supera en una unidad el grado relativo de “y”

a) 5 b) 4 c) 3d) 6 e) 10

02. Hallar “a” y “b” si el grado absoluto del monomio es igual a 17, y su coeficiente tiene el mismo valor que el grado relativo con respecto a “x”. Siendo el monomio:M = (a + b)x2(a-1) y3b

a) 3 y 5 b) 4 y 2 c) 5 y 3d) 1 y 3 e) 2 y 5

03. Hallar el valor que debe darse a “m” para que la expresión:

sea de sexto grado

a) 40 b) 38 c) 44d) 36 e) 28

04. Si se cumple que:

Hallar el grado de

a) n + m b) 2m c) nd) m e) 0

05. Hallar el grado de la expresión:

a) 1 b) 3 c) 4d) 5 e) 2


01. Hallar el coeficiente del monomio:

Si su grado absoluto es 8 y el grado relativo respecto a "y“ es 1.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

02. Calcular “n” si el grado de:

es igual a 2

a) 2 b) 3 c) 6d) 8 e) 4

03. Hallar el valor de: Si en el monomio:

la suma de sus grados relativos tomados de 2 en 2 es 9, 10 y 11 respectivamente.

a) 2 b) 5 c) 3d) 4 e) 6

04. Calcular “m.p” si el polinomio:

Es de grado absoluto 18 y la diferencia de grados relativos a “x” e “y” es 8.

a) 9 b) 18 c) 12d) 16 e) 20

05. Hallar el grado absoluto del

monomio: ; Si : a - b = 8 y ab =

4a) 38 b) 48 c) 20d) 16 e) 12

06. Calcular el grado del polinomio:

a) 1980 b) 1890 c) 1908d) 1809 e) 2000


Si: a + b + c =0

a) 1 b) c) 3

d) abc e) 2

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08. Señalar el grado de:

.

Si: GA

Además: GA [ F(x) ] > GA [ M(x)] y GA

a) 49 b) 50 c) 60d) 48 e) 47

09. Se tienen dos polinomios P y Q, si el polinomio P es de grado 10 respecto a “x”. En el polinomio Q, el grado respecto a “x” es 5, menos que el grado respecto a “y”. Hallar el grado respecto a “y” en el polinomio Q, siendo:

a) 10 b) 5 c) 15d) 12 e) 2


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. Hallar el valor de “m”, si el grado del monomio:

a) 4 b) 3 c) 1d) 6 e) 2

12. Si el monomio: M = 32

, es de grado absoluto 4 y los

grados relativos a “x” e “y” son iguales. El valor de 3b-a es:

a) -1 b) 5 c) -2d) 1 e) 2

13. Sean P, Q y R polinomios (definidos en la variable x) cuyos grados son (3n+2), (4n–3) y (2n+1) respectivamente, tal que; El Grado de

= 31

Si M y N son dos cantidades definidas por:

M =Grado y N =Grado

Establecer la relación correcta entre los valores de M y N.

a) 2N > M b) M > 2Nc) M = N d) M – N = 12e) 2N = M


si se sabe

que GA (F(x; y)) = 6.

Calcular GRx + GRy

a) 5 b) 6 c) 7d) 3 e) 8


Además el grado de es 221 + 1.

Calcular “n”.

a) 7 b) 6 c) 5d) 3 e) N.A

SESIÓN N° 3

POLINOMIOS

APRENDIZAJES ESPERADOS1. Compara la relación entre dos expresiones

algebraicas.2. Formula polinomios señalando sus

elementos y clasificación.3. Resuelve situaciones problemáticas

haciendo uso de conceptos, propiedades y algoritmos sobre polinomios especiales.

NOTITA IMPORTANTEEl estudio de los polinomios data desde la época de los babilonios que superó mucho a los hindús, griegos y egipcios. Esto ocurrió alrededor de hace 4000 años durante el reinado de Hamurabi (siglo XX AC.).

En la época de Hamurabi ya se conocía el siguiente problema “la suma de las áreas de dos cuadrados es igual a 1000 y el lado de uno de sus cuadrados es 2/3 del lado del otro disminuido en 10. ¿Cuánto miden dichos lados? este problema conduce a:

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En esta época el álgebra floreció a niveles increíbles, allí pues no sólo se resolvieron las ecuaciones de primer y segundo grado; sino también las de tercer grado.

El matemático árabe Al-Jwārizmi (de su nombre procede la palabra algoritmo, y el título de uno de sus libros es el origen de la palabra álgebra) desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi la completó para polinomios incluso con infinito número de términos.

Leonardo De Pisa (Fibonacci)(1175 –1250)

Conocido también por el apodo de Fibonacci, es una de las figuras más interesantes de la Matemática Italiana. Su obra más famosa es el LIber Abbaci; 1202, en donde preconiza el empleo de las cifras indias, da a conocer las frationes in grfadibus.

Resuelve muchos problemas de Análisis indeterminado y otros de Aritmética Mercantil y es allí donde se encuentra el primer ejemplo de sucesiones recurrentes: 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; … formada partiendo de los números 0 y 1, donde cada una de las siguientes es la suma de los dos que lo precede, y por último, trasladó algunas de las ecuaciones de segundo grado del Joarizmi, lo que dio origen a la creencia de que había sido el introductor de ellas en Europa, lo cual está ya desmentido. También escribió una Práctica Geométrica; 1220, en la que plagió a Savasorda, y un Liber quadratorum, en el que se advierte su deseo de librarse de los métodos griegos, indios y árabes para resolver los problemas diofánticos.

El matemático italiano Leonardo Fibonacci dirigió sus estudios hacia el álgebra y la teoría de números, principalmente. El conocimiento matemático de clásicos grecorromanos, árabes e indios constituyó la base fundamental de sus trabajos.

FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA

POLINOMIO ENTERO EN XUn polinomio en x es cualquier suma finita de monomios en x. Es necesario ser reiterativo que un polinomio en “x” es una expresión algebraica Racional Entero. Otro modo de decirlo es el siguiente:

Definición: Un POLINOMIO EN x es una expresión de la forma:

En donde n es un entero no negativo y los son números reales.

Son los coeficientes.

es el coeficiente principal.

es el término independiente n es el grado de P(x)

=1 P(x) es monico.

Recordarde la suma, es un término del

polinomio. Si el coeficiente es cero, el

término será omitido. El coeficiente

de la potencia más alta de x es el coeficiente principal del polinomio y si 0, se dice que el polinomio tiene GRADO “n”.

Un polinomio en x puede ser considerado como una expresión algebraica obtenida empleando únicamente sumas, restas y multiplicaciones que incluyen a x. En particular, las expresiones:

No son polinomios enteros en x pues existen divisiones entre variables, o raíces en las que existen variables.

Los coeficientes de los polinomios se pueden elegir de algún sistema matemático distinto del de los números reales. Sin embargo, a menos que se especifique otra cosa, el término “POLINOMIO” se referirá siempre a un polinomio con coeficientes reales.

Puesto que los polinomios, y los monomios que constituyen los polinomios, son símbolos que representan números reales, todas las propiedades conocidas pueden aplicarse. Si se llevan a cabo sumas, restas y multiplicaciones con polinomios, se puede simplificar entonces

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el resultado haciendo uso de las propiedades de los números reales.

Es frecuente asignar letras mayúsculas P, Q, R, S y encerrar en paréntesis a la x, para distinguir un polinomio de otro y señalar las variables de la misma, así:

P (x) = 3 constante

Q (x) = 4x + 5 lineal

R (x) = 2x2 +4x 2 cuadrático

S (x) = x3 + 5x2 7x + 1

cúbico

Cuando el coeficiente principal es igual a la unidad se le llama: POLINOMIO MONICO como el polinomio S.

Cuando los coeficientes son primos entre si se dice que es un POLINOMIO PRIMITIVO como Q y S observando que R no es primitivo.

Ejemplo: P(x) x2 + 7x + 4 ; es un polinomio mónico de segundo grado (cuadrático).

POLINOMIO HOMOGÉNEOEs aquel polinomio que tiene más de una variable y cuyos términos presentan el mismo grado.

Ejemplo: P(x; y) = 2xy4 – 3x3y2 + y5 es homogéneo de 5to grado.

Un polinomio P de variable x e y se dice homogéneo si y sólo si:

Para cualquier k real no nulo y distinto de la unidad, de grado de homogeneidad n.

POLINOMIO ORDENADOCuando los exponentes de la variable que se toma como referencia, guardan un cierto orden, ya sea ascendente o descendente.Ejemplo P(x; y) = x5y – x3y2 + xy3, es ordenado en forma decreciente respecto a x, en forma creciente respecto a y.

POLINOMIO COMPLETOEs el que contiene todos los exponentes de la variable que se toma como referencia, desde el mayor exponente cero o término independiente.

Nota: En un polinomio, si es completo respecto a la variable en referencia, entonces el número de términos es igual al grado aumentado en uno.

Número de términos = grado + 1

Ejemplo: P(x) = -2x + 3x2 + x3 – 7 es completo, de 3er grado y tiene cuatro términos, uno más que el grado.

POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADOEs aquel polinomio que presenta las dos características anteriores, es decir ordenado y completo respecto a la variable en referencia.

Ejemplo:

El polinomio es

completo y ordenado ascendentemente.

El polinomio

es completo y

ordenado descendentemente respecto a “x”, pero ascendentemente respecto a “y”

Nota:- Cuando un polinomio de dos variables es

ordenado y completo respecto a las variables, se concluye que el polinomio es homogéneo.

- En un polinomio completo y ordenado de una sola variable, la diferencia de exponentes en dos términos contiguos siempre es igual a la unidad.

POLINOMIOS IDÉNTICOSSon aquellos cuyos términos semejantes poseen el mismo coeficiente.

Ejemplo: Si P(x) = ax3 + bx2 + c yQ(x) = mx3 + nx2 + p

Son idénticos (P(x) Q(x), se cumplirá que: a = m ; b = n y c = p

POLINOMIO EQUIVALENTESSon aquellos polinomios que teniendo formas diferentes aceptan igual valor numérico para un mismo sistema de valores asignados a sus variables.

Ejemplo: Dado los polinomios: P(x, y) (x + y)2 – (x - y)2 Q(x; y) 4xy

Si ambos admiten el mismo valor numérico para cualquier valor de “x” e “y”, entonces serán equivalentes; veamos.

Hagamos: x = 2 y = 1; en P(x, y)

P (2; 1) = (2 - 1)2 – (2 - 1)2 = 8

Hagamos: x = 2 y = 1; en Q(x; y)

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Q(2,1) = 4(2) (1) = 8

Observar que: P(2; 1) = Q(2; 1)

En consecuencia P(x, y) Q(x; y), son polinomios equivalentes y se les podrá representar así:

POLINOMIO IDENTICAMENTE NULOEs aquel que tiene sus coeficientes todos nulos. Su valor numérico es cero para cualquier valor de la variable.

Ejemplo:Si p(x) = ax3 + bx + c, es idénticamente nulo, se cumplirá: a = 0, b = 0 y c = 0

Y se podrá representar así.


01. Halle el número de términos del polinomio completo y ordenado.

<

P(x,y) = x2a + b + c + xa + 3b + 2c +xa + 4b + 8c + x2a + b + 4c + …..

a) 25 b) 75 c) 78d) 79 e) N.A.

ResoluciónPor ser completo y ordenado, debe terminar en x0 (descendente), luego:

2a+b+c = a+3b+2c+1 a-2b-c = 1

a+3b+2c = a+4b+8c+1 -b -6c = 1

a+4b+8c=2a+b+4c+1-a+3b+4c=1

De donde: a=10, b=5 y c=-1

P(x) = x24 + x23 + x22 + x21 + ….

# Términos = 24 + 1 = 25

CLAVE: “A”02. Hallar , sabiendo que:

4x2 - 14x - 48 a(x+1)(x+2) +b(x+2)(x+3) + c(x+1)(x+3)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Resolución Hagamos que x + 3 = 0 x = - 3.¿Por qué? Porque b y c tienen este factor, si lo anulamos, obtenemos el valor de “a”.

4(-3)2–14(-3)-48 =a(-3+1) (-3+2)+0+0

36 + 42 - 48 = 2a a = 15

Análogamente, para calcular “b” hacemos x=-1 y para calcular “c” hacemos x=-2, obteniendo b=-15 y c=4.

CLAVE: “B”

03. Si el polinomio Q(x) es ordenado y completo. Indicar cuántos términos tiene:

a) 13 b) 12 c) 10d) 8 e) N.A.

Resolución Observando los exponentes de cada término, notamos que:K – 12 < k – 11 < k – 10 < k – 9 < …El polinomio está ordenado en forma ascendente; luego: K -12 = 0 k = 12.Al reemplazar este valor en Q(x) obtenemos:

Notamos que el polinomio Q(x) es completo sólo hasta x7, luego Q(x) tiene 8 términos.

CLAVE: “D”

04. Determinar el valor de “P” si la expresión:

Es un polinomio homogéneo, donde además: m y n son enteros positivos menores que 8.a) -11 b) 11 c) -10d) 10 e) N.A.

Resolución Si el polinomio es homogéneo se cumplirá que:

Igualamos (II) y (III):

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m = 4

Igualamos (I) y (II), reemplazando el valor de “m”:

16+4+p = 15+p =

p = ……………………… ()

Como: 0 < n < 8 (dato)

de (): “n” debe ser ; caso contrario la

expresión dejaría de ser polinomio:

n = 4 ………………………... en ()

p = – 15 p = -11

CLAVE: “A”

05. Dado el polinomio homogéneo:

Hallar el coeficiente que tiene mayor valor absoluto (a y b R+)

a) 1024 b) 100 c) 125d) 625 e) N.A.

ResoluciónSi el polinomio es homogéneo se cumplirá:

Igualamos (I) y (III):

a = 2

Igualando (I) y (II); y reemplazando el valor de “a”:

Como b R+ b = 5 Determinamos los coeficientes en cada Término:

CLAVE: “D”

06. Dado el polinomio completo y ordenado:

Cuyo número de términos es (p + 7). Determine “n”, si “n” R+ .a) 1 b) 3 c) 4d) 2 e) N.A.

Resolución De la condición: n R+ n2 + 2n+1 > 0; y además, como el polinomio es completo y ordenado, se deberá cumplir que:* p2 + 6q + 7p = 0 …………. (1)* 7q + 36 = 1 ………….. (2)

De (2): q = – 5 en (1)

p2 – 30 + 7p = 0 p2 + 7p - 30 = 0

(p + 10)(p - 3) = 0

p = –10 p = 3; tomamos p = 3 (valor positivo).Justificación: El número de términos es (p + 7), luego: p = –10 no se acepta porque es absurdo que el número de términos resulte un entero negativo.

Luego:Número de términos = 3+7=10 términos

Se concluye: n2+2n+1=9 (Grado del 10mo término)

n = 2CLAVE: “D”

07. Si: B(x)=ax2+px–r y J(x)=bx2–qx–s

Son dos polinomios de tal forma que los siguientes polinomios:

E(x)=3B(x)+2J(x); U(x)=4B(x)–3J(x)

Son equivalentes, hallar:

a) 9/2 b) 2 c) 2/9 d) 9/6 e) N.A.

Resolucion De la condición:

3B(x) + 2J(x) = 4B(x) – 3J(x)

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5J(x) = B(x)

De donde:5[bx2 – qx – s] = ax2 + px – r5 bx2 – 5qx – 5s = ax2

+ px – r

Luego:5b = a ; – 5q = p ; 5s = r

Reemplazando en L:

CLAVE: “D”

08. Determinar el valor de , si se

cumple que la siguiente igualdad:

12+x=p(x+4)–q(2x-3); se verifica para cualquier valor de “x”.

a) 33/43 b)129/11 c) 43/33

d) 33/129 e) N.A.

Resolución Tenemos la igualdad: 12 + x = p(x + 4) – q (2x – 3) x + 12 = px + 4p – 2qx + 3q x +12 = (p – 2q)x + (4p + 3q)

Identificando coeficientes:p - 2q = 1 ……………..………. ()4p + 3q = 12 …………………...… ()

De () y ():

11q = 8

Sustituyendo “q” en ():

Luego:

CLAVE: “D”

09. Calcular el valor de ; si se

cumple la identidad:

a) 2 b) 4 c) 18

d) 9 e) N.A.

ResolucionDesarrollamos:

p(x2–1)+q(x2–4x+3)+r(x2–2x–3) x2+14x+8

(p+q+r) x2–(4q+2r)x+(–p+3q–3r) x2+14x+8

De donde:

Resolviendo el sistema obtenemos:

Luego:

CLAVE: “D”

10. Hallar el valor de en:

.

Sabiendo que P(x) Q(x)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A.

Resolución Si P(x) Q(x)

a = –1

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CLAVE: “D”

PRÁCTICA DE CLASE

01. Si: P(x) = Es completo y ordenado ascendentemente. Calcular a.b.c.d.

a) -12 b) 12 c) -6d) 6 e) -3

02.Si: a(x + b) + b(x + a) x + 26

Indicar:

a) 1 b) 1/13 c) 13d) 1/6 e) 6

03. Si los polinomios:

Son completos y

ordenados en forma ascendente y descendente respectivamente, entonces el grado absoluto del polinomio:

es:

a) 15 b) 13 c) 11d) 9 e) 7

04. La suma de los coeficientes del polinomio homogéneo:

es:

a) 48 b) 49 c) 50d) 51 e) m + n

05. Si el polinomio:

Es completo y ordenado en forma ascendente.

Hallar el valor de “m + n + p”

a) 35 b) 36 c) 37d) 38 e) 39

06. Sabiendo que el polinomio:

Es completo y ordenado decrecientemente.

Calcular:

a) 2b) c) d) 3 e) 4

07. Calcular la suma de coeficientes del polinomio completo y ordenado:P(x) = ;a b c d

a) 24 b) 44 c) 10d) 34 e) 14

08. El polinomio completo y ordenado:

Que también es homogéneo, se verifica que la suma de los grados absolutos de sus términos s 240, según esto halle usted su grado de homogeneidad.

a) 20 b) 15 c) 10d) 15 e) 25

09. La suma de los grados absolutos de todos los términos de un polinomio homogéneo y completo de dos variables es 600. ¿Cuál es su grado absoluto?

a) 12 b) 30 c) 24d) 30 e) 25

10. Señale el grado del polinomio entero ordenado en forma decreciente:

P(x) = a) 5 b) 3 c) 6d) 4 e) 7

11. Si el polinomio ordenado decreciente y completo:

P(x) = ....Posee “2c” términos. Hallar “a + b + c”

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

12. Calcular “a.b.c”, si:

Es completo y ordenado en forma ascendente.

a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16

13. Dado el polinomio mónico:

P(x) =

donde a R. Hallar la suma de sus coeficientes.

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a) 10 b) 13 c) 14d) 15 e) 17

14. Calcular , si se cumple

a) 16 b) 2 c) 4d) 6 e)

15. Si: a(x + b) + b(x + a) x + 26.

Hallar el valor de: E =

a) 1 b) 2 c) 13

d) e)

16. Hallar “k”, si se cumple:

a) 6 b) 8 c) 7d) 5 e) 10

17. Hallar (A + B + C) si se tienen los polinomios idénticos:

P(x)=A(x+2)(x-2)+B(x+2)(x-1)+C(x-1);Q(x)=

a) 1 b) 2 c) 3d) 0 e) -2

TRANSFERENCIA

01. Calcular: (a – b + c – d) si:(x – 1)(x – 2)(x – 3) – ax3 – bx2 – cx – d 0

a) 17 b) 19 c) 21d) 23 e) 24

02. Calcular la suma de coeficientes del polinomio completo y ordenado en forma decreciente.

a) 53 b) 49 c) 45d) 35 e) N.A.

03. Si el polinomio es homogéneo:

.

Calcular: m . n

a) 5 ) 10 c) 14d) 35 e) N.A.

04. Si el polinomio:Q(x) = ax3 + 2x2 – 5x3 + 2bx2 – c + 7Se anula para más de tres valores diferentes de “x”. Calcular a.b.c.

a) 35 b) – 35 c) 30d) – 30 e) 22

05. Sabiendo que los polinomios:

Son homogéneos. Hallar:

a) –1 b) –2 c) 1d) 2 e) 4


01. Calcular la suma de los coeficientes del siguiente polinomio homogéneo:

a) 13 b) 15 c) 17d) 19 e) 21

02. Si se conoce que el polinomio es homogéneo:

Calcular:

a) 0,01 b) 10 c) 100d) 1000 e) N.A..

03. ¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo:

Para que sea de grado 45 con respecto a “y”.

a) 16 b) 8 c) 14d) 15 e) 17

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04. Calcular “a.b” en el siguiente polinomio homogéneo:

a) 2 b) 3 c) 4d) 6 e) 8

05. De las siguientes sentencias, cuántas son ciertas:I. P(x) = , es homogéneo si a

=10II. El término independiente de:

P(x + 1) = 10x – 6; es – 6.III. La suma de coeficientes de P(x) es 14

en: P(x –1) = 3x + 11

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) F.D.

06. Calcular si el

polinomio es homogéneo.

Además: GR(x) + GR (y) = 2 (c + 2)a) 4 b) 28 c) 6d) 8 e) 2

07. Si se multiplican “n” polinomios de grado “n” cada uno y se sabe que el resultado es un polinomio completo, entonces el número de términos del polinomio producto es:

a) n + 1 b) n2 – 1 c) n2 + 1d) nn + 1 e) n2

08. Si el polinomio completo tiene (4+a) términos.

Hallar el valor de “a”.a) 0 b) 3 c) 1d) 2 e) 4

09. Hallar el número de términos si el polinomio adjunto es completo:

a) 6 b) 5 c) 7d) 4 e) 8

10. Hallar el valor de ;

si el polinomio:

Es completo y ordenado en forma descendente.

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

11. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo:

a) 6 b) 9 c) 12d) 15 e) 18

12. Sabiendo que:

Es idénticamente nulo.

Calcular:

a) 16 b) 12 c) 9d) 3 e) 1

13. Hallar “a + b + c”, si:

a) 34 b) 19 c) -4d) 4 e) -19

14. Calcular “A - B + C”, Si se verifica la identidad:

(x-1)[A(x-2)+B(x+2)-3x]+15x x+2)[3x+C]

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 5

15. Si el trinomio:

es homogéneo de grado

10. ¿De qué grado será el monomio

?

a) 3 b) 17 c) 27d) 81 e) 12

AUTOEVALUACIÓN Nº 01

01. Si los siguientes términos:

Q(m) =

Son semejantes. ¿Cuál de las siguientes

expresiones es semejante con ?

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a) -4y32 b) 7y24 c) d) 27y3 e) N.A.

02. Reducir:

a) –b b) a+b c) 4bd) b e) a+2b

03. Si la expresión: E = ; con n 1; nZ, es racional entera. ¿De

qué tipo es ?

a) Racional entera b) Rac. Fraccionariac) Irracional d) Trascendentee) N.A.

04. Hallar m+n si los términos: ; son semejantes.

a) 3 b) 5 c) 7d) 2 e) 0

05. Señale verdadero (V) o falso (F), respectivamente:

I. 3x2 + 2x - ; es un trinomio

II. ; es un monomio

III. ; no es un binomio

IV. 7x2 + 2 - 3x-2 ; es una expresión

algebraica de tres términos .

a) FFFV b) FFFF c) VVFVd) FVFV e) VVVV

06. Hallar el valor de “m” para que el monomio: M(x, y)=5(m – n) xm + n y , sea de grado absoluto 6 y de grado relativo a “x” igual al coeficiente del monomio.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

07. Determinar el grado de la siguiente expresión:

a) 1 b) 2 c) 1/2d) 1/3 e) N.A.

08. Si al polinomio:

Le restamos , su grado absoluto disminuye ¿Cuánto vale el menor exponente de F(x, y)?

a) 1 b) 4 c)2d) –4 e) 6

09. Si “m”, “n” y “ñ” son números naturales diferentes de cero. Determinar el grado absoluto de:

a b c abc

0,5abc

x yM(x,y,z)

xyzx

Si se sabe que (a> b > c ; a 3)

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

10. Hallar el grado de la expresión:

Donde:

;

a) 10 b) 6 c) 2d) 4 e) N.a.

11. Siendo Q(x, y) un polinomio, donde:

Calcular el grado absoluto mínimo que puede tomar Q(x, y)

a) 0 b) 3 c) 6 d) 9 e) N.a.

12. Hallar el valor “n” sí el grado de “P” y “Q” es igual a 5 y 3 respectivamente y se conoce que el grado de la expresión

; es 105

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.a.

13. El monomio:

M = es de grado 128,

calcular el valor de P.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

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14. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo:

P(x)=c(xa+xb)+a(xb+xc)+b(xa+xc)+abc

a) 12 b) 14 c) 15 d) 16 e)18

15. Sabiendo que el polinomio es idénticamente nulo.

P(x) = (a + c – 3abc)x2y + (a + b –6abc)xy + (b + c – 7abc)con abc 0

Calcular: M =

a) 64 b) 32 c) 48d) 12 e) 16

SOLUCIONARIO

01. Solución:Si P(m) y Q(m) son semejantes, se cumple que las partes literales son iguales:

Exponentes iguales

De donde: xx = 3 . . ………….. . ()Hallemos ahora el exponente de “y” en:

Pero xx = 3, según ().

Luego, reemplazando:

Finalmente:

Un término semejante será cualquiera que tenga sólo la variable “y” con exponente 27.

CLAVE “C”

02. Solución:Reduciendo por partes:

K=

2a - b - 4a + b = - 2a

K = - a - b -

K = - a - b -

K = - a - b -

K = - a - b - [-a - 2b] = a - b + a + 2bK = b

CLAVE “D”

03. Solución:Simplificando la expresión:E = ; factorizando el índice.

E= =

Para que “E” sea racional entera, entonces:

debe ser un número entero positivo.

Lo cual cumple para n = 3.Ahora reemplazando en la expresión

pedida: , se obtiene

una EXPRESIÓN ALGEBRAICA IRRACIONAL (por tener exponente fraccionario)

CLAVE “C”

04. Solución:Si los términos son semejantes, se debe cumplir que:

5-n3m y7x 5 x2 y 1

m + 3 = 2 m = 1 n - 5 = 1 n = 6

Nos piden: m + n = 1 + 6 = 7.CLAVE “C”

05. Solución:Premisa I: ; no es un trinomio ya que no es una E.A. Racional entera; es una expresión algebraica de tres términos (F).

Premisa II: = ; no es un monomio, ya que no es una E.A. racional entera, es simplemente un término algebraico (F).

Premisa III: = ; es un

binomio, ya que es una E.A. Racional entera de dos términos (F).

CLAVE “A”

06. Solución:(m+n)+1=6 m+n=5

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METR

ÍAA

RIT

MÉTIC

A

5SAL9 – 1B

m+n=5(m–n)=5m–5n -4m+6n=0

5n = 10 n = 2 ; m = 3CLAVE “C”

07. Solución:La expresión puede escribirse de la siguiente manera:

De donde: el grado de la expresión es: 1/3

CLAVE “D”

08. Solución:Analizando cada término con su grado absoluto.

G.A. (F) = m + p y está dado por el dado por el 1er. término.

Del dato: para que el grado absoluto F disminuya al restar , implica que el

término de mayor grado es .

Luego: (1er. término)

m = 3 ; p = 4Menor exponente:F(x, y) = n -8= 12–8 = 4

CLAVE “B”

09. Solución:Reduciendo la expresión:

Del dato: a > b > c ; a 3

Entonces:3 2 1 a=3, b=2 , c=1

G.A. (M) = a + b + c

= 3 + 2 + 1 = 11

CLAVE “B”

10. Solución:Reduciendo exponentes:

El grado de la expresión está dado por:

GA(M) = [2p – 3 + 4p – 2q – 4+4p –

2q+3]

[10p – 4q – 4] = 5p – 2q – 2 ………… (1)

Además, por dato:

=

= = 2

=

= = 3

En (1): GAM) = 5(2) - 2(3) - 2 = 2

CLAVE “C”

11. Solución:Tomamos los grados absolutos de los 4 términos del polinomio:

G.A.(A) = 3a G.A.(II) = 3a – 6 G.A.(III) = 3a – 8 G.A.(IV) = 3 a – 9

De donde: G.A. (Q) = 3 a ……….. (1)

Pero, G.A. (Q) será mínimo cuando “a” tome el mínimo valor que de existencia al polinomio. Si observamos los grados de los cuatro términos, del término “IV” veremos que el valor mínimo de “a” será 3, el cual define a todo el polinomio.

Luego, en (1): G.A.(Q)mínimo = 3(3) = 9

CLAVE “D”

12. Solución:Por dato: G.A. de P = 5G.A.(P)9=5x9=45 G.A.(P)6=5x6=30

Por dato: G.A. de Q = 3G.A. (Q)4=3x4=12 G.A. (Q)7=3x7=21

Luego:* En el numerador:P9 + Q4 G.A. = 45 (el mayor)

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5SAL9 – 1B

ÁLG

EB

RA

CO

MPU

TAC

IÓN

AR

ITM

ÉTIC

A

ÁLG

EB

RA

TR

IGO

NO

METR

ÍAA

RIT

MÉTIC

A

5SAL9 – 1B

Entonces: 45 (3n - 2) = grado del numerador

* En el denominador:P6 + Q7 G.A. = 30 (el mayor)Entonces: 30 (n + 4) = grado del denominador

Ahora:Grado de E=45(3n-2)-30(n+4) .... por el grado de una divisiónPor condición:45(3n - 2) – 30(n + 4) = 105135n – 90 – 30n – 120 = 105105n = 315 n = 3

CLAVE “C”13. Solución:

El monomio puede ser expresado de la siguiente manera:

Formamos un solo radical

M =

M = … Pero: P0 = 1

M = ; pero por dato, M es de grado 128; luego:

2P3P = 128 P3P = 64 = 64 PP = 4

P = 2CLAVE “B”

14. Solución:Efectuando:P(x)=cxa+cxb+axb+axc+bxa+bxc+abc

Agrupando:P(x)=(b+c)xa+(a+c)xb+(a+b)xc+abc

Nos piden la suma de coeficientes; o seab+c+a+c+a+b+abc = 2(a+b+c)+abc

Por ser P(x) completo se cumple qué:{a; b; c} = {3; 2; 1}

De donde: a + b + c = 6 abc = 6

coef. = 2(6) + 6 = 18CLAVE “E”

15. Solución:Como P(x) 0 ; entonces: a+c–3abc=0 a+c=3abc ............ () a+b–6abc=0 a+b=6abc ............ () b+c–7abc=0 b+c=7abc ............. ()

Sumando () + () + ():

2a + 2b + 2c = 16 abc

2(a + b + c) = 16abc

Nos piden: M =

CLAVE “A”

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